什么叫差分方程
差分方程简介
以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差 分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常 重要的基础知识．
我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法．
二、 一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt 1 ayt f ( t )，
其中 a 0 为常数，f ( t ) 为已知函数. 当 f (t ) 0 时，称方程
Pt Pt 1 ( St 1 Dt 1 )
( 为常数),
即
Pt [1 (b d )]Pt 1 (a c ).
定义2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方 程就称为差分方程. 例如
F ( x , yt , yt 1 , , yt n ) 0,
它对应的齐次方程
yt n a1 yt n1 an1 yt 1 an yt 0
的通解与它自己本身的一个特解之和，即通解等于
Y C1 y1 ( t ) C 2 y2 ( t ) C n yn ( t ) y* ( t ),
* 其中 y ( t ) 是它自己本身的一个特解.
2
(C ) 0;
(Cyt ) C ( yt );
3
4
(ayt bzt ) a ( yt ) b( zt );
( yt zt ) zt 1yt yt zt yt 1zt zt yt ;
yt z t yt yt z t z t 1 yt yt 1 z t . 5 zt zt 1 zt zt 1 zt
2 yt 2 yt 3t .
定义3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边 恒等，则称此函数为差分方程的解.
差分方程
练习 18 证明：若 a>1，对任意的 >0,>0，若 ≠ ，则按上述法构造的数列{ }满足
.
这样，我们得到了计算 的一个方法： 1． 给定 （作为误差控制），任取初始值 ，
令 n=1;
2． 若
，
则终止计算，输出结果；否则 ，令 n ：=n+1，转
第3步；
3． 令，转第2步.
练习 19 对 a=1.5,10,12345，用上述方法求 .
由 ，得
.
从而可将原来的非齐次线性差分方程化为齐次线性差分方程.
如果方程（8.5）的平衡值不存在，可以将方程（8.5）中所有的 n 换为 n+1，得到
（8.6）
方 程（ 8.6 ）和（ 8.5 ）相 减 得
.
于是可将原来的非齐次线性差
分方程化为高一阶的齐次线性差分方程.
练习17 分别求差分方程 及 的通解.
能 够 使 国 民 经 济 处 于 一 种 良 性 循 环 之 中 。如 何 配 各 部 分 投 资 的 比 例 ，才 能 使 国 民 经 济
处于稳定状态呢？这就是本节要讨论的问题。
我们首先给出一些假设条件：
1． 国民收入用于消费、再生产投资和公共设施建设三部分。
2． 记 分别为第
k 个周期的国民收入水平和消费水平。的值与前一个周期的国民收入成正比例。即
定理8。1 若数列的通项是关于 n 的 k
次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。
练习3 证明定
理8。1。
定理8。2 若{Xn}的 k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是 n 的 k 次多
项式，
练习4 根据差分的性质证明定理8。2
例2。求∑i3
差分方程简介
k (1) Cn y x nk k 0 n k
,
!n ! ) k n ( !k
k n
C中 其 且规定0 yx yx f ( x)
由定义知， y f ( x)的n阶差分 是f ( x n), f ( x n 1),...f ( x 1), f ( x) 的线形组合，
(3)（ayx bzx） ayx bz x
(4)（yx zx） yx1zx zx yx yx zx zx1yx
yx z x y x y x z x (5)( ) (其中z x 0) zx z x z x1
二、差分方程
定义2 含有自变量，未知函数及未知函数差 分的方程，称为差分方程，其一般形式为
yx1 yx yx
yxn yx C yx C y ... C y yx
n
n1 n1 n x
C yx
k 0 k n k
n
由定义容易证明，差分具有以下性质
(1)(c) o(c为常数)
(2)（cyx） cyx (c为常数)
y x5 y x3 4 y x 2 y x e x 是五阶差分方程， 因为（x 5） x 5;
方程3 y x yx 1 0可转化为yx 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0， 因而是2阶差分方程
定义4 如果某个函数代入差分方程后能使差分方程 成为恒等式，则称此函数为该差分方程的解。
反之函数y f ( x)的各个函数值也可以 用y x f ( x)和它的各阶差分式表示 。即
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
高数第七章(11)差分方程的概念.
2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构
定理 3 设 yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解, 那么 yx Yx yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
7.P(t ) 1 1 ,Q(t ) (1 1)2t
t
t
D. yx 2 yx1 3 yx2 4
解 由差分方程的定义有：A, D是差分方程.
