高中数学函数的图像.
高中数学必修一课件：正弦函数、余弦函数的图象
Ⅱ.对称变换 ①函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴的上方的部分不动，下方 的部分对称翻折到x轴上方得到． ②函数y＝f(|x|)的图象是将函数y＝f(x)的图象在y轴右边的部分不动，并将其 对称翻折到y轴左侧得到． ③函数y＝－f(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称． ④函数y＝f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称． ⑤函数y＝－f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
的五点的横坐标相同，即0，π2 ，π，3π 2 ，2π.故选B.
2．在同一平面直角坐标系内，函数 y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝sin x，x∈[2
π，4π]的图象( B )
A．重合
B．形状相同，位置不同
C．关于 y 轴对称
D．形状不同，位置不同
解析 根据正弦曲线的作法可知函数 y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝sin x，x∈ [2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．
5.4 三角函数的图象与性质 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
要点 正弦函数、余弦函数的图象
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
图象画法
五点法
五点法
关键五点 正(余)弦曲线
_____(_0，__0_)___， π2 ，1 ，___(_π__，__0_)___， (0，1)，______π_2_，__0_____，(π，－1)，
(2)函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为_________
____π2__，_4__，__3_π 2__，__4 ________． 【解析】 由yy＝ ＝c4o，s x＋4，得cos x＝0， 当x∈[0，2π]时，x＝π2 或x＝3π 2 ， 所以交点坐标为π2 ，4，3π 2 ，4.
高中数学常见幂函数、二次函数、三次函数的图象及其性质
（3）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 的最大值为 或 ，最小值为 .
（1）当 时， 在 上单调递增，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（2）当 时， 在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（3）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 或 .
单调增区间为： 和 ；
单调减区间为：
在R上单调递增
单调增区间为：
单调减区间为： 和
在R上单调递减
三次函数的图象和性质
定 义
我们把形如 的函数，称为三次函数.
导 数
判别式
我们把 叫做三次函数的导函数 的判别式.
极值点
当 时，导函数 有两个零点，原函数 有两个极值点，不妨记为 、 ，且 .
拐 点
令三次函数 的二阶导数 ，即 ，解得 ，我们把点 叫做三次函数的拐点.
图 象
定义域
R
值 域
R
对称中心
单调性
高中常见幂函数的图象和性质
定义
形如 的函数（其中 是常数， 是自变量）称为二次函数.
常见的五种幂函数图象
性质
（1）当幂指数 为奇数时，幂函数为奇函数；当幂指数 为偶数时，幂函数为偶函数.
（2）当 时，幂函数的图象都过 、 点，且在 上单调递增；
（3）当 时，幂函数的图象都过 点，不过 点，且在 上单调递减；
（4）在直线 的右侧，幂指数 越大，图象越高.
幂函数
定义域
单调增区间
单调减区间
无
和
无
无
无
二次函数的图象和性质
人教版正切函数的图像和性质-河南省新乡市第一中学高中数学(共19张PPT)教育课件
:
其实兴趣真的 那 么 重 要吗 ？ 很 多 事 情我 们 提 不 起 兴趣 可 能 就 是 运维 我 们 没 有 做好 。 想 想 看 ，如 果 一 件 事 情 你能 做 好 ， 至 少做 到 比 大 多 数人 好 ， 你 可 能没 有 办 法 岁 那件 事 情 没 有 兴趣 。 再 想 想 看， 一 个 刚 来 到人 世 的 小 孩 ，白 纸 一 张 ， 开始 什 么 都 不 会， 当 然 对 事 情开 始 的 时 候 也没 有 兴 趣 这 一 说 了 ， 随 着 年龄 的 增 长 ， 慢慢 的 开 始 做 一些 事 情 ， 也 逐渐 开 始 对 一 些事 情 有 兴 趣 。通 过 观 察 小 孩的 兴 趣 ， 我 们可 以 发 现 一 个规 律 ， 往 往 不是 有 了 兴 趣 才能 做 好 ， 而 是做 好 了 才 有 了兴 趣 。 人 们 总是 搞 错 顺 序 ，并 对 错 误 豪 布知 晓 。 尽 管 并不 绝 对 是 这 样， 但 大 多 数 事情 都 需 要 熟 能生 巧 。 做 得 多了 ， 自 然 就 擅长 了 ； 擅 长 了， 就 自 然 比 别人 做 得 好 ； 做得 比 别 人 好 ，兴 趣
y
-3π/2 -π
1
-π/4
-π/2
O π/4 π/2
π
-1
3π/2 x
正切函数的图象叫正切曲线，其特征是：
1、被相互平行的直线 x=π/2+kπ,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的。
