信息论基础教程课程论文

信道编码的发展与应用

摘要：在有扰离散信道上，只要信息传输速率不大于信道容量，就总可以找到一种信道编码方式来实现无误传输。这就是信息论的开创者香农在1948年提出的信道编码定理。信道编码定理给信道编码的研究指出了明确的方向。本文介绍了几种主要的信道编码、译码原理，分析了他们的实现方法和性能，并对各种编码的优缺点进行了总结，在给出信道编码的应用实例的基础上对信道编码的未来进行了展望。关键词：信道编码；分组码；卷积码；级联码；Turbo码信息与通信系统中的编码有4种形式：信源编码、信道编码、密码编码和多址编码。信源编码解决了通信系统的有效性问题，通过压缩信源冗余信息来提高通信的效率；信道编码则是通过增加冗余位来达到保证通信系统的可靠性（通过牺牲宽带或传输速率来换取可靠性），其基本思想是根据相关性来检测和纠正传输过程中产生的差错；密码编码则是保证了系统的安全性；多址编码主要是解决多用户通信问题。

香农第二编码定理证明，用任意接近信道容量C的传输速率R传送并且传输的差错率可以任意小的编码方法是存在的。香农还从理论上证明了，即使是随机编码，只要码组长度无限，就可以找到一种信道编码方式来实现无误传输。信道编码的任务就是寻找这种编码的。

1 信道编码的分类

1.1 分组码

把信息序列以每k个码元分组，然后把每组k个信息元按一定规

律产生r 个多余的校验元，输出序列每组长为n k r =+。每一码字的r 个校验元只与本组的k 个信息元有关，与别的信息位无关，记为分组码

(n,k)。

线性分组码是最有实用价值的一类码，比如汉明码、Golay 码、RS 码、BCH 码等都属于线性分组码。分组码线性是指码组中码元的约束关系是线性的，而分组则是对编码而言。线性分组码的编码方式是将信源输出序列分组，每组是长为k 的信息序列，然后按照一定的编码规则插入n k -位的校验位，校验位是所有信息位的线性组合，组成

n 长的码字序列。线性分组码可以用近世代数理论中有限维有限域的

矩阵来描述。

线性分组码生成矩阵为G ，信息矢量为1(,...,)k u u u =，则编码输出为:

1k n

c k u G ⨯=⨯

如果生成的是系统码, 即原始的信息出现在编码中, 则生成矩阵

k n

G

⨯可改写为:

()

:k G Q I =

其中: k I 表示k 阶单位阵，Q 为()k n k ⨯-阶阵。

线性分组码用于译码的校验矩阵为H ,满足0T

H c =和0T

H G =。

对于系统码而言,其校验矩阵为():n k H Q I -=，Q 为()k n k ⨯-阶阵, n k

I -为n k -阶单位阵。由此可知线性分组码的生成矩阵和校验矩阵的行矢量彼此正交。

线性分组码的性质是：

① 码中任意两个码字之和仍为一码字；

② 任意码字是G 的行向量12,,...,k G G G 的线性组合； ③ 零向量0=（0,0，…，0）是一个码字，称为零码字； ④

线性分组码的最小距离等于非零码字的最小重量（即汉明

重量，即对于一个非零码字而言，非零元素的个数即为汉明重量）。

【例1】 已知生成矩阵为100111001001110011101G ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，求生成的线性分组码及由H 生成的线性分组码。

解 由于()G IP =则有

111001111101P ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

又因为T Q P =则

10110001110100(Q,I)11000100110001H ⎡⎤⎢⎥

⎢

⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

由生成矩阵G 生成的（7,3）线性分组码为

把校验矩阵H 当作生成矩阵，可生成（7,4）线性分组码：

这样生成的C 和T

c 是互相正交的。 1.1.1 循环码

一个(n,k)线性分组码, 如果每个码字经过任意循环移位后仍然是一个线性分组码, 那么此码就是一个循环码。

循环码是线性分组码中最主要、最有用的一个子类，它具有完整的代数结构，编译和译码可以用具有反馈联级的移位寄存器来实现。它满足循环移位特性：码C 中任何一个码字的循环移位仍是码C 中的一个码字。

一般(n,k)线性分组码的k 个基底之间不存在规则的联系，因此我们需用k 个基底组成生成矩阵来表示一个码的特征。而循环码的k 个基底可以是同一个基底循环k 次得到，因此用一个基底就可以表示一个码的特征。我们可以用不大于（n-1）次的码多项式()C x 来唯一表示一个码字：

()1

2

1210n n C x x c x

c x c c --=+

+++

根据循环码的定义，与一般的线性分组码相比，循环码的生成矩阵结构更加简化，生成矩阵由生成多项式(x)g 决定：

1

(x),,x (x),(x)T

k g g g G

x -⎡⎤=⎣

⎦

(x)g 必为1n

x +的因子，

根据线性分组码的产生原理，则(n,k)循环码有下面的关系式：(x)u(x)g(x)v =，编码器的实现框图如图1所示。

图1 编码器的实现

g(x)h(x)0mod(1)n

x ≡+，其中：h(x)为相应的校验多项式，最高次数为n k -。

构造(n,k)循环码的步骤：

① 对(1)n

x +作因式分解，找出（n k -）此因式。

② 以该（n k -）此因式作为生成多项式，与不高于(k 1)-次的信息多项式相乘得码多项式()(x)g(x)C x m =。()C x 的次数不高于

(k 1)(n k)(n 1)-+-=-次。

【例2】 构造一个（7,4）循环码。

解 （1）对7

(1)x +作因式分解得：7

3

2

3

1(x 1)(1)(x 1)x x x x +=+++++。3次因式有两个32(1)x x ++和3

(x 1)x ++，均可以作为（7,4）循环码的生成多项式，选择不同的(x)g 会得到不同的（7,4）循环码。

（2）选3

2

(x)1g x x =++，信息多项式共有162k =种可能的组合，对应16个码字。利用()(x)g(x)C x m =可得到16个码字。