树和二叉树PPT演示课件
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数据结构PPT树和二叉树
(c)
L
R
R
(d)
(e)
(a) 空树
(b) 只含根结点
(d) 左右子树均不为空树
(c) 右子树为空树 (e) 左子树为空树
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 学
性质1 在二叉树的第 i 层上至多有 2i - 1个结点。(i ≥ 1)
[证明用归纳法]
证明：当i=1时，只有根结点，2 i-1=2 0=1。
一般树和森林与二叉树的转换关系，最后介绍树的应用实
例。
安
徽 理
6.1 树的定义和基本术语
工
大 学
❖ 什么是树？树是由 n (n ≥ 0) 个结点的有限集合。如果 n
= 0，称为空树；如果 n > 0，则
▪ 有且仅有一个特定的称之为根(Root)的结点，它只有直
接后继，但没有直接前驱；
▪ 当n > 1，除根以外的其它结点划分为 m (m >0) 个互不
树构成(即不存在度大于2的结点)，并且左、右子树本身也
是二叉树。 说明： 1. 二叉树中每个结点最多有两棵子 树，二叉树每个结点度小于等于2；
A
B
D
E
C F
2. 左、右子树不能颠倒——有序树；
G
3. 二叉树是递归结构，在二叉树的定
义中又用到了二叉树的概念。
安
徽 理
二叉树的形态
工
大
学
φ
L
(a)
(b)
例1. 家族族谱
设某家庭有13个成员A、B、C、D、E、F、G、H、I、J
、K、L、M，他们之间的关系可如图所示的树表示。
例2. 单位行政机构的组织关系
数据结构树和二叉树ppt
A
B
C
D
E
FG
H
I
J
K
LM
树形表示法
(2) 文氏图表示法。使用集合以及集合的 包含关系描述树结构。下图就是树的文氏图 表示法。
A
C B
G EF
J
H D
IK LM
文氏图表示法
(3) 凹入表示法。使用线段的伸缩描述树结 构。下图是树的凹入表示法。
(4) 括号表示法。将树的根结点写在括号的左 边,除根结点之外的其余结点写在括号中并用逗号 间隔来描述树结构。下图是树的括号表示法。
1层 层次 根为第1层
最大层数为树的深度（高度）
2层 height 3层 = 4
双亲 (直接前驱） 孩子（直接后继）
KL
M d=0 4层
兄弟 堂兄弟 子孙 祖先
森林----m(m>=0)棵互不相交的树的集合。
B EF
A BC
树和森林的遍历
A C GH
F DG E
先 深根度次优序先遍遍历历
当树非先空根次序遍历
树孩结子点结结点构的：序da号ta
}link; he指ad向ptr下一个孩子结点typedef struct
特点：很快确定孩子指结向点第一个孩子结点{ dliantkaty*pheeaddapttar;;
每个结点但拥有确孩定子双的亲个效数率不同低，
所以采用单链表链接孩子结点。
}ctree; ctree T[maxnode];
bcd
在二叉树中查找指定结点
？a
? find(BTNode *b, elemtype x) {
b
c
if(b==NULL)
return(NULL); /*空树*/
云大《数据结构》课程教学课件-第6章 树和二叉树(147P)_OK
^d ^ ^ e ^ 三叉链表
3）二叉链表是二叉树最常用的存储结构。还有其它链接方 法，采用何种方法，主要取决于所要实施的各种运算频度。
例:若经常要在二叉树中寻找某结点的双亲时，可在每个结 点上再加一个指向其双亲的指针域parent，称为三叉链表。
lchild data parent rchild
2021/8/16
2021/8/16
9
6.2 二 叉 树
6.2.1 二叉树的概念
一、二叉树的定义： 二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集，它或者是 空集(n=0)或者由一个根结点和两棵互不相交的，分别称 为根的左子树和右子树的二叉树组成。 可以看出，二叉树的定义和树的定义一样，均为递归定 义。
A
集合3
集合1
BCD
EF
G
集合2
2021/8/16
3
2、树的表示方法 1）树形图法
A
BCD
EF
G
2）嵌套集合法
3）广义表形式 ( A(B, C(E,F), D(G) )
