最新高一数学下学期3月月考试题2(1)
高一数学下学期3月月考试题含解析试题 2
卜人入州八九几市潮王学校新世界中英文二零二零—二零二壹高一数学下学期3月月考试题〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内〔每一小题5分，一共60分〕.α是第二象限角，角α的终边经过点(),4Px ,且cos 5xα=,那么tan α=〔〕 A.43-B.34-C.34D.43【答案】A 【解析】【详解】因为r =，所以由题设及余弦函数的定义可得35xx =⇒=-，故44tan 33α==--，应填答案A ． 2.假设α是第一象限角，那么sin α+cos α的值与1的大小关系是〔〕 A.sinα+cosα＞1 B.sinα+cosα=1C.sinα+cosα＜1D.不能确定【答案】A 【解析】试题分析：设角α的终边为OP ，P 是角α的终边与单位圆的交点，PM 垂直于x 轴，M 为垂足，那么由任意角的三角函数的定义，可得sin α=MP=|MP|，cos α=OM=|OM|，再由三角形任意两边之和大于第三边，得出结论．解：如下列图：设角α的终边为OP ，P 是角α的终边与单位圆的交点，PM 垂直于x 轴，M 为垂足，那么由任意角的三角函数的定义，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM 中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，应选A ．考点：三角函数线． 3.方程2sin 2sin 0x x a --=在x ∈R 上有解，那么a 的取值范围是〔〕A.[1,)-+∞B.(1,)-+∞C.[1,3]-D.[1,3)-【答案】C 【解析】 【分析】 转化2sin 2sin 0x x a --=，为22sin 2sin (sin 1)1a x x x =-=--，令sin t x =，计算2(1)1y t =--的值域即得解.【详解】由于2sin 2sin 0x x a --=，即22sin 2sin (sin 1)1a x x x =-=--令sin ,[1,1]tx t =∈-故[1,3]a ∈- 应选：C【点睛】此题考察了转化方程有解为三角函数与二次函数复合函数的值域问题，考察了学生转化划归，数学运算的才能，属于中档题.α与β都是第一象限角，并且αβ>，那么一定有如下关系〔〕A.sin sin αβ>B.sin sin αβ<C.sin sin αβ≠D.不能确定【答案】D 【解析】 【分析】对α与β取特殊值，即可得答案； 【详解】对A ，当390,60αβ==时，sin sin αβ<，故A 错误；对B ，当60,30αβ==时，sin sin αβ>，故B 错误； 对C ，当390,30αβ==时，sin sin αβ=，故C 错误；应选：D.【点睛】此题考察象限角的概念及任意角三角函数的定义，属于根底题.5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，那么〔〕 A.a b c << B.a c b <<C.b c a <<D.b a c <<【答案】D 【解析】【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以,应选D .6.α是三角形的一个内角且2sin cos 3αα+=，那么此三角形是〔〕 A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】C 【解析】 由题设可知α是三角形的一个内角，那么sin 0α>，将2sin cos 3αα+=两边平方可得412sin cos 9αα+=，即5sin cos 0cos 018ααα=-<⇒<，所以2παπ<<，即该三角形是钝角三角形，应选答案C ．sin tan 0αα<且cos tan 0αα>，那么角2α为〔〕A.第一象限角B.第二象限角C.第一或者第二象限角D.第一或者第三象限角【答案】D 【解析】 【分析】先判断角α所在的象限，再判断角2α所在的象限.【详解】sin tan 0αα<且cos tan 0αα>，∴α为第二象限角，∴22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴,422k k k Z παπππ+<<+∈，∴2α为第一或者第三象限角.应选：D.【点睛】此题考察三角函数在各个象限的符号、象限角的表示方法，考察运算求解才能，属于根底题.sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是〔〕A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式可得sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，直接可得函数为偶函数，利用周期公式可求得函数的周期.【详解】sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴22T ππ==，又cos 2y x =为偶函数， 应选：B.【点睛】此题考察诱导公式和余弦函数的性质，考察运算求解才能，属于根底题.(sin )cos f x x =，那么(cos 60)f =()A.12C.12-D.【答案】B 【解析】解：因为(sin )cos f x x =，那么3(cos 60)(sin 30)cos302f f ===，选B10.同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线3xπ=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是〔〕A.sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】运用三角函数的性质对四个选项逐一进展分析即可得到结论【详解】对于A ，26x y sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2412T πππ==≠，故排除A对于B ，sin 26yx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，T π=，满足图象关于直线3x π=对称，且在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，符合题意对于C ，23y cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]20,3x ππ+∈，所以23y cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，故排除C 对于D ，sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令262x k πππ+=+，62k x ππ=+，其图象不关于直线3x π=对称，故排除D 应选B【点睛】此题考察了三角函数的图像性质，考察了其周期性、对称性、单调性等知识点，纯熟运用图像性质来解题是关键．AD 的是〔〕A.MB AD BM+-B.()()AD MB BC CM +++C.()AB CD BC ++D.OCOA CD -+【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算，结合排除法，即可得答案； 【详解】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确；对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；应选：A.【点睛】此题考察向量加法和减法的运算，求解时注意向量减法起点要一样.ABC 所在平面内的一点，且满足53AM AB AC =+，那么ABM 与ABC 的面积比为〔〕.A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】 【分析】 将条件53AMAB AC =+中的AB 转化为2AD ，然后然后化简得23DM MC =，由此求得两个三角形高的比值，从而求得面积的比值. 【详解】如图，由5AM =AB +3AC 得2AM =2AD +3AC -3AM ，即2(AM -AD )=3(AC -AM )，即2DM =3MC ，故DM =3DC 5，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC =3∶5.所以选C.【点睛】本小题考察平面向量的线性运算，考察三角形面积的比值的求法，属于根底题. 二、填空题：请把答案填在题中横线上〔每一小题5分，一共20分〕α的终边落在射线(0)y x x =-≥上，那么sin cos αα+=________.【答案】0 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，分别求得sin ,cos αα的值，即可得到答案. 【详解】角α的终边落在射线(0)y x x =-≥上，∴sin αα==，∴sin cos 0αα+=.故答案为：0.【点睛】此题考察角α的终边求三角函数值，考察对概念的理解，属于根底题.sin ,0,()612,0,x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩那么[(1)]f f =________.2【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先求(1)f 的值，再求[(1)]f f 的值.【详解】sin ,0,()612,0,x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩∴(1)121f =-=-， ∴1[(1)](1)sin()62f f f π=-=-=-.故答案为：12-.【点睛】此题考察分段函数的求值、特殊角三角函数的求值，考察函数与方程思想，考察运算求解才能，属于根底题.|sin |lg x x =的解的个数为_______.【答案】5 【解析】 【分析】 画出函数|sin |y x =与lg y x =的图像，根据图像的交点个数，即可得到答案.【详解】作出函数|sin |y x =与lg y x =的图像，如下列图，当7102xπ=>时，∴lg 1x ， ∴两个图像交点个数为5个.故答案为：5.【点睛】此题考察利用数形结合求函数图像交点的个数，考察函数与方程思想、数形结合思想.(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，那么sin 6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是______.8【解析】 【分析】令sin cos t αα+=，利用角三角函数关系中的平方和为1这个公式，可以求出sin cos αα⋅的值，这样可以求出函数的解析式，最后代入求值即可. .【详解】令222sin cos (sin cos )12sin cos t t t αααααα+=⇒+=⇒+⋅=，21sin cos 2t αα-⇒⋅=，因为(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，所以21()2t f t -=， 所以21()1132sin ()6228f f π-⎛⎫===- ⎪⎝⎭【点睛】此题考察了求函数解析式，并求函数值问题，考察了换元法，掌握同角三角函数关系中的平方和为1这个公式是解题的关键.三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〔一共70分〕. ，所在圆的半径为R ，假设扇形的周长为40cm,当它的圆心角为多少弧度时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】圆心角为2弧度时，该扇形的面积最大，最大面积为【解析】【详解】(1)设扇形的弧长为cm,由题意知，,然后再利用,得到S 关于R 的函数求解即可.解：设扇形的弧长为cm,由题意知，∴∴∴当时，扇形的面积最大；这个最大值为.此时，故当扇形的圆心角为2弧度时，该扇形的面积最大，最大面积为.18.〔1〕在ABC ∆中，1sin22A =，求cos 2B C +的值. 〔2〕求函数5sin 2,,366y x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间.【答案】〔1〕12〔2〕单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】〔1〕利用三角形的内角和为π，结合诱导公式，即可得答案；〔2〕解不等式3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，再与区间5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦取交集，即可得答案；【详解】〔1〕222B C AA B C ππ+++=⇒=-， 1coscos sin22222B C A A π+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 〔2〕由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， ∴函数的单调减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 由于5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考察诱导公式、正弦函数的单调性，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.19.〔1〕求函数()lg(2cos 1)f x x =-+〔2〕假设cos θ=，求sin(5)cos cos(8)23sin sin(4)2πθπθπθπθθπ⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭的值. 【答案】〔1〕55773333x x x x ππππ⎧⎫-≤<--<<<≤⎨⎬⎩⎭或或.〔2〕4± 【解析】【分析】〔1〕根据对数的真数大于0，被开方数大于等于0，解不等式即可得答案；〔2〕利用诱导公式将原式化简成sin θ，再利用同角三角函数的平方关系，即可得答案.【详解】〔1〕由题意可知21cos 2490x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，解得22,3377k x k k Z x ππππ⎧-<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩ ∴573x π-≤<-或者33x ππ-<<或者573x π<≤ 故函数的定义域为55773333x x x x ππππ⎧⎫-≤<--<<<≤⎨⎬⎩⎭或或. 〔2〕因为sin(5)cos cos(8)23sin sin(4)2πθπθπθπθθπ⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭(sin )sin cos sin cos (sin )4θθθθθθ-⋅⋅====±⋅-. 【点睛】此题考察函数定义域的求解、诱导公式的综合运用，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能，求解时注意三角函数值的符号.20.0a >，函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5()1f x -≤≤，求常数,a b 的值.【答案】2,5ab ==-【解析】【分析】 求出72666x πππ≤+≤，利用正弦线可得函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭的最大值与最小值，解方程组得常数,a b 的值.【详解】0,0,2a x π⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，∴72666x πππ≤+≤，根据单位圆中的正弦线可得： 当7266x ππ+=，即2x π=时，sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭获得最小值12-， ∴max 1()2()21312f x a a b a b =-⨯-++=⇒+=； 当262x ππ+=，即6x π=时，sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭获得最小值1， ∴min ()21255f x a a b b =-⨯++=-⇒=-；解得：2,5a b ==-.【点睛】此题考察根据函数的值域求参数的值，考察逻辑推理才能、运算求解才能.x 的方程221)0x x t -++=的两个根为,cos ,(0,2),sin αααπ∈求：〔1〕sin tan cos tan 11tan ααααα+--的值；〔2〕实数t 的值；〔3〕方程的两个根及此时α的值【答案】〔1；〔2〕.〔3〕6πα=或者3πα=.【解析】【详解】第一问中利用一元二次方程中根与系数的关系得到,cos ,(0,2),sin αααπ∈的关系式，然后将所求解的化简，代值得到．第二问利用正弦值和余弦值的关系，利用和值平方后得到积值第三问中，利用第一问中两个和，以及第二问中的结论，得到,cos ,(0,2),sin αααπ∈，进而求解得到角．解：〔1〕因为〔2〕因为 故32t = 〔3〕由〔2〕得：1sin 23cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者3sin 21cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴6πα=或者3πα=。
江苏省重点高一下学期3月月考数学试题(解析版)
高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．命题“”的否定是（ ） 2010x x ∀>->，A ． B ． 2010x x ∀≤->，2010x x ∃>->，C ． D ．2010x x ∃≤-≤，2010x x ∃>-≤，【答案】D【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是, 2010x x ∀>->，2010x x ∃>-≤，故选：D2．求值：（ ） sin105=A B C D 【答案】B【分析】根据两角和的正弦公式求得结果.【详解】()16045sin 60cos 45cos 60sin 4sin1505sin 2⎫+=+==⎪⎪=⎭故选：B.3．一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形弧长为（ ） 120 3πA ． B ． C ． D ．π2π3π4π【答案】B【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得.【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积， l r 2π1203α==3πS =由扇形的面积公式，得，解得（负值舍去），212S r α=212π3π23r =⨯⨯3r =由弧长公式， 2π32π3l r α==⨯=故选：B4．已知角的终边经过点，则的值等于（ ） α()2,4P -sin cos αα-A ．BC ．D ．15【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出、，再代入计算可得. sin αcos α【详解】因为角的终边经过点，所以，α()2,4P -sin α=-，cos α=所以sin cos αα-==故选：A5．已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）()f x ()f xA ．B ．C ．D ． ||()e x f x x =()e e x xxf x -=-()e xx f x =||3()e x x f x =【答案】D【分析】观察函数的图像，根据函数的性质，利用排除法可得选项.【详解】对于A ，由函数图像可知，时，，而，当时，x →+∞()0f x →||()e x f x x =x →+∞，故A 错误；()f x →+∞对于B ，由函数的图像可以看出，当时，函数有意义，而函数在无定0x =()f x ()e e x xxf x -=-0x =义，故B 错误；对于C ，函数图像关于原点对称，即函数为奇函数，由为非奇非偶函数，故C 错误； ()e xxf x =对于D ，是一个奇函数，时，，符合图象，故D 正确. ||3()ex xf x =x →+∞()0f x →故选：D. 6．已知，，，则（ ） 21log 3a =0.5e b =ln 2c =A ． B ． C ． D ．a b c >>b a c >>b c a >>c b a >>【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，，，33323110log 2log 31log 3log 3log 2a <===<=0ln 2ln e 1c <=<=0.50e e 1b =>=又，所以，即. 3ln 2ln 2ln 3ln 2ln 3ln e 1ln 2log 2ln 2ln 3==⨯=>=3ln 2log 2>b c a >>故选：C7．已知函数的图象在区间上与轴有2024个交点，则的最小值π()2sin(2)13f x x =+-[]a b ，x b a -是（ ） A ． B ．C ．D ．3035π31011π1012π【答案】A【分析】求出方程的根，再找到取最小值时的零点,求得结果即可.()0f x =b a -【详解】由得，π()2sin(2)103=+-=f x x π1sin(2)32x +=解得或， ππ22π36+=+x k π5π22π,36x k k +=+∈Z 所以或，ππ12x k =-+ππ,4x k k =+∈Z 令,,,,,1π12=-x 2π4x =3π11ππ1212=-+=x 4π5ππ=44=+x ⋅⋅⋅,,当,时，2023π1011π12=-+x 2024π1011π4=+x 2023π1011π12==-+b x 1π12==-a x 取最小值，最小值为. b a -20241ππ103034π311π412⎛⎫-=+--= ⎪⎝⎭x x 故选：A.8．函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是()e 1x f x x =-a ()(ln 1)e g x x x =--b （ ） A ． B ． C ． D ．2eba +=2eb a +>2e ab =2e ab >【答案】B【分析】变换得到，，构造，确定函数单调递增得到ln 0a a +=e eln 0b b+=()ln g x x x =+，确定，根据均值不等式计算得到答案.()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭e ab =【详解】，则，，即，即；()e 1a f a a =-1e aa =0a >1ln ln a a a==-ln 0a a +=，，则，即.()()ln 1e 0g b b b =--=0b >e e lnln e b b b==-e eln 0b b +=设，则函数在上单调递增，，()ln g x x x =+()0,∞+()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭故，即，ea b=e ab =，当时，不成立，故， 12e b a a a +=+≥=1a =ln 0a a +=1a ≠等号不成立，故，ACD 错误B 正确.12e b a a a +=+>故选：B【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，对数运算，均值不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数确定单调性，变换得到是解题的关键.()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭二、多选题9．已知∈R ，则下列结论正确的是（ ） a b c ，，A ．若，则 B ．若，则 22ac bc >a b >0a b <<2a ab >C ．若，则 D ．若，则 0c a b >>>a b c a c b<--1a b >>11a b b a->-【答案】ABD【分析】对于ABC 项：根据不等式的性质逐项判断.对于D 项，使用作差法比大小. 【详解】对于A ：因为，所以，所以，故A 正确；22ac bc >20c >a b >对于B ：因为，所以，两边同乘以得，故B 正确； 0a b <<0a b ->->a -2a ab >对于C ：因为，所以，所以，又，两式相乘0c a b >>>0c a c b <-<-110c a c b>>--0a b >>得，故C 错误； a bc a c b>--对于D ：,()()()11111a b ab a b a b a b a b b a b a ab ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以,所以，所以，故D 正确. 1a b >>1ab >()10ab a b ab -⎛⎫-> ⎪⎝⎭11a b b a ->-故选：ABD10．将函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数π()2sin(2)3f x x =-的图像，则下列结论正确的是（ ）()g x A ．π()2sin()6g x x =-B ．函数在上单调递增()g x (0π2，C ．点是函数图像的一个对称中心 4π(0)3()g x D ．当时，函数的最大值为2π[π]2x ∈-，()g x 【答案】BC【分析】先根据伸缩得出新函数判断A 选项，再根据单调性判断B 选项，代入法验证对称中心判断C 选项，根据值域判断D 选项.【详解】函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，,A 选π()2sin(23f x x =-π()2si 3n()g x x =-项错误;,函数在上单调递增,B 选项正确;(0),ππππ,2336x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝∈⎭，()g x (0π2，当,点是函数图像的一个对称中心,C 选项正确; 4π,3x =4π4ππ(2sin()2sin π0333g =-==4π(0)3，()g x 当,,选项错误.π[π]2x ∈-，π4ππ,336x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦-max 4π()(π)2sin(3g x g =-=-=故选:BC.11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A ．若，，则1,3)a = （(24)b =-，()a b a +⊥ B ．点，与向量同方向的单位向量为()()1132M N --，，，MN 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．若，则与的夹角为20a b a b a +=-=≠ a b + a b -60 D ．若向量，，则向量在向量上的投影向量为 (12)a = ，(26)b =- ，a b 14b -【答案】ABD【分析】对于A ，利用向量垂直的坐标表示进行判断；对于B ，与向量同方向的单位向量为MN；对于C ，利用两向量夹角的余弦坐标公式求解即可；对于D ，利用投影向量公式求解即可. MN MN【详解】对于A ，，，，1,3)a = （(24)b =-，()3,1+=- a b 因为，则，故A 正确； ()()=31+13=0a b a +⋅⨯-⨯ ()a b a +⊥对于B ，已知点，，()()1132M N --，，，()4,3MN =- 5=与向量同方向的单位向量为，故B 正确； MN4355MN MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于C ，若，由得. 20a b a b a +=-=≠ 22a b a b +=- 0a b ⋅=由，得，224a b a += 223b a = ，，2a a +== 2a a +==则， ()()222222241cos ,2a b a b a b a b a b a b a b a a a a+⋅-+-===-+---=⋅则与的夹角为，故C 错误；a b + a b -120 对于D ，若向量，，， (12)a = ，(26)b =-，()122610a b ⋅=⨯+⨯-=- ，则向量在向量上的投影向量为，故D 正确.=a b 14a b b b b bb ⋅⋅==-故选：ABD.12．已知函数，则（ ） 2()441x x xf x x =+--A ．是奇函数 B ．的图象关于点对称()f x ()f x ()1,1C ．有唯一一个零点 D ．不等式的解集为()f x ()()223f x f x +<()(),11,3-∞- 【答案】BCD【分析】求解的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A 错误；根据解析式验证可知()f x ，则知B 正确；当时，由单调性的性质可确定在上单调递()()112f x f x ++-=1x >()f x ()1,+∞减，结合值域的求法可求得；结合对称性可知在上单调递减；利用零点存在()1f x >()f x (),1-∞定理可说明在有且仅有一个零点，知C 正确；结合C 的结论可说明时，()f x (),1-∞1x >()1f x >时，；利用单调性，分别讨论和在同一单调区间内、两个不同单调区间内的1x <()1f x <23x +2x 情况，解不等式组可求得结果.【详解】对于A ，由得：，即定义域为，不关于原点对称，44010x x ⎧-≠⎨-≠⎩1x ≠()f x {}1x x ≠为非奇非偶函数，A 错误；()f x \对于B ，，()112121144242x x x xx xf x x x+++++=+=+-⨯- ， ()()1122112412121444224244444xx x x x x x x xx x x x f x x x x x ----⋅---=-=-=-=---⨯-⨯-，图象关于点对称，B 正确；()()112f x f x ∴++-=()f x \()1,1对于C ，当时，； 1x >()1141212x xf x x=+--在上单调递增，在上单调递增， 2x t = ()1,+∞4y t t=-()2,+∞在上单调递增，在上单调递减；422xx y ∴=-()1,+∞1422x x y ∴=-()1,+∞在上单调递增，在上单调递减；11y x=- ()1,+∞111y x ∴=-()1,+∞在上单调递减；()f x \()1,+∞由B 知：图象关于对称，在上单调递减；()f x ()1,1()f x \(),1-∞当时，，，，在上无零点； 1x >2044xx >-11111x x x =+>--()1f x ∴>()f x \()1,+∞当时，，， 1x <()11000143f =+=-<-()1111210123044f -=+=>-，使得，则在上有唯一零点；()01,0x ∴∃∈-()00f x =()f x (),1-∞0x x =综上所述：有唯一一个零点，C 正确；()f x 对于D ，由C 知：在和上单调递减， ()f x (),1-∞()1,+∞又时，；1x >()1f x >时，；1x ∴<()1f x <①当，即时，由得，解得，即；22311x x +>⎧⎨>⎩1x >()()223f x f x +<223x x +>13x -<<13x <<②当时，不等式组无解，不合题意；22311x x +<⎧⎨<⎩③当，即时，，，不合题意；22311x x +>⎧⎨<⎩11x -<<()231f x +>()21f x <④当，即时，，，符合题意；22311x x +<⎧⎨>⎩1x <-()231f x +<()21f x >综上所述：的解集为：，D 正确.()()223f x f x +<()(),11,3-∞- 故选：BCD.三、填空题13．请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的减()f x ()f x ()f x ()0,∞+函数．则________． ()f x =【答案】(答案不唯一)2x -【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】设，根据幂函数为偶函数，则为偶数，又为上单调递减，故()f x x α=α()f x ()0,∞+0α< ，故可取， 2()f x x -=故答案为：（答案不唯一）2x -14．已知函数则________．()()e ,11,1xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩(ln3)f =【答案】3e【分析】由及可得：，即可求得：，ln31>()()e ,11,1xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()ln3ln31f f =-()3ln31e f -=问题得解.【详解】因为，所以， ln31>()()ln3ln31f f =-因为，所以，所以.ln311-<()ln3ln31e 3l 31ee n ef -=-==()3ln3e f =故答案为：3e15．点P 是正方形外接圆圆O 上的动点，正方形的边长为2，则的取值ABCD 2OP OB OP OC ⋅+⋅范围是________．【答案】 [-【分析】根据题意求出圆的半径，建立如图平面直角坐标系，设，xOy )P θθ，利用平面向量线性运算和数量积的坐标表示可得，[]0,2πθ∈2OP OB OP OC ⋅+⋅=)ϕθ-结合三角函数的有界性即可求解.【详解】由题意知，圆O =建立如图平面直角坐标系，，xOy (1,1),(1,1)C B -得，(1,1),(1,1)OC OB ==-设，，则， )P θθ[]0,2πθ∈)OP θθ=所以2)OP OB OP OC θθθθ⋅+⋅=，其中， )θθϕθ==-tan 3ϕ=又，所以，02πϕθ≤-≤1sin()1ϕθ-≤-≤则，2OP OB OP OC ⋅+⋅=)[ϕθ-∈-即的取值范围为.2OP OB OP OC ⋅+⋅[-故答案为：.[-四、双空题16．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为()()πsin 02||0f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,,x ，与轴的交点为，最高点，且满足．则________；将的图5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭y N ()1,P A NM NP ⊥ω=()f x 象向右平移1个单位得到的图象对应的函数为，则________．()g x ()1g =【答案】/ 3π13π【分析】根据图象可求得最小正周期，由此可得，结合五点作图法可求得，将代入解析式ωϕ0x =可求得点坐标，根据垂直关系可构造方程求得的值，进而得到的解析式，再根据三角函N A ()f x 数的变换规则得到的解析式，从而求出.()g x ()1g 【详解】由图象可知的最小正周期，， ()f x 54162T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭2ππ3T ω∴==由五点作图法可知：，解得，()π52ππ32k k ϕ⨯+=+∈Z ()π2π6k k ϕ=+∈Z 又，，，，π2ϕ<π6ϕ∴=()ππsin 36f x A x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭()π0sin 62A f A ∴==即，，，0,2A N ⎛⎫⎪⎝⎭5,22A MN ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 1,2A NP ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，，又，MN NP ⊥ 25024A MN NP ∴⋅=-+= 210A ∴=0A >，A∴=()ππ36f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭将的图象向右平移1个单位得到，()f x ()()ππππ13636g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以()πππ3166g ⎛⎫=-=⎪⎝⎭故答案为：π3五、解答题17．设，已知集合，集合． a ∈R 32{1}1x A x x +=<-22{210}B x x ax a =-+-<(1)若，求；1a =A B ⋃(2)求实数的取值范围，使_______成立．a 从① ② ③中选择一个填入横线处并解答． A B ⋂=∅A B ⊆R ðB A ⊆R ð注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)3(,2)2A B ⋃=-(2)或52a ≤-2a ≥【分析】（1）先解分式不等式求出集合A ，根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念和运算即可得出结果；（2）①根据集合没有公共元素，列出不等式求得结果；②根据补集的概念和运算求出，,A B B R ð利用集合间的包含关系可求出对应条件的参数；③根据补集的概念和运算求出，利用集合间的A R ð包含关系可求出对应条件的参数.【详解】（1）因为 3232231100111x x x A xx x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=<=-<=<⎨⎬⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭⎩⎭所以.3(,1)2A =-因为，{}{}22|21011B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+所以.(1,1)B a a =-+所以 3(,2)2A B ⋃=-（2）①，又， A B =∅ 3(,1)2A =-(1,1)B a a =-+或， 312a ∴+≤-11a -≥或. 52a ∴≤-2a ≥②，，又 A B ⊆R ð(][),11,=-∞-++∞ B a a R ð3(,1)2A =-或， 312a ∴+≤-11a -≥或. 52a ∴≤-2a ≥③，，又 B A ⊆R ð[)3,1,2⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦ A R ð(1,1)B a a =-+或 312a ∴+≤-11a -≥或 52a ∴≤-2a ≥18．已知． 3ππsin 2cos 022αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)若为第一象限角，求；αsin α(2)求的值． 221sin cos sin cos αααα+-【答案】(1)sin α(2) 73-【分析】（1）由诱导公式以及同角平方和关系即可求解，（2）由弦切互化以及齐次式即可求解.【详解】（1）得即 3ππsin 2cos 022αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2sin 0αα-+=2sin cos αα=又联立解得22sin cos 1αα+=sin cosαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩因为为第一象限角，所以． αsin α（2）由（1）知得． ． 2sin cos αα=1tan 2α=． 221sin cos sin cos αααα+-2222sin cos sin cos sin cos αααααα++=-． ． 22tan 1tan tan 1ααα++=-73=-19．已知，． π(,π)2α∈π3sin()45α+=(1)求；cos α(2)若，且，求． π(0)2β∈，4cos 5β=αβ+【答案】(1)(2)3π4 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解.【详解】（1）由，得． π(,π)2α∈3ππ5π444α<+<， π3sin()45α+=π4cos(45α∴+==- ππππππcos cos[(]cos()cos sin()sin 444444αααα∴=+-=+++． 4355=-=（2）由， π(,π)2α∈cos α=sin α==由，得， π(0,2β∈4cos 5β=3sin 5β==． 43sin()sin cos cos sin (55αβαβαβ∴+=+=+⨯=又 ππ(,π),(0,)22αβ∈∈ π3π(,22αβ∴+∈ 3π4αβ∴+=20．如图，在平行四边形中，，，． ABCD 60BAD ∠=︒12BE BC = 2CF FD =(1)若，求的值；EF xAB y AD =+ 32x y +(2)若，，求边的长．6AB = 18AC EF ⋅=- AD 【答案】(1)321x y +=-(2)4【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出，，即可得解； x y （2）设长为，根据数量积的运算律得到方程，解得即可.AD x 【详解】（1）在平行四边形中，，, ABCD 12BE BC = 2CF FD = 所以， 1121()3232EF AF AE AD AB AB AD AB AD =-=+-+=-+ 又，，，. EF xAB y AD =+ 23x ∴=-12y =321x y ∴+=-（2）设长为， AD x ()2132AC EF AB AD AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭ 22211326AB AD AB AD =-+-⋅ 222c 1os 2136BAD AB AD AB AD =⋅∠-+- ， 211241822x x =--=-，或（舍去），即.2120x x ∴--=4x ∴=3-4=AD 21．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水(04a a <≤R)a ∈中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中(y )(x )()y af x =，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相()[](]2046154102x x x f x x x +⎧∈⎪⎪-=⎨⎪-∈⎪⎩，，，，应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效．4()(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能m 够持续有效，试求的最小值．m【答案】(1)6天(2)2【分析】（1）根据给定函数，列出不等式求解作答.（2）求出两次投放营养液在水中释放的浓度，由已知列出恒成立的不等式，分离参数借助均值不等式求出最值作答.【详解】（1）因为一次投放4个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为， ．()84,0446202,410x x f x y x x x +⎧≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩当时，，解得； ． 04x ≤≤8446x x+≥-24x ≤≤当时，，解得； ．410x <≤2024x -≥48x <≤综上求得，28x ≤≤所以一次投放4个单位的营养液，则有效时间可持续6天． ． （2）设从第一次投放起，经过x （）天后，浓度为610x ≤≤1()2526(626)g x x m x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 41012x x m x-=-+-因为，所以，610x ≤≤120x ->40x ->所以即 410412x x m x--+≥-(6)(12)4x x m x --≥-1610[(4)]4x x =--+-所以 ()161041024x x ⎡⎤--+≤-=⎢⎥-⎣⎦当且仅当，即时，等号成立，所以 1644x x -=-8x =2m ≥答：为使接下来的4天中能够持续有效m 的最小值为222．已知函数的图象过点，函数，函数()()()ln R f x x c c =-∈(1)0，()(1)(1)h x f x f x =+--．1()421x x g x m m +=+-+(1)判断并证明函数的奇偶性；()h x (2)若存在两不相等的实数，使，且，求实数的取值范围．a b ，()()0h a h b +=()()0g a g b +≥m 【答案】(1)奇函数；证明见解析(2) 2512∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，【分析】（1）根据奇偶性的定义判断的奇偶性；()h x （2）根据条件知且，原问题等价于不等式在0a b +=()()1001a ∈-⋃，，()()0g x g x +-≥有解，令转化为在有解即可. ()()1001-⋃，，22x xt -=+221t m t ≥--522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，【详解】（1）函数的图象过点，，解得，函数()()()ln R f x x c c =-∈()10，()ln 10c ∴-=0c =∴的解析式为；， ()f x ()ln f x x =()()()ln 1ln 1h x x x ∴=+--，解得， 1010x x ->⎧∴⎨+>⎩11x -<<的定义域为，其定义域关于原点对称，()h x ∴()11-，又，，()()()ln 1ln 1h x x x -=--+()()0h x h x ∴-+=故为定义域内的奇函数.()h x （2）函数都是上的增函数， ()()ln 1ln 1y x y x =+=--，()11-，是定义域内的增函数，()h x ∴，且为定义在的奇函数，()()()0h a h b a b +=≠ ()h x ()11-，且， 0a b ∴+=()()1001a ∈-⋃，，原问题等价于不等式在有解， ∴()()0g x g x +-≥()()1001-⋃，，， ()()()044222220x x x x g x g x m m --+-≥⇔++++⋅-≥令，，则， 22x x t -=+()()1001x ∈- ，，2442x x t -=++令，可知，则， 2x k =()11122k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，，1t k k =+构造函数，， ()1F k k k =+()11122k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，设，则 211k k >>()()()122121212112111k k F k F k k k k k k k k k ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭由得，所以，所以在为增函数， 211k k >>121k k >()()210F k F k ->()F k [1)+∞，同理可证在为减函数.()F k (0,1)由，可得，所以， ()()1512222F F F ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()522F k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以在上有解， 2220t mt m +-≥522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当时，，因此在有解． 522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()10t ->221t m t ≥--522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，取，则，从而． 1s t =-312s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2121t s t s=++-因此在上有解．函数在上单调递增， 122s m s ++≥-312s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12y x x =++312⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，所以，即. 1322522236s s ++<++=2526m >-2512m >-故实数的取值范围为． m 2512∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：对的处理方法是，从而将用表44x x -+()244222x x x x --+=+-44x x -+22x x -+示，换元后将问题转化为二次函数处理.。
