第四章随机信号通过线性系统.
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第4章 随机过程通过线性系统分析
证明：由于
上述积分可用极限形式表示：
、 固定时， 为确定的常用，上式是正态变量 的线性组合，而正态的线性组合还是正态分布。
2．高斯过程的均值与方差近似计算
对于高斯过程，只要均值与方差确定，则整个分布函数便确定。
由于
取定一个合适的 ，利用
可求出求出 均值与方差的近似值。
作业：P1515.1，5.2，5.7，5.8，5.9，5.11，5.14，5.15，5.26，5.28。
等效原则：理想系统与实际系统的输出平均功率相等。
例：设理想输出为 ，理想系统是矩形传输函数
为等效带宽。
如何确定 ？
依等效原则，理想系统的平均功率为 ，而
所以
称 为等效噪声带宽。
3．白噪声通过理想低通线性系统
在实际应用中，设
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
但求输入的概率分布不是一件容易的事为使问题得到简化一般我们假设高斯随机过程通过线性系统定理
第4章随机过程通过线性系统分析
引言：信号与系统的传统理论方法的基础是卷积运算。如图，
图1：系统的物理示意图
是系统的输入， 是系统的输出， 是系统的冲激响应函数
其中 ，为冲激函数。
对于线性系统，系统的数学运算为：
相关时间为
4．白噪声通过理想带通线性系统
理想带通线性系统具有理想矩形频率特性
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
可写成
称为相关函数的包络。
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
相关时间为
5．白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统
上述积分可用极限形式表示：
、 固定时， 为确定的常用，上式是正态变量 的线性组合，而正态的线性组合还是正态分布。
2．高斯过程的均值与方差近似计算
对于高斯过程，只要均值与方差确定，则整个分布函数便确定。
由于
取定一个合适的 ，利用
可求出求出 均值与方差的近似值。
作业：P1515.1，5.2，5.7，5.8，5.9，5.11，5.14，5.15，5.26，5.28。
等效原则：理想系统与实际系统的输出平均功率相等。
例：设理想输出为 ，理想系统是矩形传输函数
为等效带宽。
如何确定 ？
依等效原则，理想系统的平均功率为 ，而
所以
称 为等效噪声带宽。
3．白噪声通过理想低通线性系统
在实际应用中，设
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
但求输入的概率分布不是一件容易的事为使问题得到简化一般我们假设高斯随机过程通过线性系统定理
第4章随机过程通过线性系统分析
引言：信号与系统的传统理论方法的基础是卷积运算。如图，
图1：系统的物理示意图
是系统的输入， 是系统的输出， 是系统的冲激响应函数
其中 ，为冲激函数。
对于线性系统，系统的数学运算为：
相关时间为
4．白噪声通过理想带通线性系统
理想带通线性系统具有理想矩形频率特性
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
可写成
称为相关函数的包络。
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
相关时间为
5．白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统
随机过程通过线性系统
现代通信原理
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
随机信号分析PPT课件
RY ( )
N0 (bebu)(beb(u))du 20
N0b2 eb e2budu N 0b e b
2
0
4
相关函数为偶函数，τ<0时
R Y ( )
输出自相关函数为
N 0b e b 4
RY()
N0beb 4
a
25
输出的平均功率为
E[Y 2 (t)] RY (0)
N 0b 4
b为时间常数的倒数
a
2
4.1 线性系统的基本理论 4.1.1 线性时不变系统
x(t)
y(t)
L[ ·]
y(t)L[x(t)]
连续时间系统 双侧系统
离散时间系统
单侧系统
a
双侧信号 单侧信号
3
线性系统
L [ a 1 ( t ) x b 2 ( t ) x a ][ x 1 ( t L ) b ][ x 2 ( L t )]
RXY()0 h(u)RX(u)du
输出自相关R 函YX数(为)0 h(u)RX(u)du
RY()h(u)h(v)RX(uv)dudv
0
R Y()0 h(u)RXY(u)du
R Y()0 h(u)R Y aX(u)du
18
输出的均方值（总平均功率）
E[Y2(t)]h(u)h(v)RX(uv)dudv
(
)
N 0b 4
eb
与白噪声输入时 情况相同
a
31
例4.3中的相关函数可以进一步表示为
R Y()4 N 0e b 1 b 1 2/ 2 1be ( b)
二、双侧随机信号
K X(t)
Y(t) h(t)
Y(t)0h(u)X (tu)U (tu)du
随机信号基础ch3第四章
• 用样本统计法来估计这一个样本的数字 特征量，有：
ˆ mx
2
1
x n
i 1
n
i
0.0479
2 i
ˆ mx 0.0023
2
ˆ E[m x ]
1
n
x n
i 1
n
0.7491
ˆ x
2
1
n
i 1
ˆ 2 ( xi mx ) 0.7468
n
ˆ C xx (m)
stdx=std(x);
XCORR produces an estimate of the correlation between two random (jointly stationary) sequences: C(m) = E[A(n+m)*conj(B(n))] = E[A(n)*conj(B(n-m))]
例，设x是平稳随机实信号，证明 自相关函数的3个有用性质：
2) Rxx (m) Rxx (m)