B的 左 端
3yx
3( yx1
yx )
3 yx1
3
y
，
x
则 等 式 实 为 3 yx1 a x， 仅 含 一 个 时 期 的 函 数
值y
x
，
1
故
不
是
差
分
方
程.而C的
左
端2
yx
( yx1
yx)
yx1 yx
yx2
yx1 zx1 yx zx yx1 zx1 yx zx1 yx zx1 yx zx
yx1 yx zx1 yx zx1 zx
z x1Δ y x y xΔ z x
又证明（3）
yx zx
yx1 zx1 yx zx yx1 zx1 yx1 zx yx1 zx yx zx
解 ， 求 常 数α ，β .
7、 已 知y1 (t ) 2t , y2 (t ) 2t 3t是 方 程yt1 P(t ) yt Q(t ) 的 两 个 特 解 ， 求P(t)，Q(t)．
练习题答案
1.a x (a 1);2.2;3.C;4.C;
6.(1)α
差分方程(第四章)
差分方程对连续型变量而言，我们常常回到微分方程的问题。
对离散型变量将导致一类的问题。
一、差分的定义定义：设()t y y t =是一个函数，自变量从t 变化到1t +，这时函数的增量记为(1)()t y y t y t ∇=+-，我们称这个量为()y t 在点t 步长为1的一阶差分，简称为()y t 的一阶差分。
为了方便我们也记1(1),()t t y y t y y t +=+=，即1t t t y y y +∇=-。
称21121()()()2t t t t t t t t y y y y y y y y +++++∇∇=---=-+为()y t 的二阶差分，简记为2t y ∇。
同样记2()t y ∇∇为3t y ∇，并称为三阶差分。
一般记1()n n t t y y -∇=∇∇，称为n 阶差分，且有0(1)nni it n t n i i y Cy +-=∇=-∑。
性质：当,,a b C 是常数，t y 和t z 是函数时， （1）()0C ∇=； （2）()()t t C y C y ∇=∇；（3）()()()t t t t ay bz a y b z ∇±=∇±∇；（4）11()()()()()t t t t t t t t t t y z y z z y y z z y ++∇⋅=∇+∇=∇+∇；（5）1111()()()()t t t t t t t t t t t t t t y z y y z z y y z z z z z z ++++⎛⎫∇-∇∇-∇∇== ⎪⋅⋅⎝⎭，（其中，0t z ≠）。
例1：已知,(0)nt y t t =≠，求()t y ∇。
解：()(1)n n t y t t ∇=+-。
特别，当n 为正整数时，1()ni n i t ni y Ct-=∇=∑，阶数降了一阶。
推论：若,m n 为正整数且m n >时，()P t 为n 次多项式，则()0m P t ∇=。
★差分方程
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系, 所以可设 yx = x为方程(11)的解.
代如方程(11)得
x+2 + ax+1 + bx = 0,
2 + a + b = 0,
(12)
方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.
由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：
特征方程的解
两个不相等的实根 1, 2 两个相等实根 1 = 2
定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称 为差分方程.
其一般形式为
G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0.
(2)
定义3中要求 x, yx, yx+1, , yx+n不少于两个.
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方 程.
差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.
例6 求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通解.
解 对应的齐次方程 yx+1 yx = 0的通解为 y*x C.
这里 a = 1, 设 yx x(B0 B1x), 代入差分方程, 得
(x+1)[B0+B1(x+1)] x(B0+B1x) = x +1. 整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1.
解 对应的齐次方程的特征方程为
2 3 + 2 = 0.
方程的根为
1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y x Bx2x ,
差分方程
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系,
所以可设 yx = x为方程(11)的解. 代如方程(11)得 x+2 + ax+1 + bx = 0,
2 + a + b = 0,
方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.
(12)
由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：
第八节 差分方程
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
一、差分 微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储
蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这
种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例10 求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通解.
解 对应的齐次方程的特征方程为
2 + 2 = 0.
方程的根为
1 = 2, 2 = 1,
y* C1 C2 (2) x . x
齐次方程的通解为
因为 a = 1, b = 2, 1+a+b = 0, 但 a+2 = 3 0,所以, 设
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方
程. 差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.
