3.1.1《变化率与导数》课件

Dy 是函数值的改变量，可以是零．
由导数的定义可知，求函数 y f (x) 在 x0 处的
导数的步骤:
（1）求函数的增量: Df f (x0 Dx) f (x0 ) ；
（2）求平均变化率: Df f (x0 Dx) f (x0 ) ；
Dx
Dx
（3）取极限，得导数:
f
(
x0
)
lim
Dx0
体会“数形结合”，“以直代曲”的数学
思想方法。
以简单对象刻画复杂的对象
3.导函数(简称导数)
f
/ (x)
lim
Dx0
f
(x
Dx) Dx
f
(x)
t 0.5s
的速率 下落 。
1.6m / s
上升
１．你能借助函数 f (x)的图象说说平均变化率
f x0 Dx f (x0 ) 表示什么吗？请在函数
Dx
图象中画出来．
２．在 Dx 0 的过程中，割线AB的的变化情况 你能描述一下吗？ 请在函数图象中画出来．
3.1.1 导数的几何意义
y y f (x)
(3) 物体在t =2时的瞬时速度.
v Ds 2g 1 gDt
Dt
2
(1) 将 Dt=0.1代入上式，得
O s(2)
v 2.05g 20.09(m / s) (2) 将 Dt=0.01代入上式，得
s(2+Dt) Ds
v 2.005g 19.65(m / s)
( 3) 当Dt 0,2 Dt 2
r(V2 ) r(V1) f (x2 ) f (x1)
V2 V1
x2 x1
2． 瞬时速度 平均速度的概念
这段时间内汽车的平均速度为
v
经过的路程 所有的时间Βιβλιοθήκη s t150 10
54(km
/
h)
平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了 解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度— —瞬时速度．
v 的极限．即
v Ds lim s(t Dt) s(t)
Dt Dt0
Dt
例 物体作自由落体运动，
运动方程为： s 1 gt 2，其中位移 2
单位是m ，时间单位是s ， g=9.8m/s2．
求 ： (1) 物 体 在 时 间 区 间 [2，2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2，2.01] 上的平均速度；
引导：
1 这一现象中，哪些量在改变？ 2 变量的变化情况？ 3 引入气球平均膨胀率的概念
V (r) 4 r3 r(V ) 3 3V
3
4
当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了
r(1)－r(0)= 0.62 当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了
r(２)－r(１)= 0.１６
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况， 我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得 出函数的平均变化率
Ds OA1 OA0 s(t0 Dt) s(t0 )
在时间段( t0+Dt)－ t0 = Dt 内，物体的平均速度为:
v s(t0 Dt) s(t0 ) Ds
t0 Dt t0
Dt
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规 律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是 物体在t 到 t+Dt 这段时间内，当 Dt0 时平均速度 ．
曲线y f (x)在点M (x0, f (x0 ))处
的切线方程为 y y0 f (x0 )(x x0 )
y
A
B C
圆的切线定义并不适 l1 用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将 l2 割线趋于的确定位置的
直线定义为切线（交点 x 可能不惟一）适用于各
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。
已知物体作变速直线运动，其运动方程为
s＝s(t)(ｓ表示位移，t 表示时间)，求物体在 t0
时刻的速度．
如 图 设 该 物 体 在 时 刻 t0 的 位 置 是 ｓ (t0) ＝ OA0 ， 在 时 刻 t0
+Dt 的位置是s(t0+Dt) ＝OA1，则从 t0 到 t0 +Dt 这段时间内， 物体的 位移是
Dx) Dx
f (x0 )
y 也可记作 x xo
若这个极 限不存在，则
称在点x0 处不
可导。
V (t0 ) S(t0 ), K切 f (x0 )
说明：
（1）函数 f (x) 在点 x0 处可导，是指 Dx 0 时，
Dy 有极限．如果 Dy 不存在极限，就说函数在
Dx
Dx