重庆市四川外国语大学附属外国语学校(重庆外国语学校)2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
重庆市四川外国语大学附属外国语学校（重庆外国语学校）2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．若2πcos 24sin 22αα⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．2-B ．12-C ．2D ．122．已知,a b r r 是夹角为120︒的两个单位向量，若向量a b λ+r r 在向量a r 上的投影向量为2a r，则λ=（ ）A ．2-B ．2C ．D 3．已知(),0,παβ∈，()5sin 6αβ-=，tan 1tan 4αβ=-，则αβ+=（ ） A ．5π6B ．πC ．7π6D ．11π64．已知非零向量,a b r r 满足：向量a b -r r 与向量b r 垂直，且向量4a b -r r 与向量a r 垂直，则a r 与br 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π65．设向量a r 与b r 的夹角为θ，定义sin cos a b a b θθ⊕=+r r r r .已知向量a r为单位向量，b =r 1a b -=r r ，则a b ⊕=r r（ ）A B C D ．6．如图，这是一半径为4.8m 的水轮示意图，水轮圆心O 距离水面2.4m ，已知水轮每60s 逆时针转动一圈，若当水轮上点P 从水中浮出时（图中点0P ）开始计时，则（ ）A ．点P 距离水面的高度()m h 与()s t 之间的函数关系式为 4.8sin 306h t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．点P 第一次到达最高点需要10sC ．在水轮转动的一圈内，有10s 的时间，点P 距离水面的高度不低于4.8mD ．当水轮转动50s 时，点P 在水面下方，距离水面2.4m7．在锐角ABC V 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．108．正方形ABCD 的边长为6点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE EA =，2=CF FB .如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=u u u r u u u r成立，那么λ的取值范围为（ ）A ．13,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,3-C ．()3,12D ．1,34⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多选题9．下列说法不正确的是（ ）A ．若0,0,//a b a b ≠≠r r r r r r ，则a r 与b r的方向相同或者相反B ．若a r ，b r 为非零向量，且a b a b=r r r r ，则a r 与b r 共线 C ．若//a b r r ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=r rD ．若21,e e u r u u r是两个单位向量，且121e e =-u r u u r ，则12e e +=u r u u r 10．如图，顺次连接正五边形ABCDE 的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是（ ）A ．0AG DE +=u u u r u u u r rB ．AF AJ DH DI ⋅=⋅u u u r u u u r u u u u r u u u rC ．3AJ AE AG =+u u u r u u u r u u u rD ．AH AF AJ =+u u u r u u u r u u u r11．（多选题）设函数()2π3πcos (0)52f x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 的图象与直线1y =-在[]0,2π上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（ ）A ．ω的取值范围是1939,2020⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()f x 在[]0,2π上有且仅有2个零点C ．若()f x 的图象向右平移π12个单位长度后关于y 轴对称，则65ω= D ．若将()f x 图象上各点的横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，则()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题12．如图，动点P 、Q 从点0(4)A ，出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转6π弧度，则P 、Q 第一次相遇时Q 点走过的弧长为.13．设向量a r 、b r 满足||1a =r ，||2b =r ，且a r 、b r 的夹角为60︒，若向量72a tb +r r 与向量+r r ta b的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是.14．已知向量,a b r r 满足||2,b a =r r与b r 的夹角为60︒，则当实数λ变化时，||b a λ-r r 的最小值为．四、解答题 15．计算求值：(1)已知α、β均为锐角，1sin 7α=，()cos αβ+=sin β的值 (2)2cos10100--o o16．已知a r ，b r 的夹角为60︒，且||1a =r ，||2b =r ，设3m a b =-rr r ，2n ta b =+r r r .(1)若m n ⊥r r，求实数t 的取值；(2)2t =时，求m r与n r 的夹角；(3)是否存在实数t ，使得//m n r r，若存在，求出实数t .17．已知m >0，n >0，如图，在ABC V 中，点M ，N 满足AM mAB =u u u u r u u u r ，AN nAC =u u u r u u u r，D 是线段BC 上一点，13BD BC =u u u r u u u r，点E 为AD 的中点，且M ，N ，E 三点共线．(1)若点O 满足2AO OB OC =+u u u r u u u r u u u r，证明：//OE BC ．(2)求2m n +的最小值．18．设函数()()2sin 22cos 16f x x x x π⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭R(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若不等式2()2cos 22206f x a x a π⎛⎫++--< ⎪⎝⎭对任意,126x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时恒成立，求实数a 应满足的条件；(3)将函数()f x 的图象向右平移12π个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1m，得到函数()g x 的图象，若存在非零常数λ，对任意x R ∈，有()()g x g x λλ+=成立．求实数m 的取值范围19．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，12,e e u r u u r分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量．若向量12OP xe ye =+u r u u u r u u r ，则把有序数对(,)x y 叫做OP u u u r在斜坐标系Oxy 中的坐标．(1)若(1,2),(2,),//a b a b λ==r r r r，求λ．(2)若60,(1,2),(1,1)a b θ==︒=-r r ，求a v 在b v上的投影向量斜坐标．(3)若(1,1)a =r ，(3,1)b =r ，(2,1),||c c =-≤r r 2cos ,a b r r 的最小值．。
重庆市育才中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(解析版)
重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量()()()1,0,1,,2,1a b k c ==-=，若()2a b c+ ∥，则k =（）A.1B.1- C.14-D.14【答案】C 【解析】【分析】求出2a b + 的坐标，根据()2a b c + ∥，列出方程，计算可得.【详解】因为()()1,0,1,a b k ==-，所以()()()1,021,12,2a k k b =+-=-+，因为()2//a b c +，()2,1c = ，所以()11220k -⨯-⨯=，解得14k =-故选：C.2.已知α是第二象限角，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】已知α是第二象限角，求2α和2α终边所在位置，判断tan 2α和sin 2α的符号，确定点tan,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所在象限.【详解】α是第二象限角，则()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，()ππππZ 422k k k α+<<+∈，2α的终边在一三象限，tan 02α>，()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，2α的终边在三四象限和y 轴非负半轴，sin 20α<，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D3.如图，60C 是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()0180θθ<≤满足：233153cos cos cos cos 02222αβθγθδθθ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，式中,,,αβγδ分别为杂化轨道中,,,s p d f 轨道所占的百分数.60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,d f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的,s p 轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个60C 中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（）A.2520,57-B.2520,57C.2512,57-D.2512,57【答案】C 【解析】【分析】设60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，列方程即可求解,x y ，再根据所给公式求出cos θ.【详解】设一个60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以56603x y+=，又因为32x y +=，解得12,20x y ==，所以共有12个正五边形；又因为1 2.28,,03.28 3.28αβγδ====，所以1 2.28cos 03.28 3.28θ+=，解得25cos 57θ=-，故选：C.4.已知175sin cos ,π,π134ααα⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（）A.213 B.213-C.713D.713-【答案】C 【解析】【分析】根据5π,π4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos αα＞，运用同角关系计算.【详解】()2222222171717sin cos ,sin ,sin cos 2sin cos 131313αααααααα+=-∴+=++=，21202sin cos 13αα=，()222224949sin cos 2sin cos ,sin cos 1313αααααα+-=-=，5π7π,,sin cos ,sin cos 0,sin cos 413ααααααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭＞＞；故选：C.5.已知非零向量,a b满足()()()()7,2211a b a b a b a b -⊥-+⊥- ，则sin ,a b =（）A.35B.45C.513D.1213【答案】A 【解析】【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.【详解】()()7a b a b -⊥- ，则()()227870a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=，①()()2211a b a b +⊥- ，则有()()22221127220a b a b aa b b +⋅-=-⋅-=，②78⨯⨯①-②，得2292250a b -= ，则有5a b = ，代入①式，2222540cos ,70b b a b b -+=，解得4cos ,5a b = ，由[],0,π∈ a b ，得3sin ,5a b =.故选：A6.已知 1.5241,log 3,sin 12a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】通过和中间数13,24比大小即可.【详解】 1.51212a ⎛⎫⎪⎝<=⎭；443log 3log 4b =>=；2221ππ3=sin sin 1sin 2434c <=<=；所以a c b <<故选：D7.如图，在梯形ABCD 中，112AD DC AB ===且,AB AD P ⊥为以A 为圆心AD 为半径的14圆弧上的一动点，则()PD PB PC ⋅+ 的最小值为（）A.3-B.3-C.3-D.3-【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有()0,0A ，()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，设()πcos ,sin 02P ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭ααα，得()cos ,1sin PD =-- αα，()2cos ,sin PB =-- αα，()1cos ,1sin PC =--αα，则()()()cos ,1sin 32cos ,12sin PD PB PC ⋅+=--⋅--αααα222cos 3cos 2sin 3sin 1=-+-+ααααπ34⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭α由π02α≤≤，当π4α=时，()PD PB PC ⋅+ 有最小值3-.故选：B8.设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对任意实数(),f x ϕ在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（）A.810,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1416,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】由题可转化为研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π的区间上的零点问题，求出函数2sin 1y x ω=-在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,π上的零点问题，即研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π0π-=的区间上的零点问题，令2sin 1y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3ω，相邻五个零点之间的距离为4πω，所以要使函数()f x 在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于π，相邻五个零点之间的距离大于π，即10ππ34ππωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1043ω≤<.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在同一平面内的向量,,a b均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若,a b b c∥∥，则a c∥B.若a c a b ⋅=⋅ ，则b c= C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D .若a b 且a c ⊥，则()c a b ⋅+= 【答案】AD 【解析】【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量,,a b c 均为非零向量，若//a b 且//b c ，则//a c ，即A 正确；对B ，若a c a b ⋅=⋅ ，则cos ,cos ,a c a c a b a b ⋅=⋅ ，又0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c c =，因为,b c 与a 的夹角不一定相等，所以b c =不一定成立，即B 错误；对C ，因为()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，即C 错误；对D ，若//a b 且a c ⊥ ，则c b ⊥ ，()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= ，即D 正确.故选：AD ．10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A.2ω=B.7π,012⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心点C.117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的一个递增区间D.可将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()f x 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.【详解】由题可得得，1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则2π2πω==，故A 正确；又π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π(Z)62k k ϕ⨯+=+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当7π12=-x 时，7π7ππsin 2012126f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，可得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，令2k =，可得5π13π36x ≤≤，所以117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数()f x 一个递增区间，故C 错误；对于D ，将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()πππππcos2cos 2sin 2sin 263326y x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x f x g x +=，则下列说法中正确的有（）A.()01g = B.22()()1f xg x -=C.()()()22f x f x g x =⋅ D.若()()20f m f m ++>，则1m >-【答案】ACD 【解析】【分析】()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，由()()e x f x g x +=可得()()e xf xg x --+=，可解出e e ()2x x g x -+=，e e ()2x xf x --=，再逐个验证选项即可.【详解】函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --+=，与()()e x f x g x +=联立，可得e e ()2x xg x -+=，e e ()2x x f x --=，()00e e 20122g +===，A 选项正确；2222e e e e 22()()1224x x x xf xg x --⎛⎫⎛⎫-+---=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；()22e e 22x xf x --=，()()22e e e e e e 22222x x x x x xf xg x ----+-⋅=⨯⋅=，()()()22f x f x g x =⋅，C 选项正确；函数e e ()2x xf x --=是定义在R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()20f m f m ++>，则()()()2f m f m f m +>-=-，有2m m +>-，所以1m >-，D 选项正确.故选∶ACD ．12.已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a和2个b 排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A.S 有3个不同的值B.22min 22S a a b b=+⋅+ C.若//a b ，则min S 与b 无关D.若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥ 【答案】AD 【解析】【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】2(,134.5i i x y i =，，，）均由3个a和2个b排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+ ；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+ ，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【答案】P （3,4）【解析】【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB= 得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴考点：向量的坐标运算14.已知()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=__________.【答案】35-##-0.6【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan 2α=，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.【详解】由()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=-，则cos 0α≠，所以tan 2α=-，所以22222cos 2sin cos 12tan 143sin2cos sin cos tan 1415ααααααααα++-+====-+++.故答案为：35-.15.写出一个同时满足下列三个条件的函数()f x =__________.①()f x 不是常数函数②()1f x +为奇函数③()()22f x f x +=-【答案】cos 2x π（答案不唯一）．【解析】【分析】写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函数的性质，可考虑三角函数，函数的对称轴为2x =，对称中心()1,0，周期可以为4，()10f =，函数解析式可以为()πcos2f x x =（答案不唯一）．故答案为：πcos2x （答案不唯一）．16.已知函数()11ππcos2cos ,,2222f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦（1）()f x 的值域为__________.（2）设()()3sin 4cos g x a x x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②.15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，()g x 的值域包含()f x 的值域，分类讨论解不等式即可.【详解】()221115cos2cos cos cos 1cos 2224f x x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有[]cos 0,1x ∈，则当1cos 2x =时，()f x 有最小值54-，当cos 0x =或cos 1x =时，()f x 有最大值1-，所以()f x 的值域为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.()15,14f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()()()3sin 4cos 5sin g x a x x a x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，[]20,πx ∈，[]2,π+x ϕϕϕ+∈，因为对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，所以()1f x 的值域是()2g x 的值域的子集，0a =时()0g x =不合题意，0a >时，当π+x ϕϕ+=，()g x 有最小值，则有()455sin 545+4πa a a ϕ⎛⎫=⨯-=-≤- ⎪⎝⎭，解得516a ≥，此时π2x ϕ+=时，()g x 有最大值50a >，0a <时，当π2x ϕ+=，()g x 有最小值，则有π55sin 524a a =≤-，解得14a -≤，此时π+x ϕϕ+=时，()g x 有最大值40a ->，则实数a 的取值范围为15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.17.已知平面向量,,a b c满足()()π2,0,1,,R ,,3a b c a tb t a b ===-∈= .（1）求b 在a上的投影向量的坐标；（2）当c最小时，求b 与c 的夹角.【答案】（1）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（2）π2【解析】【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；（2）c a tb =- ，两边同时平方，c 最小时，求得1t =，b与c的夹角即b 与a b -的夹角，利用向量数量积计算即可.【小问1详解】由题意，||2,||1a b == ，设a e a =，b 在a 上的投影向量为11cos ,122b e a b e e ⋅⋅=⨯= ，所以b 在a 上的投影向量的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】c ====≥（1t =时等号成立），则c 最小时，c a b =- ，所以()22cos ,cos ,0b a b b a b b a a b b b c b a b b a b b a b⋅-⋅-⋅-====⋅-⋅-⋅-，因为0,π,b c ≤≤ 所以当c 最小时，b 与c 的夹角的大小为π2.法二：()ππ13332,0,cos ,sin ,,,332222a b c a b ⎛⎫⎛⎛⎫==±=±=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13332222cos ,0b c b c b c⎛⎛⨯+±⨯ ⋅==⋅ ，得所求夹角为π2.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点为()11,A x y ，角π6α+终边与单位圆的交点为()22,B x y .（1）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求12x y +的取值范围；（2）若点B 的坐标为1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求点A 的坐标.【答案】（1）32⎛⎝（2）1,66A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,A B 的坐标，根据三角恒等变换用α表示12x y +，结合正弦函数性质求其取值范围；（2）由三角函数定义可得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两角差正弦和余弦公式求cos ,sin αα可得点A 的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos ,sin ,cos ,sin 66A B αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12π1cos sin cos 622x y ααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1213πsin cos 223x y ααα⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ5336π,α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,132α⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以12x y +的取值范围是2⎛ ⎝.【小问2详解】由1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11cos 32α⎛⎫=-=⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin 332α⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭所以点A 的坐标为1,66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.已知平面向量,OM ON 不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量OP，都存在唯一的有序实数对(),x y ，使得OP xOM yON =+.（1）证明：,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；（2）如图，ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，证明：重心为中线的三等分点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；（2）根据向量共线定理及推论可得()1AG y AB y AE =-+ ，AG AD λ=，进而23AG AD =，即证；或利用平面几何知识即得.【小问1详解】证明：必要性，,,P M N 三点共线，不妨设MP yMN =，可得()OP OM y ON OM -=- ，()1OP y OM yON =-+，又OP xOM yON =+ ，所以1x y =-，得1x y +=，得证；充分性：,1OP xOM yON x y =++=，()1OP y OM yON ∴=-+，即()OP OM y ON OM -=- ，MP yMN ∴= ，又MP 与MN有公共点M ，所以,,P M N 三点共线；所以,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；【小问2详解】法一（向量法）ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，可设()1AG y AB y AE =-+ ，111222AD AB AC AB AE =+=+，因为,,A G D 三点共线，可设AG AD λ=，则()1y AB y AE -+ 2AB AE λλ=+，所以12y y λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得23y λ==，所以23AG AD =，G ∴为AD 的三等分点，同理可证G 为,BE CF 的三等分点，∴重心为中线的三等分点.法二（几何法）：连接EF ，,E F 为,AC AB的中点，1//,2EF BC EF BC ∴=，12EF FG EG BC GC GB ∴===，所以13FG EG FC EB ==，同理可得13EG DG EB DA ==，所以重心为中线的三等分点.20.已知向量cos ,sin ,cos ,sin 22222x x x x x a b ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，函数()f x a b =⋅ .（1）求函数()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，记为,αβ.①求实数m 的取值范围；②证明：()2cos 12m αβ-=-.【答案】（1）ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为3ππ，Zx k k =+∈（2）①)2；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简()f x ，利用整体代入法计算出单调增区间和对称轴；（2）根据()f x 范围求实数m 的取值范围；根据,αβ是()0f x m -=两个不同解可知()()f f αβ=，根据图象可得2π23αβα-=-，利用倍角公式计算即可.【小问1详解】()πcos cos sin sin cos 2sin222226x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令πππ2ππ2π2π,,2π2π,Z 26233k x k k Z k x k k -≤+≤+∈-≤≤+∈此时函数()f x 单调递增，∴函数()f x 单调递增区间为ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.令πππ62x k +=+得()ππ,Z 3x k k =+∈，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 3x k k =+∈；【小问2详解】①π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ2π,663x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，由图象分析得()f x m =，有两个不同的解，则3ππsin 1,2sin 2266x x ⎛⎫⎛⎫≤+<≤+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2m ∴∈.②因为,αβ是方程π2sin 6x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根，所以ππ2sin ,2sin 66m m αβ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象分析得，2π2π2π,,2333αββααβα+==--=-，()2222πππcos cos 2cos 22sin 121133622m m αβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知R a ∈，函数()()22log 3f x x x a =-+.（1）若函数()f x 的图象经过点()3,1，求不等式()1f x <的解集；（2）设2a >，若对任意[]3,4t ∈，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）{01xx <<∣或23}x <<；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）将点()3,1代入()()22log 3f x x x a =-+可求出a ，然后根据函数的单调性即得；（2）由复合函数的单调性知()()22log 3f x x x a =-+在区间[],1t t +上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得252a t t ≥-+-对任意[]3,4t ∈恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【小问1详解】由题可得()()223log 3331f a =-⨯+=，解得2a =，即()()22log 32f x x x =-+由()()222log 321log 2f x x x =-+<=，可得22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得01x <<或23x <<，所以不等式()1f x <的解集为{01x x <<∣或23}x <<；【小问2详解】因为()()22log 3f x x x a =-+是复合函数，设()23p x x x a =-+，()2log ()f x p x =，因为[]3,4t ∈，()23p x x x a =-+在区间[],1t t +单调递增，()2log ()f x p x =单调递增，故函数()f x 在区间[],1t t +上单调递增，又2a >，所以()223390p x x x a a a =-+>-+=>，所以()()max min ()1,()f x f t f x f t =+=，由题意，()()11f t f t +-≤，即()()2222log (1)31log 23t t a t t a ⎡⎤+-++≤-+⎣⎦，对任意[]3,4t ∈恒成立，故()()22(1)3123t t a t t a +-++≤-+，对任意[]3,4t ∈恒成立，整理得：252a t t ≥-+-，令()252g t t t =-+-，[]3,4t ∈，只需max ()g t a ≤即可，因为()252g t t t =-+-的对称轴为52t =，图象是开口向下的抛物线，故()252g t t t =-+-在[]3,4t ∈上单调递减，故()max ()34g t g ==，所以4a ≥，即a 的取值范围是[)4,+∞.22.设n 次多项式()()1211210,0nn n n n n T x a x a xa x a x a a --=+++++≠ ，若其满足()cos cos n T n θθ=，则称这些多项式()n T x 为切比雪夫多项式.例如：由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221T x x =-.（1）求切比雪夫多项式()3T x ；（2）求sin18 的值；（3）已知方程38610x x --=在()1,1-上有三个不同的根，记为123,,x x x ，求证：1230x x x ++=.【答案】（1）()3343T x x x=-（2）51sin184-=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用cos θ表示cos3θ，由此可得()3T x ；（2）由诱导公式可得cos54sin36= ，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求sin18 ；（3）方法一：由已知314302x x --=，设cos x θ=，由（1）可求θ，再根据两角和差余弦公式证明1230x x x ++=；方法二：由已知()()()3123143402x x x x x x x x --=---=，根据整式性质可得1230x x x ++=.【小问1详解】因为()cos3cos 2cos2cos sin2sin θθθθθθθ=+=-所以()()2232cos32cos 1cos 2sin cos 2cos cos 21cos cos θθθθθθθθθ=--=---所以3cos34cos 3cos θθθ=-，所以()3343T x x x =-；【小问2详解】因为cos54sin36= ，所以34cos 183cos182sin18cos18-= ，又cos180> ，所以24cos 1832sin18-= ，所以()241sin 1832sin18--=即24sin 182sin1810+-= ，因为sin180> ，解得1sin18,4-=（14-舍去）；【小问3详解】由题意，314302x x --=，法一：设cos x θ=，代入方程得到3114cos 3cos 0cos322θθθ--=⇒=，解三角方程得ππ32π,32π,Z 33k k k θθ=+=-+∈，不妨取123π5π7π,,999θθθ===，123π5π7ππ4π2πcoscos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππcoscos cos cos cos 9999999⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上1230x x x ++=.法二：令()()()3123143402x x x x x x x x --=---=即()()323123122313123144302x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+++++-=--=⎣⎦依据多项式系数对应相等得到1230x x x ++=.综上1230x x x ++=.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.第21页/共21页。
