浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用
概率论上的母函数
概率论上的母函数(gen erati ng fucnction)定义：假设随机变量E取非负整数值，且相应的分布列为：(0，1, 2)(P o, P i, P2)那么P k*s k( k从0到无穷)的和为s的函数，此函数称为的母函数。
特征函数(概率论)在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。
在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：®x(t) = E(e itX)其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。
用矩母函数M x(t)来表示(如果它存在)，特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。
「x(t)二M ix (t)二M x(it)与矩母函数不同，特征函数总是存在。
如果F x是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出：E (e itx)= ::e itx dF x(x)在概率密度函数f x存在的情况下，该公式就变为：E (e itx) = . ： e itx f x (x)dx如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tx为数量积。
R或R n上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。
一个对称概率密度函数的特征函数(也就是满足f x(x) = f x(-x))是实数，因为从x>0所获得的虚数局部与从x<0所获得的相互抵消。
连续性勒维连续定理勒维连续定理说明，假设(X n)n」"为一个随机变量序列，其中每一个X n都有特征函数-：n,那么它依分布收敛于某个随机变量X :Xn ° > X当n —如果件一巴in^is j cp 当n Too且④(t)在t=0处连续，9是X的特征函数。
莱维连续定理可以用来证明弱大数定律。
反演定理在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。
也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。
母函数的概念和使用
母函数的概念和使用
母函数是组合数学中的一种重要工具，用于描述序列的生成函数。
它可以将序列转化为形式简单的多项式，从而方便地进行计算和推导。
形式上，对于序列$\{a_n\}$，它的母函数可以定义为：
$A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...$
母函数$A(x)$通常被视为$x$的函数，可以进行各种计算操作，比如加法、乘法、求导等。
母函数的使用有以下几个方面：
1. 求序列的常用操作：对于给定的序列，可以通过母函数求导、乘法、加法等操作得到新的序列。
例如，序列的微分对应于母函数的求导，序列的乘法对应于母函数的乘法，序列的加法对应于母函数的加法。
2. 求序列的递推关系：通过构造序列的母函数，可以得到序列的递推关系。
递推关系描述了序列相邻项之间的关系，是解决组合计数问题的关键。
通过求解递推关系，可以得到序列的通项公式，从而得到更深入的结论。
3. 求序列的生成函数：母函数可以将序列转化为一个形式简单的多项式。
通过对母函数进行逆变换，可以得到序列的生成函数，从而用多项式的形式来表示序列。
生成函数是分析序列性
质的一种强有力的工具，可以进行各种计算和推导。
母函数在组合计数、离散数学和概率等领域中具有广泛的应用，可以解决各种组合计数问题，如排列组合、图论、走迷宫等问题。
同时，母函数也是解决一些难题的关键，在一些具有复杂递推关系的序列中起到了重要作用。
1-4特征函数和母函数
k =1 n
n
k =1
Ex.7 随机变量Y～B(n, p),写出其特征函数 写出其特征函数. 随机变量 ～ 写出其特征函数 二项分布随机变量Y可表示为 解 二项分布随机变量 可表示为Y = ∑ X k ,且 且 Xk～B(1, p),k=1,2,…,n, 相互独立,故Y 的特征 相互独立, , 函数为 n
g(t1 , t2 ) = E[e
i ( t1 X + t 2Y )
]= ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
ei (t1 x+t2 y )dF( x, y)
连续型 离散型
g(t1 , t 2 ) = ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
e i (t1 x + t2 y ) f ( x, y)dxdy
i ( t1 X r + t 2YsS )
特征函数、 §1.4 特征函数、母函数
一、特征函数的定义及例子 是实随机变量, 定义 设X,Y是实随机变量,复随机变量 是实随机变量 Z=X+i Y, , 的数学期望定义为 E ( Z ) = E ( X ) + i E (Y ), i = 1 特别 X是实随 是实随 itX Ee = E (costX ) + i E (sintX ) 机变量
g ( t ) = ∫ e itx f ( x )dx;
∞
+∞
g ( t ) = ∑ e itxk pk .
k
Ex.1 单点分布 P{X = c} = 1,
g( t ) = E (e itc ) = e itc , t ∈ R.
Ex.2 两点分布
g( t ) = e (1 p) + e
北大随机过程课件：第 3 章 第 6 讲 特征函数与母函数
特征函数、母函数、矩母函数确定随机变量的概率密度函数/分布律 方便求解独立随机变量和的分布函数一类问题可以通过微分运算求随机变量的数字特征1．特征函数：设随机变量ξ的分布函数为Ｆ(x), 概率密度函数为f(x), 称：(){}()()jt jtx jtx t E e e dF x e f x dx ξ∞∞−∞−∞Φ===∫∫ 为随机变量ξ的分布函数的特征函数，或ξ的特征函数,特征函数是概率密度函数的付氏变换。
特征函数的性质：1．特征函数与概率密度函数相互唯一地确定；2．两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积；3．特征函数与随机变量的数字特征的关系：()0()|{}k k k t t j E ξ=Φ=典型随机变量的特征函数1． 两点分布的特征函数：()jt t q pe Φ=+2． 二项式分布的特征函数：()()n jt t q pe Φ=+3． 几何分布：()1jtjtpe t qe Φ=− 4． 泊松分布(λ)：(1)()jt e t eλ−−Φ= 5． 正态分布2(,)N σ∂：22()exp{}2t t j t σΦ=∂−6． 均匀分布[0，1]：1()jt e t jt−Φ= 7． 负指数分布：()t jtλλΦ=−2．母函数研究分析非负整值随机变量时，可以采用母函数法：对于一个取非负整数值n=0,1,2,……，的随机变量x ，，其相应的矩生成函数定义为： 0()()n n z p x n z ∞=Φ==⋅∑(1/)z Φ是序列()p x n =的正常的z 变换母函数的性质：1． 两个相互统计独立的随机变量和的母函数等于各个随机变量的母函数的积。
2． 随机个独立同分布的非负整值随机变量和的矩生成函数是原来两个母函数的复合(见附合泊松过程的应用)3．()000(),()!1,2,k k z z z p z k p k ==Φ=Φ=="通过母函数有理分式的幂级数展开等方法，得到随机变量的概率分布表达式。
论特征函数的性质及应用
论特征函数的性质及应用在一般的数学研究当中，经常会遇到随机变量这个重要的内容.随机变量的规律是根据随机变量的分布函数来统计的，在使用的过程中有时会出现分布密度或者是分布函数使用不便等问题，例如，在实际的操作过程中用卷积求分布密度和独立随机变量过于复杂和烦琐.本文主要对特征函数的定义以及性质进行分析，利用定义和性质来对特征函数使用方法进行更便捷的介绍.对特征函数的性质做进一步的分析，在基本定义和性质的引导下，对其应用进行探讨分析.一、特征函数的定义设X是一个随机变量，称φ（t）=Ε（eitX），∞<t> +∞，</t>为X的特征函数.因为|eitX|=1，所以Ε（eitX）总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.当离散随机变量X的分布列为pk=P（X=xk），k=1，2，3，…，则X的特征函数为φ（t）=∑+∞k=1eitxkpk，∞<t> +∞. </t>当连续随机变量X的密度函数为p（x），则X的特征函数为1/ 6φ（t）=∫+∞∞eitxkp（x）dx，∞<t> +∞. </t>其实在特征函数里，随机变量是一个很重要的方法，在分布函数和密度函数里，特征函数是很好的补充和加强，从某种程度上来说，特征函数的应用要更加广泛一些，让证明推理的过程简洁化，这样一个工具可以用来证明中心极限定理，而且非常有分量.结合上面的叙述我们可以得出这样的结论，就是在学习的时候，除了要把分布函数的知识掌握到位，还要了解特征函数，在解决问题过程中实现两者的互补，在互相促进当中将问题解决.二、特征函数的主要性质特征函数主要具有以下几个基本性质：如果两个随机的变量拥有统一的特征函数，那么它们就会具有相同的概率分布；相反，假设两个随机的变量拥有一样的概率分布，那么它们的特征函数很显然也相同.因此，我们可以得出独立随机变量和的特征函数其实就相当于每个随机变量特征函数的乘积.主要性质：两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积.利用归纳法，不难把上述性质推广到n个独立随机变量的场合，若ξ1，ξ2，…，ξn是n个相互独立的随机变量，相应的特征函数为Φ1（t），Φ2（t），…，Φn（t），则ξ=∑ni=1ξi的特征函数为Φ（t）=∏ni=1Φi（t）.由于这个性质，独立随机变量和的特征函数可以方便地用各2/ 6个特征函数相乘来求得，对于独立和分布函数来说，必须要进行复杂的运算才能计算出来.相对来说，特征函数在进行问题处理的时候就？缘帽冉戏奖？.在概率论的古典问题中，占据重要位置的就是独立和问题，解决这些问题主要是依靠引进特征函数.特征函数里最重要的知识点就是概率论，其不仅可以研究随机现象的统计规律性，还可以很客观地描述分布函数变量的统计规律.在探讨随机变量的时候引入分布函数，这就像在随机现象与数学分析之间搭建了一座桥梁，数学分析这个工具需要通过特征函数引进才能更好地进入到随机现象的研究领域，而特征函数在这种情况之下就会得到飞速的发展，以便于解决实际的各种现象问题.对于特征函数来说，主要是建立在分布函数的基础上，通过分析分布函数来得出相应的随机变量问题，包括其性质以及数字特征等，但是针对那些个性化的问题来说，如果只是依靠分布函数与密度函数是远远不够的.而特征函数就可以去解决那些小众的问题、个性化的问题，毕竟分布函数跟特征函数都是唯一的存在，其过程也比较简单.在概率论中，研究随机变量的时候，特征函数是一种常见的工具，主要是由其特性决定的，每个随机变量都存在特征函数.在概率发展过程中，独立随机变量的地位显得比较重要，要得出独立随机变量的和，就要把它的分布函数计算出来，独立随3/ 6机变量的结果来自于各个随机变量分布律的卷积，在计算的时候并不简单.与此相比，独立随机变量，包括特征函数等，都是它的各被加项的特征函数的乘積，这样的计算难度不大.因此，当特征函数引进之后，古典极限问题就能得到有效的解决.三、特征函数的主要应用众所周知，对于特征函数来说，其实际背景比较广泛，在生产与科学实验中，通过特征函数可以描述很多的随机变量概率.例如，同一个生物体的各种指标、体重和身高等；某一个区域内一年的降水量是多少，与同期进行比较；假设生产条件不会发生变化，产品的一些长度、宽度等指标等.通常情况下，假如很多独立随机因素影响到一个量的情况下，就可以认定这个量具有特征函数.站在理论的角度来论述，特征函数的性质比较良好，运用特征函数可以近似一些概率的分布，像种子的质量，同一个物体的测量误差等.1.分布律与特征函数之间存在一一对应关系.因此，当求出了随机变量的特征函数，便可知其分布律，由特征函数的某些性质，可以推出分布律的某些性质.不仅如此，在分布律的某种收敛意义下的极限分布与特征函数之间也存在着对应关系.因此，由特征函数的极限函数有时可以推知极限分布律，从而推知随机变量序列的极限分布.2.特征函数是一种有界连续函数，比分布函数及分布律更易4/ 6于应用分析的工具.3.独立随机变量，特别是独立随机变量和以及有关的问题在概率的发展中具有重要的地位，要研究独立随机变量和，就要求出它的分布函数，而独立随机变量和的分布律是各随机变量分布律的卷积，计算起来很复杂，但独立随机变量和的特征函数等于它的各被加项的特征函数的乘积，计算和研究都很方便.这就是为什么古典极限问题能在引进特征函数之后很快得到解决的原因.四、特征函数与分布函数的一一对应我们在前文分析了特征函数的含义，对于随机变量来说，其特征函数主要是由分布函数来确定，与之相反，也能够证明由特征函数可唯一地确定它的分布函数，在这样的基础上，特征函数变成了一种数学工具，通过这个数学工具刻画随机变量统计规律，通过特征函数来得出分布函数，就是我们所说的“逆转公式”，也可以叫作勒维定理.勒维定理（逆转公式）：设随机变量ξ的分布函数为F（x），特征函数为Φ（t），又x1与x2是F（x）的任意两个连续点（∞<x1> <x2> +∞），则有</x2> </x1>F（x2）-F（x1）=limT→∞12π∫T-Te-itx1-e-itx2itΦ（t）dt.其中，当t=0时，按连续性延拓定义：e-itx1-e-itx2it=x2-x1.5/ 6唯一性定理：随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定.五、结论随机变量的分布函数完全描述了随机变量的统计规律性，在有些问题上，如果用分布函数来解决并不容易，因此我们把Fourier变换引入概率中，进而产生了特征函数，利用特征函数与分布函数一一对应的关系，可以简化许多随机变量的研究工作.特征函数既能完全确定分布函数，又在处理独立随机变量和的分布及计算数字特征等方面比分布函数更为方便，这使得有必要进一步讨论特征函数的相关性质及其应用.特征函数虽不如分布函数直观，却有着更好的分析性质，而且能够完全决定分布函数，与分布函数存在一一对应关系.在许多方面，用特征函数比用分布函数做随机变量的研究工具更方便.6/ 6。
多项分布的数学期望、协方差阵、特征函数及母函数
多项分布的数学期望、协方差阵、特征函数及母函数多项分布的数学期望、协方差阵、特征函数及母函数 1一、定义与性质设 X 为随机变量， I 是一个包含 0 的 ( 有限或无限的 ) 开区间，对任意t ∈ I ，期望 E e t x 存在设X为随机变量，I是一个包含0的(有限或无限的)开区间，对任意t∈I，期望Ee^{tx}存在设X为随机变量，I是一个包含0的(有限或无限的)开区间，对任意t∈I，期望Eetx存在则称函数M X ( t ) = E ( e t X ) = ∫ − ∞ + ∞ e t x d F ( x ) , t ∈ I 为 X 的矩母函数则称函数M_{X}(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infin}^{+\infin}e^{tx}dF(x),t∈I为X的矩母函数则称函数MX(t)=E(etX)=∫−∞+∞etxdF(x),t∈I为X的矩母函数设 X 为任意随机变量，称函数φ X ( t ) = E ( e i t X ) = ∫ − ∞ + ∞ e i t x d F ( x ) 为 X 的特征函数设X为任意随机变量，称函数\varphi_{X}(t)=E(e^{itX})=\int_{-\infin}^{+\infin}e^{itx}dF(x)为X的特征函数设X为任意随机变量，称函数φX(t)=E(eitX)=∫−∞+∞eitxdF(x)为X 的特征函数一个随机变量的矩母函数不一定存在，但是特征函数一定存在。
一个随机变量的矩母函数不一定存在，但是特征函数一定存在。
一个随机变量的矩母函数不一定存在，但是特征函数一定存在。
