(完整版)华东师范大学出版社新九年级下册数学知识点总结

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华师大版九年级下册数学知识点总结

华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0，可以为零。

二次函数的定义域a≠，而b c的性的绝对抛物2+ax c)2h-的)2h k-+ 平移步)2h k-+)h k ，；从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。

五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。

当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值24ac b -。

2. 当时，y 随x 注意： 1. ⑴ ⑵2. 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴。

⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧。

2021年华东师大版九年级下数学知识点总结

2021年华东师大版九年级下数学知识点总结1华师大版九年级下册数学知识点总结华师大版九年级下册数学知识点总结第第二六二六章章二次函数二次函数一.二次函数概念一.二次函数概念1.二次函数的概念一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2.二次函数2yaxbxc的结构特征等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。

abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

二.二次函数的基本形式二.二次函数的基本形式1.二次函数基本形式2yax的性质a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.2yaxc的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0。

的增大而增大；0x时，y有最大值0。

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x 时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c。

0a向下0c，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x 的增大而增大；0x时，y有最大值c。

23.2yaxh的性质4.2yaxhk的性质三.三.二次函数图象的平移二次函数图象的平移1.平移步骤方法一将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下2.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二cbxaxy2沿y轴平移向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，Xhxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0。

华师大版九年级下册数学知识点总结

华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。

⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：3.()2y a x h =-的性质： 4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。

