河北省衡水中学2019届高三上学期期末考试理科数学(解析版)

河北省衡水中学2019届高三上学期期末考试理科数学1．【题干】 =-+2005)11(ii （ ）A ．B ．－C ．D ．－【答案】A【解析】21(1)2,1(1)(1)2i i ii i i i ++===--+2005200421002().i i i i i i =⨯=⨯=故选A2．【题干】设偶函数f(x)＝log a |x ＋b|在(0，＋∞)上单调，则f(b －2)与f(a ＋1)的大小关系为 A ．f(b －2)＝f(a ＋1) B ．f(b －2)>f(a ＋1) C ．f(b －2)<f(a ＋1) D ．不能确定 【答案】C 【解析】∵函数f(x)是偶函数，∴b ＝0，此时f(x)＝log a |x|.当a>1时，函数f(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上是增函数，∴f(a ＋1)>f(2)＝f(b －2)； 当0<a<1时，函数f(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上是减函数，∴f(a ＋1)>f(2)＝f(b －2)． 综上，可知f(b －2)<f(a ＋1)，故答案选C3．【题干】已知随机变量的分布规律如下，其中a 、b 、c 为等差数列，若E （）=31，则D （）为 （ ）A 、49B 、59C 、31D 、23【答案】Bi i 2005220052ξξξ【解析】由条件得：1213a b c a c b a c ⎧⎪++=⎪+=⎨⎪⎪-+=⎩解得111,,;632a b c ===所以222111111()(1)(0)(1)363332D ξ=--⨯+-⨯+-⨯5.9=故选B4．【题干】欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有 A ．34种 B ．55种 C ．89种 D ．144种 【答案】C 【解析】 解法1：分类法：第一类：没有一步两级，则只有一种走法；第二类：恰有一步是一步两级，则走完10级要走9步，9步中选一步是一步两级的，有种可能走法；第三类：恰有两步是一步两级，则走完10级要走8步，8步中选两步是一步两级的，有种可能走法；依此类推，共有=89，故选(C)。

解法2：递推法： 设走级有种走法，这些走法可按第一步来分类，第一类：第一步是一步一级，则余下的级有种走法； 第二类：第一步是一步两级，则余下的级有种走法，于是可得递推关系式，又易得，由递推可得，故选(C)。

5．【题干】设数列为等差数列，其前n 项和为S n ，已知，若对任意，都有成立，则k 的值为（ ）A ．22B ．21C ．20D ．19 【答案】C 【解析】 由题可知，得出，得出，公差，因此等差数列是一个首项为39，公差为-2的递减数列，若对任意，都有成立，则只需求出当n 为何值时，取得最大值即可，由等差数列求和公式得，，因此当n=20时，取得最大值，因为有，故；6．【题干】若a ＝22sin dxπ⎰，b ＝1cos dx⎰，则a 与b 的关系( )A ．a<bB ．a>bC ．a ＝bD ．a ＋b ＝0 【答案】A 【解析】∵(－cos x )′＝sin x ，(sin x )′＝cos x ， ∴a ＝22sin xdx π⎰＝－cos2＋cos2π＝－cos2， b ＝1cos xdx ⎰＝sin1.∴b －a ＝sin1＋cos2＝－2sin 21＋sin1＋1＝9/8－2(sin1－1/4)2， ∵0<sin1<1，∴b －a >0，a <b . 答案：A7．【题干】将奇函数 f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A≠0，ω>0，－2π<φ<2π)的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】D 【解析】因为函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数，所以φ＝k π.又因为－2π<φ< 2π，所以φ＝0. 将函数 f (x )＝A sin ωx (A ≠0，ω>0)的图象向左平移6π个单位得到 f (x )＝A sin(ωx ＋6π)， 该函数仍是奇函数，所以6πW ＝k π，φ＝6k ，k ∈Z ，ω的值可以为6.答案：D 8．