随机变量与特征函数存在一一对应的关系随机变量与特征函数存在一一对应的关系随机变量与特征函数存在一一对应的关系二、离散型随机变量的分布0、退化分布(Degenerate distribution)若 X 服从参数为 a 的退化分布，那么 f ( k ;a ) = { 1 , k = a 0 , k ≠ a 若X服从参数为a的退化分布，那么f(k;a)=\left\{\begin{matrix} 1,k=a \\ 0,k\neq a \end{matrix}\right. 若X服从参数为a的退化分布，那么f(k;a)={1,k=a0,k=a M ( t ) = e t a M(t)=e^{ta}M(t)=eta φ ( t ) = e i t a \varphi(t)=e^{ita}φ(t)=eita M ′ ( t ) = a e t a M'(t)=ae^{ta}M′(t)=aeta E X = M ′ ( 0 ) = a EX=M'(0)=aEX=M′(0)=a M ′ ′ ( t ) = a 2 e t a M''(t)=a^2e^{ta} M′′(t)=a2eta E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = a 2EX^2=M''(0)=a^2 EX2=M′′(0)=a2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = 0 DX=EX^2-(EX)^2=0 DX=EX2−(EX)2=01、离散型均匀分布(Discrete uniform distribution)若 X 服从离散型均匀分布 D U ( a , b ) , 则 X 分布函数为 F ( k ; a , b ) = ⌊ k ⌋− a + 1 b −a + 1 若X服从离散型均匀分布DU(a,b) ,则X分布函数为F(k;a,b)=\frac{\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1} 若X服从离散型均匀分布DU(a,b),则X分布函数为F(k;a,b)=b−a+1⌊k⌋−a+1 则矩母函数M ( t ) = ∑ k = a b e t k P ( x = k ) 则矩母函数M(t)=\sum_{k=a}^{b} e^{tk}P(x=k) 则矩母函数M(t)=k=a∑betkP(x=k) = ( ∑ k = a b e t k ) 1 b − a + 1 =(\sum_{k=a}^{b} e^{tk})\frac{1}{b-a+1} =(k=a∑b etk)b−a+11 = e a t − e ( b + 1 ) t ( 1 − e t ) ( b − a + 1 ) =\frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{(1-e^{t})(b-a+1)} =(1−et)(b−a+1)eat−e(b+1)t 特征函数φ ( t ) = ∑k = a b e i t k P ( x = k ) 特征函数\varphi(t)=\sum_{k=a}^{b} e^{itk}P(x=k) 特征函数φ(t)=k=a∑beitkP(x=k) = ( ∑ k = a b e i t k ) 1 b −a + 1 =(\sum_{k=a}^{b} e^{itk})\frac{1}{b-a+1}=(k=a∑beitk)b−a+11 = e a i t − e ( b + 1 ) i t ( 1 − e i t ) ( b − a + 1 ) =\frac{e^{ait}-e^{(b+1)it}}{(1-e^{it})(b-a+1)}=(1−eit)(b−a+1)eait−e(b+1)it M ′ ( t ) = 1 b − a + 1 ( a e a t − ( b + 1 ) e ( b + 1 ) t ) ( 1 − e t ) + ( e a t − e ( b + 1 ) t ) e t ( e t − 1 ) 2M'(t)=\frac{1}{b-a+1}\frac{(ae^{at}-(b+1)e^{(b+1)t})(1-e^t)+(e^{at}-e^{(b+1)t})e^t}{(e^{t}-1)^{2}} M′(t)=b−a+11(et−1)2(aeat−(b+1)e(b+1)t)(1−et)+(eat−e(b+1)t)et t = 0 为M ′ ( t ) 的可去间断点，补充定义M ′ ( 0 ) = lim t → 0 M ′ ( t ) t=0为M'(t)的可去间断点，补充定义M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}M'(t) t=0为M′(t)的可去间断点，补充定义M′(0)=t→0limM′(t) E X = M ′ ( 0 ) = lim t → 0 1 b − a + 1 ( a 2 e at − ( b + 1 ) 2 e ( b + 1 ) t ) ( 1 − e t ) + ( e at − e ( b + 1 ) t ) e t 2 ( e t − 1 ) e tEX=M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a+1}\frac{(a^2e^{at}-(b+1)^2e^{(b+1)t})(1-e^t)+(e^{at}-e^{(b+1)t})e^t}{2(e^{t}-1)e^t}EX=M′(0)=t→0limb−a+112(et−1)et(a2eat−(b+1)2e(b+1)t)(1−et)+(eat−e(b+1)t) et = lim t → 0 1 b − a + 1 ( a 2 e a t − ( b +1 )2 e ( b + 1 ) t ) ( e − t − 1 ) + ( e a t − e ( b + 1 ) t ) 2 ( e t − 1 )=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a+1}\frac{(a^2e^{at}-(b+1)^2e^{(b+1)t})(e^{-t}-1)+(e^{at}-e^{(b+1)t})}{2(e^{t}-1)} =t→0limb−a+112(et−1)(a2eat−(b+1)2e(b+1)t)(e−t−1)+(eat−e(b+1)t) = lim t → 0 1 b − a + 1 ( a 3 e a t − ( b + 1 ) 3 e ( b + 1 ) t ) ( e − t − 1 ) − ( a 2 e a t −( b + 1 ) 2 e ( b + 1 ) t ) e − t + ( a e a t − ( b + 1 ) e ( b + 1 ) t ) 2 e t=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a+1}\frac{(a^3e^{at}-(b+1)^3e^{(b+1)t})(e^{-t}-1)-(a^2e^{at}-(b+1)^2e^{(b+1)t})e^{-t}+(ae^{at}-(b+1)e^{(b+1)t})}{2e^{t}} =t→0limb−a+112et(a3eat−(b+1)3e(b+1)t)(e−t−1)−(a2eat−(b+1)2e(b+1)t)e−t+(aeat−(b+1)e(b+1)t) = − a 2 + ( b + 1 ) 2 +a − (b + 1 ) 2 ( b − a + 1 ) =\frac{-a^2+(b+1)^2+a-(b+1)}{2(b-a+1)} =2(b−a+1)−a2+(b+1)2+a−(b+1) = − a 2 + ( b + 1 ) 2 2 ( b − a + 1 ) − 1 2 =\frac{-a^2+(b+1)^2}{2(b-a+1)}-\frac{1}{2}=2(b−a+1)−a2+(b+1)2−21 = ( b + 1 − a ) ( b + 1 +a ) 2 (b − a + 1 ) − 1 2 =\frac{(b+1-a)(b+1+a)}{2(b-a+1)}-\frac{1}{2}=2(b−a+1)(b+1−a)(b+1+a)−21 = b + 1 + a 2 − 1 2=\frac{b+1+a}{2}-\frac{1}{2} =2b+1+a−21 = b + a 2=\frac{b+a}{2} =2b+a 由于对M ′ ( t ) 求导得到M ′ ′ ( t ) ，再求M ′ ′ ( 0 ) 的方法比较繁琐，而我们只需要 t = 0 时 M 的二阶导数值，由于对M'(t)求导得到M''(t)，再求M''(0)的方法比较繁琐，而我们只需要t=0时M的二阶导数值，由于对M′(t)求导得到M′′(t)，再求M′′(0)的方法比较繁琐，而我们只需要t=0时M的二阶导数值，因此可以考虑使用 T a y l o r 公式计算M ′ ′ ( 0 ) 因此可以考虑使用Taylor公式计算M''(0) 因此可以考虑使用Taylor公式计算M′′(0) 令 1 − e t = u , t = 0 时 , u = 0 令1-e^t=u,t=0时,u=0 令1−et=u,t=0时,u=0 M ( t ) = e a t − e ( b + 1 ) t ( 1 − e t ) ( b − a + 1 )M(t)=\frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{(1-e^{t})(b-a+1)}M(t)=(1−et)(b−a+1)eat−e(b+1)t = 1 b − a + 1 u a −u b + 1 u =\frac{1}{b-a+1}\frac{u^a-u^{b+1}}{u}=b−a+11uua−ub+1 = 1 b − a + 1 1 + a 1 ! ( − u ) + a ( a − 1 ) 2 ! u 2 + a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( − u 3 ) + o ( u 3 ) − 1 − b + 1 1 ! ( − u ) −( b + 1 ) b 2 ! u 2 − ( b + 1 ) b ( b − 1 ) 3 ! ( −u 3 ) − o ( u 3 ) u =\frac{1}{b-a+1}\frac{1+\frac{a}{1!}(-u)+\frac{a(a-1)}{2!}u^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}(-u^3)+o(u^3)-1-\frac{b+1}{1!}(-u)-\frac{(b+1)b}{2!}u^2-\frac{(b+1)b(b-1)}{3!}(-u^3)-o(u^3)}{u} =b−a+11u1+1!a (−u)+2!a(a−1)u2+3!a(a−1)(a−2)(−u3)+o(u3)−1−1!b+1(−u)−2!(b+1)bu2−3!(b+1)b(b−1) (−u3)−o(u3) = 1 b − a + 1 a 1 ! ( − u ) + a ( a −1 ) 2 ! u 2 + a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( − u 3 ) + o ( u 3 ) − b + 1 1 ! ( − u ) − ( b + 1 ) b 2 ! u 2 − ( b + 1 ) b ( b − 1 ) 3 ! ( − u 3 ) u=\frac{1}{b-a+1}\frac{\frac{a}{1!}(-u)+\frac{a(a-1)}{2!}u^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}(-u^3)+o(u^3)-\frac{b+1}{1!}(-u)-\frac{(b+1)b}{2!}u^2-\frac{(b+1)b(b-1)}{3!}(-u^3)}{u} =b−a+11u1!a(−u)+2!a(a−1)u2+3!a(a−1)(a−2)(−u3)+o(u3)−1!b+1 (−u)−2!(b+1)bu2−3!(b+1)b(b−1)(−u3) = 1 b − a + 1 ( ( b + 1 − a ) + a ( a − 1 ) 2 ! u + a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( − u 2 ) + o ( u 2 ) − ( b + 1 ) b2 ! u − ( b + 1 ) b ( b − 1 )3 ! ( − u 2 ) )=\frac{1}{b-a+1}((b+1-a)+\frac{a(a-1)}{2!}u+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}(-u^2)+o(u^2)-\frac{(b+1)b}{2!}u-\frac{(b+1)b(b-1)}{3!}(-u^2)) =b−a+11((b+1−a)+2!a(a−1)u+3!a(a−1)(a−2)(−u2)+o(u2)−2!(b+1)bu−3!(b+1)b(b−1)(−u2)) = 1 + a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 2 ! ( b − a + 1 ) u + ( b +1 ) b ( b − 1 ) − a ( a − 1 ) ( a −2 )3 ! ( b −a + 1 ) u 2 + o ( u 2 ) =1+\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}u+\frac{(b+1)b(b-1)-a(a-1)(a-2)}{3!(b-a+1)}u^2+o(u^2) =1+2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)bu+3!(b−a+1)(b+1)b(b−1)−a(a−1)(a−2)u2+o(u2) 而 u = 1 − e t = − t − t 2 2 ! + o ( t 2 ) 而u=1-e^t=-t-\frac{t^2}{2!}+o(t^2) 而u=1−et=−t−2!t2+o(t2) 因此M ( t ) = 1 − a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 2 ! ( b −a + 1 ) t − a ( a − 1 ) − (b + 1 ) b 2 ! ( b − a + 1 ) t 2 2 ! + ( b + 1 ) b ( b − 1 ) − a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( b − a + 1 ) t 2 + o ( t 2 ) 因此M(t)=1-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}t-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}\frac{t^2}{2!}+\frac{(b+1)b(b-1)-a(a-1)(a-2)}{3!(b-a+1)}t^2+o(t^2) 因此M(t)=1−2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)bt−2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)b2!t2+3!(b−a+1)(b+1)b(b−1)−a(a−1)(a−2)t2+o(t2) 又因为M ( t ) = M ( 0 ) + M ′ ( 0 ) t + M ′ ′ ( 0 ) 2 ! t 2 + o ( t 2 ) 又因为M(t)=M(0)+M'(0)t+\frac{M''(0)}{2!}t^2+o(t^2) 又因为M(t)=M(0)+M′(0)t+2!M′′(0)t2+o(t2) 因此M ′ ( 0 ) = − a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 2 ! ( b − a + 1 ) = a + b 2 因此M'(0)=-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}=\frac{a+b}{2} 因此M′(0)=−2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)b=2a+b E X = M ′( 0 ) = a + b 2 EX=M'(0)=\frac{a+b}{2} EX=M′(0)=2a+b 而M ′ ′ ( 0 ) = 2 ! ∗ ( − a ( a − 1 ) − ( b +1 ) b 4 ( b − a + 1 ) + ( b + 1 ) b ( b − 1 ) − a ( a − 1 ) ( a −2 )3 ! ( b − a + 1 ) ) 而M''(0)=2!*(-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{4(b-a+1)}+\frac{(b+1)b(b-1)-a(a-1)(a-2)}{3!(b-a+1)}) 而M′′(0)=2!∗(−4(b−a+1)a(a−1)−(b+1)b+3!