Rxx (m) E[ x(n) x(n m)]
E[ x(k m) x(k )] Rxx (m)
例，设x是平稳随机实信号，证明 自相关函数的3个有用性质： 2 3) Rxx () mx
2
1
样本协方差
ˆ C xy (m)
i n
n
i 1
n
ˆ x )2 ( xi m
(3-19) (3-20)
1 n
ˆ ˆ ( xi m x )( yi m m y )
i 1
n
ˆ x my 是它的样本平均值，当 与 i i 1 i n yi i 1 相同时，上式求到的就是样本自 协方差。
第四章 随机信号通过非线性系统分析
第四章 随机信号通过非线性系统的分析4.1 通信中常见的非线性系统从电子设备各组成部分的作用结果看，基本上可以把它们划分成线性系统和非线性系统两大类，非线性系统与线性系统有两个重要方面不同；1．一般来说对于线性系统的解，入们通常能够求得封闭形式的表达式，而对非线性系统来说，这一点并不是总能实现的。
人们往往不得不满足于找出收敛于真实解的近似函数，或者对真实解作出估计。
因此同线性系统比较起来人们一般不能确切地知道什么是非线性系统的精确解。
2．分析非线性系统相对于线性系统来说一般涉及的数学在概念上更高深，在内容上则更繁杂。
由于线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系统也可以理解为不满足叠加原理的系统。
本章主要是研究随机信号通过非线性系统的分析。
在对非线性系统的分析中，也可划分成无惰性和惰性两种情况。
如果在某个瞬时t 的输出随机信号，只取决于同一瞬时的输入随机信号，那么我们可以用一个函数关系把它表示为()[()]Y t g X t =式中g[]代表某种非线性函数关系。
这样的非线性关系，我们称之为无惰性的。
凡在一个非线性系统中，只要有贮能元件存在，它就会有惰性。
但在有些情况下，可以把非线性系统中的贮能元件，归并在非线性系统的输入及输出的线性系统中。
换句话说，即使我们遇到了一个非线性的有惰性的系统，往往可以作某种折合或等效归并到下一级的输入电路或前级的输出电路中去。
表示非线性系统特性的()g x 通常可以用实验的方法得到，如电子管、半导体器件的伏安特性曲线。
为了要进行理论分析，往往是在实验的基础上，采用各种渐近方法求出()g x 。
从理论上讲，比较方便的有多项式，折线和指数等渐近方法。
每种方法各具有优缺点，因为所要求的渐近精确性和解析表达式的简单性往往是有矛盾的，通常在它们之间只能采用折衷的方法去处理这种矛盾。
在通信当中，主要有下列几个简单的非线性系统：通过非线性系统， 我们一般化放大器和衰减器的概念。
例如， 一个·模拟放大器输出的电压不会高于它们的动力供给电压，这就导致了峰值剪 （clipping ）. 这种形式的非线性系统为：(())Ax t θy(t)=Clib 这里,,,x x x Clip x θθθθθθθ≥⎧⎪-<<⎪=⎨--≥⎪⎪⎩与峰值剪相对应的一种非线性系统是 中心剪 （center clipper ）, 其式为：0,||(),x y C x x θθ<⎧==⎨⎩其它中心剪显然是一个非线性的，从其表达式看很难想象它的用处，其实，它在语音处理中有很重要的应用。
第4章平稳随机信号通过线性系统
30
3.3.1 时域分析法 3、输出序列的自相关函数
31
3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.3.2 频域分析法
• 1、输出序列的功率谱密度 • 2、输出序列的自相关函数 • 3、输出序列的平均功率
32
3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.3.2 频域分析法
•1、输出序列的功率谱密度
L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
6
3.1 线性系统的基本理论
什么是线性系统？
x(t)
y(t) = x(t)*h(t)
h(t)
连续时不变线性系统
y ( t ) x ( t ) h () d x () h ( t ) d x ( t ) h ( t )
第四章 随机信号通过线性系统
主要内容
3.1 线性系统基本理论 3.2 随机信号通过连续时间系统 3.3 随机序列通过离散时间系统
2
3.1 线性系统的基本理论
系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器
对于线性系统： 已知系统特性和输入信号的统计特性， 可以求出输出信号的统计特性
3 9
的白化滤波器.
解:
SX
2 2
3 9
SX
s
s2 s2
3
9
3s 3s
3s3s
SX
s
s 3 s 3
HsSX 1sss33
43
白噪声通过线性系统分析 设连续线性系统的传递函数为 H() 或 H (s) ， 其输入白噪声功率谱密度为 S X ( ) ＝ N 0 ，
3.3.1 时域分析法 3、输出序列的自相关函数
31
3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.3.2 频域分析法
• 1、输出序列的功率谱密度 • 2、输出序列的自相关函数 • 3、输出序列的平均功率
32
3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.3.2 频域分析法
•1、输出序列的功率谱密度
L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
6
3.1 线性系统的基本理论
什么是线性系统？
x(t)
y(t) = x(t)*h(t)
h(t)
连续时不变线性系统
y ( t ) x ( t ) h () d x () h ( t ) d x ( t ) h ( t )
第四章 随机信号通过线性系统
主要内容
3.1 线性系统基本理论 3.2 随机信号通过连续时间系统 3.3 随机序列通过离散时间系统
2
3.1 线性系统的基本理论
系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器
对于线性系统： 已知系统特性和输入信号的统计特性， 可以求出输出信号的统计特性
3 9
的白化滤波器.
