2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(优秀经典公开课比赛课件)

我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些 运算律对向量是否也适用？
五、数量积的运算律：
(1)a b b a
(2)(a)
b
(a
b)
a
(b )
(3)(a
b)
c
a
c
b
c
其注中：，a(a、bb)、 c c是a任(b意c三) 个向量， R
Hale Waihona Puke Baidu 例1、已知
a
6，b
4，a与b的夹角为60，求
a
2b
一注、意数：量向积量的定义：
的一夹ar数个角与已为量数br 的知θ积量，数两是。我量个们积非把（零数或向量内量|积arar|）与|br，b|rc，记osθ它作叫a们r做·的br
ar ·br
=|
ar
|
|
r b
|
cosθ
记法“a·b”中间的“ · ”不可以省略，也不可以用“ ”代 替。
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
或 2、a已 b知0A时B，C中试，判 AB断aA,BACC的形b,状 当。 a b 0
1.本节课我们学习的主要内容是什么？
2.平面向量数量积的两个基本应用是什么？
3.我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳 和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透 了哪些数学思想？
4.类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究 数量积？
活动二：探究数量积的概念
问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果 有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
讨论并完成下表：
a夹角b的的范正围负0 90 90 90 180
二、数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
r
r
bB
| b | cos (或 | a | cos )
叫做向量 b 在 a 方向上
四、数量积的运算性质：
设向量 与av 都是bv 非零向量，则
（1） av⊥v bv （2）当 a与
同bv 向=时0av，·avbv=·|bv||
| av
v
b
当
与av
v
反向b 时，
=av-·| bv|| |av
v
b
特别地，va ·av =︱︱av 2或︱av︱= a a
（3）︱av
v
·b
︱≤|va||bv |
a
3b .
并思考此运算过程类似 于哪种实数运算？
例2、对任意向量a，b是否有以下结论：
(1)
a
2 b
a2
2 a
b
b2
(2)
a
b
a
b
a2
b2
例3、已知
a
3，b
4，a与b不共线， k为何值时，
向量a
kb与a
kb 互相垂直？
并思考通过本题你有什么收获？
1((、 12))若若判aa断下00，，列则a各对b命任题a一是c非,则 否正零b确向 c， 量b并，说有明 ab理由0
物理模型 概念 性质 运算律 应用
问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移 S，
（１）力F所做的功W=
。
（２）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是 量，
F
F（力）是 量，
S（位移）是 量
θ是
。
S
问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗? 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量， 其结果又该如何表述？
O
θ |b|cosθB1 a
A
（或向量 a 在 b 方向上）的投影。
（2）数量积的几何意义：
a
b等于
a的长度
| a|与
b在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
三、数量积的物理意义：
（1）用一句话来概括功的数学本质：
功是力与位移的数量积
（2）一物体质量是10千克，分别做以下运动： ①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米； ③、竖直向上提升10米； ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米； 分别求重力做的功。
2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义
教学要求：
1、掌握平面向量的数量积及其几何意义 2、掌握平面向量数量积的重要性质及运 算律；
3、了解用平面向量的数量积可以处理有 关长度、角度和垂直的问题；
问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？
问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
S
①、在水平面上位移为10米：
G
W 0
②、竖直下降10 米：
S G
WGS
③、竖直向上提升10 米：
S
W G S
G
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米：
S
G
W G S cos(180 30)
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪
些结论？ （2）比较
a b与a的大b小，你有什么结论？