(b−a+1)(b+1)b(b−1)−a(a−1)(a−2)) = a + b 2 + ( b + 1 − a ) ( b 2 + a b − b + a 2 − 2 a ) 3 ( b − a + 1 ) =\frac{a+b}{2}+\frac{(b+1-a)(b^2+ab-b+a^2-2a)}{3(b-a+1)} =2a+b+3(b−a+1)(b+1−a)(b2+ab−b+a2−2a) = a + b 2 + b 2 + a b − b + a 2 − 2 a 3=\frac{a+b}{2}+\frac{b^2+ab-b+a^2-2a}{3} =2a+b+3b2+ab−b+a2−2a = 2 a 2 + 2 b 2 + 2 a b + b − a 6 =\frac{2a^2+2b^2+2ab+b-a}{6} =62a2+2b2+2ab+b−a D X = E X 2 − ( E X ) 2 = M ′ ′ ( 0 ) − ( E X ) 2DX=EX^2-(EX)^2=M''(0)-(EX)^2DX=EX2−(EX)2=M′′(0)−(EX)2 = 2 a 2 + 2 b 2 + 2 a b + b − a 6 − a 2 + 2 a b + b 2 4=\frac{2a^2+2b^2+2ab+b-a}{6}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}=62a2+2b2+2ab+b−a−4a2+2ab+b2 = ( b − a + 1 ) 2 − 1 12 =\frac{(b-a+1)^2-1}{12} =12(b−a+1)2−12、伯努利分布/两点分布(Bernoulli distribution)若 X 服从伯努利分布 B ( 1 , p ) , 则 X 满足 P ( x = 1 ) = p , P ( x = 0 ) = 1 − p = q 若X服从伯努利分布B(1,p) ,则X满足P(x=1)=p, P(x=0)=1-p=q 若X服从伯努利分布B(1,p),则X满足P(x=1)=p,P(x=0)=1−p=q M ( t ) = p e t + 1 − p M(t)=pe^{t}+1-p M(t)=pet+1−p φ ( t ) = p e i t + 1 − p \varphi(t)=pe^{it}+1-pφ(t)=peit+1−p M ′ ( t ) = p e t M'(t)=pe^{t}M′(t)=pet E X = M ′ ( 0 ) = p EX=M'(0)=p EX=M′(0)=pM ′ ′ ( t ) = p e t M''(t)=pe^{t} M′′(t)=pet E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = p EX^{2}=M''(0)=p EX2=M′′(0)=p D X = E X 2 − ( E X ) 2 = p ( 1 − p ) DX=EX^{2}-(EX)^{2}=p(1-p) DX=EX2−(EX)2=p(1−p)3、二项分布(Binomial distribution)若 X 服从二项分布 B ( n , p ) , 则 X 满足 f ( k ; n , p ) = P ( x = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k ( n 为整数 ) 若X服从二项分布B(n,p) ,则X满足f(k;n,p)=P(x=k)=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k} (n为整数) 若X 服从二项分布B(n,p),则X满足f(k;n,p)=P(x=k)=Cnkpk(1−p)n−k(n为整数) 因为服从二项分布的变量可以看作 n 个独立相同的服从伯努利分布的变量之和因为服从二项分布的变量可以看作n个独立相同的服从伯努利分布的变量之和因为服从二项分布的变量可以看作n个独立相同的服从伯努利分布的变量之和因此M ( t ) = ( p e t + 1 − p ) n 因此M(t)=(pe^{t}+1-p)^{n} 因此M(t)=(pet+1−p)n φ ( t ) = ( p e i t + 1 − p ) n \varphi(t)=(pe^{it}+1-p)^{n}φ(t)=(peit+1−p)n M ′ ( t ) = n p ( p e t + 1 − p ) n − 1 e t M'(t)=np(pe^{t}+1-p)^{n-1}e^{t}M′(t)=np(pet+1−p)n−1et E X = M ′ ( 0 ) = n pEX=M'(0)=np EX=M′(0)=np M ′ ′ ( t ) = n ( n − 1 )p 2 ( p e t + 1 − p ) n − 2 e 2 t + n p ( p e t + 1 − p ) n − 1 e t M''(t)=n(n-1)p^{2}(pe^{t}+1-p)^{n-2}e^{2t}+np(pe^{t}+1-p)^{n-1}e^{t}M′′(t)=n(n−1)p2(pet+1−p)n−2e2t+np(pet+1−p)n−1et E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = n ( n − 1 ) p 2 + n pEX^{2}=M''(0)=n(n-1)p^{2}+np EX2=M′′(0)=n(n−1)p2+npD X =E X 2 − ( E X ) 2 = n p ( 1 − p ) DX=EX^{2}-(EX)^{2}=np(1-p) DX=EX2−(EX)2=np(1−p)4、几何分布(Geometric distribution)若 X 服从几何分布 G e ( p ) , 则 X 满足 f ( k ; p ) = P ( x = k ) = ( 1 − p ) k − 1 p ( k = 1 , 2 , 3...... ) 若X服从几何分布Ge(p), 则X满足f(k;p)=P(x=k)=(1-p)^{k-1}p (k=1,2,3......) 若X服从几何分布Ge(p),则X满足f(k;p)=P(x=k)=(1−p)k−1p(k=1,2,3......) M ( t ) = ∑ k = 1 ∞ ( 1 − p ) k − 1 p e t kM(t)=\sum_{k=1}^{\infin}(1-p)^{k-1}pe^{tk}M(t)=k=1∑∞(1−p)k−1petk = p e t ∑ k = 1 ∞ ( ( 1 − p ) e t ) k − 1 =pe^{t}\sum_{k=1}^{\infin}((1-p)e^t)^{k-1} =petk=1∑∞((1−p)et)k−1 = p e t 1 −( 1 − p ) e t =\frac{pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}=1−(1−p)etpet φ ( t ) = ∑ k = 1 ∞ ( 1 − p ) k −1 p e i t k \varphi(t)=\sum_{k=1}^{\infin}(1-p)^{k-1}pe^{itk} φ(t)=k=1∑∞(1−p)k−1peitk = p e i t ∑ k = 1 ∞ ( ( 1 − p ) e i t ) k − 1=pe^{it}\sum_{k=1}^{\infin}((1-p)e^{it})^{k-1}=peitk=1∑∞((1−p)eit)k−1 = p e i t 1 − ( 1 − p ) e i t =\frac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}} =1−(1−p)eitpeit M ′ ( t ) = p e t ( 1 − ( 1 − p ) e t ) 2M'(t)=\frac{pe^t}{(1-(1-p)e^t)^2}M′(t)=(1−(1−p)et)2pet E X = M ′ ( 0 ) = 1 pEX=M'(0)=\frac{1}{p} EX=M′(0)=p1 M ′ ′ ( t ) = p e t ( e t − p e t + 1 ) ( 1 − ( 1 − p ) e t ) 3M''(t)=\frac{pe^t(e^t-pe^t+1)}{(1-(1-p)e^t)^3}M′′(t)=(1−(1−p)et)3pet(et−pet+1) E X 2 = M ′ ′( 0 ) = 2 − p p 2 EX^{2}=M''(0)=\frac{2-p}{p^2}EX2=M′′(0)=p22−p D X = E X 2 − ( E X ) 2 = 1 − p p 2 DX=EX^{2}-(EX)^{2}=\frac{1-p}{p^2}DX=EX2−(EX)2=p21−p5、负二项分布(Negative binomial distribution)若 X 服从负二项分布 N B ( r , p ) , 则 X 满足 f ( k ; r , p ) = ( k + r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r , k = 0 , 1 , 2 , 3...... 若X服从负二项分布NB(r,p), 则X满足f(k;r,p)=\binom{k+r-1}{k}p^{k}(1-p)^{r} ,k=0,1,2,3...... 若X服从负二项分布NB(r,p),则X满足f(k;r,p)=(kk+r−1)pk(1−p)r,k=0,1,2,3...... ( r 可以为实数，此时的分布称为波利亚分布 ) (r可以为实数，此时的分布称为波利亚分布) (r可以为实数，此时的分布称为波利亚分布) M ( t ) = ∑ k = 0 ∞ ( k +r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r e t kM(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\binom{k+r-1}{k}p^k(1-p)^re^{tk} M(t)=k=0∑∞(kk+r−1)pk(1−p)retk = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( − r k ) p k ( 1 − p ) r e t k=\sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k\binom{-r}{k}p^k(1-p)^re^{tk} =k=0∑∞(−1)k(k−r)pk(1−p)retk = ∑ k = 0 ∞ ( − p e t ) k ( − r k ) ( 1 − p ) r =\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^t)^k\binom{-r}{k}(1-p)^r =k=0∑∞(−pet)k(k−r)(1−p)r = ( 1 − p ) r ∑ k = 0 ∞ ( − p e t ) k( − r k ) 1 − r − k =(1-p)^r\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^t)^k\binom{-r}{k}1^{-r-k} =(1−p)rk=0∑∞(−pet)k(k−r)1−r−k = ( 1 − p ) r ( 1 − p e t ) −r =(1-p)^r(1-pe^t)^{-r} =(1−p)r(1−pet)−r φ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ ( k + r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r e i t k \varphi(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\binom{k+r-1}{k}p^k(1-p)^re^{itk} φ(t)=k=0∑∞(kk+r−1)pk(1−p)reitk = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( − r k ) p k ( 1 − p ) r e i t k =\sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k\binom{-r}{k}p^k(1-p)^re^{itk} =k=0∑∞(−1)k(k−r)pk(1−p)reitk = ∑ k = 0 ∞ ( − p e i t ) k ( − r k ) ( 1 − p ) r=\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^{it})^k\binom{-r}{k}(1-p)^r=k=0∑∞(−peit)k(k−r)(1−p)r = ( 1 − p ) r ∑ k = 0 ∞ ( − p e i t ) k ( − r k ) 1 − r − k =(1-p)^r\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^{it})^k\binom{-r}{k}1^{-r-k} =(1−p)rk=0∑∞(−peit)k(k−r)1−r−k = ( 1 − p ) r ( 1 − p e i t ) − r =(1-p)^r(1-pe^{it})^{-r}=(1−p)r(1−peit)−r M ′ ( t ) = ( 1 − p ) r ( − r ) ( 1 − p e t ) − r − 1 ( − p e t ) M'(t)=(1-p)^r(-r)(1-pe^{t})^{-r-1}(-pe^t)M′(t)=(1−p)r(−r)(1−pet)−r−1(−pet) = r p ( 1 −p ) r e t ( 1 − p e t ) − r − 1 =rp(1-p)^re^t(1-pe^t)^{-r-1} =rp(1−p)ret(1−pet)−r−1 E X = M ′( 0 ) = r p 1 − p EX=M'(0)=\frac{rp}{1-p}EX=M′(0)=1−prp M ′ ′ ( t ) = r p ( 1 − p ) r e t ( 1 − p e t ) − r − 1 + r p ( 1 − p ) r e t ( − r − 1 ) ( 1 − p e t ) − r − 2 ( − p e t )M''(t)=rp(1-p)^re^t(1-pe^t)^{-r-1}+rp(1-p)^re^t(-r-1)(1-pe^t)^{-r-2}(-pe^t)M′′(t)=rp(1−p)ret(1−pet)−r−1+rp(1−p)ret(−r−1) (1−pet)−r−2(−pet) E X 2 = r p ( 1 − p ) − 1 + r ( r + 1 ) p 2 ( 1 − p ) − 2 EX^2=rp(1-p)^{-1}+r(r+1)p^2(1-p)^{-2}EX2=rp(1−p)−1+r(r+1)p2(1−p)−2 = r p ( 1 − p ) + r ( r + 1 ) p 2 ( 1 − p ) 2 =\frac{rp(1-p)+r(r+1)p^2}{(1-p)^2} =(1−p)2rp(1−p)+r(r+1)p2 = r p + r 2 p 2 ( 1 − p ) 2 =\frac{rp+r^2p^2}{(1-p)^2}=(1−p)2rp+r2p2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = p r ( 1 −p ) 2 DX=EX^2-(EX)^2=\frac{pr}{(1-p)^2}DX=EX2−(EX)2=(1−p)2pr6、泊松分布(Poisson distribution)若 X 服从泊松分布P ( λ ) , 则 P ( X = k ) = e− λ λ k k ! , k = 0 , 1 , 2...... 若X服从泊松分布P(\lambda),则P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!},k=0,1,2...... 若X服从泊松分布P(λ),则P(X=k)=k!e−λλk,k=0,1,2...... M ( t ) = ∑k = 0 ∞ e − λ λ k k ! e t kM(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}e^{tk} M(t)=k=0∑∞k!e−λλketk = e − λ ∑ k = 0 ∞ ( λ e t ) k k ! =e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infin}\frac{(\lambda e^t)^k}{k!} =e−λk=0∑∞k!(λe t)k = e − λ e λ e t =e^{-\lambda}e^{\lambda e^t} =e−λeλet= e λ ( e t − 1 ) =e^{\lambda (e^t-1)} =eλ(et−1) φ ( t ) = ∑ k = 0∞ e − λ λ k k ! e i t k\varphi(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}e^{itk} φ(t)=k=0∑∞k!e−λλk eitk = e − λ ∑ k = 0 ∞ ( λ e i t ) k k ! =e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infin}\frac{(\lambdae^{it})^k}{k!} =e−λk=0∑∞k!