第十一章 电流与磁场(安培力)
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此时通过线圈的磁通量 m 线圈处于稳定平衡状态，
BS
最大。
B
稳定平衡
(2)
, m B ,
则
M=0，
此时通过线圈的磁通量 m 线圈处于非稳定平衡状态，
BS
最小。
I
B
非稳定平衡
(3) , m B , 2
0
2 IBR
方向：
(2) 磁场与半圆面垂直
方向如图：
取电流元 Idl ， 受力 dF ：
dF IdlB sin IdlB IBRd 2 x dFx dF cos IBRcos d dF y dF sin IBR sin d A 由对称性： F y dF y 0 B 2 F 2 IBR i F Fx dFx IBRcos d 2 IBR
解：分左右两个半圆：
I d
dF
c
O
r
Idl dF
d ×
R
×
b
abc : Fabc I 2 RB cda : Fcda I 2 RB
M Fabc R Fcda R 4 IR 2 B ? dM dF R sin Idl B sin ( ) R sin IRd BR sin 2 IR 2 B sin 2 d
I n
l1
F1
B
mB sin 磁力矩定义：
磁力矩 M
大小：M
俯视图
M m B
(11-34)
m B sin
方向： 右手法则， M ( m B )
3. 讨论：
(1)
M m B
I
0 , m B , 则 M = 0 ，
B
粒子做直线运动 2 B 的情况 粒子做匀速圆周运动， 向心力 f qB
× × × × × ×
qB m
2
R
2 R
m 圆周半径 R qB
× × × × × × B Fm× × × × × ×
× × × × × ×
× × ×q × × ×
周期 T
O
I1
dF
B
b x x I 2 dl I 2 L d
a
二、两无限长平行直电流导线间的相互作用
0I2 0 I1 B1 , B2 2 a 2 a 0 I1 I 2 dF1 B2 I1dl1 dl1 2 a 0 I1 I 2 dF2 B1 I 2dl 2 dl 2 2 a
B nqS dl sin
v
Idl q
I nqS I
dl
dNBq sin （dN nSdl ）
dF 每个运动电荷所受的磁 场力 qB sin dN
洛仑兹力 f q B
大小 f qvB sin
方向 q 0 f v B; q o f v B
B
b
I
F IB ab j
x
a
★ 结论： 在均匀磁场中任意形状载流导线所受的磁力
O
I
= 该导线起点与终点间直载流导线所受的磁力。
例 3：
求：无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线 ab 的磁力。 已知： I , I , L , d , 直导线 ab垂直于长直导线。 解： 建立坐标系如图： 无限长直载流导线的磁场：
1 2
0 I1 I 2 dx d F I 2d l B 2 x d L I I 0 I1 I 2 d L 0 1 2 ln F dF dx L 2 d 2 x d
取电流元 Idl ， 受力 dF ：
0 I1 B 2 x
（非均匀磁场 ）
(4) 定义使用于任意形状的平面载流线圈。
S
m
(3) 磁矩 m 是矢量，仅与载流线圈本身有关，与外磁场无关。
2. 磁场对载流线圈的作用 — 磁力矩 M
以均匀磁场对矩形载流线圈的作用为例。 各边所受的磁力分别为：
F2
ab : F2 I l1 B sin cd : F2 I l1 B sin( )
特 征： 1、始终与电荷的运动方向垂直，因此洛仑兹力不改运 动电荷速度的大小，只能改变电荷速度的方向， 使路径发生弯曲。 2、洛仑兹力永远不会对运动电荷作功。
二、 带电粒子在匀强磁场中的运动
1 平行B 或反平行 B的情况
f q B
f 0
恒矢量
A
f
V
洛 Et
1 qB 2 m 频率 T 2 m qB
3 与B 成角
m m sin 圆周运动半径 R qB qB 2R 2m 周期 T qB
螺距 h ： h //T cos T
// cos sin
引力 斥力
三、磁场对载流线圈的作用
1. 载流线圈的磁矩 (1) 规定： 载流线圈平面的单位正法向 n 与电流 I 成右手关系。 (2) 定义： 载流线圈的磁矩 m 为：
I
S
n n
m
单匝线圈： m I S n
其中： S — 载流线圈包围的面积 。
I
N 匝线圈： m N ISn
大小：dF Idl B sin IBdl 2 dFx dF cos IBdl cos IBdy dF y dF sin IBdl sin IBdx
取电流元 Idl ， 受力 dF ：
y
B dF y d F dFx I Idl b x
aO
