随机变量及其分布-离散型随机变量的数学期望和方差
离散型随机变量的期望与方差及正态分布
离散型随机变量的期望与方差、正态分布教学目标：１更好地理解并会求解简单问题的离散型随机变量的分布列，特别是要重点把握二项分布；２.理解正态分布的σ3原则；３.掌握离散型随机变量的均值及方差的计算方法。
重、难点：实际问题中恰当定义随机变量，求离散型随机变量的分布列及其期望。
教学过程： [知识梳理] 一、均值：一般地，若离散型随机变量X 的分布列如下：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称∑==+⋅⋅⋅+++=ni ii n n px p x p x p x p x X E 1332211)(为离散型随机变量X 的均值．．或数学．．期望．．。
数学期望简称为期望。
离散型随机变量X 的均值．．[E (X)]也称为X 的概率分布的均值，它反映了X 取值的平均水平，并且它与X 有相同的单位。
E (X)是一个常数，不依赖于样本的抽取。
样本平均值是一个随机变量，它随着抽取的样本的不同而不同。
对随机抽取的样本，随着样本容量的增大，样本平均值越来越接近于总体的均值。
E (X)越大，说明总体的平均数越大，反之，就越小。
性质：１. E (C)＝C （C 为常数） ２. E (aX)=a E (X) 3. E (aX+b)=a E (X)+b 4. E (X+η)= E (X)+ E (η) 5. E (X ·η)= E (X)·E (η) (X ，η相互独立时) 6.若X 服从二点分布，则E (X)＝p 7.若X ～B (n ，p )，则E (X)＝n p 8.若X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布，则E (X)＝nM/N 。
（如果X ～B (n ，p )，则由11--=k n k n nC kC ，可得np q p C np qpnpCqp kC X E n k kn k k n nk k n k k n nk kn kk n====∑∑∑-=---=------=-1111)1(1111)(） 二、方差：设离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则2)(EX x i -描述了x i (i=1,2,…,n)相对于均值EX 的偏离程度。
38 随机变量及其分布、期望与方差(高2019届理科数学总复习讲义)
高2019届理科数学总复习讲义第三十八讲 随机变量及其分布、期望与方差知识提要1、 随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母,ξη等表示。
（1） 离散型随机变量。
如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
（2） 连续型随机变量。
如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。
（3） 若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量。
2、 离散性随机变量的分布列（1） 概率分布（分布列）。
设离散性随机变量ξ可能取的值为12,,x x ···,,i x ···,ξ取每一个值（1,2,i x =···）的概率()i i P x p ξ==，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
（2）二项分布。
如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在ｎ次独立重复试验中这个事件恰好发生ｋ次的概率是：()k k n k n P k c p q ξ-==（其中k=0，1，···，n ，q=1-p ），于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B(n,p)，其中n,p 为参数。
3、期望（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称1122n n E x P x P x p ξ=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅为ξ的数学期望，简称期望。
（2）离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量值的平均水平。
(3 ) 数学期望的性质：(),()E c C E a b aE b ξξ=+=+（,,a b c 为常数）。
3、 方差：（1）221122()()D x E P x E P ξξξ=-+-+···2()n n x E P ξ+-+···为ξ的方差。
离散型随机变量的分布列与期望和方差
离散型随机变量的分布列与期望和方差考点一：离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 (2)方差：称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根()X D 为随机变量X 的标准差．（3）均值与方差的性质 1．E(aX ＋b)＝aE(X)＋b. 2．D(aX ＋b)＝a2D(X)(a ，b 为常数)． 考点二：超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，如果随机变量X 的分布列具有下表形式，考点三：二项分布二项分布；在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 基础练习1.在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X 万元，则EX ＝（ ） A ．18.12B ．18.22C ．19.12D ．19.222.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量X 的期望与方差分别是10和8，则n ，p 的值分别是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知X 的分布列为X ﹣1 0 1 P且Y ＝aX +3，E （Y ）＝，则a 为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.设随机变量X ∼N(1,δ2),且P(X>2)=51,则P(0<X<1)=___.5.已知离散型随机变量x 的取值为0，1，2，且()()(),2,1,410b x p a x p x p ======若()1=X E ，则 ()=X D .6.