(λe it)k = e − λ e λ e i t =e^{-\lambda}e^{\lambda e^{it}} =e−λeλeit = e λ ( e i t − 1 ) =e^{\lambda (e^{it}-1)} =eλ(eit−1) M ′ ( t ) = e λ ( e t − 1 ) λ e t M'(t)=e^{\lambda (e^t-1)}\lambda e^t M′(t)=eλ(et−1)λe t E X = M ′ ( 0 ) = λ EX=M'(0)=\lambda EX=M′(0)=λM ′ ′ ( t ) = e λ ( e t − 1 ) λ e t + e λ ( e t − 1 ) λ e tλ e t M''(t)=e^{\lambda (e^t-1)}\lambdae^t+e^{\lambda (e^t-1)}\lambda e^t\lambda e^tM′′(t)=eλ(et−1)λe t+eλ(et−1)λe tλe t E X 2 =M ′ ′ ( 0 ) = λ + λ 2EX^2=M''(0)=\lambda+\lambda^2 EX2=M′′(0)=λ+λ2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = λ DX=EX^2-(EX)^2=\lambdaDX=EX2−(EX)2=λ三、连续型随机变量的分布1、连续型均匀分布(Uniform distribution (continuous))若 X 服从连续型均匀分布 U ( a , b ) , 则 f( x ) = 1 b − a I [ a , b ] ( x ) 若X服从连续型均匀分布U(a,b),则f(x)=\frac{1}{b-a}I_{[a,b]}(x) 若X服从连续型均匀分布U(a,b),则f(x)=b−a1I[a,b](x) M ( t ) = ∫ a b 1 b − a e t x d x M(t)=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}e^{tx}dx M(t)=∫abb−a1etxdx = 1 b − a ∫ a b e t x d x =\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}e^{tx}dx =b−a1∫abetxdx = 1 b − a ( 1 t e t x ∣ a b ) =\frac{1}{b-a}(\frac{1}{t}e^{tx}\mid_{a}^{b}) =b−a1(t1etx∣ab) = e t b − e t a t ( b − a ) =\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} =t(b−a)etb−eta φ ( t ) = ∫ a b 1 b − a e i t x d x \varphi(t)=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}e^{itx}dxφ(t)=∫abb−a1eitxdx = 1 b − a ∫ a b e i t x d x=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}e^{itx}dx =b−a1∫abeitxdx = 1 b − a ( 1 i t e i t x ∣ a b ) =\frac{1}{b-a}(\frac{1}{it}e^{itx}\mid_{a}^{b}) =b−a1(it1eitx∣ab) = e i t b − e i t a i t ( b − a ) =\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)} =it(b−a)eitb−eita M ′ ( t ) = 1 b − a ( b e t b − a e t a ) t − ( e t b − e t a ) t 2 M'(t)=\frac{1}{b-a}\frac{(be^{tb}-ae^{ta})t-(e^{tb}-e^{ta})}{t^2} M′(t)=b−a1t2(betb−aeta)t−(etb−eta) t = 0 为M ′ ( t ) 的可去间断点，补充定义M ′ ( 0 ) = lim t → 0 M ′ ( t ) t=0为M'(t)的可去间断点，补充定义M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}M'(t) t=0为M′(t)的可去间断点，补充定义M′(0)=t→0limM′(t) E X = M ′ ( 0 ) = lim t → 0 ( b e t b − a e t a ) + ( b 2 e t b − a 2 e t a ) t − ( b e t b − a e ta ) 2 t (b − a )EX=M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{(be^{tb}-ae^{ta})+(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})t-(be^{tb}-ae^{ta})}{2t(b-a)} EX=M′(0)=t→0lim2t(b−a)(betb−aeta)+(b2etb−a2eta)t−(betb−aeta) = lim t → 0 ( b 2 e t b − a 2 e t a ) 2 ( b − a ) =\lim_{t\rightarrow0}\frac{(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})}{2(b-a)} =t→0lim2(b−a)(b2etb−a2eta) = b 2 − a 2 2 ( b − a ) =\frac{b^2-a^2}{2(b-a)} =2(b−a)b2−a2 = a + b 2 =\frac{a+b}{2} =2a+b M ′ ′ ( t ) = 1 b − a ( ( b 2 e t b − a 2 e t a ) t + ( b e t b − a e t a ) −( b e t b − a e t a ) ) t − 2 ( ( b e t b − a e ta ) t − ( e tb − e t a ) ) t 3 M''(t)=\frac{1}{b-a}\frac{((b^2e^{tb}-a^2e^{ta})t+(be^{tb}-ae^{ta})-(be^{tb}-ae^{ta}))t-2((be^{tb}-ae^{ta})t-(e^{tb}-e^{ta}))}{t^3} M′′(t)=b−a1t3((b2etb−a2eta)t+(betb−aeta)−(betb−aeta))t−2((be tb−aeta)t−(etb−eta)) = 1 b − a t 2 ( b 2 e t b −a 2 e t a ) − 2 t (b e t b − a e t a ) + 2 ( e t b − e t a ) t 3 =\frac{1}{b-a}\frac{t^2(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})-2t(be^{tb}-ae^{ta})+2(e^{tb}-e^{ta})}{t^3} =b−a1t3t2(b2etb−a2eta)−2t(betb−aeta)+2(etb−eta) t = 0 为M ′ ′ ( t ) 的可去间断点，补充定义M ′ ′ ( 0 ) = lim t → 0 M ′ ′ ( t ) t=0为M''(t)的可去间断点，补充定义M''(0)=\lim_{t\rightarrow0}M''(t) t=0为M′′(t)的可去间断点，补充定义M′′(0)=t→0limM′′(t) E X 2 =M ′ ′ ( 0 ) = lim t → 0 1 b − a t 2 ( b 3 e t b − a 3 e t a ) + 2 t ( b 2 e t b − a 2 e t a ) − 2 t ( b 2 e t b − a 2 e t a ) − 2 ( b e t b − a e t a ) + 2 ( b e t b − a e t a ) 3 t 2EX^2=M''(0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a}\frac{t^2(b^3e^{tb}-a^3e^{ta})+2t(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})-2t(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})-2(be^{tb}-ae^{ta})+2(be^{tb}-ae^{ta})}{3t^2}EX2=M′′(0)=t→0limb−a13t2t2(b3etb−a3eta)+2t(b2etb−a2eta)−2t(b2etb−a2eta)−2(betb−aeta)+2(betb−aeta) = 1 b − a lim t → 0 t 2 ( b 3 e t b − a 3 e t a ) 3 t 2 =\frac{1}{b-a}\lim_{t\rightarrow0}\frac{t^2(b^3e^{tb}-a^3e^{ta})}{3t^2} =b−a1t→0lim3t2t2(b3etb−a3eta) = 1 b − a lim t → 0 ( b 3 e t b − a 3 e t a ) 3=\frac{1}{b-a}\lim_{t\rightarrow0}\frac{(b^3e^{tb}-a^3e^{ta})}{3} =b−a1t→0lim3(b3etb−a3eta) = 1 b − a ( b 3 − a 3 ) 3 =\frac{1}{b-a}\frac{(b^3-a^3)}{3}=b−a13(b3−a3) = b 2 + a b + a 2 3=\frac{b^2+ab+a^2}{3} =3b2+ab+a2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = ( b − a ) 2 12 DX=EX^2-(EX)^2=\frac{(b-a)^2}{12} DX=EX2−(EX)2=12(b−a)22、指数分布(Exponential distribution)若 X 服从指数分布 E ( λ ) ，则 f ( x ) = λ e− λ x I [ 0 , + ∞ ) ( x ) 若X服从指数分布E(\lambda)，则f(x)=\lambda e^{-\lambdax}I_{[0,+\infin)}(x) 若X服从指数分布E(λ)，则f(x)=λe−λx I[0,+∞)(x) M ( t ) = ∫ 0 + ∞ λ e −λ x e t x d x M(t)=\int_{0}^{+\infin} \lambda e^{-\lambda x}e^{tx}dx M(t)=∫0+∞λe−λx etxdx = λ ∫ 0 + ∞ e ( t − λ ) x d x =\lambda \int_{0}^{+\infin} e^{(t-\lambda)x}dx =λ∫0+∞e(t−λ)xdx = λ t − λ ( e ( t − λ ) x ∣ 0 + ∞ ) =\frac{\lambda}{t-\lambda}(e^{(t-\lambda)x}\mid_{0}^{+\infin}) =t−λλ(e(t−λ)x∣0+∞) t < λ 时，M ( t ) = λ t − λ ( 0 − 1 ) t<\lambda时，M(t)=\frac{\lambda}{t-\lambda}(0-1) t<λ时，M(t)=t−λλ(0−1) = λ λ − t =\frac{\lambda}{\lambda-t} =λ−tλφ ( t ) = λ λ − i t \varphi(t)=\frac{\lambda}{\lambda-it}φ(t)=λ−itλM ′ ( t ) = λ ( λ − t ) 2M'(t)=\frac{\lambda}{(\lambda-t)^2} M′(t)=(λ−t)2λE X = M ′ ( 0 ) = 1 λ EX=M'(0)=\frac{1}{\lambda}EX=M′(0)=λ1 M ′ ′ ( t ) = 2 λ ( λ − t ) 3M''(t)=\frac{2\lambda}{(\lambda-t)^3}M′′(t)=(λ−t)32λ E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = 2 λ 2 EX^2=M''(0)=\frac{2}{\lambda^2} EX2=M′′(0)=λ22 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = 1 λ 2 DX=EX^2-(EX)^2=\frac{1}{\lambda^2} DX=EX2−(EX)2=λ213、正态分布(Normal distribution)若 X 服从正态分布N ( μ , σ 2 ) , 则 f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 若X服从正态分布N(\mu,\sigma^2),则f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} 若X服从正态分布N(μ,σ2),则f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2 引理 1 ：∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t = 2 π 引理1：\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi} 引理1：∫−∞+∞e−2t2dt=2π证明：( ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t ) 2 = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 + y 2 2 d x d y 证明：(\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^2=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy 证明：(∫−∞+∞e−2t2dt)2=∫−∞+∞∫−∞+∞e−2x2+y2dxdy = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 + ∞ e − r 2 2 r d r=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{+\infin}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr =∫02πdθ∫0+∞e−2r2rdr = 2 π ∫ 0 + ∞ e − r 2 2 r d r =2\pi \int_{0}^{+\infin}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr =2π∫0+∞e−2r2rdr = 2 π ( − e −r 2 2 ∣0 + ∞ ) =2\pi (-e^{-\frac{r^2}{2}}\mid_{0}^{+\infin}) =2π(−e−2r2∣0+∞) = 2 π =2\pi =2π因此∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t = 2 π 因此\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi} 因此∫−∞+∞e−2t2dt=2πM ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 e t x d x M(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}e^{tx}dx M(t)=∫−∞+∞2πσ1e−2σ2(x−μ)2etxdx = 1 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e −( x − μ ) 2 2 σ 2 + t x d x=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+tx}dx =2πσ1∫−∞+∞e−2σ2(x−μ)2+txdx 令 w = x − μ σ 令w=\frac{x-\mu}{\sigma} 令w=σx−μ原式= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − w 2 2 + t ( w σ + μ ) d w 