指数与指数函数知识点及题型归纳总结
指数及指数函数知识点总结及经典例题
高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、 根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时， （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、 图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。
指数与指数函数] · [基础] · [知识点+典型例题]
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指数与指数函数知识讲解一、指数运算1.根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根．即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n ．②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn．2.幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N*；N 个 2）)0(10≠=a a ； 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N* 且)1>n ． ②性质：1）r a a a a sr s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）． 注：上述性质对r s R ∈、均适用．二、指数函数1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数．2.函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y 轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称，x x y a y a ==-与的图象关于x 轴对称；log xa y a y x ==与的图象关于直线y x =对称．f x () =12( = 2x4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a ．5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=3函数值的变化特征：典型例题一．选择题（共8小题）1．（2017春•东河区校级期末）函数y=2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）2．（2016秋•黄陵县校级期末）下列函数一定是指数函数的是（）A．y=2x+1B．y=x3 C．y=3•2x D．y=3﹣x3．（2017秋•罗湖区校级期中）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣2）a x是指数函数，则a的值是（）A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．24．（2017秋•定州市校级期末）如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限5．（2017秋•历下区校级期末）已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（）A．t≤﹣1 B．t＜﹣1 C．t≤﹣3 D．t≥﹣36．（2018•全国模拟）若2m＞2n，则下列结论一定成立的是（）A．＞B．m|m|＞n|n|C．ln（m﹣n）＞0 D．πm﹣n＜1 7．（2018•凯里市校级二模）已知a=0.52.1，b=20.5，c=0.22.1，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＞a＞c C．b＜a＜c D．c＞a＞b8．（2017秋•天心区校级期末）某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是（）A．y=100x B．y=50x2﹣50x+100C．y=50×2x D．y=10x+100二．填空题（共3小题）9．（2016•南昌县自主招生）函数的定义域是．10．（2016•长宁区一模）方程9x+3x﹣2=0的解是．11．（2014秋•嘉定区期末）若函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是．三．解答题（共3小题）12．已知指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象过点（﹣2，），求函数的解析式．13．若指数函数的图象经过点（，4），求该函数的解析式及f（﹣）的值．14．比较a=（）0.2与b=2的大小．。
第17讲 指数函数及性质八大题型总结(解析版)
【详解】当 时， 为增函数，所以 ，当 时， 为增函数，所以 ，解得 ，因为 在 上为增函数，所以 ，解得 ，综上可知 。
【例7】已知函数 ，如果对任意 ， 恒成立，则满足条件的 的取值范围是．
【答案】
【详解】因 所以 在 上为奇函数，并且为减函数，所以 ，所以 ，所以 在 上恒成立，所以 ，当 时， ，所以 ，解得 。
【详解】∵ ，又 ，
∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.
故选：C.
题型三： 指数函数的定点
【例1】当 且 时，函数 必过定点.
【答案】
【详解】法一： 必过定点 ，将 向右平移2个单位得到 ，所以 必过定点 ，将 向下平移3个单位得到 ，所以函数 必过定点
法二：令 ，得到 ，所以 ，所以函数 必过定点
2.函数 在R上是减函数，则 的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【详解】因函数 在R上是减函数，所以 ，所以 ，所以
3.（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数 则关于t的不等式 的解集为________.
【答案】 .
【分析】先判断出 是奇函数且在R上为减函数，利用单调性解不等式.
(2)当 时， ， ； 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快．
当 时 ， ； 的值越大，图象越靠近 轴，递增速度越快．
(3)指数函数 与 的图象关于 轴对称．
函数① ；② ；③ ；④ 的图象如图2-3-1所示，则 ；
即 ， (底大幂大)； 时， ．
图2-3-1图2-3-2
(4)特殊函数：函数 ， ， ， 的图象如图2-3-2所示．
【例8】已知函数 ，则不等式 的解集是．
【答案】
【详解】因 所以 在 上为奇函数，并且为减函数，因
指数与指数函数知识点与题型归纳
指数与指数函数知识点与题型归纳1．根式(1)根式的概念：若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示；x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝ n a (当n 为奇数且n >1时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n >1时).2．有理数指数幂3a 变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，a 逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，a 逐渐减小．（1）画指数函数图象的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1. （2）指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象， 底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．（3）指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．题型一 指数幂的化简与求值1．化简3a a 的结果是________．2．若(2a －1)2＝3(1－2a )3，则实数a 的取值范围为________． 3.=+3-2-233___________4．已知24714===cba，则cb a 111+-＝________. 5. 已知14x x-+=，求1122x x -+及1x x --的值．题型二 指数函数的图象及应用类型一 与指数函数有关的图象辨析 6．函数|1|--=x ey |的大致图象是( )7．函数||1)(x e x f -=的图象大致是( )8．函数12+=x y 的图象是________(填序号)．类型二 指数函数图象的应用9．函数b a y x-=(a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定 10．函数33+=-x ay (a >0，且a ≠1)的图象过定点________．11. 若曲线13-=x y 与直线y ＝m 有两个不同交点，则实数m 的取值范围是________． 12．若条件变为：方程m x =-13||有两个不同实根，则实数m 的取值范围是________．13．若条件变为：函数m 13+-=x y 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________． 14．函数xa y =(a >0且a ≠1)与函数y ＝(a －1)x 2－2x －1在同一个坐标系内的图象可能是( )15．已知函数xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421的图象与指数函数xa y =的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是___16．设函数⎩⎨⎧>≤+=0,20,1)(x x x x f x,则满足1)1()(>-+x f x f 的x 的取值范围是________． 17．已知实数a ，b 满足等式ba20202019=，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________(填序号)． 18．设2m ＝3n ，则m ，n 的大小关系一定是（ ）A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ≥nD ．以上答案都不对题型三 指数函数的性质及应用类型一 比较指数式大小19．已知2.12=a ，2.021-⎪⎭⎫⎝⎛=b ，2log 25=c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a 20．已知xxx f --=22)(，4197-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，5179⎪⎭⎫⎝⎛=b ，97log 2=c ，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a ) 21.设函数axx f -=2)(与xa x g =)((a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与1.01⎪⎭⎫⎝⎛=a N 的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M ＜ND ．M ＞N 类型二 解不等式与方程 22．不等式1472-->x x a a(0<a <1)的解集为____________．23．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,0,721)(x x x x f x,若1)(<a f ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)24．当x ∈(－∞，－1]时，不等式024)(2<-⋅-xxm m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－3,4)D ．(－1,2) 25.方程11214=-+xx 的解为________．26. 若不等式0421>⋅++a xx在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________．类型三 与指数函数有关的函数最值问题 27．函数y ＝3x 2－2x的值域为________．28．函数12221)(++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的递减区间是________，值域是________．29．函数12141+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxy 在区间[－3,2]上的值域是________．类型四 与指数函数有关的函数单调性问题 30. 函数124)(+-=x xx f 的单调增区间是________．31. 已知函数|2|2)(m x x f -=(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________． 32．函数221)(x x x f -⎪⎭⎫⎝⎛=的单调递增区间是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21, B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2133．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]34．设xe xf =)(，0＜a ＜b ，若()ab fp =，⎪⎭⎫⎝⎛+=2b a f q ，)()(b f a f r =，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q35．若函数f (x )＝a x (a x －3a 2－1)(a >0，且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎝⎛32,0 B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33 C ．(]3,1 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23 36．已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围．37．已知函数3241)(1+-=-x x x f λ(－1≤x ≤2)． (1)若23=λ，求函数)(x f 的值域； (2)若函数)(x f 的最小值是1，求实数λ的值．38．函数()4426xx f x +=--，其中[]0,3x ∈（1）求()f x 的最大值与最小值；（2）若存在[]00,3x ∈使()00f x a -≤成立，求实数a 的范围.39．设指数函数xm x f )2()(+=，幂函数32)1()(x m m x g ++=． （1）求m ；（2）设a ＜0，如果存在x 1，x 2∈[﹣2，2]，使得)()(21x g x af >，求a 的取值范围．2.解析：2a －12＝|2a －1|，31－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a .故2a －1≤0，所以a ≤12.3.解析：原式22(33)2(33)2(33)3324232(31)+++===-----22(33)2(1263)2266(33)(33)+===-+4.解析：由题设可得21a ＝14,21b＝7,21c ＝4，则2-11a b＝147＝2，∴2-+111a b c ＝2×4＝23，∴1a －1b ＋1c ＝3.5.解析：因为14x x-+=，所以 x ＞0，则112122()2426x x x x --+=++=+=，则11226x x-+=因为 1222()216x x x x --+=++=，则2214x x -+=，所以 1222()214212x x x x ---=+-=-=，所以11223x x--==±6.解析：因为－|x －1|≤0，所以0<e －|x －1|≤e 0，即0<y ＝e－|x －1|≤1，故选B.7.解析：选A 由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又e |x |≥1，所以f (x )的值域为 (－∞，0]，排除C.8.解析：由y ＝2x 的图象向左平移1个单位可得y ＝2x＋1的图象．答案：①9.解析：因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1，故a b ∴(0,1)，故选C.10.解析：因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中， 令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝a x －3＋3的图象过定点(3,4)．11.解析：曲线y ＝|3x －1|的图像是由函数y ＝3x 的图像向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，而直线y ＝m 的图像是平行于x 轴的一条直线，它的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝m 有两个公共点，则m 的取值范围是(0,1)．12.解析：作出函数y ＝3|x |－1与y ＝m 的图像如图所示，数形结合可得m 的取值范围是(0，＋∞)．]13.解析：作出函数y ＝|3x －1|＋m 的图像如图所示．由图像知m ≤－1，即m ∴(－∞，－1]．14.解析：选C ；两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A 、D ；二次函数的对称轴为直线x ＝1a －1，当0<a <1时，指数函数递减，1a －1<0，C 符合题意；当a >1时，指数函数递增，1a －1>0，B 不符合题意，选C. 15.解析：由两函数的图象关于y 轴对称，可知12a －4与a 互为倒数，即a2a －4＝1，解得a ＝4.16.解析：画出函数f (x )的大致图象如图所示，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立，结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1，解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．17.解析：作出y ＝2 019x 及y ＝2 020x 的图像如图所示，由图可知a ＞b ＞0，a ＝b ＝0或a ＜b ＜0时，有2 019a ＝2 020b ，故③④不可能成立．18.解：当m ＞n 时，因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2m ＝3n ＞2n ，所以（）n ＞1，所以m ＞n ＞0， 当m ＝n 时，（）n ＝1，所以m ＝n ＝0，当m ＜n 时，因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2m ＝3n ＜2n ， 所以（）n ＜1，所以n ＜0，则m ＜n ＜0，故选：D ．19.解析：因为2.021-⎪⎭⎫⎝⎛=b ＝20.2<21.2＝a ，所以a>b>1.又因为c ＝2log 52＝log 54<1，所以c<b<a.选C20.解析：易知f(x)＝2x －2－x 在R 上为增函数，又0797997514141>=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a ，c ＝log 279<0， 则a>b>c ，所以f(c)<f(b)<f(a)． 21.因为f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a ＞2，所以M ＝(a －1)0.2＞1，111.0<⎪⎭⎫⎝⎛=a N ，所以M ＞N .故选D.22.解析：因为y ＝a x (0<a <1)为减函数，所以2x －7<4x －1，解得x >－3；答案为(－3，＋∞)点评：(1)a f(x)＝a g(x)⇔f(x)＝g(x)．(2)a f(x)＞a g(x)，当a ＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a ＜1时，等价于f(x)＜g(x)．23.解析：当a <0时，不等式f (a )<1可化为1721<-⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，即821<⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，即32121-⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，因为0<12<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为a<1，所以0≤a<1. 故a 的取值范围是(－3,1)．24.解析：因为(m 2－m )·4x －2x <0在(－∞，－1]上恒成立．所以(m 2－m )<12x 在x ∴(－∞，－1]上恒成立．因为y ＝12x 在(－∞，－1]上单调递减，所以当x ∴(－∞，－1]时，y ＝12x ≥2，所以m 2－m <2，所以－1<m <2.选D25.解析：当x ≥0时，原方程化为4x ＋2x －12＝0，即(2x )2＋2x －12＝0.∴(2x －3)(2x ＋4)＝0，所以2x ＝3，即x ＝log 23.当x ＜0时，原方程化为4x －2x －10＝0.令t ＝2x ，则t 2－t －10＝0(0＜t ＜1)．由求根公式得t ＝1±1＋402均不符合题意，故x ＜0时，方程无解．26.解析：从已知不等式中分离出实数a ，得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->x x a 2141.因为函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41和xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21在R 上都是减函数，所以当x ∴(－∞，1]时，4141≥⎪⎭⎫ ⎝⎛x，2121≥⎪⎭⎫ ⎝⎛x，所以4321412141=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx，从而得432141-≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .故实数a 的取值范围为a ＞－34.即⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,4327.解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x 的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31.28.解析：令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又uy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21在R 上是减函数，则函数12221)(+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则4121)(2=⎪⎭⎫⎝⎛≥x f ，即函数f (x )的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41。
