2005年全国高中数学联赛(浙江赛区)预赛试卷及详细解答
2005年-2013年全国高中数学联赛浙江省预赛试卷及答案
二、填空题（本题满 为非负实数，满足 ，则
＝。
9．设 ，则 。
10.设实系数一元二次方程 有两个相异实根，其中一根在区间 内，另一根在区间 内，则 的取值范围是。
11．已知 ，直线 与 的交点在直线 上，则 。
11.在 轴的正方向上，从左向右依次取点列 ，以及在第一象限内的抛物线 上从左向右依次取点列 ，使 （ ）都是等边三角形，其中 是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是。
12.根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北 （ ）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为10米/分钟，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是。
14.设 ， ，求 的最大值。
15．设 ，求证： 。
2008年浙江省高中数学竞赛试卷
一．选择题（本大题满分36分，每小题6分）
1．已知集合 ，则下列正确的是（）
A． B.
C. D.
2．当 时， ，则下列大小关系正确的是（）
A． B.
C. D.
3．设 在 上有定义，要使函数 有定义，则a的取值范围为（）
7、手表的表面在一平面上。整点 这12个数字等间隔地分布在半径为 的圆周上。从整点 到整点 的向量记作 ，则 ＝。
8、设 且 ，则对任意
。
9、在 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。
10、设 是非零实数， ，若 ，则 。
11、已知 ，
。若 为单元素集，则。
12、 。
三、解答题
13、在 轴同侧的两个圆：动圆 和圆 外切 ，且动圆 与 轴相切，求
A、20 B、4 C、42 D、145
2005年全国高中数学联赛试题及解答
2
BC) (BC CD), 即 2 AC BD AD2 BC2 AB2 CD 2 0, AC BD 只 有 一
2
2
2 3
2
, cos(
2 ) cos( 3 ), 2 2
又
0 2
, 3 , cos 2 0, cos 3 0, cos 2 cos 3 0, 2 2
6
方
程表示的曲线是椭圆。
(sin 2 sin 3 ) (cos 2 cos 3 ) 2 2 sin 2 3 2 3 sin( ) () 2 2 4
x2 y2 1 表示的曲线是 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3
A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆
B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线
a3 a4 4 ai T , i 1,2,3,4 ，将 3 7 7
二〇〇五年高中数学联赛试卷
一、选择题 1. 使关于 x 的不等式 x 3 6 x k 有解的实数 k 的最大值是 A. 6 3 B. 3 C. 6 3 D. 6 2. 空间四点 A, B, C, D ，满足 | AB | 3 、 | BC | 4 、 | CD | 11、 | DA | 9 ， 则 AC BD 的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个
3
二○○五年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分 两档，填空题只设 9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请 严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其 它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤 正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
2005年全国高中数学联赛试题及解答
1 1 0 4 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
D．
1 1 0 3 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
ak p 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 7 4 ，得
M = a1 73 + a2 72 + a3 7 + a4 | ai T , i = 1,2,3,4 = a1a2 a3a4 7 | ai T , i = 1,2,3,4 ．
DA2 = DA = AB + BC + CD
2
(
)
2
= AB 2 + BC 2 + CD 2 + 2 AB BC + BC CD + CD AB
(
)
= AB 2 − BC 2 + CD 2 + 2 BC + AB BC + BC CD + CD AB
(
2
)
= AB2 − BC 2 + CD2 + 2 AB + BC BC + CD ，即 2 AC BD = AD 2 + BC 2 − AB 2 − CD 2 = 0, AC BD 只有
(sin 2 − sin 3) − (cos 2 − cos 3) = 2 2 sin −
2
2− 3 2 + 3 3 3 2+ 3 2− 3 0， ， + ． 0 ，∴ sin 2 2 2 4 4 2 4 2 2+ 3 + ) 0 ，∴ ()式 0. 2 4
5 +1 ． 6 解：由题设知， f ( x) 和式中的各项构成首项为 1，公比为 − x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得：
J02--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(浙江卷.理)
浙江省2005年高考试题数学(理工类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．limn →∞2123nn ++++＝( )(A) 2 (B) 4 (C)21(D)0 解：2221(1)11212lim lim lim 22n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++⋅⋅⋅+===,选(C) 2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B) 32(C) 2(D)2解：点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离2=,选(D) 3．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 2541 解：f[f(12)]=f[|12-1|-2]=f[-32]=2114313131()24==+-,选(B)4．在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限解：1i i ++(1＋3i )2=12i --i=32-i,故在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点为(32-故选(B)5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121解：(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8=5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x------=--,(1-x)5中x 4的系数为455C =,-(1-x)9中x 4的系数为-49126C =-,-126+5=-121,故选(D)6．