定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则 称此函数为该差分方程的解. 例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的 解. 解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2, 所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解. 定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数
差分方程课件
例3 求 yt t 2 3t 的差分.
解 由差分的运算性质，有
yt (t 3 ) 3 t (t 1) (3 )
2 t t 2 2 t
3 (2t 1) (t 1) 2 3 3 (2t 6t 3)
t 2 t t 2
.
1 差分方程的概念
差分满足以下性质： （1） （2） （3）
(Cyt ) Cyt (C为常数)
（yt zt ) yt zt
（yt zt ) zt yt yt 1zt
yt zt yt yt zt ( zt 0) （4） （ ) zt zt 1 zt
引例1： Fibonacci （斐波那契）数列
问题 13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份
幼兔 成兔
0
1 0
1
引例2：日常的经济问题中的差分方程模型
1）. 银行存款与利率 假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型 是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
yt t
( n)
t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
yt (t 1)( n) t ( n) (t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
差分方程ppt
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(4)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
先求齐次差分方程 yx+1 ayx = 0的解 设 y0 已知, 代入方程可知
y1 = ay0, y2 = a2y0,
yx = axy0,
令y0 = C, 则得齐次差分方程的通解为
yx = Cax.
(5)
例4 求差分方程 yx+1 + 2yx = 0的通解. 解 这里 a = 2, 由公式(5)得, 通解为
yx B0 B1x Bm xm (1 a b 0),
yx (B0 B1x Bm xm )x (1 a b 0且a 2 0) yx (B0 B1x Bm xm )x2 (1 a b a 2 0).
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例10 求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通解.
包权
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例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6,
3.4.差分方程简介
故原方程的通解为
（2）方程对应的特征方程为 λ 1= 0 ，其特征根为 λ =1 ，于是齐次方
* 程的通解为 yi = C 。设方程的特解为： yi = Acos π i + Bsin π i 2 2
将其代入原方程可解得 A = B = 1 2 故原方程的通解为
yi = C 1 (cos π i + sin π i) 2 2 2
λn + Pλn1 ++ P 1λ + P = 0 1 n n
（3.4.3）
方程（3.4.3）称为（3.4.2）的特征方程。若 λ1, λ2 ,, λn 是（3.4.3）的 n 个不同的根，则 Y (i) = λ1 ,Y2 (i) = λ2 ,,Yn (i) = λn 就是（3.4.2）的 n 个 1
r 1+ P ++ P 1 n
是稳定的条件与对应的齐次方程（3.4.2）完全相同。
此外，对于 n 维向量 yi 和 n× m 常数矩阵 A 构成的一阶线性差分方程组
yi +1 + Ayi = 0
其 平 衡点 稳 定的 条 件是 矩阵 A 的特 征 根
λi ( i =1,2,, n) 均有 λi <1 。 即均在复平面上的
（3）
若 Y1 (i) ，…，Yn (i) 是方程（3.4.2） n 个线性
无关的解，则它们的线性组合 C1Y (i) ++ CnYn (i) 1 就是 （3.4.2）的通解。 Y1 (i) ，…， Yn (i) 称为（3.4.2） 的一组基本解。 （4） 若 C1Y (i) ++ CnYn (i) 是 （3.4.2） 的通解， y *(i) 是 1 非齐次方程（3.4.1）的一个特解，则
第十三章 差分方程
△2yx
△3yx
2
0
2
0
2
0
2
0
2
例2 : 设 x 求 x
（n）
＝x（x－ ） 1 .......( x n 1)
x
( 0)
1
（n）
解： y
x
y
x
x y
（n）
x（x－ ） 1 .......( n 1) x
x 1
y
x
( x 1) x( x 1) ( x 1 n 1) x( x 1)....(x n 1) x（x－ ） x n 2)[(x 1) ( x n 1)] 1 ....( x（x－ ） x n 2) n 1 .....( nx
－y
x
（ y ）＝ y
x
x＋1
－y ＝（y
x x 1
x＋2
－y ） (y
x 1
x＋1
－y )
x
y 记为2 y ，即
x
x＋2
－ 2y
y
x
2 y ＝（ y ）＝y
x x x
x＋2
－2y
x 1
y
x
称为函数 y 的二阶差分 同样定义三阶差分，四 阶差分 3 y ）＝（2 y ），4 y ）＝（3 y ） （ （ ........