【题干】在平面直角坐标系xOy 中，点A （5，0），对于某个正实数k ，存在函数f （x ）=ax 2（a ＞0），使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛+•=||||OQ OQ OA OA OP λ（λ为常数），这里点P 、Q 的坐标分别为P （1，f （1）），Q （k ，f （k ）），则k 的取值范围为（ ） A 、（2，+∞） B 、（3，+∞） C 、[4，+∞） D 、[8，+∞） 【答案】A 【解析】由题设知，点P （1，a ），Q （k ，ak 2），A （5，0），∴向量 OP =（1，a ）， OA =（5，0）， OQ =（k ，ak 2），∴||OA =（1，0），||OQ =（2211ka +，221ka ak +），∵ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+•=||||OQ OQ OA OA λ（λ为常数），． ∴1=λ（1+2211ka +），a= 221ka ak +λ，两式相除得，k -1= 221k a +，k -2=a 2k ＞0∴k （1-a 2）=2，且k ＞2．∴k= 212a -，且0＜1-a 2＜1． ∴k= 212a-＞2． 故选A ．9．【题干】对于定义域和值域均为[0，1]的函数f （x ），定义f 1（x ）=f （x ），f 2（x ）=f （f 1（x ）），，…，f n（x ）=f （f n -1（x ）），n=1，2，3，…．满足f n （x ）=x 的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤121,22210,2x x x x ，则f 的n 阶周期点的个数是（ ） A 、2n B 、2（2n -1） C 、2n D 、2n 2 【答案】C 【解析】当x ∈[0，21]时，f 1（x ）=2x=x ，解得x=0 当x ∈（ 21，1]时，f 1（x ）=2-2x=x ，解得x=32∴f 的1阶周期点的个数是2当x ∈[0，41]时，f 1（x ）=2x ，f 2（x ）=4x=x 解得x=0 当x ∈（ 41， 21]时，f 1（x ）=2x ，f 2（x ）=2-4x=x 解得x=52当x ∈（ 21， 43]时，f 1（x ）=2-2x ，f 2（x ）=-2+4x=x 解得x= 32当x ∈（ 43，1]时，f 1（x ）=2-2x ，f 2（x ）=4-4x=x 解得x= 54∴f 的2阶周期点的个数是22 依次类推∴f 的n 阶周期点的个数是2n 故选C ．10．【题干】平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为 ． 【答案】11．【题干】边长是2√2的正三角形ABC 内接于体积是4√3π的球O ，则球面上的点到平面ABC 的最大距离为_____. 【答案】4√33【解析】边长是2√2的正三角形ABC 的外接圆半径r ＝2√63．因为球O 的体积为4√3，所以半径R ＝√3． ∴球心O 到平面ABC 的距离d ＝√R 2−r 2=√33．∴球面上的点到平面ABC 的最大距离为R +d ＝4√33．故答案为：4√33．12．【题干】双曲线2224b y x -=1(b ∈N)的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________. 【答案】1 【解析】设F 1(－c ,0）、F 2(c ,0)、P (x ,y ), 则|PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2), 即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2, 又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|=4, 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2 ∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜317, 又∵c 2=4+b 2＜317,∴b 2＜35,∴b 2=1. 答案：1 13．【题干】已知函数f(x)=3sin 2x +2√3sinxcosx +5cos 2x ． （1）若f(α)=5，求tanα的值；（2）设ΔABC 三内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,且a 2+c 2−b 2a 2+b 2−c 2=c2a−c ，求f(x)在(0,B ]上的值域． 【答案】（1）tanα=0或tanα=√3；（2） [5,6]. 