2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题一、单选题1．sin 74sin 46sin16sin 44-= （）A ．12B ．12-C ．2D ．【正确答案】A【分析】转化sin 74cos16,sin 46cos 44== ，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos602-=-==故选：A本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题2．函数()24sin 1f xx x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.【详解】函数()24sin 1f xx x =+的定义域为R ， ()()()()224sin 4sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+，∴函数()f x 是奇函数，排除AC ；当π2x =时，2π4102π12f ⨯⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时图像在x 轴的上方，排除B.故选：D 3．已知4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值是（）A ．34-B ．43-C ．34D ．43【正确答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解【详解】由题意，4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos 5α∴=-sin 4tan cos 3∴==-ααα故选：B4．已知函数()()cos 2f x x ϕ=+，则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ的取值集合，再根据逻辑条件判断即可.【详解】()f x 是奇函数等价于cos(2)cos(2)x x ϕϕ-+=-+，即cos(2)cos(π2)x x ϕϕ-+=--，故2π22π,Z x x k k ϕϕ-+=--+∈，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.5．已知角α满足π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（）A ．79-B ．79C．9-D．9【正确答案】A【分析】利用凑角方法，并利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化计算.【详解】∵π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴πππsin 2sin2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππ27cos 22cos 113399αα⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.6．若1sin cos 2αα+=，则44sin cos αα+=（）A ．52B ．18C ．716D ．2332【正确答案】D【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出sin 2α的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．【详解】1sin cos 2αα+=，两边平方得11sin 24α+=，即3sin 24α=-则()24422222123sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2232ααααααα+=+-=-=故选:D7．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（）A ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得ω的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定ω的范围，得到答案.【详解】由题意有2ππT ω=≥，可得02ω<≤，又由πππ5π3436ω<+≤，必有3πππ43ω+≤，可得809ω<≤.故选：A8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x +=--，若(1)1f >，(2023)2sin f t =，则实数t 的取值范围是（）A ．π2π2π,2π,33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z C ．π5π2π,2π,66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZD ．5π2π,2π,66k k k π⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z 【正确答案】D【分析】根据()f x 为奇函数，(2)(2)f x f x -=--推出()f x 是周期函数，周期为4，利用周期得(2023)(1)(1)2sin f f f t =-=-=，根据(1)1f >推出1sin 2t <-，再利用单位圆可求出结果.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)(2)f x f x -=--，又因为(2)(2)f x f x +=--，所以(2)(2)f x f x +=-，(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，周期为4，所以(2023)(45061)(1)f f f =⨯-=-=(1)f =-，因为(1)1f >，所以(2023)1f <-，即2sin 1t <-，1sin 2t <-，根据单位圆中的三角函数线可得：5ππ2π2π66k t k -+<<-+，Z k ∈，故选：D二、多选题9．下列各式中，值为12的是（）A ．2sin15cos15B ．2π2cos112-C D ．2tan22.51tan 22.5-【正确答案】AD【分析】利用二倍角公式，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A ，12sin15cos15sin302==，A 正确；对于B ，2ππ12cos 1cos 1262-=>，B 错误；对于C 1cos152=> ，C 错误；对于D ，22tan22.512tan22.511tan451tan 22.521tan 22.522=⨯=⨯=--，D 正确．故选：AD10．下列不等式中成立的是（）A ．πsin1sin 3<B ．15π4πsinsin 75>C ．2πcoscos 23>D ．()cos 70sin18->︒︒【正确答案】AD【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.【详解】对A ，因为ππ0132<<<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以πsin1sin 3<，故A 正确；对于B ，15ππsinsin 77=，4πππsin sin sin 557=>，故B 错误；对C ，因为π2π2π23<<<，cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以2πcos cos 23<，故C 错误；对于D ，()cos 70cos 70sin 20sin18-︒=︒=︒>︒，故D 正确.故选：AD.11．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．直线4π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 在区间π7π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则10a <-.【正确答案】AC【分析】利用三角函数对称轴的性质即可验证选项A ，利用函数的单调性即可验证选项B ，利用图像平移的特性验证选项C ，将问题转化为求最值即可得D 选项.【详解】函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：4π8ππsin 1336f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ：由于π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ2,π63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上有增有减，故B 错误；对于C ：将函数π()sin(2)6f x x =-的图像上的所有点向左平移π6个单位，得到函数sin 2sin(2)666y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，故C 正确；对于D ：函数()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得π1sin(262a x <--，即求出函数()π1sin(2)62g x x =--的最小值即可，由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当0x =时取得最小值1-，故1a <-，故D 不正确．故选：AC ．12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值4D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =【正确答案】BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭上有最大值2，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.三、填空题13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a -=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】15-##0.2-【分析】函数过定点()3,2P 得到2tan 3θ=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】函数31x y a -=+的图象经过定点()3,2P ，点P 在角θ的终边上，故2tan 3θ=，21πtan 113tan 241tan 513θθθ--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+.故15-14．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线π6x =对称，则π()4f =__________.【分析】根据函数的最小正周期得到=2ω，利用对称轴得到ϕ，然后代入计算即可求解.【详解】因为函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2π=2T ω=，又因为直线π6x =是函数的一条对称轴，所以ππ2+=π,Z 62k k ϕ⨯+∈，解得：ππ,Z 6k k ϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，则函数π()2sin(2)6f x x =+，所以ππππ()2sin(22cos 4466f =⨯+==故答案为15．设()cos 24cos f x x x =+，若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】(],3-∞-【分析】将问题转化为min ()a f x ≤，然后利用换元法将()f x 转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可.【详解】若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则min ()a f x ≤，又2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x =+=+-，令[]cos ,1,1x t t =∈-，()2()241g t f x t t ∴==+-，[]1,1t ∈-，其对称轴为1t =-，故函数()g t 在[]1,1-上单调递增，()min ()12413f x g =-=--=-，3a ∴≤-.故答案为.(],3-∞-16．已知函数1,0sgn()0,01,0x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，关于函数()sgn(π)sin f x x x =-有如下四个命题：①()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减；②()1lg2lg 2f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()f x 的值域为[]11-，；④()f x 的图象关于直线πx =对称.其中所有真命题的序号是__________.【正确答案】②③④【分析】根据函数的概念求出sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，画出函数的图象，结合图象逐项进行判断即可.【详解】依题意可得sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，作出()f x 的部分图象，如图所示，由图可知，()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，1(lg 2)(lg )2f f =-，()f x 的值域为[1,1]-，()f x 的图象关于直线πx =对称，故所有真命题的序号是②③④.故②③④.四、解答题17．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=.(1)求sin 2α的值;(2)求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)2425【分析】（1）由40,,cos 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，算得sin α，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入sin ,cos αα的值，即可得到本题答案.【详解】(1)因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=,所以3sin 5α==.所以24sin 22sin cos 25ααα==；(2)sin cos 42210πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.18．已知()()()πsin 2πcos 2πcos tan π2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)求4π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)已知()ππ4,225f αα-<<=，求tan α．【正确答案】(1)4π1()32f =-；(2)3tan 4α=±【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简，再代入求值；（2）由()45f α=得到4cos 5α=，再根据角的范围分情况求得结果.【详解】（1）解：()()()sin sin sin tan f ααααα-⋅-=⋅＝cos α∴4π1()32f =-（2）因为()45f α=，所以4cos 5α=当π02α≤<时，3sin 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==，当π02α-<<时，3sin 5α==-，所以sin 3tan cos 4ααα==-，所以3tan 4α=±．19．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=.(1)求sin()αβ+的值；(2)求tan β的值.【正确答案】(1)5(2)2【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行计算求解.（2）利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式进行求值.【详解】（1）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈，又因为cos()5αβ+=-，所以sin 5)(αβ+==.（2）由（1）有：sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+，又4tan 3α=，所以42tan()tan 3tan tan[()]241tan()tan 1(2)3αβαβαβααβα--+-=+-===+++-⨯.20．已知函数()π2sin23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)若123f β⎛⎫= ⎪⎝⎭，求πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)79-【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦可求得π23x +的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）由已知可得出π1sin 33β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】（1）解：由题意得()31πcos2sin2sin2cos2sin2sin 222223f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以[]20,2πx π3+∈，令ππ0232x ≤+≤，解得ππ612x -≤≤，令3ππ22π23x ≤+≤，解得7π5π126x ≤≤，所以函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）知π1sin 233f ββ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22ππππcos 22cos 12cos 13632βββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11399β⎛⎫=+-==- ⎪⎝⎭.21．已知函数21()cos cos 2f x x x x =+-．(1)解不等式1()2f x ≥，其中ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(2)在锐角ABC 中，π3A =，求()()f B f C +的取值范围．【正确答案】(1),63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，然后解不等式sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，可得ππ5π2266x <+≤求解即可；（2）利用已知条件求出角B 的取值范围，利用三角恒等变换化简得出()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可求得()()f B f C +的取值范围.【详解】（1）()1cos 211π2sin 2cos 2sin 2222226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭1()2f x ≥ ，即sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，ππ5π2266x ∴<+≤，解得ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式1()2f x ≥的解集为ππ,63⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）由题意可得π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩且π3A =，可得ππ62B <<，∵π,π3A A B C =++=，∴2π3C B =-，πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ62B <<，则ππ5π2666B <-<，∴1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．故()()f B f C +的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．设a ∈R ，函数()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证.123π2x x +<【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x +<.【详解】（1）()2cos cos 1f x x x a =--++，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭即21t t a +=+，10a +≥或114a +<-即[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，21t t a +=+无解；114a +=-即54a =-时，21t t a +=+仅有一解12t =-，此时x 仅有一解2π3；1104a -<+<即514a -<<-时，21t t a +=+有两解12t =-±1cos 2x =-()f x 有两个零点；综上，[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，()f x 无零点，54a =-时，()f x 有一个零点，5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 有两个零点；（2）()f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ==，则12,t t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得12cos 0,cos 0x x <<，则122cos cos 0x x >，则2212cos cos 1x x +<，则2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，则123π2x x +<.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。
山东省枣庄高一下学期3月月考数学试题(解析版)
高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．如图所示，是的边上的中点，记，，则向量D ABC ∆AB BC a =BA c = CD =A ．B ．12a c -- 12a c - C ．D ．12a c -+ 12a c + 【答案】C【详解】试题分析：由向量的减法几何意义得选项C ．1122CD BD BC BA BC a c =-=-=-+【解析】向量减法的几何意义． 2．计算（ ）1tan151tan15-︒=+︒A ．BC ．D【答案】D【分析】由两角差的正切公式，结合，即可求出答案. tan 451︒=【详解】. ()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15-︒︒-︒==︒-︒=+︒+︒︒故选：D3．已知是边长为2的等边三角形，则（ ）ABC CA AB ⋅=A ．B ．C ．D ．2--2【答案】A【分析】由向量数量积计算公式及图形可得答案.【详解】由图做，则夹角为，又由题可知，CD AB = ,CA AB 2π32CA AB == 则. 2π1cos 22232CA AB CA AB ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A4．已知，求与的夹角（ ）4,3,(23)(2)13a b a b a b ==-⋅+= a bθ=A ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】C【分析】由可得，后由向量夹角公式可得答案.(23)(2)13a b a b -⋅+=6a b ⋅= 【详解】，22(23)(2)134341364271346a b a b a b a b a b a b -⋅+=⇒--⋅=⇒--=⋅⇒⋅= 则，又，则. 61432cos a b θa b ⋅===⨯⋅[]0,πθ∈θπ3=故选：C5．已知，则（ ）π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭AB ．C ．D ．297929-【答案】C 【分析】令，则，，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；π6t x =-π6x t =+1sin 3t =【详解】令，则，，所以π6t x =-π6x t =+1sin 3t =πππsin 2=sin 2666x t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.2π27sin 2cos 212sin 1299t t t ⎛⎫=+==-=-= ⎪⎝⎭故选：C.6．若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） ,,a b c 2,2,3a b c === 2a b c ++=A ．B ．C ．5或2D ．10或4210【答案】D【分析】两两的夹角相等，可得夹角为或,再分两种情况讨论，结合数量积的运算律即,,a b c0︒120︒可得解.【详解】2a b c ==+=+因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，a b c即，，两两的夹角为或,a b c0︒120︒当夹角为时，， 0︒222610a b c ++=++= 当夹角为时，， 120︒4a b =++ 所以或. 210a b c ++=4故选：D ．7．已知的外接圆圆心为O ，且，则向量在向量上的投影向ABC 2,AO AB AC OA AB =+= CA BC 量为（ ）A ．B ．C ．D ．14BC34BC u uu r 14BC -34BC -【答案】D【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可ABO 【详解】2AO AB AC =+所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径， ABC O BC BC 如图：又，所以为等边三角形，||||AB AO =ABO，， 30ACB ∴∠=︒||||cos30|CA BC BC ∴=︒=向量在向量上的投影为：．CABC 3||cos30|||4CA BC BC -︒=-故投影向量为.34BC -故选：D ．8．如图，已知扇形的半径为，其圆心角为，四边形是该扇形的内接矩形，则该矩AOB 2π4PQRS 形面积的最大值为()AB ．1-2CD【答案】B【分析】设，根据几何图形的性质把矩形面积表示成关于的三角函数最值问题. POA α∠=α【详解】连接，设，则，由已知可得：三角形是PO POA α∠=2sin 2cos PS QR,OS αα===OQR 等腰直角三角形，即， 2sin QR OR α==所以，()2cos sin RS OS OR αα=-=-故矩形的面积为：QRSP ()()π4sin cos sin 2sin2cos22224PS RS αααααα⎛⎫⋅=⋅-=+-=+-⎪⎝⎭显然当时，取得最大值，π8=α2-故选:B二、多选题9．下列关于向量的命题正确的是（ ）A ．对任一非零向量，是一个单位向量 a ||a aB ．对任意向量，恒成立,a b||||||||a b a b -≤- C ．若且，则a b = c b =a c = D ．在中，C 为边AB 上一点，且，则 OAB :3:2AC CB =3255OC OA OB =+【分析】A 选项，计算的模可判断选项正误； ||a a B 选项，通过比较，大小可判断选项正误；2||a b - 2||||||a b - C 选项，由等式的传递性可判断选项正误； D 选项，结合图形及向量相减法则可判断选项正误.【详解】A，则是一个单位向量，故A 正确； 1||a a B 选项，，222222||||||||||||2||||222||||a b a b a b a b a b a b a b a b ---=+---+⋅=⋅-设向量夹角为，则，当且仅当反向时取等号，则,a b θ()22||||2||||cos 10a b a b a b ⋅-=-≤θ,a b ，故B 错误；22||||||||||||||||a b a b a b a b -≥-⇒-≥-C 选项，由等式性质可知C 正确；D 选项，如图，因，则 :3:2AC CB =()3322AC CB OC OA OB OC =⇒-=-，故D 错误.53322255OC OB OA OC OB OA ⇒=+⇒=+故选：AC10．已知，，点P 在直线AB 上，且，求点P 的坐标（ ）()2,3A ()4,3B -2AP PB =A ．B ．()6,9-10,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．()8,15-()5,6-【答案】AB【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.【详解】设，因为，，且点P 在直线AB 上，故由可得以下两(),P x y ()2,3A ()4,3B -2AP PB =种情况：，此时有，解得；2AP PB = ()()23243x ,y x,y --=---1013x ,y ==-或，此时有，解得；2AP PB =-()()23243x ,y x,y --=----6,9x y ==-11．已知函数，则（ ） 2()2sin 21f x x x =-++A ．在内有2个零点()f x [0,]πB ．在上单调递增()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ()f x 2sin 2y x =π6D ．在上的最大值为()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1【答案】ABD【分析】对于A ，把三角函数化简，求函数的零点进行验证；对于B ，求函数的单调递增()f x ()f x 区间进行验证；对于C ，通过图像平移公式进行验证；对于D ，由得出整体角的取值范π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦围，再得到的最大值.()f x【详解】.2π()2sin 21cos 222sin 26f x x x x x x ⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭对于A ，令，则.π2π,6x k k Z +=∈ππ122k x =-+当时，；当时，满足题意，故A 正确；1k =5π12x =2k =11π12x =对于B ，令，则 .πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ36k x k -+≤≤+当时，在上单调递增，所以在上单调递增正确，故B 正确；0k =()f x ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，由的图象向左平移个单位长度得到，故C 错2sin 2y x =π6ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭误；对于D ，若，则，，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦[]π2sin 2162,x ⎛⎫+∈ ⎪⎝-⎭所以在上的最大值为，故D 正确.()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1故选：ABD.12．已知函数为函数的一条对称轴，且若()2sin()(0,0||)π,22πf x x x ωϕωϕ=+><<=3()8πf =在上单调，则的取值可以是（ ） ()f x 3(,π)84π--ωA ．B ．C ．D ．4383163203【答案】AD【分析】由为对称轴，及求出的取值集合，再根据函数在区间上单调，求出π2x =3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ωω【详解】为对称轴，； π2x =πππ22k ωϕ⇒+=+Z k∈或，；3π3ππ2π883f m ωϕ⎛⎫=⇒+=+ ⎪⎝⎭2ππ32m +m Z ∈联立解之得:或，，；()4823k m ω=-+()4823k m ω=--Z k ∈m Z ∈又在上单调，3ππ,84⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以 π3πππ4880ωω⎧⎛⎫---=≤⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪>⎩08ω<≤或 43ω∴=203故选：AD.三、填空题13．若与共线，则_______ ()2,3a =()2,6b x =- x =【答案】2-【分析】由两个向量共线的坐标表示直接求得结果.【详解】已知与共线， ()2,3a =()2,6b x =- 则，解得. 2(6)320x ⨯--⨯=2x =-故答案为：.2-14．已知函数的部分图象如图所示，点，，π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><3(0,)2-π(,0)3在图象上，求_______ 7π(,0)3(π)f =【分析】根据图象可得函数周期，据此求出，再代入点可得，再代入点12ω=π(,0)3π6ϕ=-3(0,)2-求出，得到函数解析式进而求解即可. A 【详解】由函数图像可知.2A =设函数的最小正周期为，则， ()f x T 7ππ24π33T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭又因为，由，解得， 0ω>2π4πT ω==12ω=又由图可知函数经过点，则，()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭1πsin 023ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭所以，解得，1π2π,Z 23k k ϕ⨯+=∈π2π,Z 6k k ϕ=-∈又因为，所以当时，， π2ϕ<0k =π6ϕ=-所以，1()sin()26f x A x π=-又函数图象过点，所以，解得，3(0,)2-π3sin(62A -=-3A =所以，故，1()3sin(26f x x π=-1ππ(π)3sin π3sin 263f ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭15．求_______()sin160350=【分析】将切化弦，利用两角和差余弦公式可将原式分子化成一个三角函数，再利用二倍角公式及诱导公式化简求得结果.【详解】 ())sin50tan5020sin16035os500c ⎫=+⎭=⎪()202cos 503020cos50-=⋅====16．已知的外接圆圆心为O ， 为的重心且则ABC H ABC 4,6AB AC ==()B O HC A H ⋅+= _________ 【答案】 263-【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果.【详解】如图所示，取中点，过作，则是的中点.BC D O ,OE AB OF AC ⊥⊥E F 、AB AC 、∵为的重心，∴，H ABC ()212HB HC HD AD AB AC +===+,同理，21cos 2OA AB AB OA OAB AB ⋅=-⋅⋅∠=-212OA AC AC ⋅=- 故()()()221152263663O HB HC A O B AC AB A A C A ⋅+=⋅⋅+=-+=-=-故答案为： 263-【点睛】结论点睛：（1）三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点（靠中点近），即；()123AO AB AC OD =+=（2）三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即有：.222111222AO AB AB ,BO BC BC ,CO CA CA ⋅=⋅=⋅=四、解答题17．已知，且向量与不共线.||1,||1a b ==a b (1)若与的夹角为，求； a b120︒()()3a b a b -⋅+ (2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数k 的取值范围. a b 60︒-a kb 2ka b - 【答案】(1)1(2)(3.⋃+【分析】（1）由数量积定义可求得，展开代入即可求得结果；a b ⋅ (2)()a b a b -⋅+a b ⋅（2）由向量与的夹角的锐角，可得且不同向共线，展开解k 即可.ka b + ka b -()()0ka b ka b ⋅>+-r r r r 【详解】（1）与的夹角为，a b120︒，11cos1201122a b a b ⎛⎫∴⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪.()()22332132112a b a b a a b b ∴⎛⎫=+⨯⎭-⋅+=+⋅---= ⎪⎝ （2）与的夹角为，a b60︒，11cos601122a b a b ∴⋅=︒=⨯⨯=向量与的夹角为锐角，- a kb 2ka b - ，且不能同向共线，()()20a kb ka b ∴-⋅->，，()()()22222222302k a kb ka b ka k a b kb k +∴-⋅-=-+⋅+=-> ()2(0)a kb ka b λλ-≠-> 解得且33k<<k ≠即3k<<3k <<实数k 的取值范围是∴(3.⋃+18．已知函数的最小正周期为；()3π112πsin sin +226f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωω2π(1)求函数的解析式； ()f x (2)求函数的单调递增区间.()f x 【答案】(1)()5π412f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)π11πππ,,Z 248248k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式可将，后由周期计算公式可得()f x 15π212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ω解析式；（2）由（1）结合函数的单调增区间可得答案.sin y x =【详解】（1）π11ππ()sin +s 266in 22f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ωω1π1πsin cos 2266x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωω，因为最小正周期为，1ππ15π242126x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωωπ2所以.所以； 2ππ822=⇒=ωω()5π412f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）由，得，则单调递增区间π5ππ2π42π,Z 2122k x k k -+≤+≤+∈π11πππ,Z 248248k k x k -≤≤+∈()f x 为. π11πππ,,Z k k k ⎡⎤-+∈19．已知函数在区间上的最大值为5， ()2cos ,cos ,,2cos )a x x b x x == ()1f x a b m =+- π0,2⎡⎤⎢⎣⎦(1)求常数的值；m (2)当时，求使成立的x 的取值集合.x ∈R ()4f x ≥【答案】(1)3m =(2) π|ππ,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】（1）利用向量的数量积及三角恒等变换化简，再根据三角函数的图象与性质即可求()f x ；m （2）由（1）求得，根据三角函数的图象与性质即可解不等式.()f x 【详解】（1）()1f x a b m =+-2()cos 2cos 12cos 2f x x x x m x x m =++-=++， π2sin 26x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ππ7π2,666x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴函数的最大值为，，，()f x 2m +25m ∴+=3m =（2）由（1）得， π()2sin 236f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由得，∴ ()4f x ≥π1sin(262x +≥()ππ5π2π22πZ 666k x k k +≤+≤+∈解得：. πππ3k x k ≤≤+()k ∈Z 成立的x 的取值集合是． ()4f x ≥π|ππ,Z 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭20．如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间.(1)求d 与时间t （单位：s ）之间函数关系 ππsin()0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭(2)在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来()()sin f x A x ωϕ=-()f x π30的得到函数，画出在上的图象 14()g x ()g x []0,π【答案】(1)； ππ4sin(t )2156d =-+(2)图象见解析【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出的值，再利用特殊点求出，即可得函数的关系,,A K ωϕ式；（2）先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大致图象.【详解】（1）由题意， max min 42,242d d =+=-=-所以，， max min 6(2)422d d A ---===max min 62222d d K +-===因为逆时针方向每分转2圈，所以, 22ππ6015ω⨯==因为时，，所以，即， 0=t 0d =04sin 2ϕ=+1sin 2ϕ=-又，所以 ππ22ϕ-<<，所以； π=6ϕ-ππ4sin(t )2156d =-+（2）由（1）知，所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来ππ()4sin 156f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π30的得到函数， 14π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭列表如下 π26x +π6 π2 π 3π2 2π 13π6x 0 π6 5π122π3 11π12 π ()f x 12 1 0 1-012描点连线，图象如图.21．在中，，，QA 与PB 相交于点C ，设， OPQ △12OA OP = 14OB OQ = OP a = .OQ b =(1)用，表示；a b OC (2)过C 点作直线分别与线段OQ ，OP 交于点M ，N ，设，，求的最l OM OQ λ= ON OP μ= 3μλ+小值.【答案】(1) .371=+7OC a b →→ (2). 127【分析】（1）由三点共线可得，存在使，则；同理由P ，C ，B ,,A C Q k AC k AQ = (1)+2k OC kb a -= 三点共线，存在使，根据平面向量基本定理即可求出，，得出结果； t 1+4()t OC ta b -= k t （2）由三点共线可得，存在使，又由（1）知，根据平,,N C M x (1)OC xOM x ON =+- 771=+3OC a b →→面向量基本定理即可求出，再求得结果． 1+=7317μλ【详解】（1），C ，Q 三点共线，设， A =AC k AQ 即，， ()OC OA k OQ OA -=- 11=22OA OP a = .OQ b = (1)=+(1)=+.2k OC k OQ k OA kb a ∴⋅⋅-- 同理由P ，C ，B 三点共线可得： ，其中， (1)=+(1)=+4t OC t OP t OB ta b ⋅⋅-- ,k t R ∈根据平面向量基本定理知：，解得，. 1214k t t k -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩71=k 7=3t .371=+7OC a b →→∴ （2）由三点共线，,,N C M(1)OC xOM x ON =+-(1).x b x a λμ=+- 又由知， (1)771=+3OC a b →→ 所以 ()17317x x λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩故1+=1.773μλ，当且仅当 ()166123+=+777777379μλλμμλλμ⎛⎫++≥+=⎪⎝⎭26,77λμ==故的最小值为. 3μλ+12722．已知函数； π()sin 2sin 24f x x x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(1)当时，求函数的值域；1m =()f x(2)当时恒成立，求的取值范围； ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0f x ≥m 【答案】(1) 1314⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(2)4m ≤【分析】（1）把三角函数化简，设，表示，利用二次函数求值域； ()f x sin cos t x x =+sin cos x x （2）由恒成立进行参变分离，通过求函数的最值得出结果.()0f x ≥【详解】（1）当时，， 1m =π()sin 222sin cos sin cos 24f x x x x x x x ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭设， πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭则， 21sin cos 2t x x -=，22123y t t t t ∴=-+-=+-当时，，时，. 12t =-min 134y =-t =max 1y =的值域为. ∴()f x 1314⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2），()π()sin 2sin 22sin cos sin cos 204f x x x m x x m x x m ⎛⎫=+-=++-≥ ⎪⎝⎭，， ()2sin cos 2sin cos x x m x x ≥-+ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令， πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， ()()()()2224231324222t t t m t t t t ---+-≤==-+----，当且仅当， ()()32442t t -+-≥-322t t-=-2t ⎡=⎣故.4m ≤-。