0 b b Fx dFx IB dy IB dy 0 a a 0 b b ab
F y dF y IB dx IB dx IB ab a a 0 y F Fab IB ab j F 比较ab 间的直载流导线的力：
分别取电流元 I1dl1，I 2dl 2 。
B2
I1
I1dl1 dF1 dF2
I2
I 2dl2
a
B1
单位长度导线间所受的相互作用磁力：
dF1 dF2 0 I1 I 2 dl1 dl 2 2 a
※ “ 安培 ”的定义。(p 404)
I1 I 2 , I1 I 2 ,
F Idl B
L
（矢量积分 ）
(11-29)
2. 载流直导线在均匀磁场中受的安培力 取电流元 Idl ， 受安培力： dF I d l B
I
Idl × dF
dF IdlB sin , F dF I dl B sin
2 比较位于直径的直载流导线受的力： F
大小：
dF y d F A dF x Idl d O R I
y
2 IBR
（ 1） （ 2）
例 2： 求：任意形状载流导线ab 在均匀磁场中受的磁力。
解：选 ab连线方向为 x 轴， 建立坐标系如图：
则 M mB M max
，
此时通过线圈的磁通量
m 0
。
×
I
B
(4) 磁力矩使载流线圈转向 m 增加的方向， 转向稳定平衡状态。
磁力矩最大
(5) 磁力矩公式适用于均匀磁场中的任意载流线圈。
例 4：如图所示，半径为R，电流I为的 圆形载流线圈放在均匀磁场中，磁感 应强度B沿轴正向，问线圈受力矩情况 如何。
b
a
y
I
B
B Bi , m I R 2 k , 2 M m B I R B j
o
x B
§11-6 带电粒子在磁场中的运动
一、洛仑兹力 ——运动电荷在磁场中所受的磁场力
取电流元 Idl
安培力 dF BIdl sin( Idl , B)
M 2 dM 2 IR 2 B sin 2 d abc
0
×
a
B
1 2 2 IR B( sin 2 ) 2 4 0
I R B ISB m B
2
I d
dF
c
O
r
Idl dF
×
R
d ×
方向： 可用公式直接求：
×
L
L
IB sin
(1) (2)
L dl IBL sin
B
× F ILB sin 0 , , 导线∥B , F 0 . 导线⊥B , F F , max ILB .
2
例1：求：刚性半圆形载流导线在均匀磁场中受的磁力。
（1）磁场与半圆面平行
I l1 B sin bc : F1 I l2 B sin I l2 B × 2 da : F1 I l2 B sin I l2 B 2
d
c
I F × 1
I
F1
l2
★ 结论： 平面载流线圈在均匀外磁场中所受合外力
=0。 但 F2 与 F2 作用于同一直线， 而 F1 与 F1不作用于同一直线。
§11-5 磁场对载流导线的作用
安培力 — 磁场对载流导线的作用力（磁力）。
一、安培定律
反映电流元在磁场中受到的安培力的规律。
安培力公式：
dF I d l B
(11-28)
dF
大小： dF
I d l B swk.baidu.comn
Idl dF ×
I
B
方向： 右手法则。
1. 载流导线受到的安培力
B
//
B
//
h
2m cos qB
相同，这正是磁聚焦的 原理。
q
R
上式h说明仅与v //有关，虽v 不同的粒子，但其螺距
三 霍耳效应
厚度h,宽为 l 导电薄片，沿x轴通有电流强度I，当在Y轴方向
加以匀强磁场B时，在导电薄片两侧 ( A, A )产生一电位差 VAA ，这一现象称为 霍耳效应
F1 F1 ,
F2 F2
a
n
b
B
l1
F2
由于 F1 与 F1 不作用于同一直线，
所以对载流线圈有力矩作用，如图：
M F1l1 cos F1l1 sin Il2 Bl1 sin ISB sin
F1
A 指向 A的电场 EH显然 EH 对q的作用力: VH 大小： f e qE H q l 电场力 f H qE H
方向：沿Z轴负向
平衡时 f 洛 f H
此时载流子将作匀速直线运， 同时 A、A 两侧停止电荷
+ + + + + + + +
取电流元 Idl ， 受力 dF ：
Idl B sin , dl Rd ,
A
dF
大小：dF 其中
方向：
A
d
Idl
I
R
B
因各电流元受力方向相同, 则有:
F dF Idl B sin
IBRsin d
0
L
L
IBR( cos )
A
I
Z
y
B
l
B
I
I x
A
h
定量分析霍耳电压 VAA VH 与电流I、磁场B、导电薄片 厚h之间的关系
设导电薄片的载流子（参与导电的带电粒子）电量为q,(q>0) Z y B 其定向速度 v与电流方向同向。 A +++++ +++++++ q受力为： f洛 I x I I B f 洛 qB 大小： l fH EH f 洛 q B h 方向：沿Z轴正向 A 因为有 f 洛 作用， A 侧堆积正电荷，A 侧出现负电荷 ,所以产生