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题 解：命题②有反例,如图中平面α∩平面β=直线n,l ,m αβ⊂⊂ 且l ∥n,m ⊥n,则m ⊥l,显然平面α不垂直平面β 故②是假命题；命题①显然也是假命题, 因此本题选(D)7．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()解：由题意可知0010.111x y x y x y x y x y x y x y y x>⎧⎪>⎪⎪-->⎨+>--⎪⎪--+>⎪--+>⎩得102102112x y x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩由此可知A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A )8．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1解：y ＝cos2x ＋k (cos x －1)=2cos 2x+ k (cos x －1)-1,当cosx=1时,y=1,当cosx ≠1时,cosx-1<0,则y>2cos 2x-4(cos x －1)-1=2(cosx-1)2+1≥1,故y 的最小值为1,选(A)9．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5) (D){1，2，6，7}解：^P ={0,1,2},N ð^P ={n ∈N|n ≥2},Q ∧={1,2,3},N ðQ ∧={n ∈N|n=0或n ≥4}, 故P ∧∩N ðQ ∧={0},Q ∧∩N ðP ∧={3},得(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝{0,3},选(A) 10．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则 (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )解：由|a －t e |≥|a －e |得|a －t e |2≥|a －e |2展开并整理得222210,,(2)480t aet ae t R ae ae -+-≥∈=-+-≤由得,得()0e a e -=,即()a a e ⊥-,选(C)第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2005年全国高中数学联赛试卷及解答
特征方程为x2－7x+1＝0．
解得：x＝ ＝ ＝ ．
令an＝α +β ．由a0＝1，a1＝5解得
α＝ ，β＝ ；
得an＝ [ + ]⑤
注意到 · ＝1， + ＝ ．
有，anan+1－1＝ [ + ]·[ + ]－1
＝ [ பைடு நூலகம் + + －5]
＝ [ + ]2
15．过抛物线y＝x2上一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足 ＝λ1；点F在线段BC上，满足 ＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
加试卷
一、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E、F．
填 ．
解：V＝ × AC×BCsin45×h≤ AC×BC×ADsin45．
即AC×BC×ADsin45≥1 ×BC×AD≥1．
而3＝AD+BC+ ≥3 ＝3，等号当且仅当AD＝BC＝ ＝1时成立，
故AC＝ ，且AD＝BC＝1，AD⊥面ABC．CD＝ ．
11．若正方形ABCD的一条边在直线y＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线y＝x2上，则该正方形面积的最小值为；
A． + + + B． + + + C． + + + D． + + +
二、填空题：
2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛
（ ５ Ａ）
（ ） Ｂ７
（ ）２ Ｃ １
（ ）３ Ｄ １
６ 设 函数 Ｙ＝ 。 满 足 ｆ ＋１ ：ｆ ） ． ／ ） （ （ ） （ ＋ １ 则 方 程 ｆ（ ）＝ 根 的 个 数 可 能 是 ．
（ ） ．
行走 一段 时 问 ， 何 时改变 方 向不定 ． 但 假定 机 器人 行 走 速 度 为 １ ｍｎ 则 机 器 人 行 走 ０ｍ／ ｉ，
（ ）“ Ａ ３
７ 孚 ＋ ＝ ＋ ） 泼 ＝ 字 刍 ， Ⅳ ＋ ＝ ＋ ） ＝ ．
求 ｎＮ＝— — ． ８ 已知数 列 ｛ ｝满 足 （ ． ， ｎ七１ ＋ ＝ ） ．
＋凡 且 ｌ ． ０．嘶 ＝ ， ＝２ 贝 ９ １ ； ２
—
（ ） 一２ Ｂ３
…
） ．
） 是等边三 角形， 中 Ａ 都 其 。是 坐 标 原 点 ．
（ ） ②④ Ｂ① （） Ｄ ③④ ⑤
则第 ２ ０ 个等边三角形的边长是— — ． ５ ０ １． ２根据指令， 机器人在平面上能完成下
列 动 作 ： 图 ｌ先 如 ， 从 原 点 ０ 沿 正 东
５ 已知 ａ、 ． ｂ是两 个相互垂直的单位向
２ｍｎ ｉ 时的可能落点 区域的面积是— — ．
（ ） 有或 者有 限 个 Ｂ没
（ 无 穷多 Ａ）
三、 解答 题 （ 每小题 ２ ， ６ ） ０分 共 ｏ分 １ ． 双 曲线 一Ｙ ＝ｌ的左 、 焦点 分 ３设 右 别 为 ． ． 、 若△ Ｐ 。 ２的顶 点 Ｐ在 第一 象 ＦＦ
圆心轨 迹 以及 该 内切 圆在 边
轨迹 ．
１． ｚ ，２… ， ４ 设 Ｉｚ ， ｚ ∈Ｒ＋ 定 义 ，
ｓ ＝
2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛合竞赛浙江省预赛试卷19
2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷一． 选择题（共6小题，每题6分） 1．设()n n nx a x a a x x 221021+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值为（A ）n3 （B ）23-n（C ）213-n （D ）213+n 答： 【 】2．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是(A) ]2 ,2[- (B) ]1 ,1[- (C) ]3,0[ (D) ]3,3[- 答： 【 】 3．设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x xx f 2cos 2sin)(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答： 【 】 4．正方体的截平面不可能是(1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形 下述选项正确的是：(A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【 】 5．已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，而13||=c ，3=⋅a c ，4=⋅b c 。
