2017年温州中学自主招生数学试卷

2017年温州中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分）：1. A2. B3.B.4. B5.B6. C7. B 8. D二、填空题（本大题共6题，每题6分，共36分） 9.2 10.173611. 1012. 直线y 1=kx+b 经过点P （3，4）且与直线y 2=3x 和y 3=x 分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当三角形AOB 的面积取得最小值时，k+b=______．13.14.2(0)y x =+> 三、解答题：学校_____________ 班级_____________ 姓名___________ 座位号____________ ………………………………装………………………………订…………………………………线………………………………15、当a 取什么整数时，方程0)2(222=-++-+-x x a x x x x x 只有一个实根，并求此实根 解原方程化为0)2(4222=-++-x x ax x（1）若0422,202=++-≠≠a x x x x 则且∵原分式方程恰有一个实根，∴△=0，即△=,0828)4(24)2(2=--=+⨯⨯--a a 则27-=a 于是2121==x x 但a 取整数，则舍去 （2）若方程04222=++-a x x ，有一个根为x=0，则a=-4 这时原方程为0)2(4222=--+-+-x x x x x x x ，去分母得0222=-x x ，解得x=0，x=1 显然x=0是增根，x=1是原分式方程的根（3）若方程04222=++-a x x ，有一个根为x=2，则a=-8 这时，原方程为0)2(8222=--+-+-x x x x x x x ，去分母，得04222=--x x 解得x=2，x=-1 显然x=2是增根，x=-1是原分式方程的根经检验当a=-4时，原方程恰有一个实根x=1；当a=-8时，原方程恰有一个实根x=-116、若满足不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x 的x 值也满足不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，求a 的取值范围解：2)1(2)1(22-≤+-a a x 等价于2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a ， 解得122+≤≤a x a0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，可化为0)]13()[2(≤+--a x x观察132)13(-=-+a a （1）当31<a 时3a+1<2；则3a+1《x 《2则由题意，可得⎩⎨⎧+≥≤+122132a a a 解得a=-1（2）当31=a 时，3a+1=2，解得x=2 则由题意，可得2212==+a a ，这与31=a 矛盾 （3）当31>a 时，3a+1>2解得2《x 《3a+1 则由题意可得⎩⎨⎧+≥+≤113222a a a解得1《a 《3 综上所述a 的取值范围是131-=≤≤a a 或已知：O 是坐标原点，()P m,n （m ＞0）是函数ky x=(k ＞0)上的点，过点P 作直线PA OP ⊥于P ，直线PA 与x 轴的正半轴交于点()0A a, (a ＞m ). 设△OPA 的面积为s ，且414n s =+.（1）当1n =时，求点A 的坐标（4分）； （2）若OP AP =，求k 的值（5分）；(3) 设n 是小于20的整数，且42n k ≠，求2OP 的最小值（5分）.DC在等腰Rt△ABC 中，AC=BC ，点D 在BC 上，过点D 作DE⊥AD，过点B 作BE⊥AB 交DE 于点E ，DE 交AB 于F.（1）求证：AD=DE ；（2）若BD=2CD ，求证：AF=5BF 。