高一下学期第三次月考数学试卷(附含答案)
高一下学期第三次月考数学试卷（附含答案）试卷满分150分（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.下列说法正确的是（ ） A.经过三点有且只有一个平面 B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面 C.四边形是平面图形D.经过两条相交直线有且只有一个平面2.在ABC △中，AC=1，AB =和BC=3，则ABC △的面积为（ ）D.3.设m ，n 是两条不同的直线，α和β是两个不同的平面（ ） A.若m n ⊥ n α∥，则m α⊥B.若m β∥βα⊥，则m α⊥C.若m β⊥ n β⊥ n α⊥，则m α⊥D.若m n ⊥ n β⊥ βα⊥，则m α⊥4.在ABC △中4a = 3b = 2sin 3A =，则B =（ ） A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π5.如图 在长方体1111ABCD A B C D -中2AB = 11BC BB == P 是1A C 的中点，则直线BP 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A.13C.36.某车间需要对一个圆柱形工件进行加工 该工件底面半径15cm 高10cm 加工方法为在底面中心处打一个半径为cm r 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为（ ）cmC.4D.57.已知在ABC △中2B A C =+ 2b ac =，则ABC △的形状是（ ） A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形8.与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为 侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）22C.D.二、多项选择题（本大题共4小题 每小题5分 共计20分.在每小题给出的四个选项中至少有两个是符合题目要求的 请把答案填写在答题卡相应位置上）9.如图 已知正方体1111ABCD A B C D - M N 分别为11A D 和1AA 的中点，则下列四种说法中正确的是（ ）A.1C M AC ∥B.1BD AC ⊥C.1BC 与AC 所成的角为60°D.CD 与BN 为异面直线10.在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c 下列关系式恒成立的是（ ） A.cos cos c a B b A =⋅+⋅B.22sin1cos 2A BC +=+ C.()22cos cos a b c a B b A -=⋅⋅-⋅D.tan tan tan 1tan tan A BC A B+=-11.如图 在正四棱锥S ABCD -中E M N 分别是 BC CD SC 的中点 动点P 在线段MN 上运动时 下列四个结论恒成立的是（ ）A.EP AC ⊥B.EP BD ∥C.EP ∥平面SBDD.EP ⊥平面SAC12.如图 在正方体1111ABCD A B C D -中M 、N 分别为正方形ABCD 、11BB C C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.平面1D MN 与11B C 的交点是11B C 的中点B.平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三等分点C.平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点D.平面1D MN 将正方体1111ABCD A B C D -分成的两部分的体积之比为1：1三、填空题（本大题共4小题 每小题5分 共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.在ABC △中若4AB = 7AC = BC 边的中线72AD =，则BC =______.14.已知圆锥的顶点为P 底面圆心为O 高为1 E 和F 是底面圆周上两点 PEF △面积的最大值为______.15.正四棱台的上、下底面的边长分别为2 4 侧棱长为2，则其体积为______.16.过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 作平面α 使α∥平面11A B CD 11A D 和11D C 的中点分别为E 和F ，则直线EF 与平面α所成角为______.四、解答题（本大题共6小题 共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）一个几何体由圆锥和圆柱组成 其尺寸如图所示. （1）求此几何体的表面积；（2）如图 点P Q 在几何体的轴截面上 P 为所在母线中点 Q 为母线与底面圆的交点 求在几何体侧面上 从P 点到Q 点的最短路径长.18.（本题满分12分）在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c cos cos 3cos b A a B c A +=.（1）求cos A ；（2）若2a = 求ABC △面积的最大值.19.（本题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中2AB = M 是11B C 的中点. （1）求证：1AC ∥平面1A MB ；（2）点P 是直线1AC 上的一点 当1AC 与平面ABC 所成的角的正切值为2时 求三棱锥1P A MB -的体积.20.（本题满分12分）在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c 已知cos cos b A a B b c -=-. （1）求A ；（2）若点D 在BC 边上 且2CD BD = cos B =求tan BAD ∠. 21.（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中90ABC ACD ∠=∠=︒ 30BCA CDA ∠=∠=︒ PA ⊥平面ABCD E F 分别为PD PC 的中点 2PA AB =. （1）求证：平面PAC ⊥平面AEF ； （2）求二面角E AC B --的余弦值.22.（本题满分12分）如图 在一条东西方向的海岸线上的点C 处有一个原子能研究所 海岸线北侧有一个小岛 岛上建有一个核电站.该岛的一个端点A 位于点C 的正北方向处 另一个端点B 位于点A 北偏东30°方向 且与点A 相距10km 研究所拟在点C 正东方向海岸线上的P 处建立一个核辐射监测站. （1）若4km CP = 求此时在P 处观察全岛所张视角APB ∠的正切值； （2）若要求在P 处观察全岛所张的视角最大 问点P 应选址何处？参考答案17.（1）由题设 此几何体是一个圆锥加一个圆柱 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和.圆锥侧面积())21122S a a π=⨯⨯=；圆柱侧面积()()22224S a a a ππ=⨯=；圆柱底面积23S a π=∴几何体表面积为)222212345S S S S a a a a πππ=++=++=.（2）沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面 展开如图.则PQ ===∴P 、Q 两点间在侧面上的最短路径长为. 18.（1）因为cos cos 3cos b A a B c A +=由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A += ∴()sin 3sin cos A B C A +=∴sin 3sin cos C C A =.在ABC △中sin 0C ≠ ∴1cos 3A =；（2）由（1）知1cos 3A =由22sin cos 1A A += A 为锐角 得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-= 因为2a =∴2233122b c bc +-= ∴22212336bc b c bc +≥=+ 即3bc ≤ 当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =≤△ ABC △. 19.（1）证明：连接1AB 交1A B 于点N 连接MN因为四边形11AA B B 为平行四边形 11AB A B N ⋂=，则N 为1AB 的中点 因为M 为11B C 的中点，则1MN AC ∥∵1AC ⊂/平面1A MB MN ⊂平面1A MB 故1AC ∥平面1A MB . （2）因为1CC ⊥平面ABC ∴1AC 与平面ABC 所成的角为1CAC ∠因为ABC △是边长为2的等边三角形，则2AC =∵1CC ⊥平面ABC AC ⊂平面ABC ∴1CC AC ⊥，则11tan 2CC CAC AC ∠==所以 124CC AC ==∵1AC ∥平面1A MB 1P AC ∈ 所以点P 到平面1A MB 的距离等于点1C 到平面1A MB 的距离因为M 为11B C 的中点，则11111211222A MC A B C S S ===△△则1111111111433A P A MB C A MB B A C M C M V V V BB S ---===⋅=⨯=△.20.（1）解：因为cos cos b A a B b c -=-由余弦定理可得22222222b c a a c b b a b c bc ac +-+-⋅-⋅=-化简可得222b c a bc +-= 由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==因为0A π<< 所以 3A π=.（2）解：因为cos B =，则B 为锐角 所以 sin 3B ===因为A B C π++= 所以 23C B π=-所以22211sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B πππ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭设BAD θ∠=，则23CAD πθ∠=-在ABD △和ACD △中由正弦定理得sin sin BD AD B θ==sin sin 3CD AD C πθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭因为2CD BD =(3sin 3πθθ⎛⎫-=⎪⎝⎭(1sin 3sin 22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sin θθ=+所以tan tan BAD θ∠===21.（1）由题意 设AB a =，则2PA AC a == 4AD a =CD =∴PD == 又PA ⊥平面ABCD AC ⊂面ABCD∴PA AC ⊥，则在Rt PAC △中PC =在PCD △中222CD PC PD +=，则CD AC ⊥ 又CD ⊂面ABCD 有PA CD ⊥ 又AC PA A ⋂= 故有CD ⊥面P AC 又E F 分别为PD PC 的中点 即EF CD ∥ ∴EF ⊥面P AC 又EF ⊂面AEF ，则平面PAC ⊥平面AEF ；（2）过E 作EH AD ⊥ 易知H 为AD 中点 若G 是AC 中点 连接EH HG EG∴GH AC ⊥ EH AC ⊥ GH EH H ⋂= 故AC ⊥面EHG 即EGH ∠是二面角E AC D --的平面角∴由图知：二面角E AC B --为EGH π-∠易知EH PA ∥，则EH ⊥面ABCD GH ⊂面ABCD 所以EH GH ⊥在Rt EHG △中EH a = GH =，则2GE a =∴cos 2EGH ∠=，则二面角E AC B --的余弦值为()cos 2EGH π-∠=-.22.（1）设APB θ∠= 由题意知AC CP ⊥ AC = 4km CP = 30yAB ∠=︒ 所以tanCAP ∠==即30CAP ∠=︒ 8km AP = 1803030120PAB ∠=︒-︒-︒=︒ 在BAP △中10km AB =由正弦定理得 ()sin sin sin 60AB AP AP ABP θθ==∠︒- 即()108sin sin 60θθ=︒-化简得13sin θθ= 即tan θ=所以此时在P 处观察全岛所张视角APB ∠. （2）过点B 作BD CP ⊥于点D 设km CP x =由（1）得 当5x >时 点P 在点D 的右侧 ()5km PD x =-，则tan BD BPC PD ∠==当05x <<时 点P 在点D 的左侧 ()5km PD x =-，则tan 5BD BPC PD x ∠=-=-.又tan APC ∠=，则当0x > 且5x ≠时有())24tan tan 5108x BPC APC x x θ+=∠-∠==-+. 当5x =时 点P 与点D 重合tan tan CD CAD AC θ=∠== 满足上式所以)24tan 5108x x x θ+=-+.令4x t +=，则)tan 445410813t t t t t θ===>---++- ⎪⎝⎭因为14424t t +≥=，则0tan θ<≤= 当且仅当1444t t =>即12t = 8x =时取等号 此时tan θ。
河北省高一下学期3月月考数学试题(解析版)
河北省唐县高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（ ） 2i 1z =-A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据复数对应的点的坐标即可确定结果. 【详解】对应的点为，位于第二象限. 2i 1z =-()1,2-故选：B.2．已知向量，若，则（ ）(2,1),(,2)a b x ==- //a ba b += A ．(－2，－1) B ．(2，1)C ．(3，－1)D ．(－3，1)【答案】A【分析】由，利用向量共线的坐标运算解得x ，再利用向量和的坐标运算求.//a b a b +【详解】解析：因为，所以，解得x ＝－4．所以. //a b 2(2)x ⨯-=()214,22,()()1a b +=---- ,＋＝故选：A3．下列命题中正确的个数是（ ）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；AB CD∥,,,A B C D ③若，则；,a b b c∥∥a c ∥④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A ，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A 错误，对于B ，向量，则四点共线或，故B 错误，AB CD∥,,,A B C D //AB CD 对于C ，若，当时，不一定平行，故C 错误，,a b b c∥∥0b = ,a c 对于D ，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D 错误， ,,A B C //AC BC故选：A4．在中，已知，，，则（ ）ABC a =12c =π3C =A =A ．B ．C ．或D ．或π36π6π5π66ππ3【答案】B【分析】结合正弦定理求得正确答案. 【详解】由于，所以是锐角，a c <A由正弦定理得， sin sin a c A C =12πsin3=解得，所以. 1sin 2A =π6A =故选：B5．已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）,a b ||2,4a a b =⋅=b a A ．B ．C ．D ．12a12b r ab 【答案】C【分析】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.【详解】在方向上的投影向量为 b a()2cos ,a a b a a b b a bb a a a a a a b ⎛⎫⋅⋅ ⎪=⨯==⎪⎝⎭故选：C.6．已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）a b 1a = 2b = ()a b a -⊥ a bA ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】C【分析】由向量垂直，利用数量积运算可得，即，代入已知条件，求得()0a a b -⋅= 20a a b -⋅= ，所以，得解1cos ,2a b = π3a b ⋅=r r 【详解】因为，所以()0a a b-⋅=20a a b -⋅= 所以22cos a a b a b a b a =⋅=⋅⋅⋅= 又，，，,1a = 2b = 1cos ,2a b = [],0,πa b ∈ 所以，π,3a b = 故选：C ．7．在平行四边形中，为的重心，，则（ ）ABCD G BCD △AG xAB y AD =+3x y +=A ．B ．C ．D ．732833【答案】C【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.【详解】如图，设与相交于点，由为的重心，可得为的中点，AC BD O G BCD △O BD，则，2CG GO =()144122333233AG AO OG AO OC AO AB AD AB AD =+=+==⨯+=+可得，故23x y ==83.3x y +=故选：C.8．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南A偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了70︒B B 35︒海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）C A C 分别为（ ）A ．北偏东，B ．北偏东， 80︒65︒2)C ．北偏东，D ．北偏东，65︒80︒2)【答案】C【分析】在中，，，ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =AC 的长度，在中，可由正弦定理建立方程，求出．ABC sin 105BC ACCAB sin ︒=∠CAB ∠【详解】据题意知，在中，，海里， ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =所以2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠2240240=+-⨯⨯，3200=+所以海里， AC ===sin CAB ∠=又因为为锐角，所以，CAB ∠45CAB ︒∠=所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里. 65︒故选：C .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若，为共扼复数，则为实数 1z 2z 12z z ⋅B ．若为虚数单位，为正整数，则 i n 43i i n +=C ．复数在复平面内对应的点在第三象限 2i --D ．复数的共轭复数为 5i 2-2i --【答案】AC【分析】根据共轭复数的概念可判断A 项；利用复数的乘方运算可判断B 项；利用复数的几何意义可判断C 项；利用复数的除法运算结合共轭复数的概念可判断D 项.【详解】解：设，则，故，故A 正确；1i(,R)z a b a b =+∈1i z a b =-()()2212i i z z a b a b a b ⋅=+-=+因为，故B 错误；()4343i i =1i =i-i n n +=⨯⨯-因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以在第三象限，故C 正确； 2i --(2,1)--因为，其共轭复数为，故D 错误； ()()()5i 25i 2i 2i 2i 2+==----+2i -+故选：AC.10．在中，下列命题正确的是（ ） ABC A ．是的充要条件A B >sin sin A B >B ．若，则是直角三角形 cos cos a B b A =ABC C ．若，，则是等边三角形 60B =︒2=b ac ABC D ．若，则 cos sin b a C c A =+45A =︒【答案】ACD【分析】由正弦定理可判断ACD 正确，选项B 中由正弦定理可得，所以是等腰三角形. =A B ABC 【详解】对于A ，若，则，由正弦定理知， A B >a b >sin sin A B >反之，若，由正弦定理知，则有， sin sin A B >a b >A B >故是的充要条件，A 正确；A B >sin sin A B >对于B ，若且，易得：，cos cos a B b A =,(0,π)A B ∈π,(0,2A B ∈由正弦定理得：，即，则，有，sin cos sin cos A B B A =sin()0A B -=ππ(,)22A B -∈-=A B 所以是等腰三角形，B 错误；ABC 对于C ，若，由正弦定理得，而， 2=b ac 2sin sin sin B A C =π3B =则，化简得：且， 23sin sin()34A A π-=sin(2)16A π-=2(,)666A ππ11π-∈-即，得，故，所以是等边三角形，C 正确； 262A ππ-=π3A =3C π=ABC 对于D ，若，由正弦定理得， cos sin b a C c A =+sin sin cos sin sinB AC C A =+从而，化简得：， sin()sin cos sin sin A C A C C A +=+cos sin sin sin A C C A =而，所以且，得，D 正确. sin 0C ≠cos sin A A =(0,π)A ∈45A =︒故选：ACD11．在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）(0,0),(1,2),(3,1)O OA OB ==A ．||AB =B ．是直角三角形AOB C ．在方向上的投影向量的坐标为OA OB 11,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．与垂直的单位向量的坐标为或 OB⎛⎝【答案】ABD【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A ；求出向量、以及的模，根据勾股定||AB OA OB AB理逆定理可判断B ；根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量可判断C ；根据向量垂直OA OB的坐标表示求出与垂直的单位向量，判断D.OB【详解】因为，A 正确()2,1AB OB OA =-=-=，所以， ==222||||OAAB OB += 所以，即为直角三角形，B 正确；OA AB ⊥OAB 设与同向的单位向量为，， OB eOB e OB ==所以在方向上的投影向量为，OA OB31cos ,,22OA OB OA OA OB e e e OB ⋅⎛⎫〈=⋅== ⎪〉⎝⋅⎭C 错误；因为，设与垂直的单位向量为，(3,1)OB = OB(,)y m x = 则，解得22301x y x y +=⎧⎨+=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故与垂直的单位向量的坐标为或，D 正确，OB⎛ ⎝故选：ABD ．12．在中，角A ，B，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，则下列说法正ABC 23cos 3cos b C c B a +=确的是（ ）A ． 3a =B ．若，且有两解，则b 的取值范围为 π4A =ABC ⎡⎣C ．若，且为锐角三角形，则c 的取值范围为 2C A =ABC (D ．若，且，O 为的内心，则 2A C =sin 2sin B C =ABCAOB S =△【答案】ACD【分析】选项A ：根据条件求出；选项B ：由余弦定理得23cos 3cos b C c B a +=3a =，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b 的取值范围；229b c =+c 选项C ：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角A 的范围，从而求边的范围；6cos c A =ABC c 选项D ：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求的内切C ABC ABC 圆半径，从而求的面积.AOB 【详解】解：对于A 选项，因为，23cos 3cos b C c B a +=所以由正弦定理，得,即 ， 3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=()3sin sin B C a A +=因为，所以，且，所以，A 选项正确； πA B C ++=()sin sin B C A+=sin 0A ≠3a =对于B 选项，由余弦定理得， 2222cos a b c bc A =+-229b c =+将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,c 2209c b +-=故 ,解得，所以选项B 错误； ()22290)490b b ⎧->⎪⎨-->⎪⎩(b ∈对于C 选项，由正弦定理，得 ，即 ， sin sin 2a cA A=2cos 6cos c a A A ==因为为锐角三角形，ABC所以 ，即，解得， π02π02π02A BC ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩ππ64A <<所以，故选项C 正确； (6cos c A =∈对于D 选项，因为，所以， sin 2sin B C =2b c =因为，所以， 2A C =()sin sin sin 3B A C C =+=所以由正弦定理，得，即， sin sin b c B C =2sin 3sin c c C C=sin 32sin C C =所以， sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=即，222sin cos 2cos sin sin 2sinC C C C CC +-=因为，所以，即， sin 0C ≠222cos 2cos 3C C +=23cos 4C =又因为， 2A C =所以，， ，是直角三角形，π6C =π3A =π2B =b c ==ABC 所以内切圆的半径满足，即r ()1122ABC S a b c r ac =++= ac r a b c ==++所以的面积为D 正确. AOB 1122S cr ===故选：ACD.【点睛】方法点睛:在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到. (0,π)B π32π(0,)3A ∈②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一π,,(0,)2A B C ∈π(,π)2角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以; B π32ππ32A C =-<ππ63C <<若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中，综合三个角为锐角有,得2A C =π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩. ππ64A <<三、填空题13．已知向量满足，且，则__________. ,a b1,2a b == ||||a b a b +=- 2a b +=【答案】【分析】根据向量的模长公式可得，进而根据模长公式即可求解.a b ⊥【详解】由得，所以，||||a b a b +=-()()220a ba ba b +=-⇒⋅=2a故答案为：14．若复数，则实数的值为________.()2390m m i -+-≥m 【答案】3【分析】由题意知为实数，实部大于或等于，虚部等于，即可求解. ()239m m i -+-00【详解】因为复数不能比较大小，所以为实数，()239m m i -+-可得解得23090m m -≥⎧⎨-=⎩3m =所以实数的值为， m 3故答案为：315．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．()1,2a = ()1,1b = a a b λ+λ【答案】()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等()1,2a b λλλ+=++式求解作答【详解】解：因为，，所以，()1,2a = ()1,1b = ()1,2a b λλλ+=++因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，a ab λ+ ()0a a b λ+⋅> a a b λ+所以且，()1220λλ+++>()212λλ+≠+解得且，所以的取值范围为，53λ>-0λ≠λ()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭四、双空题16．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为．若，则ABC ,,a b c 2sin sin cos 1cos 2=-B C A A 222+=b ca_____；的最大值为_____． sin A 【答案】 3【分析】由二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简已知等式可得，根据基本不等式可求2223+=b c a ，结合范围，利用三角函数的性质即可求解的最大值．2cos 3≥A ()0,A π∈sin A 【详解】解：∵，∴， 22sin sin cos 1cos 22sin B C A A A =-=22222cos 2==+-bc A a b c a ∴，当且仅当时不等式两边取等号， ()2222122233cos 223b c b c bc A bc bc +-+⋅=≥=b c =∴当取得最小值时，cos A 23sinA =故答案为：3． 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了同角三角函数的基本关系，属于中档题.五、解答题17．已知，，.()1,3A ()2,2B -()4,1C (1)若，求D 点的坐标；AB CD =(2)设向量，，若与平行，求实数k 的值. a AB = b BC = ka b -3a b + 【答案】(1)4(5,)D -(2)13k =-【分析】（1）根据题意设，写出的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；(,)D x y ,C AB D（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可.【详解】（1）设，又因为， (,)D x y ()()()1,3,2,2,4,1A B C -所以，=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--因为，=AB CD 所以，得，4115x y -=⎧⎨-=-⎩54x y =⎧⎨=-⎩所以.4(5,)D -（2）由题意得，，，(1,5)a =- (2,3)b =所以，，=(2,53)ka b k k ----3(7,4)a b += 因为与平行，ka b -3a b + 所以，解得.4(2)7(53)0k k ----=13k =-所以实数的值为.k 13-18．已知a ，b ，c 分别为锐角三个内角A ，B ，C 的对边，，且ABC ),3m =()2sin ,n B b =-． 0m n ⋅=(1)求A ；(2)若，的周长为6，求△ABC 的面积． 2a =ABC 【答案】(1)3A π=【分析】（1）由，得到，求得的大小；0m n ⋅= sin 30B b -+=sin A =A （2）由余弦定理得到，结合题意求得，利用面积公式，即可求解.224b c bc =+-4bc =【详解】（1）解：由题意，向量，，),3m =()2sin ,n B b =-因为，可得， 0m n ⋅=sin 30B b -+=由正弦定理得，sin 3sin 0A B B -+=因为为锐角三角形，可得，所以，ABC 0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0B >所以，即， 30A -+=sin A 因为，所以．0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3A π=（2）解：在中，由余弦定理得，即 ABC 2222cos a b c bc A =+-224b c bc =+-可得()243b c bc =+-因为，的周长为6，所以，可得，2a =ABC 4b c +=4bc =故的面积为ABC 1sin 2S bc A ==19．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满ABC 90,22A CB CA ∠=︒==,D E ,AB BC 足．,(0,1),A B D A C B BE λλλ==∈u u r u u u r u u u r u u u r(1)求的取值范围；AE BC ⋅ (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．λAE CD ⊥ λ【答案】(1)(3,1)-(2)存在， 23λ=【分析】（1）由题意得，结合即可得()()AE BC AB BE BC AB BC BC λ⋅=+⋅=+⋅ 34λ=-+(0,1)λ∈解；（2）由，求解即可.()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅- 2230λλ=-=【详解】（1）在直角三角形中，．ABC 90,22A CB CA ∠=︒==∴，30,B BA ∠=︒=2cos303BA BC ⋅=⨯︒= ，2()()AE BC AB BE BC AB BC BC AB BC BC λλ⋅=+⋅=+⋅=⋅+ 234BA BC BC λλ=-⋅+=-+ ∵，∴．(0,1)λ∈(3,1)AE BC ⋅∈- （2）()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅-22AB AB AC BC AB BC AC λλλ=-⋅+⋅-⋅2302cos15021cos 60λλλ=-+⨯︒-⨯⨯⨯︒2230323λλλλλ=---=-令，得或（舍）. 2230λλ-=23λ=0λ=∴存在实数，使得． 23λ=AE CD ⊥ 20．如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记45,60ABC BCD ∠=∠= . ,AB a AC b →→→→==（1）试用表示向量;,a b →→,AD CD →→（2）若，求. 1b →=AB CD →→⋅【答案】（1），；（2.AD a →→=)1CD a b →→→=+1【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即CB a b →→→=-BD →=AD a →→=CD AD AC →→→=-可得答案；（2）由题知，进而根据向量数量积运算求解即可.1a b →→⋅=【详解】（1）因为，所以， ,AB a AC b →→→→==CB AB AC a b →→→→→=-=-由题意可知， ，//,AC BD BD =所以，则，BD →=AD AB BD a →→→→=+=)1CD AD AC a b →→→→→=-=+（2）因为， ， 1b →=cos 114a b a b π⋅=⋅==所以))211211AB CD a a b a a b →→→→→→→→⎡⎤⋅=⋅+=+⋅==⎢⎥⎣⎦21．在中，角所对的边长分别为，面积为，且. ABC A B C ､､,2a b c c =､､S cos2A b S =(1)求角的大小.A (2)求的取值范围. b c a +【答案】(1)π3A =(2)(]1,2b c a +∈【分析】(1)结合面积公式，二倍角的正弦公式对条件进行恒等变换即可得出，利用三角1sin22A =形中角的取值范围即可求解；(2)利用正弦定理和两角和的正弦公式得到，然后利用正弦函数的图象和性质即π2sin()6b c B a +=+可求解.【详解】（1），所以，又， cos2A b S = 1cos sin 22A b bc A =2c =，则， cos sin 2A A ∴=cos 2sin cos 222A A A =，因为， 1sin22A ∴=0πA <<所以，故； π26A =π3A =（2）由正弦定理可得：)sin sin sin sin sin b c B C B C a A ++==+()sin sin B B A ⎤=++⎦sin sin 3B B π⎤⎛⎫=++ ⎪⎥⎝⎭⎦1sin sin 2B B B ⎤=+⎥⎦π2sin 6B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 302πB << πππ666B +<5<∴，也即. 1sin 126B π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭(]1,2b c a +∈22．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿想在一望无际的麦田里划一块形为平面四边形的麦田ABCD成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B ，D 连接，经测量知，AB BC CD ====AD(1)霍尔顿发现无论都为一个定值，试问霍尔顿的发现正确吗？若正确，BD cos A C -求出此定值；若不正确，请说明理由.(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和有关，记与的面积分别为ABD △CBD △和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．1S 2S 2212S S +【答案】(1)正确，1 (2)632【分析】（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出的关系，即可得出ABD △CBD △BD ,A C是一个定值； cos A C -（2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取值范围，可得出2212S S +2212S S +的最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得：， ABD △2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅即，2186224BD A A =+-⨯=-在中，，CBD △2222cos BD CD BC CD BC C =+-⋅即26621212cos BD C C =+-=-因此，即，241212cos A C -=-21cos A C =-．cos 1A C -=（2）因为， 11sin 212S A A AD AB A ⨯=⋅==， 21sin 3sin 212S C C BC CD C =⋅==于是得22221227sin 9sin S S A C +=+由（1）知，cos 1C A =-因此 )22222123627cos 9154cos 27S S A A A A +=---=-++， 26354cos 2A ⎛=-+ ⎝在中，ABD △BD <<在中， CBD △0BD <<BD <<由，得 224BD A =-cos A =即有，0cos 1A <<从而当， cos A =()2212max 632S S +=所以的最大值是． 2212S S +632。
高一下3月份月考数学试卷
A． B． C． D．
二多项选择题：本题共4小题每小题5分共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分部分选对的得2分有选错的得0分
9．下列结论正确的是( )
A．在△ABC中若A＞B则sinA＞sinB
B．在锐角三角形ABC中不等式b2＋c2－a2＞0恒成立
C．在△ABC中若acosB－bcosA＝c则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中若b＝3A＝60°三角形面积S＝3 则三角形的外接圆半径为
10．下列函数中既是偶函数又在区间(0＋∞)上是增函数的是( )
