航空旅客人数增长预测问题的数学模型

航空旅客人数增长预测问题的数学模型

03级数学与应用数学信息技术教育本科班 陈少广

指导老师：简国明，副教授

1 问题的提出

国内客运市场中航空客运的发展趋势与国内生产总值（GDP ）、消费水平和客运需求之间有着很强的关联度、牵制性，客运需求量的增长与经济增长量密切相关，它是随着国家经济发展而上升。当然它也会受到社会和经济发展因素的冲击而出现波动变化，但从我国目前社会经济的稳定发展状况看，客运需求仍呈现稳定增长的趋势。

航空公司、机场及相关企业只有对未来我国航空旅客运输量做出较为准确的预测，才能准确把握行业发展趋势，制定正确竞争和投资的战略。机场的新建和改、扩建以及航空公司机队调整、购置飞机等项目的决策都要依据科学的航空运输量预测值来决定。民航运输系统的各组成部分的投资规模和寿命期内的营运成本以及寿命期内的经济效益也取决于对未来航空量的准确预测。所以本课题对未来航空旅客人数增长预测是很有实际价值的。

2 模型假设与符号约定

2.1 模型的假设

1）航空旅客人数数量的增长主要由国内生产总值（GDP ），人均消费水平和

人均国内生产总值三个因素决定。 2）飞机油价在短期内不会有太大的波动。

3）近期内国内政治稳定，经济能稳定发展，不会发生战争、严重的自然灾

害或传染疾病等影响社会稳定。

2.2符号的约定

1）第i 年广东省航空旅客人数（单位：万人）：,2001,2000=i y i … 2）第i 年广东省国内生产总值（单位：亿元）：,2001,2000=i G i …

3）第i 年广东省人均消费水平(单位：元)：,2001,2000=i A i

…

3 模型的建立与求解

3.1 二元回归模型的建立

统计2000年以来，每半年航空旅客人数、国内生产总值和人均消费水平的数据，表格如下：

（表一）2000—2006年航空旅客人数、GDP 和人均消费水平

从(表一)能看出旅客人数和GDP 、人均消费水平大概成正比关系，现在运用数学软件MATLAB 对数据进行描点画线，大致分析了航空旅客人数和其他两者的关系，利用上表数据做出航空旅客人数和国内生产总值的散点图（图一），以及航空旅客人数和人均消费水平的散点图（图二）。

(图一) 航空旅客人数和国内生产总值散点图 (图二) 航空旅客人数和人均消费水平散点图

从图一可以发现，随着国内生产总值0i x 的增加,航空旅客人数i y 的值有明显的直线增长趋势,假设两者是由线性关系确定的,图中直线就是两者的线性模型

εββ++=i i G y 10 （1）

拟合的。

从图二可以发现，随着人均消费水平1i x 的增加，航空旅客人数i y 的值有向上弯曲增长的趋势，假设两者是由二次函数关系确定，图中的曲线就是两者的二次函数模型：

εβββ+++=2210i i i A A y （2）

拟合的。

综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型

εββββ++++=23210i i i i A A G y （3）

（3）式右端的i G 和i A 称为回归变量（自变量），

2

3210i i i i A A G y ββββ+++=是给定国内生产总值i G 、人均消费水平i A 时，旅客人数i y 的大概数量，其中的参数0β，1β，2β，3β称为回归系数，由表一的数据估计，影响i y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中，如果模型选择得合适，ε应大致服从均值为零的正态分布。

3.2 二元回归模型的求解

模型求解：在MATLAB 统计工具箱中的命令regress 求解，使用格式为：

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y ,x ,alpha)

其中输入y 为模型（3）中y 的数据（n 维向量，n ＝14），x 为对应于回归系数β，（0β 1β 2β 3β）的数据矩阵[1 i G i A 2i A ]（n*4矩阵，其中第1列为全1向量），alpha 为置信水平α（缺省时α＝0.05）；输出b 为β的估计值，常记做'β，

bint 为b 的置信区间，r 为残差向量y －x 'β，rint 为r 的置信区间，stats 为回归模型的检验统计量，包含有3个值，第1个是回归方程的决定系数2R （R 是 相关系数），第2个是F 统计量值，第3个是F 统计量对应的概率值p 。代入相应数据得到如下结果：

]0.0000020.3144,-0.2513,59.0390,[],,,[3210==βββββ

ε++-+=20.0000020.31440.251359.0390i i i i A A G y 预测得到未来航空人数为：

（表二）2007—2011年航空旅客人数的预测结果

3.3 GM(1，1)灰色模型的建立

3.3.1 灰色模型在预测航空旅客人数的适用性

灰色理论认为，一切随机变量都是一定范围内变化的灰色量，一切随机过程都是一定范围内变化的灰色过程。对灰色量，不是从找统计规律的角度通过大量样本进行研究，而是用数据生成的方法去开拓发现寻找潜藏在杂乱无章的数据中的规律，用参数模型的方法建立预测模型。灰色预测模型建立机理是根据系统的普遍发展规律，建立一般性的灰色微分方程，然后通过对数据的拟合，求得微分方程的系数，从而获得灰色预测模型方程。

航空旅客人数的预测要涉及很多的因素，包括有很多不确定的影响，甚至是无法估计的。同时一些可确定的数据对人数的影响方式是不能完全估计出来的。由以上讨论可知，航空旅客人数的预测具有一定的灰色性，可以用灰色理论的方法来分析。

3.3.2 GM(1,1)模型的建立 1）GM(1,1)建模序列0x :

原始数据),2(),1({000x x x =…)}(,0n x

2）AGO 序列1x ：

),2(),1({1

1

1

x x x =…)}(,1n x （ ∑===k

m m x k x x x 1

01

01)()(,)1()1( ）

3）1x 的均值序列1z ：

),3(),2({111z z z =…)}(,1n z （ 2

)

()1()(111

k x k x k z +-=

）

4）中间参数C,D,E,F

∑==n k k z C 2

1)( ∑==n k k x D 2

0)( )()(02

1k x k z E n k ∑== 2

2

1)(∑==n

k k z F

5) GM(1,1)模型的参数a 和b ：

2

2

)1()1()1(C

F n CE

DF b b C F n E

n CD a a ---=∆∆=

----=∆∆=