（1）证法（一）过D作DN//AB交AC于N点∵∠CAD+∠CDA=∠EDB+∠CDA=90°，∴∠CAD=∠EDB，又∠AND=∠DBE=135°，AN=BD，∴△AND≌△DBE,∴DA=DE证法（二）证A、D、B、E四点共圆(2)过E作EM//BC交AB于M点，则∠BME=∠MBD=45°，∴△BME为等腰Rt△,设CD=a,则AC=BD=3a，AB=a23，BE=a2,ME=2a,可证△MEF≌△BDF,所以MF=BF=2a2，AM=225a，AM=5BF.17、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2－2mx＋m2＋m的顶点为C.直线y=x＋2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧.抛物线的对称轴与直线AB交于点M. （1）求线段MB的长（2）作点B关于直线MC的对称点B’. 以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使得QB’＋22QB的值最小，求这个最小值.MB’ BA xyCOQ解：(1)、∵y =x 2-2mx +m 2+m =（x -m ）2 +m ，∴顶点坐标为C （m ，m ）,点M 坐标为（m ，m +2）y =x 2-2mx +m 2+m 由 y =x +2x 1=m -1 x 2=m +2y 1=m +1 y 2=m +4 ∵点A 在点B 的左侧，∴B （m +2，m +4），则B ’（m -2，m +4），BM =2 2(2)、由M 点坐标（m ，m +2），C 点坐标（m ，m ）可知以MC 为半径的圆的半径为 （m +2）-m =2取MB 的中点N ，点N 的坐标为（m +1，m +3），连接QB 、QN 、QB ′，则MN =12 BM = 2 ，MN MQ = MQMB ，∠QMN =∠BMQ ，∴△MNQ ∽△MQB ， ∴QN QB = MN QM = 22，∴QN = 22QB ，即QB ′+ 22QB = QB ′+QN 当Q 、N 、B ′三点共线时QB ′+QN 最小，(QB ′+QN )min =B ′N =10 即QB ′+22QB 的最小值为10如图所示，已知抛物线213222y x mx m =--交x 轴于1(,0)A x 、2(,0)B x ，交y 轴于C 点，且120x x <<，2()121OA OB CO +=+．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使APB ∠为锐角？若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知可得1AO x =-，2OB x =.∵123x x m +=，1240x x m =-<g ，∴0m >.xyO A CB（第17题图）∵2CO m =，2()121OA OB CO +=+， ∴212()1221x x m -+=⨯+， 即21212()4241x x x x m +-=+. 整理，得 29810m m --=， 解得 11m =，219m =-. ∵0m >，∴11m =.∴抛物线的解析式为213222y x x =--. （2）存在这样的点P ，使得APB ∠为锐角.2132022x x --=，得11x =-，24x =. ∴(1,0)A -、(4,0)B ，而(0,2)C -.如图所示，连接AC 、BC ，可得25AC =，220BC =，225AB =， ∴222AC BC AB +=,∴△ABC 为直角三角形. 过A 、B 、C 三点作⊙1O ，则AB 为⊙1O 的直径. ∵⊙1O 与抛物线都关于直线32x =对称， ∴C 点关于直线32x =的对称点M 是⊙1O 与抛物线的另一个交点， ∴(3,2)M -.设P 点的坐标为0x ，当003x <<时，点P 在⊙1O 外.连接PA 交⊙1O 于点Q ，连接QB 、BP .而90APB AQB ∠<∠=o ，故APB ∠为锐角.同理，当01x -<<0或03x <<4时，有APB ∠为钝角. 故0x 的取值范围是003x <<.18、将1~9这九个数分别填入3⨯3的方表格的每个方格内。

确定如下一种运算：考虑任意的一行或一列，用非负数a -x 、b -x 、c +x 或a +x 、b -x 、c -x 之一代替该行或列中的数字a 、b 、c ，其中，x 是一个正数且在每次运算中可以改变。

（1） 对于图1（甲）、（乙）的两种最初的排列，是否存在一系列的运算，使得全部的九个数字最终相等？（甲） （乙）图1（2） 一些步骤后全部的九个数变为相等的值，求此值的最大值。

解:（1）每一次运算后，四个角上的数字之和不变。

因此，若存在运算使得所有的数字相等，则每个方格中的数最后均相等地变为四个角上的数字的平均值。

每一步后，九个数的和严格递减，且中心方格的数不增。

情形甲：59921479315=+++<+++=Λ，情形乙：346152≤+++。

因此，图1的两种情形均不可能。

…………（5分）（2）设x 为全部的数最终成为的相等的值。

显然，x ＜5，且可以证明x ≤4. 反之，若4＜x ＜5，则4x ＞16。

由于4x 为四个角上数字之和，于是，4x 为整数。

所以，4x ≥17。

故x ≥417①设a 为最初写有9、8、7、6、5的方格中所增大的总和。

则这些方格中数所减小的总和为（9-x ）+（8-x ）+…+（5-x ）+a =35-5x +a 。

设b 为最初写有1、2、3、4的方格中所减小的总和。

则这些方格中所增大的总和为（x -1）+…+（x -4）+b =4x +b -10。

因为总减少数是总增大数的两倍，所以， （35-5x +a ）+b =2[a +(4x +b -10)] ⇒13x =55-(a +b )135513)(55≤⇒+-=⇒x b a x 。