指数与指数函数知识点及例题讲义高三数学一轮复习
知识点一：根式的概念一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若 ，则 叫做 的n 次方根， ()*∈>N n n ,1 ①n n a ）（= ②n n a = 1. 给出下列各式：①√a n n =a ；②√a √a =a 34(a >0)； ③√−33=√(−3)26.其中正确的是 2. 求下列各式的值：(1)√(−8)33; (2)√(−10)2; (3)√(3−π)44; (4)√(a −b)2．知识点二：指数的性质当a >0，b >0时(m ,n ∈R)，有=m n a =-n a =-m na =n m a a =n m a a =n m a ）（ =n ab ）（ 3. 求值：(214)12−(−9.6)0−(338)−23+1.5−2+[(−5)4]14；4. 化简：(a 23−1−12−12⋅b 13√565. (1)√(3−π)44+(0.008) 13−(0.25) 12×(√2)−4(2)(√23×√3)6+(√2√2) 43−4×(1649) −12−√24×80.25−(−2009)06. 已知a 12+a −12=3，求下列各式的值(写出过程)：(附：a 3+b 3=(a +b)(a 2−ab +b 2))1-+a a (2)a 2+a −2 (3)a 32+a −32 （4）1--a a7.已知a12+a−12=3，求a32+a−32的值．知识点三：指数函数的定义一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．8.函数2y a a a=-+是指数函数，求a(33)x知识点四：指数函数的性质9.已知指数函数f(x)=(2a−1)x在(−∞,+∞)内是增函数，则实数a的取值范围是，则a的值是_______10.函数ƒ(x)=a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a211. 下列各式比较大小正确的是：1.72.3______ 1.74 ； 0.6−1______ 0.62； 1.70.3______ 0.92.30.8−0.1______ 1.250.212. 已知a =(13)−1.1,b =π0,c =30.9，则a ，b ，c 三者的大小关系是() A. c <b <a B. c <a <b C. b <a <c D. b <c <a13. 已知a =(35)25，b =(25)35，c =(25)25，则（ ） A. a <b <c B. c <b <a C. c <a <b D. b <c <a14. （多选）设函数f(x)=2x ，对于任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，下列命题中正确的是( )A. f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)B. f(x 1+x 2)=f(x 1)⋅f(x 2)C.f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0 D. f(x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)215. 不等式3−x 2+2x >13x+4的解集为________16. 求不等式a 2x 7＞a 4x 1（a ＞0，且a ≠1）中x 的取值范围。
专题09 指数与指数函数(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.指数及指数运算(1)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题09指数与指数函数根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈，n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠；③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈；③()(0mm mab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈．2.指数函数⑥既不是奇函数，也不是偶函数【方法技巧与总结】1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1()xy a=的图象关于y 轴对称．【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______．例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为___________.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．1x =-或2x =例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x x f x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（）A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞例5．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0).（3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++ 的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数2()()-+=-x xx m f x a a ，的图象如图所示，则（）A ．0,01<<<m aB ．0,1<>m aC ．0,01m a ><<D ．0,1>>m a 例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的值域为()0,1C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+D ．()f x 是增函数例9．（2022·河南·三模（文））已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()3(21xf x a a =-+为实常数).（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+ ．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()f x x =，1()2xg x m⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）当[1,3]x ∈-时，求()f x 的值域；（2）若对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，求实数m 的取值范围；（3）若对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，求实数m 的取值范围．【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6例19．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,4D ．()2,4例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x =++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.例23．（2022·江西·二模（文））设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率1.7783≈）（）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e 126!nxx x x x n =+++++++ ，其中R,N x n ∈∈的近似值为（精确到0.01）（）A ．1.63B ．1.64C ．1.65D ．1.664．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（）A ．26B ．16C ．－16D ．－265．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）．A ．13B ．1CD ．26．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （）A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-8．（2022·上海宝山·二模）关于函数131()(22xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（）A ．若3m n -<<，则()()f m f n <B ．若0m n <<，则()()f m f n <C ．若()()f m f n <，则22m n <D ．若()()f m f n <，则33m n <二、多选题9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（2022·全国·模拟预测）已知0a b >>，下列选项中正确的为（）A 1=，则1a b －＜B ．若221a b －＝，则1a b －＜C ．若22=1a b -，则1a b －＜D ．若22log log 1a b -=，则1a b －＜11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若a b >，则下列不等式中正确的有（）A ．0a b ->B ．22a b>C ．ac bc>D ．22a b >12．（2022·全国·模拟预测）已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______．16．（2022·山西·二模（理））已知函数()322x xx f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0, +上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为25602m ，当积水深度小于等于0.05m 时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1294⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹣9.6）0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知1122a a-+=3，求22112a a a a --++++的值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围．20．（2022·全国·高三专题练习）设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数；（1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集；（2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值．21．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.(1)设12,2a b ==，求方程()2f x =的根；(2)设12,2a b ==，若对任意x ∈R ，不等式()()26f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；(3)若01,1a b <<>，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.。
(完整word版)指数与指数函数知识点与例题讲解
指数与指数函数知识点与例题讲解【基础知识回顾】一、指数1、根式：当n 为奇数，a a n n =；当n 为偶数，⎩⎨⎧<-≥==00a a a a a a n n ，，.2、指数运算 (1)分数指数幂()10>∈>=*n N n m a a a n mnm，且，，； ()1011>∈>==*-n N n m a a aanmnm nm ，且，，.(2)指数幂的运算性质①()Q s r a aa a sr sr∈>=•+，，0； ②()Q s r a a aa s r s r∈>=-，，0；③()()Q s r a a a rs sr∈>=，，0； ④()()Q r b a b a ab r r r∈>>=，，00.二、指数函数1、定义：一般地，函数()10≠>=a a a y x ，且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .2、图像和性质1>a 10<<a图像性质定义域： 值域：过定点 ，即当0=x 时，1=y在R 上是在R 上是非奇非偶函数3、同底的指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称. 三、立方和差公式()()2233y xy x y x y x +-+=+，()()2233y xy x y x y x ++-=-.【课前小测】1、233等于（ ） A 、2 B 、33 C 、327 D 、27 2、52-a等于（ ） A 、52-aB 、25aC 、52aD 、25a -3、下列函数是指数函数的是（ ） A 、2x y = B 、x y 2= C 、12+=x y D 、x y 23⨯=4、函数32-=x y 的定义域为（ ） A 、[)+∞,3 B 、R C 、()+∞,3 D 、()+∞,05、使代数式041)73()2(-+--x x 有意义，则x 取值范围是 .考点一 ：比较大小例1、比较下列各题中两个数的大小：⑴8.03 7.03 ⑵1.075.0- 1.075.0 ⑶6.08.1 6.18.0 ⑷3231-⎪⎭⎫ ⎝⎛ 532-【解析】⑴因为x y 3=在R 上是增函数，且7.08.0>，所以>8.037.03。
根据指数函数知识点及题型归纳总结
根据指数函数知识点及题型归纳总结指数函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对指数函数的知识点和常见题型进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、知识点总结1. 定义：指数函数是以底数为常数，指数为变量的函数，一般形式为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
2. 指数的性质：- 正指数：a^x 是递增函数，即 x1 < x2，则 a^x1 < a^x2。
- 负指数：a^x 是递减函数，即 x1 < x2，则 a^x1 > a^x2。
- 零指数：a^0 = 1，任意数的零次方等于 1。
3. 底数的性质：- a > 1 时，指数函数呈现增长态势；- 0 < a < 1 时，指数函数呈现衰减态势；- a = 1 时，指数函数为常数函数。
4. 指数函数的图像：根据底数的不同，指数函数的图像可以是上升的曲线、下降的曲线或是一条直线。
5. 指数函数的特殊情况：- 当底数为 e（自然对数的底数）时，指数函数被称为自然指数函数，常用记作 f(x) = e^x。
- 当底数为 10 时，指数函数被称为常用对数函数，常用记作f(x) = log10(x)。
二、题型归纳1. 指数函数的图像绘制：- 根据给定的底数和定义域绘制指数函数的图像。
2. 指数函数的性质应用：- 判断给定的函数是指数函数还是其他类型的函数。
- 比较多个指数函数的增长趋势。
- 求解包含指数函数的方程或不等式。
3. 指数函数的变形与组合：- 利用指数函数的特性进行函数的变形与组合，如 f(x) = a^(2x)、f(x) = a^(x+1) 等。
4. 自然指数函数与常用对数函数的特性：- 探究自然指数函数和常用对数函数的特点及应用。
总结：指数函数是数学中重要的函数类型之一，掌握其基本概念及性质对于理解和应用数学知识具有重要意义。
通过练不同类型的题目，读者可以更好地熟悉指数函数的特点和应用，提高解题能力。
(完整word版)指数及指数函数知识点及习题
指数及指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>；（2）rssr a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）srra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．（一）指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义 ○2 注意指数函数的底数的取值范围，底数为什么不能是负数、零和1．（二）指数函数的图象和性质注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．指数函数的图象如右图：4图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1） 1a 0=自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 1a ,0x x >> 1a ,0x x <>在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 1a ,0x x <<1a ,0x x ><图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；指数与指数函数练习题一、选择题：1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ） A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a3、若1,0a b ><,且b b a a -+=则b b a a --的值等于（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2<a C、a <、1a <<5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是( )A 、 1(1)2x +B 、14x + C 、2x D 、2x -6、已知01,1a b <<<-,则函数xy a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限7、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)na b -8、若103,104x y ==，则10x y -= 。
2024年新高考数学复习知识梳理与题型归纳第9讲指数与指数函数教师版
第9讲指数与指数函数思维导图知识梳理1.指数与指数运算(1)根式的性质①(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)．②当n 是奇数时，n a n ＝a ；当n 是偶数时，n a n ＝|a ，a ≥0，a ，a <0.(2)分数指数幂的意义①a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(3)有理数指数幂的运算性质①a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；②a r as ＝a r －s (a >0，r ，s ∈Q )；③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )；④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．2．指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．3．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质底数a >10<a <1图象性质定义域为R ，值域为(0，＋∞)图象过定点(0，1)当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >1在定义域R 上为增函数在定义域R 上为减函数注意指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，应分a >1与0<a <1来研究核心素养分析幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。
本讲的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。
指数与指数函数知识点及题型归纳总结