A. B. C. D.
7.若 的内角 所对的边分别为 ∠ 则 一定是
A.底边和腰不相等 等腰三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.等边三角形
8.奔驰定理：已知 是 内的一点 的面积分别为 则 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论 因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似 故形象地称其为“奔驰定理”.设 为三角形 内一点 且满足： 则 （）
（1）m＝3求A∩CuB；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件求m的取值范围．
18．(本小题满分12分)
在△ABC中内角ABC所对的边分别是abc已知a＝1b＝2cosC＝
(1)求c的值；
(2)求△ABC的面积．
19．(本小题满分12分)
设向量| |＝1| |＝1且 与 具有关系|k ＋ |＝ | －k |（k＞0）
16.已知 中 若 则 周长的最大值为__________.
四 解答题：本题共6小题 共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
江苏省高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，则（ ） cos 3sin 0αα+=tan 2α=A ．B ．C ．D ．3434-35-38-【答案】B【分析】由二倍角的正切公式即可求得的值. tan 2α【详解】由，可得cos 3sin 0αα+=1tan 3α=-则 2212()2tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯-===----故选：B2．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．“”是“是以C 为直角的ABC A cos cos a A b B =ABC A 直角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用正弦定理将边角互化，结合充分条件、必要条件的定义计算可得； 【详解】解：若，由正弦定理可得，cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =，或，即或，sin 2sin 2A B ∴=22A B ∴=22A B π+=A B =2A B π+=所以为等腰三角形或是以为直角的直角三角形，故充分性不成立； ABC A C 若是以为直角的直角三角形，即，ABC A C 2A B π+=所以，所以，即，2A B π=-22A B π=-()sin 2sin 2sin 2A B B π=-=所以，则，故必要性成立；sin cos sin cos A A B B =cos cos a A b B =故“”是“是以C 为直角的直角三角形”的必要不充分条件； cos cos a A b B =ABC A 故选：B3．设M 为内一点，且，则与的面积之比为（ ） ABC A 1145AM AB AC =+ ABM A ABC A A ． B ． C ． D ．15144959【答案】A【分析】做出图形，则两三角形的面积比等于两三角形高的比，转化为． AE AC【详解】如图所示，∵点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足，1145AM AB AC =+以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADME ，延长EM 交BC 与F ，， 15AE AC =则，则所求两三角形的面积比等于这两三角形高的比， //EF AB 所以． 15ABM ABC S AE S AC ==A A 故选：A4．已知a ＝（1+tan21°）（1+tan22°），b ＝（1+tan23°）（1+tan24°），则（ ） A ．a ＝b ＝2 B ．ab ＝4C ．a 2+b 2＝9D ．a 2＝b 2﹣2【答案】B【分析】根据两角和的正切可求ab ＝4，再根据得到，从而可得tan152︒=236(74a -<<正确的选项.【详解】解：因为，故tan21°+tan24°＝1﹣tan21°tan24°，tan 21tan 241tan 451tan 21tan 24︒︒︒︒︒+==-故2＝（1+tan21°）（1+tan24°），同理2＝（1+tan22°）（1+tan23°）， 故ab ＝4，故B 成立；而tan15°＜tan21°＜tan23°＜1，0＜tan22°＜tan24°＜1， 故a ＜b ，故A 错误；而，故， tan 45tan 30tan1521tan 45tan 30︒︒︒︒︒-==+2(3a >因，故，所以，2(3,4a bab <<=2(32a <<236(74a -<<又若a 2+b 2＝9，则，解得22169a a +=2a =因为，36(736(74 1.733)2.448->-⨯=，故无解，故C 错误；9 4.123 2.43852-=22169a a +=若a 2＝b 2﹣2，则，则，22162a a=-21a =这与矛盾，故D 错误． 22.44836(74a <-<<故选：B ．5．已知、是两个非零向量，它们的夹角为，，则下列结论正确的是（ ）a bθb e b= A ．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量θa b ()cos a e θ θa b为()cos a e θ- B ．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量θa b ()cos a b θ θa b为()cos a b θ- C ．若存在实数，使，则λb a λ=a b a b ⋅= D ．若，则一定存在唯一的实数，使 a b a b ⋅= λb a λ=【答案】D【分析】利用投影向量的定义可判断AB 选项；利用平面向量数量积的定义结合共线向量的定义可判断CD 选项.【详解】对于AB 选项，向量在上的投影为，易知为与同向的单位向量， a b cos a θ e b所以，在方向上的投影向量为，AB 均错；a b()cos a e θ 对于C 选项，若存在实数，使，则、共线，λb a λ=a b 若，则、共线，但，C 错； θπ=a ba b a b ⋅=- 对于D 选项，若，则，，则，即、方向相同， a b a b ⋅= cos 1θ=0θπ≤≤Q 0θ=a b则、共线，一定存在唯一的实数，使，D 对. a b λb a λ=故选：D.6．已知单位向量，满足，若向量，则〈，〉=（ ）a b a b ⋅ 14=-2c a b =+cos a cA ．B C ．D 1314【答案】C【分析】先利用数量积表示模长.c a =+【详解】由已知知，，1a b ==r r 2c a =+=则 ()22||21cos ,4||||a a b a c a a b a c a c a c a c⋅+⋅+⋅====故选：C.7．已知函数的图象关于点及直线对称，且()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭π:3l x =在不存在最值，则的值为（ ）()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭ϕA ．B ．C ．D ．π3-π6-π6π3【答案】C【解析】根据对称得到，根据没有最值得到，得到，，再根据对2,12T k N kπ=∈+T π≥2T π=1ω=称中心得到，得到答案.,6m m Z πϕπ=+∈【详解】函数的图象关于点及直线对称.()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭π:3l x =则. 2+,,4236212T kT T k N kππππ=+=∴=∈+在不存在最值，则，故时满足条件，，.()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭T π≥0k =2T π=1ω=，则.sin 066f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,66m m m Z ππϕπϕπ-+=∴=+∈当时满足条件，故.0m =6πϕ=故选：.C 【点睛】本题考查了三角函数对称，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.8．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为P 为边BD 上一动点，则的取值范围为（ ）AP CP ⋅A ．B ．C ．D ．[]6,0-25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]7,0-【答案】C【分析】根据题意可计算出AB 的长，由此建立平面直角坐标系，设点P 的坐标，进而表示向量的坐标，计算，结合二次函数的知识求得结果.,AP CP AP CP ⋅【详解】由题意可知，为等边三角形，则有，， BCD △60DBC ∠=︒30ABD ∠=︒在中， ,； Rt △ABD tan 302AD BD =⨯== 24AB AD ==如图以B 为原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，BC BA则有，，由于，故可设P 点坐标为,且()0,4A ()C 60DBC ∠=︒()x 0x ≤≤所以，，()4AP x =- ()CP x =-所以， (4AP CP x x ⋅=-+-2244274x x ⎛- =⎝=-因为，当时，取得最小值 ，当 时，0x ≤≤x =22744x ⎛- ⎝274-0x =取得最大值为0， 22744x ⎛- ⎝所以， 2704AP CP -≤⋅≤故选：C.二、多选题9．下列等式成立的是（ ）A ．B ． ()21sin15cos152-=22sin 22.5cos 22.5-=C ．D ．1cos 24cos36cos 66cos542-=(3sin 40tan102=-【答案】AC【分析】利用二倍角公式可判断AB 选项；利用诱导公式以及两角差的正弦公式可判断C 选项；利用辅助角公式以及二倍角的公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，，A 对； ()21sin15cos1512sin15cos151sin 302-=-=-=对于B 选项，B 错； 22sin 22.5cos 22.5cos 45-=-= 对于C 选项，()()cos 24cos36cos 66cos54cos 9066cos36cos 66cos 9036-=---，C 对； ()1cos36cos 66sin 36sin 6636sin 302sin 66=-=-==对于D 选项，(sin10sin 40tan10sin 40cos10⎛=⋅= ⎝，D 错.()()2sin 40sin 10602sin 40sin 502sin 40cos 401sin 80sin 80cos 9080-==-=-=--故选：AC.10．下列说法正确的是（ ）A ．向量与共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件ABCD B ．若，则存在唯一实数使得//a b λb a λ= C ．已知，则与的夹角为锐角的充要条件是()()=1,3,1,1= a b a a b l + ()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若，则是在上的投影向量 AB AC AD AB AC λ+=BDBA BC 【答案】ACD【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A ；根据向量共线的充要条件可判断B ；根据向量夹角的坐标运算可判断C ；由平面向量加法和的平分线表示的向量平行的向量可得BAC ∠AD 为的平分线，又因为为的中线可判断 D.BAC ∠AD BC 【详解】对于A 选项：A ，B ，C ，D 四点共线向量与共线，反之不成立，所以A 正确；⇒ABCD 对于B 选项：当，时，不存在实数使得，当，时，存在无数个实数0a = 0b ≠λb a λ=0a = 0b = λ使得，故B 错误；b a =对于C 选项：因为，，所以，则与的夹角为锐角的充()1,3a = ()1,1b =r ()1,3a b λλλ+=++ a a b l +要条件是且与不同向共线，()·0a a b λ+>a ab l + 即，()()1,3·1,31931040λλλλλ++=+++=+>1≠解得，则实数的取值范围是，故C 正确；()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭λ()5,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭对于D 选项：由平面向量加法可知：为“与的平分线表示的向量平行的向量”因AB ACAB AC+BAC ∠为，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，所AB ACAD AB ACλ+=AD BAC ∠AD BC AD BC ⊥以是在的投影向量，故选项D 正确. BDBA BC 故选：ACD. 11．已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）()cos 22si n 1fx x x =-+A ．的最小正周期为 B ．的最小值为()f x π()f x 2-C ．函数的图像关于直线对称D ．函数在上单调递减()f x 2x π=()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD【分析】A. 利用周期函数的定义判断；B. 利用二倍角公式得到()22si n 2si n 2fx x x =--+，再令，利用二次函数的性质求解判断； C.利用二次函数的性质判断；D. 利用复[]sin 1,1x t =∈-合函数的单调性判断. 【详解】解：因为()()()cos 22si n 1fxx x πππ⎡⎤+=+-++⎣⎦，故A 错误；()cos 22si n 1x x fx =++≠，()cos 22si n 1fx x x =-+22cos 2si n x x =-22si n 2si n 2x x =--+令，[]sin 1,1x t =∈-则，当时，函数取得最小值-2，故B 正确；2215222222y tt t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭1t =因为关于对称，此时 ，则或2222y tt =--+12t =-1sin 2x =-2,6x k k Z ππ=-+∈， 52,6x k k Z ππ=-+∈所以函数的图像不关于直线对称，故C 错误；()f x 2x π=因为，在上递增，在上递减，而 在上递2222y tt =--+11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦sin y x =,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦增，在上递增，,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以由复合函数单调性知：函数在上递减，所以函数在上递减，故D 正()f x ,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦确；故选：BD12．如图，已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且D ，G ，E 三点共线，，，m ＞0，n ＞0，记△ADE ，△ABC ，四边形BDEC 的面积分别为S 1，S 2，AD mAB = AE nAC =S 3，则（ ）A ．B ．C ．D ．113m n+=12S mn S =1345S S >1345S S ≤【答案】ABC【分析】A 选项，由题可得＝，设，，m ＞0，n ＞0，结AG(1)AD AE λλ+- AD mAB = AE nAC = 合可得答案；1()3AG AB AC =+B 选项，由S 1＝，S 2＝可得答案；1||||sin 2mn AB AC A ∠ 1||||sin 2AB AC A ∠CD 选项，，后利用基本不等式可得答案. 32111S S S S =-11mm=-【详解】A 选项，由D 、G 、E 三点共线，则＝，设，，AG(1)AD AE λλ+- AD mAB = AE nAC = m ＞0，n ＞0.则，(1)AG mAB nAC λλ=+-又由重心性质可知， 211()()323AG AB AC AB AC =⨯+=+ 则，，即，即选项A 正确； 13m λ=11(1)33n n λ-==113m n +=B 选项，S 1＝＝，1||||sin 2AD AE A ∠ 1||||sin 2mn AB AC A ∠ S 2＝，则，即选项B 正确；1||||sin 2AB AC A ∠12S mn S =CD 选项，＝≤，当且仅当，即时取等32121111S S S S S S S -==-11mm -2115()124m n +-=11m n =23m n ==号，则，即选项C 正确， D 错误. 1345S S >故选：ABC ．三、填空题13．如图，正八边形ABCDEFGH ，其外接圆O 半径为1.则___________.OA AB ⋅=1【分析】根据平面向量的基本运算，将转换为有关的表达式计算即可OA AB ⋅ OA OB，【详解】易得的夹角为，再由图可得OA OB ，4π()2,·AB OB OA OA AB OA OB OA OA OB OA =-⋅=-=⋅-. 1111=⨯=-1【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算与数量积运算，属于基础题14．若，，则_________．cos 2α=()sin αβ-=,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα,2πβπ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭αβ+=【答案】##4π-45- 【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，根据()sin 2,cos ααβ-()()cos cos 2αβααβ+=--⎡⎤⎣⎦，由两角和差余弦公式可求得，结合的范围可得结果.()cos αβ+αβ+【详解】，，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 2,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭sin 2α∴==又，，，,2πβπ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭33,42ππαβ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭()cos αβ∴-==()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβααβααβααβ∴+=--=-+-⎡⎤⎣⎦⎛= ⎝，.3,04παβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭4παβ∴+=-故答案为：.4π-15．已知函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范()2cos 22f x m x x =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 围是______．【答案】11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】利用两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数后利用正弦函数性质求解．【详解】由已知， 1()22cos 222sin 22026f x x x m x m π⎫⎛⎫=-+=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由题意此方程有两个不等实根．sin 26m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，()sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当时，，，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由得，∴时递减，时，递增，226x ππ-=3x π=0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x [,32x ππ∈()g x ，，，13g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭122g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1(0)2g =作出，的图象，作直线，如图，()sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦y m =∴当时，它们有两个不同的交点．有两解．112m ≤-<-sin 26m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故答案为：．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把问题通过方程的根转化为直线与函数图象交点个数，然后利用函数图象得出结论．四、双空题16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，a=2，⊙O 为△ABC 的外接圆，6A π=.OP mOB nOC =+（1）若m=n=1，则________.=OP （2）若m ，，则点P 的轨迹所对应图形的面积为________. []0,1n ∈【答案】【分析】（1）若，将两边同时平方，计算得出结果； 1m n ==OP OB OC =+（2）若m ，，讨论点P 的轨迹，得出是菱形，再去求面积即可. []0,1n ∈【详解】∵，，为的外接圆，6A π=2a =O A ABC A ∴，，. 22421sin 2a R R A ===⇒=260BOC A ∠=∠=︒ 2 OB OC ==（1）若，则，1m n ==OP OB OC =+()2222212OP OB OCOB OC OB OC OP =+=++⋅=⇒=（2）若m ，，则点P 的轨迹：[]0,1n ∈当，时，，此时点P 在线段上； 0m =[]0,1n ∈OP nOC =OC 当，时，，此时点P 在线段上；0n =[]0,1m ∈OP mOB =OB 当，时，，构造平行四边形，此时点P 在线段上（如图1m =[]0,1n ∈OP OB nOC =+OBDC BD 1）；当，时，，构造平行四边形，此时，点P 在线段上；1n =[]0,1m ∈OP mOB OC =+OBDC CD 当m ，时，，此时，点P 在菱形内部，（如图3）；()0,1n ∈OP mOB nOC =+OBDC 综上，P点的轨迹为菱形组成的图形区域，则 OBDC .12222sin 602OBC OBCD S S==⨯⨯⨯⨯︒=△菱形五、解答题17．已知单位向量的夹角为，向量，向量.12,e e 23π12a e xe =- 1232b e e =+(1)若∥，求x 的值；a b(2)若，求. a b ⊥a r 【答案】(1)23-【分析】（1）由，可得存在实数，使得，然后将，代入化简可求出x 的值， a b∥λλa b = a b （2）由，可得，再将，代入化简可求出x 的值，从而可求出a b ⊥0a b ⋅= a b a r 【详解】（1）因为，所以存在实数，使得，a b∥λλa b = 即，()1212123232e xe e e e e λλλ-=+=+ 则有，， 13λ=2x λ=-解得；23x =-（2）由，有，a b ⊥0a b ⋅= 即，()()()22121211221323(23)2323202e xe e e e x e e xe x x -⋅+=+-⋅-=---= 解得，4x =故，124a e e =-所以a ===18．已知,设函．())22cos ,1,,2cos ,m x n x x x R =-=∈ ()1f x m n =⋅+(1)求函数的最小正周期；()f x (2)若，且，求的值．7,312ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦8()5f α=cos 2α【答案】(1) π(2)【分析】（1）根据平面向量的数量积坐标公式，以及辅助角公式化简，再根据周期公式求最()f x 小正周期.（2）根据的值计算,再利用和角公式计算.()f απsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 2α【详解】（1）由已知条件得：21()cos 2cos 12cos 222cos 22f x x x x x x x x ⎫=-+=-=-⎪⎪⎭πππ2sin 2cos cos 2sin 2sin 2666x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最小正周期 2ππ2T ==（2），又 π8()2sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ π4sin 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭π7π312α≤≤ππ2π26α∴≤-≤故，进而可得πcos 206α⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭π3cos 265α⎛⎫-==- ⎪⎝⎭ππππππ341cos 2cos 2=cos 2cos sin 2sin 666666552αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+---=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19．如图，、分别是的边、上的点，且，，交M N ABC ∆BC AB 14BM BC =1AN AB 2=AM CN 于.P（1）若，求的值；AM xAB y AC =+x y -（2）若，，，求的值.4AB =3AC =60BAC ∠= AP BC ⋅【答案】（1）；（2）. 12277-【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值； x y x y -（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、3144AP AM AB AC λλλ==+ NP k NC =λk的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，APAB AC AB AC BC 最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.AP BC ⋅【详解】（1），()11314444AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，，因此，； 34x ∴=14y =311442x y -=-=（2）设， 3144AP AM AB AC λλλ==+再设，则，即， NP k NC =()AP AN k AC AN -=- ()112k AP k AN k AC AB k AC -=-+=+ 所以，，解得，所以， 314214k k λλ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4717k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3177AP AB AC =+ 因此，()()()221132377AP BC AB AC AC AB AC AB AC AB⋅=+-=+⋅- . 221127324334727⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题. 20．在△ABC 中，，，O 是的外接圆圆心，若AB =2AC =56BAC π∠=ABC A ．AO AB AC λμ=+ (1)求及； AO AB ⋅AO (2)求，．λμ【答案】(1)32AO AB ⋅= (2) 74,2λμ==【分析】（1）如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，取的中点，的中点，连接A AB M AC N ，设，根据O 是的外接圆圆心，可得，则有,OM ON (),O x y ABC A ,OM AB ON AC ⊥⊥，求得点的坐标，再根据向量数量积的坐标表示及向量的模的坐标表示即可得解； 00MO AB NO AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩O （2）根据结合向量线性运算的坐标表示列出方程组，解之即可得解.AO AB ACλμ=+【详解】（1）解：如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， A 则，())()0,0,,A BC 取的中点，的中点，连接，AB M AC N ,OM ON 则， 1,2M N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭设，则， (),O x y 1,2MO x y NO x y ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)(),AB AC ==因为O 是的外接圆圆心， ABC A 所以，,OM AB ON AC ⊥⊥则，解得，0102MO AB x NO AC x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩72x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以， )7322AO AB ⎫⋅=⋅=⎪⎪⎭；=（2）解：因为，AO AB AC λμ=+即，，)())7,2λμμ⎫=+=⎪⎪⎭所以，解得.72μ=⎪=⎪⎩472λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩所以. 74,2λμ==21．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且ABC ∆BC P B C H BC 满足.已知，，设.CH AB ⊥90ACB ∠=︒1dm AB =ABC θ∠=（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值ABC PCB ∠=∠CA CP +θ时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何60PBA ∠=︒CH CP +θ值时，取得最大值，并求该最大值. CH CP +【答案】（1）（2）当， π6θ=π12θ=CH CP +【解析】（1）设，则在直角中，，，计算得到ABC PCB θ∠=∠=ABC ∆sin AC θ=cos BC θ=，计算最值得到答案.2sin sin 1AC CP θθ+=-++（2）计算，得到.sin cos CH θθ=⋅πsin 23CH CP θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭【详解】（1）设，则在直角中，，. ABC PCB θ∠=∠=ABC ∆sin AC θ=cos BC θ=在直角中，，PBC ∆2cos cos cos cos PC BC θθθθ=⋅=⋅=.sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ=⋅=⋅=，，22sin cos sin 1sin AC CP θθθθ+=+=+-2sin sin 1θθ=-++π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以当，即，的最大值为.1sin 2θ=π6θ=AC CP +54（2）在直角中，由，ABC ∆1122ABC S CA CB AB CH ∆=⋅=⋅可得. sin cos sin cos 1CH θθθθ⋅==⋅在直角中，，PBC ∆πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭所以，， 1sin cos cos sin 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎭π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以211sin 2sin cos 22CH CP θθθθ+=-， 11πsin 22sin 2423θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以当，. π12θ=CH CP +【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.22．对于函数，若存在定义域中的实数a ，b 满足b ＞a ＞0且，则()f x ()()2()02a bf a f b f +==≠称函数为“M 类”函数．()f x (1)试判断＝sin x ，x ∈R 是否是“M 类”函数，并说明理由；()f x (2)若函数，，n ∈N *为“M 类”函数，求n 的最小值． ()2log 1f x x =-()0,x n ∈【答案】(1)不是M 类函数，理由见解析 (2)7【分析】（1）由题意，假设为“M 类”函数，则存在b ＞a ＞0，使得b ＝a +2k π，k ∈Z 或者b +a ()f x ＝π+2k π，k ∈Z .后分两种情况求的值，即可导出矛盾； sin a （2）由题可得，由对数运算性质结合可得22211212l og l og l og a ba b +-=-=-4ab =，后由零点存在性定理可得b 范围，由此可得n 的最小值． 24()8b b b+=326480b b b ⇒---=【详解】（1）由题意，假设为M 类函数，则存在b ＞a ＞0，使得sin a ＝sin b ， ()f x 则b ＝a +2k π，k ∈Z 或者b +a ＝π+2k π，k ∈Z ， 根据题意，有． sin 2sin2a ba +=①当b ＝a +2k π，k ∈Z 时，有 ，k ∈Z ， ()2si n si n πa a k =+即sin a ＝±2sin a ，解得sin a ＝0，不成立；②当b +a ＝π+2k π，k ∈Z 时，有，k ∈Z ，22πsi n si n πa k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即sin a ＝±2，不成立， ∴函数不是M 类函数；()f x （2）由题意，则在单调递减，在单调递增． ()22log 121log 02x x f x x x ->⎧=⎨-<≤⎩，，()f x ()0,2()2,+∞又∵是M 类函数，∴存在0＜a ＜2＜b ，满足， ()f x 22211o 1o 12|log 1|2a bg a g b +-=-=-又由等式可得：，则ab ＝4，()2log 2ab =所以，214(2)2(4)0222a b a a a a+--=+-=>则，所以得， 21o 102a b g +->221o 12(log 1)2a bg b +-=-从而有，则有，即，222log 1log ()2a b b ++=2()24a b b +=24()8b b b +=所以b 4﹣8b 3+8b 2+16＝0，则.()()3226480b b b b ----=由b ＞2，则b 3﹣6b 2﹣4b ﹣8＝0， 令＝x 3﹣6x 2﹣4x ﹣8，()g x 注意到当2＜x ＜6时，＝，()g x ()26480x x x ---<且，且连续不断，()()63207130，g g =-<=>()g x 由零点存在性定理可得存在，使得，此时. ()6,7b ∈()0g b =()0,2a ∈∴n 的最小值为7．【点睛】关键点睛：本题涉及函数新定义，难度较大.（1）先假设满足题意，从而得到相应等量关系，后由等量关系得，从而发现矛盾； ()f x sin a （2）问将求的最小值，转化为求的范围，关键为得到关于的等式.n b b。
江西省景德镇市乐平中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题(原卷版)