若随机变量，且，，则当 ．（用数字作答）7.已知随机变量X 满足(23)7E X +=，(23)16D X +=，则下列选项正确的是( ) A ．7()2E X =，13()2D X = B ．()2E X =，()4D X = C ．()2E X =，()8D X = D ．7()4E X =，()8D X = 超几何分布VS 二项分布1.“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．2.某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50~(,)X B n p 52EX =54DX =(1)P X ==条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（1）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求x 的分布列和数学期望．3.假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁，保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取4个投保人，设其中活过65岁的人数为X ，保险公司支出给这4人的总金额为Y 万元(参考数据：40.90.6561=) (1)指出X 服从的分布并写出Y 与X 的关系； (2)求(22)≥P Y .(结果保留3位小数)考点四：正太分布1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,5(N ，若)2()2(-<=+>c p c p ξξ，则c 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72.已知随机变量服从正态分布即，且，若随机变量，则（ ）A ．0.3413B ．0.3174C ．0.1587D ．0.15863.已知随机变量X ∼N （2，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）A ．0.1359B ．0.7282C ．0.8641D ．0.932054.某市高三年级第二次质量检测的数学成绩X 近似服从正态分布N （82，σ2），且P （74＜X ＜82）＝0.42．已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ） A ．64B ．81C ．100D ．1215.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．X 2~(,)X N μσ()0.6826P X μσμσ-<≤+=~(5,1)X N (6)P X ≥=①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．。
离散型随机变量的期望与方差-高中数学知识点讲解
离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 …x n …
P p1 p2 …p n …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+x n p n+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝p n，则有p1＝p2＝…＝p n =
1
，Eξ＝（x1+x2+…+x n）
×
푛
1
，所以ξ
的数学期望又称为平均数、均值．
푛
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，x n，…，且取这些值的概率分别是p1，
p2，…，p n…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ퐷휉是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根퐷휉叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散
的程度；
1/ 2
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
2/ 2。
离散型随机变量、分布列、数学期望、方差
离散型随机变量、分布列、数学期望、方差：一、框架第一方面：离散型随机变量及其分布列1. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
常用大写英文字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。
2.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为： x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表ξx 1x 2…x i…P P 1 P 2 … P i …为随机变量ξ的分布列 3. 分布列的两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，… ⑵P 1+P 2+…=1.常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！第二方面：条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A 、B 同时发生记作A·B ，则有P （A·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )★相互独立事件A ，B 有关的概率的计算公式如下表：事件A ，B 相互独立 概率计算公式 A ，B 同时发生 P (AB )＝P (A )P (B )A ，B 同时不发生 P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝1－P (A )－P (B )＋P (A )P (B ) A ，B 至少有一个不发生 P ＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )A ，B 至少有一个发生 P ＝1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )A ，B 恰有一个发生P ＝P (A B －＋A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝P (A )＋P (B )－2P (A )P (B )2．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
