线代作业答案

⎛ − 21 − 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 10 − 4 2 ⎟ ; ⎜ 3 4 −1 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 34 2 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 20 − 6 ⎟ ; ⎜ 2 −6 2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛13 6 ⎞ ⎜ ⎜6 5⎟ ⎟; ⎝ ⎠
⎛ − 6 − 3⎞ ⎜ ⎜ 5 −2 ⎟ ⎟] ⎝ ⎠
5．若 A = ⎜ ⎜
1
a
x a L a a x L a ; (2) L L L L a a L a
[ a ( x − a ) n −1 ]
a1 x x
x a2 x
x
L
x x x
x x x L x an
(3)
x L a3 L
L L L L L x x x L a n −1 x x x L x
[利用递推公式来求]
递推公式为 Dn = x(a1 − x)(a 2 − x) L (a n −1 − x) + (a n − x) Dn −1 Dn = ( a1 − x)(a 2 − x) L ( a n − x)(1 +
所以 a =
D D1 D = 1 ， b = 2 = −2 ， c = 3 = 3 D D D
为所求。
故 f (x ) = x 2 − 2 x + 3
行列式的性质；克拉默法则
1. n 阶行列式 D = a ij ，则展开式中项 a12 a 23 a34 L a n −1n a n1 的符号为( D ). （A）a 11 2.如果 D = a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
x x x ) + +L+ a1 − x a 2 − x an − x
1 2 2 L 2 2 2 L (4) 2 2 3 L L L L L 2 2 2 L
α+β αβ α+β
2 2 2 2 n 0 0 L 0 0 L 0 0 L 0 0 L L L L L α + β αβ 1 α+β L
[ −2(n − 2)! ]
10．证明：若 A 和 B 都是 n 阶对称矩阵，则 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 A 与 B 可交 换．(略) 11．证明：若 A 和 B 都是 n 阶对称矩阵，则 A+B，A-2B 也是对称矩阵． （略）
⎛ 2 3⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 2 − 3⎞ 12．已知 A=PΛQ 其中 P= ⎜ ⎜ 1 2⎟ ⎟ ，Λ= ⎜ ⎜ 0 − 1⎟ ⎟ ，Q= ⎜ ⎜ −1 2 ⎟ ⎟． ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 2 3⎞ ⎛ −1 4 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 5 ⎟。 17．解矩阵方程 AX = B ，其中 A = ⎜ 0 1 2 ⎟ ， B = ⎜ 2 ⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 1 − 3⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
18．求下列矩阵的逆矩阵：
⎛ cos θ sin θ ⎞ (1) ⎜ ⎜ − sin θ cos θ ⎟ ⎟； ⎝ ⎠ ⎛1 ⎜ ⎜0 (2) ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝ ⎛1 − 1 ⎜ ⎜0 1 ⎜0 0 ⎜ ⎜ 0 0 ⎝
⎧a − b + c = 6 ⎪ ⎨a + b + c = 2 ⎪4a + 2b + c = 3 ⎩
求 a, b, c 如下：
1 −1 1 6 −1 1 1 6 1 1 −1 6 D = 1 1 1 = −6 ≠ 0 ， D1 = 2 1 1 = −6 ， D2 = 1 2 1 = 12 ， D3 = 1 1 2 = −18 4 2 1 3 2 1 4 3 1 4 2 3
2 3 ，计算 A41 + A42 + A43 + A44 0 4 2 9 2 3
[-1]
1 −3 2 −3 4 0 4. 计算行列式 2 −2 6 3 −3 8
[-50]
5.计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）
a
(1)
1
O
,其中对角线上元素都是 a，未写出的元素都是 0; [ a n − a n−2 ]
习题二 矩阵及其运算