2、正切曲线是中心对称图形
对称中心是（k , 0）, k Z
2
1.正切函数 y tan x的性质：
定义域： {x | x k , k Z}
y
1
3 2
2
O
高中数学的所有重要函数图像及其性质图像特点单调性定义域值域
数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形，因为它们互为反函数。
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2）对数函数的值域为全部实数集合。
（3）函数总是通过（1，0）这点。
（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
（5）显然对数函数无界。
指数函数指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点。
（8）显然指数函数无界。
奇偶性注图：（1）为奇函数（2）为偶函数1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
高中数学常见函数图像
高中数学常见函数图像1.2.对数函数：3.定义形如αx y =（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.图像性质过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．4.函数sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22xk ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2xk ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴。
高中数学课件-正切函数的图像与性质
P（3，2）.所以 x＝3，y＝2. 因为 r＝|OP|＝ 13 , 所以 sinα＝ y ＝ 2 13 ， r 13
cosα＝ x ＝ 3 13 . r 13
(2) 如果α是第三象限角，同理可得：sinα＝ y ＝－ 2 13 ， cosα＝ x ＝－ 3 13 .
2.正切函数的图像.
3p 2
p 2
p
3p 2
3.正切函数的性质.
⑴ 定义域：{x | x p kp, k Z }. 2
⑵ 值域：R.
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图像关于原点对称.
⑸ 单调性：
白发无凭吾老矣！青春不再汝知乎？年将 弱冠非童子，学不成名岂丈夫？
——俞良弼
定义域
值域
y=tan x
{x | x R, x p kp, k Z} 2
R
奇偶性
奇函数
周期性 单调性
周期kπ(k∈Z,k≠0),
最小正周期是π
在每一个区间 增加的
(
p 2
kp,
p 2
kp)上(k 是Z)
例1． 若 tanα＝ 2 ，借助三角函数定义求角α的正弦函 3
数值和余弦函数值.
解：因为 tanα＝ 2 ＞0，所以α是第一象限或第三象限的角. 3
2.已知θ是三角形的一个内角，且有tanθ≥ -1,
则θ的取值范围是 ( C )
A.
3 4
p
,p
B.
0,p 2
C.
0,p
2
3 4
p
,p
D.以上都不对
3.求函数
的定义域.
解：要使函数有意义，需tan x+1≥0，
高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1
高中数学14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7..双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10.三角函数；11分段函数.；12.绝对值函数；13.超越函数；14.抽象函数。
而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性；5.周期性；6.对称性；7.有界性；8.反函数；9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。
1.正比例函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：2.反比例函数解析式图像性质定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：3根式函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：4一次函数解析式图像定义域：值域：1 性质性质性质用心爱心专心单调性：反函数：5二次函数解析式图像定义域：值域：单调性：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：6.双勾函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：7.双抛函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：性质性质性质用心爱心专心值域：单调性：奇偶性：对称性：8.指数函数解析式图像定义域：值域：单调性：9.对数函数解析式图像定义域：值域：单调性：10.三角函数解析式图像单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
高中数学人教A版必修四课件：1-4-3正切函数的性质与图像
题型二
正切函数的奇偶性
例 2 判断下列函数的奇偶性： π π (1)y＝tanx(－ ≤x< )； 4 4 (2)y＝xtan2x＋ x4； (3)y＝ sinx＋tanx.
