高二数学3.1全称量词与全称命题、1.3.2存在量词与特称命题
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 1.3.1 全称量词与全称命题 1.3.
2.特称命题 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分 的含义,这样的词叫作存在量词,含有存在量词的命题,叫作特称命 题. 【做一做2】 下列命题不是特称命题的是( ) A.有些实数没有平方根 B.能被5整除的数也能被2整除 C.存在x∈{x|x>3},使x2-5x+6<0 D.有一个m,使2-m与|m|-3异号 答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可. 故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只 需m>-4. (2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x),若存在一个实数x,使不等式 m>f(x)成立,只需m>f(x)min.
【做一做 3】 给出下列命题:
①任意 x∈R, ������是无理数; ②任意������, ������∈R,若 xy≠0,则 x,y 中至少
有一个不为 0;③存在实数既能被 3 整除又能被 19 整除.
其中真命题为
.(填序号)
解析:①是假命题,例如 4是有理数;②是假命题,若 xy≠0,则 x,y
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 利用全称命题、特称命题求参数范围
【例3】 已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立?并 说明理由. (2)若存在一个实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围. 分析:可考虑用分离参数法,转化为m>-f(x)对任意x∈R恒成立和 存在一个实数x,使m>f(x)成立.
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.2 存在量词与特称命题课件 北师大版选修11
思考4：如何判断全称命题与特称命题的真假？ 存在某种情况使得结论不成立，即为假；否则为真。 存在某种情况使得结论成立，即为真；否则为假。 真真 假真 真
假 假 真
假
小结
x=0 x=3
小结
小结
1.你学到了哪些知识？
含义
表示
含有
全称命题 全称量词 x M , p(x)
的命题。
x3
对于所有的 x R, x 3 假 存在 x R, x 3 真
“一切”“每一个”“任意”“所有的”“任何”等。
像上面这样，表示整体或全部的含义的词叫全称量词，
并用符号“ ”表示。
所有的正方形都是矩形。 每一个有理数都能写成分数的形式。 任何实数乘以0都等于0。 如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线， 那么这条直线垂直于这个平面。
含有
特称命题 存在量词 x0 M , p(x0 )
的命题。
判断真假
2.你学到了哪些方法或技能？ 3.你还有哪些思考或是还想提出哪些问题？
像上面这样，含有存在量词的命题叫做特称命题。
简记为：x0 M , p(x0 ) 。
①末位是0的整数可以被2整除； ②有些菱形是正方形； ③角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ④不相交的两条直线是平行直线； ⑤正四面体中两侧面的夹角相等； ⑥存在一个实数是无限不循环小数； ⑦正四棱柱都是平行六面体； ⑧ 至少有一个三角形不是等腰三角形； ⑨任意一个偶函数的图象关于y轴对称。
像上面这样，含有全称量词的命题叫做全称命题。
简记为：x M , p(x) 。
“有些”“有一个”“对某个”“有的”“存在”
像上面这样，表示个别或一部分的含义的词叫作
存在量词，并用符号“ ”表示。
全称命题与特称命题
全称命题与特称命题1.全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”可表示为“”，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.2.存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。
含有存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可表示为“”，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.3. 对含有一个量词的命题进行否定全称命题p ：，他的否定： 全称命题的否定是特称命题。
特称命题p ：，他的否定：特称命题的否定是全称命题。
练习题：1.命题“2,210x R x ∀∈+>”的否定是( )．A ．200,210x R x ∃∈+>B ．2,210x R x ∀∈+≤ C ．200,210x R x ∃∈+< D ．200,210x R x ∃∈+≤2.命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是( )A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0 B ．x ∃∈R ，2210x x -+> C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0D ．x ∀∈R ，2210x x -+<3.命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是 （ ） A ．2,11x x ∀∈+<R B ．11,2≥+∈∀x R x C ．11,200<+∈∃x R x D ．11,200≥+∈∃x R x5.下列命题是真命题的是（ ） 1x ,Z x .D 1x ,N x .C 3x ,Q x .B 22x ,R x .A 30022002<∈∃≥∈∀=∈∃>+∈∀6.（逻辑）已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ） A ．1sin ,:≥∈∃⌝x R x p B ．1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC ．1sin ,:>∈∃⌝x R x pD ．1sin ,:>∈∀⌝x R x p7.已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是（ ） A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<08.命题“(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++<”的否定是( ) A. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++< B. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++≥ C. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++≥ D. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++>9.命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为（ ） A.042,2≥+-∈∀x x R x B.042,2>+-∈∀x x R x C.042,2>+-∈∃x xR x D.042,2>+-∉∃x x R x10.命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是 .11.已知命题0:p x R ∃∈，200220x x ++≤，则p ⌝为 （ ）A. 2000,220x R x x ∃∈++>B. 2000,220x R x x ∃∈++< C. 2000,220x R x x ∀∈++≤ D. 2000,220x R x x ∀∈++>12.命题“04,2>++∈∀x x R x ”的否定是13若命题p :x ∀∈R 22421ax x a x ,++≥-+是真命题,则实数a 的取值范围是 .14.若命题“x R ∀∈，210x ax ++≥”是真命题，则实数a 的取值范围为 .15.命题“2,20x R x x ∀∈++≤”的否定是__________ _______.16.命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为______________________________.17.若“,x R ∃∈使2220x ax -+<”是假命题，则实数a 的范围 ．18.若命题“2,10x R x ax ∃∈++<”是真命题，则实数a 的取值范围是_____________.。