则对于任意实数21,t t ，||21b t a t c --的最小值是(A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答： 【 】 6．设函数)(x f y =满足1)()1(+=+x f x f ，则方程x x f =)(根的个数可能是 (A) 无穷多 (B) 没有或者有限个(C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 答： 【 】 二．填空题（共6小题，每题9分） 7. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=32232332x x x x xM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=56656556x x x x x N ，求 N M = 。
8. 已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2005x = 。
2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。
2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。
所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。
J01--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(浙江卷.文)
2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（文科）第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π 2．设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()UP C Q ＝( )(A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 3．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( )(A)12 (B)324．设()1f x x x =--，则12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝( )(A) 12- (B)0 (C)12(D) 15．在()()5611x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是( ) (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 106．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( ) (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.377．设αβ、为两个不同的平面，l m 、为两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题8．已知向量()()5,3,2,a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是( ) (A){}2,3 (B){}1,6- (C) {}2 (D) {}6 9．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =( )(A)18(B)14 (C)12 (D)110．设集合(){},|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2005年高等数学竞赛参考答案及评分标准 2005
2005年高等数学竞赛参考答案及评分标准 2005.6.4一.(10分) 设()()200523456131123143-++++=x x x x x x f ,求⎪⎪⎭⎫⎝⎛-215f 的值. 解:记215-=s ,满足12=+s s , (4分) ()()()[]()111311200520052232-=-=-+++=s s s s s f (6分)二.(15分) 设()αC 为()αx +1的Maclaurin 级数中2005x 项的系数,试求积分()⎰∑=+⋅---=1020051d 11y ky y C I k解:()()()()()()()!20052005211,!200520041------=----=y y y y C C αααα()()()()!20052005211+++=---y y y y C , (5分)()()()()()()()2005!2005!2005!2006200521!20051d 1200521!20051d 11101200512005110=-=+++=++++=+---=⎰∑∑⎰==y y y y ky y y y y k y y C I k k (10分)三.(15分) 试证不等式: ππ222d sin 202->⎰x x 解:⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==πππππππ02020202d sin 1121d sin d sin 21d sin 21d sin t t t t t t t t t t t t t x x ,（7分） 设()=t f π+-t t 11， ()()0112133<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+='t t t f π,()t f 在[]π,0上单调减少,(5分) ππππ222221121d sin 202-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎰x x , (3分) 四.(15分) 设()x f 在区间[]1,0上连续,在()1,0内可导,且()()211,00==f f ,试证: ()ηξηξ≠∈∃,1,0,,使得 ()()ηξηξ+='+'f f .解: 设 ()()()()22121211x x x f x f x F -+---=, (8分) ()x F 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,()021,00=⎪⎭⎫⎝⎛=F F ,由Rolle 定理,,21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃ξ使得(),0='ξF 取⎪⎭⎫⎝⎛∈-=1,211ξη,得()()ηξηξ+='+'f f .五.(15分) 设()x f 在[]b a ,上有连续导函数,且()0=a f ,试证: ()()()()⎰⎰'-≤b aba x x f ab x x fd 2d 222解:()()()()()()⎰⎰⎰⎰'-≤'≤'=ba xa xa xa x x f a x t t f t t t f x fd )(d )(d 1d 2222(10分) ()()()⎰⎰'-≤b a ba x x f ab x x fd )(2d 222(5分)六.(15分) 设()x f 在[]π,0上连续,证明:两个不等式()[]()[]4d sin ,4d cos 022ππππ<-<-⎰⎰x x x f x x x f 不能同时成立.解: 用反证法,设两个不等式同时成立,则()()()()()()2d sin ,2d cos 212212ππππ<-<-⎰⎰x x x f x x x f (3分)()()()()()()()πππππ<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≤-=⎰⎰⎰221221022d sin d cos d cos sin xx x f x x x f x x x 矛盾.说明两个不等式不能同时成立. (12分)七.(15分) 考察所有的具有如下性质的正整数,它们的十进制表示中没有数字9,证明由所有这样的正整数的倒数构成的级数收敛.解:设m S 表示所考察的级数的m 项的部分和,数列{}m S 单调递增,只需证明数列{}m S 有上界. (3分)对于给定的部分和m S ,令n 为整数m 中数字的个数,恰好有n 个数字,并且十进制表示中每个数字都不是因9的整数个数是198-⨯n 个(第一个数字不为零),(如1=n ,即;8,,2,12=n ,即 ,3;88,80;;28,,20;18,,10=n ),于是它们的倒数的和小于111098--⨯n n 于是80109109181098109810988212=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+<- n m S , 所以原级数收敛. (12分)。