4）凹入表示法
2021/8/16
A B
D
CG
EF
A B C E DF G
4
3、 树结构的基本术语
1）结点的度(Degree)：为该结点的子树的个数。 2）树的度：为该树中结点的最大度数。
7）路径(Path)：若树中存在一个结点序列k1,k2,…,kj,使得ki是 ki+1的双亲(1<=i<j)，则称该结点序列是从ki到kj一条路径 (Path)
路径长度：路径的长度为j-1,其为该路径所经过的边的数 目。
A
BCD
EF
G
北京林业大学《数据结构与算法》课件PPT 第5章 树和二叉树
北京林业大学信息学院
A BC DE
先序遍历：A B D E C 中序遍历：D B E A C 后序遍历：D E B C A
口诀： DLR—先序遍历，即先根再左再右 LDR—中序遍历，即先左再根再右 LRD—后序遍历，即先左再右再根
北京林业大学信息学院
用二叉树表示算术表达式
+
*
E
*
D
/
C
A
B
北京林业大学信息学院
叉树。（特点：每层都 “充满”了结点）
完全二叉树：深度为k 的， 有n个结点的二叉树，当且
仅当其每一个结点都与深度
为k 的满二叉树中编号从1 至n的结点一一对应
北京林业大学信息学院
满二叉树和完全二叉树的区别
满二叉树是叶子一个也不少的树，而完全二叉树虽然 前n-1层是满的，但最底层却允许在右边缺少连续若 干个结点。满二叉树是完全二叉树的一个特例。
ADT BinaryTree{
数据对象D: D是具有相同特性的数据元素的集合。
数据关系R: 若D=Φ，则R= Φ ；
若D≠Φ，则R= {H}；存在二元关系：
① root 唯一 //关于根的说明
② Dj∩Dk= Φ //关于子树不相交的说明
③ ……
//关于数据元素的说明
④ ……
//关于左子树和右子树的说明
B n1
B n2 2 n1 1
n n2 2 n1 11 n2 n1 n0
北京林业大学信息学院
特殊形态的二叉树
1
只有最后一层叶子不满 ，且全部1 集中在左边
2
3
2
3
4
5
6
7
4
5
6
7
树转为二叉树的方法：PPT课件
号！ ——将 Huffman树 与 Huffman编码 挂钩
01 d
01
i 01
a
n
Huffman编码结果：d=0, i=10, a=110, n=111 特点W：PL每=一1b码it都×不7＋是2另bi一t×码5的+3前b缀it(，2+绝4不)=会35错译! 称为前缀码
2021/3/12
8
霍夫曼编码的基本思想是：概率大的字符用短码，概率小的用
21 32 28 g e0 1
17
11
e 10 0.32 e 100 0.32
01 0 1
f 11111 0.03 f 101 0.03 g 01 0.21 g 110 0.21
7 a
10 h
65 d0 1
h 1101 0.10 h 111 0.10
2 3f
c
Huffman码的WPL＝2(0.19+0.32+0.21) + 4(0.07+0.06+0.10) +5(0.02+0.03)
长码。由于霍夫曼树的WPL最小，说明编码所需要的比特数最
少。这种编码已广泛应用于网络通信中。
例2（严题集6.26③）：假设用于通信的电文仅由8个字母 {a,
b, c, d, e, f, g, h} 构成，它们在电文中出现的概率分别为 { 0.07, 0.19, 0.02, 0.06, 0.32, 0.03, 0.21, 0.10}，试为这8 个字母设计哈夫曼编码。如果用0～7的二进制编码方案又如何？
第6章 树和二叉树（ Tree & Binary Tree ）
6.1 树的基本概念 6.2 二叉树 6.3 遍历二叉树和线索二叉树 6.4 树和森林 6.5 赫夫曼树及其应用
01 d
01
i 01
a
n
Huffman编码结果：d=0, i=10, a=110, n=111 特点W：PL每=一1b码it都×不7＋是2另bi一t×码5的+3前b缀it(，2+绝4不)=会35错译! 称为前缀码
2021/3/12
8
霍夫曼编码的基本思想是：概率大的字符用短码，概率小的用
21 32 28 g e0 1
17
11
e 10 0.32 e 100 0.32
01 0 1
f 11111 0.03 f 101 0.03 g 01 0.21 g 110 0.21