20232024（下）乐平中学高一第一次月考数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. cos150︒=A.B. C.12D. 1-22. 已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（ ） A. 30B.π12C.π6D.π33. 已知α是第二象限角，则点()cos ,tan P αα在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若()1,A y 是角θ终边上一点，且sin θ=，则y =（ ） A. 3-B. 3C. 1-D. 15. 在[]0,2π上，满足sin 2x ≥的x的取值范围是 A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6. 已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期T π=，下列说法正确的是（ ） A. 函数()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上减函数 B. 函数()f x 的图象的对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭C. 函数6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭偶函数D. 函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,2] 7. 函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，为了得到()f x 的图象，只需将()cos3g x x =的图象（ ）A. 向左平移π4个单位长度 B. 向右平移π4个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度D. 向右平移π12个单位长度8. 将函数()sin f x x =的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A. 28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C. 280,,139⎛⎫⎡⎫ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D. ()0,1二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ） A. 对立事件一定是互斥事件 B. 若,A B 是互斥事件，则()()()P AB P A P B =+C. 甲乙两人独立地解同一道题，已知各人能解出该题的概率分别是0.5和0.25，则该题被解出的概率是0.75D. 从1,2,3,4中任取2个不同数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是1310. 已知函数()πtan 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A. ()f x 最小正周期为π2B. ()f x 的定义域为ππ,Z 4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C. 若()1fθ=，则()πZ 2k k θ=∈ D. ()f x 在其定义域上是增函数11. 已知奇函数()f x 的定义域为R ，若对R x ∀∈，有()()()21f x f x f +=+，且当01x <<时，()21f x x =-+，则下列结论中正确的是（ ）A. ()11f -=B. 函数()f x 是周期函数，且周期为2C. 函数π()()sin2xh x f x =+在区间[]4,3-上的零点个数是7个 D. 对*N n ∀∈，123944444n f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数ππ2sin 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为______.13. 将函数()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，则ϕ=_____________．14. 已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 平面直角坐标系中，若角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P - （1）求sinα和tanα的值（2）若()()()()sin tan 2cos 2sin cos f παπαπαααα⎛⎫+++- ⎪⎝⎭=+-，化简并求值 16. 已知函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上值域.17. 某校为了解该校男生的身高情况，随机抽取100名男生，测量他们的身高（单位：厘米），将测量结果按[)[)[)[)[)[]140,145,145,150,150,155.155.160,160,165,165,170分成六组.得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计该校男生身高的中位数；（2）若采用分层抽样的方法从身高在[145,150)和[)160,165内的男生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的身高在[)145,150内的概率.18. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，ππϕ-<<），若()f x 的图象的相邻两对称轴间的距离为π4，且过点π,224⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （1）当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （2）记方程()43f x =在π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值．19. 已知函数()()sin 1f x x ωϕ=+-（0ω>，0πϕ<<）的图象两邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图象先向右平移π6单位，再向上平移1个单位，所得函数()g x 为奇函数. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若对任意π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()2220fx m f x m -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()23h x f x =+的图象在区间[],a b （,R a b ∈且a b <）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间[],a b 上，求b a -的最小值.。
山东省青岛市高一下学期3月月考数学试题(解析版)
高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在矩形，则向量的长度等于（ ）ABCD AB AD AC ++A ．4B ．C ．3D ．2【答案】A【分析】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长2AB AD AC AC ++=AC 度，进而可求模长.【详解】在矩形可得,又因为,故ABCD 2AC = =C AB A A D +，故， 2AB AD AC AC ++==4AB AD AC ++ 故选:A2．（ ） sin 70sin 40sin 50cos110︒︒-︒︒=A ．B ．C D ．1212-【答案】C【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】；sin 50sin(9040)cos 40︒=︒-︒=︒；cos110cos(18070)cos 70︒=︒-︒=-︒原式∴sin 70sin 40cos 40cos 70︒︒+︒︒=()cos 7040cos30=︒-︒=︒=故选：C3．若向量与向量的夹角为，，，则（ ）a b 604b = ()()2372a b a b +⋅-=- a = A ．12 B ．6 C ．4 D ．2【答案】B【分析】将等式展开，将夹角和模代入求解即可.【详解】解：因为()()22236a b a b a a b b +⋅-=-⋅- ，24cos 6061672a a =--⨯=-解得（舍），或，所以.4a =- 6a = 6a =4．设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ） ()cos f x x x =-A ．B ．C ．D ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π6f x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由辅助角公式化简，结合选项代入，由奇偶性的定义即可求解.π()=2sin 6f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】因为，π()cos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以为非奇非偶函数，故A 错误；πππ2sin 336f x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，故B 正确；ππππ2sin 2sin 2cos 3362f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为奇函数，故C 错误；πππ2sin 2sin 666f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为非奇非偶函数，故D 错误；πππ2sin 666f x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选:B5．已知的结果是（ ）0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A B ．CD ．αααα【答案】B【分析】由倍角公式化简即可.【详解】.0,,cos sin 0π4ααα⎛⎫∈∴>> ⎪⎝⎭=sin )ααααα==-=故选：B6．已知，则（ ）π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 2cos 26αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ．23-2379-79【答案】D【分析】利用和差角正弦公式、诱导公式及倍角余弦公式即可求值.【详解】π1πππsin 2cos 22cos 2sin(2)cos[(2)]62626αααααα⎛⎫-++=+=-+ ⎪⎝⎭.2πππ7cos(2)cos(2)12sin ()3369ααα=-=-=--=7．在中，已知，且，则是（ ）ABC ||||AB AC AB AC +=-sin 2sin cos A B C =ABC A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】C【分析】由两边平方得，由化简得，得||||AB AC AB AC +=- AB AC ⊥sin 2sin cos A B C =B C =为等腰直角三角形.ABC 【详解】由得，所以，所以，||||AB AC AB AC +=-()()22AB ACAB AC +=- 0AB AC ⋅= AB AC ⊥ 所以为直角三角形；ABC 由得，sin 2sin cos A B C =()()sin πsin 2sin cos B C B C B C --=+=所以 ，所以， sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C B C sin cos cos sin 0B C B C -=即，因为，所以，所以为等腰三角形； ()sin 0B C -=π<πB C --<0B C -=ABC 综上，为等腰直角三角形. ABC 故选：C8．如图，中，，CD 与BE 交于F ，设，则ABC 2,3AD DB AE EC ==,,AB a AC b AF xa yb ===+ 为（ ）(),xyA ．B ．C ．D ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭33,77⎛⎫ ⎪⎝⎭29,520⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】利用向量共线定理与线性运算，从两个不同的角度表示出，从而得到关于的方程AF,λμ组，解之即可得解.【详解】，2,3AD DB AE EC ==()AF AB BF AB BE AB AE AB λλ∴=+=+=+- ，33(1)44AB AC AB AB AC λλλ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭同理：()AF AC CF AC CD AC AD AC μμ=+=+=+-，22(1)33AC AB AC AB AC μμμ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭因为平面向量基本定理可知向量用不共线的两个向量线性表示是唯一的，AF所以，解得，213314λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，即为. 1132AF AB AC =+ (),x y 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A.二、多选题9．下列关于向量的命题正确的是（ ）A ．向量共线的充要条件是存在实数，使得成立,a b λb a λ=B ．对任意向量，恒成立,a ba b a b -≤- C ．非零向量，满足，，则,,a b c //a b r r //b c//a c D ．在中，为边上一点，且，则 OAB C AB :2:3AC CB =3255OC OA OB =+【答案】CD【分析】根据共线向量基本定理、三角形三边关系可知AB 错误，C 正确；利用平面向量线性运算法则可知D 正确.【详解】对于A ，若，，则共线，但不存在实数，使得，A 错误；0a = 0b ≠r r ,a b λb a λ=对于B ，若不共线，则构成三角形，则，B 错误；,a b,,a b a b - a b a b -<- 对于C ，为非零向量，当时，；当时，， ,,a b c ∴//a b r r()a b R λλ=∈ //b c ()b c R μμ=∈ ，则，C 正确；()a c λμ∴= //a c对于D ，，，:2:3AC CB = 25AC AB ∴=，D 正确.()22325555OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB ∴=+=+=+-=+故选：CD.10．若向量满足 ）,a b ||||2,||a b a b ==+=A ．B ．与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C ．D ．在上的投影向量为(2)a a b ⊥-a b - b12b r 【答案】BC【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂2a b ×=a b 直，求解投影向量即可得结论.【详解】因为，所以||||2==r r a b a b +====则，故A 不正确；2a b ×=又，，所以，即与的夹角为，故B 正确； 21cos ,222a b a b a b ⋅===⨯⋅ 0,πa b ≤≤ π,3a b = a b π3又，所以，故C 正确；2(2)24220a a b a a b ⋅-=-⋅=-⨯=(2)a a b ⊥- 又在上的投影向量为，故Da b -b ()221cos ,2a b b b b a b b a b a b b a bb b b a b bb b-⋅⋅---⋅=-⋅=⋅=--⋅不正确. 故选：BC.11．如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2.5m.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下时，d 为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d 与时间t （单位：s ）之间的关系为，则（ ）()ππsin 0,0,22d A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭A ．B ． 4A =π30ω=C ．D ．cos ϕ=2.5b =【答案】ACD【分析】根据实际含义分别求的值即可，再根据可求得,进而判断各个选项即,,A b ω0,0t d ==sin ϕ可.【详解】振幅A 即为半径，∴；∵筒车按逆时针方向每分钟转2圈，∴； 4A =22ππ6015ω⨯==；∵，d ＝0，∴，()max min 4 2.5 2.54 2.522d d b ++-+===0=t 04sin 2.5ϕ=+∴，∵，∴2.55sin 48ϕ=-=-ππ22ϕ-<<cos ϕ==故选:ACD.12．关于函数，下列结论正确的是（ ）()2ππ22sin 612f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．函数的最大值是()f x 2B ．函数在上单调递增()f x π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 ()f x 2sin 21y x =+π6D ．若方程在区间有两个实根，则 ()0f x m -=π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦)1,3m ∈【答案】BCD【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的()f x ()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭最值可判断A 选项；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项；利用三角函数图象变换可判断C 选项；数型结合可判断D 选项.【详解】()2ππππ22sin 2cos 2161266f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.π1ππ22cos 212sin 216263x x x ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=-+⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦对于A ：函数的最大值是，A 选项错误；()f x 3对于B ：时，，是正弦函数的递增区间，故B 选项正确；π5π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ2,322x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ：函数的图象向右平移个单位得到函数2sin 21y x =+π6的图象，ππ2sin 212sin 2163y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即函数的图象，C 选项正确； ()f x 对于D ：当时，，令，则， ππ122x ≤≤ππ2π2633x -≤-≤π23t x =-π2π63t -≤≤由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：y m =2sin 1y t =+π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，，2π3t=2π2sin113y =+=时，直线与函数在上的图象有两个交点，13m ≤<y m =2sin 1y t =+π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦因此，实数的取值范围是，D 对. m )1,3故选：BCD.三、填空题13．设，是不共线向量，与共线，则实数为__________． 1e 2e 124e e -12ke e + k 【答案】##14-0.25-【分析】根据向量平行列出方程组，求出实数的值.k 【详解】因为，是不共线向量，与共线，1e 2e 124e e -12ke e + 所以存在实数使得，所以， λ()12124e e ke e λ=-+ 41k λλ=⎧⎨-=⎩解得：. 1414k λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故答案为：14-14．已知为锐角，，则__________． α11sin α=α=【答案】50︒【分析】利用三角恒等变换求得，从而得到，由此结合角的范11sin 50=︒sin sin 50α=︒α围即可得解. 【详解】因为2sin(8060)2sin1401sin 802sin 40cos 40︒+︒︒===︒︒︒，sin 40111sin 40cos 40cos 40sin 50sin α︒====︒︒︒︒所以， sin sin 50α=︒又因为为锐角， α所以. 50α=︒故答案为：50︒15．某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第个月从事旅游n 服务工作的人数可以近似用函数来表示(其中.当()f n ()π2π3000cos 400063n f n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1212)n =⋯，，，该旅游区从事旅游服务工作的人数在或以上时，该旅游区进入了一年中的“旅游旺季”，55005500那么该地区一年中进入“旅游旺季”的月份有____个. 【答案】5【分析】令，解出的范围即可得出.π2π3000cos 4000550063n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭n 【详解】令，π2π3000cos 4000550063n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭则，π2π1cos 632n ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭则， ππ2ππ2π2π,Z 3633n k k k -+≤+≤+∈解得，612212,Z k n k k -+≤≤-+∈，，112n ≤≤ 610n ∴≤≤是正整数，共5个.n Q 6,7,8,9,10n ∴=故答案为:5.四、双空题16．在等腰梯形中，已知，，，，点和点分别在线ABCD AB DC 2AB =1BC =60ABC ∠=︒E F 段和上，且，，则______.______.BC CD 23BE BC = 16DF DC = BC CD ⋅= ⋅=AE AF 【答案】##120.52918【分析】利用等腰梯形的几何性质求得的长，根据向量的线性运算结合数量积定义即可求得CD 的值；根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求得的值. BC CD ⋅ AE AF ⋅【详解】如图，等腰梯形中，已知，，，， ABCD AB DC 2AB =1BC =60ABC ∠=︒则，则，120BCD ∠=︒221cos 601CD =-⨯⨯=则， 11||||cos(180)1122BC CD BC CD BCD ⋅=-∠=⨯⨯= 又21,,36BE BC DF DC == 延长交于P ，则,则，,AD BC 60APC ∠=︒60BC AD 〈⋅〉=所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+21()()36AB BC AD DC =+⋅+12216336AB AD AB DC BC AD BC DC =⋅+⋅+⋅+⋅122121cos 6021cos 011cos 6011cos1206336︒︒︒=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ ，111291331818=++-=故答案为：129;218五、解答题17．已知，，与的夹角为．4a = 8b = a b2π3(1)求；a b + (2)当为何值时，？ k ()()2a b ka b +⊥-【答案】(1)(2) 7k =-【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；2a b + a b + （2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果. ()()20a b ka b +⋅-=【详解】（1）， 2πcos ,32cos 163a b a b a b ⋅=⋅<>==-，222216326448a b a a b b ∴+=+⋅+=-+= a b ∴+= （2）由得：()()2a b ka b +⊥-，()()()()2222121616211280a b ka b k a k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---=解得：.7k =-18．如图矩形ABCD ，，，AC 与EF 交于点N ．2DE EC = 2BF FC =(1)若，求的值； CN AB AD λμ=+λμ+(2)设，，试用，表示．AE a = AF b = a bAC 【答案】(1)13λμ+=-(2)3355AC a b =+【分析】（1）利用共线定理转化为，再根据平行四边形性质与，(1)CN t CE tCF =-+ 2DE EC =得出，利用待定系数即可求解； 2BF FC = (1)(1),33t t t CE AB tCF AD --=-=-13λμ+=-（2）根据，，与即可求解.AC AB AD =+ 23AE AB AD =+ 23AF AB AD =+ AC AB AD =+【详解】（1）依题意，()CN CE EN CE tEF CE t CF CE =+=+=+-(1)t CE tCF=-+ (1)33t t AB AD -=--又，所以解得．CN AB AD λμ=+ 1,3,3t t λμ-⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩13λμ+=-（2）因为，，AC AB AD =+ 23AE AB AD =+23AF AB AD =+ 所以，所以．55()33AF AE AB AD AC +=+= 3355AC a b =+19．已知， sin 24sin 3cos 24cos 1αααα-=-+π0.2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(1)求和的值tan αsin2α;(2)若，，求的大小． πsin 2sin 2ββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，αβ+【答案】(1)，； tan 3α=3sin 25α=(2)3π4【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值； tan 3α=22tan sin2tan 1ααα=+（2）条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合sin 2cos tan 2βββ=⇒=()tan αβ+范围即可.αβ+【详解】（1）， ()()2sin cos 2sin 24sin sin cos 4sin tan 3cos 24cos 12cos 4cos 2cos cos 2αααααααααααααα---====-+--２２； 2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===++（2）， πsin 2sin 2cos tan 22ββββ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭， ()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--∵，∴. ()0,παβ+∈3π4αβ+=20．已知.()()1,0,2,1a b == (1)当为何值时，与共线？k ka b - 3a b + (2)若且三点共线，求的值.23,,3AB a b BC a mb CD a b =+=+=- ,,A C D m 【答案】(1) 13-(2)．12-【分析】（1）由平行的坐标运算计算；（2）由向量共线求解．【详解】（1）由已知，，(2,1)ka b k -=-- 3(7,3)a b += 与共线，则，； ka b - 3a b + 3(2)70k -+=13k =-（2）由已知，3(3)AC AB BC a m b =+=++ (92,3)m m =++三点共线，则共线，而不共线，,,A C D ,AC CD ,a b 3(5,3)CD a b =-=-- 所以，解得．3(92)5(3)m m -+=-+12=-m 21．已知函数的部分图象如图所示. ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间；()f x (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函()f x π6数的图像，求的对称轴和对称中心；()y g x =()g x (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. ()2g x m -<ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1)， ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)，；， ππ2x k =+()k ∈Z ()π,0k ()k ∈Z(3)()2【分析】（1）根据图象求得参数，即得函数解析式，结合正弦函数性质求得该函数的单调递,,A ωϕ增区间；（2）根据三角函数的图象的变换规律可得的表达式，即可求得其对称轴和对称中心； ()y g x =（3）求出的范围，将在上恒成立转化为最值问题，即可求得参数范围. ()g x ()2g x m -<ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由图象可知，，且，解得， 2A =1152π2πππ1212T ω⎛⎫=-== ⎪⎝⎭2ω=所以，()()2sin 2f x x ϕ=+因为，所以， 55π2sin π2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5ππ2πZ 62k k ϕ+=+∈则，因为，所以， ()π2πZ 3k k ϕ=-∈π2ϕ<π3ϕ=-所以， ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由得， ()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈π5πππ1212k x k -≤≤+所以函数单调递增区间为. ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）可知，， ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位，， ()f x π6ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则()g x ，对称轴为，，对称中心为，. ()2sin g x x =ππ2x k =+()k ∈Z ()π,0k ()k ∈Z（3）因为， ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦sin 1x ≤≤()2g x ≤≤因为在上恒成立， ()2g x m -<ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以在时恒成立，()()22g x m g x -<<+()2g x ⎤∈⎦所以，222m -<+所以实数的取值范围为.m ()2+22．如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点是扇MON 2π240,,3ON MON MON ∠∠==P A 形弧上的一点（不包含端点），过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平PM A OP B ,A B OP 行线，交于点.,OM ON ,D C(1)若，求； π3AOB ∠=AD (2)求四边形的面积的最大值.ABCD【答案】(1)(2)【分析】（1）记与的交点分别为，，求得,AB DC OP ,E F 6πAOP BOP ∠=∠=，进而得cos sin 120OE OA AOP AE OA AOP ∠∠====n πtan ta 33πDF AE OF ===可得结果；AD EF OE OF ==-（2）设，仿照（1）的思路，求得，，AOP x ∠=240cos ,240sin OE x AE x ==2480sin AB AE x ==，从而得的表达式，利用三角恒等变换化简，利用三角函数240cos AD x x =-=⋅S AB AD 的性质求得最大值.【详解】（1）连接，记与的交点分别为，， ,OA OB ,AB DC OP ,E F 6πAOP BOP ∠=∠=故，cos sin 120OE OA AOP AE OA AOP ∠∠====n πtan ta 33πDF AE OF ===AD EF OE OF ==-==（2）连接，记与的交点分别为，,OA OB ,AB DC OP ,E F 设， ,0,π3AOP x x ∠⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭则，，cos 240cos ,sin 240sin OE OA AOP x AE OA AOP x =∠==∠=2480sin AB AE x ==， tan t π33πan DF AE OF x ===，240cos AD EF OE OF x x ==-=-所以四边形的面积 ABCD ()480sin 240cos S AB AD x x x =⋅=-)211cos sin 2cos 222x x x x x ⎫=-=+-⎪⎪⎭1sin 262πx ⎤⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎦因为，， π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭526πππ,66x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以当，即时，π22π=6x +π6x =max S =。
高一数学3月月考试题1 2
卜人入州八九几市潮王学校HYHY第二高级二零二零—二零二壹高一数学3月月考试题一选择题〔此题一共12小题，每一小题5分〕1．右面的三视图所示的几何体是()．A．六棱台B．六棱锥C．六棱柱D．六边形2．两个球的外表积之比为1∶9，那么这两个球的半径之比为()．A．1∶3 B．1∶3C．1∶9 D．1∶813．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，那么该几何体的俯视图为()．4．A，B为球面上相异两点，那么通过A，B两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有()．A．一个B．无穷多个C．零个D．一个或者无穷多个5．右图是一个几何体的三视图，那么此几何体的直观图是()．6．垂直于同一条直线的两条直线一定()．A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能7.设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是〔〕A.π6B.π34C.π38D.π3328．以下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块一共有()．A．6块B．5块C．3块D．4块9．m，n为异面直线，m⊂平面ᾳ，n⊂平面，ᾳ∩＝l，那么()．A．l与m，n都相交B．l与m，n中至少一条相交C．l与m，n都不相交D．l只与m，n中一条相交10、某四面体三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中最大的是A.8B.2C.10D.8211、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，那么此棱锥的体积为〔〕A、23；B223C2；D42312.点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，假设AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，那么四边形EFGH是〔〕．A．菱形B．梯形C．正方形D．空间四边形二、填空〔此题一共4小题，每一小题5分〕13、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别是1，2，3，那么此球的外表积为___________14．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，那么这个棱柱的侧面积是__________15．以下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB，CD所成角的大小为．16．正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，那么EF的长是．三、解答题17．圆柱内有一个四棱柱，四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形．圆柱外表积为6，且底面圆直径与母线长相等，求四棱柱的体积． 18.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,3AC =,4BC =,5AB =,点D 是AB 的中点. (1)求证:1AC BC ⊥; (2)求证:1AC ∥平面1CDB19．以下图是一个几何体的三视图(单位：cm)求这个几何体的外表积及体积.20．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的外表积及体积．21．如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，E 是PC 的中点．求证：PA ∥平面BDE ；22．如图，三棱锥S-ABC,SA=SB=SC,SG 为△SAB 上的高，D 、E 、F 为AC 、BC 、SC 的中点。