第十三章 差分方程
第一节 差分方程的一般概念
(一)差分
x
定义1：设函数y＝f（x），记为y 当x取遍非负整数时， 函数值可以排成一个数 列。 y0 , y1.......y x ........ 则差为y
x＋1
－ y 称为函数 y 的差分。
差分方程详解
差分方程百科内容来自于:差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。
基本概念一、差分的概念设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。
依此定义类推，有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………一阶差分的性质(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。
函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推，有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1，………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt，D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。
n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…，Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。
差分方程
差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。
数学意义及性质意义差分方程是微分方程的离散化。
一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来。
比如dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方程，x取值[0,1] (注：解为y(x)=e^(-x)); 要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间[0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1] 这样上述微分方程可以离散化为：差分方程y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0，k=0,1,2,...,n-1 （n 个离散方程组）利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，就可以计算出y(k/n) 的近似值了。
§1 基本理论差分方程1. 差分2. 任意数列{xn },定义差分算子Δ如下：Δxn=xn+1-xn 对新数列再应用差分算子，有Δ2xn=Δ（Δkxn).性质性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn性质2 Δk(cxn)=cΔkxn性质3 Δkxn=∑（-1)jCjkXn+k-j性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1，存在η，有Δkxn=f(k）（η）差分方程定义8。
1 方程关于数列的k阶差分方程：xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1，……）其中a1,a2,------ak 为常数，ak≠0. 若b=0，则该方程是齐次方程关于λ的代数方程λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0 为对应的特征方程，根为特征值。
例题1．实验内容与练习2．1 插分例1 Xn={n3},求各阶差分数列：xn△xn △2xn △3xn △4xn 1 7 12 6 0 8 19 18 6 0 27 37 24 6 0 64 61 30 6 125 91 36 216 127 343 可见，{n3},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。
8-8差分方程
y a = 1 设 ~ x = xQn ( x )
次多项式) （ Qn ( x )：n 次多项式
代入方程比较系数定出 Qn (x ). 例4 求差分方程 y x +1 − 3 y x = −2 的通解 的通解. 解
y x +1 − 3 y x = 0 的通解为 Y x = A3 x
因为 a = 3 ≠ 1, c = −2 c % 所以 y x +1 − 3 y x = −2 的特解为 y x = 1 − a = 1 x 差分方程的通解为 y x = 1 + A3
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分. 高阶差分
差分的性质： 差分的性质：
1. ∆cy x = c∆y x ( c为常数 ) 2. ∆ ( y x + z x ) = ∆y x + ∆z x
例1 求 ∆ ( x 2 ) ,
∆2 ( x 2 ) ,
∆3 ( x 2 )
S t = − a + bPt (a , b > 0) , Dt = c − dPt (c , d > 0)
时期的价格P 设 t 时期的价格 t由 t-1时期的价格 Pt −1 与供给量及需 时期的价格 按如下关系确定. 求量之差 S t −1 − Dt −1 按如下关系确定. Pt = Pt −1 − λ ( S t −1 − Dt −1 ) （ λ 为常数）， 为常数）， 即
ux v x ⋅ ∆u x − u x ⋅ ∆v x 4. ∆ ( ) = vx v x ⋅ v x +1 5. 若y x 是n次多项式，则 ∆k y x 是n − k（0 ≤ k ≤ n）次多项式 , 次多项式，
?
差分方程
yn 2 2 yn1 yn
称为函数yn的二阶差分，记为 2 yn .
同样，二阶差分的差分 称为三阶差分，记为 yn ,即
3
3 yn yn 3 3 yn 2 3 yn 1 yn
类似地，m 1阶差分的差分称为 yn的m阶差分，记作 m yn。
3、线性、非线性差分方程
定义 差分方程中未知函数都 是一次幂的，称为线性 差分方程，
否则，称为非线性差分 方程。
3 yn 32 yn y n yn yn3 6 yn2 10 yn1 6 yn 0。
例如
（1） yn3 2 yn1 3 yn 2
* 将yn 代入方程后可用比较系 数法求。
例 求yn1 2 yn 2n 的通解。
2
A0 2 2 A0 A1 0 A A A 0 1 2 0
A0 2, A1 4, A2 6.
