傅里叶级数数学

1 bn = f (x) sin nxdx (n =12)
系数a0 a1 b1 叫做函数f(x)的傅里叶系数

傅里叶级数 三角级数
a0 (an cosnx bn sin nx) 2 n =1 称为傅里叶级数其中a0a1b1··· 是傅里叶系数
2 n =1, 3, 5, n 1 ( 1 ) a0 = an = n2 bn = (n =1 2) 2 n 0 n = 2, 4, 6, 所以当x(2k1)时f(x)的傅里叶级数展开式为
例1 设周期为2的函数f(x)在[)上的表达式为 1 x < 0 f (x) = 1 0 x < 将f(x)展开成傅里叶级数 解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛 当x=k时傅里叶级数收敛于
1 [ f (x 0) f (x 0)]= 1 (11) = 0 2 2 当xk时级数收敛于f(x)
x x < 0 f (x) = 0 0 x < 将f(x)展开成傅里叶级数
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛 当x=(2k1)时傅里叶级数收敛于
1 [ f (x 0) f (x 0)]= 1 (0 ) = 2 2 2 当x(2k1)时级数收敛于f(x)
三角函数系 1 cos x sin x cos 2x sin 2x cos nx sin nx
三角函数系的正交性
三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 [ ]上的 积分等于零 而任何两个相同的函数的乘积在[ ]上的积分 不等于零 >>>
n =1, 3, 5, n = 2, 4, 6,

f (x) = 4 [sin x 1 sin 3x 1 sin(2k 1)x ] 3 2k 1 (<x<;x 0, , 2, )
例2 设周期为2的函数f(x)在[)上的表达式为
二、函数展开成傅里叶级数
傅里叶系数 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数: a0 f (x) = (ak coskx bk sin kx) 2 k =1 且假定三角级数可逐项积分 则
1 a0 = f (x)dx

1 an = f (x) cosnxdx (n =12)
例1 设周期为2的函数f(x)在[)上的表达式为 1 x < 0 f (x) = 1 0 x < 将f(x)展开成傅里叶级数 解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛 因为傅里叶系数为>>>
4 an = 0 (n = 0, 1, 2, ) , bn = n 0 所以f(x)的傅里叶级数展开式为
Biblioteka Baidu§10.7 傅里叶级数
一、三角级数 三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
一、三角级数 三角函数系的正交性
三角级数 形如
1 a (a cosnx b sin nx) n 2 0 n=1 n 的级数称为三角级数 其中a0 an bn(n=1 2 )都是常数
定理(收敛定理 狄利克雷充分条件)
设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足: (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 (2)在一个周期内至多只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛 并且 当x是f(x)的连续点时级数收敛于f(x); 当x是f(x)的间断点时级数收敛于 1 [ f (x 0) f (x 0)] 2



二、函数展开成傅里叶级数
傅里叶系数 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数: a0 f (x) = (ak coskx bk sin kx) 2 k =1 且假定三角级数可逐项积分 则
1 a0 = f (x)dx

1 an = f (x) cosnxdx (n =12)
一个定义在()上周期为2的函数f(x)如果它在一 个周期上可积则一定可以作出f(x)的傅里叶级数 然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说 这两个问题的答案都 不是肯定的
傅里叶级数 三角级数
a0 (an cosnx bn sin nx) 2 n =1 称为傅里叶级数其中a0a1b1··· 是傅里叶系数
和函数图形 f(x)的图形
例2 设周期为2的函数f(x)在[)上的表达式为
x x < 0 f (x) = 0 0 x < 将f(x)展开成傅里叶级数
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛 因为傅里叶系数为>>>
提示:
a a a 0 0 0 f= ( x) =cos ak[ cos kx bk sin kx )b k sin kxsin ff (x ak cos kx cos cosnx nx () xcos ) sinnx nx = sinnx nx ( ( sin nx )] k 22 2 k =1kk== 1 1 = =a 0 0 a b 0n 0 0 n 0 0 =