什么叫差分方程

什么叫差分方程？给我举几个例子呗

§1 基本理论

1. 差分

2. 任意数列{xn },定义差分算子Δ如下：

Δxn=xn+1-xn

对新数列再应用差分算子，有

Δ2xn=Δ(Δkxn).

性质

性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn

性质2 Δk(cxn)=cΔkxn

性质3 Δkxn=∑(-1)jCjkXn+k-j

性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1,存在η，有Δkxn=f(k)(η) 差分方程

定义8。1 方程关于数列的k阶差分方程：

xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1,……)

其中a1,a2,------ak 为常数，ak≠0. 若b=0,则该方程是齐次方程

关于λ 的代数方程

λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0

为对应的特征方程，根为特征值。

1．实验内容与练习

2．1 插分

例1 Xn={n3},求各阶差分数列：

xn △xn △2xn △3xn △4xn

1 7 1

2 6 0

8 19 18 6 0

27 37 24 6 0

64 61 30 6

125 91 36

216 127

343

可见，{n3},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。

练习1 对{1}，{n},{n2},{n4},{n5}, 分别求各阶差分数列。

练习2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},分别求各阶差分数列.

{Xn}的通项为n的三次函数，

Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0

证明它为常数数列。

证明由Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0可直接计算。

定理8。1 若数列的通项是关于n 的k次多项式，则k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。

练习3 证明定理8。1 。

定理8。2 若{Xn}的k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是n的k次多项式，

练习4 根据插分的性质证明定理8。2

例2。求∑i3

例3

例4

解设Sn=∑i3 表

Sn △Sn △2Sn △3Sn △4Sn △5Sn

1 8 19 18 6 0

9 27 37 24 6 0

36 64 61 30 6 0

100 125 91 36 6 0

225 216 127 42

441 343 169

784 512

1296

设Sn=a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0, s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225,得

a0=0, a1=0, a2=1/4, a3=1/2, a4=1/4.

所以，

Sn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2.

练习{Xn}的通项Xn为n的k次多项式，证明∑xi为n的k+1次多项式；求

∑i4.

由练习2 {Crn-1}可得。

2.2差分方程

对于一个差分方程，如果能找出这样的数列通项，将它带入差分方程后，该方程成为恒等式，这个通项叫做差分方程的解。

例3 对差分方程xn-5xn-1+6xn-2=0,可直接验证xn=c13n+c22n是该方程的解。

例3中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与差分方程的阶数相同。这样的解叫做差分方程的通解。

若k阶差分方程给定了数列前k项的取值，则可以确定通解的任意常数，得到差分

的特解。

例4对差分方程xn-5xn-1+6xn-2=0,若已知x1=1,x2=5,则可以得到该差分方程的特解为

xn=3n-2n.

我们首先研究齐次线性差分方程的求解。

xn=rxn-1

对一阶差分方程

x1=a

显然有xn=arn-1。因此，若数列满足一阶差分方程，则该数列为一个等比数列。

例5 求Fibonacci数列{Fn}的通项，其中F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2.

Fibonacci数列的前几项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…。该数列有着非常广泛的应用。

Fibonacci数列所满足的差分方程为

Fn-Fn-1-Fn-2=0,

其特征方程为

λ2-λ-1=0

其根为λ1= ,λ2= .利用λ1λ2可将差分方程写为

Fn-(λ1+λ2)Fn-1+λ1λ2Fn-2=0,

即

Fn-λ1Fn-1=λ2(Fn-1-λ1Fn-2)

数列｛Fn-λ1Fn-1｝满足一个一阶差分方程．显然

( )

同理可得

( )

由以上两式可解出的通项。

练习9 证明若数列{ }满足二阶差分方程，其特征方程由两个不相等的根，则为该差分方程的两个特解。从而其通解为。

由练习9，若二阶差分方程的特征方程有两个不相等的根，可写出其通解的一般性式。再由的值可解出其中的系数，从而写出差分方程的特解。

练习10 具体求出Fibonacci数列的通项，并证明。那么,若二阶线性齐次差分方程有两个相等的根，其解有如何来求呢？

设二阶线性齐次差分方程的特征方程有两个相等的根，则差分方程可写为。差分方程的两边同时除以，有。设,则(n>=3)。由于该式在n>=3式均成立,我们将它改写为(n>=1)。

(8.2)

方程(8.2)的左边是的二阶差分,从而有,于是是n的一次函数,设为则有。上是即为差分方程的通解。

练习11 证明：若数列{ } 所满足的三阶差分方程的特征方程由三个相等的根，则差分方程的通解为。

一般的，设•••, 为差分方程的特征方程所有不同的解,其重数分别为•••，，则差分方程对应于其中的根（i=1，2，•••，l）的特解••• 。

对于一般的k阶齐次线性差分方程，我们可以通过其特征方程得到上述形式的k个特解，进而得到差分方程的通解。

练习12 若数列{ } 满足差分方程