解:
SX
2 2
3 9
SX
s
s2 s2
3
9
3s 3s
3s3s
SX
s
s 3 s 3
HsSX 1sss33
43
白噪声通过线性系统分析 设连续线性系统的传递函数为 H() 或 H (s) ， 其输入白噪声功率谱密度为 S X ( ) ＝ N 0 ，
第四章 随机信号通过线性系统
信号yt
图 4-1 信号经过系统
图4-2 卫星遥感
图4-3 遥感 图像
第四章 随机信号通过线性系统
线性系统基本理论 随机信号通过线性系统√ 白噪声通过低频线性系统√ 独立随机过程之和的自相关函数定理 散弹效应噪声 热噪声√
§4.1 线性系统基本理论
输入信号 与输出信号 为确定信号。 一、一般线性系统
随机信号通过线性时不变系统的响应为
一、时域分析法：系统响应的矩分析
已知输入随机信号的统计特性，要求能够 得到系统输出的统计特性； 在获取系统输出随机信号的统计特性时， 希望得到输入随机信号的统计特性。
1、输出的均值
ht
输出均值 是输入随机信号均值 系统的冲击响应 的卷积； 当随机信号为宽平稳时，有 则输出均值
H j 系统功
2
率传输函数
系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密 度与系统功率传输函数乘积； 系统输出的功率谱密度只与系统的幅频特 性有关，而与相频特性无关。
2、系统输入与输出的互功率谱密度
例4-2 若平稳白噪声随机信号 通过低通RC回路， 试求出输出 的功率谱密度函数。
解：该电路的传输函数为
4.5.2 坎贝尔定理 当一个形状确定的随机脉冲在时间轴上出 现的几率为等概率时，该随机脉冲具有平 稳各态历经过程的性质。 ，其中 是相互独立的平稳随机过 程 对于确定形状的随机脉冲，除出现时间随 机，极性（如正负脉冲）和强度也有一定 的随机。
(1)
形状、极性和强度完全相同 假设单位时间内脉冲的平均个数为 ，那 有 ，则各分量 的自相关函数
输入的功率谱函数 输出的功率谱函数为
§4-3 白噪声通过低频线性系统
随机信号通过线性系统分析
离散和连续时间系统 双侧系统和单侧系统
4.1 线性系统的基本理论
若对于任意常数a和b、输入信号x1(t)和x2(t)，有
L[ax1(t) bx2 (t)] aL[x1(t)] bL[x2 (t)] 则称系统为线性系统。 若输入信号x(t)时移c段时间，输出y(t)也只引起一 个相同的时移，即
n
h(n) 1
2 j
l H (z)zn1dz
式中l表示包含 H (z)zn1 所有极点的单位圆。
4.1 线性系统的基本理论
如果系统的单位冲激响应满足 h(n) 0 当n 0时
那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现 系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说
1. 若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳 的，且输入与输出联合宽平稳。
mY (t) mX 0 h( )d
RXY (t1,t2 ) 0 h(u)RX (t2 t1 u)du 0 h(u)RX ( u)du RXY ( )
RY (t1,t2 ) 0 0 h(u)h(v)RX (t2 t1 v u)dudv
重点及其要求：
（1）掌握以下五条性质： 1.双侧宽或严平稳随机 信号通过线性系统后的输出仍是宽或严平稳的，且 输入与输出联合宽平稳；2.双侧宽遍历随机信号通 过线性系统后的输出仍是宽遍历的；3.高斯随机信 号通过线性系统后的输出仍然是高斯随机信号；4. 若线性系统的输入随机信号的带宽远大于系统的带 宽，则无论输入信号具有何种概率密度函数，系统 输出的概率密度函数皆近似于高斯分布；5.线性系 统输出的随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。
2. 输出的均值 输出的均值。
4.1 线性系统的基本理论
若对于任意常数a和b、输入信号x1(t)和x2(t)，有
L[ax1(t) bx2 (t)] aL[x1(t)] bL[x2 (t)] 则称系统为线性系统。 若输入信号x(t)时移c段时间，输出y(t)也只引起一 个相同的时移，即
n
h(n) 1
2 j
l H (z)zn1dz
式中l表示包含 H (z)zn1 所有极点的单位圆。
4.1 线性系统的基本理论
如果系统的单位冲激响应满足 h(n) 0 当n 0时
那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现 系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说
1. 若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳 的，且输入与输出联合宽平稳。
mY (t) mX 0 h( )d
RXY (t1,t2 ) 0 h(u)RX (t2 t1 u)du 0 h(u)RX ( u)du RXY ( )
RY (t1,t2 ) 0 0 h(u)h(v)RX (t2 t1 v u)dudv
重点及其要求：
（1）掌握以下五条性质： 1.双侧宽或严平稳随机 信号通过线性系统后的输出仍是宽或严平稳的，且 输入与输出联合宽平稳；2.双侧宽遍历随机信号通 过线性系统后的输出仍是宽遍历的；3.高斯随机信 号通过线性系统后的输出仍然是高斯随机信号；4. 若线性系统的输入随机信号的带宽远大于系统的带 宽，则无论输入信号具有何种概率密度函数，系统 输出的概率密度函数皆近似于高斯分布；5.线性系 统输出的随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。
2. 输出的均值 输出的均值。
第4章平稳随机信号通过线性系统
t时刻的X t+τ时刻的Y 若以X为计时起点， 则+τ 时刻的Y
t时刻的Y t+τ时刻的X 若以X为计时起点，则 -τ 时刻的Y
16
小 结
输出均值
平稳随机信号
mY t mX (t )* h(t )
输入输出互相关函数
mY mX h( )d
0
RXY (t1 , t2 ) RX (t1, t2 )* h(t2 )
若任意常数a, b, 输入信号 x1(t), x2(t), 有 L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
6
3.1 线性系统的基本理论
什么是线性系统？
x(t) h(t) y(t) = x(t)*h(t)
连续时不变线性系统
y(t ) x(t )h( )d x( )h(t )d x(t ) h(t )
h(t1 ) RXY (t1, t2 ) h(t2 ) RYX (t1 , t2 )
RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
17
解：
E h u X t u du mY t EY t 0
平稳随机序列类似于平稳随机信号。
29
3.3 随机信号通过离散时间系统的分析
3.3.1 时域分析法
1、输出序列的均值
2、输入与输出的互相关函数RXY/RYX
RXY (m) h(k ) RX (m k ) h(m)* RX (m)
k 0
RYX (m) h(k ) RX (m k ) h(m)* RX (m)
1.04 0.2 z z 1 z 0.2 0.2 z 1 S X z 1 z 0.5 0.5 z 1 1.25 0.5 z z
t时刻的Y t+τ时刻的X 若以X为计时起点，则 -τ 时刻的Y
16
小 结
输出均值
平稳随机信号
mY t mX (t )* h(t )
输入输出互相关函数
mY mX h( )d
0
RXY (t1 , t2 ) RX (t1, t2 )* h(t2 )
若任意常数a, b, 输入信号 x1(t), x2(t), 有 L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