指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R )；(2)mm n n a a a-=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )；(4)(ab )m =a m b m (m ∈R )；(5)pp a a-=1(p ∈Q ) (6)mm n n a a =(m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域：R (1)定义域：R 值域(2)值域：(0,+∞) (2)值域：(0,+∞) (3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数. (4)在R 上是减函数. (5)0<y <1⇔x >0y =1⇔x =0 y >1⇔x <0(5)0<y <1⇔x <0y =1⇔x =0 y >1⇔x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4()()a a b b ab a b b+÷+--223333311的值； (2)若x x -+=11223，x x x x --+-+-33222232的值； (3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求()n a a +21的值.分析：利用指数运算性质解题.===.当a=2，b=4，原式===12.(2)先对所给条件作等价变形：()x x x x--+=+-=-=11122222327，()()x x x x x x---+=++-=⨯=33111222213618，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.故x xx x--+--==+--3322223183124723.(3)因为n na--=11201420142，所以()n na-++=11222014201412，n n n nna---+--=-=111112014201420142014201422.所以)na-=12014.变式1 设2a=5b=m，且a b+=112，则m=( ).A. B. 10 C. 20 D. 100二、指数方程例2.49 解下列方程(1)9x-4⋅3x+3=0；(2)()()x x⋅=29643827；分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于()()x x⋅2938，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x-4⋅3x+3=0⇒(3x)2-4⋅3x+3=0，令t=3x(t>0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，得t1=1，t2=3，即x=131或x=233，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.(2)由()()x x⋅=29643827，可得()x⨯=33294383即()()x=33443，所以()()x-=33344，得x=-3.故原方程的解为x=-3.变式1方程9x-6⋅3x-7=0的解是________.变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例2.50若对x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对∀x ∈[1,2]，不等式x +m >1恒成立⇔函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}.变式1 已知对任意x ∈R ，不等式()x mx m x x -+++>22241122恒成立，求m 的取值范围.变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ∈R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围.题型2 指数函数的图像及性质 思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像 例2.51 函数()x bf x a-=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( ).A. a >1，b <0B. a >1，b >0C. 0<a <1，0<b <1D. 0<a <1，b <0 分析：考查指数函数的图象及其变换.解析：由图2-14可知0<a <1，当x =0时，b a -∈(0,1)，故-b >0，得b <0，故选D. 评注：若本题中的函数变为()xf x a b =-，则答案又应是什么？由图2-14可知ƒ(x )单调递减，即0<a <1，函数y =a x 的图像向下平移得到xy a b =-的图像，故0<b <1，故选C. 变式1 若函数y =a x +b -1(a >0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0 C. 0<a <1且b <0 D. a >1且b <0 变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0，a ≠1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ，b 满足()()a b =1123，下列5个关系式：①0<b <a ，②a <b <0，③0<a <b ，④b <a <0，⑤a =b =0.其中不可能．．．成立的有( ). A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个例2.52 函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点_________. 分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a 0=1.解析：因为函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1)，又函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像是由函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点(-1,1). 变式1 函数ƒ(x )=a x +1(a >0且a ≠1)的图像过定点________. 变式2 函数ƒ(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ƒ(x )=x a -1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上，则m n+11的最小值为________.二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例2.53 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是_______. 分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0<a <1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a ，最小值为a 2，则a a a -=22，得a a =22，又0<a <1，所以a =12； 当a >1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a 2，最小值为a ，那么a a a -=22，得aa =232，又a >1，所以a =32. 综上所述，a 的值是12或32.评注：函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)，不论0<a <1还是a >1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得. 所以||a a a -=22，解得a =12或a =32. 变式1 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍，则a =_____.变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ]，值域为[1,2]，则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ∈([a ,b ])的值域为[1,9]，则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. [2.4]B. [4,16]D. [4,12]例2.54 函数xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析：复合函数xx y a --+=+248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+∞)上单调递减，在(-∞,-1]上单调递增，且y =a x (0<a <1)是减函数，所以xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+∞).变式1 函数()f x 1________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ∈[-3,2])的单调区间及值域.变式3 已知0≤x ≤2，求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =ƒ(x )在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x kf x k ≤>，取函数ƒ(x )=2-|x |，当k =12时，函数ƒk (x )的单调增区间为( ). A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,-1] D. [1,+∞)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21，x ∈R ，若方程ƒ(x )=a 有两个不同实根，则a 的取值范围是__________. 题型3 指数函数中的恒成立问题 思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例2.55 设()x x f x a =++⋅124(x ∈R)，当x ∈(-∞,-1]时，ƒ(x )的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 分析：本题等价于当x ≤1时，x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ，转化为求解函数的最值. 解析：因为当x ∈(-∞,1]时，ƒ(x )的图像在x 轴上方，所以对于任意x ≤1，x x a ++⋅124>0恒成立，即x x a +>-214(x ≤1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ≤1)，a >u (x )max ，x ∈(-∞,1].因为()x y =12，()x y =14均是减函数，所以u (x )在(-∞,1]上单调递增，故当x =1时，max ()()u x u ==-314，故a >-34.故实数a 的取值范围为(-34,+∞).变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ≠1). (1)判断函数ƒ(x )的奇偶性； (2)讨论函数ƒ(x )的单调性；(3)当x ∈[-1,1]时，ƒ(x )≥b 恒成立，求实数b 的取值范围. 变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1） 求a,b 的值.（2） 若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 变式3 已知函数1()22x xf x =-，若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A a=1或a=2B a=1C a=2D 0a >且1a ≠ 2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===，则（ ）A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（ ）A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22xxf x -=-是（ ） A 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340xxa ++•+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C （1）D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->，当01x ≤≤时，恒成立，则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程1()()10xf x =，在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()xf x b a =⋅（其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A （1,6），B （3,24）. （1）确定()f x .（2）若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a). (1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①3m n >>；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为22[,]n m .若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由.。
(word版)指数及指数函数知识点,文档
指数函数〔一〕整数指数幂1．整数指数幂概念：a n aa a(n N )a 01an 个aa n1n a 0,n Na n2．整数指数幂的运算性质：〔1〕a m n a m n m,nZ 〔2〕a m a mnm,nZ ana nb n n Z〔3〕ab a n 1n n a n其中a m a n a m a n a mn ab a n b ．， b b n3．a 的n 次方根的概念一般地，如果一个数的 n 次方等于an 1,n N ，那么这个数叫做 a 的n 次方根，即：假设x n a ，那么x 叫做a 的n 次方根， n 1,n N例如：27的3次方根 32的5次方根 35273， 27 的3次方根 322，32 的5次方根 3 527 3， 32 2．说明：①假设n 是奇数，那么a 的 n 次方根记作n a ；假设a 0 那么na 0，假设a o 那么n a 0；②假设n 是偶数，且a0 那么a 的正的n 次方根记作na ，a 的负的n 次方根，记作：na ；〔例如：8的平方根8 2 216的4次方根4162〕③假设n 是偶数，且a0那么na 没意义，即负数没有偶次方根；④0n0n1,nN∴n 00；⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴n n a ．a．4．a 的n 次方根的性质一般地，假设n 是奇数，那么na na ；假设n 是偶数，那么na naa a 0．a a 0〔二〕分数指数幂5a10a2103a12a4121．分数指数幂：a5a0a3a0即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质〔2〕a k na kn对分数指数幂也适用，2323545424例如：假设a0a5，∴3a24a5，那么a3a3a2，a4a4a3a5．即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
mn a m规定：〔1〕正数的正分数指数幂的意义是a n a0,m,n N,n1；m11〔2〕正数的负分数指数幂的意义是a n0,m,n N,n1．m a．a n n a m分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用2即1a r a s a rs a0,r,sQ2a r sa0,r,sQa rs3ab ra0,b0,r Qa rb r说明：〔1〕有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；〔2〕0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
指数与指数函数知识点及题型归纳总结
指数与指数函数知识点及题型归纳总结(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ?R )； (2)mm n n a a a-=( m ,n ?R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ?R )； (4)(ab )m =a m b m (m ?R )； (5)pp aa-=1(p ?Q )(6)m m n na a =(m ,n ?N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ?1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0且a ?1)的图像和性质如表2-6所示.y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域：R (1)定义域：R 值域(2)值域：(0,+?) (2)值域：(0,+?) (3)过定点(0,1) (3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数.(4)在R 上是减函数.(5)0<y <1?x >0y =1?x =0 y >1?x <0(5)0<y <1?x <0y =1?x =0 y >1?x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ?0(?0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算 例化简并求值.(1)若a =2，b =41的值； (2)若x x -+=11223，x x x x --+-+-33222232的值；(3)设nna --=11201420142(n ?N +)，求)n a 的值.分析：利用指数运算性质解题.解析：1==2211. 当a =2，b =4，原式===12.(2)先对所给条件作等价变形：()x x x x --+=+-=-=11122222327，()()x xx x x x ---+=++-=⨯=33111222213618，x 2+x -2=(x +x -1)2-2=72-2=47. 故x x x x --+--==+--3322223183124723.(3)因为nna --=11201420142，所以()nna -++=11222014201412，所以nnnnna ---+-=-=111112014201420142014201422.所以)n a -=12014.变式1 设2a =5b =m ，且ab+=112，则m =( ).B. 10C. 20D. 100二、指数方程 例 解下列方程(1)9x -4?3x +3=0；(2)()()x x ⋅=29643827； 分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x =(3x )2；对于()()x x ⋅2938，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x -4?3x +3=0?(3x )2-4?3x +3=0，令t=3x (t>0)，则原方程变形为t 2-4t+3=0， 得t 1=1，t 2=3，即x =131或x =233，故x 1=0，x 2=1.故原方程的解为x 1=0，x 2=1.(2)由()()x x ⋅=29643827，可得()x ⨯=33294383即()()x =33443，所以()()x -=33344，得x =-3.故原方程的解为x =-3.变式1 方程9x -6?3x -7=0的解是________. 变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例若对x ?[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ?[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对?x ?[1,2]，不等式x +m >1恒成立?函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}. 变式1 已知对任意x ?R ，不等式()x mx m xx-+++>22241122恒成立，求m 的取值范围. 变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ?R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 题型2 指数函数的图像及性质 思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像例 函数()x b f x a -=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( ).A. a >1，b <0B. a >1，b >0C. 0<a <1，0<b <1D. 0<a <1，b <0分析：考查指数函数的图象及其变换.解析：由图2-14可知0<a <1，当x =0时，b a -?(0,1)，故-b >0，得b <0，故选D.评注：若本题中的函数变为()x f x a b =-，则答案又应是什么由图2-14可知?(x )单调递减，即0<a <1，函数y =a x 的图像向下平移得到x y a b =-的图像，故0<b <1，故选C. 变式1 若函数y =a x +b -1(a >0且a ?1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0C. 0<a <1且b <0D. a >1且b <0变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0，a ?1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ，b 满足()()a b =1123，下列5个关系式：①0<b <a ，②a <b <0，③0<a <b ，④b <a <0，⑤a =b =0.其中不可能．．．成立的有( ). A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个例 函数?(x )=x a +1(a >0且a ?1)的图像过定点_________. 分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a 0=1.解析：因为函数?(x )=a x (a >0且a ?1)的图像过定点(0,1)，又函数?(x )=x a +1(a >0且a ?1)的图像是由函数?(x )=a x (a >0且a ?1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数?(x )=x a +1(a >0且a ?1)的图像过定点(-1,1).变式1 函数?(x )=a x+1(a >0且a ?1)的图像过定点________. 变式2 函数?(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ?(x )=x a -1(a >0且a ?1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上，则m n+11的最小值为________. 二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例 函数?(x )=a x (a >0且a ?1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值是_______. 分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0<a <1时，函数?(x )=a x 在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a ，最小值为a 2，则a a a -=22，得a a =22，又0<a <1，所以a =12；当a >1时，函数?