《等差数列的性质》教学设计

2.2.2等差数列性质

一、内容与解析

(一）内容：等差中项，等差数列的性质

（二）解析：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。教学的重点是等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

二、教学目标及解析

明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

三、问题诊断分析

在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

四、教学过程

Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上节课所学主要内容：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） （1n n a a d --=） 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=

第一通项公式： 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+=（第二通项公式）

即：d m a a m )1(1--=

则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+--

即等差数列的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=

n

m a a n m -- (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))

Ⅱ.讲授新课

1、等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？

由定义得A-a =b -A ，即：2

b a A += 反之，若2

b a A +=，则A-a =b -A 由此可可得：,,2

a b A a A b +=⇔成等差数列 2、等差数列的通项公式：

第一通项公式：d n a a n )1(1-+=

由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+=（第二通项公式）

即：d m a a m )1(1--=

则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+--

即等差数列的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))

3．有几种方法可以计算公差d

① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 4. 若m n p q +=+，（,,,m n p q N *∈），则m n p q a a a a +=+（项数一致）

例1、等差数列{}n a 中，20102011888a a +=，则20092012a a += 。 例2、等差数列{}n a 中，5818a a +=，求231011a a a a +++。

例3、等差数列{}n a 中，14715a a a ++=，24645a a a =，求此数列的通项公式。

5. 若2

m n k +=，（,,m n k N *∈），则2m n k a a a += 6. 数列{}n a 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即121n n i n i a a a a a a --+=+==+=(,)n i N ∈*.

7. 设项的的技巧

例4、已知三个数成等差数列且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数。

设计意图：当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项1a 和公差d 列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设,,a d a a d -+；四个数时，设3,,,3a d a d a d a d --++，利用和为定值先求出其中某个未知量，再进一步解题。

[补充例题]

例 在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .

分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……

解：∵ {a n }是等差数列

∴ 1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2 ∴ d=4a －3a =7－2=5

∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32 ∴ 3a =2, 9a =32

[范例讲解]

课本P39练习5

已知数列{n a }是等差数列

（1）7532a a a =+是否成立？9512a a a =+呢？为什么？

（2）112(1)n n n a a a n +-=+>是否成立？据此你能得到什么结论？ （3）2(0)n k n n k a a a n k +-=+>>是否成立？？你又能得到什么结论？

结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )

但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+

五、课堂目标检测

1.在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求首项1a 与公差d

2. 在等差数列{}n a 中, 若 65=a 158=a 求14a

六、课堂小结及作业布置 节课学习了以下内容：

1．,,,2

a b A a A b +=⇔成等差数列 2．在等差数列中， m n p q +=+⇒q p n m a a a a +=+,,,m n p q N *∈ 课后作业

优化设计作业《等差数列性质》。