高中数学 1.3.1全称量词与全称命题、1.3.2存在量词与特称命题同步练习(含解析)北师大版选修11
§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题课时目标1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假．1．全称量词与全称命题命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语，都是在指定范围内，表示______________的含义，这样的词叫作全称量词，含有______________的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语，都是表示________的含义，这样的词叫作存在量词．含有____________的命题叫作特称命题．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是( )A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是( )A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是( )A ．任意x ∈R ，x 2>0B ．任意x ∈Q ，x 2∈QC ．存在x 0∈Z ，x 20>1D ．任意x ，y ∈R ，x 2＋y 2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( ) A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20>0 C ．任一无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x 0，使1x 0>25．下列全称命题中假命题的个数是( ) ①2x ＋1是整数(x ∈R )； ②对所有的x ∈R ，x >3；③对任意一个x ∈Z,2x 2＋1为奇数A ．0B ．1C ．2D ．3 6．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．任意m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．任意m ∈R 2二、填空题7．下列特称命题中是真命题的有________．(填序号)①存在x ∈R ，x 2＝0； ②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．8．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________． 9．下列命题中，真命题有__________．(填序号)①不存在实数x ，使x 2＋x ＋1<0； ②对任意实数x ，均有x ＋1>x ；③方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根；④不等式x 2－x ＋1|x |＋1<0的解集为∅.三、解答题10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0.(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)存在T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |.(4)存在x 0∈R ，使x 20＋1<0.11．已知对任意x>0，a<x＋1x恒成立，求a的取值范围．能力提升12．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 01．判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写找到．2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．§3 全称量词与存在量词 3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题知识梳理1．整体或全部 全称量词 2．个别或一部分 存在量词 作业设计 1．C 2．D 3．B 4．B 5.C 6．A 7．①②③解析 对于命题①，当x ＝0时，x 2＝0；对于命题②，有一个角是直角的菱形是正方形；对于命题③，整数1既不是合数，也不是素数． 8．(－2,2]解析 当a ＝2时，显然符合条件； 当a ≠2时，有 ⎩⎪⎨⎪⎧a <2，Δ＝4a －22－4a －2×－4<0， ⇒－2<a <2.综上，a 的取值范围是(－2,2]． 9．①②④解析 对于选项③，方程x 2－2x ＋3＝0没有实根，是假命题． 10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0 (a >0，a ≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题．(4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0， ∴命题(4)是假命题．11．解 由于对任意x >0，a <x ＋1x恒成立，只需a <⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x min 恒成立．∵x >0，x ＋1x≥2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2.∴a <2.故a 的取值范围是(－∞，2)．12．C。
(完整版)全称量词与特称量词
1.4 全称量词与存在量词学习目标1. 理解全称量词与存在量词的意义．2. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．3. 知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.学习重点全称命题和特称命题真假的判定．学习难点对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理一、请列举全称量词与全称命题、特称量词与特称命题的概念。
二、全称命题与特称命题的否定1、全称命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面结论：全称命题p ：∀x ∈M ，p(x)，它的否定⌝p ：_________________ ，全称命题的否定是_____________2．特称命题的否定一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p ：∃0x M ∈，p 0()x ，它的否定⌝p ：_________________特称命题的否定是_____________探究一 全称命题与特称命题的判断例1、判断下列语句是全称命题，还是特称命题，并用量词符号“∀”“∃”表达下列命题：1、对任意角α，都有1cos sin 22=∂+∂；2、有一个函数，既是奇函数又是偶函数；3、∀x ∈R ，2x －1＝04、所有能被3整除的整数都是奇数5、有的三角形是等边三角形6、有一个实数α，tan α无意义方法归纳：__________________________________________________________________________________________________________________________________________探究二、全称命题与特称命题的真假判断例2、判断下列全称命题或特称命题的真假1、每个指数函数都是单调函数；2、任何实数都有算术平方根；3、∀x ∈0π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2，sin x ＋cos x ≥24、0,00≤∈∃x R x5、是无理数，}是无理数|{200x x x x ∈∃ 6、,x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦2， tan x>sin x 方法归纳：__________________________________________________________________________________________________________________________________________ 探究三、含有一个量词的命题的否定及应用例3、写出下列命题的否定，并判断其真假：1、P ：每一个四边形的四个顶点共圆2、P ：23,x x N x >∈∀3、P ：有的菱形是正方形4、p ：∀x ∈R ，412+-x x ≥0；5、p ：所有的正方形都是菱形；6、p ：至少有一个实数0x ，使30x ＋1＝0例4、若命题“2000,220x R x ax a ∃∈++-=”是真命题，则实数a 的取值范围是________．