随机变量及其分布-离散型随机变量的数学期望和方差
离散型随机变量的数学期望和方差知识点一、离散型随机变量的数学期望1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为2.意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。
nnii3.性质：若X是随机变量，Y=aX+b,其中a,b是实数，则Y也是随机变量，且E(aX+b)=aE(X)+b二、离散型随机变量的方差1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称D(X)=工(x—E(X))2p为随机变量的方差。
iii=12.意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。
3.性质：D(aX+b)=a2D(X)三、二项分布的均值与方差如果X〜B(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p)。
题型一离散型随机变量的均值【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)=1.6,则a-b=()A.0.2B.0.1C.-0.2D.0.4【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数§的数学期望为()A.0.6B.1C.3.5D.2【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分•小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的均值为•【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元•在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求P(X W n)20.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【过关练习】 1.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为E ，则E (勺等于() A ．0.765B ．1.75 C ．1.765D ．0.22 2•某射手射击所得环数d 的分布列如下： 3.已知随机变量d 的分布列为贝y x =,P (l W d <3)=,E (d )=. 4.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1) 求三种粽子各取到1个的概率； (2) 设X表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望. 题型二离散型随机变量方差的计算 【例1】若X 的分布列为 其中p W (0,1),贝％) A .D (X )=p 3B. C .D (X )=p —p 2D. D (X )=p 2 D (X )=pq 2【例2】设随机变量E 的分布列为P (^=k )=cA (^k\i^n-k ,k =o,1,2,…，n ,且E (^)=24,则D ©的值为()A .8 c? C.gB .12 D .16【例3】若D©=1,则D(f-D(f))=.3【例4】若随机变量X］〜B(n,0.2),坞〜2(6,p)X3〜B(n,p),且E(X J=2,D(X^，则6禺)=()A.0.5B.VT3C.、i25D.3.5【例5】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：求工期延误天数Y 的均值与方差.【过关练习】1.某人从家乘车到单位，途中有3个路口.假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为()A.0.48B.1.2C.0.72D.0.62.设投掷一个骰子的点数为随机变量X,则X的方差为.3•盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，n表示取到黑球的个数.给出699下列结论：①E(X)=5,E(n)=5；®E(X2)=E(n)；@E(n2)=E(X)；④D(X)=D(")=25・其中正确的是.(填上所有正确结论的序号)4•海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X］、坞(单位：s),其分布列如下：根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.课后练习【补救练习】1.若随机变量d〜B(n,0.6),且E(0=3,则P(^=1)的值为()A.2X0.44B.2X0.45C.3X0.44D.3X0.642.已知d〜B(n,p),E(d)=8,D(d)=1.6,则n与p的值分别为()A.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.83•有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)=E(X乙),方差分别为D(X甲乙)=11,D(X)=3.4.由此可以估计()ffl甲乙A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较4.一次数学测验有25道选择题构成,每道选择题有4个选项,其中有且只有一个选项正确,每选一个正确答案得4分,不做出选择或选错的不得分,满分100分,某学生选对任一题的概率为0.8,则此学生在这一次测试中的成绩的期望为；方差为.【巩固练习】1.现有10张奖券,8张2元的、2张5元的,某人从中随机抽取3张,则此人得奖金额的数学期望是()A.6B.7.8C.9D.122.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4发子弹,则命中后剩余子弹数目的均值为()A.2.44B.3.376C.2.376D.2.43•已知随机变量X+Y=8,若X〜B(10,0.6),则E(Y),D(Y)分别是()A.6,2.4B.2,2.4C.2,5.6D.6,5.64.马老师从课本上抄录一个随机变量d的概率分布列如下表：请小牛同学计算d的数学期望.