华师大版九年级下册初三数学(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

华师大版九年级下册数学重难点突破全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习二次函数的概念—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.【要点梳理】要点一、函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值.要点诠释：对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.要点二、函数的三种表示方法表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.对照表如下：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a, b, c 是常数，a≠0）的函数叫做x 的二次函数.若b=0，则y=ax 2+c ；若c=0，则y=ax 2+bx ；若b=c=0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．【典型例题】类型一、函数的相关概念1、（2016•南宁）下列各曲线中表示y 是x 的函数的是（）A. B. C. D.【思路点拨】根据函数的意义求解即可求出答案．【答案】 D ；【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，故D 正确．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．举一反三：【变式】下列等式中，y 是x 的函数有（）个.22320,1,||,||x y x y y y x x y -=-==== A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C ；要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于221,x y -= 当x 取2时，y与它对应，对于||x y =，当x 取2时，y 有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数定义的要求：y 都有惟一确定的值与x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义.2、求出下列函数中自变量x 的取值范围.（1）．52+-=x x y（2）．423xy x =- （3）．y =（4）．y =（5）．y =（6）．y =【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的x 的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等. 【答案与解析】解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义；（2）．423x y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32；（3）．y =2x ＋3≥0，即32x ≥-；（4）．y =2x －1＞0，即12x >；（5）．y =x 为任何实数，函数都有意义；（6）．y =，要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2. 【总结升华】关于自变量的取值范围，在实际问题中，还要考虑实际情况.3、若y 与x 的关系式为2-+4+5y x x =，当x ＝2时，y 的值为（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【思路点拨】把2x =代入关系式即可求得函数值. 【答案】B ；【解析】224259y =-+⨯+=.【总结升华】y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 类型二、函数的三种表示方法4、一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．(1)由记录表推出这5小时中水位高度y （米）随时间t•（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？【思路点拨】观察表格发现随着时间的均匀增加，水位高度的增加量相同，可知该函数为一次函数. 【答案与解析】解：(1)由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0.05米，•这样的规律可以表示为：y=0.05t+10（0≤t ≤5）这个函数的图象如下图所示：(2)再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0.05t+10的函数值，从解析式容易算出：y=0.05×7+10=10.35,从函数图象也能得出这个值数．答：2小时后，预计水位高10.35米．【总结升华】本题综合考察了列表法、解析法和图像法，是一道不错的试题. 类型三、二次函数的概念5、当常数m≠ 时，函数y=（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m+2）x+2是二次函数；当常数m= 时，这个函数是一次函数．【思路点拨】根据一次函数与二次函数的定义求解.【答案与解析】解：由函数y=（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m+2）x+2是二次函数，得 m 2﹣2m ﹣8m≠0．解得m≠4，m≠﹣2，由y=（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m+2）x+2是一次函数，得，解得m=4，故答案为：4，﹣2；4．【总结升华】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不能为零，一次函数一次项的系数不能为零．举一反三：【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )A.22x y -= B.xx y 12-= C.22)2(x x y --= D.123+-=x x y 【答案】A 【变式2】若函数是二次函数，则m 的值是．【答案与解析】解：若函数是二次函数，则m 2﹣9m+20=2，再利用m ﹣6≠0，故（m ﹣3）（m ﹣6）=0，m≠6，解得：m=3．故答案为：3．二次函数的概念——巩固练习（基础）【巩固练习】一.选择题1．如图，表示y 是x 的函数图象是（）2. 当x=4时，函数2231y x x =-+-的值是（） A ．-19 B ．-20 C ．-21 D ．-223. 在函数31y x =-中，自变量x 的取值范围是（）A ．13x <B ．13x ≠-C ．13x ≠D ．13x >4．矩形的周长为18cm ，则它的面积S （2cm ）与它的一边长x （cm ）之间的函数关系式是（）A ．(9)(09)S x x x =-<<B ．(9)(09)S x x x =+<≤C ．(18)(09)S x x x =-<≤D ．(18)(09)S x x x =+<<5．如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）间的函数关系用图象表示是（）6. （2017•浦东新区一模）在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（） A ．y=2x 2 B ．y=2x ﹣2C ．y=ax 2D ．二.填空题7. 油箱中有油30kg ，油从管道中匀速流出，1小时流完，•求油箱中剩余油量Q （kg ）与流出时间t （分钟）间的函数关系式为_____________，•自变量的范围是____________．当Q ＝10 kg 时，t ＝__________（分钟）． 8．（2016•银川校级一模）当m= 时，函数是二次函数．9. 用一根长为800厘米的木条，做一个长方形的窗框，若宽为x 厘米，则它的面积)(2cm y 与x )(cm 之间的函数解析式y=____________. 10.当x________________时，函数23y x x =+-.11.将(23)(1)3y x x =+--化成二次函数的一般式是：________________.12.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，如果存款额为10000元，则两年后的本息和y （元）的表达式为________________. 三.解答题13.某工厂现在年产值25万元，计划今后每年增加2万元. （1）写出年产值y (万元)与年数x 的函数关系；（2）画出函数图象；（3）求计划7年后的年产值.14.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品的日销量y （件）与每件商品的销售价x （元）满足一次函数关系式y=162-3x ，求商场销售这种商品的日销售利润W （元）与每件商品的销售价x 元之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.15.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍). （1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围. （2）设该宾馆每天的利润为w 元，请写出w 关于x 的函数关系式.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】把握函数的定义，对于自变量x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值和它对应. 2. 【答案】C.【解析】将x=4代入函数2231y x x =-+-即可求得. 3. 【答案】D ；【解析】要使函数有意义，需3x －1＞0. 4. 【答案】A ；【解析】矩形的另一边长为18292xx -=-，所以(9)(09)S x x x =-<<. 5. 【答案】D ； 6.【答案】A ；【解析】A 、是二次函数，故A 符合题意；B 、是一次函数，故B 错误；C 、a=0时，不是二次函数，故C 错误；D 、a ≠0时是分式方程，故D 错误.二.填空题7. 【答案】t Q 5.030-=；600≤≤t ；40．【解析】油从油箱里流出的速度为30÷60=0.5/min kg ，所以函数关系式t Q 5.030-= 8.【答案】1．【解析】解：根据题意得：m 2+1=2且m+1≠0，解得m=±1且m ≠﹣1，所以m=1． 9. 【答案】2400y x x =-+【解析】宽为xcm ，则长为（400-x ）cm ，所以面积2(400)400y x x x x =-=-+. 10.【答案】-2≤x ≤3；【解析】二次根式有意义，需要被开方数大于等于0，即2030x x +≥⎧⎨-≥⎩.11.【答案】226y x x =+-.12.【答案】2100002000010000y x x =++【解析】定期存款一年后本息和为：10000（1+x ）元，定期存款两年后本息和为：10000（1+x ）2元.二.解答题 13.【解析】解：（1）252y x =+ （2）通过列表，描点，画出下图：（3）当x ＝7时，y ＝25＋2×7＝25＋14＝39（万元），故计划7年后的年产值是39万元.14.【解析】解：由题意得，每件商品的销售利润为（x-30）元，那么y 件的销售利润为 W=y×（x-30），又∵y=162-3x ， ∴W= (x-30)(162-3x)=-3x 2+252x-4860 ∵30016230x x -⎧⎨-⎩≥≥，解得30≤x ≤54.∴y=-3x 2+252x-4860（30≤x ≤54）. 15.【解析】解：（1）y=50—10x（0＜x ≤160，且为10的正整数倍）（2）()180205010x w x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭=2134800010x x -++（0＜x ≤160，且为10的正整数倍）二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1．（2016•潮南区模拟）二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2的顶点的坐标是，对称轴是．【思路点拨】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可．【答案】（3，2），直线x=3．【解析】二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2；顶点坐标是（3，1），对称轴是直线x=3．故答案为：（3，2），直线x=3．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．举一反三：【课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 391919 练习2】【变式】将抛物线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为．【答案】23127y x x =-+-.2．将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.【答案与解析】解：y=x 2﹣6x+5=（x ﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）， ∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2﹣2．【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．举一反三：【课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 391919 练习2】【变式】二次函数21(3)42y x =-+的图象可以看作是二次函数212y x =的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．【答案】上；右.类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3．二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点．（1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A （0，﹣1）代入y 1=a （x ﹣2）2，得：﹣1=4a ，即a=﹣，∴二次函数解析式为y 1=﹣（x ﹣2）2=﹣a 2+a ﹣1；设直线AB 解析式为y=kx+b ，把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB 解析式为y=x ﹣1；（2）根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y 1=y 2时，x=0或x=2，y 1＞y 2时，0＜x ＜2．【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．4．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：212y x =，2132y x =+，2132y x =-．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）请你说出抛物线212y x c =+的开口方向，对称轴及顶点坐标．【答案与解析】（1）列表：x... -3 -2 -1 0 1 2 3 (2)12y x =…142 212 012 2142…描点、连线，可得抛物线22y x =．将212y x =的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到2132y x =+与2132y x =-的图象（如图所示）．抛物线212y x =，2132y x =+与2132y x =-开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）抛物线212y x c =+的开口向上，对称轴是y 轴（或直线0x =），顶点坐标为（0，c ）．【总结升华】先用描点法画出212y x =的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．规律总结：2y ax k =+k ←−−−−−向上平移个单位2y ax =k −−−−→向下平移个单位2(0)y ax k k =->．二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.抛物线2(2)3y x =-+-的顶点坐标是（）A ．(2，-3)B ．(-2，3)C ．(2，3)D ．(-2，-3) 2.函数y=21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（） A.y=21(x －1)2+2 B.y=21(x －1)2+21 C.y=21(x －1)2－3 D.y=21(x+2)2－1 3．抛物线y=21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( ) A.y=21(x+3)2－2 B.y=21(x －3)2+2 C.y=21(x －3)2－2 D.y=21(x+3)2+2 4．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（）A ．2)1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2++=x yD ．2)1(2-+=x y5．由二次函数22(3)1y x =-+，可知（）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（）.A. B. C. D.二、填空题7. （2015•怀化）二次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为，对称轴是直线．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_ _____. 9．（2016•宝山区一模）抛物线y=﹣2（x ﹣3）2+4的顶点坐标是．10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．11．将抛物线22y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____． 12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知3y kx =-+的图象经过点C ，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题13．（2016•盐城校级期末）已知二次函数y=（x ﹣2）2﹣4．（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出当y ＜0时x 的取值范围．14. 已知抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线2()y a x h k =-+；（1）求出a ，h ，k 的值；（2）在同一直角坐标系中，画出2()y a x h k =-+与212y x =-的图象；（3）观察2()y a x h k =-+的图象，当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，函数y 有最________值，最________值是y =________；（4）观察2()y a x h k =-+的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？15．（2015•珠海）已知抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】D ；【解析】由顶点式可求顶点，由20x +=得2x =-，此时，3y =-． 2.【答案】D ；【解析】通过配方即可得到结论. 3.【答案】A ；【解析】抛物线 y=21x 2向左平移3个单位得到y=21(x+3)2，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y=21(x+3)2－2.4.【答案】B ；【解析】通过配方即可得到结论. 5.【答案】C ；【解析】可画草图进行判断. 6.【答案】D ；【解析】解：A 、由直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，n 2＜0，错误；B 、由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知，m ＞0，由直线可知，﹣m ＞0，错误；C 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＜0，错误；D 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＞0，正确，故选D ．二、填空题 7．【答案】（﹣1，﹣1）； x=﹣1；【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴二次函数y=x 2+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．8．【答案】x ≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y 随x 的增大而减小，故x ≥－1.9.【答案】（3，4）．【解析】y=﹣2（x ﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）． 10．【答案】249y x x =---；【解析】设2(2)5y a x =+-过点（1，－14）得1a =-，所以22(2)549y x x x =-+-=---. 11．【答案】21027y x x =-+；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解. 12．【答案】 1；【解析】C(2，-6)，可求932y x =-+与x 轴交于2(,0)3，与y 轴交于(0，3)，∴ 123123S =⨯⨯=. 三、解答题13.【答案与解析】x … 0 1 2 3 4 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …（2）由图象可知：当y ＜0时x 的取值范围是0＜x ＜4． 14.【答案与解析】（1）由212y x =-向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是21(1)22y x =--+．∴ 12a =-，1h =，2k =．（2）函数21(1)22y x =--+与212y x =-的图象如图所示．（3）观察2()y a x h k =-+的图象，当1x <时，y 随x 的增大而增大；当1x =时，函数y 有最大值，最大值是2y =．（4）由图象知，对于一切x 的值，总有函数值2y ≤． 15.【答案与解析】（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，∴2a+b=0；（2）解：∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b﹣8=0， ∵2a+b=0， ∴b=﹣2a ，∴16a﹣8a ﹣8=0，解得：a=1，则b=﹣2，∴ax 2+bx ﹣8=0为：x 2﹣2x ﹣8=0，则（x ﹣4）（x+2）=0，解得：x 1=4，x 2=﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1. 会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3.经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++．2.一般式化成顶点式2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭．对照2()y a x h k =-+，可知2bh a=-，244ac b k a -=．∴ 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．要点诠释：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象与性质2.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2bx a=-时，244ac b y a-=最值．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当2bx a=-时，244ac b y a -=最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，222y ax bx c =++最大值；当x ＝x 1时，211y ax bx c =++最小值，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，2b x a=-时y 值的情况．【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质1．求抛物线2142y x x =-+-的对称轴和顶点坐标．【答案与解析】解法1（配方法）：2221114(2)4(211)4222y x x x x x x =-+-=---=--+-- 211(1)422x =--+-217(1)22x =---．∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =．解法2（公式法）：∵ 12a =-，1b =，4c =-，∴ 11122()2b x a=-=-=⨯-，2214(4)147214242ac b a ⎛⎫⨯-⨯-- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． ∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =．解法3（代入法）：∵ 12a =-，1b =，4c =-， ∴ 111222b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．将1x =代入解析式中得，21711422y =-⨯+-=-．∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =．【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．举一反三：【课程名称：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 392790 例题1】【变式】把一般式2286y x x =-+-化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2). （2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.2．（2016•泰安）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由y=ax 2+bx+c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到一次函数y=ax+b 的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．【答案】A ．【解析】解：∵y=ax 2+bx+c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y=ax+b 的图象经过一，二，三象限．故选A ．【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的取值范围．类型二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值3．求二次函数211322y x x =++的最小值. 【答案与解析】解法1(配方法)：∵ 2221111(6)(639)2222y x x x x =++=++-+ 21(3)42x =+-，∴ 当x ＝-3时，4y =-最小．解法2(公式法)：∵ 102a =>，b ＝3，12c = ∴ 当331222b x a =-=-=-⨯时，22114341922414242ac b y a ⨯⨯---====-⨯最小．解法3(判别式法)：∵ 211322y x x =++，∴ 26(12)0x x y ++-=．∵ x 是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4．∴ y 有最小值-4，此时2690x x ++=，即x ＝-3．【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择．举一反三：【课程名称：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 392790 例题2】【变式】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩形场地的面积S 最大？【答案】(30)S L L =-2(30)L L =-- 2(15)225L =--+（0<L <30）．15L ∴=（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2．类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠性质的综合应用4．已知二次函数21y x bx c =+++的图象过点P(2，1)．（1）求证：24c b =--；（2）求bc 的最大值．【答案与解析】（1）∵ 21y x bx c =+++的图象过点P(2，1)，∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．（2）22(24)2(2)2(1)2bc b b b b b =--=-+=-++．∴ 当1b =-时，bc 有最大值．最大值为2．【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b 、c 的关系即可．（2）利用（1）中b 与c 的关系，用b 表示bc ，利用函数性质求解．举一反三：【变式】（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A. 1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4，①正确；∵x=2时，y ＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B ．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 将二次函数223=-+的形式，结果为（）．()y x h k=-+化为2y x xA．2y x=++D．2y x=-+(1)2(1)2=-+C．2(1)4y x=++B．2y x(1)42．（2016•益阳）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小3．若二次函数25y x k=-+，则b、k的值分别为（）．=++配方后为2y x bx(2)A．0，5 B．0，1 C．-4，5 D．-4，14．抛物线2=++的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式y x bx c为223=--，则b、c的值为（）．y x xA.b=2，c=2B. b=2，c=0C. b= -2，c= -1D. b= -3，c=25．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值( )A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题7．（2015•怀化）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．8．已知二次函数22=-+，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．y ax ax c9．二次函数2y x bx c=++的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．10．二次函数23=-+的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m的值是________．y x mx第10题第11题11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___ ；第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __. 12．（2016•玄武区一模）如图为函数：y=x 2﹣1，y=x 2+6x+8，y=x 2﹣6x+8，y=x 2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x 2﹣6x+8的图象的序号是．三、解答题 13．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．14. 如图所示，抛物线254y ax ax a =-+与x 轴相交于点A 、B ，且过点C （5，4）．（1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．15.已知抛物线215322y x x =---： (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x 取何值时，y 随x 的增大而增大？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？函数y 有最大值还是最小值？最值为多少？【答案与解析】一、选择题。

