解分式方程及增根-无解的典型问题

分式方程

1. 解分式方程的思路是：

（1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。

（2） 解这个整式方程。

（3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原

方程的增根，必须舍去。

（4） 写出原方程的根。

“一化二解三检验四总结”

例1：解方程214111

x x x +-=-- （1） 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。

（2） 增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。 例2：解关于x 的方程223242

ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a =

所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把增根代入整式方程求出字母的值。

例3：解关于x 的方程223242

ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-

当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。

当10a -≠时，整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。

把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。

综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。 例4：若分式方程212

x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。 解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23

>≠解得2a <且4a ≠- 思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？

2．若此方程无解a 的值是多少？

方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。

2.根据题意列不等式组。

当堂检测

1. 解方程1

1322x

x x -=---答案：2x =是增根原方程无解。

2. 关于x 的方程12144a x

x x -+=--有增根，则a =-------答案：7

3. 解关于x 的方程15m

x =-下列说法正确的是（C ）

A.方程的解为5x m =+

B.当5m >-时，方程的解为正数

C.当5m <-时，方程的解为负数

D.无法确定

4.若分式方程1x a

a x +=-无解，则a 的值为-----------答案：1或-1

5. 若分式方程=11m x

x +-有增根，则m 的值为-------------答案：-1

6.分式方程1

21m

x x =-+有增根，则增根为------------答案：2或-1

7. 关于x 的方程1

122k

x x +=--有增根，则k 的值为-----------答案：1

8. 若分式方程x a

a a +=无解，则a 的值是----------答案：0

9.若分式方程201m x

m x ++=-无解,则m 的取值是------答案：-1或1

-2

10. 若关于x 的方程(1)5

321m x m x +-=-+无解，则m 的值为-------答案：6，10

11. 若关于x 的方程3

11x m

x x --=-无解，求m 的值为-------答案：

12.解方程2116

2-x 2312x

x x -=---答案6

7x =-

13．解方程22

4

0x-11x -=-

14. 解方程22

12525x

x x -=-+

15. 解方程2

22213

339x x x x --=-+-

16. 关于x 的方程2

1326x m x x -=--有增根，则m 的值-----答案：m=2或-2

17.当a 为何值时，关于x 的分式方程3

11x a

x x --=-无解。答案:-2或1