“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E(勺=.5.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的2概率为3,得到乙、丙两公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X=O)=12，则随机变量X的数学期望E(X)=.6•随机变量E的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若E(0=3，则D(^)=•7•某城市出租汽车的起步价为6元，行驶路程不超出3km时按起步价收费，若行驶路程超出3km，则按每超出1km加收3元计费(超出不足1km的部分按1km计)．已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位:km),它们出现的概率分别为0.12,0.18,0.20，0.20,0.18,0.12,设出租车行车路程d是一个随机变量，司机收费为"(元)，则n=3<—3,求出租车行驶一天收费的均值.8•为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p,设d为成活沙柳的株数，数学期望E(d)=3,标准差丫苑为g6(1)求n,p的值并写出d的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.【拔高练习】1.设E为离散型随机变量，则E(E©_^=()A.0B.1C.2D.不确定2.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多21者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为3，乙获胜的概率为3,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望).3.A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和^•根据市场分析，X］和X2的分布列分别为:(1)在A，B两个项目上各投资100万元，3(万元)和与(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；⑵将x(0W x W100)万元投资A项目，(100—朗万元投资B项目，沧)表示投资A项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和.求夬朗的最小值，并指出x为何值时，沧)取到最小值.。
随机变量的数学期望与方差
随机变量的数学期望与方差随机变量在概率论中具有重要地位，它描述了随机事件的变化规律，数学期望和方差是衡量随机变量分布的重要指标。
一、数学期望数学期望是对随机变量取值的平均值的度量，记作E(X)，其中X为随机变量。
数学期望可以理解为长期重复试验中，随机变量取值的平均结果。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∑(x * P(X=x))其中x为随机变量的取值，P(X=x)为该取值发生的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中f(x)为随机变量的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值分散程度的度量，记作Var(X)或σ^2，其中X为随机变量。
方差描述的是随机变量取值与其数学期望之间的偏离情况。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∑((x - E(X))^2 * P(X=x))其中x为随机变量的取值，E(X)为该随机变量的数学期望。
对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中f(x)为随机变量的概率密度函数。
三、应用举例为了更好理解数学期望与方差的作用和计算方法，下面以骰子为例进行说明。
假设我们有一个六面骰子，其取值范围为1到6，每个面出现的概率相等。
我们可以定义骰子的随机变量X表示投掷后骰子的结果。
1. 计算数学期望：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5所以，这个六面骰子的数学期望为3.5，即在长期重复的投掷中，平均每次的点数是3.5。
2. 计算方差：Var(X) = ((1-3.5)^2 * 1/6) + ((2-3.5)^2 * 1/6) + ((3-3.5)^2 * 1/6) + ((4-3.5)^2 * 1/6) + ((5-3.5)^2 * 1/6) + ((6-3.5)^2 * 1/6) ≈ 2.92所以，这个六面骰子的方差为2.92，即在长期重复的投掷中，每次投掷结果与平均值3.5偏离的程度。
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，常见的分布函数和概率密度函数描述了随机变量的分布规律，而期望和方差则是描述随机变量的中心位置和离散程度的重要指标。
本文将介绍概率论中的常见分布以及期望和方差的概念和计算方法。
一、离散型分布在概率论中，离散型分布描述了随机变量取有限个或可列个数值的概率分布。
以下是几个常见的离散型分布：1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型分布，描述了只有两个可能结果的随机试验，比如抛硬币的结果。
设随机变量X表示试验的结果，取值为1或0，表示成功或失败的情况。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
设随机变量X表示成功的次数，取值范围为0到n，n为试验的次数，p为每次试验成功的概率。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布泊松分布描述了在一定时间或空间内随机事件发生的次数。
设随机变量X表示事件发生的次数，取值范围为0到无穷大。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数。
二、连续型分布在概率论中，连续型分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布。
以下是几个常见的连续型分布：1. 均匀分布均匀分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率相等的情况。