BS
最大。
B
稳定平衡
(2)
, m B ,
则
M=0，
此时通过线圈的磁通量 m 线圈处于非稳定平衡状态，
BS
最小。
I
B
非稳定平衡
(3) , m B , 2
0
2 IBR
方向：
(2) 磁场与半圆面垂直
方向如图：
取电流元 Idl ， 受力 dF ：
dF IdlB sin IdlB IBRd 2 x dFx dF cos IBRcos d dF y dF sin IBR sin d A 由对称性： F y dF y 0 B 2 F 2 IBR i F Fx dFx IBRcos d 2 IBR
解：分左右两个半圆：
I d
dF
c
O
r
Idl dF
d ×
R
×
b
abc : Fabc I 2 RB cda : Fcda I 2 RB
M Fabc R Fcda R 4 IR 2 B ? dM dF R sin Idl B sin ( ) R sin IRd BR sin 2 IR 2 B sin 2 d
I n
l1
F1
B
mB sin 磁力矩定义：
磁力矩 M
大小：M
俯视图
M m B
(11-34)
m B sin
方向： 右手法则， M ( m B )
3. 讨论：
(1)
M m B
I
0 , m B , 则 M = 0 ，
B
粒子做直线运动 2 B 的情况 粒子做匀速圆周运动， 向心力 f qB
× × × × × ×
qB m
2
R
2 R
m 圆周半径 R qB
× × × × × × B Fm× × × × × ×
× × × × × ×
× × ×q × × ×
周期 T
O
I1
dF
B
b x x I 2 dl I 2 L d
a
二、两无限长平行直电流导线间的相互作用
0I2 0 I1 B1 , B2 2 a 2 a 0 I1 I 2 dF1 B2 I1dl1 dl1 2 a 0 I1 I 2 dF2 B1 I 2dl 2 dl 2 2 a
B nqS dl sin
v
Idl q
I nqS I
dl
dNBq sin （dN nSdl ）
dF 每个运动电荷所受的磁 场力 qB sin dN
洛仑兹力 f q B
大小 f qvB sin
方向 q 0 f v B; q o f v B
B
b
I
F IB ab j
x
a
★ 结论： 在均匀磁场中任意形状载流导线所受的磁力
O
I
= 该导线起点与终点间直载流导线所受的磁力。
例 3：
求：无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线 ab 的磁力。 已知： I , I , L , d , 直导线 ab垂直于长直导线。 解： 建立坐标系如图： 无限长直载流导线的磁场：
1 2
0 I1 I 2 dx d F I 2d l B 2 x d L I I 0 I1 I 2 d L 0 1 2 ln F dF dx L 2 d 2 x d
取电流元 Idl ， 受力 dF ：
0 I1 B 2 x
（非均匀磁场 ）
(4) 定义使用于任意形状的平面载流线圈。
S
m
(3) 磁矩 m 是矢量，仅与载流线圈本身有关，与外磁场无关。
2. 磁场对载流线圈的作用 — 磁力矩 M
以均匀磁场对矩形载流线圈的作用为例。 各边所受的磁力分别为：
F2
ab : F2 I l1 B sin cd : F2 I l1 B sin( )
特 征： 1、始终与电荷的运动方向垂直，因此洛仑兹力不改运 动电荷速度的大小，只能改变电荷速度的方向， 使路径发生弯曲。 2、洛仑兹力永远不会对运动电荷作功。
二、 带电粒子在匀强磁场中的运动
1 平行B 或反平行 B的情况
f q B
f 0
恒矢量
A
f
V
洛 Et
1 qB 2 m 频率 T 2 m qB
3 与B 成角
m m sin 圆周运动半径 R qB qB 2R 2m 周期 T qB
螺距 h ： h //T cos T
// cos sin
引力 斥力
三、磁场对载流线圈的作用
1. 载流线圈的磁矩 (1) 规定： 载流线圈平面的单位正法向 n 与电流 I 成右手关系。 (2) 定义： 载流线圈的磁矩 m 为：
I
S
n n
m
单匝线圈： m I S n
其中： S — 载流线圈包围的面积 。
I
N 匝线圈： m N ISn
大小：dF Idl B sin IBdl 2 dFx dF cos IBdl cos IBdy dF y dF sin IBdl sin IBdx
取电流元 Idl ， 受力 dF ：
y
B dF y d F dFx I Idl b x
aO
0 b b Fx dFx IB dy IB dy 0 a a 0 b b ab
