高三二轮复习立体几何专题 (答案)

高三数学二轮复习专题28（立体几何04）
【2016新课标1卷T6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283
π
，则它的表面积是 A A ．17π B ．18π C ．20π D ．28π
【2016新课标1卷T11】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为 A A
A
A
A ．13
【2016新课标1卷T19】如图,在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ,，
90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．
（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．
解析：（I ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ．
又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．
（II ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．
以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -． 由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =,则DF 2=,DG 3=,可得
()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -
,(D ．
由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ． 又平面CD
AB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．
由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,
C F 60∠E =
．从而可得(C -．
所以(C E =,()0,4,0EB =
,(C 3,A =--,()4,0,0AB =-．
设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量,则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩,
即040x y ⎧+=⎪⎨=⎪
⎩
，所以可取(3,0,n =．
设m 是平面CD AB 的法向量,则C 0
m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩,同理可取()
0,3,4m =．
则219
cos ,19
n m n m n m
⋅=
=-，故二面角C E-B -A 的余弦值为19-．
C
B
D
E
F
1. 三棱锥P ABC -中，侧棱2,PA PB PC ===，则当三棱锥P ABC -的三个侧面的面积和最大时，
经过点,,,P A B C 的球的表面积是 D
A ．4π
B ．8π C. 12π D ．16π 2. 已知从点P 出发的三条射线PA ，PB ，P
C 两两成60︒角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点．若球 的体积为36π，则O ，P 两点间的距离为 B
A ．
B ．
C ．3
D ．6
3. 已知三棱锥-S ABC 的各顶点都在一个球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，球的体积与三棱锥
体积之比是4π，=
AC D
A ．π
B ．2π C.3π D ．4π
4.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD DC CB ===，060ABC ∠=，平面ACEF ⊥平面ABCD ，
四边形ACEF 是菱形，060CAF ∠=. （1）求证：BC ⊥平面ACEF ；
（2）求平面ABF 与平面ADF 所成锐二面角的余弦值.
解：（1）证法一：在梯形A
B C D 中，∵//AB CD ， 2AD DC CB ===，60A B C ∠
= ∴0
120,30ADC DCB DCA DAC ∠=∠=∠=∠= ∴090ACB DCB DCA ∠=∠-∠=，∴AC BC ⊥
又 平面ACEF ⊥平面A B C D ，平面ACEF 平面ABCD AC =，
∴BC ⊥平面A
C F E
证法二：梯形A
B C D 得高为2sin 60︒=
222cos604AB =+⋅= AC =∴2
2
2
,90AC BC AB ACB +=∴∠=（下同） （2）取G 为EF 中点.连CG
∵四边形ACEF 是菱形，60CAF ∠=， ∴CG EF ⊥ 即CG AC ⊥ 与（1）同理可知CG ⊥平面ABCD
如图所示，以C 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则有(0,2,0),(1,0),(A B D F -
，
(2,0)AB =-
，(AF =，(0,1,3)DF =
设111(,,)m x y z =是平面ABF 的一个法向量，则00AB m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即11110
30y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取(3,3,1)m =．
设222(,,)n x y z =是平面ADF 的一个法向量，则00
AF n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即222230
30z y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取(3,3,1)n =-
. 设平面ABF 与平面ADF 所成锐二面角为θ，则5
cos 13
13m n m n
θ⋅=
=
=⋅，
即平面ABF 与平面ADF 所成锐二面角的余弦值为
5
13
． 5. 如图，已知四边形ABCD 和ABEG 均为平行四边形，点E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，以BD 为直径的圆经过点A ，C ，AG 的中点为F ，CD 的中点为P ，且AD AB AE ==． （Ⅰ）求证：平面⊥EFP 平面BCE ； （Ⅱ）求二面角P EF B --的余弦值．
解:（Ⅰ）∵点E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，∴AE ⊥平面ABCD ， 又AE ⊂平面ABEG ，∴平面ABCD ⊥平面ABEG ．
又以BD 为直径的圆经过点A ，C ，AD AB =，∴ABCD 为正方形． 又平面ABCD
平面ABEG AB =，∴BC ⊥平面ABEG ．
∵EF ⊂平面ABEG ，EF BC ⊥， 又AB AE GE ==，∴4
ABE AEB π
∠=∠=，
又AG 的中点为F ，∴4
AEF π
∠=，
∵2
AEF AEB π
∠+∠=
，∴EF BE ⊥，
又BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC BE B =，∴EF ⊥平面BCE ．
又EF ⊂平面EFP ，∴平面EFP ⊥平面BCE ．
（Ⅱ）如图，建立以A 为原点，AD 的方向为x 轴的正方向，AB 的方向为y 轴的正方向，AE 的方向为z 轴的正方向的空间直角坐标系，
设2AB =，则(0,0,0)A ，(0,0,2)E ，(2,1,0)P ，(0,2,2)G -．
∵AG 的中点为F ，∴(0,1,1)F -，故PE (2,1,2)=--，(2,2,1)PF =--，
设平面EFP 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n PE n PF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴220,
220,
x y z x y z --+=⎧⎨--+=⎩
令3x =，则(3,2,2)n =-．易知平面ABEG 的一个法向量为(1,0,0)m =，
设二面角P EF B --为θ，∴cos ||||17
m n m n θ⋅=
==，
容易看出二面角P EF B --为锐角，故二面角P EF B --． 6. 如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，
2,60.AD CD ADC =∠=
（1）若1AA AC =，求证：1AC ⊥平面11A B CD ；
（2）若()12,0CD AA AC λλ==>，二面角1A C D C -- 求三棱锥11C A CD -的体积.
7. 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB ＝3，AA 1＝32，D 为AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，CO ⊥侧面ABB 1A 1． （Ⅰ）证明：BC ⊥AB 1；
（Ⅱ）若OC ＝OA ，求二面角A 1－AC －B 的余弦值．
解：（Ⅰ）证明：由题意tan ∠ABD ＝AD AB ＝22，tan ∠AB 1B ＝AB BB 1＝2
2
，
0<∠ABD 2
π<
，0<∠AB 1B <π
2，∴∠ABD ＝∠AB 1B ，
∴∠ABD ＋∠BAB 1＝∠AB 1B ＋∠BAB 1＝π
2，∴AB 1⊥BD …………………2分
又CO ⊥侧面ABB 1A 1，∴AB 1⊥CO ． …………………3分 又BD 与CO 交于点O ，∴AB 1⊥平面CBD ， …………………4分 又BC ⊂平面CBD ，∴BC ⊥AB 1． …………………5分 （Ⅱ）如图，以O 为原点，分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线为x ，y ，z 轴，
建立空间直角坐标系Oxyz
，则(0,A ，
(B -
，C
，1B ．
∴(AB =-
，AC =，11(6,2AA BB ==．
设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则=0
=0
AB AC ì×ïíï×în
n ，
即=0=0
ì-ïíïî， 令x ＝1，可得n ＝(1，2，－2)是平面ABC 的一个法向量． 设平面A 1AC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则1=0=0AA AC ì×ïíï×î
m m
，即=0
+=0ìïíïî，
令x ＝2，可得m ＝(2，－2，2)是平面A 1AC 的一个法向量．…………………10分 设二面角A 1－AC －B 的平面角为α，则
cos cos ,a ×==
m n m n m n ∴二面角A 1－AC －B
的余弦值为-． …………………12分。