设随机变量X 在[a, b]区间内取值，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a≤x≤b。
2. 正态分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
高中数学离散型随机变量分布列、期望与方差
离散型随机变量——分布列、期望与方差从近几年高考试题看,离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有:①产品检验问题；②射击,投篮问题；③选题、选课,做题,考试问题；④试验,游戏,竞赛,研究性问题；⑤旅游,交通问题；⑥摸球球问题；⑦取卡片,数字和入座问题；⑧信息,投资,路线问题；⑨与概率分布直方图关联问题；⑩综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识问题着重考查分析问题和解决问题的能力。
一、离散型随机变量的分布列、期望与方差1.离散型随机变量及其分布列: (1)离散型随机变量:如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,这样的变量X 叫做一个随机变量.如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. (2)离散型随机变量的特点:①结果的可数性；②结果的未知性。
(3)离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X 所有可能的取值为i x ,与i x 对应的概率为i p (1,2,,)i n =,则下表:称为离散型随机变量X 的概率分布,或称为离散型随机变量X 的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质:①0i p >(1,2,,)i n =；②11nii p==∑(1,2,,)i n =.③(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+⋅⋅⋅ 2.离散型随机变量的数学期望:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ,2x ,…,n x , 这些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则1122()n n E x x p x p x p =+++,叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望).(2)离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.3.离散型随机变量的方差:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,这 些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差.(2)离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 (离散程度).(3)()D X的算术平方根叫做离散型随机变量X 的标准差,它也是一个衡量离散 型随机变量波动大小的量.4.随机变量aX b +的期望与方差:①()()E aX b aE X b +=+；②2()().D aX b a D X +=二、条件概率与事件的独立性:1.条件概率:对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做条件 概率,用符号“(|)P B A ”来表示.把由事件A 与B 的交(或积),记做D A B =(或D AB =). 2.事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,即(|)()P B A P B =,这时,我们称两 个事件A ,B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件1A ,2A ,…,n A 相互独立,那么这n 个事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯,并且上式中任意多个事 件i A 换成其对立事件后等式仍成立.三、几类典型的概率分布:1.两点分布:如果随机变量X 的分布列为其中01p <<,1q p =-,则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布.注:①两点分布又称01-分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验, 所以这种分布又称为伯努利分布. ②();().E X p D X np ==2.超几何分布:一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件 ()n N ≤,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个),称离散型随机变量X 的这 种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N ,M ,n 的超几何分布.记为:(,,)X H N M n .注:();ME X n N=2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-. 3.二项分布:(1)定义:如果每次试验,只有两个可能的结果A 及A ,且事件A 发生的概率相同(p ). 那么重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,这种试验称为n 次独立重复试验.在n 次试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为:()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,,)k n =.(2)二项分布:若将事件A 发生的次数为X ,事件A 不发生的概率为1q p =-,那么在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q-==, 其中0,1,2,,k n =,于是得到X 的分布列:由于表中第二行恰好是二项展开式00111()C C C C n n n kk n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布, 记作~(,)X B n p . (3)二项分布的均值与方差:若~(,)X B n p ,则()E X np =,()D x npq =(1)q p =-.4.