广东省深圳市高一下学期3月月考数学试题(解析版)
广东省深圳市高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知向量，且，则x ＝（ ）. ()()1,2,,4a b x =-= a b ⊥A ．8B ．2C ．4D ．12【答案】A【分析】由向量垂直得到方程，求出的值. x 【详解】由题意得：，解得：. 1240x -⨯+⨯=8x =故选：A2．在中,已知,,则角的度数为（ ）ABC a =b =45B = A A ． B ．C ．或D ．60 120 60 12030 【答案】C【分析】根据正弦定理求得,进而求得角即可.sin A =A 【详解】由题知, a =b =45B =在中,由正弦定理可得:ABC2sin sin a b A B ====解得因为, sin A =a b =>=45180A << 所以或. 60A = 120 故选:C3．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）ABCD M AB AC DM O OM =A ．B ．1163OM AB AD =-1233OM AB AD =-C ．D ．1122OM AB AD =- 1143OM AB AD =- 【答案】A【分析】设，则，再根据三点共线可求AO xAC =()2AO xAC x AB AD xAM xAD ==+=+ ,,O D M 得，再根据平面向量的线性运算结合图形即可得出答案.x 【详解】解：设，AO xAC =则，()2AO xAC x AB AD xAM xAD ==+=+ 因为三点共线，,,O D M 所以，解得，21x x +=13x =则1133AO xAC AB AD ==+ 所以.1111133263OM OA AM AB AD AB AB AD =+=--+=-故选：A.4．函数（，）的部分图象如图所示，图象与轴交于()()sin f x A x =+ωϕ0ω>2πϕ<()f x y M点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列说法中正确的是x C N ()f x M N C （ ）A ．函数的最小正周期是 ()f x 2πB ．函数的图象关于点对称 ()f x 5,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数在单调递减 ()f x 2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数()f x 6π()g x ()g x 【答案】B【分析】对A ，可求得函数的周期为；对C ，可求得在递减，在π()f x 25,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭递增，根据图象求出；对D ，，是奇函数；利用排除法，即可()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 2g x A x =得到答案；【详解】点、关于点对称，则，，所以A 错误；M N C ,03C π⎛⎫ ⎪⎝⎭236T πππ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭由，可得，代入，可得， 22T πω==()()sin 2f x A x ϕ=+,12A π⎛⎫ ⎪⎝⎭16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解得，，，则，即，23k πϕπ=+k ∈Z 2πϕ<3πϕ=()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为， 55sin 0633f A πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的图象关于点对称，对称，故B 正确；()f x 5,06π⎛⎫⎪⎝⎭712x π=由图象可得在，递减，在，递增，则()f x 7,312k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭k ∈Z 75,126k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭k ∈Z ()f x 在递减，在递增，所以C 错误； 25,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭函数的图象向右平移后，可得，是奇函数，D 错误.()f x 6π()sin 2g x A x =故选：.B 5．已知向量，，且，则（ ） (2,cos )a α=- (1,sin )b α= //a b2sin 22cos 3αα=+A ． B ． C ．D ．423-417-417423【答案】A【分析】由平行向量的坐标表示求出，再将所求表达式化为，代1tan 2α=-22sin 22tan 2cos 353tan αααα=++入即可得出答案.【详解】因为向量，，且， (2,cos )a α=- (1,sin )b α= //a b所以，则，2sin cos 0αα--=1tan 2α=-而. 222212sin 22sin cos 2tan 4232cos 35cos 3sin 53tan 2354αααααααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭====-++++故选：A.6．已知O 是的外心,且满足,若在上的投影向量为,则ABC 2AO AB AC =+ BA BC 910BC（ ）cos AOC ∠=A ．BC ．D 3545【答案】C【分析】根据得到点位置,进而得到是以A 为直角顶点的直角三角形,过2AO AB AC =+O ABC A向作垂线,垂足为,连接,根据在上的投影向量为,找出之间等量关系,BC N AN BA BC 910BC BN BC ，进而得到之间关系,根据直角三角形得到,在直角三角形中,即可求得,B ON C1||||2OA BC = AON.cos AOC ∠【详解】解:由题知,,2AO AB AC =+所以, 2AO AO AO O OC B =+++ 即,所以三点共线,且是的中点,OB OC =-,,B O C O BC 因为O 是的外心,所以是圆的直径, ABC BC 故是以A 为直角顶点的直角三角形, ABC 过向作垂线,垂足为,连接,如图所示:A BC NAN因为在上的投影向量为, BA BC910BN BC = 所以在上的投影向量为:OA BC,9121025BN BO BC BC B ON C =-=-= 而,1||||2OA BC = 则. 245cos 152BC AOC BCON OA ∠=== 故选:C.7．设M 为内一点，且，则与的面积之比为（ ）ABC 1145AM AB AC =+ABM ABC A ． B ． C ． D ．15144959【答案】A【分析】做出图形，则两三角形的面积比等于两三角形高的比，转化为． AE AC【详解】如图所示，∵点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足，1145AM AB AC =+以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADME ，延长EM 交BC 与F ，， 15AE AC =则，则所求两三角形的面积比等于这两三角形高的比， //EF AB 所以． 15ABM ABC S AE S AC == 故选：A8．在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，，ABC ()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=，，则线段CD 长度的最小值为（ ） 24b a +=32CA CD CB =-A ．2BC ．3D 【答案】D【分析】本题通过正弦定理得到，再通过余弦定理得到，对向量式整理得222a b c ab +-=3C π=，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不1233CD CA CB =+ 222142999CD b a ab =++ 等式即可求解.【详解】解：由及正弦定理， ()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=得，即，2()()a c a c b ab +-+=222a b c ab +-=由余弦定理得，，∵，∴．2221cos 22a b c C ab +-==()0,C π∈3C π=由，，32CA CD CB =- 1233CD CA CB =+ 两边平方，得22144999CD CA CA CB CB =+⋅+ 即222144cos 999CD b a ab C =++22142999b a ab =++()212299b a ab -=+，()221122992b a b a +⎛+-⎫≥ ⎪⎝⎭()21212b a =+当且仅当，即时取等号，即，224b a b a =⎧⎨+=⎩12a b =⎧⎨=⎩2214(2)123CD b a ≥+=∴线段CD 故选：D ．二、多选题9．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.若有唯一解，则ABC A B C a b c 2b =3A π=ABC的值可以是（ ）aA．1 B C D 【答案】BD【分析】根据正弦定理三角形有唯一解，得到或，即可求出参数的取值范围，从sin a b A =a b ≥a 而得解；【详解】解：因为，，因为有唯一解，所以或，即2b =3A π=ABC sin a b A ==2a b ≥=，[)2,a ∈+∞ 故选：BD10．函数的最小正周期为，，下列说法正确的是（ ）()()()sin 0f x x ωϕω=+>π()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭A ．的一个零点为B ．是偶函数()f x 8π-8f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．在区间上单调递增D ．的一条对称轴为 ()f x 37,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 38x π=-【答案】ABD【解析】利用周期公式可求，由恒成立，结合的范围，可求，求得函数的2ω=()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ϕϕ解析式，比较各个选项即可得答案.【详解】由函数的最小正周期为， ()()()sin 0f x x ωϕω=+>π得，得，2ππω=2ω=又，()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()max 8f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭即，()2282k k Z ππϕπ⨯+=+∈得，()24k k Z πϕπ=+∈故，()sin 22sin 244f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，sin 20884f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项A 正确；又，sin 2sin 228842f x x x cos x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项B 正确；当，()37,,2,2884x x πππππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭所以在区间不单调；()f x 37,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭故选项C 不正确；由， 33sin 2sin 18842f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项D 正确； 故选：ABD.11．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中，，动点P 在上（含端点），连结2π3COD ∠=33OC OA == CD OP 交扇形OAB 的弧于点Q ，且，则下列说法正确的是（ ） AB OQ xOC yOD =+A ．若，则B ．若，则 y x =23x y +=2y x =0OA OP ⋅=C ．D ．2AB PQ ⋅≥-112PA PB ⋅≥ 【答案】ABD【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设，可得()2πcos ,sin ,0,3Q θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由，结合题中条件可判断A ，B ，表示出相关向量的坐标，利(3cos ,3sin )P θθOQ xOC yOD =+用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C ，D.【详解】如图，作,分别以为x ，y 轴建立平面直角坐标系，OE OC ⊥,OC OE则，13(1,0),(3,0),((22A C B D --设，则，()2πcos ,sin ,0,3Q θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3cos ,3sin )P θθ由可得 ，且，OQ xOC yOD =+3cos 3,sin 2x y y θθ=-=0,0x y >>若，则， y x=22223cos sin (3))12x x x θθ+=-+=解得，（负值舍去），故，A 正确；13x y ==23x y +=若，则，，所以，2y x =3cos 302x y θ=-=sin 1θ=(0,3)OP = 所以，故B 正确；(1,0)(0,3)0OA OP ⋅=⋅=3((2cos ,2sin )3cos 2AB PQ θθθθ⋅=-⋅--=+，由于，故，π3θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πππ,333θ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦故，故C 错误；π333θ⎛⎫-≤--≤⎪⎝⎭由于，1(13cos ,3sin ),(3cos 3sin )2PA PB θθθθ=--=--故1(13cos ,3sin )(3cos 3sin )2PA PB θθθθ⋅=--⋅-- ，而，所以，17π3sin 26θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ππ5π,666θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π1sin ,162θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以，故D 正确， 17π17113sin 32622PA PB θ⎛⎫⋅=-+≥-= ⎪⎝⎭ 故选：ABD12．已知非零向量，的夹角为，现定义一种新运算：．若，a bθsin a b a b θ⊗= 11(,)a x y = ，，则（ ）22(,)b x y =33(,)c x y = A ．在上的投影向量的模为B ．， a ba b a⊗ 0,2πθ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦a b a b ⊗=⋅C ．D ．1221a b x y x y ⊗=-()a b c a b a c ⊗-=⊗-⊗ 【答案】BC【分析】利用向量的运算的新定义及向量数量积的概念，逐项分析即得.【详解】因为，，sin a b a b θ⊗=cos a b a b θ⋅= 对于A ，在上的投影向量的模为，，又，故A 错误； a bcos a θ sin a b b a θ⊗=cos sin a b θθ≠ 对于B ，当时，，故B 正确；4πθ=a b a b ⊗=⋅对于C ，因为，2222)+()(a a b a b b ⋅⊗= 所以2()a b ⊗ 222()a b a b =-⋅ 2222211221212()()()x y x y x x y y =++-+22212212122x y x y x x y y =+-21221()x y x y =-，所以，故C 正确；1221a b x y x y ⊗=-对于D ，因为的值为非负数，()sin ,a b c a b c a b c ⊗-=--的值可能为负数，故D 错误．sin ,sin ,a b a c a b a b a c a c ⊗-⊗=-故选：BC.三、填空题13，，向量，的夹角为，则______．1b = a b 34πa b += 【答案】1【分析】利用数量积的定义及运算律即可得解.【详解】，，向量，的夹角为，1b = a b 34π所以．1a b +== 故答案为：．114．在中，内角、、所对的边分别是、、，若，，则ABC A B C a b c ()223c a b =+-23C π=的面积为___________.ABC【分析】利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.ab【详解】因为，所以，()223c a b =+-222230a b ab c ++--=由余弦定理可得，所以， 22222cos 2cos3a b c ab C ab ab π+-===-230ab ab --=故，所以的面积3ab =ABC 11sin 322S ab C ==⨯=15．若，则_________.4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】##725-0.28-【分析】依题意利用诱导公式及二倍角公式计算可得；sin 2sin 2662πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】解：因为，所以4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2sin 2662πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.2247cos 22cos 12166525ππαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-⨯-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦故答案为：. 725-16．若方程在上的两个不等实根为，，则21sin cos 5x x x =()0,π1x 2x ()12cos x x -=______．【答案】##0.215【分析】利用二倍角公式及正弦函数的两角差公式化简原方程，利用正弦函数的对称性得到的12,x x 关系式即可求解.【详解】解：，当211cos211sin cos sin2sin2sin 222235x x x x x x x x π+⎛⎫+===-= ⎪⎝⎭时，．由题意可得，根据正弦函数的对()0,x π∈52333x πππ-<-<121sin 2sin 2335x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭称性得，即，则，所以12223322x x πππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1256x x π+=2156x x π=-．()1211111551cos cos cos 2cos 2sin 2663235x x x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：.15四、解答题17．已知，为锐角，，. αβ1cos 7α=()11cos 14αβ+=-(1)求的值； ()πcos cos π23πsin 2ααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)求的值.cos β【答案】(2)12【分析】（1）根据同角三角函数关系求得 sin α=（2）利用余弦的两角差公式计算即可.【详解】（1）因为为锐角， α所以，sin 0α>sin α==()()πcos cos πsin cos 2sin 3πcos sin 2ααααααα⎛⎫+- ⎪-⋅-⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）因为，为锐角，所以，，αβ0παβ<+<()sin0αβ+>所以， ()sin αβ+===所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++. 11111472=-⨯=18．已知函数. 2π()sin sin()2f x x x x =+(1)求的值； π()12f (2)当时，求函数的最大值和最小值，并写出取最大值､最小值时对应自变量的取值. π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x x 【答案】(1)12(2)时最小值为0，时最大值为0x =π3x =32【分析】（1）应用二倍角正余弦公式及差角正弦公式化简函数式，再代入求值即可；（2）由题设有，结合正弦函数性质求最值并确定对应的取值. ππ5π2666x -≤-≤x【详解】（1）， 21cos 2π1()sin cos 2sin 2226x f x x x x x x -⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭所以. πππ11(sin(21212622f =⨯-+=（2）当时，， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2666x -≤-≤当时，即时，函数取得最小值0， ππ266x -=-0x =()f x 当时，即时，函数取得最大值. ππ262x -=π3x =()f x 32所以函数的最大值，最小值0. 3219．在中，角所对的边分别为．ABC ,,A B C ,,a b c )2222sin a c b bc A +-=(1)求角的大小；B (2)设分别为的中点，与交于点，若，求的值．,M N ,BC AC AM BN P =2a c sin MPN ∠【答案】(1)3π【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理边化角，可将已知等式整理化简为tan B =B ；（2）利用余弦定理可求得，由此可得，根据直角三角形性质和勾股定理可用表示b =2A π=c 出，根据平行线分线段成比例可求得；在中，利用余弦定理可求得,AM BN ,NP MP MPN △，利用同角三角函数平方关系可求得结果.cos MPN ∠【详解】（1， )2222sin a c b bc A +-=222sin 2a c b b B A ac a +-==，cos sin B b A =cos sin sin A B B A =，，，即()0,A π∈ sin 0A ∴≠sin B B =tan B =又，.()0,B π∈3B π∴=（2）连接， MN在中，由余弦定理得：，ABC 22222222cos 423b a c ac B c c c c =+-=+-=，，则；b ∴=222bc a ∴+=2A π=分别为中点， ,M N,BC AC ，，且，12AM BC c ∴==BN ==//MN AB 1122MN AB c ==，，， 12NP MP BP AP ∴==13NP BN ∴==1133MP AM c ==在中，MPN △222cos 2NP MP MN MPN NP MP +-∠===⋅又，. ()0,MPN π∠∈sin MPN ∴∠=20．已知中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，，且. ABC sinsin 2A C a b A +=1a =(1)求角B ；(2)若，在的边AB ，AC 上分别取D ，E 两点，使沿线段DE 折叠到平面BCE AC BC =ABC ADE V后，顶点A 正好落在边BC （设为点P ）上，求AD 的最小值.【答案】(1)π3(2)3【分析】（1）由正弦定理边角互化得，又，可得sin sin sin sin 2A C AB A +=πAC B +=-，结合二倍角公式可求得结果； cos sin 2B B =（2）由题意可知为等边三角形，设，则，由余弦定理得ABC AD m =1,BD m PD m =-=，设，所以，利用基本不等式可求得2(12)(1)BP m BP m +-=⋅-,01BP x x =≤≤3232m x x =-+--答案.【详解】（1）因为，所以由正弦定理边角互化得， sin sin 2A C a b A +=sin sin sin sin 2A C AB A +=因为，所以，即，所以(0,π),sin 0,πA A AC B ∈≠+=-πsin sin 22B B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2B B =， cos 2sin cos 222B B B =因为，所以，所以， (0,π)B ∈0,,cos 0π222B B ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭1sin 22B =所以，即. π26B =π3B =（2）因为，所以为等边三角形，即， π,3AC BC B ==ABC 1AC BC AB ===设，则，AD m =1,BD m PD m =-=所以在中，由余弦定理得，整理得BPD △222222(1)1cos 22(1)2BP BD PD BP m m B BP BD BP m +-+--===⋅⋅-， 2(12)(1)BP m BP m +-=⋅-设，所以， ,01BP x x =≤≤221(2)3(2)3323222x x x x m x x x x-+---+===-+----由于，故，01x ≤≤122x ≤-≤所以，当且仅当 32332m x x=-+-≥--322x x -=-2x =所以AD 的最小值为．321．某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标24T =号分别为（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为1~12分钟．t(1)当时，求1号座舱与地面的距离；6t =(2)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为米，若在这段时间内，恰有三次取得H 00t t ≤≤H 最大值，求的取值范围．0t 【答案】(1)62m (2)[)32,44【分析】（1）根据题意得到函数解析式为，代入数据计算得到答案. ()()30sin 3201π2h t t t =+≥（2），，得到，解得，130sin 32π12t h +=()52π30sin 8312h t =++π6π12H t ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-812t k =+，，得到答案.N k ∈081228123t +⨯≤<+⨯【详解】（1）设座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为h t ，，，，则，，()()sin h t A t b ωϕ=++(0A >0ω>0)t ≥30A =32b =，依题意，， ()()()30sin 320h t t ωϕω=++>24T =2π12πT ω==当时，，，0=t ()30sin 3232h t ϕ=+=sin 0ϕ=取，， 0ϕ=()()30sin 3201π2h t t t =+≥，当时，1号舱与地面的距离为； ()630sin 63262π12h ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=⨯=6t =62m （2）依题意，， 130sin 32π12t h +=()52π30sin 8312h t =++ ()2π30sin 3230sin 83230sin si 2πn 1211213πππ2H t t t t ⎛⎫⎛⎫=+-++=-+ ⎪ ⎪⎦⎝⎡⎢⎣⎭⎤⎥⎝⎭， 6ππ330sin 21211π22πt t t ⎛⎫ ⎪-⎝=⎭=令，，解得，， π126πππ2t k -=+Z k ∈812t k =+N k ∈当，时，取得最大值，故，812t k =+N k ∈H 081228123t +⨯≤<+⨯即，即的取值范围是．03244t ≤<0t [)32,4422．已知，，.函数的()sin ,cos a x x ωω=r ()cos b x x ωω= ()()0f x a b ω⎛⎫=⋅> ⎪ ⎪⎝⎭ ()y f x =最小正周期为π（1）求函数在内的单调递增区间；()f x []0,π（2）若关于的不等式在内恒成立，求实数的x sin 644f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫->+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0,2π⎡⎤⎢⎣⎦m 取值范围.【答案】（1）、；（2）. 0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(),1∞-【分析】（1）本题首先可根据、得出()sin ,cos a x x ωω=r ()cos b x x ωω= ，然后通过转化得出，再然后根()2sin cos f x x x x x ωωωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭据最小正周期为得出，最后通过正弦函数单调性即可得出结果；π1ω=（2）本题首先可将转化为，然后设sin 644f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫->+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin cos 1sin cos x x m x x >-+，则，，最后设，通过求出即可得出sin cos t x x =+t ⎡∈⎣2sin cos 1sin cos x x t x x t=-+()1h t t t=-()min ht 结果.【详解】（1）因为，， ()sin ,cos a x x ωω=r ()cos b x x ωω= 所以，cos b x x x ωωω⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭则 ()2sin cosf x a bx x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2212sin cos sin 22sin 23x x x x x x x πωωωωωωω==⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为最小正周期为，所以，，. π22T ππω==1ω=()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，解得， 222232k x k πππππ-+≤+≤+()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈则函数在内的单调递增区间为、. ()f x []0,π0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）， sin 644f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫->+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即， sin 2sin 6344x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+>+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦整理得，， ()()sin 21sin cos x m x x >-+2sin cos 1sin cos x x m x x >-+即在内恒成立， 2sin cos 1sin cos x x m x x >-+0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦令，则，， sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭t ⎡∈⎣22sin cos 11sin cos x x t t x x t t-==-+设，易知当时函数单调递增， ()1h t t t=-t ⎡∈⎣()h t 故，，，的取值范围为.()()min 10h t h ==10m -<1m <m (),1∞-【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则、三角恒等变换、正弦函数的性质、同角三角函数关系以及利用函数最值求参数的取值范围，能否通过三角恒等变换得出是解决()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭本题的关键，考查化归与转化思想，是难题.。
高一数学下学期3月月考试题_1 2
三中2021-2021学年高一数学下学期3月月考试题分值：150分 时间是：120分钟考前须知：请将I 卷〔选择题〕答案涂在答题卡上，第II 卷〔非选择题〕答案用黑色钢笔〔作图除外〕做在答题卡上，不得出框。
I 卷〔选择题 一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〕 1、以下角中终边与330°一样的角是〔 〕A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630° 2、将120o化为弧度为〔 〕A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π3、在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403π B.203π C.2003 D ．4003π 4、角α的终边过点P (－3,4)，那么sin α＋cos α＝( )A.35 B ．－45 C.15 D ．－15 5、点P (tan α，cos α)在第三象限，那么角α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6、α是第四象限角，tan α＝－512，那么sin α＝( )A.15 B ．－15 C.513 D ．－513 7、点P(sin，cos)落在角θ终边上，且θ∈［0，2π),那么θ值为( ) A.B.C.D.8、31)sin(=-απ，那么)2cos(απ+的值是〔 〕 A ．31B ．31-C ．322 D ．322-9、假设,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值是 〔 〕A ．－1B ．1C ．0D ．2310、函数x x y tan sin +=的奇偶性是〔 〕A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数 11、要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴( )A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移8π个单位 D.向左平移8π个单位12、函数>><+=ωϕω,0)sin()(A x A x f )2||,0πϕ<在一个周期内的图象如下图．假设方程m x f =)(在区间],0[π上有两个不同的实数解21,x x ，那么21x x +的值是〔 〕A ．3πB ．π32C ．π34 D ．3π或者π34II 卷〔非选择题 一共60分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填在题中的横线上 〕 13、 =︒300tan _________．14、假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝33，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－θ＝________.15、sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，那么实数a 的值是______． 16、关于函数f (x )＝4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π ＋ 2x ，x ∈R ，有以下命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x ；②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－6π，0)对称； ④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－6π对称． 其中正确的选项是______________．三、解答题〔本大题一一共6道题。
高一数学下学期3月月考试题含解析 2