方法归纳：__________________________________________________________________________________________________________________________________________当堂检测一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－2x －1>0，则命题⌝p ：∀x ∈R ，x 2－2x －1<0C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件2、 下列命题中，真命题是( )A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1 C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1 D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x 3．已知命题p ：∃n ∈N,2n >1 000，则⌝p 为( )A ．∀n ∈N,2n ≤1 000B ．∀n ∈N,2n >1 000C ．∃n ∈N,2n ≤1 000D ．∃n ∈N,2n <1 0004．下列语句是真命题的是( )A ．所有的实数x 都能使x 2－3x ＋6>0成立B ．存在一个实数x 使不等式x 2－3x ＋6<0成立C ．存在一条直线与两个相交平面都垂直D ．有一条直线和两个相交平面都垂直5. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－16．下列四个命题中的真命题为( )A ．若sin A ＝sinB ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0C ．若lg x 2＝0，则x ＝1D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<37．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0；③∃x 0∈N ，使x 20≤x 0；④∃x 0∈N ＋，使x 0为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题8．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________． ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．9. 2,210x R x ax ∀∈-+≥，则实数a 的取值范围是_______________10．“存在一个实数x 0，使sin x 0>cos x 0”的否定为________．11．若命题“∀x ∈(3，＋∞)，x >a ”是真命题，则a 的取值范围是________．12．若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．三、解答题13．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)有些四边形存在外接圆；(4)∃a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0无解．14.命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，求实数a 的取值范围？15．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．。
高中数学 全称量词与特称量词
1.5全称量词与存在量词考点1全称量词命题和存在量词命题1.全称量词短语“所有的"“任意一个"在逻辑中通 常叫作全称量词,并用符号“∀”表示.2.全称量词命题(1)定义:含有全称量词的命题，叫作全称量词命题。
(2)符号表示:通常,将含有变量x 的语句用p(x)q(x)r(x)......表示,变量x 的取值范围用M 表示.那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，p(x)成立”可用符号简记为∀x ∈M,p(x).3.存在量词短语“存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫作存在量词,并用符号“∃”表示4. 存在量词命题(1)定义:含有存在量词的命题，叫作存在量词命题，(2)符号表示:存在量词命题“存在M 中的元素x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x ∈M,p(x).牛刀小试1. 用量词符号表述下列全称量词命题:(1)任一个实数乘以一1都等于它的相反数.(2)对任意实数x,都有x x 23>(3)凸n 边形的外角和等于2π.2.给出下列语句,其中既是命题又是全称量词命题的是①对任意实数x,x2 +1≥2.②有一个实数a,a 不能作分母. ③每一个负数的平方都是正数吗?3.将“xy y x 222≥+"改写成全称量词命题,下列说法正确的是( ) A.对任意x,y ∈R,都有xy y x 222≥+ B.存在x.y ∈R,使xy y x 222≥+ C.对任意x>0,y>0，都有xy y x 222≥+ D.存在x<0,y<0,使xy y x 222≥+5. 用量词符号“∃”表示下列存在量词命题:(1)存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0成立.(2)至少有一个整数x,使0)32(3<+x(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除.(4)某个四边形不是平行四边形.6.下列命题不是“∃x ∈R,x 2>3”的表述方法的是( ). A.有一个x ∈R,使得,x 2>3成立 B.对有些x ∈R,使得,x 2>3成立 C.任选一个x ∈R,都有,x 2>3成立 D.至少有一个x ∈R,使得,x 2>3成立考点2全称量词命题和存在量词命题的真假判断1.判断全称量词命题“∀x ∈M,p(x)”成立，需要对M 中的每一个x ，都证明p(x)成立，则为真命题，如果在M 中存在一个x,使 p(x)不成立,则为假命题。
全称量词与全称命题 存在量词与特称命题
高二年级数学组主备人汤红芳执教人课题全称量词与全称命题存在量词与特称命题课型新授课时间2012.课时教学目标知识与技能: 理解全称量词与存在量词的意义，能判断全称命题与存在命题的真假。
过程与方法: 通过实例分析掌握全称量词与存在量词的意义，能判断全称命题与存在命题的真假。
情感、态度与价值观: 转化思想的应用。
教学设想重点：理解全称量词与全称命题存在量词与特称命题难点：判断全称命题与存在命题的真假。
教法学法指导：引导探索法教学程序与策略个性化修改一、创设情境在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。
大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。
问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船分析:①张②头③条④匹⑤户⑥叶什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。
汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。
不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。
二、活动尝试所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。
我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。
问题2：下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x，都有x2≥0；（2）存在实数x，满足x2≥0；（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；（5）对于任何自然数n，有一个自然数s使得s=n×n；（6）有一个自然数s使得对于所有自然数n，有s=n×n；分析:上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。
三、师生探究命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。
全称量词与存在性量词知识点总结
全称量词与存在性量词知识点总结