几何分布:(1)定义:在独立重复试验中,某事件第一次发生时,所作试验的次数X 也是一个正 整数的离散型随机变量.“X k =”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ,()k p A p =,()1,k p A p =- 那么112311231()()()()()()()(1)k k k k k P X k P A A A A A P A P A P A P A P A p p ---====-.(0,1,2,k =…)；于是得到随机变量ξ的概率分布如下:记作(,),Xg k p(2)若(,),X g k p 则1()E X p =；21()pD X p-=(1)q p =-. 5.正态分布(1)概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时,直方图上 面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变量X ,则 这条曲线称为X 的概率密度曲线.(2)曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. (2)正态分布:①定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的, 而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作 用,则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分 布.服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量. ②正态变量概率密度曲线的函数表达式为 22()2()x f x μσ--=,x ∈R , 其中μ,σ是参数,且0σ>,μ-∞<<+∞.式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差. 期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作:2(,)XN μσ.③正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.④标准正态分布:我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布. ⑤正态变量在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+,(3,3)μσμσ-+内,取值的概率分别是 68.3%,95.4%,99.7%.⑥正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1,在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是 0.3%,故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内,这就是正态分布的3σ原则.⑦若2~()N ξμσ，,()f x 为其概率密度函数,则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函 数,特别的,2~(01)N ξμσ-，,称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数,()()x P x μξφσ-<=.离散型随机变量——分布列、期望与方差考点1.产品检验问题:例1.已知甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件,乙盒子内有5个正品元件和4个次品 元件,现从两个盒子内各取出2个元件,试求(1)取得的4个元件均为正品的概率； (2)取得正品元件个数ε的数学期望.例2.某车间在三天内,每天生产10件某产品,其中第一天,第二天分别生产出了1件、 2件次品,而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品, 则当天的产品不能通过.(1)求第一天通过检查的概率；(2)求前两天全部通过检查的概率；(2)若厂内对车间生产的产品采用记分制:两天全不通过检查得0分,通过1天、 2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.考点2.比赛问题:例3.,A B 两队进行篮球决赛,共五局比赛,先胜三局者夺冠,且比赛结束。
离散型随机变量的方差与期望值【实用资料】
k i
• 期望值E（X）也称为 随机变量X的变量。写出 掷一枚骰子出现点数的概率分布
概率分布
X = xi 1 2 3 4 5 6
P(X=xi) pi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
期望：μ=E(X)=
1.描述离散型随机变量取值的集中程
• 若X取值： x1 , x2，…，xn， 其对应的概率为 ： p1 ，p2 ，… ，pn ，则期望值为：
• E（X）= x1p1 +x2p2 +。。。+xnpn n xi pi
i 1
若X取无穷个数值：x1 , x2，…，xn ...其对应的概率为p1 ，
p2 ，… ，pn。。。
xi pi • 则期望值为： E（X）
由上式可知，方差实际上就是随机变量 X的函数[X－E（X）]2 的数学期望。于 是，若X是离散型随机变量，则
D(X)[(xiE(X)2]pi
ki
标准差
• 随机变量方差的算术平方根就为标准差。
•(X) D(X)
• 对掷骰子的例子，随机变量X的方差为：
n
2(X)D(X) [(xi E(X)]2pi
i1
(13.5)2*1+ 6
(23.5)2 *1 + 6
(33.5)2 *1+ 6
(43.5)2 *1 + 6
•(53.5)2
*1 6
+
(6
3.5)2
*
1 6
•
标准差=1.7078，说明每次掷得的点数与平均点数3.5平均 相距1.7078点。
•
随机变量的方差与标准差都反映了:随机
变量取值的稳定与波动、集中与离散的
概率论笔记(四)概率分布的下期望和方差的公式总结
概率论笔记（四）概率分布的下期望和方差的公式总结一：期望引入：1.1离散型随机变量的期望注：其实是在等概率的基础上引申来的，等概率下的权重都是1/N。
