辅助圆问题(原卷版)

辅助圆问题

★1.已知点A、B、C均在半径为R的⊙O上．

问题探究

(1)如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长度；

(2)如图②，当∠A为锐角时，求证：BC＝2R·sin A；

问题解决

(3)若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN上滑动，且点B、C均与点A不重合．如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试着探究线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是否为定值，若是，求出P A的长度；若不是，请说明理由．

第1题图

★2.问题探究

(1)如图①，已知四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠B＝∠D＝90°，求：

①对角线BD长度的最大值；

②四边形ABCD的最大面积；

(用含有a，b的代数式表示)

问题解决

(2)如图②，四边形ABCD是某市规划用地示意图，经测量得到如下数据：AB＝20 cm，BC＝30 cm，∠B＝120°，∠A＋∠C＝195°，请你用所学到的知识探索出它的最大面积，并说明理由．(结果保留根号)

第2题图

★3.问题探究

(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，作高AD，则△ABC 的面积为________；

(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在对角线AC上，且CP＝CB，求△PBC的面积；

问题解决

(3)如图③，△ABC是一块商业用地，其中∠B＝90°，AB＝30米，BC＝40米，某开发商现准备再征一块地，把△ABC扩充为四边形ABCD，使∠D＝90°，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．

第3题图

★4.问题探究

(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC，请在△ABC外找一点M，使得∠BMC

＝1

2∠BAC；

(2)如图②，在矩形ABCD中，BC＞2＋1

2AB，在矩形ABCD的内部

或边上找一点Q，使得∠AQB＝45°；

问题解决

(3)如图③，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝10＋53，则在边CD 上是否存在一点P，使得∠APB＝30°，若存在，求出PC的长；若不存在，请说明理由．

第4题图

★5.问题探究

(1)如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，∠BAC＝120°，则△ABC的面积为________(用含a的代数式表示)；

(2)如图②，△AOD与△BOC为两个等腰直角三角形，两个直角顶点O重合，OA＝OB＝OC＝OD＝a.若△AOD与△BOC不重合，连接AB、CD，求四边形ABCD面积的最大值；

问题解决

(3)如图③，点O为电视台所在位置，现要在距离电视台5 km的地方修建四个电视信号中转站，分别记为A、B、C、D.若要使OB与OC 夹角为150°，OA与OD夹角为90°(∠AOD与∠BOC不重合且点O、A、B、C、D在同一平面内)，则符合题意的四个中转站所围成的四边形面积有无最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．

第5题图