2020年河北省衡水中学高考三模数学试题(附答案解析)
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（1）假设DN＝x(m)，试将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数，并注明函数的定义域；
（2）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．
19．在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ( ， 为参数)，以坐标原点 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 经过点 ，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求 ；
（2）设数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案与解析】
1．B
由题意知： ，所以 ，故 ，令 得所有项系数之和为 .
2．B
先利用复数的除法运算将复数先化简，然后利用复数模的计算公式计算即可.
，
所以 .
故选：B.
本题考查复数模的计算，涉及到复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
A．《数学史选讲》B．《球面上的几何》C．《对称与群》D．《矩阵与变换》
8．．设集合A={1，2，3}， ，则A∩B=（ ）（ ）
A．{1，2}B．{2，3}C．{1，3}D．{1，2，3}
9．已知函数 的部分图象如图所示， ，则正确的选项是（）
A． B． C． D．
10．设 是球心 的半径 上的两点，且 ，分别过 作垂线于 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为()
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若 ， 是曲线 上两点，求 的值．
20．设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，记 ，是否存在整数 ，使得关于 的不等式 有解？若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由.
21．已知曲线 所围成封闭图形面积为 ,曲线 是以曲线 与坐标轴的交点为顶点的椭圆, 离心率为 . 平面上的动点 为椭圆 外一点,且过 点
Fra Baidu bibliotek三、解答题
17．如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2．
（I）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．
18．(本小题满分14分)某小区想利用一矩形空地ABCD建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60m，AB＝40m，且△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10m，EF＝20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一条直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场．
3．C
利用向量投影公式，结合向量数量积的运算，求得 在向量 上的投影.
在向量 上的投影为 ，
.
.
所以 .
故选：C
本小题主要考查向量投影的计算，考查向量数量积、模的运算，属于基础题.
4．B
先作出可行域，再根据目标函数所表示直线，结合图象确定最大值取法，即得结果.
先作出可行域，如图，由 得 ，即
则直线z＝x+4y过点A时，z取最大值，为9
A． B． C． D．
11．函数 的图象大致为
A． B． C． D．
12．已知 分别是椭圆 的左右焦点，点 是椭圆的右顶点， 为坐标原点，若椭圆上的一点 满足 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为_____平方里．
故选：B
本题考查利用线性规划求最值，考查数形结合思想方法，属基础题.
5．A
三视图还原为三棱锥 ，如图所示，由三视图可知： ， ，平面 平面 平面 ，则三棱锥 的体积为 ，故选A.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
2020年河北省衡水中学高考三模数学试题
一、单选题
1．若 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为
A． B． C． D．
2．若 是虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
3．若向量 满足 ， 与 的夹角为60°，则 在向量 上的投影等于（）
A． B． C． D．
4．设x，y满足约束条件 ，则z＝x+4y的最大值为（）
14．若双曲线 的两个焦点都在 轴上，且关于 轴对称，焦距为 ，实轴长与虚轴长相等，则双曲线 的方程是_____________.
15．由2，0，1，8，6，7六个数字组成的四位数中，若数字可以重复，则含有奇数个6的数共有_________个.（用数字作答）.
16．函数 图像上不同两点 处的切线的斜率分别是 ，规定 ( 为线段 的长度)叫做曲线 在点 与点 之间的“弯曲度”.设曲线 上不同两点 ，且 ，则 的取值范围是_________.
A．0B．9C． D．10
5．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
6．已知函数 有零点，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》．现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》，也不选《对称与群》：②乙同学不选《对称与群》，也不选《数学史选讲》：③如果甲同学不选《数学史选讲》，那么丁同学就不选《对称与群》．若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（ ）
引椭圆 的两条切线互相垂直.
（1）求曲线 的方程；
（2）求动点 的轨迹方程.