1.2连续型随机变量的期望注意:因为连续随机变量的一个点的概率是没有意义的，所以我们需要借用密度函数，如所示，这实际上是一个期望积累的过程。
1.3期望的性质注：其中第三个性质，可以把所有的X+Y的各种情况展开，最后得出的结果就是这样的。
二：随机变量函数（复合随机）的数学期望1.理解注：其实就是复合随机变量的期望，对于离散型，其主要是每个值增加了多少倍/减少了多少倍，但是概率不变，所以公式见上面；对于连续性随机变量，其实是一样的，每个点的概率没有变，所以就是变量本身的值发货所能了改变。
三：方差引入的意义：求每次相对于均值的波动：求波动的平方和：定义：注：其实就是对X-E(X)方，求均值其实就是方差，注意这里的均值也是加权平均，所以方差其实就是一种特殊的期望。
3.1离散型随机变量的方差3.2连续性随机变量的方差3.3方差的性质注：3）4）5）等性质可以套入定义中就可以得到，这里不多说；对于独立以及协方差见后；8）的证明如下四：协方差4.1定义注:与上一个变量相比，之前是一个变量移位平方，但这里是两个变量移位相乘。
4.2离散型二维随机变量的协方差4.3连续型二维随机变量的协方差4.4二维随机变量的协方差性质注：了解即可…4.5协方差矩阵五：相关系数所以：独立必不相关，但不相关不一定独立，因为这里的不相关指的是线性不相关，可能会有其他非线性关系，具体例子找到再补充-------。
参考链接：。
离散型随机变量的期望和方差公式
离散型随机变量的期望和方差公式
离散型随机变量是指其概率分布中的取值非连续，比较容易准确衡量的一种变量。
它的期望（Expectation）和方差（Variance）很容易求取，分别表示离散型
随机变量的平均值与离差的大小。
其具体的期望和方差的计算公式分别为：
期望：E(X)=∑(X×P(X))
方差：Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
其中，E(X)是离散型随机变量X的期望，P(X)是该随机变量X出现各种取值的
概率，Var(X)是X的方差。
从数学角度看，衡量离散型随机变量不同取值组合对系统产生的影响大小，首
先要做的就是求取这些函数的期望和方差。
以上公式可以很好地满足这一要求，只要知道每种取值的概率分布，按照公式便可轻松求得它的期望和方差。
计算期望和方差更重要的意义在于，它可以作为评价随机变量取值组合优劣的
标准。
期望和方差能够对随机对象的平均水平和变异程度有一个明确而准确的量化，是经济学研究中不可或缺的一项重要工具。
因此，熟练掌握离散型随机变量的期望和方差计算公式，可以有效的指导系统
优化、风险分析等管理与计算中的实际应用。
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式数学期望和方差是概率论和统计学中重要的概念，在许多领域中有广泛的应用。
它们是度量随机变量分布的指标，可以帮助我们了解随机现象的平均值和离散程度。
本文将详细介绍数学期望和方差的定义、性质以及计算公式。
一、数学期望数学期望，也称为均值或平均值，是衡量随机变量平均值的指标。
对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = Σx * P(X = x)其中，x代表随机变量X可能取到的值，P(X = x)表示随机变量取到x的概率。
对于连续型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
数学期望具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意两个随机变量X和Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
2. 递推性质：对于离散型随机变量X，可以通过递推公式E(X) = Σx * P(X = x)来计算。
3. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有E(X + c) = E(X) + c。
数学期望的计算公式可以帮助我们求解随机变量的平均值，进而了解随机现象的集中程度。
二、方差方差是衡量随机变量取值的离散程度的指标，它表示随机变量与其均值之间的差异程度。
对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx方差具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意随机变量X和Y，有Var(aX + bY) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y)。
2. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有Var(X + c) = Var(X)。
3. 零偏性：Var(X) >= 0，当且仅当X是一个常数时，等号成立。
离散型随机变量的分布列,期望与方差
１、随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示， 那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用 希腊字母 ξ、η 等表示．
随机变量将随机事件的结果数量化．
问题:某人射击一次，可能出现哪些结果？
若设射击命中的环数为ξ， 则ξ是一个随机变量. ξ可取０，1，2，…，10. ξ＝０，表示命中０环；
(1). pi 0, i 1，2，3，
(2). p1 p2 p3 1
例1、某一射手射击所得环数的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概 率
一般地，离散型随机变量在某一范围内的概 率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
例1.设p是 非 负 实 数， 随 机 变 量的 概 率 分 布为
0
1
2
P
1 p 2
p
1 2
则E的 最 大 值 为______,D的 最 大 值 为______
例2.A、B是 治 疗 同 一 种 疾 病 的 两种 药 ， 用 若 干 实 验 组 进 行 对 比 实 验 。每 个 试 验 组 由4个 小 白 鼠 组 成 ， 其 中2只 服 用A， 另2只 服 用B， 然 后 观 察 疗 效 。 若 在 一 个 试 验 组中 ， 服 用A有 效 的 小 白 鼠 的 只 数 比 服 用B有 效 的 多 ， 就 称 该 试 验组 为 甲 类
写出ξ的分布列. 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3.