点 x0 处不可导，或说无导数． （2）Dx是自变量x在 x0 处的改变量，Dx 0，而
h
O
0.5
1.0
t
(2)请描述，比较曲线分别在t0 ,t1 ,t 2
附近增（减）以及增（减）快慢的情况。
在 t3 , t4 附近呢？
h
O
t3 t4 t0
t1
t2
t
(2) 曲线在 t0 时，切线平行于x轴，曲线在
t0 附近比较平坦，几乎没有升降．
h/ (t1), h/ (t2 ) 0
曲线在 t1 , t2 处切线 l1,
t3, t4
l3 ,
在 t1, t2 附近，曲线下降
l2 的斜率 小于0 大于
l，4 函h/数(t3 )在, h/
(t4 )
t1 ,
0
t2
t3, t4
附近单调 递减
上升
t3, t4
递增
如图，切线 l2 的倾斜程度大于切线 l1 的
倾斜程度， l3
l4
这说明曲线在 t2 附近比在 t1附近 下降
得迅速．
P
P
P
根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以 用在点P处的切线近似代替 。
大多数函数曲线就一小范围来看，大致可 看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此 点的切线近似代替，即“以直代曲” （以简 单的对象刻画复杂的对象）
1.在函数 h(t) 4.9t 2 6.5t 10 的
图像上，(1)用图形来体现导数 h/ (1) 3.3 ， h/ (0.5) 1.6 的几何意义.
应地函数 y 取得增量 △y = f (x0 +△x)- f (x0 )，若△y与
△x之比当 △x→0的极限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处
可导 ，并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数，
记为 f (x0 ) 。
即
f
(
x0
)
lim
Dx0
Dy Dx
lim Dx0
f (x0
Dx
Dx0 Dx
我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数，
记为 f (x0 ) 或 y xxo ，即
f
(
x0
)
lim
Dx0
Df Dx
lim Dx0
f (x0
Dx) Dx
f (x0 )
导数的概念
设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x
在 x0 处取得增量 △x ( 点 x0 +△x 仍在该定义内）时， 相
T
P
0
x0 xn x
kn
f (xn ) f (x0 ) xn x0
y y f (x)
k lim f (x 0 Dx) f (x 0)
Dx0
Dx
P
o
x0
T
f (x 0 )
即 kPT tan f (x 0)
x
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 )在几何上表示 曲线y f (x)在点M (x0, f (x0 ))处的切线的斜率。
Dt
4.9Dt 3.3
h/ 1
lim Dh
Dt0 Dt
lim ( 4.9Dt 3.3 ) Dt 0
3.3
h/ 1 3.3 同理，h/ (0.5) 1.6
运动员在 t 1s 时的瞬时速度为 h/ (1) 3.3m / s ，
t 0.5s
h/ (0.5) 1.6m / s
这说明运动员在t 1s附近，正以大约3.3m / s
例:
高台跳水运动中， t 秒 (s) 时运动员相
对于水面的高度是 h(t) 4.9t 2 6.5t 10
（单位： m ），求运动员在t 1s 时的瞬时
速度，并解释此时的运动状态;在t 0.5s 呢?
Dh h(1 Dt) h(1)
Dt
Dt
4.9(Dt 1)2 6.5(Dt 1) 10 4.9 12 6.5 110
平均速度 v 的极限为:
v lim v lim Ds 2g 19.6(m / s)
Dt 0
Dt0 Dt
s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s).
当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
Δt
v
-0.1
-12.61
-0.01
Df Dx
．
V (t0 ) S(t0 ), K切 f (x0 )
例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同
产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 xh
时，原油的温度（单位：℃）为
f (x) x2 7x 15 (0 x 8).
计算第2 h和第6 h，原油温度的瞬时变化率， 并说明它们的意义。
v Dh h(t Dt) h(t)
Dt
Dt
v(2) lim h(2 Dt) h(2)
Dt 0