【 思路分析】 先分别求出各个函数的定义域，看是否关于原点 对称，再看 f(－x)与 f(x)的关系．
π π 【解析】 (1)∵定义域[－ ， )不关于原点对称， 4 4 ∴它既不是奇函数，也不是偶函数． kπ π (2)定义域为{x|x≠ 2 ＋ 4 ，k∈Z}，关于原点对称， ∵f(－x)＝(－x)tan2(－x)＋(－ x)4＝xtan2x＋x4＝f(x)，∴它是 偶函数．
13π π π (2)tan(－ 4 )＝tan(－3π－ 4 )＝－tan 4 ， 12π 2π 2π tan(－ 5 )＝tan(－2π－ 5 )＝－tan 5 ， π 2π π 2π 因为 4 < 5 ，所以 tan 4 <tan 5 . π 2π 所以－tan 4 >－tan 5 . 13π 12π 故得 tan(－ 4 )>tan(－ 5 )．
诱导公式将它们化到同一单调区间，不是同名函数的要利用公式 化成同名函数． 探究 3 比较两个同名函数值的大小，应转化到同一单调区
间上来比较．对不同名的三角函数，应先化为同名的．
思考题 3 比较下列各组数的大小．(2)tan(－ )与 tan(－ )． 4 5
【解析】 (1)∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)， π π 又∵ 2 <2<π，∴－ 2 <2－π<0. π π π ∵ 2 <3< π，∴－ 2 <3 －π <0 ，显然－ 2 <2 －π <3 －π π π π <1< 2 ，且 y＝tanx 在(－ 2 ， 2 )内是增函数，∴tan(2－π)<tan(3 －π)<tan1，即 tan2<tan3<tan1.
(完整版)高中数学常见函数图像
高中数学常见函数图像1.2.对数函数：3.幂函数：定义形如αxy=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.图像性质过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．4.函数sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =； 当22xk ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴。
(新)高中数学函数图像大全汇总
高中必考函数大全指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a＞0，a≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的图像的特征和性质.见下表. 图 象 a ＞1a ＜1性 (1)x ＞0(2)当x=1时，y=0比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比幂函数幂函数的图像与性质幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．n y x =奇函数偶函数非奇非偶函数1n >01n <<0n <定义域 R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限单OxyOxyOxyOxyOxyOx yOxyOxyOxy调递增调递增 调递增 调递增 调递减幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(； ②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(),0,0(； （2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
人教版高中数学课件-正弦函数、余弦函数的图象
1.正弦函數的圖象向左右是無限伸展的.( √ )
2.正弦函數y＝sin x的圖象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，(k∈Z)上的圖象形狀相同，只
是位置不同.( √ )
3.函數y＝sin
x的圖象向右平移
π 2
個單位得到函數y＝cos
x的圖象.(
解 列表：
π
3π
x
0
2
π
2
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2＋cos x 3 2
1
2
3
描點並將它們用光滑的曲線連接起來，如圖.
反思
感悟 作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的圖象的三個步驟
跟蹤訓練2 利用“五點法”作出函數y＝1－sin x(0≤x≤2π)的簡圖.
解 (1)取值列表： x
sin x
π
3π
0
2
π
2
2π
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
(2)描點連線，如圖所示.
三、正弦(余弦)函數圖象的應用
例3 利用正弦函數和余弦函數的圖象，求滿足下列條件的x的集合. (1)sin x≥12； 解 作出正弦函數y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象，如圖所示，
由图象可以得到满足条件的 x 的集合为π6＋2kπ，56π＋2kπ，k∈Z.
A.重合
√B.形狀相同，位置不同
C.關於y軸對稱
D.形狀不同，位置不同
解析 根據正弦曲線的作法可知函數y＝sin x，x∈[0,2π]與y＝sin x，x∈[2π，4π]的圖 象只是位置不同，形狀相同.
高中数学 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件 新人教A版必修4
讲授新课
2. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简 图 (描点法)： 正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2]的图象中， 五个关键点是哪几个? 3 (0,0), ( ,1), ( ,0), ( ,1), ( 2 ,0) 2 2
思考 5 ：在函数 y=sinx ，x∈[0 ， 2π ] 的 图象上，起关键作用的点有哪几个？
小结：
这两个图象关于x轴对称.