当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它
两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故
有P(ξ=1)=
常见分布的数学期望与方差
If X
P ( ), then
D(X )
二、常见的连续型随机变量的数学期望与方差
1.均匀分布的方差
分布密度
1 f (x) b a 0 a x b 其 它
E(X )
3 b a 2
1 2
(a b)
2
方差
E(X
2
)
b a
x
2
b a
2
dx
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响
2
1
2
常见分布及其期望和方差列表
分布名称 数学期望E（X） 方差D（X）
p np
0-1分布
二项分布 泊松分布
pq
npq
a b 2
(b a ) 12
2
均匀分布
正态分布 指数分布
1
2
1
2
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
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离散型随机变量的数学期望和方差
知识点
一、离散型随机变量的数学期望 1.定义
一般地，如果离散型随机变量的分布列为
则称n n i i p x p x p x p x X E +++++= 2211)(为随机变量X 的数学期望或均值。
2.意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。
3.性质：若X 是随机变量，b aX Y +=，其中b a ,是实数，则Y 也是随机变量，且b X aE b aX E +=+)()( 二、离散型随机变量的方差 1.定义
一般地，如果离散型随机变量的分布列为
则称∑=-=
n
i i i
p X E x X D 1
2
))
(()(为随机变量的方差。
2.意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。
3.性质：)()(2
X D a b aX D =+ 三、二项分布的均值与方差
如果),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=。
题型一离散型随机变量的均值
【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝()
X0123
P0.1a b0.1
A.0.2 B．0.1
C．－0.2 D．0.4
【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为()
A．0.6 B．1
C．3.5 D．2
【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．
【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
【过关练习】
1.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为ξ，则E (ξ)等于( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765
D ．0.22
2.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
3.已知随机变量ξ的分布列为
则x ＝______，P (1≤ξ<3)＝4.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．
题型二 离散型随机变量方差的计算
【例1】若X 的分布列为
其中p ∈(0,1)，则( ) A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ．D (X )＝p －p 2
D ．D (X )＝pq 2
【例2】设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n
⎝⎛⎭⎫23k .⎝⎛⎭
⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24, 则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29
D ．16
【例3】若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________.
【例4】若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝3
2，则σ(X 3)＝( )
A ．0.5 B. 1.5 C. 2.5
D ．3.5
【例5】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：
求工期延误天数Y 的均值与方差．
【过关练习】
1.某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( ) A ．0.48 B ．1.2 C ．0.72
D ．0.6
2.设投掷一个骰子的点数为随机变量X ，则X 的方差为________．
3.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X 表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列结论：①E (X )＝65，E (η)＝95；②E (X 2)＝E (η)；③E (η2)＝E (X )；④D (X )＝D (η)＝925.
其中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
4.海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2(单位：s)，其分布列如下：
课后练习
【补救练习】
1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为()
A．2×0.44B．2×0.45
C．3×0.44D．3×0.64
2．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为()
A．100和0.08 B．20和0.4
C．10和0.2 D．10和0.8
3.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X
甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
4．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正
确答案得4分，不做出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．
【巩固练习】
1.现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是() A．6 B．7.8
C．9 D．12
2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为()
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
3.已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()
A．6,2.4 B．2,2.4
C．2,5.6 D．6,5.6
4.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
请小牛同学计算ξ
“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.
5.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2
3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生
得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝1
12，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.
6.随机变量ξ的分布列如下：
其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝1
3
，则D (ξ)＝________.
7.某城市出租汽车的起步价为6元，行驶路程不超出3 km 时按起步价收费，若行驶路程超出3 km ，则按每超出 1 km 加收3元计费(超出不足 1 km 的部分按 1 km 计)．已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位：km)，它们出现的概率分别为0.12,0.18，0.20，0.20,0.18,0.12，设出租车行车路程ξ是一个随机变量，司机收费为η(元)，则η＝3ξ－3，求出租车行驶一天收费的均值．
8.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D (ξ)为62
. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
【拔高练习】
1．设ξ为离散型随机变量，则E (E (ξ)－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．不确定
2.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1
3，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．
3.A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为：
(1)在A ，B 两个项目上各投资10012A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；
(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．。