原式=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+t(w\sigma+\mu)}dw 原式=2π1∫−∞+∞e−2w2+t(wσ+μ)dw = e μ t 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − w 2 2 + t σ w d w =e^{\mut}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+t\sigma w}dw=eμt2π1∫−∞+∞e−2w2+tσw dw = e μ t 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − t σ ) 2 − t 2 σ 2 2 d w =e^{\mut}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-t\sigma)^2-t^2\sigma^2}{2}}dw=eμt2π1∫−∞+∞e−2(w−tσ)2−t2σ2dw = e μ t + t 2 σ 2 2 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − t σ ) 2 2 d w=e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-t\sigma)^2}{2}}dw=eμt+2t2σ22π1∫−∞+∞e−2(w−tσ)2dw = e μ t + t 2 σ 2 2 1 2 π 2 π =e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\p i} =eμt+2t2σ22π12π= e μ t + t 2 σ 2 2 =e^{\mu t+\frac{t^2\sigma^2}{2}} =eμt+2t2σ2 φ ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e −( x − μ ) 2 2 σ 2 e i t x d x \varphi(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}e^{itx}dx φ(t)=∫−∞+∞2πσ1e−2σ2(x−μ)2eitxdx = 1 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 + i t x d x=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+itx}dx=2πσ1∫−∞+∞e−2σ2(x−μ)2+itxdx 令 w = x − μ σ 令w=\frac{x-\mu}{\sigma} 令w=σx−μ原式= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − w 2 2 + i t ( w σ + μ ) d w 原式=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+it(w\sigma+\mu)}dw 原式=2π1∫−∞+∞e−2w2+it(wσ+μ)dw = e i μ t 1 2 π ∫ −∞ + ∞ e − w 2 2 + i t σ w d w =e^{i\mut}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+it\sigma w}dw=e iμt2π1∫−∞+∞e−2w2+itσw dw = e i μ t 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − i t σ ) 2 + t 2 σ 2 2 d w =e^{i\mut}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-it\sigma)^2+t^2\sigma^2}{2}}dw=e iμt2π1∫−∞+∞e−2(w−itσ)2+t2σ2dw = e i μ t − t 2 σ 2 2 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − i t σ ) 2 2 d w =e^{i\mu t-\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-it\sigma)^2}{2}}dw=e iμt−2t2σ22π1∫−∞+∞e−2(w−itσ)2dw = e i μ t − t 2 σ 2 2 12 π 2 π =e^{i\mu t-\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi} =e iμt−2t2σ22π12π= e i μ t − t 2 σ 2 2 =e^{i\mu t-\frac{t^2\sigma^2}{2}} =e iμt−2t2σ2 M ′ ( t ) = eμ t + t 2 σ 2 2 ( μ + σ 2 t ) M'(t)=e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}(\mu+\sigma^2t)M′(t)=eμt+2t2σ2(μ+σ2t) E X = M ′ ( 0 ) = μEX=M'(0)=\mu EX=M′(0)=μM ′ ′ ( t ) = e μ t + t 2 σ 2 2 ( μ + σ 2 t ) 2 + e μ t + t 2 σ 2 2 σ 2M''(t)=e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}(\mu+\sigma^2t)^2+e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}\sigma^2 M′′(t)=eμt+2t2σ2 (μ+σ2t)2+eμt+2t2σ2σ2 E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = μ 2 + σ 2 EX^2=M''(0)=\mu^2+\sigma^2 EX2=M′′(0)=μ2+σ2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = σ 2 DX=EX^2-(EX)^2=\sigma^2 DX=EX2−(EX)2=σ2 特别地 , X 服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) 时特别地,X服从标准正态分布N(0,1)时特别地,X服从标准正态分布N(0,1)时 M ( t )= e t 2 2 M(t)=e^{\frac{t^2}{2}} M(t)=e2t2 φ ( t ) = e − t 2 2 \varphi(t)=e^{-\frac{t^2}{2}} φ(t)=e−2t2 E X = 0 , D X = 1 EX=0,DX=1 EX=0,DX=14、伽马分布(Gamma distribution)若 X 服从伽马分布Γ ( α , β ) ( α , β > 0 ) , 则 f ( x ) = β α Γ ( α ) x α − 1 e − β x I( 0 , + ∞ ) ( x ) 若X服从伽马分布\Gamma(\alpha,\beta)(\alpha,\beta>0),则f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}I_{(0,+\infin)}(x) 若X服从伽马分布Γ(α,β)(α,β>0),则f(x)=Γ(α)βαxα−1e−βx I(0,+∞)(x) 其中，Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ t α − 1 e − t d t , α > 0 其中，\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{+\infin}t^{\alpha-1}e^{-t}dt,\alpha>0 其中，Γ(α)=∫0+∞tα−1e−tdt,α>0 指数分布 E ( λ ) 是伽马分布Γ ( 1 , λ ) , χ 2 分布χ n 2 是伽马分布Γ ( n 2 , 1 2 ) 指数分布E(\lambda)是伽马分布\Gamma(1,\lambda),\chi^2分布\chi^2_n是伽马分布\Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2}) 指数分布E(λ)是伽马分布Γ(1,λ),χ2分布χn2是伽马分布Γ(2n,21) M ( t ) = ∫ 0 + ∞ β α Γ ( α ) x α −1 e − β x e t x d xM(t)=\int_{0}^{+\infin}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alp ha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}e^{tx}dx M(t)=∫0+∞Γ(α)βαxα−1e−βx etxdx = ∫ 0 + ∞ β α Γ ( α ) x α − 1 e ( t − β ) x d x=\int_{0}^{+\infin}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{(t-\beta) x}dx =∫0+∞Γ(α)βαxα−1e(t−β)xdx = β α ∫ 0 + ∞ 1 Γ ( α ) x α− 1 e ( t − β ) x d x=\beta^\alpha\int_{0}^{+\infin}\frac{1}{\Gamma(\alpha) }x^{\alpha-1}e^{(t-\beta) x}dx =βα∫0+∞Γ(α)1xα−1e(t−β)xdx t < β 时，令v = ( β − t ) x ，原式= β α β − t ∫ 0 + ∞ 1 Γ ( α ) ( v β −t ) α − 1 e − v d v t<\beta时，令v=(\beta-t)x，原式=\frac{\beta^\alpha}{\beta-t}\int_{0}^{+\infin}\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(\frac{v}{ \beta-t})^{\alpha-1}e^{-v}dv t<β时，令v=(β−t)x，原式=β−tβα∫0+∞Γ(α)1(β−tv)α−1e−vdv = ( β β − t ) α 1 Γ ( α ) ∫ 0 + ∞ v α − 1 e − v d v =(\frac{\beta}{\beta-t})^\alpha\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{+\infin}v^ {\alpha-1}e^{-v}dv =(β−tβ)αΓ(α)1∫0+∞vα−1e−vdv = ( β β − t ) α 1 Γ ( α ) Γ ( α ) =(\frac{\beta}{\beta-t})^\alpha\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\Gamma(\alpha)=(β−tβ)αΓ(α)1Γ(α) = ( β β − t ) α=(\frac{\beta}{\beta-t})^\alpha =(β−tβ)αφ ( t ) = ( β β − i t ) α \varphi(t)=(\frac{\beta}{\beta-it})^\alpha φ(t)=(β−itβ)αM ′ ( t ) = β α ( β − t ) − α − 1 α M'(t)=\beta^\alpha(\beta-t)^{-\alpha-1}\alpha M′(t)=βα(β−t)−α−1α E X = M ′ ( 0 ) = α β EX=M'(0)=\frac{\alpha}{\beta}EX=M′(0)=βαM ′ ′ ( t ) = β α ( β − t ) − α − 2 α ( α + 1 ) M''(t)=\beta^\alpha(\beta-t)^{-\alpha-2}\alpha(\alpha+1)M′′(t)=βα(β−t)−α−2α(α+1) E X 2 = α ( α + 1 ) β 2 EX^2=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\beta^2}EX2=β2α(α+1) D X = E X 2 − ( E X ) 2 = α β 2。
组合数学(第二版)母函数及其应用
考虑座位号),其中,甲、乙两 班最少1张,甲班最多5张,乙班最
多6张;丙班最少2张,最多7张;丁班最少4张,最 多10张.可有多
少种不同的分配方案?
母函数及其应用
母函数及其应用
【例 2.1.5】 从n 双互相不同的鞋中取出r 只(r≤n),要求
其中没有任何两只是成对 的,共有多少种不同的取法?
母函数及其应用
(1+x)n .
【例 2.1.2】 无限数列{1,1,…,1,…}的普母函数是
母函数及其应用
说明
(1)an 的非零值可以为有限个或无限个;
(2)数列{an}与母函数一一对应,即给定数列便得知它的
母函数;反之,求得母函数则数列也随之而定;
(3)这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有
关运算性质完成计数问题, 故不考虑“收敛问题”,即始终认
红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、 蓝
黄.其它情形依此类推.
母函数及其应用
这里需要说明的是:
(1)在例2.1.3中,利用普母函数可以将组合的每一种情况
都枚举出来,但是对排列问 题,指母函数却做不到,只能对排列
进行分类枚举.正如例2.3.1这样,项ryb 的系数6说 明红、蓝、
黄球各取一个时,有6种排列方案,但每一种方案具体是什么,
(每个数字可重复出现), 要求其中3,7出现的次数为偶数,1,5,9
出现的次数不加限制.
母函数及其应用
【例 2.3.4】 把上例的条件改为要求1、3、7出现的次数
一样多,5和9出现的次数不 加限制.求这样的n 位数的个数.
解 设满足条件的数有bn 个,与例2.1.6的分配问题类似,即
将n 个不同的球放入标号 为1、3、5、7、9的5个盒子,其中
特征函数与矩母函数
特征函数与矩母函数特征函数和矩母函数是概率论和数理统计中常用的工具，用于描述随机变量的性质和分布。
它们在统计推断、参数估计、假设检验等方面发挥着重要作用。
本文将详细解释特征函数和矩母函数的定义、用途和工作方式，并给出一些实际应用的例子。
1. 特征函数（Characteristic Function）1.1 定义特征函数是一个复数值函数，对于一个随机变量X，其特征函数定义为：ϕX(t)=E[e itX]其中，t是实数，i是虚数单位。
1.2 用途特征函数可以完整地描述一个随机变量的分布性质。
它包含了所有阶的矩信息，并且唯一地确定了随机变量的分布。
通过特征函数可以计算出随机变量的均值、方差、偏度、峰度等统计量。
1.3 工作方式给定一个随机变量X，我们可以通过求解期望来计算其特征函数。
首先，我们将复指数项展开为正弦和余弦项：e itX=cos(tX)+isin(tX)然后，取期望得到特征函数：ϕX(t)=E[cos(tX)]+iE[sin(tX)]特征函数的实部和虚部分别是随机变量的余弦和正弦分布的特征函数。
2. 矩母函数（Moment Generating Function）2.1 定义矩母函数是一个实数值函数，对于一个随机变量X，其矩母函数定义为：M X(t)=E[e tX]2.2 用途矩母函数同样可以用于描述随机变量的性质和分布。
通过矩母函数可以计算出随机变量的矩信息，如均值、方差、偏度、峰度等统计量。
2.3 工作方式与特征函数类似，我们可以通过求解期望来计算随机变量的矩母函数。
将指数项展开为幂级数：e tX=∑(tX)n n!∞n=0然后取期望得到矩母函数：M X(t)=E[∑(tX)n n!∞n=0]=∑t n E[X n]n!∞n=0矩母函数的n阶导数在t=0处的值等于随机变量的n阶原点矩。
3. 特征函数与矩母函数的关系特征函数和矩母函数之间存在着紧密的联系。
通过特征函数可以推导出矩母函数，反之亦然。
特征函数和矩母函数解剖
{N
l}s
k
k0
l 0
P{Y k, N l}sk k0 l0
P{Y k}P{N l}sk k0 l0
P{N l} P{Y k}sk
l 0
k 0
l P{N l} P
X
j
k
s
k
l0
k 0
j 1
l0
P{N
l}
l j 1
k 0
P{
X
j
k}s
k
则称
P(s) E(s X ) pk sk
k 0
为X的母函数。
性质：
(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定
pk
P (k) (0) ,
k!