【解析】 ∴31−cos2α2+√3sin2α+51+cos2α2=5． ∴√3 s in2α+cos2α=1，210,10,0x y x x ky -+=-=+=k {}0,1,2--即√3 s in2α=1−cos2α ⇒2√3 s inαcosα=2sin 2α sinα=0或tanα=√3， ∴tanα=0或tanα=√3． （2）由正弦定理可得2accosB2abcosC =c2a−c ,即cosBbcosC =12a−c , 再由正弦定理得cosB sinBcosC=12sinA−sinC,化为2sinAcosB =sin (B +C )=sinA 则cosB =12即B =π3，又f(x)=3sin 2x +2√3sinxcosx +5cos 2x =√3sin2x +cos2x +4＝2sin(2x +π6)+4 由0<x ⩽π3，则12⩽sin(2x +π6)⩽1，故5⩽f(x)⩽6，即值域是[5,6].14．【题干】如图，在梯形ABCD 中，//,1,60AB CD AD DC CB ABC ︒===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为()090θθ≤，试求cos θ的取值范围.【答案】(1)详见解析；(2)1]2. 【解析】(1)在梯形ABCD 中,∵AB ∥CD ,AD =DC =CB =1,∠ABC =60°, ∴AB =2,∴AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos 60°=3, ∴AB 2=AC 2+BC 2,∴BC ⊥AC .又平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面ACFE ∩平面ABCD =AC ,BC ⊂平面ABCD , ∴BC ⊥平面ACFE .(2)由(1)知,可分别以CA ,CB ,CF 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,令FM =λ(0≤λ则C (0,0,0),AB (0,1,0),M (λ,0,1), ∴AB u u u r =(,1,0),BM u u u u r=(λ,-1,1). 设n 1=(x ,y ,z )为平面MAB 的法向量,由11·0·0AB BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r u u u ur n n ,得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩, 取x =1,则n 1-λ)为平面MAB 的一个法向量, 易知n 2=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量, ∴ cosθ=1212··==n n n n .∵0≤λ∴当λ=0时,cosθ, 当λ,cosθ有最大值12,∴cosθ∈,12].15．【题干】已知函数f(x)=2lnx −x 2. (I) 求函数y =f(x)在[12,2]上的最大值.(II)如果函数g(x)=f(x)−ax 的图像与x 轴交于两点A(x 1,0)、B(x 2,0)，且0<x 1<x 2. y =g′(x)是y =g(x)的导函数，若正常数p,q 满足p +q =1,q ≥p . 求证：g′(px 1+qx 2)<0. 【答案】(Ⅰ)-1； (Ⅱ)证明见解析. 【解析】(Ⅰ)由f(x)=2lnx −x 2得到：f ′(x)=2(1−x)(1+x)x，，故在t <1有唯一的极值点，∵g ′(x)=2x −2x −a ，，∴(2p −1)(x 2−x 1)≤0，且知，所以最大值为．(Ⅱ)，又u(t)<u(1)=0有两个不等的实根t<1，则，两式相减得到:于是，要证：，只需证：只需证：x2−x1px1+qx2+ln x1x2<0①令，只需证：在t−1<0上恒成立，又∵∵，则，于是由可知t∈(0,1)，故知在上为增函数，则，从而知x2−x1px1+qx2+ln x1x2<0，即①成立，从而原不等式成立.16．【题干】已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．（Ⅰ）求的度数．（Ⅱ）若AB=AC，求AC:BC．【答案】（1）；（2）【解析】AC为圆O的切线,∴又知,DC是的平分线,∴∴即又因为BE为圆O的直径, ∴∴（2）,,∴∽∴又AB="AC," ∴,∴在Rt⊿ABE中,17．【题干】设a，b，c均为正实数，求证：12a +12b+12c≥1b+c+1c+a+1a+b【答案】证明见解析【解析】由于a，b，c均为正实数，所以12(12a+12b)≥2√ab≥1a+b，当a=b时等号成立；1 2(12b+12c)≥2bc≥1b+c，当b=c时等号成立；1 2(12a+12c)≥2ac≥1a+c，当a=c时等号成立；三个不等式相加，即得12a +12b+12c≥1b+c+1c+a+1a+b，当且仅当a=b=c时等号成立.。