2017年温州中学自主招生数学试卷

2017年温州中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分）：

1. A

2. B

3.B.

4. B

5.B

6. C

7. B 8. D

二、填空题（本大题共6题，每题6分，共36分） 9.2 10.

1736

11. 10

12. 直线y 1=kx+b 经过点P （3，4）且与直线y 2=3x 和y 3=x 分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当三角形AOB 的面积取得最小值时，k+b=______．

13.

14.2(0)y x =+> 三、解答题：

学校_____________ 班级_____________ 姓名___________ 座位号____________ ………………………………装………………………………订…………………………………线………………………………

15、当a 取什么整数时，方程

0)

2(222=-++-+-x x a x x x x x 只有一个实根，并求此实根 解原方程化为0)

2(4222=-++-x x a

x x

（1）若0422,202

=++-≠≠a x x x x 则且

∵原分式方程恰有一个实根，∴△=0，即△=,0828)4(24)2(2

=--=+⨯⨯--a a 则2

7-

=a 于是2

1

21=

=x x 但a 取整数，则舍去 （2）若方程04222=++-a x x ，有一个根为x=0，则a=-4 这时原方程为

0)

2(4222=--+-+-x x x x x x x ，去分母得0222=-x x ，解得x=0，x=1 显然x=0是增根，x=1是原分式方程的根

（3）若方程04222=++-a x x ，有一个根为x=2，则a=-8 这时，原方程为

0)

2(8

222=--+-+-x x x x x x x ，去分母，得04222=--x x 解得x=2，x=-1 显然x=2是增根，x=-1是原分式方程的根

经检验当a=-4时，原方程恰有一个实根x=1；当a=-8时，原方程恰有一个实根x=-1

16、若满足不等式2)1(2)1(2

2-≤

+-a a x 的x 值也满足不等式

0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，求a 的取值范围

解：2

)1(2)1(2

2-≤

+-a a x 等价于2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a ， 解得122

+≤≤a x a

0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，可化为0)]13()[2(≤+--a x x

观察132)13(-=-+a a （1）当3

1

<

a 时3a+1<2；则3a+1《x 《2

则由题意，可得⎩⎨⎧+≥≤+1

22132

a a a 解得a=-1

（2）当3

1

=

a 时，3a+1=2，解得x=2 则由题意，可得2212==+a a ，这与3

1

=a 矛盾 （3）当3

1

>

a 时，3a+1>2解得2《x 《3a+1 则由题意可得⎩⎨⎧+≥+≤1

13222

a a a

解得1《a 《3 综上所述a 的取值范围是131-=≤≤a a 或

已知：O 是坐标原点，()P m,n （m ＞0）是函数k

y x

=

(k ＞0)上的点，过点P 作直线PA OP ⊥于P ，直线PA 与x 轴的正半轴交于点()0A a, (a ＞m ). 设△OPA 的面积为

s ，且4

14

n s =+.

（1）当1n =时，求点A 的坐标（4分）； （2）若OP AP =，求k 的值（5分）；

(3) 设n 是小于20的整数，且42

n k ≠，求2

OP 的最小值（5分）.

D

C

在等腰Rt△ABC 中，AC=BC ，点D 在BC 上，过点D 作DE⊥AD，过点B 作BE⊥AB 交DE 于点E ，DE 交AB 于F.

（1）求证：AD=DE ；

（2）若BD=2CD ，求证：AF=5BF 。

（1）证法（一）

过D作DN//AB交AC于N点

∵∠CAD+∠CDA=∠EDB+∠CDA=90°，

∴∠CAD=∠EDB，又∠AND=∠DBE=135°，

AN=BD，∴△AND≌△DBE,∴DA=DE

证法（二）证A、D、B、E四点共圆

(2)过E作EM//BC交AB于M点，则∠BME=∠MBD=45°，∴△BME为等腰Rt△,设CD=a,

则AC=BD=3a，AB=a2

3，BE=a2,ME=2a,

可证△MEF≌△BDF,所以MF=BF=2a2

，AM=2

2

5a

，AM=5BF.

17、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2－2mx＋m2＋m的顶点为C.直线y=x＋2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧.抛物线的对称轴与直线AB交于点M. （1）求线段MB的长

（2）作点B关于直线MC的对称点B’. 以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使

得QB’＋

2

2QB的值最小，求这个最小值.

M

B’ B

A x

y

C

O

Q