(x )=a x 在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a 2，最小值为a ，那么a a a -=22，得a a =232，又a >1，所以a =32.综上所述，a 的值是12或32.评注：函数?(x )=a x (a >0且a ?1)，不论0<a <1还是a >1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得.所以||a a a -=22，解得a =12或a =32.变式1 函数?(x )=a x (a >0且a ?1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍，则a =_____. 变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ]，值域为[1,2]，则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ?([a ,b ])的值域为[1,9]，则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. []B. [4,16]D. [4,12]例 函数x x y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析：复合函数x x y a --+=+248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+?)上单调递减，在(-?,-1]上单调递增，且y =a x (0<a <1)是减函数，所以x x y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+?). 变式1 函数()f x =的单调增区间是________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ?[-3,2])的单调区间及值域. 变式3 已知0?x ?2，求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =?(x )在(-?,+?)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x k f x k ≤>，取函数?(x )=2-|x |，当k =12时，函数?k (x )的单调增区间为( ). A. (-?,0]B. [0,+?)C. (-?,-1]D. [1,+?)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21，x ?R ，若方程?(x )=a 有两个不同实根，则a 的取值范围是__________.题型3 指数函数中的恒成立问题 思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例 设()x x f x a =++⋅124(x ?R)，当x ?(-?,-1]时，?(x )的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 分析：本题等价于当x ?1时，x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ，转化为求解函数的最值.解析：因为当x ?(-?,1]时，?(x )的图像在x 轴上方，所以对于任意x ?1，x x a ++⋅124>0恒成立，即x x a +>-214(x ?1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ?1)，a >u (x )max ，x ?(-?,1].因为()x y =12，()x y =14均是减函数，所以u (x )在(-?,1]上单调递增，故当x =1时，max ()()u x u ==-314，故a >-34. 故实数a 的取值范围为(-34,+?). 变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ?1). (1)判断函数?(x )的奇偶性； (2)讨论函数?(x )的单调性；(3)当x ?[-1,1]时，?(x )?b 恒成立，求实数b 的取值范围.变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1） 求a,b 的值.（2） 若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.变式3 已知函数1()22x x f x =-，若2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则有（ ） A a=1或a=2 B a=1 C a=2 D 0a >且1a ≠2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===，则（ ）A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（ ）A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22x x f x -=-是（ ） A 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340x x a ++•+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C （1）D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->，当01x ≤≤时，恒成立，则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程1()()10x f x =，在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()x f x b a =⋅（其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A （1,6），B （3,24）. （1）确定()f x .（2）若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a).(1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①3m n >>；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为22[,]n m .若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由.。
指数与指数函数知识点与题型分类讲解
指数与指数函数知识点与题型分类讲解[归纳·知识整合]1．根式(1)根式的概念：(2)两个重要公式：①na n＝⎩⎨⎧a，n为奇数，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a＜0)，n为偶数；②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．[探究] 1.na n＝a成立的条件是什么？提示：当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0. 2．有理数指数幂(1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a mn＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：amn-＝1amn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的性质：①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质[探究] 2．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？提示：图中直线x ＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1，所以，c >d >1>a >b ，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．函数y ＝a x ，y ＝a |x |，y ＝|a x |(a >0，a ≠1)，y ＝⎝⎛⎭⎫1a x 之间有何关系？提示：y ＝a x 与y ＝|a x |是同一个函数的不同表现形式；函数y ＝a |x |与y ＝a x 不同，前者是一个偶函数，其图象关于y 轴对称，当x ≥0时两函数图象相同；y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x的图象关于y 轴对称．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．－10 C ．9D ．7解析：选D [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8－1＝7.2．化简a 3b 23ab 2(a 14b 12)43ba(a >0，b >0)的结果是( )A.b a B ．ab C ．a 2bD.a b解析：选D 原式＝a 3b 2a 13b 23ab 2⎝⎛⎭⎫b a 13＝11082332733a b a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝54332733·a b a b ＝ab －1＝a b . 3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎫12x －1，x <1，∴根据分段函数即可画出函数图象． 4．(教材习题改编)函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为________．解析：要使函数有意义，需1－⎝⎛⎭⎫12x≥0，即⎝⎛⎭⎫12x ≤1， ∴x ≥0，即定义域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)5．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝±3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数 又∵f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立． 综上可知，a ＝3. 答案： 3[例1] 求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫3213-×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42＋(32×3)6－⎝⎛⎭⎫－2323＝________；(2)a 35b 2·35b 34a 3＝________；÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ·3a ＝________. [自主解答] (1)原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214＋⎝⎛⎭⎫213×3126－⎝⎛⎭⎫2313＝2＋4×27＝110. (2)a 35b 2·35b 34a 3＝a33212-·b321510-＝a 54＝a 4a .(3)令a 13＝m ，b 13＝n ，则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷⎝⎛⎭⎫1－2n m ·m ＝m (m 3－8n 3)m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n ＝m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)(m 2＋2mn ＋4n 2)(m －2n )＝m 3＝a .[答案] (1)110 (2)a 4a (3)a ———————————————————指数幂的运算规律指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．1．化简下列各式(其中各字母均为正数)．121121332·b ---⎛⎫(2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a 12-b －1÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －312. 解：(1)原式＝111133221566·a b a b a b--＝＝a111326---·b115236+-＝1a. (2)原式＝－52a 16-b －3÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －312＝－54a 16-·b －3÷⎝⎛⎭⎫a 13b 32- ＝－54a 12-·b 32-.＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.[例2] (1)已知函数f (x )＝(x －a )·(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． [自主解答] (1)由已知并结合图象可知0<a <1，b <－1.对于函数g (x )＝a x ＋b ，它一定是单调递减的．且当x ＝0时g (0)＝a 0＋b ＝1＋b <0，即图象与y 轴交点在负半轴上．(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[答案] (1)A (2)[－1,1]若将本例(2)中“|y |＝2x ＋1”改为“y ＝|2x －1|”，且与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围．解：曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．———————————————————指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.2．(2012·四川高考)函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0， ∴函数y ＝a x －a 的图象过定点(1,0)， 结合图象可知选C.3．(2013·盐城模拟)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可得，C (x 1，y 2)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝3x1，y 2＝3x2，y 2＝9x 1.又A ，O ，B 三点共线，所以k AO ＝k BO ，即y 1x 1＝y 2x 2，代入可得，3x 13x 2＝x 1x 2＝12，即3x 132x 1＝12，所以x 1＝log 32.答案：log 32[例3] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3 (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [自主解答] (1)当a ＝－1时， f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )的值域为(0，＋∞)．应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0. ——————————————————— 利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．4．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 解：令t ＝a x (a >0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)． ①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14. 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16， 即a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，所以a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或a ＝3.1个关系——分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2个应用——指数函数单调性的应用 (1)比较指数式的大小若两个指数式的底数相同、指数不同，则根据底数与1的大小，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小；若两个指数式的底数不同、指数也不同，则常借助1,0等中间量进行比较．(2)解指数不等式形如a x >a b 的不等式，借助于函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论，而形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式．3个注意——指数式的化简及指数函数的应用需注意的问题(1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．(2)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究．(3)对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.创新交汇—指数函数与不等式的交汇问题1．高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．2．解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解．[典例] (2012·浙江高考)设a ＞0，b ＞0( )A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＞bB ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＜bC ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＞bD ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＜b [解析] ∵a >0，b >0， ∴2a ＋2a ＝2b ＋3b >2b ＋2b .令f (x )＝2x ＋2x (x >0)，则函数f (x )为单调增函数． ∴a >b . [答案] A [名师点评]1．本题有以下创新点(1)命题方式的创新：本题没有直接给出指数函数模型，而是通过观察题目特点构造相应的函数关系式．(2)考查内容的创新：本题将指数函数、一次函数的单调性与放缩法、导数法的应用巧妙结合，考查了考生观察分析问题的能力及转化与化归的数学思想．2．解决本题的关键有以下两点(1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题． (2)构造函数，并利用其单调性解决问题． [变式训练]1．若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ，x <0，⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为( )A ．[－1,2)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞D ．(1， 3 ]∪[3，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x <0，⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0和函数g (x )＝±13的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间．当x <0时，是区间(－∞，－3]，当x ≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－13≤f (x )≤13的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．2．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数：f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝a －|x |(a >1)．当K ＝1a 时，函数f K (x )在下列区间上单调递减的是( )A ．(－∞，0)B ．(－a ，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选D 函数f (x )＝a－|x |(a >1)的图象为右图中实线部分，y ＝K＝1a的图象为右图中虚线部分，由图象知f K (x )在(1，＋∞)上为减函数. 1．化简－x 3x 的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x解析：选A 依题意知x <0，∴－x 3x＝－－x 3x 2＝－－x . 2．(2012·天津高考)已知a ＝212，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.5，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a解析：选A ∵a ＝212，b ＝2，c ＝log 54， ∵1<b <2,0<c <1，∴a >b >c . 3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2 的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,1) C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：选C ∵x 2≥0，∴⎝⎛⎫13x 2≤1，即值域是(0,1]．4．(2013·广州模拟)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则f (x )＝2x ⊕2－x 的图象是( )解析：选C x ≥0时，2x ≥1≥2－x >0； x <0时，0<2x <1<2－x . ∴f (x )＝2x ⊕2－x ＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥0，2x ，x <0.5．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13解析：选B 由题设知，当x ≥1时，f (x )＝3x －1单调递增，因其图象关于直线x ＝1对称，∴当x ≤1时，f (x )单调递减．∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12.