J01--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(浙江卷.文)
2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（文科）第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π 2．设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()UP C Q ＝( )(A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 3．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( )(A)12 (B)324．设()1f x x x =--，则12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝( )(A) 12- (B)0 (C)12(D) 15．在()()5611x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是( ) (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 106．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( ) (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.377．设αβ、为两个不同的平面，l m 、为两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题8．已知向量()()5,3,2,a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是( ) (A){}2,3 (B){}1,6- (C) {}2 (D) {}6 9．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =( )(A)18(B)14 (C)12 (D)110．设集合(){},|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛解析版
方法一：设I为 的正整数解的全体， 为I中 满足 的解的全体。则
上式成立的原因是 ，因为没有同时满足 ， ， 的 的正整数组。所以
. -------------- 15分
方法二：问题（**）的解数等于 展开式中 的系数。
而
，
故只须求 展开式中 的系数。
因此 的系数为6×15＋20×20＋6×15＝580。----------------------------------------- 15分
. ---------15分
（当 时，取到最小值 ）
每小题指出什么时候取到。（5分）
满分20分
15.（20分）在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？
1）求 的最小值；
2）在 条件下，求 的最小值；
3）在 条件下，求 的最小值，
并加以证明。
【解】
1） ----------------------------------- 5分
（当 时，取到最小值）
2）
---------------------------10分
（当 时，取到最小值 ）
3）因为
所以
【解】：设20个岗位按先后排序为1，2，，…，20，且设第k种新式武器设置的序号为 。令 ， ， ， ， ，
，则有
（*）
其中 ， 。-------------------------------------- 5分
作代换 ， ，从而有
2005-2016高中数学联赛试题汇总
2005年全国高中数学联赛试卷1．使关于x 的不等式x －3+6－x ≥k 有解的实数k 的最大值是2．空间四点A 、B 、C 、D 满足|→AB |＝3，|→BC |＝7，|→CD |＝11，|→DA |＝9．则→AC ·→BD 的取值有 个 3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cosC2sin A +sin B +sin C的值为4．如图，ABCD －A 'B 'C 'D '为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则 ( ) A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值5．方程x 2sin 2－sin 3+y 2cos 2－cos 3＝1表示的曲线是焦点在 轴上的 6．记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6}，M ＝{a 17+a 272+a 373+a 474| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，将M 中的元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )A ．57+572+673+374B ．57+572+673+274C ．17+172+073+474D ．17+172+073+3747．将关于x 的多项式f (x )＝1－x +x 2－x 3+…－x 19 +x 20表为关于y 的多项式g (y )＝a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20，其中y ＝x －4，则a 0+a 1+…+a 20＝ ； 8．已知f (x )是定义在(0，+∞)上的减函数，若f (2a 2+a +1)＜f (3a 2－4a +1)成立，则a 的取值范围 是 ； 9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x ∈R ，cos(x +α)+cos(x +β)+cos(x +γ)＝0，则γ－α＝10．如图，四面体DABC 的体积为16，且满足∠ACB ＝45︒，AD +BC +AC2＝3，则CD ＝11．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x －17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上，则该正方形面积的最小值为12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”．