①全称量词：短语“对所有的”，“对任意的”在陈述中表示整体或全部的含义，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示；
②全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题
③全称命题的格式：“对M中任意一个x，有p（x）成立”的命题，记为？x∈M，p（x），读作“对任意x属于M，有p（x）成立”。
2、存在量词与特称命题：
①存在量词：短语“存在一个”，“至少有一个”在陈述中表示个别或者一部分的含义，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。
②特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题；
③“存在M中的一个x0，使p（x0）成立”的命题，记为？x0∈M，p（x0），读作“存在一个x0属于M，使p（x0）成立”。
3、全称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：，它的否命题4、特称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p：，其否定命题高中数学全称量词与存在性量词知识点总结（二）全称量词与存在性量词
1、全称量词与全称命题：
①全称量词：短语“对所有的”，“对任意的”在陈述中表示整体或全部的含义，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示；
②全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题。
2021年高中数学一轮复习·集合与简易逻辑：第8节 全称命题与特称命题
第8节全称命题与特称命题【基础知识】1．全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．（3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．（3）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．3．全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．4．“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”．5．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定【规律技巧】1．全称命题真假的判断方法（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3.不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.4.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总命题名称真假判断方法一判断方法二真所有对象使命题真否定为假全称命题假存在一个对象使命题假否定为真真存在一个对象使命题真否定为假特称命题假所有对象使命题假否定为真5．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．6．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．7．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．8．要判断“p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与p的真假相反．9．常见词语的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A使p(x0)假【典例讲解】一、全称(存在性)命题及真假判断例1、判断下列命题的真假．(1)∀x∈R，x2－x＋1>12；(2)∃α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ；(3)∀x，y∈N，x－y∈N；(4)∃x0，y0∈Z，2x0＋y0＝3.【规律小结】(1)要判断全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举一反例即可．(2)要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合中，找到一个元素使得命题成立即可．【变式探究】写出下列命题的否定形式，并判断其真假．≥0；(1)p：∀x∈R，x2－x＋14(2)s：至少存在一个实数x，使x3＋1＝0.【针对训练】【2015高考新课标1，理3】设命题：，则为()（A）（B）（C）（D）【2015高考浙江，理4】命题“且的否定形式是（）A.且B.或C.且D.或【练习巩固】1．下列命题中的假命题是()．A．∃x0∈R，lg x0＝0B．∃x0∈R，tan x0＝1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞02.已知命题p：函数f(x)－log1x q：存在负数x使得.给出下列3四个命题：①p或q；②p且q；③p的否定；④q的否定．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．43．命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是()．A．∃x0＞0，x20＋x0＞0B．∃x0＞0，x20＋x0≤0C．∀x＞0，x2＋x≤0D．∀x≤0，x2＋x＞04．已知p：|x－a|＜4；q：(x－2)(3－x)＞0，若非p是非q的充分不必要条件，则a的取值范围为()．A．a＜－1或a＞6B．a≤－1或a≥6C．－1≤a≤6D．－1＜a＜65．若函数f(x)＝－x e x，则下列命题正确的是()A．∀a∞∃x∈R，f(x)>aB．∀a∃x∈R，f(x)>aC．∀x∈R，∃a∞f(x)>aD．∀x∈R，∃a f(x)>a(a∈R)，则下列结论正确的是()．6．若函数f(x)＝x2＋axA．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数7．已知p：∃x0∈R，mx20＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是()．A．[1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，－2]D．[－1,1]8．若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．9．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：13－x＞1，若非q且p为真，则x的取值范围是________．10．已知命题p：f(x)＝1－2m2>m的解集为R.若命题“p∨q”x在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式(x－1)为真，命题“p∧q”为假，则实数m的取值范围是________．。
全称量词和存在量词
至少有一个 x0∈R，使
对有些实数 x0，使 x2 0＝x0 成立； 至少有一个 x0∈R，使 x2 0＝x0 成立； 对某一个 x0∈R，使
2 x0＝x0 成立．
跟踪练习
1. 用全称量词或存在量词表示下列语句．
(1)n边形的内角和等于(n－2)×180°；
B．全称命题
C．特称命题 D．不含量词的命题
解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．
答案：B
常见的全称量词有：“所有的”“任意一
个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”
等．
常见的存在量词有：“存在一个”“至少有
一个”“有些”“有一个”“某个”“有的” 命题 全称命题“∀x∈A，p(x)” 特称命题“∃x∈A，p(x)”
x
)
B．∀x∈N，x≥1 D．∃x∈Q， x∉Q
解析：当x＝0时，0∈N，但0<1.
故“∀x∈N，x≥1”是假命题． 答案：B
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到
这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；
④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；
⑥存在三角形其内角和大于180°.
2．既是特称命题，又是真命题的是( A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个 x∈ R，使 x2≤ 0 C．两个无理数的和是无理数 1 D．存在一个负数 x，使 >2 x
解析：如x＝0时，x2＝0，满足x2≤0.