讲授新课 探究4．
如何利用y＝cos x，x∈[0, 2]的图 象，通过图形变换(平移、翻转等)来得 到y＝2－cosx，x∈[0, 2]的图象？
讲授新课 探究4．
如何利用y＝cos x，x∈[0, 2]的图 象，通过图形变换(平移、翻转等)来得 到y＝2－cosx，x∈[0, 2]的图象？
线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
课堂小结
1. 正弦、余弦曲线几何画法和五点法；
2. 注意与诱导公式，三角函数线的知识
的联系.
不用作图, 你能判断函数 和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐 标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.
小结：
讲授新课 探究5．
不用作图, 你能判断函数 和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐 标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.
小结：
这两个函数相等，图象重合.
讲授新课
思考题. 分别利用函数的图象和三角函数
y 1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O
π 2π
3π 4π
5π 6π x
思考8：你能画出函数y=|sinx|， x∈[0，2π ]的图象吗？
y 1
O -1
π
2π
x
思考 5 ：函数 y=cosx ，x∈[0 ， 2π ] 的图 象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
对数函数的图像和性质课件人教A版高中数学必修第一册(共32张PPT)
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
y o1
y=logax (a>1)
x
y=logax (0<a<1) (1)定义域： (0,+∞) (2)值域：R
(3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(4) a>1时, x<0,0<y<1; x>0,y>1 (4) a>1时,0<x<1,y<0; x>1,y>0
⑴定义域：
性 ⑵值域：
（0，+∞） R
质 ⑶过特殊点： 过点（1，0），即x=1时y=0 ⑷单调性 ： 在（0，+∞）上是增函数 ⑷单调性：在（0，+∞）上是减函数
记忆口诀
对数函数的性质的助记口诀:
对数增减有思路, 函数图象看底数; 底数只能大于0, 等于1来也不行; 底数若是大于1, 图象从下往上增; 底数0到1之间, 图象从上往下减; 无论函数增和减, 图象都过(1,0)点.
解（2）：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
例题解析
例1：比较下列各组中，两个值的大小：
（3） log a 5.1与 log a 5.9 （a＞０，且a≠１）
解（3）：考察函数log a 5.1与 log a 5.9 可看作函数y=log a x的 两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1， 因此需要对底数a进行讨论
线
-2
y=log1/2x
关于x轴对称
问题探究
【课件】正弦函数、余弦函数的图象课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
光滑的曲线连接起来。
在精度要求不高的情况下作函数y=sinx，x∈[0，2]的
图象，只要先作出这五个点，然后用光滑的曲线连接
起来即可，这种作图法叫“五点画图法”即“五点法”
新知引入
余弦函数的图像又是怎样的呢？如何作出来？
回忆正弦函数和余弦函数的哪些关系，能否通过图
形变换，将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
你会用五点法作出余弦函数的图像吗？
选哪个区间上的五点？观察下图，探索分析。
不难发现,自变量在[－,]这一周内的图像，更靠近原点，且在
对称性、增减性等方面，更具有特点，所以图像更具有代表性。
新知引入
类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数
变换得到y=1+sinx，x∈[0，2]的图象吗？
先认真观察右图变化
对于任意一个x0∈[0 ,2]
设y1=sinx0， y2=1+sinx0
y2－y1＝1
即函数y=sinx，x∈[0，2]
的图象的每一点向上平移
一个单位就得到y=1+sinx，
x∈[0，2]的图象
图5.4-6
Flash
动画
巩固与练习
对于函数y=cosx，由诱导公式cosx=sin(x＋ )得，
y= cosx=sin(x＋ ) ，x∈R.