k
0,1,2,
(2)设P(s)是X的母函数，
若EX存在，则EX=P(1)
若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
P(s) k(k 1) pk sk1 k2
P(1) k(k 1) pk k(k 1) pk
k2
k 1
k 2 pk kpk EX 2 EX
k 1
k 1
DX EX 2 (EX )2 P(1) EX (EX )2
P(1) P(1) [P(1)]2
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
求X的特征函数。
解
由于
P（X
k）
k
k！e
所以
X (t) eitk k 0
k
k！e
e
k 0
(eit ) k
k！
麦克劳林公式
e eeit e (eit 1)
特征函数和矩母函数课件
特征函数和矩母函数课件
什么是特征函数？
特征函数是一种连续变量，用来表示给定概率分布的连续特征。
它们借助独特的函数结构来帮助理解该分布的性质。
一般情况下，特征函数被定义为概率密度函数的积分或积分的产物，其中使用的是一组实数序列λ1，λ2，...，λn，称为参数。
它也可以考虑为对概率密度函数的一种广义函数格式的描述。
矩母函数是一种特征函数，用于根据一定的参数描述和控制一组数据的变化模式。
它也被称为矩函数或越积函数，其基本定义为一个有限个参数的多项式，由此引出一组非负实数。
矩母函数拥有独特的性质和拓扑表示，对概率密度函数进行信息可视化具有重要意义。
它也常用于表示一个系统中细胞的状态等普遍现象。
第四章 特征函数与母函数(中山大学)
第四章 特征函数与母函数１．11{},{},22p a p a ξξξ=-===设随机变量的分布为：求特征函数()t ψ及数学期望E ξ和方差D ξ。
解：02222202211()cos ,()'(0)()(sin )|022()''(0)()(cos )|iat iat t t t e e at E i i a at E i i a at a D E a ψξψξψξξ-===+==-=--==-=--===２．设ξ服从几何分布，1{},1,2,k p k pq k ξ-=== ，（首次成功时所进行的试验次数）。
求特征函数()t ψ及数学期望E ξ和方差D ξ。
解：111022222421()()111()()()1(1)1()1(1)2(1)()()(1)(1)1(1)2(1)(1nn it itk k it k it k k it t t itit it t it p p t Ee e pqe q q q qe d piqe E i i pdt q qeqe pd i pqe pqi q pq q qi E i i dt q qe q q pq q pq q q q q ξψξξ-=========-=-=-=--⎛⎫-----=-=- ⎪--⎝⎭-+-=-∑∑22444222241((1)2)(2))(2)1()pq q pq p p pq q p p p p pq q D E E p p pξξξ-++==+=-=-=３．解：Pascal 分布：第r 次成功所进行的试验次数，(,)f r p ξ ，可看成是r 个独立同分布的几何分布G(p)的和的分布。
从而21()1[(1)],rrit it rp p t q qe q qe r qr E D p p ξψξξ⎛⎫== ⎪--⎝⎭==４．解：1(,),(),,,0()r r x x eG r f x r x r λξλξλλ--=>Γ10()()r r xitxx e t edxr λλψ--∞=Γ⎰(1)1()itxr r itxx eedxr λλλ---∞=Γ⎰(1)((1))r it ity x λλλ-=-=-令进行积分变换即可10122222022222222()'(0)()()(1)()(1)()''(0)()()(1)(1)()r t r t r t it iE i i r rit rit iE i i r r r rr r r r D E E ξψλλλλλξψλλλξξξλλλ--=--=--==-=----=-==-=------+=+⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭5． 解：0222220202222()[cos cos (sin sin )]22cos cos 2(cos )(2)()'(0)()()0()it ax ax ax ax axax ax t a t Ee txe dx txe dx i txe dx txe dx a txe dx a txe dxa atxe dx a t a ta t E i i a t E ξψξψξ∞∞---∞-∞∞∞--∞-===+++=⋅===++=-=--=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰用分部积分，解方程的方法求得2202222222232222()''(0)''(0)2()322()2t t d ti a dt a t a t a a t a D E E a ψψξξξ==⎛⎫-=-= ⎪+⎝⎭⎛⎫-==⎪+⎝⎭∴=-=6．解：22222211()cos cos cos sin cos 222coscos122[]211itxt e xdx tx x i tx xdxt tt t ππππψππ--==+==--⎰⎰22022cos2()'(0)()()14cos (1)sin 22()()2(1)t t td E i i dt t t t t ti t πξψπππ===-=--+-=-=-22222220232222[(1)8(13)]cos8(1)sin22()''(0)()4(1)2,244t ttt t t t E i t D E E ππππξψππξξξ=--+--=-=--=-∴=-=-９.解：(,),()(),()((0,1nit nnn nn nB n p t q pet Ee e Ee ee q pe qe peE E D Dξηξξψηψηη-=+=====+=+⎛⎫⎛⎫====令则10．解：(1)(1)(1)(),(),()exp{}1,0iteP t et e e eE Dλλξλληξλξλψηψξξ-=====+==11.解：()n nG pξ ,n n npηξ=,由本章习题２知nη的特征函数为()()1(1)nn n nn nip tnn ip tnn nip t ip tn np et p tq ep pe q e pηξψψ--==-==---(1)()11()1(1)11,()nn nip tn n n nn n np pp e p ip t o pnit o itE D qηη-==+--+=→→∞-+-==利用几何分布的期望方差12.解：(1)1(2)4(1())t tψψ-≤-因为()tψ为实特征函数，故2()cos()1(2)4(1())1cos2()4(1cos)()1cos24(1cos)cos2cos10t txdF xt ttxdF x tx dF xtx txtx txψψψ∞-∞∞∞-∞-∞=-≤-⇔-≤-⇔-≤-⇔-+≥⎰⎰⎰（正确）(2)21(2)2()t tψψ+≥)()()()22231cos 2()2cos ()1cos 2()cos ()2cos ()cos ()()txdF x txdF x tx dF x txdF x txdF x txdF x ∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞⇔+≥+⇔≥⇔≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰正确13.解：充分性。
母函数
组合数为 x r 之系数 C(n, r).
推论2 推论2
设 S = { ∞ e 1, ∞ e 2 ,L, ∞ e n },则 S 的 r 1 G(x) = ( ∑ x ) = (1 x) n j=0
∞ j n
无限可重组合的母函数 为
组合数为 x r的系数 C(n + r 1, r).
推论3 推论3 设 S = { ∞ e 1, ∞ e 2 ,L , ∞ e n },每个元素至 x G(x) = ( ∑ x ) = 1 x j =1
10组合数 组合数. 例如 求S = {3 a,4 b,5 c}的10组合数.
解 S的 r组合数的母函数为 G(x) = (1 + x + x 2 + x 3 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ) (1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 的系数6即为所求的1 组合数. 展开式中 x 10的系数6即为所求的1 0组合数.
n
是多重集
1
解
k + n 1 (k + n 1)(k + n 2) Lk n = n! ( k) L( k (n 1)) n k = ( 1) = ( 1) n n!
n
所以,{a n }的母函数 所以,
∞ k n k x = ∑ ( x) n G(x) = ∑ ( 1) n n n =0 n =0 1 k = (1 x) = (1 x) k ∞ n
n
1 = (1 x 2 ) n 证 G(x) = (1 x 2 ) n
∞ n 2k n + k 1 2k x = ∑ ( 1) x = ∑ k k k =0 k =0 ∞ k
特征函数及其应用
特征函数及其应用1 引言在概率论和数理统计中，我们学习了特征函数，发现了它可以更高级、优越、方便的表示出一般的随机变量的统计规律．是研究随机变量的重要工具．本文将向大家详细的阐述特征函数的基本概念，性质以及特征函数的应用和一些相关定理的证明．2 特征函数2.1 特征函数的定义设ξ是定义在样本空间上的随机变量．称ξ的复值函数it eξ=cos ()t ξ+i sin ()t ξ的数学期望E ()it e ξ=E ()()cos t ξ+i E ()()sin t ξ t -∞<<+∞其中，i =ξ的特征函数，记为()t ϕ．特征函数()t ϕ一般为实变量t 的复值函数，它对一切t 有定义．事实上，当ξ是连续型随机变量时，对(),t ∀∈-∞+∞，总有()()1itx e dF x dF x +∞+∞-∞-∞==⎰⎰若ξ为离散型随机变量，则1kitx k kep =∑因此，任一随机变量ξ，必有特征函数存在．2.2 特征函数的性质()1 有界性：()()()01,,t t ϕϕ≤=∀∈-∞+∞ ()2 一致连续性：()t ϕ在(),-∞+∞上一致连续 ()3 非负定[]()1181P 性：对1n ∀>个实数1t ，，n t 及复数1z ，，n z ，总有()0s rs r rstt z z ϕ-≥∑∑()4 ()t ϕ-=()t ϕ，这里()t ϕ表示()t ϕ的共轭()5 若a b ηξ=+，a ，b ，为常数，则()t ηϕ=ibt e ()at ξϕ⋅()6 设12,ξξ的特征函数分别为()1t ϕ，()2t ϕ，又1ξ与2ξ相互独立，则12ξξξ=+的特征函数为()()()12t t t ϕϕϕ=⋅2.3 特征函数与矩的关系在以前的学习中，我们发现求随机变量的各阶矩往往需要作繁难的求无穷级数和或无穷积分的计算，有时应用一定的技巧方可计算出结果．现在我们有了特征函数这一优越的工具后，可以通过对特征函数()t ϕ求导的方法来计算随机变量的矩．设随机变量ξ有l 阶矩存在，则ξ的特征函数()t ϕ可微分l 次，且对k l ≤，有()()0k k k i E ϕξ=设ξ有密度函数()p x ，则()t ϕ=()itx e p x dx +∞-∞⎰由于ξ的l 阶矩存在，即有()lx p x dx +∞-∞<∞⎰从而()itx e p x dx +∞-∞⎰可以在积分号下对t 求导l 次，于是对0k l ≤≤，有()()k t ϕ=()()k k itx k k it i x e p x dx i E e ξξ+∞-∞=⎰令0t =即得()()0k k k i E ϕξ=当ξ是离散型随机变量时，证明也是类似的．由这个性质，在求ξ的各阶矩（如果他们存在的话），只要对ξ的特征函数求导即可．而从定义出发是要计算积分的，大家都知道，求导一般总是要比求积分简单的多，所以可以这样说：特征函数提供了一条求各阶矩的捷径[]()2175176P -．2.4 几种常见分布的特征函数()1 单点分布 设ξ服从单点分布，即()1P c ξ==，则()()()it itc itc t E e e P c e ξϕξ==⋅==()2 两点分布 设()~1,B p ξ，即 ()1P p ξ==，()01P p q ξ==-=，则()01it it it t e q e p q pe ϕ⋅⋅=⋅+⋅=+()3 二项分布 设()k k n k n P k p q C ξ-==，0k n ≤≤，则()t ϕ=0nikt k k n k n k e p q C -=∑()nitpe q=+()4 普哇松分布 设ξ为普哇松分布，即()!kP k e k λλξ-==，0k =，1，2则()t ϕ=0!itkikte k ee e e k λλλλ∞--==⋅∑()5 均匀分布 设ξ在[]0,1上均匀分布，即()011,0,x p x ≤≤⎧=⎨⎩其它则()t ϕ=()1itx itx e p x dx e dx +∞-∞=⎰⎰1it e it-=()6 指数分布 设ξ服从参数为λ的指数分布，即 ()0,0,x x e p x x λλ->⎧=⎨≤⎩故()t ϕ=itx x e e dx λλ∞-⎰由数学分析知道 220sin x ttxe dx t λλ∞-=+⎰22cos x txe dx tλλλ∞-=+⎰由此可得()t ϕ=11it λ-⎛⎫- ⎪⎝⎭()7 正态分布 设ξ服从()2,N μσ分布，把()2,N μσ分布的密度函数代入()t ϕ=()itx e p x dx +∞-∞⎰中，即有()t ϕ=()222x itx edx μσ--+∞-∞⎰222t i t eσμ-=22it zit edz σσ∞---∞-⎰222t i t e σμ-=其中22it zit edz σσ∞---∞-⎰=是利用复变函数中的围道积分求得的．例1 求()2,Nμσ分布的数学期望和方差解 已知()2,Nμσ分布的特征函数为()t ϕ=222t i t eσμ-于是由()()0k k k i E ϕξ= 有()0iE i ξϕμ'==()22220i E ξϕμσ''==--由此即得()222,E D E E ξμξξξσ==-=从这里我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差，要比从定义去证更方便[]()31P ．2.5 特征函数与分布函数的关系逆转公[]()2177P 式 设随机变量ξ的分布函数为()F x ，特征函数为()t ϕ，又1x 与2x 为()F x 的任意两个连续点，则有()()()12121lim2itx itx TT T e e F x F x t dt it ϕπ---→∞--=⎰其中，当0t =时，按连续性延拓定义1221itx itx e e x x it---=- 由特征函数的定义可知，随机变量的分布函数唯一的确定了它的特征函数．反过来，由唯一性定理可知特征函数可以唯一地确定它的分布函数．从而由特征函数来确定分布函数的式子也常常称为“逆转公式”．唯一性定[]()2178P 理 随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定．