华东师范大学出版社九年级下册数学知识点总结

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。

⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

y ax2. 2=+的性质：y ax c Array3. ()2=-的性质：y a x h4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。

华师大版九年级下册数学知识点总结教学文案

华师大版九年级下册数学知识点总结华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0，可以为零。

二次函数的定义a≠，而b c域是全体实数。

2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。

⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

Array 2. 2y ax c=+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

华师大版九年级下册数学重点整理

华师大版九年级下册数学重点整理第一章：有理数的运算
- 有理数的加减法
- 有理数的乘除法
- 有理数的混合运算
- 有理数的绝对值
第二章：平方根与立方根
- 平方根的概念与性质
- 平方根的运算
- 立方根的概念与性质
- 立方根的运算
第三章：代数式的加减
- 代数式的加减运算
- 多项式的加减运算
- 简单的代数方程
第四章：一次函数与一次方程
- 一次函数的性质与图像
- 一次函数的斜率与截距
- 一次方程的解
- 实际问题中的一次方程
第五章：图形的平移、翻折与旋转
- 平移变换
- 翻折变换
- 旋转变换
第六章：几何体的表面积和体积
- 立体图形的表面积
- 立体图形的体积
- 空间几何体的投影
第七章：数据的收集与整理
- 调查与统计
- 数据的整理与显示
- 数据的分析与解读
第八章：概率与统计
- 随机事件与样本空间
- 事件的概率
- 统计图表的制作和分析
以上是华师大版九年级下册数学的重点整理，通过学习这些知识，你将能够更好地理解与应用数学的基本概念和运算方法。