将所有“吉 祥数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2005，则a 5n ＝13．数列{a n }满足a 0＝1，a n +1＝7a n +45a n 2－362，n ∈N ，证明：⑴ 对任意n ∈N ，a n 为正整数；⑵ 对任意n ∈N ，a n a n +1－1为完全平方数．14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S ，求使S 达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)15．过抛物线y ＝x 2上一点A (1，1)作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE EC ＝λ1；点F 在线段BC 上，满足BFFC ＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD 与EF 交于点P ，当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．A'B'C'D'DC B A 45°ADCB加试卷一、如图，在△ABC 中，设AB ＞AC ，过点A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以点A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于点D ；交直线l 于点E 、F ．证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心．二、设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．求函数f (x ，y ，z )＝x 21+x +y 21+y +z 21+z 的最小值．三、对每个正整数n ，定义函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为完全平方数，[1{n }]，当n 不为完全平方数．(其中[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }＝x －[x ])．试求k ＝1∑240f (k )的值．2006年全国高中数学联合竞赛试题1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 形状为 ．2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为 3． A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为 ． 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为 ． 5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的 条件 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9，则2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为 ． 7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是 ．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ． 9．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上. 当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为 ．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3． 11．方程(x 2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006x 2005的实数解的个数为 ．12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 ．13. 给定整数n ≥2，设M 0(x 0，y 0)是抛物线y 2＝nx －1与直线y ＝x 的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数k ≥2，使(x 0m ，y 0m )为抛物线y 2＝kx －1与直线y ＝x 的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5之和．记S ＝1≤i ＜j ≤5Σx i x j ．问：⑴ 当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最大值；⑵ 进一步对任意1≤i ，j ≤5有||x i －x j ≤2，当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最小值.说明理由．15．设 f (x )＝x 2＋a . 记f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R |对所有正整数n ，||f n (0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]．2006年全国高中数学联合竞赛加试试题一、以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧P 0Q 0⌒交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1⌒交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1⌒交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1为半径作圆弧Q 1P 0'⌒，交AB 0的延长线于P 0'. 试证：⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒相内切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆．二、已知无穷数列{a n }满足a 0＝x ，a 1＝y ，a n ＋1＝a n a n －1＋1a n ＋a n －1，n ＝1，2，…．⑴ 对于怎样的实数x 与y ，总存在正整数n 0，使当n ≥n 0时a n 恒为常数？ ⑵ 求通项a n ．三、解方程组⎩⎨⎧x －y ＋z －w ＝2，x 2－y 2＋z 2－w 2＝6，x 3－y 3＋z 3－w 3＝20，x 4－y 4＋z 4－w 4＝66，B 1B 0C 1P 1P 0Q 1Q 0AC 02007年全国高中数学联合竞赛一试试卷1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C的平面角的余弦值为_______2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数 x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是_______3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
2005年全国高中数学联合竞赛一试试题解析
11. 若正方形 ABCD 的一条边在直线 y = 2x − 17 上，另外两个顶点在抛物线
y = x2 上，则该正方形面积的最小值为
.