3 特征函数的应用3.1 特征函数在求独立随机变量和的分布上的应用设1ξ，2ξ的特征函数分别为()1t ϕ，()2t ϕ，又1ξ与2ξ相互独立，则12ξξξ=+的特征函数为()()()12t t t ϕϕϕ=⋅因为1ξ与2ξ相互独立，由以前的知识我们知道1it e ξ与2it eξ也相互独立，于是由数学期望的性质即得()t ϕ=()12it Ee ξξ+()12it it E e e ξξ=⋅12it it EeEe ξξ=⋅()()12t t ϕϕ=⋅利用归纳法，不难把上述性质推广到n 个独立随机变量的场合，若1ξ，2ξ，n ξ是n 个相互独立的随机变量，相应的特征函数为()1t ϕ，()2t ϕ，…，()n t ϕ 则ξ1ni i ξ==∑的特征函数为()t ϕ=()1ni i t ϕ=∏例2 设jξ(1j =，2，)n 是n 个相互独立的，且服从()2,j j N a σ分布的正态随机变量，试求ξ1nj j ξ==∑的分布．解 已知j ξ的分布为()2,j j N a σ，故相应的特征函数为()222j j t ia t j t eσϕ-=由特征函数的性质()t ϕ=()1nj j t ϕ=∏ 可知ξ的特征函数为()t ϕ=()1n j j t ϕ=∏2222111221nnj j j j j j t i a t t nia t j eeσσ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∑∑==∏而这是211,n n j j j j N a σ==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑分布的特征函数，由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从211,n n j j j j N a σ==⎛⎫⎪⎝⎭∑∑分布．这正是我们所熟知的可加性，这里用特征函数作为工具证明了这个可加性．3.2 在普哇松分布收敛于正态分布上的应用连续性定[]()2205P 理 分布函数列(){}n F x 弱收敛于分布函数()F x 的充要条件是相应的特征函数列(){}nx ϕ收敛于()F x 的特征函数()t ϕ．例3 若λξ是服从参数为λ的普哇松分布的随机变量，证明：22lim t xP x e dt λ--∞→∞⎫<=⎪⎭证明 已知λξ的特征函数为()x λϕ()1it e eλ-=，故λη= 的特征函数为()1g t e eλλλϕ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭==对于任意的t ，有2112!t o λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，λ→∞于是221122t t eo λλλ⎛⎫⎛⎫--=-+⋅→- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，λ→∞ 从而对任意的点列n λ→∞，有()22lim n n t g t eλλ-→∞=但是22te-是()0,1N分布的特征函数，由连续性定理即知有22limntxP x e dtλξλ--∞→∞⎛⎫-<=⎪⎪⎭成立，因为nλ是可以任意选取的，这就意味着22limtxP x e dtλ--∞→∞⎫<=⎪⎭成立．即“普哇松分布收敛与正态分布”．3.3在证明辛钦大数定律上的应用若1ξ，2ξ…是独立同分布随机变量序列，且(iE a iξ==1，2，)则11npiianξ=−−→∑，n→∞证明因为1ξ，2ξ…有相同的分布，所以也有相同的特征函数，记这个特征函数为()tϕ，又因为iEξ存在，从而特征函数()tϕ有展开式()()0tϕϕ=+ϕ'()()0t o t+()1iat o t=++再由独立性知11niinξ=∑的特征函数为1n nt t tia on n nϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦对任意取定的t，有lim lim1n niatn nt t tia o en n nϕ→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦已知iate是退化分布的特征函数，相应的分布函数为()1,0,x aF xx a>⎧=⎨≤⎩由连续性定理知11niinξ=∑的分布函数弱收敛于()F x，因a是常数，则有11n pi i a n ξ=−−→∑ 故辛钦大数定律成立．3.4 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在n 重贝努里试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为()01P p <<，n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，则22lim t xn P x e dt --∞→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭要证明这个式子我们只需证明下面的这个式子，因为它是下面的式子的一个特例，证明了下面的式子，也就证明了它．若1ξ，2ξ，…是一列独立同分布的随机变量， 且 k E a ξ=，()220k D ξσσ=>，k =1，2，…则有22lim n t k xn na P x e dt ξ--∞→∞⎛⎫- ⎪⎪<=⎪⎪⎝⎭∑证明 设k a ξ-的特征函数为()t ϕ，则nknk naξ=-=∑的特征函数为nϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦又因为()0k E a ξ-=，()2k D a ξσ-=，所以ϕ'()00=，ϕ''()20σ=-于是特征函数()t ϕ有展开式()()0t ϕϕ=+ϕ'()0t +ϕ''()()2202t o t +()222112t o tσ=-+从而对任意固定的t，有2212nnt ton nϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦22te-−−→，n→∞而22te-是()0,1N分布的特征函数，由连续性定理知22limntkxnnaP x e dtξ--∞→∞⎛⎫-⎪⎪<=⎪⎪⎝⎭∑成立，证毕．我们知道在22limtxnP x e dt--∞→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭中nμ是服从二项分布()k k n kn nP k p qCμ-==，0k n≤≤的随机变量，如上3.2中称22limtxP x e dtλ--∞→∞⎫<=⎪⎭为“普哇松分布收敛与正态分布”，我们把上面证明的式子常常称为“二项分布收敛于正态分布”．[]()2210211P-通过上文的讨论，我们加深了对特征函数的认识，对于特征函数的应用也有了大概的了解，而随着理论和实践的不断发展，对特征函数的研究也将会不断深化．。
母函数和特征函数简介
母函数和特征函数简介§1 母函数（生成函数）简介对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。
母函数又称生成函数(Generating function)。
母函数的定义● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数)1(0≤∑∞=s sa n nn 为}0,{≥n a n 的母函数。
● 定义：设X 为取值于非负整数随机变量，分布率为 ,2,1,0,}{===k p x X P k k ，则称1)(?)(0≤==∑∞=s s p s E s g k kk X为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。
一些常用分布的母函数（1）若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+=（2）若)(~λPo X ，则)1()(-=s e s g λ （3）若)(~p G X ，则qs pss g -=1)(母函数的基本性质（1）X 的母函数与其分布率是一一对应的，且有!)0()(k g p k k =（2）设非负整值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑==nk kXY 1的母函数为：)()()()(21s g s g s g s g n Y =（3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有：（a ）)1()(g X E '=（b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''==母函数的应用（4）设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑==nk kXY 1的分布。
（5）设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。
（6）设21,X X 独立，且2,1,)(~=i Po X i i λ，证明)(~2121λλ++Po X X 。
1-4特征函数和母函数市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
g(t1 , t2 ,, tn ) E[e ] i t1x1tnxn
eit1 x1
tn
xn
dF (
x1 ,,
xn
)
性质：
随机变量X1,X2,…,Xn相互独立旳充要条件是
g(t1
,
t
2
,,
tn
)
n
k 1
g
Xk
(tk
)
母函数旳概念:
定义：离散型随机变量X 旳分布律为
P{X=k}=Pk, k=0,1,2,…
g(t1, t2 ) E[eit1X t2Y ]
eit1xt2 ydF ( x, y)
连续型
g(t1, t2 )
eit1xt2 y f ( x, y)dxdy
离散型
g(t1, t2 )
e p . i t1 X r t2YsS r,s
rs
定义 n维随机向量(X1,X2,…,Xn)旳分布函数 为 F(x1,x2,…,xn),则它旳特征函数为
1) g(t ) g0 1; 2) g(t) g(t).
证 g(t ) E(eitX ) E eitX 1.
g(t ) E(eitX ) E(eitX ) g(t ).
性质2：设随机变量X旳特征函数为 旳特征函数是
司蒂阶积 分性质
g则X tY, =aX+b
gY (t ) eibt gX (at )
1 p peit q peit , t R.
Ex.3 指数分布
f
(
x)
e x
,
0,
g(t ) eitxexdx 0
x 0; x 0.
λ 0
0 excostxdx i 0 exsintxdx
母函数的概念与性质
1绪论母函数又可译为发生函数或生成函数.母函数方法是现代离散数学领域中的重要方法.它是联结离散数学与连续数学的桥梁.它是解决组合计数问题的一个重要工具之一.母函数方法是一种既简单又有用的数学方法，是一个古老方法.他源于De Moivre 在1720前后的工作，1748年欧拉在研究关于划分的问题中发展了这一方法.拉普拉期于18世纪末及19世纪初期对其进行了广泛的论述.其探究主要与概率论相关.尽管这一方法有其悠久的历史，但是正如我们将要看到的那样，这一方法有着广泛的应用.当代计算机科学家克努特（D.E.Knuth）在其名著《The art of computer programming,voll》中作了这样的论述：“…当运用母函数时，通常无需担心级数的收敛性，因为我们只是在探求得到某个问题的解的可能途径，一旦当我们用任何手段发现了解，尽管这些手段也许不严格，就有可能独立的验证这个解…例如有时很容易用数学归纳法来证明，我们甚至不必提到它是利用母函数发现的.此外，可以证明我们对母函数所做的绝大多数——如果不是所有的话——运算都能严格论证其可行而无须顾及级数的收敛性.”这段引文最后的断言是通过把母函数作为形式幂级数而得以实现的.一般情况下，母函数中的x只是一个抽象符号，并不需要对它赋予具体数值.因而不需要考虑它的收敛性.此时的变量x只是一种形式变元.对这种级数可以把它看成形式幂级数，可以按通常方式定义其加法、乘法、形式微分等运算，从而构成一个代数体系.母函数有多种类型，这里仅讨论最常见的两种：普通母函数和指数母函数.下面分别进行讨论.2母函数基本概念定义2.1. 对于数列{}0n n a ≥，称函数 120120()k k k f x a x a a x a x ≥==+++∑为数列{}0n n a ≥的普通型母函数（简称普母函数）．定义2.2. 对于数列{}0n n a ≥，称函数120120()!1!2!k kk x x x f x a a a a k ≥==+++∑为数列{}0n n a ≥的指数型母函数（简称指母函数）．数列与母函数可以互求.已知母函数，可求出其对应的数列；已知数列，可求出其对应的母函数.R 上的母函数的全体记为[]R x ⎡⎤⎣⎦.在集合[]R x ⎡⎤⎣⎦中适当定义加法和乘法运算，可使它成为一个整环，任何一个母函数都是这个环中的元素.定义2.3. 设0()kk k A x a x ∞==∑与0()k k k B x b x ∞==∑是R 上的两个母函数.若对任意0k ≥，有k k a b =.则称()A x 与()B x 相等.记作()()A x B x =.定义 2.4. 设α为任意实数. []0()kk k A x a x R x ∞=⎡⎤=∈⎣⎦∑,则()0()kk k A x a x αα∞==∑称作α与()A x 的数乘积.定义2.5. 设0()kk k A x a x ∞==∑与0()k k k B x b x ∞==∑是R 上的两个母函数.（1）将()A x 与()B x 相加定义为0()()()k k k k A x B x a b x ∞=+=+∑，并称()()A x B x +为()A x 与()B x 的和，把运算“+”称作加法.（2）将()A x 与()B x 相乘定义为01100()()()k k k k k A x B x a b a b a b x ∞-=⋅=+++∑，并称()()A x B x ⋅为()A x 与()B x 的积，把运算“⋅”称作乘法.3母函数的性质母函数与数列之间是一一对应的，因此，若两个母函数之间存在某种关系，那么相应的两个数列之间也必然存在一定的关系；反过来说当然也能成立．设数列{}0n n a ≥的母函数为()A x ，数列{}0n n b ≥的母函数为()B x ，我们可以得到下面的一些性质：性质3.1. 若0n n kn k b a n k-<⎧=⎨≥⎩ , 则 ()()k B x x A x =．证明： 由假设条件，有 21101211()k k k k k k B x b b x b x b x b x b x -+-+=+++++++11k k k k b x b x ++=++ 101k k a x a x +=++()01k x a a x =++()k x A x =.例3.1. 2()11!2!xx x A x e =+++= 且()B x 满足0n n kn k b a n k-<⎧=⎨≥⎩，则求()B x .解：利用性质1，()()k B x x A x =k x x e =⋅性质3.2. 若n n k b a +=，10()()k n k n n B x A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.证明： 又假设条件，有2012()B x b b x b x =+++212k k k a a x a x ++=+++()12121k k k k k k k a x a x a x x ++++=+++ ()10111()k k k A x a a x a x x--=----10()k n k n n A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.例3.2. 35()sin 3!5!x x A x x x ==+++,且6k k b a +=，求()B x .