7 a
10 h
65 d0 1
h 1101 0.10 h 111 0.10
2 3f
c
Huffman码的WPL＝2(0.19+0.32+0.21) + 4(0.07+0.06+0.10) +5(0.02+0.03)
长码。由于霍夫曼树的WPL最小，说明编码所需要的比特数最
少。这种编码已广泛应用于网络通信中。
例2（严题集6.26③）：假设用于通信的电文仅由8个字母 {a,
b, c, d, e, f, g, h} 构成，它们在电文中出现的概率分别为 { 0.07, 0.19, 0.02, 0.06, 0.32, 0.03, 0.21, 0.10}，试为这8 个字母设计哈夫曼编码。如果用0～7的二进制编码方案又如何？
第6章 树和二叉树（ Tree & Binary Tree ）
6.1 树的基本概念 6.2 二叉树 6.3 遍历二叉树和线索二叉树 6.4 树和森林 6.5 赫夫曼树及其应用
【信息技术 】用二叉树排序 —树与二叉树 课件 年教科版(2019)高中信息技术选择性必修1
(4)该树 5 个分支节点，7 个叶子节 点。 (5)节点H的层数 3 ，树的深度 4 。
(6)节点B的父节点 A 、兄弟节 点 C、D、孩子节点 E、F。
二
叉
树
二叉树的基本概念
二叉树是n（n≥0）个节点的有限集合： ① n = 0时，二叉树是一棵空树。。 ② 当n ≠ 0时，二叉树是由一个根节点(N)和两个互不相交的集合被称为
树的基本概念
定义：是n（n>=0）个节点的有限集合 若n=0,称为空树； 若n>0，则它满足如下两个条件； 1）有且仅有一个特定的称为根的节点； 2）其余节点可分为m（m>=0）个互不相交的有限集合
T1,T2,T3.....Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树。
节点A有 三棵子树
节点B有 两棵子树
树与二叉树
A
B
C
D
E
F
G
H
I
树
树是一种重要的非线性数据结构， 直观的看，它是数据元素（在树中称 之为节点）按分支关系组织起来的结 构，与自然界的树很像。
树
日常生活中很多事 物可以用树形图来表 示，如家族族谱、动 物分类等，如图所示
树
日常生活中很多事 物可以用树形图来表 示，如家族族谱、动 物分类等，如图所示
练一练 二
满二叉树
完全二叉树
完全二叉树
非完全二叉树 非完全二叉树
二叉树的基本遍历
对二叉树各个节点进行访问，即是遍历 操作。
1、前序遍历（根 左 右） 先访问根节点，再访问左子树，最
后访问右子树。
如右图的前序遍历顺序为： A-B-C
1A B2 C
二叉树的基本遍历
2、中序遍历（左 根 右） 先访问左子树，再访问根节点，最
(6)节点B的父节点 A 、兄弟节 点 C、D、孩子节点 E、F。
二
叉
树
二叉树的基本概念
二叉树是n（n≥0）个节点的有限集合： ① n = 0时，二叉树是一棵空树。。 ② 当n ≠ 0时，二叉树是由一个根节点(N)和两个互不相交的集合被称为
树的基本概念
定义：是n（n>=0）个节点的有限集合 若n=0,称为空树； 若n>0，则它满足如下两个条件； 1）有且仅有一个特定的称为根的节点； 2）其余节点可分为m（m>=0）个互不相交的有限集合
T1,T2,T3.....Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树。
节点A有 三棵子树
节点B有 两棵子树
树与二叉树
A
B
C
D
E
F
G
H
I
树
树是一种重要的非线性数据结构， 直观的看，它是数据元素（在树中称 之为节点）按分支关系组织起来的结 构，与自然界的树很像。
树
日常生活中很多事 物可以用树形图来表 示，如家族族谱、动 物分类等，如图所示
树
日常生活中很多事 物可以用树形图来表 示，如家族族谱、动 物分类等，如图所示
练一练 二
满二叉树
完全二叉树
完全二叉树
非完全二叉树 非完全二叉树
二叉树的基本遍历
对二叉树各个节点进行访问，即是遍历 操作。
1、前序遍历（根 左 右） 先访问根节点，再访问左子树，最
后访问右子树。
如右图的前序遍历顺序为： A-B-C
1A B2 C
二叉树的基本遍历
2、中序遍历（左 根 右） 先访问左子树，再访问根节点，最
