导数在研究函数中的应用

.-导数在研究函数中的应用

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第2讲 导数在研究函数中的应用

★ 知 识 梳理 ★

1. 函数的单调性与导数的关系

一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内 ；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内 . 解析：单调递增；单调递减

2. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法

若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 解析：极大值点；极小值.

3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) . (2)求方程f ′(x )=0的根.

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值. 4．求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b . （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法

2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题

3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题

（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。 问题1. 设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值；

点拨:根据求导法则有2ln 2()10x a

f x x x x

'=-

+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22

()10x F x x x x

-'=-=>，，

列表如下：

故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值

(2)22ln 22F a =-+．

（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.

问题2.已知函数)(x f 是),0(+∞上的可导函数，若()()xf x f x '>在0>x 时恒成立. （1）求证：函数x

x f x g )

()(=

在),0(+∞上是增函数； （2）求证：当0,021>>x x 时，有)()(2121x x f x x f +>+.

点拨:由()()xf x f x '>转化为

()

f x x

为增函数是解答本题关键.类似由 ()()0xf x f x '+>转化为()xf x 为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的.

（1）由x x f x g )()(=得2()()

(),xf x f x g x x

'-'=因为()()xf x f x '>， 所以()0g x '>在0>x 时恒成立，所以函数x

x f x g )

()(=在),0(+∞上是增函数.

（2）由（1）知函数x

x f x g )

()(=在),0(+∞上是增函数，所以当0,021>>x x 时，

有

2

22121112121)

()(,)()(x x f x x x x f x x f x x x x f >++>++成立，

从而)()(),()(212

12

2212111x x f x x x x f x x f x x x x f ++<++<

两式相加得)()()(2121x f x f x x f +>+

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点1: 导数与函数的单调性 题型1.讨论函数的单调性

例1(广东高考)设k ∈R ，函数1

11()11x x f x x x ⎧<⎪

-=⎨⎪--⎩

，，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨

论函数()F x 的单调性．

【解题思路】先求导再解'()0f x ≥和'()0f x ≤

x

(02)，

2

(2)+∞，

()F x '

-

+

()F x

减

极小值(2)F

增

【解析】1

,1,1()()1,1,

kx x x

F x f x kx x kx x ⎧-<⎪

-=-=⎨⎪---≥⎩

21

,1,

(1)

'()1,1,

21

k x x F x k x x ⎧-<⎪-⎪=⎨

⎪--≥⎪-⎩

对于1

()(1)1F x kx x x

=

-<-， 当0k ≤时，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数； 当0k >时，函数()F x 在1(,1)k -∞-

上是减函数，在1(1,1)k

-上是增函数； 对于1

()(1)21

F x k x x =-

-≥-，

当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数； 当0k <时，函数()F x 在211,14k ⎡⎫+

⎪⎢⎣⎭上是减函数，在211,4k ⎡⎫

++∞⎪⎢⎣⎭

上是增函数。 【名师指引】解题规律技巧妙法总结: 求函数单调区间的一般步骤.

（1） 求函数()f x 的导数()f x '（2）令()0f x '≥解不等式，得x 的范围就是单调增区间;

令()0f x '≤解不等式，得x 的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.

[误区警示]求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数2

1ln(1)2

y x x x =+--的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为(1,0)-. 题型2.由单调性求参数的值或取值范围

例2: 若3

()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围.

【解题思路】解这类题时,通常令'()0f x ≥(函数()f x 在区间[,]a b 上递增)或

'()0f x ≤(函数()f x 在区间[,]a b 上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解. 解析：

2()31f x ax '=+又()f x 在区间[－1,1]上单调递增

2()310f x ax '∴=+≥在[－1,1]上恒成立 即213a x ≥-

在xt [－1,1]的最大值为13

- 13a ∴≥- 故a 的取值范围为1

[,]3

-+∞

【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用