解： 6160()()n n n B x A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑356()3!5!x x A x x x ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦.性质3.3. 若0nn k k b a ==∑，则()()1A x B x x=-． 证明： 有假设条件，有 00b a =， 101b x a x a x =+， 22222012b x a x a x a x =++， …，012n n n n n n n b x a x a x a x a x =++++…， 把以上两边分别相加，得2222012()(1)(1)(1)B x a x x a x x x a x x x =++++++++++++22012()(1)a a x a x x x =++++++()1A x x=-. 例3.3. 21()11A x x x x =+++=- ，且0nn k k b a ==∑，则 ()2()1()11A x B x x x ==-- . 性质3.4. 若n k k nb a ∞==∑，则(1)()()1A xA x B x x -=-．这里0k n a ≥∑是收敛的．证明： 因为0k n a ≥∑是收敛的，所以n k k nb a ∞==∑是存在的．于是有0012(1)b a a a A =+++= 1120[(1)]b x a x a x A a x =++=-， 222222301[(1)]b x a x a x A a a x =++=--，…， 1011[(1)]k k k k k k k k b x a x a x A a a a x +-=++=----，…．把以上各式的两边分别相加，得0()(1)[(1)]B x A A a x =+-201[(1)]A a a x +--+01[(1)]k k A a a x -+--+2(1)(1)A x x =+++20(1)a x x x -+++221(1)a x x x -+++- 21(1)k k a x x x --+++-2012[(1)()]A x a a x a x =-+++2(1)x x +++(1)()1A xA x x-=-.性质3.5. 若n n na b =, 则'()()B x xA x =．证明： 由'()A x 的定义知'11()n n n na xxA x x ∞-==∑0n n n na x ∞==∑n n n b x ∞==∑()B x =．例3.4. 已知21()11A x x x x =+++=- ，n n na b =，则()21()11x B x x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-. 性质3.6. 若1nn a b n =+， 则1()()xB x A t dt x =⎰．证明： 由假设条件，有0()xxn n n A t dt a t dt ∞==∑⎰⎰(1)xn n n b n t dt ∞==+∑⎰1n n n b x ∞+==∑＝()xB x ．性质3.7. 若0112200nn n n n n k n k k c a b a b a b a b a b ---==++++=∑.则2012()()()C x c c x c x A x B x =+++=证： 000c a b =()10110c x a b a b x =+ ()222021120c x a b a b a b x =++ …()()()2222001210122012()c x a b b x b x a x bb x b x a x bb x b x =++++++++++++()()22012012a a x a x bb x b x =++++++()()A x B x =.例3.5. 已知21()11n A x x x x x=+++++=- ()22()21n xB x x x nx x =++++=-()11232n n n c n +=++++=则 ()3()1xG x x =-.性质3.8. 若k k k c a b αβ=+ ，则()()()0k k k c x c x A x B x αβ∞===+∑.证明：有假设条件，有()()00kkk k k k k c x c x a b x αβ∞∞====+∑∑0kk k k k k a x b x αβ∞∞===+∑∑kk k k k k a x b x αβ∞∞===+∑∑()()A x B x αβ=+.4性质的应用利用这些性质，可以求某些数列的母函数，也可以计算数列的和.下面列出几个常见的简单数列的母函数.(1) {}111G x=- (2) {}11k G a ak=-(3) {}()21xG k x =-(4) (){}()3211xG k k x +=-(5) {}()()2311x x G k x +=-(6) ()(){}()46121xG k k k x ++=-(7) 1!x G e k ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(8) ()1aa G x k ⎧⎫⎛⎫=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭(9) ()111n n k G k x +⎧+⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭ 例4.1.求序列{}5,6,7,,5,n +的母函数.解：()()25675n A x x x n x =++++++()()2235123x x x xx =+++++++(){}51G G k =+ ()()221545111x xx x x -=⋅+=---. 母函数的应用很多.求解递推关系,排列组合中,计数问题中的应用等等.利用母函数的性质,可以求某些数列的母函数,也可以计算数列的和.结束语母函数又称生成函数，是一种即简单又有用的数学方法，求解递推关系和组合计数问题中母函数是一种重要的数学方法.用母函数可以求解常系数线性齐次、非齐次递推关系、求解非线性递推关系、非常系数递推关系等等递推关系.这篇文章给出了母函数的基本知识,从最基本点开始讨论了母函数的性质.利用母函数的性质,可以求某些数列的母函数,也可以计算数列的和.参考文献【1】卢开澄,卢华明. 组合数学（第四版）.北京：清华大学出版社,2006,12．【2】田秋成等编著. 组合数学. 电子工业出版社,2006,11.【3】李凡长,康宇,董海峰,段爱华编著.组合理论及其应用. 北京：清华大学出版社,2005,9.【4】冯速译. 应用组合学. 拉特格大学狄克森学院：机械工业出版社,2007,5.【5】李乔.组合学讲义（第二版）.北京：高等教育出版社,2008,1.【6】孙淑玲许胤龙编著.组合数学引论.中国科学技术大学出版社,2004,1.【7】孙世新张先迪编著.组合原理及其应用.北京：国防工业出版社,2006,3.。
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浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用
申广君
（安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241003）
[摘 要] 正确认识和理解基本概念是学好概率论的前提和基础。
本文浅析了对特征函数、母函数的概念的认识和理解，并举例说明了它们在解决问题中的应用。
［关键词 特征函数 母函数 应用
［中图分类号］O174 ［文献标识码］A 概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分科，用随机变量来描述随机现象，使得概率论从研究定性的事件及其概率扩大为研究定量的随机变量及其分布，从而扩充了研究概率论的数学工具，特别是便于使用经典分析工具，使得概率论真正成为一门数学学科。
分布函数是用来完整地描述随机变量分布规律（取值及取值规律）的最基本的方法，特征函数是概率论中的一个重要分析工具，它和分布函数之间存在一一对应的关系，可以使用特征函数来分析研究随机变量，并且可以大大简化有关随机变量的一些计算和证明，然而在研究仅取非负整数值的随机变量时，以母函数代替特征函数比较方便。
可是在教学过程中发现，不少学生对特征函数和母函数的概念没有正确认识，甚至出现一些错误的认识和理解，从而导致计算的盲目性。
本文主要探讨了对特征函数与母函数的概念的认识和理解，并通过实例介绍了它们的一些应用，以期对学习概率论能起到一定的指导作用。
一、特征函数
（一）特征函数的定义及性质
设X 是一个实值随机变量，其分布函数为)(x F ，则称itX
e
的数学期望itX
Ee
为随机变
量X 或其分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ϕ，即)()(x dF e Ee
t itX itX
X ⎰+∞∞
-==ϕ，其
中1-=i ， R t ∈。
分析 按照定义，特征函数是一个实变量的复值函数。
由于对任意实数R t ∈，都有
1)(sin )(cos ||22=+=tX tX e itX ，所以任何随机变量的特征函数总是存在的。
并且它能把
寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，还能把求分布的各阶原点矩（积分运算）转换成微分运算，特别地它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题。
下面介绍特征函数的主要性质 性质1 如果随机变量n X X X ,...,,21相互独立，则有∏==∑
=n
i X X t t i n
i i
1
)()(1
ϕϕ。
分析 特征函数的这一性质在证明随机变量列的极限问题时将发挥重要作用，然而这一性质的逆不成立。
在教学中我们举如下例子来说明逆不成立，以此来加深学生对此性质的理解。
例1设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧<<-+=.,01||,1||)],(1[41
),(22其他；
y x y x xy y x p ，
可以证明Y X +的特征函数等于Y X ,的特征函数的乘积，但是X 与Y 并不相互独立。
性质2 如果随机变量X 有n 阶（原点）矩，则它的特征函数可微分n 次，并且有
n k i EX k X k k ,...,2,1),0()()
(=-=ϕ 成立。
分析 性质2表明，如果已知随机变量的特征函数，且其矩存在，则可以通过对特征函数微分来求得随机变量的矩，这比由分布函数通过积分求矩要简单的多。
（二）特征函数的应用举例
1求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算
在概率论中，独立随机变量和的问题占有“中心”地位，用卷积公式去处理独立随机变量和的问题是常用的方法但相当复杂，然而可以很方便的运用特征函数相乘求得独立随机变量和的特征函数，由此大大简化了处理独立随机变量和的难度。
例2 设随机变量j X 服从二项分布),(p n B j ， j=1,…,m, 且相互独立，求证∑=m
j j
X
1
服
从二项分布),(
1
p n B m
j j ∑=。
分析 可以使用卷积公式通过复杂的计算证明二项分布的上述可加性（例如，参见文献[1]）, 现在用特征函数方法可以很方便地证明二项分布的可加性。
证明 因为j X 服从二项分布),(p n B j ，它的特征函数为
.,...,2,1,)()(m j q pe t j
j
n it
X =+=ϕ 由于m X X ,...,1相互独立，所以，根据性质1有∑=m
j j
X 1
的特征函数为∑+==∑==∏=m
j j
j m
j j
n it
m
j X X q pe t t 1
1
)
()()(1
ϕϕ
，由唯一性定理知
∑=m
j j
X
1
服从二项分
布),(
1
p n B m
j j ∑=。
2.求分布的各阶原点矩（积分运算）转换成微分运算
例3 利用特征函数的方法求伽玛分布Ga （λα,）的数学期望和方差。
解 因为伽玛分布Ga （λα,）的特征函数及其一、二阶导数为αλ
ϕ--=)1()(it
t ，
;)0(,)1()(/1/λαϕλλαϕαi
it i t =-=--
;)1()0(,)1()1()(2
//222//
λ
ααϕλλααϕα+-=-+=--it i t 所以，根据性质2有 λ
αϕ=
=
i
EX )
0(/，22
///))0(()0(λαϕϕ=+-=DX .
3.求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题
例4 （辛钦大数定律）]2[ 设,...2,1,=n X n 是独立同分布的随机变量列。
如果n X 的数学期望存在，a EX n =（与n 无关），则对任意的0>ε，有
1)|1(|lim 1
=<-∑=∞→εn
k k n a X n P 。
证明 由于1)|1(|lim 1=<-∑=∞→εn k k n a X n P 等价于∑==n
k k n X n Y 1
1以分布收敛于a 。
再
根据连续性定理，只要证 )()(∞→→n e t iat
Y n ϕ。
设)1(≥n X n 的共同的特征函数为
)(t ϕ。
根据性质2，ia iEX ==1/)0(ϕ，从而 )(t ϕ有泰勒展开式
)(1)()0()0()(/
t o iat t o t t ++=++=ϕϕϕ。
所以∑==n k k n X n Y 1
1的特征函数为
n n n t o n iat n t )](1[)]([++=ϕ。
故有iat n n e n
t =∞→)]([lim ϕ，即)()(∞→→n e t iat Y n ϕ。
二、 母函数
1 母函数的概念及其性质
]
3[
设随机变量X 的分布列为,...)2,1,0)((===k k X P p k ，其中
10
=∑∞
=k k
p
，称
∑∞
===0
)(k k k X
s p Es s P 为随机变量X 的母函数。
性质3 非负整数值随机变量的分布列由其母函数唯一确定。
性质4 独立随机变量之和的母函数等于它们母函数的乘积。
2. 母函数的应用举例
例5 从装有号码为1，2，3，4，5，6的小球的袋中，有放回地抽取5个球，求所得号码总和为15的概率。
解 令i X 为第i 次取得的小球的号码，且i X 相互独立，521...X X X X +++=为所取球号码的总和。
i X 的母函数为 )...(6
1
)(62s s s s P i +++=
，根据性质4有，X 的母函数为556555625)1()1(6
)...(61)(---=+++=s s s s s s s P ，所求概率为)(s P 展开式的15
s 的
系数，因此56
651
)15(==X P 。
分析 针对上述古典概型问题，很多教科书都使用排列、组合的方法来求解，计算比较复杂，而且在有些复杂场合排列、组合的方法难以凑效。
从例5的求解中可以看到，利用母函数求取非负整数值随机变量的概率问题比较简便。
关于利用母函数方法求解古典概率问题，读者可参见文献[4],[5]等。
[参考文献]
[1]茆诗松，程依明，濮晓龙. 概率论与数理统计教程[M]. 北京：高等教育出版社，2004.
[2]丁万鼎，刘寿喜 等. 概率论与数理统计[M]. 上海：上海科学技术出版社，1987. [3]王志刚. 应用随机过程[M]. 合肥：中国科学技术大学出版社，2009. [4]朱松涛，唐秋晶. 利用母函数方法求解古典概率问题[J]. 济宁师专学报, 1997(3): 13-15.
[5]农吉夫. 概率母函数在求非负整数值随机变量分布的应用[J].大学数学, 2009(4):203-206.。