加油！。

【华东师大版】2021年九年级数学下册(全集)中考知识点汇总

(华东师大版)九年级|数学下册(全册)（中|考）知识点汇总第|一局部教材知识梳理·系统复习第|一单元数与式第1讲实数第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理第3讲分式二、知识清单梳理第4讲二次根式第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组) 四、知识清单梳理第6讲一元二次方程第7讲分式方程解法步骤:(1)去分母, 将分式方程化为整式方程;(2)解所得的整式方程;(3) 检验: 把所求得的x的值代入最|简公分母中, 假设最|简公分母为0, 那么应舍去．使分式方程中的分母为0的根即为增根. 例: 假设分式方程11x=-有增根, 那么增根为1.知识点二: 分式方程的应用4.列分式方程解应用题的一般步骤(1)审题; (2)设未知数; (3) 列分式方程; (4)解分式方程;(5)检验: (6)作答．在检验这一步中, 既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解, 又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.第8讲一元一次不等式(组)七、知识清单梳理知识点一: 不等式及其根本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念(1 )不等式: 用不等号(＞, ≥, ＜, ≤或≠)表示不等关系的式子.(2 )不等式的解: 使不等式成立的未知数的值.(3 )不等式的解集: 使不等式成立的未知数的取值范围.例: "a与b的差不大于1〞用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的根本性质性质1: 假设a＞b,那么a±c>b±c;性质2: 假设a＞b,c>0, 那么ac>bc,ac>bc;性质3: 假设a＞b,c<0, 那么ac<bc,ac<bc.牢记不等式性质3, 注意变号.如: 在不等式－2x＞4中, 假设将不等式两边同时除以－2, 可得x＜2.知识点二: 一元一次不等式3.定义用不等号连接, 含有一个未知数, 并且含有未知数项的次数都是1的,左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例: 假设230mmx++>是关于x的一元一次不等式, 那么m的值为-1.4.解法(1 )步骤: 去分母; 去括号; 移项; 合并同类项; 系数化为1.失分点警示系数化为1时, 注意系数的正负性, 假设系数是负数, 那么不等式改变方向.(2 )解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三: 一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起, 就组成一个一元一次不等式组．(1 )在表示解集时"≥〞, "≤〞表示含有, 要用实心圆点表示; "＜〞, "＞〞表示不包含要用空心圆点表示．6.解法先分别求出各个不等式的解集, 再求出各个解集的公共局部7.不等式组解集的类型假设a ＜b解集数轴表示口诀(2 )不等式(组)的解集情况,求字母系数时, 一般先视字母系数为常数, 再逆用不等式(组)解集的定义, 反推出含字母的方程, 最|后求出字母的值.如: 不等式(a -1 )x＜1 -a的解集是x＞-1, 那么a的取值范围是a＜1.x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小, 小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大, 小小取不了知识点四: 列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题(1 )一般步骤: 审题; 设未知数; 找出不等式关系; 列不等式; 解不等式; 验检是否有意义.(2 )应用不等式解决问题的情况:: 含有"至|少(≥)〞、"最|多(≤)〞、"不低于(≥)〞、"不高于(≤)〞、"不大(小)于〞、"超过(＞)〞、"缺乏(＜)〞等;: 如"更省钱〞、"更划算〞等方案决策问题, 一般还需根据整数解,得出最|正确方案注意:列不等式解决实际问题中, 设未知数时, 不应带"至|少〞、"最|多〞等字眼, 与方程中设未知数一致.第10讲一次函数知识点一: 一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念(1 )概念: 一般来说, 形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地, 当b ＝0时,称为正比例函数．(2 )图象形状: 一次函数y＝kx＋b是一条经过点(0,b)和(-b/k, 正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点(0,0 )的直线.例: 当k＝1时, 函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k, b符号K＞0,b＞0K＞0,b＜0K＞0, b =0 k<0,b>0k<0,b<0k<0,b＝0(1 )一次函数y =kx +b中, k确定了倾斜方向和倾斜程度, b确定了与y轴交点的位置.(2 )比拟两个一次函数函数值的大小: 性质法, 借助函数的图象,也可以运用数值代入法.例: 函数y =－2x＋b, 函数值y随x的增大而减小(填"增大〞或"减小〞)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标: 求一次函数与x轴的交点, 只需令y =0,解出x即可; 求与y轴的交点, 只需令x =0一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎪⎫－bk, 与y轴的交点是(0,b);(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0, 0)．例:一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是( -2,0 ), 与y轴交点的坐标是(0,2 ).数的图象和性质k>0 图象经过第|一、三象限(x、y同号)每个象限内, 函数y的值随x的增大而减小.否满足其解析式; ②把点的横、纵坐标相乘, 判断其乘积是否等于k.失分点警示(2 )反比例函数值大小的比拟时, 首|先要判断自变量的取值是否同号, 即是否在同一个象限内, 假设不在那么不能运用性质进行比拟, 可以画出草图, 直观地判断.k<0 图象经过第二、四象限(x、y异号)每个象限内, 函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征 (1 )由两条曲线组成, 叫做双曲线;(2 )图象的两个分支都无限接近x轴和y轴, 但都不会与x轴和y轴相交;(3 )图象是中|心对称图形, 原点为对称中|心; 也是轴对称图形, 2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例: 假设(a, b)在反比例函数kyx=的图象上, 那么(－a, －b)在该函数图象上.(填"在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标, 设函数解析式, 代入求出反比例函数系数k即可.例: 反比例函数图象过点(－3, －1 ),那么它的解析式是y =3/x.知识点二: 反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义(1 )意义: 从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线, 垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.(2 )常见的面积类型:失分点警示相关面积, 求反比例函数的表达式, 注意假设函数图象在第二、四象限, 那么k＜0.例: 反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3, 那么该反比例函数解析式为:3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合(1 )确定交点坐标: 【方法一】一个交点坐标为(a,b ), 那么根据中|心对称性, 可得另一个交点坐标为( -a, -b ).【方法二】联立两个函数解析式, 利用方程思想求解.(2 )确定函数解析式: 利用待定系数法, 先确定交点坐标, 再分别代入两个函数解析式中求解(3 )在同一坐标系中判断函数图象: 充分利用函数图象与各字母系数的关系,可采用假设法, 分k＞0和k＜0两种情况讨论, 看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.(4 )比拟函数值的大小: 主要通过观察图象, 图象在上方的值大, 图象在下方的值小, 结合交点坐标, 确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时, ①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积; ②也要注意系数k的几何意义.例: 如下图, 三个阴影局部的面积按从小到大的顺序排列为: S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三: 反比例函数的实际应用7.一般步骤(1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系;(2设出函数表达式;(3 )依题意求解函数表达式;(4 )根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质十、知识清单梳理第13讲二次函数的应用第9讲平面直角坐标系与函数点P (x,y )在第四象限⇔x＞0, y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征:①在横轴上⇔y＝0; ②在纵轴上⇔x＝0; ③原点⇔x＝0, y＝0.(3 )各象限角平分线上点的坐标①第|一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等;②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数(4 )点P (a,b )的对称点的坐标特征:①关于x轴对称的点P1的坐标为(a, －b); ②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a, b);③关于原点对称的点P3的坐标为(－a, －b)．(5 )点M (x,y )平移的坐标特征:M (x,y ) M1(x +a,y)M2(x +a,y +b)坐标变化情况相同.(3 )平面直角坐标系中求图形面积时, 先观察所求图形是否为规那么图形, 假设是,再进一步寻找求这个图形面积的因素, 假设找不到, 就要借助割补法, 割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线, 从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题(1 )点M(a,b)到x轴, y轴的距离: 到x轴的距离为|b|; )到y轴的距离为|a|．(2 )平行于x轴, y轴直线上的两点间的距离:点M1(x1,0), M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|, 点M1(x1, y), M2(x2, y)间的距离为|x1－x2|;点M1(0, y1), M2(0, y2)间的距离为|y1－y2|, 点M1(x, y1), M2(x, y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等; 平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二: 函数4.函数的相关概念(1 )常量、变量: 在一个变化过程中, 数值始终不变的量叫做常量, 数值发生变化的量叫做变量．(2 )函数: 在一个变化过程中, 有两个变量x和y, 对于x的每一个值, y都有唯一确定的值与其对应, 那么就称x是自变量, y是x的函数．函数的表示方法有: 列表法、图像法、解析法.(3 )函数自变量的取值范围: 一般原那么为: 整式为全体实数; 分式的分母不为零; 二次根式的被开方数为非负数; 使实际问题有意义．失分点警示函数解析式, 同时有几个代数式, 函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共局部. 例: 函数y=35xx+-中自变量的取值范围是x≥ -3且x≠5. 5.函数的图象(1 )分析实际问题判断函数图象的方法:①找起点: 结合题干中所给自变量及因变量的取值范围, 对应到图象中找对应点;②找特殊点: 即交点或转折点, 说明图象在此点处将发生变化;③判断图象趋势: 判断出函数的增减性, 图象的倾斜方向.(2 )以几何图形(动点)为背景判断函数图象的方法:①设时间为t (或线段长为x ), 找因变量与t(或x)之间存在的函数关系, 用含t(或x)的式子表示, 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧: ①当函数图象从左到右呈"上升〞( "下降〞)状态时, 函数y随x的增大而增大(减小); ②函数值变化越大,图象越陡峭; ③当函数y值始终是同一个常数, 那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线十三、知识清单梳理知识点一: 直线、线段、射线关键点拨xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O第15讲一般三角形及其性质十四、知识清单梳理1.三角形的分类(1 )按角的关系分类(2 )按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形失分点警示:在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时, 必须考虑三角形三边关系.例: 等腰三角形两边长分别是3和6, 那么该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边．3.角的关系(1 )内角和定理:①三角形的内角和等180°;②推论: 直角三角形的两锐角互余.(2 )外角的性质:①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时, 假设所给条件含比例,倍分关系等, 列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰(边)三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性质(1 )角平分线、高结合求角度时, 注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.(2 )当同一个三角形中出现两条高, 求长度时, 注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点(内心)中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部; 直角三角形的三条高相交于直角顶点; 钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①, AD平分∠BAC, AE⊥BC, 那么∠α =12∠BAC -∠CAE =12(180° -∠B -∠C ) - (90° -∠C ) =12(∠C -∠B );如图②, BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线, 那么有∠O =12∠A +90°;如图③, BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线, 那么∠O =12∠A, ∠O , =12∠O;如图④, BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线, 那么∠O =90° -12∠A.