∴f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13，即f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13. 6．(2013·四平模拟)已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22) 解析：选B 作出函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x (x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x >0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1在x >0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，解得m > 2.故所求实数m 的取值范围是(2，＋∞)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．解析：令x －1＝0，即x ＝1，则f (1)＝5.∴图象恒过定点P (1,5)．答案：(1,5)8．函数y ＝⎝⎛⎭⎫15x －3x 在区间[－1,1]上的最大值等于________． 解析：由y ＝⎝⎛⎭⎫15x 是减函数，y ＝3x 是增函数，可知 y ＝⎝⎛⎭⎫15x －3x 是减函数，故当x ＝－1时函数有最大值143. 答案：1439．对于函数f (x )，如果存在函数g (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数)，使得对于区间D 上的一切实数x 都有f (x )≤g (x )成立，则称函数g (x )为函数f (x )在区间D 上的一个“覆盖函数”，设f (x )＝2x ，g (x )＝2x ，若函数g (x )为函数f (x )在区间[m ，n ]上的一个“覆盖函数”，则|m －n |的最大值为________．解析：因为函数f (x )＝2x 与g (x )＝2x 的图象相交于点A (1,2)，B (2,4)，由图可知，[m ，n ]⊆[1,2]，故|m －n |max ＝2－1＝1.答案：1三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718 28…)． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g (x ＋y )g (x －y )的值． 解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2 ＝(e 2x －2＋e －2x )－(e 2x ＋2＋e－2x )＝－4. (2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝e x ＋y ＋e －x －y －e x －y －e －x ＋y ＝[e x ＋y ＋e －(x ＋y )]－[e x －y ＋e －(x －y )] ＝g (x ＋y )－g (x －y )，∴g (x ＋y )－g (x －y )＝4.①同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8.②由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2，∴g (x ＋y )g (x －y )＝3. 11．若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．解：y ＝lg (3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0，解得x <1或x >3.∴M ＝{x |x <1，或x >3}．f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2. 令2x ＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2.∴y ＝4t －3t 2＝－3⎝⎛⎭⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)． 由二次函数性质可知：当0<t <2时，f (t )∈⎝⎛⎦⎤－4，43， 当t >8时，f (t )∈(－∞，－160)，∴当2x ＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43. 综上可知，当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值． 12．已知函数f (x )＝3x －13|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)判断x >0时，f (x )的单调性；(3)若3t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎡⎦⎤12，1恒成立，求m 的取值范围．解：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0，∴f (x )＝2无解．当x >0时，f (x )＝3x －13x ，令3x －13x ＝2. ∴(3x )2－2·3x －1＝0，解得3x ＝1±2.∵3x >0，∴3x ＝1＋ 2.∴x ＝log 3(1＋2)．(2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x －13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴f (t )＝3t －13t >0. ∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为3t ⎝⎛⎭⎫32t －132t ＋m ⎝⎛⎭⎫3t －13t ≥0， 即3t ⎝⎛⎭⎫3t ＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t －1. 令g (t )＝－32t －1，则g (t )在⎣⎡⎦⎤12，1上递减，∴g (x )max ＝－4.∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．1．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )解析：选A 先通过平移变换作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象，再作关于直线y ＝x 对称的图象即可．2．已知x 12＋x 12-＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x32-－3的值． 解：∵x 12＋x12-＝3，∴x ＋x －1＝7. ∴x 2＋x －2＝(x ＋x －1)2－2＝72－2＝47.又x 32＋x 32-＝(x 12＋x 12-)3－3(x 12＋x 12-)＝27－9＝18.∴原式＝47－218－3＝3. 3．比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1.解：(1)考察函数y ＝1.7x ，因为1.7>1，所以指数函数y ＝1.7x 在R 上是增函数．因为2.5<3，所以1.72.5<1.73.(2)考察函数y ＝0.8x ，因为0<0.8<1，所以指数函数y ＝0.8x 在R 上是减函数．因为－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2.(3)1.70.3,0.93.1不能看作同一个指数函数的两个函数值，因此在这两个数中间找一个量． 由指数函数的性质可知1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，所以1.70.3>0.93.1.4．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1. 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a， 解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.。
指数题型及知识点总结
指数题型及知识点总结一、指数的基本概念1.1 指数的定义在数学中，指数是用来表示数的幂的概念。
对于正整数n和任意实数a，a的n次幂表示为a^n，其中a称为底数，n称为指数。
指数的作用是表示底数连乘的次数，例如2^3表示2连乘3次，即2*2*2=8。
1.2 指数的性质指数有一些重要的性质，这些性质在指数运算中起着重要的作用，具体如下：（1）相同底数的指数相乘，指数相加。
a^m * a^n = a^(m+n)（2）相同底数的指数相除，指数相减。
a^m / a^n = a^(m-n)（3）幂的幂，底数不变，指数相乘。
(a^m)^n = a^(m*n)（4）任何非零数的0次幂为1。
a^0 = 1 （a≠0）（5）任何非零数的负整数次幂为其倒数的相应幂。
a^(-n) = 1/(a^n) （a≠0）以上是指数的基本概念和性质，了解这些概念和性质是理解指数运算的基础。
二、指数的运算规则在指数运算中，有一些基本的运算规则需要掌握，下面是一些常见的指数运算规则：2.1 同底数的指数相乘或相除对于同一个底数的指数，可以将它们的指数相加或相减。
例如，a^m * a^n = a^(m+n)，a^m / a^n = a^(m-n)。
2.2 幂的乘法对于不同的底数但相同的指数，可以直接相乘。
例如，a^m * b^m = (a*b)^m。
2.3 幂的除法同样的，对于不同的底数但相同的指数，可以直接相除。
例如，a^m / b^m = (a/b)^m。
2.4 幂的幂对于幂的幂，底数不变，指数相乘。
例如，(a^m)^n = a^(m*n)。
了解这些运算规则有助于学生在解题时能够灵活应用，简化计算步骤。
三、常见的指数题型及解题方法在高中数学中，常见的指数题型主要包括：简化指数、整数指数运算、有理数指数运算、指数方程以及指数不等式等。
下面将针对这些题型分别介绍解题方法。
3.1 简化指数简化指数是指将指数表达式化简为最简形式的运算。
具体步骤如下：（1）将底数相同的指数相加或相减；（2）将幂的乘方化简；（3）将零指数、一指数和负指数的化简。
第06讲：指数运算和指数函数期末高频考点突破
第06讲：指数运算和指数函数期末高频考点突破高频考点梳理考点一：分数指数幂的意义(2)＝a ，＝a ，＝a b ，其中考点二．指数函数的图象与性质(1)R考点三：.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．高频题型归纳题型一：指数幂的运算1．（2022·甘肃酒泉·高一期末）已知0m > ）A ．54mB ．52mC ．mD ．12．（2021·甘肃·临夏中学高一期末）（1）计算：20.53207103720.123π92748--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）计算：2213log lg12812lg1)27100-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． 3．（2022·河南濮阳·高一期末）求下列各式的值：(1)()3212332140.1a b --⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭；(2)()22log 9lg 5lg 2lg 502+⋅+.题型二：指数函数的解析式4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知指数函数()()2253xf x a a a =-+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．25．（2021·云南省大姚县第一中学高一期末）已知函数()2()121x f x ax a R =++∈+，则()()20212021f f +-=（ ） A ．22021a -+ B ．2a C ．4D ．40426．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）设函数()f x 对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=，()()2f x f x -=-，且当[]1,0x ∈-时，()2x f x =，则()2022f =（ ） A ．1-B ．1C ．12D ．12-题型三：求指数函数的值域7．（2022·浙江省义乌中学高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数": 设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如: ][1.32 3.43⎡⎤-=-=⎣⎦，，已知11()313x f x =-+，则函数[]()y f x = 的值域为（ ）A ．{}0B ．{}10-，C ．{}01，D ．{}101-，，8．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）已知函数()1424x x f x +=-+，[]1,1x ∈-，则函数()y f x =的值域为（ ）． A ．[)3,+∞B ．[]3,4C ．133,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．（2022·广东中山·高一期末）已知函数()2212x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是（ ）A ．(],2∞-B ．(]0,2C ．[)2,∞+D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦题型四：指数函数的图像问题10．（2022·河南安阳·高一期末）函数()22xf x x -=⋅在区间[]22-,上的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．11．（2022·云南玉溪·高一期末）函数||()2x f x =，4()g x x =，则函数()()y f x g x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数()241x x x f x =+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．题型五：指数幂的大小比较13．（2022·陕西汉中·高一期末）已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>14．（2022·云南丽江·高一期末）若221333111,,252a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ､b ､c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．b<c<aC ．c<a<bD ．c b a <<15．（2022·广东广州·高一期末）设0.80.70.712,,log 22a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c b a <<题型六：简单的指数不等式的解法16．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数()333x xf x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(4)(4)-∞-+∞，， B ．(41)-，C ．(1)(4)-∞-+∞，，D ．(14)-，17．（2022·湖南郴州·高一期末）函数()f x 为偶函数，且对任意()1212,[0,)∈+∞≠x x x x 都有()()12120f x f x x x ->-，则不等式()25(3)xf f -<的解集为（ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞B ．(1,3)C ．(3),-∞D ．(1,)+∞18．（2021·云南德宏·高一期末）已知()f x 是定义在()1,+∞上的减函数，若对于任意(),1,x y ∈+∞，均有()()()2x y f x f y f +=+，()21f =，则不等式()()120f x f x +--≥的解集为（ ） A ．5,]2-∞（ B ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦题型七：判断复合型指数函数的单调性19．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知函数21,1()2,1x a x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(1,3]C ．(2,3]D ．(1,4]20．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）已知函数()24,18,1x x ax x f x a x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且对于任意的12,x x ，都有()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．(]1,3C ．[)1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭21．（2021·湖南郴州·高一期末）已知函数()2244x f x e x x -=+-+，则使得不等式()()212f m f m +<+成立的实数m 的取值范围是（ ） A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭题型八：指数函数的最值问题（参数、恒成立）22．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知()1,2x ∀∈，不等式()2log 21220xx m +++>恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()10,-+∞B ．[)10,-+∞C ．()3,-+∞D ．[)3,∞-+23．（2021·浙江·高一期末）已知0a >，设函数()12021220211x x f x ++=+([],x a a ∈-)的最大值为M ，最小值为m ，那么M m +=（ ） A ．2020B ．2021C ．2022D ．202324．（2019·湖南省临澧县第一中学高一期末）已知函数931()931x x x xk f x +⋅+=++，若对任意的1x ，2x ，3x ，不等式()()()123f x f x f x +≥恒成立，则实数k 的取值范围是A ．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．52,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[2,4]-D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦题型八：指数函数的综合类型问题25．（2022·河南·新乡市第一中学高一期末）已知定义在R 上的函数()22x xf x k -=-⋅是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈R ，不等式()()240f x tx f x ++->恒成立，求实数t 的取值范围．26．（2022·福建省福州高级中学高一期末）已知函数()421x x f x k =+⋅+，()421x x g x =++． (1)若对于任意的R x ∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围；(2)若()()()f x h x g x =，且()h x 的最小值为2-，求实数k 的值．27．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数4()12x f x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围.参考答案：1．C【分析】把根式化为分数指数幂进行运算． 【详解】0m >m==.故选：C ．2．（1）100；（2）114-， 【分析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解．（2）利用对数、指数性质、运算法则直接求解．【详解】（1）20.53207103720.123π92748--⎛⎫⎛⎫++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭20.523137391027254648--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭233453710033438-⎡⎤⎛⎫=++-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦5937100310031648=++-+=．（2）2213log lg12812lg1)27100-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭233121223-⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦191121244=--+=-． 3．(1)1200##0.005 (2)10【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质即可得出答案； （2）根据对数的运算性质进行计算即可得出答案； (1) 原式=()3212332140.1a b--⎛⎫⋅⎪⎝⎭33223322181=16200100a b a b --⋅=； (2)原式()()()()22log 9lg 5lg 2lg 512lg 5lg 5lg 2lg 29=+⋅++=⋅+++lg 5lg 29lg 10910=++=+=. 4．D【分析】解方程2253=1a a -+即得2a =或12a =，再检验即得解. 【详解】解：由题得22253=12520,2a a a a a -+∴-+=∴=，或12a =. 当2a =时，()2xf x =在()0,∞+上单调递增，符合题意；当12a =时，()1()2x f x =在()0,∞+上单调递减，不符合题意. 所以2a =. 故选：D 5．C【分析】直接代入解析式化简可得答案.【详解】因为()2()121xf x ax a R =++∈+，所以()()20212021f f +-=202120212220211202112121a a -+++-+++20212021202122222112⨯=++++ 202120212(21)221+=++ 22=+ 4=. 故选：C6．A【分析】由()()2f x f x -=-和()()f x f x -=可得函数()f x 的周期，再利用周期可得答案. 