解答
设 A(t, t2)，直线 AB : y − t2 = 2(x − t) ⇒ y = 2x + t2 − 2t. y = x2,
联立 y = 2x + t2 − 2t ⇒ x2 − 2x = t2 − 2t ⇒ (x − 1)2 = (t − 1)2 √
2 A1I AI
AA1
a b+c−a b+c
+
=2
2
AA1
=
2 AA1
⇒
AA1
cos
A 2
= b + c. 2
于是
AA1
cos
A 2
+
BB1
cos
B 2
+ CC1 cos
C 2
sin A + sin B + sin C
=
sin A
a+b+c + sin B +
sin C
=
2R
=
2.
所以选
A.
第1页 共6页
()
A.
5 7
+
5 72
+
6 73
+
3 74
C.
1 7
+
1 72
+
0 73
+
4 74
解答
B.
5 7
+
5 72
+
6 73
+
2 74
D.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(D) 4
2 是以任何正实数为周期的周期函数；
1
f 2 ( x) 不是周期函数。 因为 sin x 是以 T1 2 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2
为周期的周期函数, 而 T1 与 T2 之比不是有理数，故 f 2 ( x ) 不是周期函数。
2 2
f 3 ( x) 不是 周期 函数 。因 为 sin T2 2 2
2
(C)
12
2
(D) 13
2 2
答： 【 C 】
c t1 a t 2 b c 6t1 8t 2 t1 t 2
169 (t1 3) 2 (t 2 4) 2 25 144 (t1 3) 2 (t 2 4) 2 144
当 t1 3, t 2 4 时， c t1 a t 2 b
联合（1） （2）消去 f ( ) ，可得
――――――――― （2）
1 x
f ( x) x 和命题 Q: 对任何 x R ， x 4cx 1 0 有且仅有一个成立，则实 数 c 的取值范围是
2
2
1 1 , 0 , 1 。 2 2
1 1 a1 a12 ，而 a1 0 ，故 a1 1 。 2 2
因此第 2005 个等边三角形的边长为 a 2005 2005 。 y 12. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从 原点 O 沿正东偏北 （ 0
）方向行走一段时 2
P(x,y) A
间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不 定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟，则机器人行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是 。
a n 1
1 2 a n a1 a 2 2
由此可得
4
a n 1
an 。 2
a1 a 2
以及
an
an 1 2 an 2 2 a n 1 1 2 a n 1 2 2
（ 1）
a1 a 2
（1）－（2）即得
a n 1
（2）
an
M
N=
0
。
【解】 ：由已知可以解出 M 0, 5, 故 M N 0.
13 61 ， N 0, 11, 。 5 11
8. 已知数列 xn ，满足 ( n 1) xn 1 xn n , 且 x1 2 ， 则 x2005 =
2005!1 。 2005!
A , j 1,2,
j
， 以及在第一象限内的抛物线 ）都是等
y2
3 x 上从左向右依次取点列 Bk , k 1,2, 2
，使 Ak 1 Bk Ak （ k 1,2,
边三角形，其中 A0 是坐标原点，则第 2005 个等边三角形的边长是 2005。 【解】 ：设第 n 个等边三角形的边长为 a n 。则第 n 个等边三角形的在抛物线上的顶点 Bn 的 坐标为（ a1 a 2
显然有解 f ( x ) x C ，其中 C 为任意实数。
当 C 0 时， f ( x ) x 没有解。 当 C 0 时， f ( x ) x 有无穷多个解。
选 【 D 】
二．填空题 7. 设 M x
x2 x3 x6 x5 3 2 5 6 ，N x ，求 2 x 2 x 3 6 x 6 x 5 3 5
2
2
y K O A G H
P
x
【解】 如图，记双曲线在 x 轴上的两顶点为 A(1, 0)， B(-1, 0)，G 为 PF1 F2 的内切圆在边
F1 F2 上的切点，H 为 PF1F2 的内切圆在边 PF2 上的切点，K 为 PF1F2 的内切圆在边 PF1
上的切点。则有
GF1 GF2 KF1 HF2 ( KF1 KP ) ( HF2 HP ) PF1 PF2
2
(D)
[ 3 , 3 ]
2 2
答： 【 D 】
