模拟低通滤波器设计

模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器指标：由参数A p 、A s 、Ωs （阻带截止频率），和Ωp(通带截止频率)给出 (Ωs=2πfs Ωp=2πfp ) 设计目标：确定滤波器阶次N 和截止频率Ωc 。

要求： （1） 在 Ω=Ωp ，-10lg|H a(j Ω)|2=A p, 或（2） 在Ω=Ωs ，-10lg|H a(j Ω)|2=A s,或解出N ：（N 四舍五入）为了在Ωp 精确地满足指标要求， 要求：或者在Ωs 精确地满足指标要求，要求：巴特沃斯滤波器的设计:巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数定义为式中，N 为正整数，代表滤波器的阶数。

注：巴特沃斯低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特性。

随着Ω由0增大，|H a(j Ω)|2单调减小，N 越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄。

在幅度平方函数式中代入Ω=s/j, 可得H a(s )H a(-s )的极点为 k =1, 2, …, 2N⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΩΩ+-=N c p p A 2)/(11lg 10⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΩΩ+-=N c s s A 2)/(11lg 10[]⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡ΩΩ--=)/lg(2)110/()110(lg 10/10/s p A A spN c ΩΩ=cΩΩ=Nc a j H 22)/(11|)(|ΩΩ+=ΩNc aa j s s H s H 211)()(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω+=-π⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+Ω=Ω-=N k jc c N k ej s 2122121)()1(为形成稳定的滤波器，H a(s )H a(-s )的2N 个极点中只取S 左半平面的N 个极点为H a(s )的极点，而右半平面的N 个极点构成H a(-s )的极点。

H a(s )的表示式为【例 1】 设计一个模拟低通巴特沃斯滤波器，指标如下：(1) 通带截止频率：Ωp=0.2π；通带最大衰减：A p=7 dB 。

(2) 阻带截止频率：Ωs=0.3π；阻带最小衰减：A s=16dB 。

解：由Ωp ，得 ：由Ωs ，得：在上面两个Ωc 之间选Ωc=0.5。

最后可得（级联型） ：【例 2】导出三阶（N =3）巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数。

设Ωc ＝2 rad/s 。

【解】 幅度平方函数是令Ω2=-s 2即s =j Ω，则有各极点: k =1, 2, …, 6由s 1, s 2, s 3三个极点构成的系统函数为 :∏=-Ω=N k kNca ss s H 1)()(⎡⎤379.2)3.0/2.0lg(2)]110/()110lg[(6.17.0==⎥⎥⎤⎢⎢⎡--=ππN 4985.01102.067.0=-=πc Q 5122.01103.066.1=-=πc Q )25.05.0)(5.0(125.0)(2+++=s s s s H a 62)2/(11|)(|Ω+=Ωj H )2/(11)()(66s s H s H a a -=-π⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=612212k j k es 3122231231222312316053543432321j es e s j e s j e s e s j es j j j j j j +====-==--==-==+-==πππππ312332()()()()81488c a H s s s s s s s s s c Ω=---=+++切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的设计：切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度平方函数为：( )式中，ε为小于1的正数，它是表示通带波纹大小的一个参数， ε越大，波纹也越大。

Ωc 为通带截止频率，也是滤波器的某一衰减分贝处的通带宽度（这一分贝数不一定是3dB 。

也就是说， 在切比雪夫滤波器中，Ωc 不一定是 3 dB 的带宽）。

CN (x )是N 阶切比雪夫多项式，定义为 |x |≤1(通带) |x |>1(阻带)4 脉冲响应不变法【例 】 设模拟滤波器的系统函数为利用脉冲响应不变法将H a(s )转换成H (z )。

【解】 直接得到数字滤波器的系统函数为设T =1，则有模拟滤波器的频率响应H a(j Ω) 为:数字滤波器的频率响应H (ej ω)为: )/(11|)(|222c N a C j H ΩΩ+=Ωε⎪⎩⎪⎨⎧=)arccos cosh()arccos cos()(hx N x N x C N 11010/2-=p A ε2211()4133a H s s s s s ==-++++1311331214()()111()TTTTTTTT T Tz e eH z z ez ez ee z e-------------=-=---++1120.3181 ()10.4177 0.01831 zH z zz---=-+22()()34a a s j H j H s j =ΩΩ==-Ω+Ω（）20.3181()()10.41770.01831j j j j j z e e H e H z e eωωωωω---===-+脉冲响应不变法基本原理其中：模拟滤波器的数字化由脉冲响应不变法的变换原理将H a(s )直接转换为数字滤波器H (z )。

假设：模拟滤波器的系统函数H a(s )只有单阶极点，且假定分母的阶次于分子的阶次，则：Ha(s)---- 采样：Z 变换：为使滤波器增益不随T 变化，令：则有:此时:【例 】设计一个数字低通滤波器， 指标如下：【解】首先将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标，即：⎩⎨⎧=+=ωΩσj re z j s ()()()()()a a Z a H s h t h nT h n H z −−−−−→−−−−→=−−−→拉普拉斯逆变换等间隔采样变换112()()sTa s a z ek k H z H s jk H s j k TT T π∞∞==-∞=-∞⎛⎫=-Ω=- ⎪⎝⎭∑∑⎩⎨⎧Ω==⇒Te r Tωσ1()Nk ka k H s s A s ==-∑∑=-==Nk ts ka a t u eA s H F t h k 11)()]([)(11()()()()()k k NNs nTs Tna k k k k h n h nT A eu n A eu n =====∑∑1011111()()()()1k k k Ns Tnnk n n k NNs Tnk k k kn s TH z h n zA ez A eezA z ∞∞--=-∞==∞--=======-∑∑∑∑∑∑()()a h n Th nT =11()1kks Nk T T H e z A z -==-∑()2a j a k H eH j H j k T T j T ωωπω∞=-∞⎛⎫=-≈ ⎛⎪⎪⎝⎭⎫⎝⎭∑p s 0.2 1dB0.35 10dBp s ωπαωπα====其中T 为采样周期。

这里假设T=1。

代码如下： T=1;%采样周期Wp=0.2*pi/T ; Rp=1;Ws=0.35*pi/T ;Rs=10;[N,Wc] = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's');[B,A]=butter(N, Wc, ‘s’); % 求H a(s ) [Bz,Az] = impinvar(B,A,1/T); % 求H (z )[c,b,a]=dir2par(Bz,Az) % 由直接型转化为并联型 结果为：c = 0b = 0.7719 -0.0680 -0.7719 0.2398a = 1.0000 -0.8774 0.2136 1.0000 -1.0410 0.5276双线性变换法例题：设计巴特沃斯低通数字滤波器，其技术指标如下：【解】：考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：这里，假设 T=1s 。

（1）确定参数p s 0.2rad/s 1dB 0.35rad/s 10dBpp ss R TT R TTωπωπΩ===Ω===0.2 p rad ωπ=0.3 s rad ωπ= 1 dBp A =15 dB s A =20.65 /2pp tg rad s T ωΩ==21.019 /2ss tgrad sT ωΩ== 1 dBp A =15 dBs A =/10/10lg (101)/(101) 5.3062lg(/)p s A A p s N ⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎢⎥==⎢⎥ΩΩ⎢⎥取： （2） 求出极点（左半平面）（3） 构造系统函数（4）将 变换成数字滤波器：6N=0.7662/c rad sΩ=121221,2,...,6k jN k c s ek π-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=Ω=661()()ca k k H s s s =Ω=-∏()aH s 11211121212()()11(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)1(10.90440.2155)a z s T z H z H s zz z z zz ---=⋅+------==⋅-+-+⋅-+。