【详解】由()()2f x f x -=-得()()()222+-=-+=f x f x f x ， 所以()()()42-+=+=-f x f x f x ，即()()4f x f x +=， 所以()f x 的周期为4，()()()2022505422=⨯+=f f f ， 由()()2f x f x -=-得()()022221-=-==f f ， 所以()21f =-. 故选：A. 7．B【分析】先求解函数11()313xf x =-+的值域，在根据高斯函数的定义确定[]()y f x =的值域. 【详解】解：因为311x +>，所以10131x <<+，则111233133x -<-<+，所以函数()f x 的值域为12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，故[]()y f x =的值域为-1或0.故选：B 8．B【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.【详解】依题意，函数()2)(2224x xf x =-⨯+，[]1,1x ∈-，令2x t =，则2x t =在[]1,1x ∈-上单调递增，即122t ≤≤， 于是有2224(1)3y t t t =-+=-+，当1t =时，min 3y =，此时0x =，min ()3f x =， 当2t =时，max 4y =，此时1x =，max ()4f x =， 所以函数()y f x =的值域为[]3,4. 故选：B 9．B【分析】由于()222111x x x -=--≥-，进而得221110222x x--⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，即函数()2212x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(]0,2【详解】解：因为()222111x x x -=--≥-,所以221110222x x--⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤所以函数()2212x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(]0,2故选：B 10．C【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可； 【详解】解：∵()()22xf x x f x --=⋅=，∵()f x 是偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，B 选项；∵()()122f f ==，∵()f x 在[0,2]上不单调，排除D 选项． 故选：C 11．C【分析】先判断出()() y f x g x =+为偶函数，排除A; 又()01h =，排除D;利用单调性判断B 、C.【详解】因为函数||()2x f x =，4()g x x =，所以函数4442,0()()22,0x x x x x y f x g x x x x -⎧+≥=+=+=⎨+<⎩. 所以()4442,0()()22,0x xx x x h x f x g x x x x -⎧+≥=+=+=⎨+<⎩定义域为R. 因为()()()|4|||422x x h x h x x x -==-+-=+，所以()()()h x f x g x =+为偶函数.排除A;又()|4|00102h =+=，排除D;因为2x y =在()0,∞+为增函数，4y x =在()0,∞+为增函数，所以42x y x =+在()0,∞+为增函数.因为()()()h x f x g x =+为偶函数，图像关于y 轴对称，所以42x y x =+在(),0∞-为减函数.故B 错误，C 正确.故选：C 12．D【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性，以及()0f 的值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的x ∈R ，410x +>，则函数()f x 的定义域为R ，排除C 选项； ()22x x xf x -=+，()()2222x x x xx x f x f x ----===++， 所以，函数()f x 为偶函数，排除B 选项， 因为()00f =，排除A 选项. 故选：D. 13．C【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断0.60.622e log 0.6a b c -===，，的范围，即可判断大小，即得答案.【详解】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>， 故选：C 14．A【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小【详解】因为23y x =在(0,)+∞上单调递增，且1125>，所以22331125⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b >， 因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且2133>，所以21331122⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a >， 所以c a b >>，即b a c << 故选：A 15．D【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得； 【详解】解：因为0.7221a =>=，0.8111022⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭<⎭=⎝，即01b <<， 0.70.7log 2log 10c =<=，所以a b c >>； 故选：D 16．B【分析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式2(2)(54)0f a a f a -+-<，从而求得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R ，()()333x xf x x f x --=-+-=-，所以()f x 为奇函数，()3133x xf x x =+-在R 上递增， 由2(2)(54)0f a a f a -+-<得()2(2)(54)45f a a f a f a -<--=-，∵2245a a a -<-，2340a a +-<，()()410a a +-< 解得41a -<<. 故选：B 17．B【分析】先由题意判断出函数()f x 的单调性，再把关于偶函数()f x 的抽象不等式转化成整式不等式，解之即可.【详解】由对任意()1212,[0,)∈+∞≠x x x x ，都有()()12120f x f x x x ->-，可知12x x <时，有()()12f x f x <，则函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，又函数()f x 为偶函数，则不等式()25(3)xf f -<可化为253x -<即228x <<，解之得13x << 故选：B 18．D【分析】根据已知等式，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】令2x y ==时，22(2)(2)(2)(16)2f f f f ++=⇒=，由()()1120(2)(16)x x f x f x f f +-+--≥⇒≥， 因为()f x 是定义在()1,+∞上的减函数，所以有15112214x x x x x >⎧⎪->⇒<≤⎨⎪+-≤⎩， 故选：D19．B【分析】可知分段函数在R 上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可．【详解】可知函数21,1()2,1x a x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩在R 上单调递增， 所以1a >； 对称轴1224a a x -=-=≤⨯，即4a ≤； 临界点处12a a a -≤-+，即3a ≤； 综上所述：13a故选：B20．B【分析】根据题意可知，函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则在每一段都是增函数且()18f a ≤+，由1211148a a a a ≥⎧⎪>⎨⎪-+≤+⎩，即可解出实数a 的取值范围． 【详解】依题可知函数()24,18,1x x ax x f x a x ⎧-+≤=⎨+>⎩在(),-∞+∞上是增函数， ∵1211148a a a a ≥⎧⎪>⎨⎪-+≤+⎩，解得13a ．故选：B ．21．B【解析】易知()2xg x e x =+，是偶函数，其图象关于y 轴对称，且在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，由()()222x f x e x -=+-，得到()f x 的图象关于2x =对称，且在 (),2∞-上递减，在()2,∞+上递增，再根据不等式()()212f m f m +<+成立，由21222m m +-<+-求解.【详解】函数()()2222442x x f x ex x e x --=+-+=+-， 令()2x g x e x =+， 因为()()()22x x g x e x e x g x --=+-=+=， 所以()g x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，且在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()f x 的图象关于2x =对称，且在 (),2∞-上递减，在()2,∞+上递增，若使得不等式()()212f m f m +<+成立 则21222m m +-<+-，即23410m m -+<，3所以实数m 的取值范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B22．D【分析】分析可知()22220x x m ++>对任意的()1,2x ∈恒成立，利用二次不等式的性质可得出关于实数m 的不等式，即可得解.【详解】由已知可得()22120x x m ⨯++>，则()22220x x m ++>对任意的()1,2x ∈恒成立， 因为()22,4x ∈，所以，22220m ++≥，解得3m ≥-.故选：D.23．D【解析】可类比求解分式函数值域的形式分离常数，得1202122019()20212021120211x x x f x ++==-++，再表示出()f x -，通过()()f x f x +-，结合函数的增减性即可求得结果 【详解】由题可知1202122019()20212021120211x x x f x ++==-++，20192021()202120211xx f x ⋅-=-+ ()()201920192021202140424042201921023xx f x f x +⋅++-=-=-=， 2019()202120211x f x =-+在[,]x a a ∈-为增函数， ()()++2023M N f a f a ∴=-=故选：D24．A【解析】函数931()931x x x x k f x +⋅+=++的解析式可化为133()1313x x x x k f x ++=++，令1313x x t =++，(3)t ，则1()1k g t t -=+，结合反比例函数的单调性，分类讨论函数的单调性，并分析出函数的值域，构造关于k 的不等式，求出各种情况下实数k 的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数k 的取值范围． 【详解】函数133()1313x x x x k f x ++=++ 令1313x x t =++，(3)t 则1()1(3)k g t t t-=+≥ 若10k -<，即1k <，函数1()1k g x t-=+在[3，)∞+上为增函数 此时的函数的值域为1[13k -+，1). 若不等式()()()123f x f x f x +≥恒成立 则12(1)13k -+，就可以满足条件2若10k -=，即1k =，()1f x =，不等式()()()123f x f x f x +≥显然成立若10k ->，即1k > 函数1()1k g x t-=+在[3，)∞+上为减函数 此时的函数的值域为(1，11]3k -+ 若不等式()()()123f x f x f x +≥恒成立 则11113k -++， 解得14k <综上所述：142k -故选：A【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题、指数函数的性质、反比例函数的图象和性质，其中利用换元思想及基本不等式将函数的解析式化为1()1k g t t-=+，是解答的关键． 25．(1)1k =(2)()3,5-(1)解： 函数()22x x f x k -=-⋅是定义域R 上的奇函数， ∴(0)0f =，即()000220f k =-⋅=，解得1k =．此时()22x x f x -=-，则()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-，符合题意；(2)解：因为()22x x f x -=-，且2x y =在定义域R 上单调递增，2x y -=在定义域R 上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域R 上单调递增，则不等式()()240f x tx f x ++->恒成立，即()()24f x tx f x +>-恒成立，即24x tx x +>-恒成立，即()2140x t x +-+>恒成立，所以()21440t ∆=--⨯<，解得35t -<<，即()3,5t ∈-；26．(1)(2,)-+∞，(2)=8k -【分析】（1）问题转化为22x x k ->--对于任意的R x ∈，恒成立，然后利用基本不等式求出22x x ---的最大值即可得答案，（2）化简变形函数得1()11212x x k h x -=+++，令121132x x t =++≥=，则11(3)k y t t -=+≥，然后分1k ，=1k 和1k <求其最小值，从而可求出实数k 的值． （1）由()0f x >，得4210x x k +⋅+>恒成立，所以22x x k ->--对于任意的R x ∈，恒成立，因为()22222x x x x ----=-+≤-=-，当且仅当22x x -=，即=0x 时取等号，所以2k >-，即实数k 的取值范围为(2,)-+∞（2）()421221()111()421421212x x x x x x x x x x f x k k k h x g x +⋅+⋅--===+=+++++++，令121132x x t =++≥=，当且仅当122x x =，即=0x 时取等号， 则11(3)k y t t-=+≥， 当1k 时，11(3)k y t t -=+≥为减函数，则21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦无最小值，舍去， 当=1k 时，=1y 最小值不是2-，舍去， 当1k <时，11(3)k y t t -=+≥为增函数，则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，最小值为223k +=-，解得=8k -， 综上，=8k -27．(1)证明过程见解析；(2)()(),41,-∞-+∞ (3)()(),11,k ∈-∞-+∞【分析】（1）根据()00f =求出2a =，求出2()121x f x =-+，利用函数定义法判断函数的单调性； （2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式；（3）参变分离为21121x k -=+有根问题，求出2()121x f x =-+的值域，从而求出()()11,00,1k ∈-⋃，求出实数k 的取值范围.（1）由题意得：()40102f a =-=+，解得：2a =， 142()112221x x f x +=-=-++， 任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()1212122121211111122222222222()112121212121212121x x x x x x x x x x x x f x f x +++++----=--+=-==++++++++因为12,x x R ∈，且12x x <，所以1211220x x ++-<，12210,210x x +>+>，所以()()()1221111222()02121x x x x f x f x ++--=<++，故()12()f x f x <所以函数()f x 在R 上单调递增；（2）()22(4)0f x x f x ++->，即()22(4)f x x f x +>--， 因为2()121x f x =-+为定义在R 上的奇函数，所以()22(4)(4)f x x f x f x +>--=-， 因为2()121x f x =-+为定义在R 上单调递增，所以224x x x +>-，解得：1x >或<4x -，所以解集为：()(),41,-∞-+∞；（3）()()211121x g x kf x k ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭有零点，当0k =时，()()11g x kf x =-=-，没有零点，不合题意，舍去； 当0k ≠时，即21121x k -=+有根，其中当0x >时，21x >，212x +>，20121x <<+， 故()2()10,121x f x =-∈+， 又因为2()121x f x =-+在R 上为奇函数，所以当0x <时，()2()11,021x f x =-∈-+，且()00f =， 所以2()121x f x =-+在R 上的值域为()1,1-， 故()()11,00,1k ∈-⋃，解得：()(),11,k ∈-∞-+∞，所以实数k 的取值范围为()(),11,k ∈-∞-+∞.。
指数函数知识点及其习题（附答案）
指数函数知识点及其习题（附答案）〖2.1〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次⽅根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n负的n次⽅根⽤符号表⽰；0的n 次⽅根是0；负数a 没有n 次⽅根．n 叫做根指数，a 叫做被开⽅数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a≥．n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥?==?-①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,mm nn a的负分数指数幂没有意义．注意⼝诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2.1.2指数函数及其性质2.1指数函数练习1．下列各式中成⽴的⼀项（）A ．7177)(m n mn =B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f nnn4．函数210)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><a y =在[－1,1]上的最⼤值与最⼩值的差是1，则底数a 等于（）A ．251+ B ．25251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是（）7．函数||2)(x x f -=的值域是（） A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满⾜1)(>x f 的x 的取值范围（）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或 9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（） A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（）B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是 . 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .三、解答题： 13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最⼤值⽐最⼩值⼤a 2，求a 的值．2.1指数函数练习参考答案⼀、DCDDD AAD D A⼆、11．(0,1)； 12．(2，－2)；三、13．解：要使函数有意义必须：x x x x x -≠-≠≠≠101010∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ??+=+，其中10,10<<<<c a . 当r ＞1时，1=++? c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r；当r ＜1时，1=+>??+ c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＞c r .15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。
考点07 高中数学-指数与指数函数-考点总结及习题
考点07指数与指数函数【命题趋势】指数函数与对数函数常在一起进行考查，关于函数的其他知识的考查也常以指数函数或对数函数为背景，在复习过程中，我们要做到以下几点：（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.（4）知道指数函数是一类重要的函数模型.【重要考向】一、指数与指数幂的运算二、与指数函数有关的图像问题三、指数函数单调性的应用四、指数型函数的单调性及其应用指数与指数幂的运算（1）n 次方根的概念与性质（2）根式的概念与性质（1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)mnaa m n n >∈>N 且.于是，在条件*0,,,1a m n n >∈>N 且下，根式都可以写成分数指数幂的形式.②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定*1(0,,,m nmnaa m n a -=>∈N 且1)n >.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数,r s ，均有下面的运算性质：①(0,,)rsr sa a aa r s +=>∈Q ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈Q ；③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈Q .（3）无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.一般地，无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.【巧学妙记】1.化简211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】4a【详解】()()2115211115111033663262362226326344a b a b a b a b a b a +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=⨯-÷-⨯== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2.化简2102329272()(9.6)()()483---+【答案】解：原式2123232322[()]1[()]()233=--+3441299=--+12=．3.下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是()A 56a=-B ．24x =C ．332b=D ．52()a b --=【分析】根据各式是否有意义，是否符合根式与分数指数幂的互相转化规律进行判断．【答案】解：对于A ，0a ，而当0a <时，56a 故A 错误；对于B ，当0x <时，24x =B 错误；对于C ，31332224()b b ==，故C 错误．对于D ，52()a b --===．故D 正确．故选：D ．指数函数的图象与性质一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .【注】指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x ；(3)系数：a x 的系数是1.01a <<1a >图象定义域R值域(0,)+∞奇偶性非奇非偶函数对称性函数y =a −x 与y =a x 的图象关于y 轴对称过定点过定点(0,1)，即0x =时，1y =单调性在R 上是减函数在R 上是增函数函数值的变化情况当0x <时，1y >；当0x >时，01y <<当0x >时，1y >；当0x <时，01y <<底数对图象的影响指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c <d <1<a <b .①在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；②在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.【巧学妙记】4.函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0【答案】D【解析】由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝a x－b的图象是在y＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.5.若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．【答案】(－∞，0]【解析】函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．6.已知实数a，b满足等式2019a＝2020b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.指数函数单调性的应用比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．【典例】7.已知a＝432，b＝254，c＝1325，则()A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A【解析】由a15＝(243)15＝220，b15＝(245)15＝212，c15＝255>220，可知b15<a15<c15，所以b<a<c.8.若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为．【答案】{x|x>4或x<0}【解析】∵f(x)为偶函数，当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，∴f(x)2x－4，x≥0，2－x－4，x<0，当f(x－2)>0x－2≥0，2x－2－4>0x－2<0，2－x＋2－4>0，解得x>4或x<0.∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．指数型函数的性质及其应用指数型函数中参数的取值或范围问题应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a 的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论．要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.(1)求复合函数的定义域与值域形如()x f y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()x f y a =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论．求形如()xy f a =的函数的值域，要先求出xu a=的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．(2)判断复合函数()xy f a=的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数u y a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()x f y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()x f y a =在[m ，n ]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．9.函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为________．【答案】(0，2]【解析】设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1(2ty =为单调递减函数，即可求解．由题意，设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，知当1t ≥-时，02y <≤，即函数221()2x xy -=的值域为(0,2]．10.求函数17218212+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxy 的单调区间.解设t ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21>0，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增.令x⎪⎭⎫⎝⎛21≤4，得x ≥－2.∴当－2≤x 1<x 2时，4≥112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭>212x⎛⎫⎪⎝⎭，即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17.∴17218212+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y 的单调增区间是[－2，＋∞).同理可得减区间是(－∞，－2].11.若关于x 的不等式1220x x a +--->的解集包含区间()0,1，则a 的取值范围为A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞C ．7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【答案】B【解析】由题得1222xx a <⋅-在（0,1）上恒成立，设()2,1,2xt t =∈，所以()121,2a t t t<-∈，，由于函数()1()2,1,2f t t t t=-∈是增函数，所以()12111a f ≤=⨯-=.故选B ．一、选择题1.化简()1111232240,0a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为（）A.aB.bC.a bD.b a2.下列各式正确的是A ．a=B ．01a =C ．4=-D π=-3.把(a -根号外的(a －1)移到根号内等于()A. C.4.下列各式中成立的一项是()A ．7177)(m n mn =B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=5.已知集合{}|128xA x =<≤，{}0,1,2B =，则下列选项正确的是（）A.A B⊆ B.A B ⊇C.{}0,1,2A B = D.{}1,2A B = 6.若不等式()2223122x axx a -+<恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.(0,1)-B.3(,)4+∞ C.3(0,4D.3(,4-∞7.已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|124,}x B x x N =<≤∈，则A ∩B =（）A.∅B.(1,2]C.{2}D.{1,2}8.已知111222ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.a b b a a b >>B.a b b a b a >>C.b a bb a a >> D.b b aa b a >>9.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是()A.()1,1- B.()(),11,-∞-+∞U C.()0,1 D.()(),01,-∞⋃+∞10.函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（）A. B.C. D.11.已知全集U =R ，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()U A B C ⋂=（）A.{|20}x x -≤< B.1{|2}2x x -≤<C.1{|0}2x x ≤< D.{|03}x x ≤<12.设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（）A.a c b >>B.a b c >>C.c a b >>D.b c a>>二、填空题13.=_________，2203138e -⎛⎫-+=⎪⎝⎭.14.计算210.00013427--=____________.15.若2312a b ==，则21a b+=．16.已知函数()()(),01,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()()22f x f x <-的解集为______.17.若[1,)x ∈-+∞，不等式4210x x m -⋅+>恒成立，则实数m 的取值范围是______．三、解答题18.计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.19.已知函数1()421x x f x a +=-⋅+．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值－8，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．20.已知集合{}2(2)(1)(21)0A x x m x m m =-++-+≤.集合B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.（Ⅰ）当1m =时，求A B ；（Ⅱ）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.1．（2010·山东高考真题（文））函数2()log 31()xf x =+的值域为（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．（2016·全国高考真题（理））已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a<<D ．c a b<<3．（2015·山东高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是A ．a b c＜＜B ．a cb ＜＜C ．b a c＜＜D ．b c a＜＜4．（2008·江西高考真题（文））若01x y <<<，则A ．33y x<B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y<D ．11(()44xy<5．（2012·四川高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．6．（2009·辽宁高考真题（文））已知函数()f x 满足：x≥4,则()f x ＝1(2x ；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝()A ．124B ．112C ．18D ．387．（2015·江苏高考真题）不等式224xx-<的解集为________.8．（2018·上海高考真题）已知常数0a >，函数()22x x f x ax =+的图象经过点65P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q pq +=，则a =______．9．（2008·江西高考真题（文））不等式224122x x +-≤的解集为___________．10．（2008·上海高考真题（文））已知函数1()22xxf x =-．（1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0t f t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．一、单选题1．（2021·四川成都市·成都七中高三三模（理））函数()11x x e f x e +=-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国高三月考（文））已知集合{}{}228,560xA xB x Z x x =≤=∈--<，则A B 中元素的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．13．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函数()2()mxf x en =-的大致图象如图所示，则（）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>4．（2021·浙江高一期末）设233344443,,332a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b>>B ．a b c>>C ．c b a>>D ．b c a>>5．（2021·浙江高一期末）设{}113,093xA xB x x a ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<=->⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．(],2-∞-D ．(),2-∞-6．（2021·浙江高二期末）下列计算正确的是（）A8=B 2=C ．2log 328=D ．33log 18log 22-=7．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））已知3253311log 2,,53a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．b c a<<二、多选题8．（2021·浙江高一期末）下列选项中，正确的是（）A ．命题“2,10x R x x ∀∈-+≥”的否定是“2000,10x R x x ∃∈-+<”B ．函数1()2x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(1,2)-C ．“0x >”是“220x x +->”的充分不必要条件D ．若不等式230ax bx ++>的解集为{13}xx -<<∣，则1a b +=三、填空题9．（2021·浙江高一期末）计算：1320.064log --+=_____________________；四、双空题10．（2021·浙江高一期末）设函数1()422x x f x +=-+，则(1)f =________；函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为_________．五、解答题11．（2021·江苏苏州市·吴江中学高一期中）已知函数2()151xf x =-+.（1）证明：函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数；（2）[1,2]x ∈-时，求函数()f x 的值域.12．（2021·上海高三三模）已知函数()3(21xf x a a =-+为实常数).（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2x uf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.参考答案跟踪训练一、选择题1.【答案】：A 【分析】根据指数幂运算法则进行化简即可.【详解】1111311131112322424242244a b a b a b a b a b a-⎛⎫⎛⎫÷=÷== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：A【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题.2.【答案】：D 3.【答案】：C 4.【答案】：D 5.【答案】：D 【分析】计算{}03A x x =<≤，根据集合的包含关系，交集并集运算依次判断每个选项得到答案.【详解】,{}{}|12803x A x x x =<≤=<≤，{}0,1,2B =，则A B ⊆/，A B ⊇/，AB 错误；{}03A B x x ⋃=≤≤，C 错误；{}1,2A B = ，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了解指数不等式，集合的包含关系，交集并集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6.【答案】：B分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为222(3)x ax x a ->-+恒成立，利用判别式22(32)40a a ∆=--<，从而求得实数a 的取值范围.详解：不等式22231()22x axx a -+<恒成立，即222(3)11((22x ax x a --+<，即222(3)x ax x a ->-+恒成立，即22(32)0x a x a +-+>恒成立，所以22(32)40a a ∆=--<，解得34a >，所以实数a 的取值范围是3(,)4+∞，故选B.点睛：该题考查的是有关不等式恒成立，求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确指数式的运算法则，注意应用指数函数的单调性，得到指数所满足的大小关系，利用二次不等式恒成立问题，结合式子的判别式，求得结果.7.【答案】：C 【分析】首先求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：集合{}2430A x x x =-+<{|13}x x =<<，{}02{|124,}{|222,}{|02,}1,2x x B x x N x x N x x x N =<≤∈=<≤∈=<≤∈=.所以{}2A B ⋂=.故选：C【点睛】本题考查交集的运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.8.【答案】：A 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性比较大小即可得答案.【详解】解：因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，111222a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1a b >>，由于函数()1xy aa =>和函数()1b y x b =>在第一象限为增函数，所以a b a a >，b b a b >，故a b b a a b >>.故选：A.【点睛】本题考查利用指数函数与幂函数的单调性比较大小，考查运算能力，是基础题.9.【答案】：D【分析】不等式即21x x >+．由于函数2x y =和直线1y x =+的图象都经过点(0,1)、(1,2)，数形结合可得结论．【详解】解：不等式()0f x >，即21x x >+．由于函数2x y =和直线1y x =+的图象都经过点(0,1)、(1,2)，如图所示：不等式()0f x >的解集是()(),01,-∞⋃+∞，故选：D ．【点睛】本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】：D 【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据01a << (01)||x xa y a x =<<,0,0x xa x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11.【答案】：B【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x U B y y x B y y C B x x -==≥∴=≥∴=< ，所以()U A B C ⋂=1{|2}2x x -≤<．考点：集合的交集、补集运算．12.【答案】：A 【分析】分别考查指数函数1()3xy =及幂函数13y x =在实数集R 上单调性，即可得出答案．【详解】∵2133＞，由幂函数13y x =在实数集R 上单调递增的性质得113321()()33＞，∴a ＞c ．又由指数函数1(3x y =在实数集R 上单调递减的性质得213311(()33＜，∴c ＞b ．∴a ＞c ＞b ．故选：A ．【点睛】掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键．13.【答案】：1π-；4-【分析】根据指对数的运算求解即可.【详解】(1)11ππ=-=-(2)()222033323141(8314)29e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-+=-+=-.故答案为：1π-；4-【点睛】本题主要考查了指数的基本运算,属于基础题型.14.【答案】：134【分析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值.【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134.【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题.15.【答案】：1试题分析：由题意得23log 12,log 12a b ==，则121211log 2,log 3a b ==，所以()2121212212log 2log 3log 231a b +=+=⨯=.考点：对数运算及其应用.16.【答案】：()2,1-【分析】先判断函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果.【详解】,1x y e y x ==+ 都为单调递增函数，且001e =+()f x ∴在R 上单调递增，()()22f x f x <- ，22x x ∴<-，即()()220210x x x x +-<+-<，∴21x -<<故答案为：()2,1-17.【答案】：(,2)-∞【分析】设12,2x t ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，将原不等式转化成11,,2m t t t ⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，从而求出m 的范围．【详解】令2xt =，∵[1,)x ∈-+∞，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵4210x x m -⋅+>恒成立，∴11,,2m t t t ⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，∵12t t+≥，当且仅当1t =时，即0x =时，表达式取得最小值，∴2m <，故答案为(,2)-∞．【点睛】本题考查与指数函数有关不等式的恒成立问题，可换元后转为含参数的一元二次不等式的恒成立问题，再利用参变分离可求参数的取值范围，此题需要学生有较好的逻辑分析能力，难度不大，属于基础题．18.【答案】：（1）4a （2）0.09【分析】根据同底数幂、分数指数幂的运算性质即可求出（1）（2）答案.【详解】（1）()()2115211115111033663262362226326344a b a b a b a b a b a +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=⨯-÷-⨯== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()113232333250.359-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦550.090.0933=+-=.19.【答案】：（1）5；（2）1718a ≤≤.【分析】（1）2()(2)221x x f x a =-⋅+，[0x ∈ ，2]，2[1x ∴∈，4]，进而讨论a 与52的关系求解；（2）[1x ∈- ，2]，∴令12[2x t =∈，4]，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，进而求解．【详解】解：（1）2()(2)221x x f x a =-⋅+，[0x ∈ ，2]，2[1x ∴∈，4]，①52a ≤时，2()42418max f x a =-⨯+=-，解得258a =（舍）②52a >时，2()12118max f x a =-⨯+=-，解得5a =，5a ∴=；（2）[1x ∈- ，2]，∴令12,42x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，1122t a t =+≥当且仅当122t t=，即1t =时等号成立，此时函数2()21g t t t =-+的图象如图，4t ∴=时，a 取得最大值178，综上[1a ∈，17]8．【点睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题．20.【答案】：（Ⅰ）{|24}A B x x ⋃=-≤≤（Ⅱ）(,3][3,)-∞-+∞ 【分析】（Ⅰ）把1m =代入，求出集合A ，再利用指数的单调性求解集合B ，根据集合的并运算即可求解.（Ⅱ）讨论m 的取值范围，求出集合A ，根据集合的包含关系可得12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩或21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解不等式组即可求解.【详解】（Ⅰ）当1m =时，{}2|30{|03}A x x x x x =-≤=≤≤，()11|3381|381{|24}99x x x B x y x x x ⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫==--=≤≤=-≤≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤.（Ⅱ）集合{}2|(2)(1)(21)0{|(1)(21)0}A x x m x m m x x m x m =-++-+≤=+---≤若0m ≥，则{|121}A x m x m =-≤≤+,∵B A ⊆,∴12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得3m ≥，若0m <，则{|211}A x m x m =+≤≤-.∵B A ⊆，∴21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-，∴m 的取值范围为(,3][3,)-∞-+∞ .【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.真题再现1.【答案】A【分析】利用指数函数的性质求得311x +>，再由对数函数的性质可得结果.【详解】30x >，311x ∴+>，()2log 310x ∴+>，∴函数()f x 的值域为(0,)+∞.故选：A【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的基本性质，属于基础题.2.【答案】A【详解】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，因为幂函数13y x =在R 上单调递增，所以a c <，因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <，即b <a <c .故选：A.3.【答案】C【详解】由0.6x y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C .考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.4.【答案】C【详解】试题分析：3x y =为增函数且x y <，所以A 错误.3log y x =为增函数且01x y <<<，故33log log 0x y <<，即110log 3log 3x y <<，所以log 3log 3x y >，所以B 错误；14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数且x y <，所以D 错误.4log y x =为增函数且x y <，故44log log x y<故选C.考点：比较大小.5.【答案】C【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案.【详解】①当1a >时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于1a >，则A 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故B 错误；②当01a <<时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于01a <<，则D 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故C 正确；故选：C【点睛】本题主要考查了判断指数型函数的图象形状以及函数图象的变换，属于基础题.6.【答案】A【解析】∵3＜2＋log 23＜4,所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)且3＋log 23＞4∴2(2log 3)f +＝f(3＋log 23)＝12221log 33log 3log 311111111()()()282828324+=⨯=⨯=⨯=．7.【答案】(1,2).-【详解】试题分析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围．,2222,x x -∴<是一个递增函数；故答案为.考点：指数函数的单调性和特殊性8.【答案】6【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值．【详解】函数f （x ）=22xx ax+的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．则：226112255p q p q ap aq +=-=++，整理得：22222222p q p q p qp q p q aq ap aq ap a pq+++++++++=1，解得：2p+q =a 2pq ，由于：2p+q =36pq ，所以：a 2=36，由于a ＞0，故：a=6．故答案为6【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．9.【答案】[3,1]-【解析】依题意2241(3)(1)0x x x x +-≤-⇒+-≤[3,1]x ⇒∈-10.【答案】【解析】（1）()()100;0,22xx x f x x f x <=≥=-当时，当时.…………….2分由条件可知，2122,22210,2x x x x -=-⋅-=即解得21x =±…………6分∵(220,log 1x x >∴=+…………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t t t t m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时……………10分即()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈-- 故m 的取值范围是[5,)-+∞…………….16分模拟检测1．D【分析】由()f x 的解析式判断其奇偶性，并确定图象的渐近线，即可确定函数的大致图象.【详解】由()12111x x x e f x e e +==+--知：1y =为()f x 的一条渐近线，可排除A 、B ；11)1)((1x x x x e e f x e f e x --++=--=---=且定义域为0x ≠，则()f x 为奇函数，可排除C.故选：D.2．A【分析】先解指数不等式和一元二次不等式得集合A ，B ，再根据交集定义求结果.【详解】因为{}{}|28|3x A x x x =≤=≤，因为B ={}{}2|560|16{0,1,2,3,4,5}x Z x x x Z x ∈--<=∈-<<=，所以{}0,1,2,3A B = ，A B 中元素的个数为4，故选：A.3．B【分析】令()0f x =得到1ln x n m=，再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断.【详解】令()0f x =得mx e n =，即ln mx n =，解得1ln x n m =，由图象知1l 0n x m n =>，当0m >时，1n >，当0m <时，01n <<，故排除AD ，当0m <时，易知mx y e =是减函数，当x →+∞时，0y →，()2f x n →，故排除C 故选：B4．C【分析】根据指数函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 与幂函数34y x =的单调性判断,,a b c 的大小关系.【详解】因为函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 在R 上是增函数，所以23344433<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又因为函数34y x =在(0,)+∞上是增函数，所以33444332⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b c <，故a b c <<.故选：C5．A【分析】化简集合,A B ，根据子集关系，可得1a -；【详解】 21111|333x A x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<<⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭{12}x x =-<<∣，{}B x x a =>∣， 1A B a ⊆⇒-，故选：A.【点睛】利用指数函数的单调性化简集合A ，再根据子集关系求参数的取值，注意端点能否取到.6．D【分析】根据幂的运算及对数的运算法则计算可得；【详解】解：对于A8=-，故A 错误；对于B111111133234241222222=⨯⨯==，故B 错误；对于C ：2log 323=，故C 错误；对于D ：()3333log 18log 2log 182log 92-=÷==，故D 正确；故选：D7．B【分析】由对数函数的单调性可得31log 212a <=<，由指数时函数的单调性可得3152111,552b ⎛⎫⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23011133c ->⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得出答案.【详解】由函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，可得331log log 21,2a =<=<，由函数15x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R上单调递减，可得3152111,552b ⎛⎫⎛⎫=<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，可得23011133c ->⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此b a c <<故选：B8．AD【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断选项A ，根据指数函数的性质判断选项B ，求解一元二次不等式的解集，利用充分必要条件判断选项C ，根据三个二次之间的关系以及韦达定理求解,a b ，即可判断选项D.【详解】由全称命题的否定为特称命题，所以“2,10x R x x ∀∈-+≥”的否定是“2000,10x R x x ∃∈-+<”，故A 正确；令10x -=，得1x =，所以0(1)2121=-=-=-f a ，所以函数所过的定点是(1,1)-，故B 错误；不等式220x x +->的解集为(),2(1,)-∞-+∞ ，所以“0x >”不能推出“2x <-或1x >”，反之也不能，所以“0x >”是“220x x +->”的既不充分也不必要条件，故C 错误；由不等式的解集可得31233b a a ⎧-=-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得12a b =-⎧⎨=⎩，所以1a b +=，故D 正确.故选：AD.9．72【分析】利用指数幂和对数的运算性质即可得到结果.【详解】()11333220.064log 0.412--⎡⎤=--⎣⎦57122=+-+=，故答案为：7210．210【分析】代入1x =可直接计算出()1f 的值；采用换元法令2x t =，然后将()f x 的最大值问题转化为二次函数的最大值问题，即可求解出()f x 的最大值.【详解】当1x =时，()1214222f =-+=；令12,42x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以()()222211y f x t t t ==-+=-+，对称轴为1t =，所以()211y t =-+在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,4上单调递增，当12t =时，54y =；当4t =时，10y =，所以()max 10f x =，此时2x =，故答案为：2；10.【点睛】思路点睛：求解形如()()20,1x x f x a b a c a a =+⋅+>≠的函数的最值的步骤：（1）先采用换元法令x a t =，并求解出t 的取值范围；（2）将()f x 变形为关于t 的二次函数，根据其对称轴以及开口方向确定出其最值，由此求解出()f x 的最值.11．（1）证明见解析；（2）212[,313-.【分析】（1）根据函数单调性的定义，令12x x <，结合函数解析式判断12(),()f x f x 的大小关系，即可证结论.（2）由（1）知(1)()(2)f f x f -≤≤，即可得[1,2]x ∈-上的值域.【详解】（1）令12x x <，则12122112222(55)()()1(1)5151(51)(51)x x x x x x f x f x --=---=++++，由21(51)(51)0x x ++>，12550x x -<，即12())0(f x f x -<，有12()()f x f x <.∴函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数；（2）由（1）知：[1,2]x ∈-上有(1)()(2)f f x f -≤≤，∴()f x 的值域为212[,313-.12．（1）函数()f x 是奇函数，理由见解析；（2）1.【分析】（1）若函数()f x 为奇函数，由奇函数的定义可求得a 的值；又当32a ≠时()()11f f -≠，且()()11f f -≠-，函数()f x 是非奇非偶函数；（2）对任意[]1,6x ∈，不等式()2x u f x ≥恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数()t ϕ，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u 的最大值．【详解】解：（1）当32a =时()()3322302121x x f x f x a a -+-=--=-=++，即()()f x f x -=-；故此时函数()f x 是奇函数；因当32a ≠时，()()11,12f a f a =--=-，故()()11f f -≠，且()()11f f -≠-于是此时函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数；（2）因()f x 是奇函数，故由（1）知32a =，从而()33221x f x =-+；由不等式()2x u f x ≥，得3322221xx x u ⋅≤⋅-+，令[]213,65(x t +=∈因[]1,6)x ∈，故()()3133291222t u t t t t -⎛⎫≤--=+- ⎪⎝⎭由于函数()32922t t t ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[]3,65单调递增，所以()min ()31ϕϕ==t ；因此，当不等式()2x u f x ≥在[]1,6x ∈上恒成立时，max 1.u =【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．。
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(3a
3b)(b3ab2)
(3a3b)21
(b3ab2)3b
(3a3b)21
3b2(3a3b)
3a.3b3b2.
当a=2，b=4，原式
32
316
32 1
2322.
(2)先对所给条件作等价变形：
1
(x2
1
2)22
32
1
(x2
1
x2)(xx2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.
3
x2
故x2
y=ax
a>1
0<a<1
图象
(1)定义域：R
(1)定义域：R
值域
(2)值域：(0,+ )
(2)值域：(0,+ )
(3)过定点(0,1)
(3)过定点(0,1)
(4)在R上是增函数.
(4)在R上是减函数.
(5)0<y<1 x>0 y=1 x=0 y>1 x<0
(5)0<y<1 x<0 y=1 x=0 y>1 x>0
指数与指数函数知识点及题型归纳总结
知识点精讲
、指数的运算性质
当a>0，
b>0时，
有
(1)aman=
am+n(m,n
R)；
m
(2)aamna
mn
a( m,n
R)
(3)(am)n=
amn(m,n
R)；
(4)(ab)m
=ambm(m
R)；
(5)ap
1p(p Q)
m
(6)an
na(m,n
N+)
二、指数函数
(1)一般地，形如y=ax(a>0且a1)的函数叫做指数函数；(2)指数函数y=ax(a>0且a1)的图像和性质如表2-6所示.
x
3
x23 18 32
x
2 47 2
(3)因为
1) 3
18，
1
2014n2014
2
，所以1
1
2014n
(
2014
2
1
n
n)2，
所Hale Waihona Puke 12a212014n
1
2014n
2
1
2014n
1
2014n
2
1
2014n
所以( 1 a2
a)n
20141.
1
变式1设2a=5b=m，且1a
2，则m=(
).
A.10
B. 10
题型归纳及思路提示
题型1指数运算及指数方程、指数不等式
思路提示
利用指数的运算性质解题.对于形如af(x)b，af(x)b，af(x)b的形式常用“化同底”转化，再利用指数 函数单调性解决；或用 “取对数 ”的方法求解.形如a2x+Bax+C=0或a2x+Bax+C0( 0)的形式，可借助换元法 转化二次方程或二次不等式求解.
C. 20
D. 100
二、指数方程
例2.49解下列方程
x x2x9
(1)9x-4 3x+3=0；(2)(3)x(8)
64
27；
9
x( )x，对其底进行化简运算.8解析：(1)9x-4 3x+3=0 (3x)2-4 3x+3=0，令t=3x(t>0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，得t1=1，t2=3，即3x11或3x23，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.
一、指数运算 例2.48化简并求值.
(a3a2b) (b3ab2)13a3b
33
1 1x2x23
(2)若x2x23，x2x2的值；
x x 2
分析：利用指数运算性质解题
解析：(a3a2b) (b3ab2) 1 1 a b3a2b3ab2
3b (3a3b)(b3ab2)
3a3b
1
3b
(3a3b)(3a2 3ab3b2)3ab(3a3b)1
64 2943343333
64，可得(29)x43即(3)x(4)3，所以(3)x(3)3，得x=-3.
27 383343 44
分析： 对于(1)方程，将其化简为统一的底数，
9x=(3x)2；对于(2)
29
(2)由(23)x(89)x
故原方程的解为
变式1方程9x-6 3x-7=0的解是
x=-3.