矩阵；矩阵的运算 1. 以下结论正确的是（
C
）
（A） 若方阵 A 的行列式 A = 0 ，则 A = 0 。 （B） 若 A 2 = 0 ，则 A = 0 。 （C） 若 A 为对称矩阵，则 A 2 也是对称矩阵。 （D） 对任意的同阶方阵 A,B 有 ( A + B)( A − B) = A 2 − B 2 ⎛ − 1 2 1⎞ ⎛ 3 1 0⎞ ⎛ 2 1 − 1⎞ 2. 设 A= ⎜ ⎜ 0 1 3⎟ ⎟ ，B= ⎜ ⎜ −1 2 1⎟ ⎟ ，C= ⎜ ⎜3 1 2 ⎟ ⎟ ，计算(1) 2A-3B+2C． ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − 7 3 0⎞ [⎜ ⎜9 − 2 7⎟ ⎟] ⎝ ⎠
我将前三章的答案简单的写在后面的括号里，仅供各位老师参考，因时间仓促，我只写答案，请谅解。
第一章
n 阶行列式 1.求下列各排列的逆序数： (1) 134785692 (2) 139782645 n( n − 1) （11;17; ; n( n − 1) ） 2
(3) 13…(2n-1)24…(2n)
(5)
1 0 0 L 0 0
1 0 L 0 0
0 0 αβ 0 α + β αβ α+β 1 L L 0 0 0 0
[ α n + α n −1 β + L + αβ n −1 + β n ]
⎧λx 1 + x 2 + x 3 = 0 ⎪ 6.问λ，μ取何值时，齐次方程组 ⎨ x 1 + μx 2 + x 3 = 0 有非零解？ ⎪ x + 2μx + x = 0 2 3 ⎩ 1
P
（略）
15．设 A 为 3 阶矩阵，且 A =
1 ，求 (3 A) −1 − 2 A* . 2
[−
16 ] 27
−1
（1）若方阵 A 满足 A 2 − 2 A − 4 E = 0 ，试证 A+E 可逆，并求 ( A + E ) . （略） 16． （2）设 A 是 n 阶矩阵，且 A = −1 ，又 AT = A −1 ，试证 A+E 不可逆 （证明行列式等于零）
⎛3 1 1⎞ ⎛1 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3．设 A= ⎜ 2 1 2 ⎟ ，B= ⎜ 2 − 1 0 ⎟ ，求 AB-BA． ⎜ 1 2 3⎟ ⎜1 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0 − 2 − 2⎞ ⎜ ⎟ [⎜ 2 0 4 ⎟] ⎜ 4 −4 0 ⎟ ⎝ ⎠
⎛5 − 2 1 ⎞ ⎛ − 3 2 0⎞ T T T T T 4．设A= ⎜ ⎜ 3 4 − 1⎟ ⎟ ，B= ⎜ ⎜ − 2 0 1⎟ ⎟ ，计算AB ，B A，A A，BB +AB ． ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − 19 − 9 ⎞ [⎜ ⎜ −1 − 7 ⎟ ⎟; ⎝ ⎠
f ( A) =
2
⎛ a 2 − 3a + 5 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 b 2 − 3b + 5 ⎟ ⎠ ⎝
. 0
．
8． A 为 2005 阶矩阵，且满足 AT = Βιβλιοθήκη Baidu A ，则 A = 9．
⎛ 1 1⎞ 计算 ⎜ ⎜ 0 1⎟ ⎟ ⎝ ⎠
n
解：
设
⎛ 1 1⎞ A=⎜ ⎜ 0 1⎟ ⎟， ⎝ ⎠
则
⎛1 2⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ P = ， ，那么 P 2005 AP 2004 = ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 4⎠ ⎝ 1 0⎠
2
⎛3 4⎞ ⎜ ⎜1 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
． ．
6． A, B 为三阶矩阵， A = −1 ， B = 2 ，则 2(AT B −1 ) =
⎛ a 0⎞ 7．已知 f ( x) = x 2 − 3x + 5 ， A = ⎜ ⎜ 0 b⎟ ⎟ ，则 ⎝ ⎠
0 1 1 2
（B）+
（C） (−1) n
2a 11 − 3a 12 2a 21 − 3a 22 2a 31 − 3a 32
（D） (−1) n −1
a 13 a 23 a 33
[-12]
4a 11 a 13 a 23 = 1 ，求 4a 21 4a 31 a 33
1 0 1 5
1 −1 3. 已知 D = 1 −1
(4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2
2. 已知排列 1274i56 j 9 为偶排列，则 (i, j ) = 3.计算下列各阶行列式：
(8,3)
.