)
答案：B
3．下列命题是假命题的是( A．∀x∈R,3 >0 C．∃x∈Z，x<1
答案：C
2．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(
全称量词和全称命题-高中数学知识点讲解
全称量词和全称命题
1．全称量词和全称命题
【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀
应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”
等词，用符号“∃”表示．
【全称命题】
含有全称量词的命题．“对xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下
命题全称命题xM，p（x）特称命题xM，p（x）
①所有的xM，使p（x）成立①存在xM，使p（x）成立
表述
②对一切xM，使p（x）成立②至少有一个xM，使p（x）成立
方法
③对每一个xM，使p（x）成立③对有些xM，使p（x）成立
④任给一个xM，使p（x）成立④对某个xM，使p（x）成立
⑤若xM，则p（x）成立⑤有一个xM，使p（x）成立
解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词
的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全
称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．
命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
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人教版2020高中数学 第一章 1.3.1-1.3.2 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题作业 北师大版选修1-1
1.3.1-1.3.2 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题[A.基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x >2 解析：选B.A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A ．每一个二次函数的图像都开口向上B ．存在一条直线与两个相交平面都垂直C ．存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＜0D ．对任意c ≤0，若a ≤b ＋c ，则a ≤b解析：选D.对A 当二次项系数小于零时不成立，A 为假命题；B 、C 均为特称命题．故选D.4．下列命题是假命题的为( )A ．存在x ∈R ，lg e x ＝0B ．存在x ∈R ，tan x ＝xC ．任意x ∈(0，π2)，1tan x＞cos x D ．任意x ∈R ，e x ＞x ＋1解析：选D.对A ，x ＝0时成立，为真命题；对B ，当x ＝0时成立，为真命题；对C ，因为x ∈(0，π2)，cos x ＞0，0＜sin x ＜1，所以1tan x ＝cos x sin x＞cos x ，为真命题，故选D.5．已知正四面体A BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥ADB ．存在F ∈BC ，EF ⊥ACC ．对任意的F ∈BC ，EF ≥ 3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC解析：选A.因为△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点，⎭⎪⎬⎪⎫所以BE ⊥AD 同理CE ⊥AD BE ∩CE ＝E ⇒AD ⊥平面BCE ， 故AD ⊥EF . 6．“对于任意的x ∈Z ，2x ＋1是整数”的逆命题是________． 答案：若2x ＋1是整数，则x ∈Z7．若对任意的x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)8．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：命题为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－4a 2＜0.解得a ＜－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1}，log 2x ＋log x 2＜2；(3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋1log 2x≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．10．不等式x 2－2mx －1＞0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．解：法一：因为Δ＝4m 2＋4＞0恒成立，所以设方程x 2－2mx －1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2 .因为{x |1≤x ≤3}⊆{x |x 2－2mx －1＞0}＝{x |x ＞x 2或x ＜x 1}，所以方程x 2－2mx －1＝0的两根x 1，x 2都大于3或都小于1.因为x 1x 2＝－1＜0，所以两根都小于1.令y ＝x 2－2mx －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，f （1）＞0， 解得m ＜0.所以m 的取值范围为{m |m ＜0}．法二：因为1≤x ≤3，x 2－2mx －1＞0，所以m ＜x 2－12x ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x . 当x ∈[1，3]时，函数y ＝x －1x是增加的， 所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43，所以m ＜0. [B.能力提升]1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．存在x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)B ．存在x ∈R ，使f (x )≥f (x 0)C ．对任意x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)D ．对任意x ∈R ，使f (x )≥f (x 0) 解析：选C.由x 0＝－b2a(a >0)及抛物线的相关性质可得选项C 是错误的．2．有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：对任意的x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中假命题为( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 3，p 4解析：选A.由于对任意x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故p 1是假命题； 当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z )时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．对于p 3：任意x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝2sin 2x 2＝|sin x |＝sin x 为真命题． 对于p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2为假命题，例如x ＝π，y ＝π2，满足sin x ＝cos y ＝0，而x ＋y ＝3π2. 3．命题“对任意x ∈R ，存在m ∈Z ，使m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，所以只需m 2－m ＜34，即－12＜m ＜32.所以当m ＝0或m ＝1时，对任意x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题．答案：真4．已知定义在(－∞，3]上的减函数f (x )，使f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )对于任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由函数单调性得3≥a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x 对任意x ∈R 均成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3＋sin x ，a 2－a ≥sin x ＋cos 2x ＋1对任意x ∈R 均成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤（3＋sin x ）min ，a 2－a ≥（sin x ＋cos 2x ＋1）max ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，a 2－a ≥94. 解得－2≤a ≤12－102. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12－102 5．若不等式t 2－2at ＋1≥sin x 对一切x ∈[－π，π]及a ∈[－1，1]都成立，求t 的取值范围．解：因为x ∈[－π，π]，所以sin x ∈[－1，1]，于是由题意可得对一切a ∈[－1，1]不等式t 2－2at ＋1≥1恒成立．由t 2－2at ＋1≥1得2t ·a －t 2≤0.令f (a )＝2t ·a －t 2，则f (a )在t ≠0时是关于a 的一次函数，当t ＝0时，显然f (a )≤0成立，当t ≠0时，要使f (a )≤0在a ∈[－1，1]上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝2t －t 2≤0，f （－1）＝－2t －t 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ≥2. 故t 的取值范围是t ≤－2或t ＝0或t ≥2.6．(选做题)若x ∈[－2，2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2，2]时，[f (x )]min ≥0即可．①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )在[－2，2]上是增加的，[f (x )]min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，又a ＞4，所以a 不存在． ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时， [f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0， 解得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )在[－2，2]上是减少的，[f (x )]min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，又a ＜－4，所以－7≤a ＜－4.故a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．。
全称量词与存在量词
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特称命题的否定是全称命题,因此否定一个特称命题时,要把存在量词换成 全称量词,再否定命题的结论即可;全称命题的否定是特称命题,因此否定一 个全称命题时,要把全称量词换成存在量词,再否定命题的结论即可.