6
3.1 线性系统的基本理论
什么是线性系统？
x(t) h(t) y(t) = x(t)*h(t)
连续时不变线性系统
y(t ) x(t )h( )d x( )h(t )d x(t ) h(t )
h(t1 ) RXY (t1, t2 ) h(t2 ) RYX (t1 , t2 )
RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
17
解：
E h u X t u du mY t EY t 0
平稳随机序列类似于平稳随机信号。
29
3.3 随机信号通过离散时间系统的分析
3.3.1 时域分析法
1、输出序列的均值
2、输入与输出的互相关函数RXY/RYX
RXY (m) h(k ) RX (m k ) h(m)* RX (m)
k 0
RYX (m) h(k ) RX (m k ) h(m)* RX (m)
1.04 0.2 z z 1 z 0.2 0.2 z 1 S X z 1 z 0.5 0.5 z 1 1.25 0.5 z z
随机信号分析期末总复习提纲重点知识点
第 一 章1.1不考 条件部分不考△雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况）△随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58）△ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61()()()()()()()221()211222211,,exp 22exp ,,exp 22TTx m XX X X X n n XTT jUX X X X X n X MX M f x f x x U U u Q u j m Q u u E e jM U σπσμ---⎡⎤--⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦C C C另外一些性质： []()20XY XY X YX C R m m D X E X m ⎡⎤=-=-≥⎣⎦第二章 随机过程的时域分析1、随机过程的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机过程的概率密度P74、特征函数P81。
（连续、离散）一维概率密度、一维特征函数 二元函数4、随机过程的期望、方差、自相关函数。
（连续、离散）5、严平稳、宽平稳的定义 P836、平稳随机过程自相关函数的性质：0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88222()()()()()(0)()X X XX X X X X XXC R m R R R R τττρτσσ--∞==-∞=非周期相关时间用此定义（00()d τρττ∞=⎰）8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
随机信号分析_第四章_随机信号通过线性系统
定义
如果系统对于任意的常数a和b、输 入信号x1(t)和x2(t)，有： L[ax1(t)+bx2(t)]= aL[x1(t)]+b L[x2(t)] 则称该系统为线性系统。 如果系统的输出和输入信号具有相 同的时间位移特性，即： y(t-c)＝L[x(t-c)] c为常数，则该系统就被称为时不变系统。
t2
0
RX ( u v)h(v)h(u )dvdu
RXY (t1 , t 2 ) RX ( v)h(v)dv
0
RYX (t1 , t 2 ) RX ( u )h(u )du
0
E[Y (t )]
2
t
0 0RtX(u v)h(v)h(u )dvdu
输出响应的均值和自相关函数不再 符合平稳性，因为输入信号也是非平稳 的。当时间t,t1,t2足够大的时候，输出可 以近似看作是平稳的。 今后，如果不作特殊声明，所研究 的输入信号都是双侧信号。
x(t )h( )d
0
x( )h(t )d
t
物理可实现的稳定系统传递函数 H(s)的所有极点都位于s平面的左半平 面（不包含虚轴）。
4.1.3 离散时不变线性系统
对于离散时不变线性系统，系统的 输出y(n)与输入x(n)之间的关系为： y ( n) x ( n) * h( n)
x(t )h( )d
x( )h(t )d
如果x(t)和h(t)绝对可积，即：
| x(t ) | dt | h(t ) | dt
则此系统被称为是稳定的。
两者的傅利叶变换存在，有：
随机信号通过线性系统的仿真
实验报告实验课程：随机信号分析实验项目：随机信号通过线性系统的仿真学员姓名：学号：专业班次：队别：实验日期：实验成绩：教员签字：内容要求：一、实验目的; 二、实验内容或任务；三、实验仪器设备（名称、型号、精度、数量）；四、实验原理与线路图；五、实验步骤与结果记录（数据、图表等）；六、实验结果分析与结论。
一、实验目的（1）掌握对随机过程通过线性系统后的统计特性的分析方法。
（2）掌握典型系统对随机过程的影响。
二、实验内容（1）白噪声通过线性系统的仿真和分析；（2）高斯过程通过线性系统的仿真和分析。
三、实验仪器和设备（1）计算机一台。
（2）Matlab软件。
四、实验原理随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。
设L为线性变换，信号)(t(tY为系统的输出，也是随机信号。
即有：X为系统输入，)tL=YX)()]([t众所周知，LTI系统又可以表示为=)*(y⎰+∞∞--)()()(t()=uhuxtdutytx其中)]thδL=是系统的冲激响应。
如果考虑傅里叶变换，令[()(t)()(),()(),()(ωωωj Y t y j X t x j H t h ↔↔↔则)()()(ωωωj H j X j Y =下面来分析输出随机信号的均值和相关函数。
依定理5.1，对于任何稳定的线性系统有{}{})]([)]([t X E L t X L E =依定理5.2，如果)(t X 为平稳过程，)(t h 为实LTI 系统，)()()(t h t X t Y *=,则)()(t Y T X 和是联合广义平稳的，并且有)()()()()()()()()()()0(ττττττττττ-**=-*=*==h h R R h R R h R R j H m m X Y X XY X YX X Y 其中，dt t h j H j H ⎰+∞∞-===)()()0(0ωω，是系统的直流增益。
第4章 随机信号通过线性系统的分析
)
即： RXY (t1,t2 ) = RX (t1,t2 ) ∗ h (t2 )
同理可得 RYX (t1,t2 ) = RX (t1,t2 ) ∗ h (t1 )
比较 RX (t1, t2 ) , RY (t1,t2 ) , RXY (t1,t2 ) 和 RYX (t1, t2 ) ，则有
RY (t1,t2 ) = h (t1 ) ∗ RXY (t1,t2 ) = h (t2 ) ∗ RYX (t1,t2 )
4-3
《随机信号分析基础》第四章：随机信号通过线性系统的分析
第4页 共9页
RX (t1, t2 ) h (t1 ) RYX (t1, t2 ) h(t2) RY (t1,t2 )
RX (t1, t2 ) h (t2 ) RXY (t1, t2 ) h (t1 ) RY (t1,t2 )
若输入 X (t) 为平稳随机信号，则输出信号Y (t) 与输入信号 X (t) 之间的关系为：
即 GY (ω) =| H (ω) |2 ⋅GX (ω)
∫ ∫ 系统输出的平均功率
PY
=
1 2π
∞ −∞
GY
(ω
)
dω
=
1 2π
∞ −∞
H
(ω )
2
GX
(ω ) dω
有时 RY (τ ) 比较简单 PY = RY (0) = E ⎡⎣Y 2 (t )⎤⎦
4-4
《随机信号分析基础》第四章：随机信号通过线性系统的分析
《随机信号分析基础》第四章：随机信号通过线性系统的分析
第1页 共9页
第四章 随机信号通过线性系统的分析(4 课时)