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27
先根遍历时结点的
A
JK
EF
G
后根遍历时结点的 访问次序：
EFBCIJKHGDA
H
IJK
28
森林
可以分解成三部分：
BCD
EF
G
H
IJK
1. 森林中第一棵树 的根结点；
2. 森林中第一棵 树的子树森林；
3. 森林中其它树构 成的森林。
29
森林的遍历
先序遍历 若森林不空，则 访问森林中第一棵树的根结点; 先序遍历森林中第一棵树的子树森林; 先序遍历森林中(除第一棵树之外)其
} PTNode;
6
树结构: typedef struct {
PTNode nodes [MAX_TREE_SIZE]; int r , n ;
// 根结点的位置和结点个数 } PTree;
7
二、孩子(链表)表示法:
第一种解决方案
data child1 child2 child3
childd
其中d是结点的度;
应当注意的是，和树对应的 二叉树，其左、右子树的概念 已改变为： 左是孩子，右是兄弟
24
6.4.3 树和森林的遍历
25
一、树的遍历 二、森林的遍历
26
树的遍历:
先根(次序)遍历:
若树不空，则先访问根结点，然后 依次按先根遍历各棵子树。
后根(次序)遍历:
若树不空，则先依次按后根遍历各 棵子树，然后访问根结点。
4
一、双亲表示法:
data parent
A BC D
0 A -1 r=0 1 B 0 n=7 2C 0
EF
3D 0 4E 2
G
5F 2 6G 5
5
C语言的类型描述:
#define MAX_TREE_SIZE 100
结点结构: data parent
typedef struct PTNode { ElemType data; int parent; // 双亲位置域
第六章
树和二叉树
1
6.1 树的定义和基本术语 6.2 二叉树 6.3 遍历二叉树和线索二叉树 6.4 树和森林 6.6 赫夫曼树及其应用
2
6.4 树和森林
6.4.1 树的存储结构 6.4.2 森林与二叉树的转换 6.4.3 树和森林的遍历
3
6.4.1 树的存储结构 一、双亲表示法 二、孩子链表表示法 三、孩子兄弟存储表示法
树
森林
二叉树
先根遍历 先序遍历 先序遍历
后根遍历 中序遍历 中序遍历
32
设树的存储结构为孩子兄弟链表 typedef struct CSNode{
ElemType data; struct CSNode *firstchild, *nextsibling; } CSNode, *CSTree;
D
F
G
13
14
C语言的类型描述: 结点结构: firstchild data nextsibling
typedef struct CSNode{ ElemType data; struct CSNode *firstchild, *nextsibling;
} CSNode, *CSTree;
15
孩子结点结构: child next
typedef struct CTNode { int child; struct CTNode * next;
} *ChildPtr;
10
双亲结点结构 data firstchild
typedef struct { ElemType data; ChildPtr firstchild;
余树构成的森林。
即：依次从左至右对森林中的每一棵 树进行先根遍历。
30
中序遍历
若森林不空，则 中序遍历森林中第一棵树的子树森林; 访问森林中第一棵树的根结点; 中序遍历森林中(除第一棵树之外)其
余树构成的森林。 即：依次从左至右对森林中的每一棵 树进行后根遍历。
31
树的遍历和二叉树遍历 的对应关系 ？
A B
E
K
3 棵树的森林
T1 A T2 F T3 H
C
D
F
EG
H
I
B
G
I
K
J
C
K
J
D
森林的二叉树表示
E 各棵树的二叉树表示
20
由二叉树转换为森林的转换规则为:
若 B = Φ, 则 F = Φ; 否则， 由 Node(root) 对应得到 ROOT( T1 ); 由LBT 对应得到 ( t11, t12, …，t1m); 由RBT 对应得到 (T2, T3, …, Tn)。