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变式训练 3 1:写出下列各命题的否定,并判断其真假. ①p:一切分数都是有理数; ②q:有些三角形是锐角三角形; ③r:存在 x∈R,x2+x=x+2; ④s:任意 x∈R,2x+4≥0. 解:(1)有些分数不是有理数.假命题 :(1) . (2)所有的三角形都不是锐角三角形.假命题 (3)对于任意的 x∈R,x2+x≠x+2.假命题 (4)存在 x∈R,2x+4<0.真命题
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写出全(或特)称命题的否定并判断真假 【例 3】写出下列全称命题或特称命题的否定,并判断真假. (1)所有能被 3 整除的整数都是奇数; (2)每一个四边形的四个顶点共圆; (3)有的三角形是等边三角形. 解题流程:由已知判定是全称命题还是特称命题⇒ ⇒ 更换量词⇒否定结论⇒最后判断真假 ⇒ ⇒ 解:(1)该命题的否定是:存在一个能被 3 整除的整数不是奇数. 由于 6 能被 3 整除,6 是偶数,故此命题为真命题. (2)该命题的否定是:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.因为只有对角互补的四边 形,四个顶点才共圆,故此命题是真命题. (3)该命题的否定是:所有的三角形都不是等边三角形.假命题.
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高中数学第一章常用逻辑用语4全称量词与存在量词12全称量词与存在量词3作业含解析新人教A版选修2_
全称量词和存在量词预习导学基础梳理．全称量词与全称命题．语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．．存在量词和特称命题．语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．．全称命题的否定．般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．称命题的否定是特称命题．．特称命题的否定．般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．称命题的否定是全称命题．,►自测自评．命题“有理数的平方仍是有理数”，用符号“∀”写成全称命题为∀x∈{有理数}，x2∈{有理数}．．给出下列命题：①所有的偶数都不是素数；②∀x>5且x∈R，都有x>3；③有的奇数不是素数；④存在x∈R，x既能被5整数也能被3整除．其中是全称命题的命题序号是①②．随堂巩固．下列命题是特称命题的是(D)．偶函数的图象关于y轴对称．正四棱柱都是平行六面体．不相交的两条直线是平行直线．存在无理数大于等于3．有下列命题：1)所有的素数是奇数；2)∀x∈R，(x－1)2＋1≥1；3)有的无理数的平方是无理数；4)∃x0∈R，使2x20＋x0＋1＝0；5)存在两条相交直线垂直于同一个平面；6)∃x 0∈R ，x 20≤0.中是真命题的为________________(填序号)．案：(2)(3)(6)．给下列四个结论：“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，2x ＞0”；“∀x ∈N ，(x －1)2＞0”的否定是“∃x ∈N ，(x －1)2≠0”；“∃x ∈R ，lg x ＜1”的否定是“∀x ∈R ，lg x ≥1”；“∃x ∈R ，tan x ＝2”的否定是“∀x ∈R ，tan x ＞2或tan x ＜2”．中正确结论的序号是______．案：③④．判断下列命题的真假．1)有的正方形不是矩形；2)有理数是实数；3)存在一个数，它的相反数是它本身；4)∀x ∈N ，x 2＞0；5)∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；6)∃x ∈R ，x 2＋1＜0.析：(1)是假命题，所有的正方形都是矩形；2)是真命题，所有的有理数都是实数；3)是真命题，0的相反数就是它本身；4)是假命题，自然数0的平方不大于0；5)是真命题，因为对于任意实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，从而有a 2＋b 2≥（a ＋b ）22恒成立； 6)是假命题，任何一个实数x 都不满足x 2＋1＜0. ．命题p ：∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0，若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围． 析：依题意，∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0恒成立．t ＝2x ，由x ∈[－1，2]，得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4， 4x －2x ＋1＋2－a ＜0，化为a ＞t 2－2t ＋2，即a ＞(t －1)2＋1， 命题p 等价于∀t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4. ＞(t －1)2＋1恒成立，令y ＝(t －1)2＋1. t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4时，y max ＝(4－1)2＋1＝10， 以只须a ＞10，即可得p 为真命题，所求实数a的取值范围是(10，＋∞)．课时达标．下列是全称命题且是真命题的是(B)．∀x∈R，x2＞0．∀x∈Q，x2∈Q．∃x∈Z，x20＞1．∀x，y∈R，x2＋y2＞0．下列命题中，真命题是(A)．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数析：∵当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)，f(x)是偶函数．∵当m＝1时，f(x)＝x2＋x(x∈R)，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．A对，B、C、D错．故选A.．(2013·广州二模)命题“∃x0∈R，x20＋4x0＋5≤0”的否定是(C)．∃x0∈R，x20＋4x0＋5＞0．∃x0∈R，x20＋4x0＋5≤0．∀x∈R，x2＋4x＋5＞0．∀x∈R，x2＋4x＋5≤0．命题“原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称”的否定是(C)．原函数与反函数的图象关于直线y＝－x对称．