研究的必要性：信息的载体=随机信号；信息系统=信息获取、变换、传输与处理 ⇒ 信息处
通信原理2-8 随机信号通过线性系统
本章小结
1、明确通信是一个随机过程； 2、随机过程的描述，数字特征； 平稳随 机过程 自相关函数、功率谱密度；相互关系 3、高斯过程、瑞利分布、Rice分布； 4、窄带随机过程、正弦信号＋～； 5、 2 P0 ω ＝H ω Pi ω （） （）（） ξ ξ
输出是平稳随机过程！
0 3、输出 ξ（t）的功率谱密度 Pξ (ω )
0
P0 (ω) = ∫ R(τ )e− jωt dt ξ
−∞ ∞
∞
= ∫ dτ ∫ dα∫ [（α）h β）（τ +α − β）e− jωτ ]dβ h （ Ri
−∞ 0 0
∞
∞
令
τ ′＝τ＋α＋β
∞ jωα 0
得
∞ − jωβ
0 ∞
a
因果关系示意图 t
绝对 未来
c
绝对 远离
o
绝对 过去
绝对 远离
x
d
b
统计特性分析
ξ（t） ∫ （τ）ξi t − τ）dτ = h （ 0
0 ∞
讨论输出的统计特 性。
输入是平稳随机过程
1、输出随机信号的期望
根据定义，有
E[ξ（t）= E[ ∫ （τ）ξi t − τ）dτ ] = ∫ （τ）E[ξi t − τ） τ ] h （ h （ ]d 0
2－8
随机信号通过线性系统
目的：学习随机信号通过线性系统的 响应特性，数字特征。
前面对随机过程本身的一些特性做了 必要的讨论。 现在我们来讨论随机过程通过线性系 统的情况。随机过程通过线性系统的分 析， 完全是建立在信号通过线性系统的分析原 理的基础之上。
线性系统
（t 等于输入信号 vi (t ) 与冲激响 线性系统响应 v0 ） 应 h(t) 的卷积，即
随机信号分析-3_随机信号通过线性系统
T
Y (t)Y (t )dt
T 2T T
[lim
1
T
X (t u)X (t v)dt]h(u)h(v)dudv
0 0 T 2T T
0 0 RX ( u v)h(u)h(v)dudv RY ( )
X(t)Y (t ) lim 1
T
X(t)Y(t )dt
T 2T T
2
线性系统的基本理论
系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器
对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以 求出系统输出信号的统计特性
3
线性系统的基本理论
本章规定所研究系统是单输入单输出（响应）的、连 续或离散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。
k
k
2．频域分析
Y e j X e j H e j
X e j x ne jn Y z X zH z
H (e j ) h(n)e jn
z e j
n
3. 物理可实现的稳定系统
如果当 n 0 时，h(n) 0 ，那么该系统称为因果系统。
物理可实现稳定系统的极点都位于z平面的单位圆内。
RY ( )
N0b2 2
eb
e2budu N 0b e b
0
4
由于自相关函数的偶对称性，则当 0 时，有
显然，有
RY (
)
N0b 4
eb
RY ( )
N0b 4
eb
（3-2-19）
22
时域分析法
③ 输出的平均功率为
E
Y
2
t
RY
0
N0b 4
注意到b是时间常数的倒数，它与电路的半功率带宽 f
随机信号通过线性系统
• 3. 系统的稳定性与因果性 • 实际应用中的系统,其本身必定是稳定和可实现的,它们应该具有下面
两个共同特点。
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4.1 线性系统的基本性质
• 1)系统稳定性 • 如果一个线性时不变系统对任意有界输入的响应必然也是有界的,那
么,此系统是稳定的,由式有
• 若输入信号有界,则必存在某正常数M,
• 证明:
• 上式表明,线性系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密度乘以系统 的功率传输函数。通过傅里叶反变换可得到线性系统输出的自相关函 数
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4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 于是系统输出的均方值或平均功率可表示为 • 将输出信号互相关函数的卷积公式两边取傅里叶变换,有
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• 如果X (t)为平稳随机过程,则 • 其中H (0)为系统的传递函数在ω=0时的值。 • 2)系统输出的互相关函数
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4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 线性系统的输出必定以某种方式依赖于输入,即输入与输出必定是相 关的,其相关性由输入与输出之间互相关函数描述。线性系统输入输 出之间的互相关函数为
• 线性系统既可以用冲激响应描述,也可以用系统传递函数描述,因此,随 机过程通过线性系统的常用分析方法也有两种:冲激响应法(时域分析 法)和频域分析法。
• 4.2.1 时域分析法
• 1. 系统的输出 • 假定随机信号X (t)输入某个(确知的)线性时不变系统h(t),由前面章节
可知X (t)是不确定的,它可以视为很多样本函数的集合,即x(t,ξi),其中ξi 表示它的某种可能结果,i=1,2,3,…,而每一个样本函数都是确知的,当 它输入系统h(t)时,可得出相应响应信号为
两个共同特点。
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4.1 线性系统的基本性质
• 1)系统稳定性 • 如果一个线性时不变系统对任意有界输入的响应必然也是有界的,那
么,此系统是稳定的,由式有
• 若输入信号有界,则必存在某正常数M,
• 证明:
• 上式表明,线性系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密度乘以系统 的功率传输函数。通过傅里叶反变换可得到线性系统输出的自相关函 数
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4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 于是系统输出的均方值或平均功率可表示为 • 将输出信号互相关函数的卷积公式两边取傅里叶变换,有
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• 如果X (t)为平稳随机过程,则 • 其中H (0)为系统的传递函数在ω=0时的值。 • 2)系统输出的互相关函数
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4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 线性系统的输出必定以某种方式依赖于输入,即输入与输出必定是相 关的,其相关性由输入与输出之间互相关函数描述。线性系统输入输 出之间的互相关函数为
• 线性系统既可以用冲激响应描述,也可以用系统传递函数描述,因此,随 机过程通过线性系统的常用分析方法也有两种:冲激响应法(时域分析 法)和频域分析法。
• 4.2.1 时域分析法
• 1. 系统的输出 • 假定随机信号X (t)输入某个(确知的)线性时不变系统h(t),由前面章节
可知X (t)是不确定的,它可以视为很多样本函数的集合,即x(t,ξi),其中ξi 表示它的某种可能结果,i=1,2,3,…,而每一个样本函数都是确知的,当 它输入系统h(t)时,可得出相应响应信号为
随机信号通过线性系统的分析.