对于解答选择、填空题, 可以直接通过结论解题, 会起到事半功倍的效果.知识点二: 三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示: 运用全等三角形的性质时, 要注意找准对应边与对应角.质7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS (三边对应相等 ) SAS (两边和它们的夹角对应相等 )ASA (两角和它们的夹角对应相等 ) AAS (两角和其中一个角的对边对应相等 )失分点警示如图, SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等 (HL )(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用(1 )利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度: 将特征的边或角放到两个全等的三角形中, , 注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. (2 )全等三角形中的辅助线的作法:①直接连接法: 如图①, 连接公共边, 构造全等.②倍长中线法: 用于证明线段的不等关系, 如图②, 由SAS 可得△ACD ≌△EBD, △ABE 中, AB +BE ＞AE, 即AB +AC ＞2AD.③截长补短法: 适合证明线段的和差关系, 如图③、④.例:如图, 在△ABC 中, ∠1 =∠2, BE =CD, AB =5, AE =2, 那么CE =3.第16讲等腰、等边及直角三角形十五、知识清单梳理知识点一: 等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形(1 )性质①等边对等角: 两腰相等, 底角相等, 即AB ＝AC ∠B ＝∠C; ②三线合一: 顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性: 等腰三角形是轴对称图形, 直线AD 是对称轴. (2 )判定①定义: 有两边相等的三角形是等腰三角形;②等角对等边: 即假设∠B ＝∠C, 那么△ABC 是等腰三角形.(1 )三角形中 "垂线、角平分线、中线、等腰〞四个条件中, 只要满足其中两个, 其余均成立. 如: 如左图, AD ⊥BC,D 为BC 的中点, 那么三角形的形状是等腰三角形.失分点警示: 当等腰三角形的腰和底不明确时, 需分类讨论. 如假设等腰三角形ABC 的一个内角为30°, 那么另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.(1 )性质①边角关系: 三边相等, 三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC, ∠BAC＝∠B＝∠C＝60°;②对称性: 等边三角形是轴对称图形, 三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.(2 )判定①定义: 三边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等(均为60°)的三角形是等边三角形;③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即假设AB＝AC, 且∠B＝60°, 那么△ABC是等边三角形.(1 )等边三角形是特殊的等腰三角形, 所以等边三角形也满足"三线合一〞的性质.(2 )等边三角形有一个特殊的角60°, 所以当等边三角形出现高时, 会结合直角三角形30°角的性质, 即BD =1/2AB. 例: △ABC中, ∠B =60°, AB =AC, BC =3, 那么△ABC的周长为9.知识点二: 角平分线和垂直平分线(1 )性质: 角平分线上的点到角的两边的距离相等．即假设∠1 ＝∠2, PA⊥OA, PB⊥OB, 那么PA＝PB.(2 )判定: 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例: 如图, △ABC中, ∠C =90°, ∠A =30°, AB的垂直平分线交AC于D, 交AB于E, CD =2, 那么AC =6.(1 )性质: 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即假设OP垂直且平分AB, 那么PA＝PB.(2 )判定: 到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三: 直角三角形的判定与性质(1)两锐角∠A＋∠B＝90°;(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即假设∠B＝30°那么AC＝12AB;(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即假设CD是中线, 那么CD＝12 AB.(4)勾股定理: 两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .(1 )直角三角形的面积S =1/2ch =1/2ab(其中a,b为直角边, c为斜边, h是斜边上的高), 可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.(2 )两边, 利用勾股定理求长度, 假设斜边不明确, 应分类讨论. (3 )在折叠问题中, 求长度, 往往需要结合勾股定理来列方程解决.(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即假设∠C＝90°,那么△ABC是Rt△;(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半, 那么这个三角形是直角三角形．即假设AD＝BD＝CD, 那么△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理: 假设a2＋b2＝c2, 那么△ABC是Rt△.第17讲相似三角形十六、知识清单梳理知识点一: 比例线段关键点拨与对应举例1.比例线段在四条线段a, b, c, d中, 如果a与b的比等于c与d的比, 即a cb d,那么这四条线段a, b, c, d叫做成比例线段, 简称比例线段．列比例等式时, 注意四条线段的大小顺序, 防止出现比例混乱.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc2.比例的根本性质(1)根本性质:a cb d=⇔ ad ＝bc ; (b 、d ≠0 ) (2)合比性质: a c b d=⇔a b b ±＝c dd ±; (b 、d ≠0 ) (3)等比性质:a cb d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k . (b 、d 、···、n ≠0 )比例式的值, 求相关字母代数式的值, 常用引入参数法, 将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示, 再求代数式的值, 也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母, 再代入求解.如下题可设a =3k,b =5k ,再代入所求式子, 也可以把原式变形得a =3/5b 代入求解. 例: 假设35a b =, 那么a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理(1 )两条直线被一组平行线所截, 所得的对应线段成比例.即如下图, 假设l 3∥l 4∥l 5, 那么AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时, 注意根据图形列出比例等式, 灵活运用比例根本性质求解. 例: 如图, D, E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点, AE =2, CE =3, 要使DE ∥AB,那么BC: CD 应等于53.(2 )平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线), 所得的对应线段成比例.即如下图, 假设AB ∥CD, 那么OA OB OD OC =.(3 )平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形和原三角形相似．如下图, 假设DE ∥BC, 那么△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC , 如果ACAB ＝ =5－12≈, 那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点, AC 与AB 的比叫做黄金比．例: 把长为10cm 的线段进行黄金分割, 那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 : 相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图, 假设∠A ＝∠D, ∠B ＝∠E, 那么△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路: ①条件中假设有平行线, 可用平行线找出相等的角而判定; ②条件中假设有一对等角, 可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例; ③条件中假设有两边对应成比例可找夹角相等; ④条件中假设有一对直角, 可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例; ⑤条件中假设有等腰关系, 可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例, 且夹角相等的两个三角形相似．如图, 假设∠A ＝∠D, AC AB DFDE=, 那么△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图, 假设AB AC BC DE DF EF ==, 那么△ABC ∽△DEF.F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC B AFEDC BAFE DC BA6.相似三角形的性质(1)对应角相等, 对应边成比例．(2)周长之比等于相似比, 面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例: (1)△ABC∽△DEF, △ABC的周长为3,△DEF的周长为2, 那么△ABC与△DEF的面积之比为9: 4.(2) 如图, DE∥BC, AF⊥BC,S△ADE:S△ABC =1:4, 那么AF:AG =1: 2.7.相似三角形的根本模型(1 )熟悉利用利用相似求解问题的根本图形,可以迅速找到解题思路, 事半功倍.(2 )证明等积式或者比例式的一般方法: 经常把等积式化为比例式, , 通过证明这两个三角形相似, 从而得出结果.第18讲解直角三角形知识点一: 锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时, 一定根据题目图形来理解, 严格按照三角函数的定义求解, 有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二: 解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中, 除直角外, 一共有五个元素, 即三条边和两个锐角, 由直角三角形中除直角外的元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀:斜边求直边, 正弦、余弦很方便;直边求直边, 理所当然用正切;两边求一边, 勾股定理最|方便;4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2;(2)锐角之间的关系: ∠A＋∠B＝90°;(3)边角之间的关系: sin A＝=cosB =ac, cos A＝sinB =bc,tan A＝ab.两边求一角, 函数关系要记牢;锐角求锐角, 互余关系不能少;直边求斜边, 用除还需正余弦.例: 在Rt△ABC中, a =5,sinA=30°, 那么c =10,b =5.知识点三: 解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角: 视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．(如图①)(2)坡度: 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比), 用字母i表示．坡角: 坡面与水平面的夹角叫做坡角, 用α表示, 那么有i＝tanα. (如图②)(3)方向角: 平面上, 通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向), 那么从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角, 叫做观测的方向角．(如图③)解直角三角形中 "双直角三角形〞的根本模型:（1）叠合式 (2 )背靠式解题方法: 这两种模型种都有一条公共的直角边, 解题时, 往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边,或通过公共边相等, 列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语, 根据题意画出图形, 建立数学模型;(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系, 把实际问题转化为解直角三角形问题;(3)选择适宜的边角关系式, 使运算简便、准确;(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义, 从而得到问题的解．第五单元四边形第19讲多边形与平行四边形知识点一: 多边形关键点拨与对应举例1.多边形的相关概念(1 )定义: 在平面内, 由一些段线首|尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．(2 )对角线: 从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线, 并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形; n边形对角线条数为()32n n-．多边形中求度数时,灵活选择公式求度数,解决多边形内角和问题时, 多数列方程求解.例:(1)假设一个多边形的内角和为1440°, 那么这个多边形的边数为10．(2)从多边形的一个顶点出发引对角线, 可以把这个多边形分割成7个三角形, 那么该2.多边形的内角和、外角和( 1 ) 内角和: n边形内角和公式为(n－2)·180°(2 )外角和: 任意多边形的外角和为360°.3.正多边形 (1 )定义: 各边相等, 各角也相等的多边形.(2 )正n边形的每个内角为()2180nn-⋅, 每一个外角为360°/n.( 3 ) 正n边形有n条对称轴.(4 )对于正n边形, 当n为奇数时, 是轴对称图形; 当n为偶数时, 既是轴对称图形, 又是中|心对称图形.。