而函数y=sin(x＋ ) ，x∈R的图象和正弦函数y=sinx，x∈R
的图像又有怎么的关系？
新知引入
y=sin(x＋ )
y=sinx，
1、①与②两函数的图像形状相同；
2016版高中数学人教A版必修四课件：第一章§5.1正弦函数的图像
分。
第一章 三 角 函 数
若本例中的函数 y＝lg x 换为 y＝x2，则结果如何？ 解：在同一直角坐标系中画出函数 y＝x2 和 y＝sin x 的图像， 如图所示．
由图知函数 y＝x2 和 y＝sin x 和图像有两个交点，则方程 x2－ sin x＝0 有两个根．
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0
1
0
－1
0
y
－1
1
－1
－3
－1
②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：
(0，－1)，π2 ，1，(π，－1)，32π，－3，(2π，－1)．
③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起
来，得函数 y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简
图，如图所示．
栏目 导引 第十七页，编辑于星期五：二十三点 四十九分。
第一章 三 角 函 数
解析：(1)正确．观察正弦函数的图像知 y＝sin x 的图像与 y 轴 只有一个交点． (2)正确．观察正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线 y＝1 与 y＝－1 之间． (3)正确．在函数 y＝－2sin x，x∈[0，2π]的图像上起关键作
用的五个点是(0，0)，π2 ，－2，(π，0)，23π，2，(2π，
4．(1)正弦曲线在(0，2π]内最高点坐标为_____π2__，_1____，最 低点坐标为___3_2π__，__－__1____．
(2)在同一坐标系中函数 y＝sin x，x∈(0，2π]与 y＝sin x，x ∈(2π，4π]的图像形状__相_同_____，位置__不__同____．(填“相同” 或“不同”)
高中数学课件-第一章 正弦函数的图像与性质
周期函数：f(x+T)=f(x) 最小正周期：所有周期中最小的正数
y 1
4 x
y 1
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
定义域
x∈ R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
当函当数xx∈ ∈是[[22增kkππ加+- 的ππ22，,,22kkππ++
例2.画出y=1+sinx , x∈[0， ]的简图
解：(2)
x
0
π 2
π
3π 2
2
sinx 0
1
0
-1
0
1sinx 1
2
1
0
1
y. 1.
y 1 sinx,x [0,2π]
.
.
o -1
.
π 2
3π 2
2
x
y sinx,x [0,2π]
3. 作出下列函数的图象
y 3 sin x x [0 , 2 ]
求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期，并求这个函数取 最大值、最小值的x值的集合。
解： ymax 2 sin x max 2 1 3
ymin 2 sin x min 2 (1) 1 周期T 2
使y=2+sinx取得最大值的x的集合是：
x
x
2
2k , k
Z
使y=2+sinx取得最小值的x的集合是：
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y＝f(ax) 的图像 ________________
y＝f(x)的图像
各点纵坐标变为原来的a（a>0）倍 ―――――――――――→ 横坐标不变
y＝af(x) 的图像 ____________________
第 9讲
函数的图像
2.函数图像的识别 (1)确定函数的定义域、值域； (2)确定函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等)； (3)确定函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、所过定 点等)； (4)综合分析得出函数图像的大致形状． 3．函数图像的应用 (1)研究函数性质：在已知函数图像后，函数图像体现了 函数的全部性质，可以根据函数图像得出函数性质． (2)数形结合解题：在与函数有关的问题中，画出函数图 像，数形结合寻找解题思路．
第 9讲
函数的图像
►
通性通法 7．函数图像对称性的两个常用结论 (1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)的 图像关于直线________对称． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的 图像关于直线________对称.