yn * 2n 4n 6,
2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法:
设(n) a n pm (n)型(a 0),其中pm (n)
为已知m次多项式，可以证明非齐次方程 的特 解形式是
a Qm (n), a不是特征根， y n na Qm (n), a是特征根。
n * n
其中Qm为m次多项式，有 m 1个特定系数 ,
则称为齐次方程。
1、迭代法
设y0已知，将 n 0,1,2Fra bibliotek.... 依次代入
2 yn1 byn中得y1 by0 , y2 by1 by0
y3 by2 b3 y0 ,..., yn b n y0 ,
差分方程的特征方程
差分方程的特征方程摘要：1.差分方程的基本概念2.特征方程的定义和性质3.求解特征方程的方法4.应用实例及分析5.总结与展望正文：一、差分方程的基本概念差分方程是一种描述离散系统行为的数学方程。
在离散时间系统中，系统的状态变量随时间离散地变化，可以用差分方程来描述这种变化。
差分方程的一般形式为：Δx(t) = a0 * x(t-) + a1 * x(t-1) + a2 * x(t-2) + ...+ an-1 * x(t-n) + b1 * Δu(t-) + b2 * Δu(t-1) + ...+ bm-1 * Δu(t-m)其中，x(t)是状态变量，u(t)是输入信号，a0、a1、a2、...、an-1和b1、b2、...、bm-1是方程的系数。
二、特征方程的定义和性质特征方程是差分方程的一种重要表现形式。
当差分方程的系数满足一定条件时，可以将差分方程转化为特征方程。
特征方程是一组线性齐次差分方程，其一般形式为：x(t+1) - p1 * x(t) - p2 * x(t-1) - ...- pn * x(t-n) = 0其中，p1、p2、...、pn是特征方程的系数。
特征方程具有以下性质：1.特征方程的根是差分方程的零点。
2.特征方程的根与差分方程的系数有关。
3.特征方程的根是模态函数，具有稳定的振荡特性。
三、求解特征方程的方法求解特征方程的方法主要有以下几种：1.直接求解法：根据特征方程的定义，直接求解差分方程的根。
2.矩阵法：将特征方程转化为矩阵形式，利用矩阵运算求解矩阵的特征值和特征向量。
3.迭代法：利用迭代公式求解特征方程的根，如Newmark法、Runge-Kutta法等。
4.数值方法：利用数值方法求解特征方程，如欧拉法、龙格-库塔法等。
四、应用实例及分析以下是一个求解线性时不变系统特征方程的实例：考虑线性时不变系统，其输入信号为u(t)，输出信号为y(t)。
系统的传递函数为：G(s) = 1 / (s^2 + 2s + 1)根据传递函数，可以得到系统的特征方程为：s^2 - 2s + 1 = 0求解特征方程，得到两个根：s1 = 1，s2 = 1。
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什么叫差分方程？给我举几个例子呗§1 基本理论1. 差分2. 任意数列{xn },定义差分算子Δ如下：Δxn=xn+1-xn对新数列再应用差分算子，有Δ2xn=Δ(Δkxn).性质性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn性质2 Δk(cxn)=cΔkxn性质3 Δkxn=∑(-1)jCjkXn+k-j性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1,存在η，有Δkxn=f(k)(η) 差分方程定义8。
1 方程关于数列的k阶差分方程：xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1,……)其中a1,a2,------ak 为常数，ak≠0. 若b=0,则该方程是齐次方程关于λ 的代数方程λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0为对应的特征方程，根为特征值。
1．实验内容与练习2．1 插分例1 Xn={n3},求各阶差分数列：xn △xn △2xn △3xn △4xn1 7 12 6 08 19 18 6 027 37 24 6 064 61 30 6125 91 36216 127343可见，{n3},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。
练习1 对{1}，{n},{n2},{n4},{n5}, 分别求各阶差分数列。
练习2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},分别求各阶差分数列.{Xn}的通项为n的三次函数，Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0证明它为常数数列。