华东师范大学出版社九年级下册数学知识点总结材料

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。

⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2=+的性质：y ax c Array3. ()2=-的性质：y a x h4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。

(华东师大版)九年级数学下册(全册)中考知识点汇总

(华东师大版)九年级|数学下册(全册)（中|考）知识点汇总第|一局部教材知识梳理·系统复习第|一单元数与式第1讲实数知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例1.实数(1 )按定义分(2 )按正、负性分正有理数有理数0 有限小数或正实数负有理数无限循环小数实数0实数正无理数负实数无理数无限不循环小数负无理数(1 )0既不属于正数,也不属于负数.(2 )无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②…(每两个1之间多个0 )就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如,；④三角函数型：如sin60°,tan25°.(3 )失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数,如=2 , = -3 ,它们都属于有理数.知识点二：实数的相关概念2.数轴(1 )三要素：原点、正方向、单位长度(2 )特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：.3.相反数(1 )概念：只有符号不同的两个数(2 )代数意义：a、b互为相反数 a +b =0(3 )几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为-a ,特别的0的绝|对值是0.例：3的相反数是-3 , -1的相反数是1.4.绝|对值(1 )几何意义：数轴上表示的点到原点的距离(2 )运算性质：|a| = a (a≥0)；|a -b| = a -b(a≥b)-a(a＜0). b -a(a＜b)(3 )非负性：|a|≥0 ,假设|a| +b2 =0,那么a =b =0.(1 )假设|x| =a (a≥0 ) ,那么x =±a.(2 )对绝|对值等于它本身的数是非负数.例：5的绝|对值是5；| -2| =2；绝|对值等于3的是±3;|1 -| = -1.第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理第3讲分式第4讲二次根式第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组) 四、知识清单梳理第6讲一元二次方程第7讲分式方程六、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)(2 )解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a 系数化为1时,注意系数的正负性,假设系数是负数,那么不等式改变方向.知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组．(1 )在表示解集时"≥〞, "≤〞表示含有,要用实心圆点表示；"＜〞, "＞〞表示不包含要用空心圆点表示．(2 )不等式(组)的解集情况,求字母系数时,一般先视字母系数为常数,再逆用不等式(组)解集的定义,反推出含字母的方程,最|后求出字母的值.如：不等式(a -1 )x＜1 -a的解集是x＞-1 ,那么a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集,再求出各个解集的公共局部7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小,小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大,小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题(1 )一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.(2 )应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有"至|少(≥)〞、"最|多(≤)〞、"不低于(≥)〞、"不高于(≤)〞、"不大(小)于〞、"超过(＞)〞、"缺乏(＜)〞等；b.隐含不等关系：如"更省钱〞、"更划算〞等方案决策问题,一般还需根据整数解,得出最|正确方案注意：列不等式解决实际问题中,设未知数时,不应带"至|少〞、"最|多〞等字眼,与方程中设未知数一致.第10讲一次函数八、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念(1 )概念：一般来说,形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地,当b ＝0时,称为正比例函数．(2 )图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点(0,b)和(-b/k,0 )的直线.特别地,正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点(0,0 )的直线.例：当k＝1时,函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k ,b符号K＞0 ,b＞0K＞0 ,b＜0K＞0 ,b =0 k<0 ,b>0k<0 ,b<0k<0 ,b＝0(1 )一次函数y =kx +b中,k确定了倾斜方向和倾斜程度,b确定了与y轴交点的位置.(2 )比拟两个一次函数函数值的大小：性质法,借助函数的图象,大致图象第11讲反比例函数的图象和性质九、知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念(1 )定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数,k叫做比例系数,自变量的取值范围是非零的一切实数．(2 )形式：反比例函数有以下三种根本形式：①y＝kx；②y =kx -1; ③xy =k.(其中k为常数,且k≠0)例：函数y =3x m +1 ,当m =－2时,那么该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况(1 )判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘,判断其乘积是否等于k.失分点警示(2 )反比例函数值大小的比拟时,首|先要判断自变量的取值是否同号,即是否在同一个象限内,假设不在那么不能运用性质进行比拟,可以画出草图,直观地判断.k>0 图象经过第|一、三象限(x、y同号)每个象限内,函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限(x、y异号)每个象限内,函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征 (1 )由两条曲线组成,叫做双曲线；(2 )图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但都不会与x轴和y轴相交；(3 )图象是中|心对称图形,原点为对称中|心；也是轴对称图形,2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：假设(a ,b)在反比例函数kyx=的图象上,那么(－a ,－b)在该函数图象上.(填"在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数k即可.例：反比例函数图象过点(－3 ,－1 ) ,那么它的解析式是y =3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义(1 )意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.(2 )常见的面积类型：失分点警示相关面积,求反比例函数的表达式,注意假设函数图象在第二、四象限,那么k＜0.例：反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3 ,那么该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合(1 )确定交点坐标：【方法一】一个交点坐标为(a,b ) ,那么根据中|心对称性,可得另一个交点坐标为( -a, -b ).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解.(2 )确定函数解析式：利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函数解析式中求解(3 )在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系,涉及与面积有关的问题时,①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.可采用假设法,分k＞0和k＜0两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.(4 )比拟函数值的大小：主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方的值小,结合交点坐标,确定出解集的范围. 例：如下图,三个阴影局部的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S △BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤(1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；(2设出函数表达式；(3 )依题意求解函数表达式；(4 )根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质十、知识清单梳理知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a ,b ,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.例：如果函数y =(a－1)x2是二次函数,那么a的取值范围是a≠0.2.解析式(1 )三种解析式：①一般式：y =ax2 +bx +c;②顶点式：y =a(x -h)2 +k(a≠0) ,其中二次函数的顶点坐标是(h,k ); ③交点式：y =a(x -x1)(x -x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.(2 )待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据条件,得到关于待定系数的方程(组)；解方程(组) ,求出待定系数的值,从而求出函数的解析式.假设条件是图象上的三个点或三对对应函数值,可设一般式；假设顶点坐标或对称轴方程与最|值,可设顶点式；假设抛物线与x轴的两个交点坐标,可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象xyy=ax2+bx+c(a＞0)Oxyy=ax2+bx+c(a＜0)O(1 )比拟二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时,根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时,可先利用函数的对称性转化到同侧,再利用性质比拟；④图象法：画出草图,描点后比拟函数值大小.失分点警示(2 )在自变量限定范围求二次函数的最|值时,首|先考虑对称轴是否在取值范围内,而不能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时,抛物线y=x2 +2x +7的最|小值为7 .开口向上向下对称轴x＝2ba-顶点坐标24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭增减性当x>2ba-时,y随x的增大而增大；当x＜2ba-时,y随x的增大而减小.当x>2ba-时,y随x的增大而减小；当x＜2ba-时,y随x的增大而增大.第13讲二次函数的应用十一、知识清单梳理实际问题中求最|值①分析问题中的数量关系,列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；④检验x的值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值；⑤解决提出的实际问题.解决最|值应用题要注意两点：①设未知数,在"当某某为何值时,什么最|大(最|小)〞的设问中, "某某〞要设为自变量, "什么〞要设为函数；②求解最|值时,一定要考虑顶点(横、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形①根据几何图形的性质,探求图形中的关系式；②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；③利用配方法等确定二次函数的最|值,解决问题由于面积等于两条边的乘积,所以几何问题的面积的最|值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.第9讲平面直角坐标系与函数十二、知识清单梳理知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念(1 )定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．(2 )几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x ,y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x轴) ,再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征(如下图)：点P(x,y)在第|一象限⇔x＞0 ,y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0 ,y＞0；点P (x,y )在第三象限⇔x＜0 ,y＜0；点P (x,y )在第四象限⇔x＞0 ,y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0 ,y＝0.(3 )各象限角平分线上点的坐标①第|一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数(4 )点P (a,b )的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a ,－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a ,b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a ,－b)．(5 )点M (x,y )平移的坐标特征：M (x,y ) M1(x +a,y)M2(x +a,y +b)(1 )坐标轴上的点不属于任何象限.(2 )平面直角坐标系中图形的平移,图形上所有点的坐标变化情况相同.(3 )平面直角坐标系中求图形面积时,先观察所求图形是否为规那么图形,假设是,再进一步寻找求这个图形面积的因素,假设找不到,就要借助割补法,割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线,从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题(1 )点M(a,b)到x轴,y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．(2 )平行于x轴,y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0) ,M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2| ,点M1(x1 ,y) ,M2(x2 ,y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0 ,y1) ,M2(0 ,y2)间的距离为|y1－y2| ,点M1(x ,y1) ,M2(x ,y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲一般三角形及其性质高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部条高 ,求长度时 ,注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.