晶格振动模式密度

1 1 1 m cos aq a 2 2 2N 1

2 2 m
例二、Debye模型的计算
对于Debye模型有：gD (ω)= gl (ω)+2 gt (ω)。 d C l dq Debye模型的色散关系是： ωl=Cl q; C q ωt=Ct q q l l l
qy

ds V 4q 2 V 3 2 q (q ) ( 2 ) 2Cq ( 2 )
q (q )
2 d s 4 q

C3
q
qx qz
d 2Cq 2C dq C
例三
解：（2）二维情况 q空间的等频面为圆形，圆半径为 q

C
dn A g ( ) d ( 2 ) 2
范霍夫奇点定义
定义：在ω(q)对q的梯度为零的点， ω(q)显 示出某种奇异性，即 q (q ) 0 ，称这样的
点为范霍夫奇点(又称临界点) 一维单原子情况：
g ( ) 2N
例如：一维单原子情况的范霍夫奇点。
1
2 2 m
显然：当ω→ ωm时，g(ω) →∞。即ω m为 一维单原子情况的范霍夫奇点。
模式密度的定义及计算方法
1、定义：单位频率间隔内的模式数目，用g(ω)来 表示。
2、计算方法：若设Δn=g(ω) Δω表示ω到ω+ Δω范 围内的晶格振动模式数，则定义：
n g( ) lim 0
(1) Δn=(q空间中格波分布密度)×(频率为q到q+ Δq的等 频面间的体积)； (2) q空间中格波分布密度分别为：
qy

dL V 2q A 2 q (q ) ( 2 ) 2Cq 4C
q (q ) d 2Cq 2C dq C
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q
qx
d L 2q
例三
解：（3）一维情况 q空间有两个等频点；
dn L dq L 1 L g( ) 2 d ( 2 ) q (q ) ( 2 ) 2Cq 2 C
一维单原子情况的范霍夫奇点
15
g( )
1 100
m
100
一维双原子情况分析
q
奇点为：
g
g g ( ) g ( )
max , min , max
g ( )
g ( ) g ( )
max
min
max
Cl
dnl V g l ( ) d ( 2 )3 dnt V g t ( ) d ( 2 )3

ds V 4q 2 dq V 2 3 3 2 ( 2 ) C dq q l (q ) 2 C l l ds V 4q 2 dq V 2 3 3 2 ( 2 ) C dq q t (q ) 2 C t t
回顾晶格比热的模型
实验规律：室温或更高温度段—Cv=3NkB；
低温段—符合T3规律； 零点—T趋近于零时，Cv趋近于零。
理论模型：
杜隆-柏替定律 爱因斯坦模型 德拜模型
E CV ( )V T
j 1 E E j (T ) ( j j k BT ) 2 e 1 j j 1 E dg D ( )[ k BT ] 2 e 1
d q (q ) 2Cq 2C dq C
q
0
q
q
dq 2
可见，在三维、二维和一维情况下模式密度函数分别与ω
的1/2，0，-1/2次方成比例。
4、范霍夫奇点
例：一维单原子情况分析
一维单原子情况：
g ( )
2N
1
2 2 m
当ωm= ω时，将会如何呢？
j
3、举例求解g(ω)
例一、一维单原子链的g(ω)。
已知：L=Na，q分布密度为L/2π；
L dn 2 dq 2 dn dn dq L g ( ) d dq d g ( ) 2N 1 1 m 1 sin aq 2
2
4 1 1 sin aq m sin aq m 2 2
V 2 1 2 V 2 g D ( ) g l ( ) 2 gt ( ) ( 3 3) 3 2 2 2 C l Ct 2 C
例三、给定ω=Cq2，求一维、二维及三维 情况的g(ω)
解：（1）三维情况 q空间的等频面为球面，球半径为 q

C
dn V g ( ) d ( 2 )3

3N 3N
弹性波的色散关系ω(q)——ω(q)=Cq 晶格振动的色散关系ω(q)——不同体系不同结论
德拜 近似 ω )) w( (q q ω～q 关系
0.5
0 q
0.5
2 w [1 cos aq] m
2
§3-9晶格振动模式密度
• 为准确地求出晶格热容及它与温度的变化 关系，必须较准确的办法计算出晶格振动 的模式密度（或称频率分布函数）。 • 一般来说，ω与q之间的关系是复杂的，除 非在一些特殊情况下，得不到g(ω)解析表 达式。
一维： L 2
A 二维： ( 2 ) 2
V 三维： ( 2 )3
晶格振动模式密度g(ω)的一般表达式
考虑三维情况，写出一般表达式。 qy ds dq qx qz
V n j dsdq 3 ( 2 ) dq q j (q ) V d n j ds 3 ( 2 ) ( q ) q j V ds g j ( ) ( 2 )3 q j (q ) g ( ) g j ( )