由于每个结点的子女个数是不限 制的,则如按照度最大的结点的度分配 子女指针的个数,则在实际应用中,会有 很多空指针域,造成空间的浪费。
8
第二种解决方案
A BC D
EF G
data firstchild
0 A -1 1 1B0 2C0 4 3D0 4E2 6 5F2 6 G4
23
5
r=0 n=7
9
C语言的类型描述:
6.4.2 森林与二叉树的转换
设森林 F = ( T1, T2, …, Tn ); T1 = ( root，t11, t12, …, t1m );
二叉树 B =( LBT, Node(root), RBT );
16
由森林转换成二叉树的转换规则为:
若 F = Φ，则 B = Φ; 否则，
由 ROOT( T1 ) 对应得到Node(root); 由 (t11, t12, …, t1m ) 对应得到 LBT; 由 (T2, T3,…, Tn ) 对应得到 RBT。
21
二叉树转化成树(森林)的简单方法
㈠ 若某结点是其双亲的左孩子，则将该 结点的双亲同该结点的右孩子、右孩 子的右孩子、右孩子的右孩子的右孩 子……加连线；
㈡ 去掉所有双亲与右孩子之间的连线。
22
A
B
C
D
F
E
G
H
I
K
J
森林的二叉树表示
T1
T2 T3
A
FH
BCD G I J
E
K
3 棵树的森林
23
由此，树和森林的各种操作均 可与二叉树的各种操作相对应。
// 孩子链的头指针 } CTBox;
11
树结构:
typedef struct { CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n , r ; // 结点数和根结点的位置
} CTree;
12
三、树的孩子-兄弟(二叉链表)表示法
root
A
A
BC D
B C
EF
A
GB C
E
D
F
G
E
17
T1 T2,…,Tn
T11,T12,…,T1m
root
LBT
RBT
18
树(森林)转化成二叉树的简单方法
㈠ 在亲兄弟之间加连线；
㈡ 保留结点与第一个孩子之间的连线， 去掉与其余孩子之间连线；
㈢ 顺时针旋转45度。 以根结点为轴；左孩子不再旋转。
19
T1 A T2 F T3 H BCD G I J
先根遍历时结点的
A
JK
EF
G
后根遍历时结点的 访问次序：
EFBCIJKHGDA
H
IJK
28
森林
可以分解成三部分：
BCD
EF
G
H
IJK
1. 森林中第一棵树 的根结点；
2. 森林中第一棵 树的子树森林；
3. 森林中其它树构 成的森林。
29
森林的遍历
先序遍历 若森林不空，则 访问森林中第一棵树的根结点; 先序遍历森林中第一棵树的子树森林; 先序遍历森林中(除第一棵树之外)其
} PTNode;
6
树结构: typedef struct {
PTNode nodes [MAX_TREE_SIZE]; int r , n ;
// 根结点的位置和结点个数 } PTree;
7
二、孩子(链表)表示法:
第一种解决方案
data child1 child2 child3
childd
其中d是结点的度;
应当注意的是，和树对应的 二叉树，其左、右子树的概念 已改变为： 左是孩子，右是兄弟
24
6.4.3 树和森林的遍历
25
一、树的遍历 二、森林的遍历
26
树的遍历:
先根(次序)遍历:
若树不空，则先访问根结点，然后 依次按先根遍历各棵子树。
后根(次序)遍历:
若树不空，则先依次按后根遍历各 棵子树，然后访问根结点。
4
一、双亲表示法:
data parent
A BC D
0 A -1 r=0 1 B 0 n=7 2C 0
EF
3D 0 4E 2
G
5F 2 6G 5
5
C语言的类型描述:
#define MAX_TREE_SIZE 100
结点结构: data parent
typedef struct PTNode { ElemType data; int parent; // 双亲位置域
第六章
树和二叉树
1
6.1 树的定义和基本术语 6.2 二叉树 6.3 遍历二叉树和线索二叉树 6.4 树和森林 6.6 赫夫曼树及其应用
2
6.4 树和森林
6.4.1 树的存储结构 6.4.2 森林与二叉树的转换 6.4.3 树和森林的遍历
3
6.4.1 树的存储结构 一、双亲表示法 二、孩子链表表示法 三、孩子兄弟存储表示法