原函数不与反函数的图象关于直线y＝x对称．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y＝x对称．存在原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称．下列命题中的真命题是(D)．∃x0∈R使得sin x0＋cos x0＝1.5．∀x∈(0，π)，sin x＞cos x．∃x0∈R使得x20＋x0＝－1．∀x∈(0，＋∞)，e x＞x＋1．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)．∃x0∈R，f(x)≤f(x0)．∃x 0∈R ，f (x )≥f (x 0)．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0的否定是__________________________． 案：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0. ．有以下三个命题：∀α∈R ，在[α，α＋π]上函数y ＝sin x 都能取到最大值1；②若∃a ∈R ，且a ≠0，f (x＋a )＝－f (x )时∀x ∈R 成立，则f (x )为周期函数；③∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－74π，－34π，使sin x ＜cos x .中正确命题为______(填序号)．析：①为假，如α＝π，ɑ∈[π，2π]时y ＝sin x 最大值为0；为真，f (x ＋2a )－f (x ＋a )＝f (x )，x ∈R 恒成立，T ＝2a ；为假，sin x ＞cos x .案：②．已知命题：“存在x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围________． 案：[－8，＋∞)0．(2013·揭阳二模)已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为________．案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 1．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，判断否命题的真假：1)直线与x 轴都有交点；2)正方形都是菱形；3)梯形的对角线相等；4)存在一个三角形，它的内角和大于180°.案：(1)全称命题，否命题为：有些直线与x 轴没有交点．真命题．2)全称命题，否命题为：有些正方形不是菱形，假命题．3)全称命题，否命题为：有些梯形对角线不相等．真命题．4)特称命题，否命题为：所有三角形内角和小于或等于180°.真命题．2．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围． 析：命题p ：x 2－a ≥0，即a ≤x 2，∵x ∈[1，2]时，上式恒成立，而x 2∈[1，4]，∴a ≤1. 题q ：Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2. p 且q 为真命题，∴p ，q 均为真命题，∴a ＝1或a ≤－2.实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－2}．体验高考．(2014·湖北卷)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(D)．∀x0∉R，x20≠x0．∀x0∈R，x20＝x0．∃x∉R，x20≠x0．∃x0∈R，x20＝x0．(2014·天津卷)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为(B)．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1．∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1．∀x＞0，总有(x＋1)e x0≤1．∀x≤0，总有(x＋1)e x0≤1析：已知命题中含有“∀”，所以该命题是一个全称命题，由全称命题的否定形式可知，其否定是一个特称命题，把全称量词改为存在量词，然后把“(x＋1)e x＞1”改为“(x0＋1)e x ≤1”即可得到该命题的否定为：“∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1”，故选B.．(2013·重庆卷)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(A)．存在x0∈R，使得x20＜0．对任意x∈R，都有x2＜0．存在x0∈R，使得x20≥0．不存在x∈R，使得x20＜0．(2013·四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则(C )．綈p ：∃x ∈A ，2x ∈B．綈p ：∃x ∉A ，2x ∈B．綈p ：∃x ∈A ，2x ∉B．綈p ：∀x ∉A ，2x ∉B．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题綈p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是(B ) ．p ∧q B ．綈p ∧q．p ∧綈q D ．綈p ∧綈q析：对于命题p ，由于x ＝－1时，2－1＝12＞13＝3－1，所以是假命题，故綈p 是真命题；对于命题q ，设f (x )＝x 3＋x 2－1，由于f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以f (x )＝0在区间(0，1)上有解，即存在x ∈R ，x 3＝1－x 2，故命题q 是真命题． 上，綈p ∧q 是真命题，故选B.。
3.1 全称量词与全称命题 3.2存在量词与特称命题
③有的菱形是正方形；
④2x+1 (x∈R)是整数；
⑤对所有的x∈R,x>4;
⑥对任意一个x∈Z,2x+1为奇数 解析: ①②③⑥为真命题，④⑤为假命题
1.下列命题中为全称命题的是（ B ） A.今天有人请假
B.矩形都有外接圆
C.存在一个实数与它的相反数的和为0
D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
存在量词与特称命题的定义
短语“有些”“至少有一个”“有一个”“存
在” 都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作 存在量词 特称命题 ________.含有存在量词的命题，叫作_________.