智才艺州攀枝花市创界学校二零二零—二零二壹高一数学下学期3月月考试题〔含解析〕一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕{|19},A x x =∈≤≤N {|05},B x x =<<那么A ∩B =〔〕A.{2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{|15}x x ≤≤D.{|15}x x ≤<【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由{}{|19}1,2,3,4,5,6,7,8,9A x x =∈≤≤=N ，{|05}B x x =<<，所以{1,2,3,4}A B ⋂=，应选：B【点睛】此题考察了集合的根本运算，需熟记N 表示为自然数集，属于根底题.10y +-=的倾斜角为〔〕A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】 【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk 求解倾斜角.10y +-=的斜率=ktan [0,180)o o k θθ∴==∈，∴120θ︒=.应选：C【点睛】此题考察了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考察了学生转化，运算的才能，属于根底题.(),1A m -和()2,B m 的直线与直线10x y --=平行，那么m 的值是〔〕A.12B.12-C.1D.1-【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线间的斜率关系直接列式计算即可求出m 的值. 【详解】因为直线10x y --=的斜率为1，且与过点A 和点B 的直线平行，所以112AB m k m+==-，解得12m =. 应选：A.【点睛】此题考察了由直线平行求参数的问题，当利用斜率相等解决直线平行的问题时，一定要保证直线斜率存在，属于容易题.α的终边上有一点()3,1-，那么2tan α=〔〕A.2-B.3-C.13-D.34-【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求出三角函数的正切值，再利用二倍角公式，可求出结果． 【详解】角α的终边上有一点()3,1-，所以1tan 3α=-，那么22321tan 4tan tan ααα==--． 应选：D ．【点睛】此题考察正切函数值的求法，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算才能和转换才能，属于根底题型．5.ABC 中，1a =，b =30A =︒，那么B 等于〔〕A.30B.30或者150︒C.60︒D.60︒或者120︒【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和正弦定理求出sin B 的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B ． 【详解】由题意得，△ABC 中，a ＝1，b=A ＝30°，由a b sinA sinB=得，sinB 121b sinA a ⋅=== 又b ＞a ，0°＜B ＜180°， 那么B ＝60°或者B ＝120°， 应选：D ．【点睛】此题考察正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于根底题．()()221f x x a x =+-+为偶函数，()232x bg x x -+=+为奇函数，那么+a b 的值是〔〕 A.2 B.3C.4D.5【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性分别求出字母的值，即可得到结果. 【详解】∵函数()()221f x x a x =+-+为偶函数，∴2a =，∵()232x bgx x -+=+为奇函数，且定义域为R ， ∴()30002bg -+==+，3b =，∴5a b +=， 应选：D【点睛】此题考察奇偶性的定义，旨在考察学生对概念的掌握程度.ABC ∆中，三条边分别为,,a b c ，假设4,5,6a b c ===，那么三角形的形状〔〕A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理可求得cos 0C>，可知C 为锐角；根据三角形大边对大角的特点可知C 为三角形最大的内角，从而得到三角形为锐角三角形.【详解】由余弦定理可得：2221625361cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯()0,C π∈且cos 0C >0,2C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又a b c <<，那么A B C <<,,A B C ∴均为锐角，即ABC ∆为锐角三角形此题正确选项：A【点睛】此题考察解三角形中三角形形状的判断，关键是可以利用余弦定理首先确定最大角所处的范围，涉及到三角形大边对大角的性质的应用.cos 22sin 4απα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么cos sin a α+的值是〔〕A.B.12-C.12D.2【答案】C 【解析】 【分析】用二倍角公式和两角差的正弦将cos 22sin 4απα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭2222=-再求解.【详解】因为22cos 22sin 4απα==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1cos sin 2α+=a ， 应选：C【点睛】此题主要考察了二倍角公式和两角和与差的正弦，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题.l 的方程为sin 10x α+-=，α∈R ，那么直线l 的倾斜角范围〔〕A.20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B.50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C.50,,66πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭D.20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由直线l 的方程为sin 10x α-=，所以y x = 即直线的斜率k =，由1sin 1α-≤≤.所以k ≤≤，又直线的倾斜角的取值范围为0,，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 应选：B【点睛】此题考察了直线的斜率与倾斜角之间的关系，同时考察了正弦函数的值域以及正切函数的性质，属于根底题.10.某转弯路段为四分之一圆环，圆环道路外侧均匀种了10棵树〔如图〕，小李在半径OA 的延长线上一点C 处观察到第四棵树〔P 点〕，第七棵树〔Q 点〕与点C 在同一条直线上，并测得100AC =米，那么此弧形道路的大圆半径OA 长为〔〕A.B.1)mC.200mD.m【答案】B 【解析】 【分析】由四分之一圆环及圆环道路外侧均匀种了10棵树可得190303AOP POQ ∠=∠=⨯︒=︒,那么75OPQ OQP ∠=∠=︒,那么可得45C ∠=︒,再利用正弦定理求解即可.【详解】由题,连接,OP OQ,那么190303AOP POQ ∠=∠=⨯︒=︒,所以75OPQ OQP ∠=∠=︒,那么45C ∠=︒,所以在OCQ △中sin sin OQ OCC OQP=∠∠,即100sin 45sin 75r r +=︒︒,因为()sin 75sin3045sin 30cos 45cos30sin 452︒=︒+︒=︒︒+︒︒=,所以)1001r =,应选:B【点睛】此题考察利用正弦定理解三角形,考察利用正弦的和角公式求值.ABC 中，()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，假设a =22b c +的取值范围是〔〕A.(3,6]B.[3,6]C.(5,6]D.[5,6]【答案】C 【解析】 【分析】先利用正弦定理化角为边可得222b c a bc+-=,那么利用余弦定理可得3A π=,再由正弦定理可得22b c +42sin 26B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,根据B 的范围即可求解.【详解】由题,由正弦定理可得()()()a b a b c b c -+=-,整理可得222b c a bc +-=,所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===,即3A π=,又2sin sin sin a b cA B C===, 所以()()22222sin 2sin bc B C +=+42sin 26B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,因为锐角三角形,所以2A B π+>,所以26B ππ≥>, 那么52,666B πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦,所以1sin 2,162B π⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦, 所以(]225,6bc +∈,应选:C【点睛】此题考察利用正弦定理化角为边,考察由角的范围确定边的范围问题,考察利用余弦定理解三角形. 12.()()()23f x m x m x m =-++，()42x g x =-，假设对任意x ∈R ,()0f x <或者()0g x <，那么m 的取值范围是〔〕A.7,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.7,02⎛⎫-⎪⎝⎭D.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数g 〔x 〕的取值范围，然后根据()0f x <或者()0g x <成立求得m 的取值范围.【详解】∵g 〔x 〕＝4x ﹣2，当x<12时,() 0g x <恒成立， 当x ≥12时，g 〔x 〕≥0， 又∵∀x ∈R ，f 〔x 〕＜0或者g 〔x 〕＜0， ∴f 〔x 〕＝m 〔x ﹣2m 〕〔x +m +3〕＜0在x ≥12时恒成立， 即m 〔x ﹣2m 〕〔x +m +3〕＜0在x ≥12时恒成立，那么二次函数y ＝m 〔x ﹣2m 〕〔x +m +3〕图象开口只能向下，且与x 轴交点都在〔12，0〕的左侧， ∴0132122m m m ＜＜＜⎧⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩，即07214m m m ⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩＜＞＜，解得72-＜m ＜0， ∴实数m 的取值范围是：〔72-，0〕． 应选C ．【点睛】此题主要考察指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定f 〔x 〕＝m 〔x ﹣2m 〕〔x +m +3〕＜0在x ≥12时恒成立是解决此题的关键，综合性较强，难度较大． 二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕a 、b 的夹角为60，1a =，2b =，假设(2)()a b xa b +⊥-，那么实数x 的值是___________.【答案】3 【解析】【详解】由题意可得：12cos601a b ⋅=⨯⨯=，且221,4a b ==，那么：()()()222212a b xa b xa x a b b+⋅-=+-⋅-，据此有：(21)80x x +--=，解得：3x =.(3,4)-且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________.【答案】430x y +=或者70x y --= 【解析】 【分析】当截距不为0时可设直线方程为1x y a a+=-,当截距为0时可设直线方程为y kx =,再将点(3,4)-代入,进而求解即可.【详解】由题,假设截距不为0,设直线方程为1x y a a+=-, 因为点(3,4)-在直线上,所以341a a-+=-,所以7a =, 所以直线方程为177x y +=-,即70x y --=. 假设截距为0,设直线方程为y kx =, 因为点(3,4)-在直线上,所以43k -=,所以43k -=, 所以直线方程为43y x =-,即430x y +=.故答案为:70x y --=或者430x y +=【点睛】此题考察直线的截距式方程,考察分类讨论思想.ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上一点，5AD =，7AC =，3DC =，那么AB 的长为______.【答案】2【解析】 【分析】先由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠=⋅，求得120ADC ∠=，再由正弦定理得sin sin AB ADADB ABD=∠∠，解出得AB【详解】由余弦定理得：2222225371cos 22532AD CD AC ADC AD CD +-+-∠===-⋅⨯⨯，12060ADC ADB ∠=∠=，，由正弦定理得：sin sin AB ADADB ABD=∠∠，sin 5sin 605sin sin 452AD ADB AB ABD ∠∴===∠，故答案为：2【点睛】此题主要考察了正余弦定理的应用，在解三角形时要灵敏运用这两个定理，同时考察了学生分析问题和解决问题的才能，以及运算求解的才能.16.ABC ∆的1,且满足431tan tan A B+=，那么边AC 的最小值为_______.【答案】【解析】 【分析】将正切化成正余弦，化简得出b ，c 和sinA 之间的关系，结合面积公式即可得出b 2关于A 的函数式，再根据A 的范围计算b 的最小值，即可得AC 的最小值． 【详解】∵431tan tan A B +=，∴cos cos 431sin sin A BA B+=，∴4cosAsinB+3cosBsinA＝sinAsinB ， ∴3cosAsinB+3cosBsinA＝sinAsinB ﹣cosAsinB ，即3sin 〔A+B 〕＝sinB 〔sinA ﹣cosA 〕，即3sinC ＝sinB 〔sinA ﹣cosA 〕， ∴3c＝b 〔sinA ﹣cosA 〕，即c (sin cos )3b A A -=，∵△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝2(sin cos )sin 6b A A A-＝26b 〔sin 2A ﹣cosAsinA 〕＝212b 〔1﹣sin2A ﹣cos2A 1，∴b 2＝1)1)1sin 2cos 2124A AA π=--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵3c＝b 〔sinA ﹣cosA 〕＞0，且0＜A ＜π，∴39A ,2A+4444πππππ<<∴<<，∴当32A+42ππ=即A ＝58π时，b 2＝12，∴b 的最小值为AC 最小值为故答案为【点睛】此题考察了同角三角函数关系、正弦定理、面积公式、两角和的正弦公式、以及正弦型三角函数的性质，属于中档题.三、解答题〔本大题一一共6小题，计70分.应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕 1l ：()110x a y a +++-=，2l ：260ax y ++=.〔1〕假设12l l //，求a 的值；〔2〕假设12l l ⊥，求a 的值.【答案】〔1〕1；〔2〕23-． 【解析】【分析】 〔1〕由(1)20a a +-=求解，同时要检验是否重合；〔2〕由1(1)20a a ⨯++⨯=求解．【详解】〔1〕由于12l l //，所以(1)20a a +-=，解得1a =或者2a =-，1a =时两直线方程分别为20x y +=，260x y ++=，两直线平行，2a =-时，两直线方程分别为30x y --=，2260x y -++=，即30x y --=，两直线重合，不合题意，舍去．所以1a =；〔2〕假设12l l ⊥，那么1(1)20a a ⨯++⨯=，23a =-． 【点睛】此题考察两直线平行与垂直的条件．在由两直线平行求参数时要进展检验，排除重合的情形．18.,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．〔1〕求cos2α的值；〔2〕求tan()αβ-的值．【答案】〔1〕725-；〔2〕211- 【解析】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；〔2〕先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：〔1〕因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． 〔2〕因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos 5αβ+=-，所以()sin 5αβ+==， 因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--， 因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑〞.(2)变名：通过变换函数名称到达减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦〞、“升幂与降幂〞等.(3)变式：根据式子的构造特征进展变形，使其更贴近某个公式或者某个期待的目的，其手法通常有：“常值代换〞、“逆用变用公式〞、“通分约分〞、“分解与组合〞、“配方与平方〞等.ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .cos 2cos 2cos A C c a B b --= 〔1〕求sin sin C A的值 〔2〕假设1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积.【答案】〔1〕sin 2sin C A =〔2 【解析】【分析】〔1〕正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案．〔2〕由〔1〕知sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a =，sin 4B =，从而计算出面积． 【详解】〔1〕由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin aR A b R b c R C ===，所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C A B b B---== 即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B CC B A B -=- 即有()()sin2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A = 所以sin 2sin C A= 〔2〕由〔1〕知sin 2sin c C a A==，即2c a =， 又因为2b =，所以由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin 4B =，故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯4=4. 【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，此题主要考察由正余弦定理解三角形，属于一般题．20.某地为响应习HY 关于生态文明建立的指示精神，大力开展“青山绿水〞工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形〔如图〕荒地改造成民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为民健身活动场所，其余区域〔阴影局部〕改造为景观绿地〔种植各种花草〕.该扇形OAB 的半径为200米，圆心角60AOB ∠=︒，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，点P 在弧AB 上，设POB θ∠=.〔1〕假设矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；〔2〕为方便民欣赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条欣赏通道PS 和PT 〔宽度不计〕，使PS OA ⊥，PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让民有更多时间是欣赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.【答案】〔1〕矩形MNPQ 是正方形时，3tan 2θ=〔2〕当P 是AB 的中点时，PS PT +最大 【解析】试题分析：〔1〕因为四边形PQMN 是扇形的内接正方形，所以cos sin tan 60QM OP MN PN OP θθ-===︒，注意到sin QM PN OP θ==，代入前者就可以求出tan θ.〔2〕由题设可由200sin 200sin(60)PS PT θθ+=+︒-，060θ︒<<︒，利用两角差的正弦和辅助角公式把PSPT +化成200sin(60)PS PT θ+=+︒的形式，从而求出PS PT +的最大值. 解析：〔1〕在Rt PON ∆中，200sin PN θ=，200cos ON θ=，在Rt OQM ∆中，200sin QM PN θ==，,tan 60QM OM θ==︒所以MN ON OM =-200cos θθ=-，因为矩形MNPQ 是正方形，MN PN ∴=，所以200cos 200sin θθθ=，所以200cos θθ=，所以tan θ==． 〔2〕因为,POMθ∠=所以60POQ θ∠=︒-，200sin 200sin(60)PS PT θθ+=+︒-1200(sin sin )2θθθ=-1200(sin )200sin(60)2θθθ==+︒，060θ︒<<︒．所以+60=90θ︒︒,即=30θ︒时，PS PT +最大，此时P 是AB 的中点．答：〔1〕矩形MNPQ是正方形时，tan θ=； 〔2〕当P 是AB 的中点时，PS PT +最大．21.如图，在平面凸四边形ABCD 中〔凸四边形指没有角度数大于180°的四边形〕，2,4,5AB BC CD ===.〔1〕假设1120,cos 5BD ∠=︒=，求AD ； 〔2〕3AD =，记四边形ABCD 的面积为S ，求S 的最大值.【答案】〔1〕3AD =；〔2〕 【解析】【分析】〔1〕连接AC ,先在ABC 中利用余弦定理求AC ,再在ACD 中利用余弦定理求AD ； 〔2〕借助2AC 由余弦定理可得15cos 8cos 7D B -=,由ADC ABC S SS =+可得1(15sin 8sin )2ADC ABC S S S D B =+=+,二者平方求和可得244922564240cos()S B D +=+-+,那么26060cos()S B D =-+,进而求解即可.【详解】〔1〕连接AC ,在ABC 中,2,4,120AB BC B ==∠=︒,所以由余弦定理得AC ==在ACD 中,15,cos 5AC CD D ===,AC =,=, 解得3AD =〔2〕在ABC 中,由余弦定理得2222cos 2016cos AC AB BC AB BC B B =+-⋅⋅=-, 在ACD 中,由余弦定理得2222cos 3430cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅⋅=-,所以2016cos 3430cos B D -=-,即15cos 8cos 7D B -=,所以111sin sin (15sin 8sin )222ADC ABC S S S AD CD D AB BC B D B =+=⋅+⋅=+, 由222224225sin 64sin 120sin sin 49225cos 64cos 120cos cos S D B D B D B D B⎧=++⎨=+-⎩, 即244922564240cos()SB D +=+-+ 即26060cos()S B D =-+,所以26060cos()120S B D =-+≤,所以当B D π+=时,即7cos 23D=,7cos 23B =-时,四边形ABCD 面积的最大值为. 【点睛】此题考察利用余弦定理解三角形,考察三角形面积公式的应用,考察利用三角函数求最值,考察运算才能.()y f x =对定义城内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使得()()120f x f x +=成立，那么称该函数为“Y 函数〞.(1)判断函数()sin f x x =是否为“Y 函数〞，并说明理由；(2)假设函数()2log gx x =在定义域[],m n 上为“Y 函数〞，求2m n +的取值范围； (3)函数()()22214h x x b x b =-++-在定义域[]1,2-上为“Y 函数〞.假设存在实数[]1,2x ∈-，使得对任意的t R ∈，不等式()()254h x t p t x ≥-+--+都成立，务实数p 的取值范围.【答案】〔1〕不是，理由见解析；〔2〕23m n +>；〔3〕134p ≥或者12p ≤-； 【解析】【分析】〔1〕通过列举的方式可判断不是反函数；〔2〕由函数()2log g x x =在定义域[],m n 上为“Y 函数〞可得()()0g m g n +=，1mn =，2m n +可代换为2m m +，结合导数可求得范围； 〔3〕由“Y 函数〞定义可先求证函数在[]1,2-上单调，且()()120h h -+=，求得参数2b =，由()()254h x t p t x ≥-+--+对于任意实数t R ∈恒成立整理得()22554x x t p t x -≥-+--+，变形成关于t 的二次不等式2240t xt x px ++--≥，再令0∆≤进一步求得P 值即可【详解】(1)()sin f x x =不是为“Y 函数〞. 假设16x π=，当26x π=-或者276x π=时，满足()()120f x f x +=，此时2x 不唯一，所以()sin f x x =不是为“Y 函数〞. (2)因为函数()2log gx x =在[],m n 为増函数，且在[],m n 上为“Y 函数〞， 所以()()0g m g n +=，即1mn =.又因为0m n <<，所以01m <<.所以22m n m m+=+. 令()2F m m m =+，那么()222221m F m m m-'=-=， 因为01m <<，所以()0F m '<，所以()F m 在()0,1上单调递减， 所以()()13F m F >=，即23m n +>.(3)假设()hx 图像对称轴()211,22b x +=∈-，设()12,1,2x x ∈-，且1x ，2x 关于212b x +=对称， 此时，()()12h x h x =，由条件可知，存在3x ，使()()()()132300h x h x h x h x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，这与“Y 函数〞定义矛盾. 所以()hx 在[]1,2-上单调，且()()120h h -+=， 由()()120h h -+=，得220b b --=，解得2b =或者1b =-.检验：()h x 在[]1,2-上单调，所以2b =.不等式即()22554xx t p t x -≥-+--+， 整理得2240txt x px ++--≥，由题意知，上式对任意t R ∈恒成立. 得()22440x x px ---≤，整理得234160x px --≥，由题意知，存在[]1,2x ∈-使得上式成立，所以34160p +-≥或者128160p --≥. 解得134p ≥或者12p ≤-. 【点睛】此题考察函数新定义的理解，利用不等式和导数求解参数取值范围，二次函数恒成立问题转化，函数与方程的转化思想，属于难题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【解析】因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．
13.【答案】1
【解析】∵a＞0，∴函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，∵ymax＝3a＋1＝4，解得a＝1.
14.【答案】y3，y2，y1
C． (－∞，－2) D． (－2，＋∞)
8.下列关于集合的说法中，正确的是( )
A． 绝对值很小的数的全体形成一个集合
B． 方程x(x－1)2＝0的解集是1,0,1
C． 集合{1，a，b，c}和集合{c，b，a,1}相等
D． 空集是任何集合的真子集
9.若x，y∈R，且2x＝18y＝6xy，则x＋y为( )
故选D.
10.【答案】C
【解析】
11.【答案】B
【解析】①若AC、BD不异面，则AB、CD共面，这与AB、CD异面矛盾，故①正确；②将其中一条异面直线平移与另一条相交确定一个平面，则两直线垂直同一个面，故这2条直线平行，故②不正确；③没有a在α内这个条件，不符合三垂线定理，故③不正确；④这样的直线l有三条，(如图所示：a∥a′，a′、b、l3在平面α内，a，l1，l2在平面α外，且l1，l2，l3都满足条件) 故④不正确，故选B.
【解析】
15.【答案】[－1,1]
【解析】因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1.
16.【答案】a2
【解析】平面直观图及实际图形分别如图①②.
取B′C′所在直线为x′轴，以过B′C′的中点O′且与x′轴正方向成45°角的直线为y′轴．过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点，连接O′A′，则在Rt△A′O′M′中，因为O′A′＝a，∠A′M′O′＝45°，所以M′O′＝O′A′＝a，故A′M′＝a.所以O′N′＝a.在平面直角坐标系中，在x轴上O点左、右两侧分别取点B、C，使OB＝OC＝，在x轴上O点左侧取点M，使OM＝a，在y轴上O点上方取点N，使ON＝a，分别过M、N作y轴、x轴的平行线相交于点A，连接AB、AC，则△ABC即为原图形．显然S△ABC＝a·a＝a2.
17.【答案】∵B＝{x|x<－1或x>5}，A∪B＝R，
∴解得－3≤a<－.
【解析】
18.【答案】(1)要使有意义，则2x－3>0，解得x>，所以集合A＝{x|x>}．
因为函数g(x)＝在(0，＋∞)上为增函数，所以k－1<0，解得k<1.所以集合B＝{x|x<1}，
因为h(x)＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以集合C＝{x|x≥3}．
A． ①③ B． ②④
C． ②③④ D． ③④
4.已知函数f(x)＝ax＋a－x，且f(1)＝3，则f(0)＋f(1)＋f(2)的值是( )
A． 14 B． 13
C． 12 D． 11
5.若函数y＝loga|x－2|(a>0，且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，则f(x)在区间(2，＋∞)上的单调性为( )
4.【答案】C
【解析】由题意，函数f(x)＝ax＋a－x，且f(1)＝3，
可得a＋＝3，
又f(2)＝a2＋a－2＝(a＋)2－2＝7，f(0)＝1＋1＝2，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＝2＋3＋7＝12，
故选C.
5.【答案】D
【解析】当1<x<2时，函数f(x)＝loga|x－2|＝loga(2－x)在区间(1,2)上是增函数，所以0<a<1；函数f(x)＝loga|x－2|在区间(2，＋∞)上的解析式为f(x)＝loga(x－2)(0<a<1)，
(2)求集合A∪(∁RB)，A∩(B∪C)．
19.设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．
20.求下列各式的值：
(1)；(2)
21.求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lgx)＝1；
(3)＝x.
22.已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．
故选C.
9.【答案】
【解析】因为2x＝18y＝6xy，
(1)当x＝y＝0时，等式成立，则x＋y＝0；
(2)当x、y≠0时，由2x＝18y＝6xy得，
xlg 2＝ylg 18＝xylg 6，
由xlg 2＝xylg 6，得y＝，
由ylg 18＝xylg 6，得x＝，
则x＋y＝＋＝
＝＝＝2.
综上所述，x＋y＝0，或x＋y＝2.
(2)当a>0时，A＝{x|<x<}．
又∵B＝{x|－1<x<1}且A⊆B，
如图作出满足题意的数轴：
∴∴a≥2.
(3)当a<0时，A＝{x|<x<}，
∵A⊆B，如图所示，
∴∴a≤－2.
综上所述，a的取值范围是{a|a＝0或a≥2或a≤－2}．
A． 先增后减 B． 先减后增
C． 单调递增 D． 单调递减
下列图形所表示的直线与平面的位置关系，分别用符号表示正确的一组是( )
A．a⊄α，a∩α＝A，a∥α
B．aα，a∩α＝A，a∥α
C．a⊂α，a∩α＝A，a∥α
D．a∈α，a∩α＝A，a∥α
7.函数f(x)＝log4(4－)的定义域为( )
A． (－∞，2) B． (2，＋∞)
A． ①③ B． ① C． ③④ D． ②④
12.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )
A． 平行四边形 B． 梯形
C． 菱形 D． 矩形
分卷II
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)
13.若函数y＝ax＋1(a＞0)在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.
A． 0 B． 1
C． 1或2 D． 0或2
10.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A． B．
C． D．
11.给出下列命题：
①分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线；②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行；③斜线b在平面α内的射影为c，直线a⊥c，则a⊥b；④异面直线a，b所成的角为60°，过空间一定点P，作直线l，使l与a，b所成的角均为60°，这样的直线l有两条，其中真命题是( )
(2)由B＝{x|x<1}，可得∁RB＝{x|x≥1}．
因为A＝{x|x>}，
所以A∪(∁RB)＝{x|x≥1}．
因为A＝(，＋∞)，B∪C＝{x|x<1或x≥3}，
所以A∩(B∪C)＝{x|x≥3}．
【解析】
19.【答案】设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2.
∵－b≤x1＜x2≤－a，
答案解析
1.【答案】C
【解析】如图，AC⊥α，AB∩α＝B，
则BC是AB在平面α内的射影，
则BC＝AB，
所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．
2.【答案】C
【解析】根据面面垂直的性质定理可知，当平面α⊥平面β时，过点A垂直于平面β的直线，在平面α内只有一条，故选C.
3.【答案】D
【解析】本题考查两个平面平行的判定．①②中两个平面可以相交；③是两个平面平行的定义；④是两个平面平行的判定定理，故选D.
一
二
三
总分
得分
分卷I
一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)
1.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )
A． 30° B． 45°
C． 60° D． 120°
2.已知平面α⊥平面β，点A∈α，则过点A且垂直于平面β的直线( )
A． 只有一条，不一定在平面α内
B． 有无数条，不一定在平面α内
C． 只有一条，一定在平面α内
D． 有无数条，一定在平面α内
3.下列判断正确的是( )
①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．
三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分)
17.已知A＝{x|2a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝R，求a的取值范围．
18.记函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝在(0，＋∞)上为增函数时k的取值集合为B，函数h(x)＝x2＋2x＋4的值域为集合C.
(1)求集合A，B，C；
14.三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如下表：
其中对x呈现对数函数型变化的变量是________，呈现指数函数型变化的变量是________，呈现幂函数型变化的变量是________．
15.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是________．
16.已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为________．
——教学资料参考参考范本——
最新高一数学下学期3月月考试题2(1)
______年______月______日
____________________部门
考试时间：120分钟；命题人：张瑞
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
(2)原式＝＝＝＝5.