模拟低通滤波器设计

模拟低通滤波器设计

模拟低通滤波器指标：

由参数A p 、A s 、Ωs （阻带截止频率），和Ωp(通带截止频率)给出 (Ωs=2πfs Ωp=2πfp ) 设计目标：确定滤波器阶次N 和截止频率Ωc 。 要求： （1） 在 Ω=Ωp ，-10lg|H a(j Ω)|2=A p, 或

（2） 在Ω=Ωs ，-10lg|H a(j Ω)|2=A s,

或

解出N ：

（N 四舍五入）

为了在Ωp 精确地满足指标要求， 要求：

或者在Ωs 精确地满足指标要求，要求：

巴特沃斯滤波器的设计:

巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数定义为

式中，N 为正整数，代表滤波器的阶数。 注：

巴特沃斯低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特性。随着Ω由0增大，|H a(j Ω)|2单调减小，N 越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄。 在幅度平方函数式中代入Ω=s/j, 可得

H a(s )H a(-s )的极点为 k =1, 2, …, 2N

⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΩΩ+-=N c p p A 2)/(11

lg 10⎥

⎦⎤⎢⎣⎡ΩΩ+-=N c s s A 2)/(11

lg 10[

]⎥⎥⎥

⎤

⎢⎢

⎢⎡ΩΩ--=)/lg(2)

110/()110(lg 10/10/s p A A s

p

N c ΩΩ=

c

ΩΩ=N

c a j H 22

)/(11|)(|ΩΩ+=ΩN

c a

a j s s H s H 211)()(⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛Ω

+=-π⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+Ω=Ω-=N k j

c c N k e

j s 2122121

)()1

(

为形成稳定的滤波器，H a(s )H a(-s )的2N 个极点中只取S 左半平面的N 个极点为H a(s )的极点，而右半平面的N 个极点构成H a(-s )的极点。 H a(s )的表示式为

【例 1】 设计一个模拟低通巴特沃斯滤波器，指标如下：

(1) 通带截止频率：Ωp=0.2π；通带最大衰减：A p=7 dB 。 (2) 阻带截止频率：Ωs=0.3π；阻带最小衰减：A s=16dB 。 解：

由Ωp ，得 ：

由Ωs ，得：

在上面两个Ωc 之间选Ωc=0.5。

最后可得（级联型） ：

【例 2】导出三阶（N =3）巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数。 设Ωc ＝2 rad/s 。 【解】 幅度平方函数是

令Ω2=-s 2即s =j Ω，则有

各极点: k =1, 2, …, 6

由s 1, s 2, s 3三个极点构成的系统函数为 :

∏=-Ω=N k k

N

c

a s

s s H 1

)

()(⎡⎤3

79.2)3.0/2.0lg(2)]110/()110lg[(6.17.0==⎥⎥⎤

⎢⎢⎡--=ππN 4985.01

10

2.06

7

.0=-=π

c Q 5122

.01

10

3.06

6

.1=-=π

c Q )

25.05.0)(5.0(125

.0)(2

+++=s s s s H a 6

2

)

2/(11

|)(|Ω+=

Ωj H )

2/(11

)()(6

6s s H s H a a -=-π⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-+=612212k j k e

s 3

12223

12312223123

160

53

543

4323

21j e

s e s j e s j e s e s j e

s j j j j j j +====-==--==-==+-==ππππ

π3

1233

2

()()()()8

1488

c a H s s s s s s s s s c Ω=

---=

+++

切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的设计：

切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度平方函数为：

( )

式中，ε为小于1的正数，它是表示通带波纹大小的一个参数， ε越大，波纹也越大。Ωc 为通带截止频率，也是滤波器的某一衰减分贝处的通带宽度（这一分贝数不一定是3dB 。也就是说， 在切比雪夫滤波器中，Ωc 不一定是 3 dB 的带宽）。CN (x )是N 阶切比雪夫多项式，定义为 |x |≤1(通带) |x |>1(阻带)

4 脉冲响应不变法

【例 】 设模拟滤波器的系统函数为

利用脉冲响应不变法将H a(s )转换成H (z )。

【解】 直接得到数字滤波器的系统函数为

设T =1，则有

模拟滤波器的频率响应H a(j Ω) 为:

数字滤波器的频率响应H (ej ω)为: )/(11|)(|2

22

c N a C j H ΩΩ+=Ωε⎪⎩⎪

⎨

⎧=)arccos cosh()arccos cos()(hx N x N x C N 11010

/2-=p A ε2

2

11()41

3

3

a H s s s s s =

=-

++++131

1

331

2

14()

()111()T

T

T

T

T

T

T

T T Tz e e

H z z e

z e

z e

e z e

-------------=

-

=

---++1

1

2

0.3181 ()10.4177 0.01831 z

H z z

z

---=

-+2

2

()()34a a s j H j H s j =ΩΩ==-Ω+Ω

（）20.3181()()10.41770.01831j j j j j z e e H e H z e e

ωω

ω

ωω

---===-+