a＋b (2)x＝ 2
x轴下方部分翻折到上方
y＝|f(x)| 图像 ________________
y＝f(x)的图像―――――――――――――――→ 原y轴左侧部分去掉，右侧不变 y＝f(|x|) 的图像 __________________
y轴右侧部分翻折到左侧
第 9讲
函数的图像
y＝f(x)的图像 x轴 变 伸缩 换 变换 法 y轴Biblioteka 第 9讲函数的图像
2．[教材改编] 为了得到函数y＝log3(x＋3)－2的图 像，只需把函数 y ＝ log3x 的图像上所有的点向 ________ 平移________个单位长度，再向________平移________ 个单位长度．
[答案]左 3 下 2
第 9讲
函数的图像
3．[教材改编] 函数 y＝a 与 ________对称．
x
1x y＝a 的图像关于直线
[答案] x＝0
1x － y＝a ＝a x，故两个函数的图像关于
[解析]
y 轴，即直
线 x＝0 对称．
第 9讲
函数的图像
4．[教材改编] 函数 y＝f(x)的图像如图 191 所示， 则函数的定义域是________．
图 191
[答案] (－3，－1]∪(0，2]
[解析 ] (1)函数的定义域关于原点对称，且易知是偶函 数， 所以函数的图像关于 y 轴对称． 这是图像的自对称问题， 自对称函数的图像的对称轴一定垂直于 x 轴． (2)函数 y＝ln x 与 y＝－ln x 的图像关于 x 轴对称，这里 涉及两个函数，是图像的互对称问题．一般地，y＝f(x)与 y ＝f(－x)的图像关于 y 轴对称， y＝f(x)与 y＝－f(x)的图像关于 x 轴对称．
第 9讲
函数的图像
6．图像变换中的误区：平移的方向；平移的大小． (1)将函数y＝f(－x)的图像向右平移1个单位长度得到 函数________的图像． (2)把函数y＝f(2x)的图像向右平移________个单位长 度得到函数y＝f(2x－3)的图像．
3 [答案] (1)y＝f(－x＋1) (2) 2
描 点 法
变 换 法
第 9讲
函数的图像
x轴 对称 变换 变 换 法 翻折 变换 y轴 直线 y＝x 坐标原点 x轴 y轴
y＝f(x)的图像关于 x 轴对称 y＝－f(x的图像 ) 得到_______________ y＝f(x)的图像关于 y 轴对称 得到______________ 的图像 y＝ f ( － x ) y＝f(x)的图像关于 y＝x 对称 得到 y＝f(x)反函数的图像 y＝f(x)的图像关于坐标原点对称 y＝ － f ( －x) 得到______________ 的图像 y＝f(x)的图像――――――――――――→ x轴及上方部分不变
高中数学之 函数的图像
第 9讲
函数的图像
—— 知识点 ——
1．函数图像的作图方法 通过在坐标系中画出函数图像上的一些点，用平滑曲 方法 线连接这些点画出函数图像的方法 确定函数的定义域，化简函数的解析式 步骤 讨论函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、有界性等) 列表描点连线，得出函数图像 y＝f(x)的图像左移 a(a>0)个单位长度 左 y＝f(x＋a) 的图像 得到_____________ y＝f(x)的图像右移 a(a>0)个单位长度 平 右 y＝f(x － a) 的图像 得到______________ 移 变 y＝f(x)的图像上移 h(h>0)个单位长度 上 y＝f(x)＋h 的图像 换 得到______________ y＝f(x)的图像下移 h(h>0)个单位长度 下 y＝f(x) － h 的图像 得到_____________
第 9讲
函数的图像
►
易错问题 5．函数图像对称问题的误区：图像的自对称与互对 称． (1)函数y＝log2(x2－1)的图像关于________对称． (2) 函数 y ＝ ln x 与 y ＝－ ln x 的图像关于 ________ 对 称．
[答案] (1)y 轴 (2)x 轴
第 9讲
函数的图像
第 9讲
函数的图像
[解析] (1)将函数 y＝f(－x)的图像向右平移 1 个单位长度 得到函数 y＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的图像(注意平移方向)． (2)本题易理解为向右平移 3 个单位长度，事实上把函数 y＝f(2x)的图像向右平移 3 个单位长度后得到的是函数 y＝ f[2(x－3)]＝f(2x－6)的图像．
第 9讲
函数的图像
►
链接教材
1． [教材改编] 对于函数
1，x＝0， f(x)＝ 有下列四个 x ， x ≠ 0 ，
说法：①图像是一个点和一条直线(但去掉点(0，0))；② 图像是两条直线；③图像是一个点和两条射线．其中正确 的说法是________．(填序号)
[答案] ① [解析] 当x≠0时，图像是一条直线去掉点(0，0)，当x ＝0时，图像是一个点．
[答案] (1)x＝a
第 9讲
函数的图像