思考
特称命题与存在量词的关系是什么?
提示：特称命题是与存在量词相联系的,一个命题中
如果含有如下的量词：“存在一个”“至少有一
全称量词 含有全称量词的命题，叫 这样的词叫作_________. 全称命题 作_________.
常见的全称量词有哪些？ 提示：常见的全称量词有 “一切 ” “任何”“每 一个” “所有的”“任给”等.
探究点2
存在量词与特称命题
思考 下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与
（4）之间有什么关系？
（1）方程x2+x-1=0的两个解都是实数解.
（2）每一个关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)都有 解. （3）有一个实数，不能作除数. （4）末位数字是0或5的整数，能被5整除. 提示：（1）（2）（4）全称命题，（3）特称命题.
例2
判断下列命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数. （假）
（2）对每一个无理数x，x2也是无理数. （假） （3）有一个实数x，使x2+3x+2=0成立. （真） （4）存在两个相交平面垂直同一条直线.
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§3全称量词与存在量词
3.1全称量词与全称命题
3.2存在量词与特称命题
课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假．
1．全称量词与全称命题
命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语，都是在指定范围内，表示______________的含义，这样的词叫作全称量词，含有______________的命题，叫作全称命题．
2．存在量词与特称命题
命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语，都是表示________的含义，这样的词叫作存在量词．含有____________的命题叫作特称命题．
一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是()
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
2．下列命题是特称命题的是()
A．偶函数的图像关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
3．下列是全称命题且是真命题的是()
A．任意x∈R，x2>0
B．任意x∈Q，x2∈Q
C．存在x0∈Z，x20>1
D．任意x，y∈R，x2＋y2>0
4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x0，使x20>0
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x0，使1
x0>2
5．下列全称命题中假命题的个数是()
①2x＋1是整数(x∈R)；
②对所有的x∈R，x>3；
③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数
A．0 B．1 C．2 D．3 6．下列命题中，真命题是()
A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C ．任意m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数
D ．任意m ∈R 2
二、填空题
7．下列特称命题中是真命题的有________．(填序号)
①存在x ∈R ，x 2＝0；
②有的菱形是正方形；
③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．
8．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________．
9．下列命题中，真命题有__________．(填序号)
①不存在实数x ，使x 2＋x ＋1<0；
②对任意实数x ，均有x ＋1>x ；
③方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根；
④不等式x 2－x ＋1|x |＋1
<0的解集为∅. 三、解答题
10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0.
(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2.
(3)存在T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |.
(4)存在x 0∈R ，使x 20＋1<0.
11．已知对任意x >0，a <x ＋1x
恒成立，求a 的取值范围．
能力提升
12．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )
A ．存在x ∈R ，12a x 2－bx ≥12ax 20
－bx 0 B ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20
－bx 0 C ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20
－bx 0 D ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20
－bx 0 1．判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写找到． 2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
§3 全称量词与存在量词
3.1 全称量词与全称命题
3.2 存在量词与特称命题
知识梳理
1．整体或全部 全称量词
2．个别或一部分 存在量词
作业设计
1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]
2．D [“存在”是存在量词．]
3．B [A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．]
4．B 5.C
6．A [对于选项A ，存在m ∈R ，当m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx ＝x 2是偶函数．故A 正确．]
7．①②③
解析 对于命题①，当x ＝0时，x 2＝0；对于命题②，有一个角是直角的菱形是正方形；对于命题③，整数1既不是合数，也不是素数．
8．(－2,2]
解析 当a ＝2时，显然符合条件；
当a ≠2时，有
⎩⎪⎨⎪⎧
a <2，Δ＝4(a －2)2－4(a －2)×(－4)<0， ⇒－2<a <2.
综上，a 的取值范围是(－2,2]．
9．①②④
解析 对于选项③，方程x 2－2x ＋3＝0没有实根，是假命题．
10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵a x >0 (a >0，a ≠1)恒成立，
∴命题(1)是真命题．
(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，
但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．
(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x 0∈R ，x 20
＋1>0， ∴命题(4)是假命题．
11．解 由于对任意x >0，a <x ＋1x
恒成立， 只需a <⎝⎛⎭
⎫x ＋1x min 恒成立． ∵x >0，x ＋1x
≥2，即⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝2. ∴a <2.故a 的取值范围是(－∞，2)．
12．C [由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a (x －b a )2－b 22a
，此时函数对应的图像开口向上，当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12
ax 20－bx 0＝－b 22a ，那么对于任意的x ∈R ，都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12
ax 20－bx 0.]。