中位线平行于第三边 ,且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图① ,AD 平分∠BAC ,AE ⊥BC ,那么∠α =12∠BAC -∠CAE =12(180° -∠B -∠C ) - (90° -∠C ) =12(∠C -∠B )；如图② ,BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线 ,那么有∠O =12∠A +90°；如图③ ,BO 、CO 分别为∠ABC 、∠ACD 、∠OCD 的平分线 ,那么∠O =12∠A ,∠O , =12∠O ；如图④ ,BO 、CO 分别为∠CBD 、∠BCE 的平分线 ,那么∠O =90° -12∠A.对于解答选择、填空题 ,可以直接通过结论解题 ,会起到事半功倍的效果. 知识点二：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时 ,要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS (三边对应相等 )SAS (两边和它们的夹角对应相等 )ASA (两角和它们的夹角对应相等 )AAS (两角和其中一个角的对边对应相等 )失分点警示如图 ,SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等 (HL )(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用(1 )利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中 ,通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时 ,注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. (2 )全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图① ,连接公共边 ,构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系 ,如图② ,由SAS 可得△ACD ≌△△ABE 中 ,AB +BE ＞AE ,即AB +AC ＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系 ,如图③、④.例：如图 ,在△ABC 中 ,∠1 =∠2 ,BE =CD ,AB=5 ,AE =2 ,那么CE =3.第16讲等腰、等边及直角三角形十五、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形(1 )性质①等边对等角：两腰相等 ,底角相等 ,即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形,直线AD是对称轴.(2 )判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即假设∠B＝∠C ,那么△ABC是等腰三角形.(1 )三角形中"垂线、角平分线、中线、等腰〞四个条件中,只要满足其中两个,其余均成立. 如：如左图,AD⊥BC,D为BC的中点,那么三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时,需分类讨论.如假设等腰三角形ABC的一个内角为30°,那么另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.(1 )性质①边角关系：三边相等 ,三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC ,∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形,三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.(2 )判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等(均为60°)的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即假设AB＝AC ,且∠B＝60°,那么△ABC是等边三角形.(1 )等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形也满足"三线合一〞的性质.(2 )等边三角形有一个特殊的角60°,所以当等边三角形出现高时,会结合直角三角形30°角的性质,即BD =1/2AB.例：△ABC中,∠B =60°,AB=AC ,BC =3 ,那么△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线(1 )性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即假设∠1 ＝∠2 ,PA⊥OA ,PB⊥OB ,那么PA＝PB.(2 )判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图,△ABC中,∠C =90°,∠A =30°,AB的垂直平分线交AC于D ,交AB于E ,CD =2 ,那么AC=6.(1 )性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即假设OP垂直且平分AB ,那么PA＝PB.(2 )判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质21P COBAPCO B A(1)两锐角∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即假设∠B＝30°那么AC＝12 AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即假设CD是中线,那么CD＝12 AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .(1 )直角三角形的面积S =1/2ch =1/2ab(其中a,b为直角边,c为斜边,h是斜边上的高) ,可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.(2 )两边,利用勾股定理求长度,假设斜边不明确,应分类讨论. (3 )在折叠问题中,求长度,往往需要结合勾股定理来列方程解决.(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即假设∠C＝90°,那么△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形．即假设AD＝BD＝CD ,那么△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：假设a2＋b2＝c2 ,那么△ABC是Rt△.第17讲相似三角形十六、知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1.比例线段在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即a cb d=,那么这四条线段a ,b ,c ,d叫做成比例线段,简称比例线段．列比例等式时,注意四条线段的大小顺序,防止出现比例混乱.2.比例的根本性质(1)根本性质：a cb d=⇔ ad＝bc；(b、d≠0 )(2)合比性质：a cb d=⇔a bb±＝c dd±；(b、d≠0 )(3)等比性质：a cb d=＝…＝mn＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k. (b、d、···、n≠0 )比例式的值,求相关字母代数式的值,常用引入参数法,将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示,再求代数式的值,也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母,再代入求解.如下题可设a =3k,b =5k,再代入所求式子,也可以把原式变形得a =3/5b代入求解.例：假设35ab=,那么a bb+=85.3.平行线分线段成比例定理(1 )两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.即如下图,假设l3∥l4∥l5,那么AB DEBC EF=.利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时,注意根据图形列出比例等式,灵活运用比例根本性质求解.例：如图,D ,E分别是△ABC的边BC和AC上的点,AE =2 ,CE =3 ,要使DE∥AB ,那么BC：CD应等于53.(2 )平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) ,所得的对应线段成比例.即如下图,假设AB∥CD ,那么OA OBOD OC=.(3 )平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似．如下图,假设DE∥BC ,那么△ADE∽△ABC.4.黄金点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACAB＝=5－12≈,那么例：把长为10cm的线段进行黄金分DABC abcDABC abcFEDCBAl5l4l3l2l1ODCBAEDCBA分割线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点 ,AC 与AB 的比叫做黄金比．割 ,那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图 ,假设∠A ＝∠D ,∠B ＝∠E ,那么△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中假设有平行线 ,可用平行线找出相等的角而判定；②条件中假设有一对等角 ,可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中假设有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中假设有一对直角 ,可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中假设有等腰关系 ,可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例 ,且夹角相等的两个三角形相似．如图 ,假设∠A ＝∠D ,AC AB DFDE= ,那么△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图 ,假设AB AC BC DE DF EF == ,那么△ABC ∽△DEF.6.相似三角形的性质(1)对应角相等 ,对应边成比例．(2)周长之比等于相似比 ,面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)△ABC ∽△DEF ,△ABC 的周长为3 ,△DEF 的周长为2 ,那么△ABC 与△DEF 的面积之比为9：4.(2) 如图 ,DE ∥BC , AF ⊥BC,S △ADE:S △ABC =1:4 ,那么AF:AG =1：2.7.相似三角形的根本模型(1 )熟悉利用利用相似求解问题的根本图形 ,可以迅速找到解题思路 ,事半功倍. (2 )证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式 ,把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后 ,通过证明这两个三角形相似 ,从而得出结果.第18讲解直角三角形十七、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例FEDC B AFEDC BAFE DC BA1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时,一定根据题目图形来理解,严格按照三角函数的定义求解,有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：斜边求直边 ,正弦、余弦很方便；直边求直边 ,理所当然用正切；两边求一边 ,勾股定理最|方便；两边求一角 ,函数关系要记牢；锐角求锐角 ,互余关系不能少；直边求斜边 ,用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中,a =5,sinA=30° ,那么c =10,b =5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB =ac,cos A＝sinB =bc, tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．(如图①)(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比) ,用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角,用α表示,那么有i＝tanα. (如图②)(3)方向角：平面上,通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向) ,那么从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角,叫做观测的方向角．(如图③)解直角三角形中 "双直角三角形〞的根本模型：（1）叠合式 (2 )背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边,解题时,往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边,或通过公共边相等,列方程求解.6.解直角三角形实际应用的(1)弄清题中名词、术语,根据题意画出图形,建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择适宜的边角关系式,使运算简便、准确；一般步骤(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,从而得到问题的解．第五单元四边形第19讲多边形与平行四边形十八、知识清单梳理知识点一：多边形关键点拨与对应举例1.多边形的相关概念(1 )定义：在平面内,由一些段线首|尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．(2 )对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线,并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．多边形中求度数时,灵活选择公式求度数,解决多边形内角和问题时,多数列方程求解.例：(1)假设一个多边形的内角和为1440°,那么这个多边形的边数为10．(2)从多边形的一个顶点出发引对角线,可以把这个多边形分割成7个三角形,那么该多边形为九边形．2.多边形的内角和、外角和( 1 ) 内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°(2 )外角和：任意多边形的外角和为360°.3.正多边形 (1 )定义：各边相等 ,各角也相等的多边形.(2 )正n边形的每个内角为()2180nn-⋅,每一个外角为360°/n.( 3 ) 正n边形有n条对称轴.(4 )对于正n边形,当n为奇数时,是轴对称图形；当n为偶数时,既是轴对称图形,又是中|心对称图形.知识点二：平行四边形的性质4.平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形用"□〞表示.利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：(1 )平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.(2 )平行四边形中有相等的边、角和平行关系,所以经常需结合三角形全等来解题.(3 )过平行四边形对称中|心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.例：如图,□ABCD中,EF过对角线的交点O ,AB=4 ,AD=3 ,5.平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等.即AB∥CD 且AB＝CD ,BC∥AD且AD＝BC. (2 )角：对角相等,邻角互补.即∠BAD＝∠BCD ,∠ABC＝∠ADC ,∠ABC＋∠BCD＝180°,∠BAD＋∠ADC＝180°.(3 )对角线：互相平分.即OA＝OC ,OB＝OD(4 )对称性：中|心对称但不是轴对称.6.平行四边形中的几个解题模型(1 )如图①,AF平分∠BAD ,那么可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形,即AB =BF.(2 )平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形,如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形,如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中|心对称性,可得经过对称中|心O的线段与对角线所组成的居于中|心对称位置的三角形全等,如图②△AOE≌△②中阴影局部的面积为平行四边形面积的一半.(3 ) 如图③,点E为AD上一点,根据平行线间的距离处处相等,可得S△BECOD CBA。