F y dF y IB dx IB dx IB ab a a 0 y F Fab IB ab j F 比较ab 间的直载流导线的力：
分别取电流元 I1dl1，I 2dl 2 。
B2
I1
I1dl1 dF1 dF2
I2
I 2dl2
a
B1
单位长度导线间所受的相互作用磁力：
dF1 dF2 0 I1 I 2 dl1 dl 2 2 a
※ “ 安培 ”的定义。(p 404)
I1 I 2 , I1 I 2 ,
F Idl B
L
（矢量积分 ）
(11-29)
2. 载流直导线在均匀磁场中受的安培力 取电流元 Idl ， 受安培力： dF I d l B
I
Idl × dF
dF IdlB sin , F dF I dl B sin
2 比较位于直径的直载流导线受的力： F
大小：
dF y d F A dF x Idl d O R I
y
2 IBR
（ 1） （ 2）
例 2： 求：任意形状载流导线ab 在均匀磁场中受的磁力。
解：选 ab连线方向为 x 轴， 建立坐标系如图：
则 M mB M max
，
此时通过线圈的磁通量
m 0
。
×
I
B
(4) 磁力矩使载流线圈转向 m 增加的方向， 转向稳定平衡状态。
磁力矩最大
(5) 磁力矩公式适用于均匀磁场中的任意载流线圈。
例 4：如图所示，半径为R，电流I为的 圆形载流线圈放在均匀磁场中，磁感 应强度B沿轴正向，问线圈受力矩情况 如何。
b
a
y
I
B
B Bi , m I R 2 k , 2 M m B I R B j
o
x B
§11-6 带电粒子在磁场中的运动
一、洛仑兹力 ——运动电荷在磁场中所受的磁场力
取电流元 Idl
安培力 dF BIdl sin( Idl , B)
M 2 dM 2 IR 2 B sin 2 d abc
0
×
a
B
1 2 2 IR B( sin 2 ) 2 4 0
I R B ISB m B
2
I d
dF
c
O
r
Idl dF
×
R
d ×
方向： 可用公式直接求：
×
L
L
IB sin
(1) (2)
L dl IBL sin
B
× F ILB sin 0 , , 导线∥B , F 0 . 导线⊥B , F F , max ILB .
2
例1：求：刚性半圆形载流导线在均匀磁场中受的磁力。
（1）磁场与半圆面平行
I l1 B sin bc : F1 I l2 B sin I l2 B × 2 da : F1 I l2 B sin I l2 B 2
d
c
I F × 1
I
F1
l2
★ 结论： 平面载流线圈在均匀外磁场中所受合外力
=0。 但 F2 与 F2 作用于同一直线， 而 F1 与 F1不作用于同一直线。
§11-5 磁场对载流导线的作用
安培力 — 磁场对载流导线的作用力（磁力）。
一、安培定律
反映电流元在磁场中受到的安培力的规律。
安培力公式：
dF I d l B
(11-28)
dF
大小： dF
I d l B swk.baidu.comn
Idl dF ×
I
B
方向： 右手法则。
1. 载流导线受到的安培力
B
//
B
//
h
2m cos qB
相同，这正是磁聚焦的 原理。
q
R
上式h说明仅与v //有关，虽v 不同的粒子，但其螺距
三 霍耳效应
厚度h,宽为 l 导电薄片，沿x轴通有电流强度I，当在Y轴方向
加以匀强磁场B时，在导电薄片两侧 ( A, A )产生一电位差 VAA ，这一现象称为 霍耳效应
F1 F1 ,
F2 F2
a
n
b
B
l1
F2
由于 F1 与 F1 不作用于同一直线，
所以对载流线圈有力矩作用，如图：
M F1l1 cos F1l1 sin Il2 Bl1 sin ISB sin
F1
A 指向 A的电场 EH显然 EH 对q的作用力: VH 大小： f e qE H q l 电场力 f H qE H
方向：沿Z轴负向
平衡时 f 洛 f H
此时载流子将作匀速直线运， 同时 A、A 两侧停止电荷
+ + + + + + + +
取电流元 Idl ， 受力 dF ：
Idl B sin , dl Rd ,
A
dF
大小：dF 其中
方向：
A
d
Idl
I
R
B
因各电流元受力方向相同, 则有:
F dF Idl B sin
IBRsin d
0
L
L
IBR( cos )
A
I
Z
y
B
l
B
I
I x
A
h
定量分析霍耳电压 VAA VH 与电流I、磁场B、导电薄片 厚h之间的关系
设导电薄片的载流子（参与导电的带电粒子）电量为q,(q>0) Z y B 其定向速度 v与电流方向同向。 A +++++ +++++++ q受力为： f洛 I x I I B f 洛 qB 大小： l fH EH f 洛 q B h 方向：沿Z轴正向 A 因为有 f 洛 作用， A 侧堆积正电荷，A 侧出现负电荷 ,所以产生