103 100 204 (1) 199 200 395 301 300 600
0 a 0 (2) b 0 c 0 d 0
− ab ac (3) bd − cd bf cf
ae de − ef
[2000; 0; 4abcdef]
2x x 1 2 1 x 1 −1 4. 设 D = ，则 D 的展开式中 x 3 的系数为 3 2 x 1 1 1 1 x 5 求二次多项式 f ( x ) ，使得
-1
.
f (− 1) = 6 ， f (1) = 2 ， f (2) = 3
解 设 f ( x ) = ax 2 + bx + c ，于是由 f (− 1) = 6 ， f (1) = 2 ， f (2) = 3 得
QP=E，计算A2n，A2n+1 （n为正整数） ．
⎛1 0 ⎞ [⎜ ⎜ 0 1⎟ ⎟； ⎝ ⎠ ⎛ 7 − 12 ⎞ ⎜ ⎜ 4 −7 ⎟ ⎟] ⎝ ⎠
逆矩阵；分块矩阵 13．设 A、B 都是 n 阶矩阵，问：下列命题是否成立？若成立给出证明；若不成立举反例说 明． (1) 若 A、B 皆不可逆，则 A+B 也不可逆；(2) 若 AB 不可逆，则 A，B 都可逆； (3) 若 AB 不可逆，则 A，B 都不可逆；(4) 若 A 可逆，则 kA 可逆（k 是常数） ． （略） ⎛ −1 − 4⎞ ⎛ −1 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ， Λ = ，求An． 14．设P-1AP=Λ，其中P= ⎜ ⎜1 ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ ⎝ 0 2⎠
则
⎛ 1 n − 1⎞⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 n ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎟ A n = A n −1 A = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎟， 1 ⎟ ⎝ ⎠⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎛ 1 1⎞ ⎛1 n⎞ ⎜ ⎜ 0 1⎟ ⎟ =⎜ ⎜0 1⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n
于是由归纳法知，对于任意正整数 n，有
⎛ 1 1⎞⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ， ⎟ ⎟ A2 = AA = ⎜ ⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 1 ⎠
⎛ 1 2 ⎞⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎟ ⎟ A3 = A 2 A = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎛ 1 n − 1⎞ ⎟， 假设 A n −1 = ⎜ ⎜0 1 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ − 4 − 9⎞ ⎜ ⎟ [ ⎜ 0 11 ⎟ ] ⎜ 1 −3 ⎟ ⎝ ⎠
1 1 0 0
0 1 1 0
0⎞ ⎟ 0⎟ ． 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎠
⎛ cos θ − sin θ ⎞ [⎜ ⎜ sin θ cos θ ⎟ ⎟； ⎝ ⎠
1 − 1⎞ ⎟ −1 1 ⎟ ] 1 −1 ⎟ ⎟ 0 1 ⎟ ⎠
19．利用逆矩阵解下列方程：
1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 1 3 ⎟ ⎛ 2 1⎞ ⎛ 2 3 −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 (1) ⎜ 1 2 0 ⎟X = ⎜ − 1 0 ⎟ ． [⎜ −1 − ⎟ ] ⎜ 6⎟ ⎜ 3 1⎟ ⎜ −1 2 − 2⎟ ⎜ 5⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜− 3 − ⎟ 6⎠ ⎝ 20．设Ak=0 (k为正整数),证明：(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1． 21．设方阵A满足方程A2-2A+4E=0．证明A+E和A-3E都是可逆的，并求它们的逆矩阵． 22．设方阵A满足A2-A-2E=0 证明： (1) A 和 E-A 都可逆，并求它们的逆矩阵；(2) (A+E)和(A-2E)不同时可逆． 23．设幂零矩阵A满足Ak=0（k为正整数） ，试证明E-A可逆，并求其逆矩阵． 2 24．设A是实对称矩阵，且A =0，证明A=0． ⎛ 0 B⎞ -1 25．设A= ⎜ ⎟ ，其中B是n阶可逆阵，C是m阶可逆阵．证明A可逆，并求A ． ⎜C 0 ⎟ ⎠ ⎝
7.某商店经营四类商品，四个月的销售额及利润额如表所示： 商品 A B C D 月次 1 40 60 80 100 2 40 60 90 90 3 50 60 80 100 4 50 60 90 90 求每类商品的销售利润率。 （去掉）
[ λ = 1; μ = 0 ]
总利润
27.4 27.6 28.9 27.9
26．用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵． ⎛ 1 2 0 0 0⎞ ⎛ 2 0 1 0 2⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 2 5 0 0 0⎟ ⎜ 0 2 0 1 3⎟ ⑴ ⎜ 0 0 3 0 0⎟ ； ⑵ ⎜ 0 0 1 0 0⎟ ． ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 0 1 0⎟ ⎜0 0 0 1 0⎟ ⎜0 0 0 0 1⎟ ⎜0 0 0 0 1⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