（6-83）
由于输入的是随机信号，输出一般也是随机信号。
1.输出的均值
输出序列的均值 my (n) 通过（6-83）式计算，即
my (n) EY (n) h(k)EX (n k) h(k)mx (n k)
k
k
（6-84）
若 X (n) 为平稳随机序列，则 mx (n) mx (n k) mx 为
（一）时域分析
设已知线性时不变离散系统的单位脉冲响应为
在 n 范围内输入随机序列 h(n) ,又设
Y (n) 是 X (n) 通过该系统的输出序列，则X输(n出) 随机 序列为 h(n) 与 X (n) 的卷积和，即
Y (n) h(n) X (n) h(k)X (n k) k
的，则系统输出也是广义平稳的。
3.输入与输出之间的互相关函数
根据互相关函数的定义，有
Rxy (t, t ) EX (t)Y (t )
E
X
(t)
h( 1 ) X (t
1
)d
1
h(
1
)EX
(t)
X
(t
1 )d 1
（6-86）
若X (n)为平稳随机序列，则有
Ryy (m)
h(k)h(i)Rxx (m k i)
k i
Rxx (m) h(m) h(m)
（6-87）
上式说明，输出随机信号Y(n) 的自相关函数只 与时间差m有关。实际上，对于线性时不变系 统而言，如果输入随机信号是平稳的，输出随 机信号也是平稳的，故其概率特性是时不变的， 自相关函数只与时间差有关。
五. 随机信号通过线性系统的分析
2
22 2013-6-27
2.2 频域分析—系统输入为两个平稳随机信号
若输入的两个联合平稳的随机过程X1(t)和X2(t)的数学期望 均为0
RY ( ) RY1 ( ) RY2 ( )
输出功率谱密度
SY () SY1 () SY2 () H () [S X1 () S X 2 ()]
E[Y (t )] mY m X H (0)
对于物理可实现系统 mY E[Y (t )] mX 0 h( )d 系统输出随机信号的均值是常数
9 2013-6-27
2.1 时域分析—均方值
E[Y 2 (t )] E[Y (t )Y (t )] E[ h(v)X (t v)dv h(u )X (t u )du]
14 2013-6-27
2.1 时域分析—系统输入为随机过程与加性噪声
X1(t) X2(t) X(t)
线性系统h(t)
Y(t)
假设随机过程X1(t)、X2(t)是各自平稳且联合平稳的， 它们之和X(t)通过线性系统后，产生对应的两个随机 过程Y1(t)、Y2(t)之和Y(t)，可证得 (1) Y1(t)、Y2(t)是各自平稳且联合平稳的； (2) X(t)和Y(t)也是联合平稳的。
N0 2 E[Y (t )] RY (0) H ( ) d 4
2
25 2013-6-27
3 白噪声通过线性系统——等效噪声带宽
若在保持平均功率 RY (0) 不变的条件下，把实际系统输出功率 谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。 若等效的功率谱密度的高度为 H (w) max 则这个带宽就定义为 等效噪声带宽 e
h( )x(t )d
F[ x(t )] X ( ), F[ y(t )] Y (), F[h(t )] H ()
22 2013-6-27
2.2 频域分析—系统输入为两个平稳随机信号
若输入的两个联合平稳的随机过程X1(t)和X2(t)的数学期望 均为0
RY ( ) RY1 ( ) RY2 ( )
输出功率谱密度
SY () SY1 () SY2 () H () [S X1 () S X 2 ()]
E[Y (t )] mY m X H (0)
对于物理可实现系统 mY E[Y (t )] mX 0 h( )d 系统输出随机信号的均值是常数
9 2013-6-27
2.1 时域分析—均方值
E[Y 2 (t )] E[Y (t )Y (t )] E[ h(v)X (t v)dv h(u )X (t u )du]
14 2013-6-27
2.1 时域分析—系统输入为随机过程与加性噪声
X1(t) X2(t) X(t)
线性系统h(t)
Y(t)
假设随机过程X1(t)、X2(t)是各自平稳且联合平稳的， 它们之和X(t)通过线性系统后，产生对应的两个随机 过程Y1(t)、Y2(t)之和Y(t)，可证得 (1) Y1(t)、Y2(t)是各自平稳且联合平稳的； (2) X(t)和Y(t)也是联合平稳的。
N0 2 E[Y (t )] RY (0) H ( ) d 4
2
25 2013-6-27
3 白噪声通过线性系统——等效噪声带宽
若在保持平均功率 RY (0) 不变的条件下，把实际系统输出功率 谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。 若等效的功率谱密度的高度为 H (w) max 则这个带宽就定义为 等效噪声带宽 e
h( )x(t )d
F[ x(t )] X ( ), F[ y(t )] Y (), F[h(t )] H ()
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H j 系统功
2
率传输函数
系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密 度与系统功率传输函数乘积； 系统输出的功率谱密度只与系统的幅频特 性有关，而与相频特性无关。
2、系统输入与输出的互功率谱密度