【解】 ：设 cos x cos y t ， cos x 2 cos x cos y cos y t 。 又由 sin x sin y 1 ，故 sin x 2 sin x sin y sin y 1 。 因此有 2(cos x cos y sin x sin y ) t 1 ，即 2 cos( x y ) t 1 由于 1 cos( x y ) 1 ，所以有 t 3 ，即 3 t
O x
【解】 ：如图，设机器人行走 2 分钟时的位置为 P ( x, y ) 。设机器人改变方向的点为 A ，
OA a ， AP b 。则由已知条件有 a b 2 10 20 ，以及 x a cos . y a sin b
所以有
x 2 y 2 a 2 2ab sin b 2 (a b) 2 400 x y a (sin cos ) b a b 20
a n 1
an ， 2
3 a1 a 2 2
a n 1
an 。 ） 2
2
再从第 n 个等边三角形上，我们可得 Bn 的纵坐标为
3 1 2 an an a n 。从而有 2 2 an ， 2
3 an 2
即有
3 a1 a 2 2
--------------------------------5分
由双曲线的定义知，G 必在双曲线上，于是 G 与 A(1, 0)重合，是定点。 而 F2 G F2 A
2 1 。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，所以 PF1F2 的内切
10 分
圆在边 PF2 上的切点的轨迹是以 F2 ( 2 , 0) 为圆心， 2 1 为半径的圆弧。------2 2
变形可得
1 1 (a n a n 1 ) (a n a n 1 )(a n a n 1 ) . 2 2 (a n a n 1 1)(a n a n 1 ) 0 .
由于 a n a n 1 0 ，所以 a n a n 1 1 。 在（1）式中取 n ＝ 1，可得
【解】 ：由 ( n 1) x n 1 x n n ，推出 x n 1 1 因此有
xn 1 。 n 1 x1 1 (n 1)n(n 1) 1 . (n 1)!
x n 1 1
即有 x n 1
x n 1 x n 1 1 xn2 1 n 1 (n 1)n (n 1)n(n 1)
x 2
是以 T1 2 2 为周 期的 周期 函数 , cos 2 x 是以
为周期的周期函数, 而
T1 2 ，故 f 3 ( x) 是周期函数。 T2
f 4 ( x) sin x 2 不是周期函数。
因此共有 2 个周期函数。 4．正方体的截平面不可能是 (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 下述选项正确的是： (A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4)
【解】 ： 命题 P 成立 可得
0 c 1； 1 1 命题 Q 成立 可得 c 。 2 2 1 1 , 0 , 1 。 2 2
因此， 要使命题 P 和命题 Q 有且仅有一个成立， 实数 c 的取值范围是
11. 在 x 轴的正方向上， 从左向右依次取点列
2
144 。
选 【 C 】
6．设函数 y f ( x ) 满足 f ( x 1) f ( x ) 1 ，则方程 f ( x ) x 根的个数可能是
2
(A) 无穷多 (C) 有限个
(B) 没有或者有限个 (D) 没有或者无穷多
答： 【
D
】
【解】 ： f ( x 1) f ( x ) 1
2005 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷
一． 选择题 1．设 1 x x （ A） 3 【解】 ：
n
2 n
a0 a1 x
n
a2 n x 2 n ，求 a2 a4
（ C）
a2 n 的值为 3n 1 2
答： 【 C 】 （1）
（B） 3 2
3n 1 2
2 2 2 2 2
3。
选 【 D 】
3．设 f1 ( x )
2 ， f 2 ( x) sin x cos 2 x ， f 3 ( x) sin
x cos 2 x ， f 4 ( x) sin x 2 ， 2
答： 【 B 】
上述函数中，周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 【解】 ： f1 ( x)
（D）
令 x 0 得 a0 1 ； 令 x 1 得 a 0 a1 a 2 a 3 令 x 1 得 a 0 a1 a 2 a 3 （2）＋（3）得 2( a 0 a 2 a 4 故 a0 a2 a4
a2n 1 ； a2n 3n ； a2n ) 3n 1，
（2） （ 3）
a2n
3n 1 ， 2 选 【 C 】
再由（1）得 a 2 a 4
a2n
3n 1 。 2
2．若 sin x sin y 1 ，则 cos x cos y 的取值范围是 (A) [ 2, 2] (B) [1, 1] (C)
[0, 3 ]
1 1 3y3 4 y 2 y 3 2 ，得 f ( y ) 2 y f ( ) 。把 y 改为 x 得 y y y 1