证明由Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0可直接计算。
定理8。
1 若数列的通项是关于n 的k次多项式，则k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。
练习3 证明定理8。
1 。
定理8。
2 若{Xn}的k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是n的k次多项式，练习4 根据插分的性质证明定理8。
2例2。
求∑i3例3例4解设Sn=∑i3 表Sn △Sn △2Sn △3Sn △4Sn △5Sn1 8 19 18 6 09 27 37 24 6 036 64 61 30 6 0100 125 91 36 6 0225 216 127 42441 343 169784 5121296设Sn=a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0, s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225,得a0=0, a1=0, a2=1/4, a3=1/2, a4=1/4.所以，Sn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2.练习{Xn}的通项Xn为n的k次多项式，证明∑xi为n的k+1次多项式；求∑i4.由练习2 {Crn-1}可得。
2.2差分方程对于一个差分方程，如果能找出这样的数列通项，将它带入差分方程后，该方程成为恒等式，这个通项叫做差分方程的解。
例3 对差分方程xn-5xn-1+6xn-2=0,可直接验证xn=c13n+c22n是该方程的解。
例3中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与差分方程的阶数相同。
这样的解叫做差分方程的通解。
若k阶差分方程给定了数列前k项的取值，则可以确定通解的任意常数，得到差分的特解。
例4对差分方程xn-5xn-1+6xn-2=0,若已知x1=1,x2=5,则可以得到该差分方程的特解为xn=3n-2n.我们首先研究齐次线性差分方程的求解。
xn=rxn-1对一阶差分方程x1=a显然有xn=arn-1。
因此，若数列满足一阶差分方程，则该数列为一个等比数列。
例5 求Fibonacci数列{Fn}的通项，其中F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2.Fibonacci数列的前几项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…。
该数列有着非常广泛的应用。
Fibonacci数列所满足的差分方程为Fn-Fn-1-Fn-2=0,其特征方程为λ2-λ-1=0其根为λ1= ,λ2= .利用λ1λ2可将差分方程写为Fn-(λ1+λ2)Fn-1+λ1λ2Fn-2=0,即Fn-λ1Fn-1=λ2(Fn-1-λ1Fn-2)数列｛Fn-λ1Fn-1｝满足一个一阶差分方程．显然( )同理可得( )由以上两式可解出的通项。
练习9 证明若数列{ }满足二阶差分方程，其特征方程由两个不相等的根，则为该差分方程的两个特解。
从而其通解为。
由练习9，若二阶差分方程的特征方程有两个不相等的根，可写出其通解的一般性式。
再由的值可解出其中的系数，从而写出差分方程的特解。
练习10 具体求出Fibonacci数列的通项，并证明。
那么,若二阶线性齐次差分方程有两个相等的根，其解有如何来求呢？设二阶线性齐次差分方程的特征方程有两个相等的根，则差分方程可写为。
差分方程的两边同时除以，有。
设,则(n>=3)。
由于该式在n>=3式均成立,我们将它改写为(n>=1)。
(8.2)方程(8.2)的左边是的二阶差分,从而有,于是是n的一次函数,设为则有。
上是即为差分方程的通解。
练习11 证明：若数列{ } 所满足的三阶差分方程的特征方程由三个相等的根，则差分方程的通解为。
一般的，设•••, 为差分方程的特征方程所有不同的解,其重数分别为•••，，则差分方程对应于其中的根（i=1，2，•••，l）的特解••• 。
对于一般的k阶齐次线性差分方程，我们可以通过其特征方程得到上述形式的k个特解，进而得到差分方程的通解。
练习12 若数列{ } 满足差分方程且求{ }的通项。
例6 若实系数差分方程的根为虚数，则其解也是用虚数表示的，这给讨论问题带来不便。