树
森林
二叉树
先根遍历 先序遍历 先序遍历
后根遍历 中序遍历 中序遍历
32
设树的存储结构为孩子兄弟链表 typedef struct CSNode{
ElemType data; struct CSNode *firstchild, *nextsibling; } CSNode, *CSTree;
D
F
G
13
14
C语言的类型描述: 结点结构: firstchild data nextsibling
typedef struct CSNode{ ElemType data; struct CSNode *firstchild, *nextsibling;
} CSNode, *CSTree;
15
孩子结点结构: child next
typedef struct CTNode { int child; struct CTNode * next;
} *ChildPtr;
10
双亲结点结构 data firstchild
typedef struct { ElemType data; ChildPtr firstchild;
余树构成的森林。
即：依次从左至右对森林中的每一棵 树进行先根遍历。
30
中序遍历
若森林不空，则 中序遍历森林中第一棵树的子树森林; 访问森林中第一棵树的根结点; 中序遍历森林中(除第一棵树之外)其
余树构成的森林。 即：依次从左至右对森林中的每一棵 树进行后根遍历。
31
树的遍历和二叉树遍历 的对应关系 ？
A B
E
K
3 棵树的森林
T1 A T2 F T3 H
C
D
F
EG
H
I
B
G
I
K
J
C
K
J
D
森林的二叉树表示
E 各棵树的二叉树表示
20
由二叉树转换为森林的转换规则为:
若 B = Φ, 则 F = Φ; 否则， 由 Node(root) 对应得到 ROOT( T1 ); 由LBT 对应得到 ( t11, t12, …，t1m); 由RBT 对应得到 (T2, T3, …, Tn)。
由于每个结点的子女个数是不限 制的,则如按照度最大的结点的度分配 子女指针的个数,则在实际应用中,会有 很多空指针域,造成空间的浪费。
8
第二种解决方案
A BC D
EF G
data firstchild
0 A -1 1 1B0 2C0 4 3D0 4E2 6 5F2 6 G4
23
5
r=0 n=7
9
C语言的类型描述:
6.4.2 森林与二叉树的转换
设森林 F = ( T1, T2, …, Tn ); T1 = ( root，t11, t12, …, t1m );
二叉树 B =( LBT, Node(root), RBT );
16
由森林转换成二叉树的转换规则为:
若 F = Φ，则 B = Φ; 否则，
由 ROOT( T1 ) 对应得到Node(root); 由 (t11, t12, …, t1m ) 对应得到 LBT; 由 (T2, T3,…, Tn ) 对应得到 RBT。
21
二叉树转化成树(森林)的简单方法
㈠ 若某结点是其双亲的左孩子，则将该 结点的双亲同该结点的右孩子、右孩 子的右孩子、右孩子的右孩子的右孩 子……加连线；
㈡ 去掉所有双亲与右孩子之间的连线。
22
A
B
C
D
F
E
G
H
I
K
J
森林的二叉树表示
T1
T2 T3
A
FH
BCD G I J
E
K
3 棵树的森林
23
由此，树和森林的各种操作均 可与二叉树的各种操作相对应。
// 孩子链的头指针 } CTBox;
11
树结构:
typedef struct { CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n , r ; // 结点数和根结点的位置
} CTree;
12
三、树的孩子-兄弟(二叉链表)表示法
root
A
A
BC D
B C
EF
A
GB C
E
D
F
G
E
17
T1 T2,…,Tn
T11,T12,…,T1m
root
LBT
RBT
18
树(森林)转化成二叉树的简单方法
㈠ 在亲兄弟之间加连线；
㈡ 保留结点与第一个孩子之间的连线， 去掉与其余孩子之间连线；
㈢ 顺时针旋转45度。 以根结点为轴；左孩子不再旋转。
19
T1 A T2 F T3 H BCD G I J