例4-2 若平稳白噪声随机信号 通过低通RC回路， 试求出输出 的功率谱密度函数。
解：该电路的传输函数为
与线性
系统输出随机信号的均值也是与时间无关 的常数。
2、输出的均方值
当系统输入 则
为宽平稳时，有
dd
当 则
为平稳白噪声时，有
输出的总平均功率除正比于白噪声的功率 谱密度外，还正比于冲击响应 平方曲线 的面积。
d
3、系统输出的自相关函数
图4.7 理想低通滤波器
输出
的功率谱密度为
输出
的自相关函数为
令 ， 称为角频率半带宽， 称为频率 半带宽。
输出噪声平均功率 输出噪声功率与滤波器的带宽成正比，增 加滤波器带宽，输出噪声功率就会增加， 信噪比降低。 输出 的自相关时间
输出随机信号的自相关时间与带宽成反比。
二、白噪声通过R-C低通网络
输出平均功率
令输入白噪声时，两网络输出功率相等
例4-3 求R-C低通网络的噪声等效带宽Bf，并与 输出随机信号的等效功率谱带宽 比较。 解：噪声等效带宽
图4.8 RC低通网络
输出的功率谱密度为
输出的平均功率为
输出功率与 成正比， 是系统带宽的测度。 输出的自相关时间：
三、低通网络的等效噪声带宽
RC低通网络
理想低通滤波器
输入白噪声时，两网络 输出功率相同。
图4.9 低通网络的等效带宽
白噪声通过低通网络 输出功率谱 输出平均功率
白噪声通过理想低通网络
输入的功率谱函数 输出的功率谱函数为
§4-3 白噪声通过低频线性系统
随机信号(或宽平稳随机信号)通过一般非时 变线性系统后输出信号的统计特性和频率特 性； 特殊随机信号－－白噪声； 特定非时变线性系统－－低频线性系统； 白噪声通过特定低频线性系统后输出信号的 统计特性和频率特性；
一、白噪声通过理想低通网络
引言
主要研究随机过程的一般概念及其统计特征 信息的获取、变换、传输或处理，实质上信 号通过各种系统
♦遥感图像获取 ♦有线通信 ♦卫星通信 ♦自由空间光通信 ♦电子元器件
系统分为线性系统和非线性系统
♦线性系统：线性放大器，线性滤波器
♦非线性系统：调制器，限幅器
信号 xt
系统 ht , H
信号yt
图 4-1 信号经过系统
图4-2 卫星遥感
图4-3 遥感 图像
第四章 随机信号通过线性系统
线性系统基本理论 随机信号通过线性系统√ 白噪声通过低频线性系统√ 独立随机过程之和的自相关函数定理 散弹效应噪声 热噪声√
§4.1 线性系统基本理论
输入信号 与输出信号 为确定信号。 一、一般线性系统
信号 xt
线性系统 ht ,
信号 yt
图 4-4 线性系统
1、线性系统定义
如果系统的输入 于系统对单个响应 组合，即 之和的响应等 的相应线性
其中， 为任意常数， 是正整数。
信号 xt
－
信号a1 x1 t
信号a1 y1 t
线性系统 ht ,
信号an xn t 信号an yn t
h
例4-1 若平稳白噪声随机信号 通过低通RC回路， 试求出输出 的均值、均方值、自相关函数和 互相关函数。
解：该电路的单位冲击响应为 则
二、频域分析法：系统响应的谱特性
随机信号的自相关函数、互相关函数的傅 立叶变换分别为功率谱和互功率谱； 在频域，系统对相关函数的响应是对功率 谱的响应，也就是输出的功率谱特性。 1、系统输出的功率谱密度函数 系统输出 两边取傅立叶变换
yt xt ht
yt ht xt
3、线性时不变系统的传输函数
是冲击响应
的傅立叶变换；
任一线性时不变系统，响应的傅立叶变换等于输 入信号与系统响应傅立叶变换的乘积。
4、线性时不变系统分类 （1）、连续时不变线性系统
（2）、离散时不变线性系统
§4.2 随机信号通过线性系统分析
当随机信号 是宽平稳时，有 则
结论：
当一个宽平稳随机信号输入到线性时不变系统， 其输出信号也是宽平稳的； 当一个严平稳随机信号输入到线性时不变系统， 其输出信号也是严平稳的； 当一个各态历经随机信号输入到线性时不变系 统，其输出信号也是各态历经的。
令
h t 冲击函数的 自相关函数。
信号 yt
图 4-5 线性系统
包含有两层含义： 比例性:
可加性:
2、线性系统响应 由冲击函数性质
则
令 则 定义 为线性系统的冲击响应。
ht , 能完全
表述系统
二、线性时不变系统
1、定义：若线性系统响应与系统作用的时刻 无关，即有
则此线性系统为线性时不变系统。
2、线性时不变系统的相应
对于输入信号 为确知信号，线性时不变系 统 的响应 随机信号 不是确知信号，但其中的样本函 数 是一确知函数； 样本函数 通过线性时不变系统 ，响应
随机信号 是诸多样本函数 的集合，其 输出响应 就应是诸多样本函数响应 的 集合，仍然是随机信号。
线性时不变系统
ht
图4.6 随机信号通过线性时不变系统
则
当输入信号 是宽平稳随机信号时，输出信 号 的自相关函数 是输入信号的自相关 函数 与系统冲击函数 的自相关函数 的卷积。
h
h
因为
则
是
和
的相关积分。
4、系统输入与输出的互相关函数
当系统输入为宽平稳信号时，有 则
当输入是宽平稳 时，输入与输出 是联合平稳的。
同理
显然
h
随机信号通过线性时不变系统的响应为
一、时域分析法：系统响应的矩分析
已知输入随机信号的统计特性，要求能够 得到系统输出的统计特性； 在获取系统输出随机信号的统计特性时， 希望得到输入随机信号的统计特性。
1、输出的均值
ht
输出均值 是输入随机信号均值 系统的冲击响应 的卷积； 当随机信号为宽平稳时，有 则输出均值
2
率传输函数
系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密 度与系统功率传输函数乘积； 系统输出的功率谱密度只与系统的幅频特 性有关，而与相频特性无关。