22．已知函数f(x)=x（e +1）
(I)求函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程；
(II)若函数g（x）=f（x）-ae -x，求函数g(x)在[1,2]上的最大值。
23．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ．
（2）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．
19．在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ( ， 为参数)，以坐标原点 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 经过点 ，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求 ；
（2）设数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案与解析】
1．B
由题意知： ，所以 ，故 ，令 得所有项系数之和为 .
2．B
先利用复数的除法运算将复数先化简，然后利用复数模的计算公式计算即可.
，
所以 .
故选：B.
本题考查复数模的计算，涉及到复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
A．《数学史选讲》B．《球面上的几何》C．《对称与群》D．《矩阵与变换》
8．．设集合A={1，2，3}， ，则A∩B=（ ）（ ）
A．{1，2}B．{2，3}C．{1，3}D．{1，2，3}
9．已知函数 的部分图象如图所示， ，则正确的选项是（）
A． B． C． D．
10．设 是球心 的半径 上的两点，且 ，分别过 作垂线于 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为()
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若 ， 是曲线 上两点，求 的值．
20．设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，记 ，是否存在整数 ，使得关于 的不等式 有解？若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由.
21．已知曲线 所围成封闭图形面积为 ,曲线 是以曲线 与坐标轴的交点为顶点的椭圆, 离心率为 . 平面上的动点 为椭圆 外一点,且过 点
Fra Baidu bibliotek三、解答题
17．如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2．
（I）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．
18．(本小题满分14分)某小区想利用一矩形空地ABCD建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60m，AB＝40m，且△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10m，EF＝20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一条直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场．
3．C
利用向量投影公式，结合向量数量积的运算，求得 在向量 上的投影.
在向量 上的投影为 ，
.
.
所以 .
故选：C
本小题主要考查向量投影的计算，考查向量数量积、模的运算，属于基础题.
4．B
先作出可行域，再根据目标函数所表示直线，结合图象确定最大值取法，即得结果.
先作出可行域，如图，由 得 ，即
则直线z＝x+4y过点A时，z取最大值，为9
A． B． C． D．
11．函数 的图象大致为
A． B． C． D．
12．已知 分别是椭圆 的左右焦点，点 是椭圆的右顶点， 为坐标原点，若椭圆上的一点 满足 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为_____平方里．
故选：B
本题考查利用线性规划求最值，考查数形结合思想方法，属基础题.
5．A
三视图还原为三棱锥 ，如图所示，由三视图可知： ， ，平面 平面 平面 ，则三棱锥 的体积为 ，故选A.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
2020年河北省衡水中学高考三模数学试题
一、单选题
1．若 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为
A． B． C． D．
2．若 是虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
3．若向量 满足 ， 与 的夹角为60°，则 在向量 上的投影等于（）
A． B． C． D．
4．设x，y满足约束条件 ，则z＝x+4y的最大值为（）
14．若双曲线 的两个焦点都在 轴上，且关于 轴对称，焦距为 ，实轴长与虚轴长相等，则双曲线 的方程是_____________.
15．由2，0，1，8，6，7六个数字组成的四位数中，若数字可以重复，则含有奇数个6的数共有_________个.（用数字作答）.
16．函数 图像上不同两点 处的切线的斜率分别是 ，规定 ( 为线段 的长度)叫做曲线 在点 与点 之间的“弯曲度”.设曲线 上不同两点 ，且 ，则 的取值范围是_________.
A．0B．9C． D．10
5．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
6．已知函数 有零点，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》．现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》，也不选《对称与群》：②乙同学不选《对称与群》，也不选《数学史选讲》：③如果甲同学不选《数学史选讲》，那么丁同学就不选《对称与群》．若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（ ）
引椭圆 的两条切线互相垂直.
（1）求曲线 的方程；
（2）求动点 的轨迹方程.
22．已知函数f(x)=x（e +1）
(I)求函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程；
(II)若函数g（x）=f（x）-ae -x，求函数g(x)在[1,2]上的最大值。
23．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ．