二项式定理课件-完美版

合集下载

高中数学《二项式定理》课件

高中数学《二项式定理》课件

03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法,尤其在证明二项式定理时, 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后,通过假设当$n=k$时二项式定 理成立,推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中,数学归纳法 首先证明基础步骤,即当$n=0$或 $n=1$时,二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质,将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式,从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质,将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式,其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算,可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m),即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m),即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中,二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中,二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中,二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外,二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程

二项式定理 课件

二项式定理 课件
系数; (2)求x-1x9 的展开式中 x3 的系数. 解 (1)(1+2x)7 的展开式的第 4 项是 T3+1=C37×17-3×(2x)3 =C73×23×x3=35×8x3=280x3. 所以展开式的第 4 项的二项式系数是 35,系数是 280.
(2)x-1x9 的展开式的通项是 Cr9x9-r-1xr=(-1)rCr9x9-2r. 根据题意,得 9-2r=3,r=3. 因此,x3 的系数是(-1)3C93=-84.
1+1x4=1+C141x+C241x2+C341x3+1x4=1+4x+
方法二 1+1x4=1x4(x+1)4=1x4[x4+C14x3+C24x2+C34x+1] =1+4x+x62+x43+x14.
探究点二 二项展开式的通项 例 2 (1)求(1+2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数、项的
问题 3 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么? 答 (1)它有 n+1 项,各项的系数 Ckn(k=0,1,…,n)叫二项 式系数; (2)各项的次数都等于二项式的次数 n.
问题 4 二项式定理展开式的结构特征是什么?哪一项最具有 代表性? 答 (1)字母 a 按降幂排列,次数由 n 递减到 0,字母 b 按升 幂排列,次数由 0 递增到 n; (2)Cknan-kbk 叫二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即通项 Tk+1=Cknan-kbk.
=81x2+108x+54+1x2+x12.
小结 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变 形可使展开多项式的过程得到简化,例如求(1-x)5(1+x+x2)5 的展开式,可将原式变形为(1-x3)5,再展开较为方便.
跟踪训练 1 求1+1x4 的展开式.
解 方法一 x62+x43+x14.

新教材选择性必修二7.4.1二项式定理课件(37张)

新教材选择性必修二7.4.1二项式定理课件(37张)

9.二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是________;二项式系数是
__________.(用数字作答)
【解析】根据二项式的展开式通项公式可得Tr+1=C
r 5
x5-ryr,可得含x2y3的项为C
3 5
x2y3,所以其系数为10,二项式系数为C53 =10.
答案:10 10
10.设n∈N*,则C1n +Cn2 6+C3n 62+…+Cnn 6n-1=________.
x-2x n 展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)n的值;
(2)求展开式中含x3的项,并指出该项的二项式系数.
【解析】(1)因为T3=C2n (
x
)n-2-2x
2
=4C2n
n-6 x2

T2=C1n (
x
)n-1-2x
=-2C1n
n-3 x2

依题意得4C2n +2Cn1 =162,所以2Cn2 +Cn1 =81,所以n2=81,n=9.
二项式定理 二项式定理
基础认知·自主学习
【概念认知】
二项式定理
(a+b)n= C 0 n a n + C 1 n a n - 1 b + + C n r a n - r b r + + C n n b n ( n N * ) .这个公式叫作二项式定
理,右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,它一共有_n_+__1_项,其中
【解析】(1)根据题意得:C1m +Cn1 =7,即 m+n=7①,
f(x)的展开式中的x2的系数为C2m
+C2n
m(m-1) =2
n(n-1) +2
m2+n2-m-n

2

二项式定理ppt课件

二项式定理ppt课件

01
在量子力学和统计物理学中,二项ห้องสมุดไป่ตู้定理可以用于计算一些物
理量的近似值。
在计算机科学中的应用
02
在算法设计和数据结构中,二项式定理可以用于解决一些优化
问题。
在经济学中的应用
03
在金融和经济学中,二项式定理可以用于研究资产价格的波动
和风险评估。
05
习题和思考题
关于二项式定理的基本计算题
总结词:掌握基础
发展历程
随着时间的推移,二项式 定理的应用范围不断扩大 ,逐渐涉及到概率论、统 计学等领域。
重要贡献
二项式定理在数学史上具 有重要地位,为后续数学 研究提供了基础。
二项式定理在数学中的地位和作用
地位
二项式定理是组合数学中 的核心定理之一,是解决 组合问题的重要工具。
作用
二项式定理的应用范围广 泛,不仅用于计算组合数 ,还可以用于解决概率论 、统计学中的问题。
要点三
归纳步骤
考虑k+1的情况,即(a+b)^(n+1) = (a+b) * (a+b)^n。根据归纳假设, 可以将右边的表达式展开为Σ C(n,k) * a^(n-k+1) * b^k + Σ C(n,k) * a^(n-k) * b^(k+1)。根据组合数的 性质,可以将右边的表达式进一步化 简为Σ C(n+1,k+1) * a^(n-k+1) * b^k + Σ C(n+1,k) * a^(n-k) * b^(k+1)。这就证明了二项式定理对 k+1的情况也成立。
与牛顿二项式定理的关系
牛顿二项式定理是二项式定理的一种特殊形式,适用于整数指数 幂的展开。

《二项式定理》课件

《二项式定理》课件

详细讲解证明二项式定理的思路。
3
关键步骤
介绍证明过程中的理解
通过具体的例子加深对二项式定理的理解。
3 应用场景
介绍二项式定理在实际问题中的应用场景。
2 二项式系数计算
介绍如何计算二项式系数。
拓展应用
单项式展开
讨论二项式定理在单项式展开 中的应用。
多项式展开
讨论二项式定理在多项式展开 中的应用。
《二项式定理》PPT课件
概述
• 二项式定理是数学中的一个重要定理。 • 本节将介绍二项式定理的概念及其历史背景。
公式表达
正式表达式
二项式定理的数学公式形式。
常见的形式
常见形式的二项式定理示例。
组合意义的解释
解释二项式定理中组合的概念。
数学证明
1
数学归纳法的证明
使用数学归纳法证明二项式定理。
2
阐述思路
字母代数式应用
介绍二项式定理在字母代数式 中的应用。
总结
• 介绍二项式定理的重要作用。 • 分享学习的心得体验。 • 推广与应用二项式定理相关的知识。

二项式定理 课件

二项式定理     课件
100 的余数.
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.

第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)

第十章  第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)

赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令 x=1 即可;对形如(ax+by)n(a, b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1 即可. (2)若 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1), 偶次项系数之和为 a0+a2+a4+…=f(1)+2f(-1) ,奇次项系数之和为 a1+a3+a5+…=f(1)-2f(-1) .令 x=0,可得 a0=f(0).

x=1
代入2x-
1 x
6
=1;
故所有项的系数之和为 1;故选 AC.]
求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr+1=Crn an-rbr,常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错);
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出 r;
故选 B.]
3.(x+1x -2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________.
解析:
法一:因为(x+1x -2)6=(
x

1 x
)12,所以其展开式的通项公
式为 Tr+1=C1r2 (
x
)12-r(-
1 x
)r=Cr12
(-1)r(
x )12-2r=Cr12 (-1)rx6-r,由 6
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an-kbk 是二项展开式的第 k 项.( ) (2)在二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a+b)n 的展开式中,每一项的二项式系数与 a,b 无关.( ) (4)(a+b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的 二项式系数不同.( ) 答案: (1)× (2)× (3)√ (4)√

二项式定理ppt课件

二项式定理ppt课件

二项式定理的应用领域
总结词
二项式定理的应用领域非常广泛,包括组合数学、概率论、统计学和物理学等。
详细描述
二项式定理在数学中有着广泛的应用,它可以应用于组合数学中的排列和组合计 算,概率论中的概率分布计算,统计学中的样本方差和总体方差计算,以及物理 学中的量子力学和统计力学等领域。
02
二项式定理的公式与性质
统计力学
在统计力学中,二项式定理用于计算 分子在特定条件下可能处于的微观状 态数。
二项式定理在计算机科学中的应用
数据压缩
二项式定理用于计算数据压缩的比特率,以确定压缩后数据的存储空间。
加密算法
二项式定理用于实现某些加密算法,如RSA公钥加密算法。
二项式定理在其他工程领域的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中,二项式定理用于计算系统的传递函数。
03
创新研究方法
随着数学研究方法的不断创新,二项式定理的研究方法也将不断更新和
完善,以适应新的研究需求和挑战。
THANKS
感谢பைடு நூலகம்看
二项式定理的化简技巧
合并同类项
在展开二项式定理后,可以将同类项 合并,以便简化表达式。
利用代数恒等式化简
利用二项式定理的逆用
在某些情况下,可以利用二项式定理 的逆用对表达式进行化简,如 $(ab)^n = sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k a^{n-k} b^k$。
在展开过程中,可以运用代数恒等式 对表达式进行化简,如 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
二项式定理展开与化简的应用
解决组合计数问题
二项式定理可以用于解决组合计 数问题,例如计算从 $n$ 个不同 项中选取 $k$ 个的不同方式的数

二项式定理 课件

二项式定理  课件

命题方向3 ⇨二项式系数与项的系数问题
典例 3 (1)求二项式(2 x-1x)6 的展开式中第 6 项的二项式系数和第 6 项 的系数;
(2)求(x-1x)9 的展开式中 x3 的系数.
• [思路分析] 利用二项式定理求展开式中的某一项,可以 通过二项展开式的通项公式进行求解.
[解析] 由已知得二项展开式的通项为 Tr+1=C6r(2 x)6-r·(-1x)r =(-1)rCr626-r·x3-32r ∴T6=-12·x-92. ∴第 6 项的二项式系数为 C56=6, 第 6 项的系数为 C56·(-1)·2=-12. (2)Tr+1=Cr9x9-r·(-1x)r=3,
• [点评] 要注意区分某项的系数与二项式系数.
• 『规律总结』 1.展开二项式可按照二项式定理进行.展 开时注意二项式定理的结构特征,准确理解二项式的特点 是展开二项式的前提条件.
• 2.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便.
• 3.对于化简多个式子的和时,可以考虑二项式定理的逆 用.对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各 项幂指数的规律以及各项的系数.
[解析] (1-2x)6 的展开式的通项 Tr+1=Cr6(-2)rxr,当 r=2 时,T3=C26(-2)2x2 =60x2,所以 x2 的系数为 60.
命题方向1 ⇨求二项展开式中特定的项
典例 1 已知( x-2)n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162,求: x
(1)n 的值; (2)展开式中含 x3 的项.
∴r=3,即展开式中第四项含 x3,其系数为(-1)3·C39=-84.
『规律总结』 1.二项式系数都是组合数 Cnr(r∈{0,1,2,…,n}),它与二项 展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式 中“项的系数”这两个概念.

二项式定理ppt课件

二项式定理ppt课件
二项式定理
汇报人:
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史,它起源于17世纪,是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式,即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式,即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数,以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布,即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率,即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立,即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质:在二项式定理中,我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$,这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质:在证明二项式定理的过程 中,我们还使用了指数的性质。例如 ,当 $n$ 为偶数时,$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ;当 $n$ 为奇数时,$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。

二项式定理ppt课件

二项式定理ppt课件
b=29.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中,前三项的 24 x
系数成等差数列,求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1,n ,
探究提高 用二项式定理处理整除问题,通常把 底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的 和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面 (或者是前面)一、二项就可以了. 同时,要注意余数的范围,a=cr+b,其中余数b∈ [0,r),r是除数,利用二项式定理展开变形后, 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15,则2n=3r,且 C=rn 15,验证n=6时,r=4
合题意.
5.(2009·北京理,6)若(1+ 2)5=a+b 2(a、b为
有理数),则a+b=
(C )
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
( B)
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=[2+(x-2)]3,
∴展开式中含(x-2)2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.

6.3.1二项式定理课件共15张PPT

6.3.1二项式定理课件共15张PPT

和 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3的概括和推广,
它是以多项式的乘法公式为基础,以组合知识为工具,
用不完全归纳法得到的,其证明可用数学归纳法.
(2)对二项式定理的理解和掌握,要从项数、系数、指
数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式.通项公式
Tr 1 C a
r
率9%,按复利计算,10年后收回本金和利息。
试问,哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资10年后大约
可多得利息多少元?
分析:本金10万元,年利率11%,按单利计算,10年后的本利和是
10×(1+11%×10)=21(万元);
本金10万元,年利率9%,按复利计算,10年后的本利和是10×(1+
9%)10;
x
60 12 1
64 x 192x 240x 160
2 3
x x
x
3
2
0 n
1 n 1
a

b

C
a

C

n
例题讲评
例2: 求 (2 x
解:
1 6
) 的展开式中
x
的展开式的通项:
根据题意,得
因此, 2 的系数是
x
x 的系数。
艾萨克·牛顿 Isaac
Newton (1643—1727) 英国
科学家.他被誉为人类历史上
最伟大的科学家之一.他不仅
是一位物理学家、天文学家,
还是一位伟大的数学家.
牛顿二项式定理
新课引入
某人投资10万元,有两种获利的可能供选择。一种是年
利率11%,按单利计算,10年后收回本金和利息。另一种是年利

二项式定理-PPT课件

二项式定理-PPT课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a+b)2和(a+b)3展开后分别等 于什么?
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
2
问题提出
2.对于a+b,(a+b)2,(a+b)3, (a+b)4,(a+b)5等代数式,数学上统 称为二项式,其一般形式为(a+b)n
7
问题探究
根据归纳推理,你能猜测出
(a+b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗?
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想?
8
大家学习辛苦了,还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理,等式右边叫做二项展
开式,其中各项的系数
C
k n
(k=0,1,2,
…,n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n+1项;字母a的最高次
数为n且按降幂排列;字母b的最高
次数为n且按升幂排列;各项中a与
b的指数幂之和都是n;各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a+b)n的二项展开式中,
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项,那么(a-b)n的二项展开式的通项
是什么?
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x+3y)20的二项展开式的通项是什 么?

《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文

《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文

展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1(2)中,请思考: ①展开式中的第3项的系数为多少? ②展开式中的第3项的二项式系数为多少? ③你能直接求展开式的第3项吗?
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗?
解:④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数: 展开式共有n+1项.
②次数: 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列,由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列,由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式; x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项:Tk1 Cnk ankbk
思想方法:
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业: 课本36页习题1.3A组第2,4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x

二项式定理课件_完美版

二项式定理课件_完美版
5
x 1
5
3.若(
)n的展开式中各项系数之和为64,
则 展开式的常数项为( A ) A.-540 B.-162 C.162
D.540
4.(2010·上海春)在 项是________.
的二项展开式中,常数
答案:60
二、题型与方法
考点一 通项公式的应用
通项公式中含有a,b,n,r,Tr+15个元素,只要知 道了其中的4个元素,就可以求出第5个元素,在求展开式 中的指定项问题时,一般是利用通项公式,把问题转化为 解方程(或方程组).这里必须注意隐含条件n,r均为非负 整数且r≤n.
(2)求二项展开式中的有理项,一般是根据通项公式 所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的 项.解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指 数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来 求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项的方式一 致.
3).你能分析说明各项前的系数吗? a4 a3b a2b2 ab3 b4 每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种,则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种,则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种,则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种,则b4前的系数为C44
2.计算并求值
(1) 1 2C 4C
1 n 2 n
5 4
2 C
n
(2) ( x 1) 5( x 1) 10( x 1) 10( x 1)
3
n n
2
5( x 1)
0 n n

第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)

第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)

其展开式的第k+1项为Tk+1=Ck4(x2+x)4-kyk,
因为要求x3y2的系数,所以k=2, 所以T3=C24(x2+x)4-2y2=6(x2+x)2y2. 因为(x2+x)2的展开式中x3的系数为2, 所以x3y2的系数是6×2=12.
法二 (x2+x+y)4表示4个因式x2+x+y的乘积,在 这4个因式中,有2个因式选y,其余的2个因式中有一个 选x,剩下的一个选x2,即可得到含x3y2的项,故x3y2的系 数是C24·C12·C11=12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题, 只需依据二项展开式的通项,从每一项中分别得到特定 的项,再求和即可.
角度 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x-3) 1+1x 6 的展开式中剔除常数项后的 各项系数和为( ) A.-73 B.-61 C.-55 D.-63 (2)已知(x-1)(ax+1)6的展开式中含x2项的系数为0, 则正实数a=________. 解析:(1)(2x-3)1+1x6的展开式中所有项的系数和为 (2-3)(1+1)6=-64,(2x-3)1+1x6=
为( )
A.-1
B.1
C.32
解析:由题意可得CC6162aa54bb=2=-13158,,
D.64
解得ab==1-,3,或ab==-3. 1,则(ax+b)6=(x-3)6, 令x=1得展开式中所有项的系数和为(-2)6=64,故选D. 答案:D
2.(2020·包头模拟)已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+
[例2] (1)若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+ a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=( )

二项式定理课件

二项式定理课件

例题讲解
例2. (x
1 x
)9
的展开式中x3的系数.
归纳小结
1.注意二项式定理 中二项展开式的特征 2.区别二项式系数,项的系数及项; 3.掌握用通项公式求二项式系数,项的系数及项。
课后作业
课本31页练习及本节教辅
课后思考
在(x2 + 3x + 2)5 的展开式中,x的系数为多少?
C
0 n
C n1x
Cn2x 2
Cnrx r
C
n n
x
n
类比思考
1.问(a+b)n与(b+a)n的展开式是否相同?
2. (a-b)n的展开式形式?
(a b)n Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
( 1)nCnnbn
例题讲解
例1.求 (2 x 1 )6 的展开式。 x
例2. (1+2x)7的展开式中第4项的二项式系数和系数分别是什么?
探究发现
从组合的角度看待的(a+b)4展开式。
(a+b)4 = C40 a4 +C41 a3b + C42 a2b2 + C43 ab3 + C44 b4
发现定理
从组合的角度看待的(a+b)n展开式。
(a
b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
1b
C n2a n2b 2
Hale Waihona Puke Cr na
n
r
b
r
C nnbn
二项式定理
定理背景
1.什么是二项式?
对于a+b,(a+b)2,(a+b)3等代数式,数学上统称为二项式,其一般形式为(a+b)n (n∈N*)

二项式定理课件ppt

二项式定理课件ppt

二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ,例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理,我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开,从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数,我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中,C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ,它具有与组合数相同的性 质,例如
1. 对称性:对于任何自然数n ,C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性:C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式:C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现,用于解决一些特殊的数学问题。
之后,许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广,使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础,可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中,二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上,通过解决 一些相对复杂的进阶题目,帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式,进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣

高二下学期数学人教A版选择性必修第三册6.3.1二项式定理课件

高二下学期数学人教A版选择性必修第三册6.3.1二项式定理课件
a4 4a 3b 6a 2b2 4ab3 b4
探究新知
? 探究
进一步地,你能写出(a+b)n 的展开式吗?
(a b)n (a b)(a b) (a b)
n
解:(项的结构)
各项是从 n 个因式中各取一个字母相乘得到关于 a, b
的 n 次单项式,有 an , an1b, a b n2 2 ,
的展开式的通项为
根据题意,得
因此, x2的系数是
巩固练习
1.求 (2a+3b)6 的展开式的第3项. 解: 2.求( 3 x 1 )n 的展开式的第r+1项.
23 x 解:
3.在 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含x4的项的系数是 -15 .
课堂小结
1.二项式定理
后,a的选法也随之确定,因此,ab出现的次数相当于从
2个
(a+b)
中取1个b的组合数
C
1 2
,即ab共有2个.
k 2, a2kbk b2
由2个 (a+b) 中都选b得到的. 因此,b2出现的次数相当于
从2个
(a+b)
中取2个b的组合数
C
2 2
,即b2只有1个.
(a b)2 C20a2 C21ab C22b2
(a
b)n
C n0a n
C
1 n
a
n
1b
C
k n
a
n
k
b
k
C
n n
b
n
(n
N
*)
2.二项展开式的通项
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
相关文档
最新文档