2、系统输入与输出的互功率谱密度
例4-2 若平稳白噪声随机信号 通过低通RC回路， 试求出输出 的功率谱密度函数。
解：该电路的传输函数为
与线性
系统输出随机信号的均值也是与时间无关 的常数。
2、输出的均方值
当系统输入 则
为宽平稳时，有
dd
当 则
为平稳白噪声时，有
输出的总平均功率除正比于白噪声的功率 谱密度外，还正比于冲击响应 平方曲线 的面积。
d
3、系统输出的自相关函数
图4.7 理想低通滤波器
输出
的功率谱密度为
输出
的自相关函数为
令 ， 称为角频率半带宽， 称为频率 半带宽。
输出噪声平均功率 输出噪声功率与滤波器的带宽成正比，增 加滤波器带宽，输出噪声功率就会增加， 信噪比降低。 输出 的自相关时间
输出随机信号的自相关时间与带宽成反比。
二、白噪声通过R-C低通网络
输出平均功率
令输入白噪声时，两网络输出功率相等
例4-3 求R-C低通网络的噪声等效带宽Bf，并与 输出随机信号的等效功率谱带宽 比较。 解：噪声等效带宽
图4.8 RC低通网络
输出的功率谱密度为
输出的平均功率为
输出功率与 成正比， 是系统带宽的测度。 输出的自相关时间：
三、低通网络的等效噪声带宽
RC低通网络
理想低通滤波器
输入白噪声时，两网络 输出功率相同。
图4.9 低通网络的等效带宽
白噪声通过低通网络 输出功率谱 输出平均功率
白噪声通过理想低通网络
输入的功率谱函数 输出的功率谱函数为
§4-3 白噪声通过低频线性系统
随机信号(或宽平稳随机信号)通过一般非时 变线性系统后输出信号的统计特性和频率特 性； 特殊随机信号－－白噪声； 特定非时变线性系统－－低频线性系统； 白噪声通过特定低频线性系统后输出信号的 统计特性和频率特性；
一、白噪声通过理想低通网络
引言
主要研究随机过程的一般概念及其统计特征 信息的获取、变换、传输或处理，实质上信 号通过各种系统
♦遥感图像获取 ♦有线通信 ♦卫星通信 ♦自由空间光通信 ♦电子元器件
系统分为线性系统和非线性系统
♦线性系统：线性放大器，线性滤波器
♦非线性系统：调制器，限幅器
信号 xt
系统 ht , H
信号yt
图 4-1 信号经过系统
图4-2 卫星遥感
图4-3 遥感 图像
第四章 随机信号通过线性系统
线性系统基本理论 随机信号通过线性系统√ 白噪声通过低频线性系统√ 独立随机过程之和的自相关函数定理 散弹效应噪声 热噪声√
§4.1 线性系统基本理论
输入信号 与输出信号 为确定信号。 一、一般线性系统
信号 xt
线性系统 ht ,
信号 yt
图 4-4 线性系统
1、线性系统定义
如果系统的输入 于系统对单个响应 组合，即 之和的响应等 的相应线性
其中， 为任意常数， 是正整数。
信号 xt
－
信号a1 x1 t
信号a1 y1 t
线性系统 ht ,
信号an xn t 信号an yn t
h
例4-1 若平稳白噪声随机信号 通过低通RC回路， 试求出输出 的均值、均方值、自相关函数和 互相关函数。
解：该电路的单位冲击响应为 则
二、频域分析法：系统响应的谱特性
随机信号的自相关函数、互相关函数的傅 立叶变换分别为功率谱和互功率谱； 在频域，系统对相关函数的响应是对功率 谱的响应，也就是输出的功率谱特性。 1、系统输出的功率谱密度函数 系统输出 两边取傅立叶变换
yt xt ht
yt ht xt
3、线性时不变系统的传输函数
是冲击响应
的傅立叶变换；
任一线性时不变系统，响应的傅立叶变换等于输 入信号与系统响应傅立叶变换的乘积。
4、线性时不变系统分类 （1）、连续时不变线性系统
（2）、离散时不变线性系统
§4.2 随机信号通过线性系统分析
当随机信号 是宽平稳时，有 则
结论：
当一个宽平稳随机信号输入到线性时不变系统， 其输出信号也是宽平稳的； 当一个严平稳随机信号输入到线性时不变系统， 其输出信号也是严平稳的； 当一个各态历经随机信号输入到线性时不变系 统，其输出信号也是各态历经的。
令
h t 冲击函数的 自相关函数。
信号 yt
图 4-5 线性系统
包含有两层含义： 比例性:
可加性:
2、线性系统响应 由冲击函数性质
则
令 则 定义 为线性系统的冲击响应。
ht , 能完全
表述系统
二、线性时不变系统
1、定义：若线性系统响应与系统作用的时刻 无关，即有
则此线性系统为线性时不变系统。
2、线性时不变系统的相应
对于输入信号 为确知信号，线性时不变系 统 的响应 随机信号 不是确知信号，但其中的样本函 数 是一确知函数； 样本函数 通过线性时不变系统 ，响应
随机信号 是诸多样本函数 的集合，其 输出响应 就应是诸多样本函数响应 的 集合，仍然是随机信号。
线性时不变系统
ht
图4.6 随机信号通过线性时不变系统
则
当输入信号 是宽平稳随机信号时，输出信 号 的自相关函数 是输入信号的自相关 函数 与系统冲击函数 的自相关函数 的卷积。
h
h
因为
则
是
和
的相关积分。
4、系统输入与输出的互相关函数
当系统输入为宽平稳信号时，有 则
当输入是宽平稳 时，输入与输出 是联合平稳的。
同理
显然
h
随机信号通过线性时不变系统的响应为
一、时域分析法：系统响应的矩分析
已知输入随机信号的统计特性，要求能够 得到系统输出的统计特性； 在获取系统输出随机信号的统计特性时， 希望得到输入随机信号的统计特性。
1、输出的均值
ht
输出均值 是输入随机信号均值 系统的冲击响应 的卷积； 当随机信号为宽平稳时，有 则输出均值