第13章-能量法

(Dl Fl ) EA
FБайду номын сангаас
F
l
Dl
l1
Dl
Dl
或
Vε
W
1 F Dl 2
(Dl Fl ) EA
EA(Dl)2 2l
F
F
F
l
Dl
l1
Dl
Dl
应变能密度 vε ——杆件单位体积内的应变能
两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上
所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀
分布的。 F
B
解： C
FN1

FN2

F
2 c os
1
2
Vε

2
FN21l 2EA

(F
2 cos
EA
)2l
A F
(120co1s0330N )2 (2103 mm) (210103 MPa)[π (25mm)2 ]
4
64.67103 N mm 64.67 J
B
C Vε 64.67 103 N mm 64.67 J
Vε
l M 2 x dx
0 2EI
l F 2 x2 dx F 2l 3
0 2EI
6EI
外载F所作的功为：
W

1 2
FwA
由功能定理有：
W Vε
即：
1 2
FwA

F 2l3 6EI
最后可得A端的挠度为：
wA

Fl 3 3EI
四 空间应力状态下的应变能密度
在线弹性范围和小变形条件下，应变能与加载 顺序无关，只取决于外力(变形)的最终值。
l l1
F
vε
Vε V

1 F Dl 2
Al
1
2
( E )
应变能密度单位： J / m3
2 E 2
2E 2
例 求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求
结点A的位移DA 。已知 P =10 kN, 杆长 l =2m，杆径 d =25mm, =30°，材料的弹性模量 E =210GPa。

dx2
则有
Vε
a 0

1 2
qx12
2EI
2
dx1


1
qa2
2
a2 0 2EI
dx2
3q2a5 20 EI
例：求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁内储存的应变 能，并利用功能原理求A端的挠度wA。
wA
解：梁的弯矩方程为：
Ax
F
l
B
M x Fx
梁内的应变能为：
单位体积的应变能，称为应变能密度，即：
v

dV dV
1、单向应力状态
dz

dy
dx

v
dV dV

1
2

1 2
2E

E
2
2
2、三向应力状态
2
比例加载：图示主单元体中， dz
各面上的应力按同一比例增加直 dy 至最终值。
3
dx
1
此时，对每一主应力，其对应的应变能仅与对
应的主应变有关，而其它主应力在该主应变上不作 功，同时考虑三个主应力，有：
应变能——弹性体受力而变形时所积蓄的能量。 F
l
Dl
l1
应变能的计算： 单位： 焦耳J
能量守恒原理
Vε W
弹性体的 功能原理
1J 1N m
拉 (压）杆在线弹性范围内的应变能
外力功：
W 1 F Dl
杆内应变能：
Vε

2 W

1
F

Dl
2
F 2l FN2l
2EA 2EA F
I
I-I
A
刚性板
d2 d1 D1
Me
B
C
I l1
l2
解： 已求得两轴的扭矩
T1 M e
T2 M e
杆系扭转应变能为
Vε

T12l1 2GIp1

T2 2l2 2GIp2
A Me
C
B
M e2l1 M e2l2 2GIp1 2GIp2
而
Vε W M eC / 2
C

M el1 GIp1
解：分段列弯矩方程：
A
a C qa a x1 B BC段： 0 x1 a
AC段： 0 x2 a
M
x1



1 2
qx12
M
x2


qax2

qa
x2

a 2


1 2
qa2
因为：
Vε
a 0
M 2 x1
2EI

dx1

a 0
M 2 x2
2EI
或
Vε

1 GIp 2l
2
Me
Me
Mel
GIp


当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时
Vε

n i1
Ti 2li 2GIp
或
Vε

n i1
GIp 2li
i2
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
AB
B
lAB
A
lAC
CA C
例 试用能量法求图示杆系截面C处的扭转角。图中
Me，l1，l2，D1，d1，d2及杆材的切变模量G均为已 知。

M el2 GIp2

32M GπD14 (1
el1

4
)

32M el2
Gπd
4 2
其转向与Me 相同。
三 弯曲应变能
图示纯弯曲梁，弹性范围内的变形有：
l Mel EI
或
Me

EI l


Me

Me
l
O

(a)
(b)
l Mel EI
Me

EI l

可见，满足线性关系。
西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室
第11章 能 量 法
§11.1 概 述
1.能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形
固体的位移、变形和内力等的方法。 2.能量法的应用范围十分广泛：
（1）线弹性体；非线性弹性体
（2）静定问题；超静定问题 （3）是有限单元法的重要基础
§11.2 杆内的应变能 一 拉（压）杆的应变能
dV

1 2

1dydz

1dx


1 2

2dzdx


2dy


1 2

3dxdy


3dz


1 2
11

2 2
33
M(x)
dx
M(x)+d M(x)
dVε

M 2 x dx
2EI
全梁的弯曲应变能为：
l
l M 2x
Vε 0 dVε 0 2EI dx
M x 需分段列出时，V分段求，然后求和。
对细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比可忽略。
例：求图示弯曲刚度为EI的梁内储存的应变能。
q x2
1
2
而
1 2
FΔA

Vε
A F
ΔA

2Vε F

2 64.67103 N mm 100103 N
1.293mm()
二 等直圆杆扭转时的应变能
等直圆杆仅在两端受外力偶矩 Me 作用且 p 时
Me
Me
Vε
W

1 2
M
e

1 2
M e2l GIp
1 T 2l 2 GIp
外力功：
W

1 2
M e
功能转换定律： W Vε
则应变能为：
Vε
W

1 2
M e

M e2l 2EI
或：
Vε

EI 2l
2
对横力弯曲：弯曲应变能+剪切应变能

FS(x) d
对 弯 曲 应 变 能 ， 取 dx 段 （ 见 左 图）：dx很小，dM(x)为一阶无 穷小量，则dx段上的应变能为