差分方程xn-2xn-1+4xn-2=0的特征值为i.若x1=1,x2=3,由下面的程序易求出其特解为：xn=( )(1+ i)n+(－)(1－i)nClear[x1,x2,c1,c2,l1,l2,solution];x1=1;x2=3;solution=Solve[1^2-2l+4==0,1];l1=l/.solution[[1,1]];l2=l/.solution[[2,1]];c=Solve[{c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2},{c1,c2}];c1=Simplify[Re[c1]]+Simplify[Im[c1]]*I;c2=Simplify[Re[c2]]+Simplify[Im[c2]]*I;Print[“xn=(“,c1,”)(“,l1,”)^n+(“,c2,”)(“,l2,”)^n”]解的形式相当复杂，是否可以将它们用实数表示呢？设=rei ,则＝re ,我们可将（8．4）中的表达式改写为xn=re (2e )n+re (2e )\n=r=2r Cos( )=(2rCos )=可以看出，通项可以写成的形式．那么，与是不是差分方程的特解呢？练习13 验证与是差分方程(8.3)的特解.对于差分方程(8.3),我们找出了它的两个实型的特解,从而可以将通解表示成实数的形式.这一方法对于一般的方程也是成立的.练习14 设的两个特征值为 .证明该差分方程的通解可表示为 .练习15 用实数表示差分方程的特解.上次我们讨论了其次线性差分方程的求解方法.那么,非齐次线性差分方程是否可以化为齐次线性差分方程呢?练习16 若已知非齐次线性差分方程••• （8.5）的一个特解为求证:若令则满足齐次差分方程•••由练习16,若已知非齐次线性差分方程(8.5)的一个特解,就可以将它化为齐次线性差分方程. 显然方程(8.5)的最简单的形式为(其中p为常数),代入(8.5)得•••若••• 则有称p = 为非齐次线性差分方程（8.5）的平衡值。
在（8.5）中，令则有由，得.从而可将原来的非齐次线性差分方程化为齐次线性差分方程.如果方程（8.5）的平衡值不存在，可以将方程（8.5）中所有的n换为n+1,得到（8.6）方程（8.6）和（8.5）相减得.于是可将原来的非齐次线性差分方程化为高一阶的齐次线性差分方程.练习17 分别求差分方程及的通解.2.3 代数方程求根由Fibonacci数列的性质，我们可以用来逼近，用这一性质可以来计算的近似值。
一般地，对a>0，可以用构造差分方程的方法来求的近似值.对给定的正数a，设λ1= ，λ2= ，则λ1 ，λ2是方程λ2-2λ+(1+a)=0的根.该方程是差分方程的特征方程。
于是，选定,利用差分方程可以构造一个数列{ }.练习18 证明：若a>1,对任意的>0, >0,若≠ ，则按上述法构造的数列{ }满足.这样，我们得到了计算的一个方法：1．给定（作为误差控制），任取初始值，令n=1;2．若，则终止计算，输出结果；否则，令n ：=n+1,转第3步；3．令,转第2步.练习19 对a=1.5,10,12345,用上述方法求 .上述方法的收敛速度不够快，我们可以加以改进设整数u满足,令,则，是方程的两个根.练习20 根据上面的差分方程的构件数列{ x },使得.练习21 对练习19中的a，用上面的方法来计算，并比较两种方法的收敛速度.代数方程（8.7）是差分方程（8.1）的特征方程，是否可以用此差分方程来求解方程（8.7）呢？设方程（8.7）有k个互不相同的根满足，（8.8）则对应的差分方程的通解形式为.练习22 设方程（8.7）的根满足条件（8.8），任取初始值用差分方程（8.1）（取b=0）构造数列{ }.若通解中的系数≠0，证明：.利用练习22得到的结论，我们可以求多项式方程的绝对值最大的根.练习23 求方程的绝对值最大的根.事实上，若方程（8.7）的互不相同的根满足≥ ≥…≥(其重数分别为)，则练习22中的结论仍然成立.2.4 国民收入4 国民收入的稳定问题一个国家的国民收入可用于消费，再生产的投资等。
一般地说，消费与再生产投资都不应该没有限制。
合理的控制各部分投资，能够使国民经济处于一种良性循环之中。
如何配各部分投资的比例，才能使国民经济处于稳定状态呢？这就是本节要讨论的问题。
我们首先给出一些假设条件：1．国民收入用于消费、再生产投资和公共设施建设三部分。
2．记分别为第k个周期的国民收入水平和消费水平。
的值与前一个周期的国民收入成正比例。
即=A , (8.9)其中A为常数（0<A<1）.3．用表示第k个周期内用于再生产的投资水平，它取决于消费水平的变化，即 . (8.10) 4．G表示政府用于公共设施的开支，设G为常数.由假设1有 . (8.11)上式是一个差分方程，当给定的值后，可直接计算出国民收入水平（k=2,3,…）来观察其是否稳定。
例7 若，计算可得表8.3中数据。
表8.3 Y 的值的变化k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1111.0 24.5 35.8 39.1 32.9 20.3 7.48 0.95 3.93 15.0k 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2128.5 37.8 38.2 29.5 16.0 4.58 0.82 6.65 19.2 32.1我们可以画出的散点图来观察其变化。