这与式①相矛盾。

图3例子可证明：4m ax =x 。

…………（7分）…………（3分）图318.对每一个大于1的整数n ，设它的所有不同的质因数为1p ，2p ，...，k p ，对于每个i p (1≤i ≤k )，存在正整数i a ，使得i a i p ≤1i a i n p +<，记1212()k a a a k p n p p p =+++L ，例如，62(100)2589p =+=.（1）试找出一个正整数n ，使得()p n n >，并加以说明； （2）证明：存在无穷多个正整数n ，使得() 1.1p n n >. 解：（1）取90n =→→→290325n ==⨯⨯，90共有2,3,5三个质因数. 12p =，672902<<，∴16a =. 23p =，453903<<，∴24a =. 35p =，23590<<5，∴32a =.642(90)23590p =++>.（2）取310k n =⨯（k ≥0，k 为整数）则n 共有3,2,5三个质因数（12p =，23p =，35p =）∵39310327k k k n ⨯<=⨯<⨯，2333k k n ++<< ∴23p =，22a k =+要使312132 1.1a a a p p p n ++>，即312133 1.1310311a a k k k p p +++>⨯⨯=⨯只要证明31213113325a a k k k np p ++>3⨯-=⨯=即可 ① 由于n 含有因数5，所以必存在唯一的正整数b ，使得153105b k b n +<=⨯<成立∴15b n +>，55b n >，则3355a b np => ②∵②成立，∴31135a a np p +>比成立，则①式得证.由于k ≥0，k 为整数时，310k n =⨯有无穷多个， 原命题成立.18.已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2017时，求a 的最小值. 解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）.因为 (a +b )2－4ab = (a －b )2， 所以 (2a －m )2－4n 2 = m 2，(2a －m +2n )(2a －m －2n ) = m 2. 因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数， 且2a －m +2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以2a－m+2n m2，2a－m－2n1.解得a，.于是=a－m.又a≥2017，即≥2017.又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.当时，，，.因此，a的最小值为2025.19、如图所示，⊙O1与⊙O2外切于点T，四边形ABCD内接于⊙O1，直线DA，CB分别切⊙O2于点E、F，直线BN平分∠ABF并与线段EF交于点N，直线FT 交弧AT（不包含点B的弧）内于点M求证：点M为△BCN的外心C解、如图，设AM 的延长线交EF 于点P .联结AT ，BM ，BP ，BT ，CM ，CT ，ET ，TP . 由BF 与⊙O 2相切于F 点，可得 ∠BFT =∠FET 由⊙O 1与⊙O 2外切于点T ，可得 ∠MBT =∠FET 因此，∠MBT =∠BFM于是，△MBT ∽△MFB ，从而，MB 2=MT ·MF同理可得， MC 2= MT ·MF又由⊙O 1与⊙O 2外切于点T ，可得 ∠MAT =∠FET 因此A ，E ，P ，T 四点共圆，从而∠APT =∠AET 由AE 与⊙O 2相切于点E ，可得 ∠AET =∠EFT 因此 ∠MPT =∠PFM 于是，△MPT ∽△MFP 从而MP 2=MT ·MF由前面可得 MC =MB =MP从而点M 是△BCP 外接圆的圆心.于是 ∠FBP =12∠CMP而∠CMP =∠CDA =∠ABF 由题意得∠FBN =12∠ABF 从而∠FBN =∠FBP 即点P 与点N 重合.证毕.16=的实数解的个数为（ ）。