华师大版九年级下册数学知识点总结

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。

⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结

华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，通过它可以全面地、系统地了解以往的学习和工作情况，因此，让我们写一份总结吧。

你所见过的总结应该是什么样的？下面是小编整理的华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结1圆1．圆的认识（1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。

或到一个定点的距离等于定长的点的集合。

这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。

（2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。

（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC 都是圆O中的弦。

、BAC其中像弧BC这样（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。

如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记作BC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。

小于半圆周的圆叫做劣弧。

像弧BAC（3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。

如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。

2．圆的对称性（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。

在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。

（2）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

3．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。

4．圆周角（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。

（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。

90°的圆周角所对的弦是圆的直径。

（3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。

华师大版九年级下册数学知识点总结

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。

⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

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华师大版九年级下册数学知识点总结
第二十六章二次函数
一、二次函数概念：
1、二次函数的概念：一般地，形如2
=++（a b c
y ax bx c
，，是常数，0
a≠）的函数，
1.
二
次
函
数
基
本
形
式
：2
=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

y ax
2. 2
=+的性质：
y ax c
()
2
a x h =- ()2
a x h k
=-+ 三、二次函数图
()h k ，；
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：
⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，
c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，
ax y =222
确
y
1. 。

当2b x a
<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a
>-时，y 随x 的增大而增大；
当2b x a
=-时，y 有最小值
2
44ac b a
-。

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，。

当2b x a
<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a
>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a
=-时，
y 有最大值
2
44ac b a
-。

七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次
函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。

二次函数解析式的这三种形式可以互
1. 的正负决定开口方向，a
2. 当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b
a
->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧。

⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b
a
->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；
当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b
a
-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧。

总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置。

ab 的符号的判定：对称轴a
b
x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”
3. 一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x轴对称
2
=---；
y ax bx c
=++关于x轴对称后，得到的解析式是2
y ax bx c
()2
=---；
y a x h k
y a x h k
=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2
k
方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。

十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是
一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的两根。

这两点间的距离21AB x x =-=
.
② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；
；。

⑵ ⑶ ⑷ . ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元
二次方程之间的内在联系：
⎩最大面积是多少
第二十七章：《圆》
一、知识回顾
圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²
圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）
二、知识要点
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
1、
2
3
4、
5、
1
2
3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；
2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；
3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；推论1
①AD
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧
相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD
∴弧AC =弧BD
六、圆心角定理
顶点到圆心的角，叫圆心角。

B
D
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，
弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①AOB DOE
∠=∠；②AB DE
=；
1、的推论
推论
对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径或∵90
∠=︒
C
∴90
∠=︒∴AB是直径
C
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角
形。

即：在△ABC中，∵OC OA OB
==
∴△ABC是直角三角形或90
∠=︒
C
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等
于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形
（2
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推
出最后一个。

十、切线长定理
切线长定理：
相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA、PB是的两条切线
∴PA PB
=
（
（2）
（3）
∴2
=⋅
PA PC PB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的
两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割线
∴PC PB PD PE
⋅=⋅
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆
的的公共弦。

如图：12O O 垂直平分AB 。

即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点
（
1是
（2）在⊙（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，
::2AB OB OA =.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180n R
l π=； l
O
（2）扇形面积公式： 213602
n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆柱：
（1）A 圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=222rh r ππ+
⑷通过整理和分析数据，准确地作出决策。

2. 难点：
⑴正确识别问题中的总体、个体、样本、样本容量等，并能选择合适的样本
看总体；
C 1
D 1
⑵能够对数据的来源，处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的分
析。

三. 知识梳理：。