函数概念及表示法教案
示范教案(函数的表示法
示范教案（函数的表示法）第一章：函数的概念与定义1.1 函数的引入介绍函数的概念理解函数的定义：函数是一种关系，使得每个输入值都唯一对应一个输出值。
1.2 函数的表示方法解析式表示法：例如f(x) = ax + b图像表示法：绘制函数的图像来表示其输出值。
第二章：函数的图像2.1 图像的基本特征了解图像的横轴和纵轴的含义学习如何读取图像上的点2.2 常见函数的图像绘制和识别y = x, y = -x, y = 2x等基本函数的图像。
第三章：函数的性质3.1 单调性学习函数的单调性概念判断函数的单调递增或单调递减。
3.2 奇偶性理解奇函数和偶函数的定义判断给定函数的奇偶性。
第四章：函数的变换4.1 平移学习如何通过平移改变函数的图像掌握平移的规则：左加右减，上加下减。
4.2 缩放学习如何通过缩放改变函数的图像掌握缩放的规则：横轴缩放（左扩右缩），纵轴缩放（下扩上缩）。
第五章：函数的表示法综合应用5.1 实际问题与函数表示将实际问题转化为函数问题选择合适的函数表示法来解决实际问题。
5.2 综合练习练习判断给定函数的表示方法练习解决实际问题，应用函数的表示法。
第六章：反函数的概念与性质6.1 反函数的定义介绍反函数的概念：如果一个函数f将x映射到y，它的反函数将y映射回x。
理解反函数的性质：如果f是双射（一一对应），则存在唯一的反函数f^-1。
6.2 反函数的求法学习如何求一个给定函数的反函数。
掌握反函数的求法：交换x和y的位置，解出y，解出x。
第七章：反函数的图像7.1 反函数图像的特点理解反函数图像与原函数图像的关系：反函数图像关于直线y=x对称。
掌握反函数图像的画法：通过对原函数图像进行对称得到。
7.2 实际问题中反函数的应用将实际问题转化为求反函数的问题应用反函数解决实际问题。
第八章：复合函数的概念与性质8.1 复合函数的定义理解复合函数的概念：一个函数的输出作为另一个函数的输入。
掌握复合函数的表示法：f(g(x)) 或g(f(x))。
函数概念及表示法教案
函数概念及表示法教案一、引言函数是数学中的一个重要概念，也是学习和应用数学的基础。
本教案将介绍函数的概念及相关表示法，以帮助学生深入理解和掌握函数的基本原理。
二、函数的概念函数是一个特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
简而言之，函数就是一个输入输出的规则。
示例1：考虑一个函数f(x)，它将自然数集合N的每个元素x映射到其平方，即f(x) = x^2。
例如，当x = 2时，f(2) = 4。
这里，N为输入集合，f(x)为输出集合。
三、函数的表示法函数有多种表示方法，以下是常见的几种表示法：1. 集合表示法函数可以使用集合表示法表示为 {(x, f(x)) | x ∈ N}，表示函数包括了所有输入与输出的有序对。
2. 公式表示法函数可以使用公式表示法表示为 f(x) = x^2，通过一个明确的公式表达函数的输入与输出之间的关系。
3. 图像表示法函数可以使用图像表示法，通过绘制函数的图像来显示输入与输出之间的关系。
例如，绘制函数f(x) = x^2的平面直角坐标系图像。
示例2：考虑函数f(x) = x^2，它可以表示为以下三种方式：- 集合表示法：{(x, x^2) | x ∈ N}- 公式表示法：f(x) = x^2- 图像表示法：绘制平面直角坐标系图像，横轴为x，纵轴为f(x)四、函数的性质函数具有以下几个重要的性质：1. 定义域：函数的定义域是指所有可能的输入值的集合。
对于函数f(x) = x^2，定义域可以是实数集R。
2. 值域：函数的值域是函数在定义域中所有可能的输出值的集合。
对于函数f(x) = x^2，值域可以是非负实数集R≥0。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的增减关系。
例如，函数f(x) = x^2在定义域上是非递减的。
4. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数在定义域内的对称性。
例如，函数f(x) = x^2是偶函数。
五、函数的应用函数在数学和科学中有广泛的应用，例如：1. 函数在代数和几何中的应用：函数在解方程、求导数、计算曲线的性质等方面起着重要作用。
函数的概念和函数的表示法教案-人教版数学高一上必修1第一章1.2.1-1.2.2
第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解函数的概念,了解构成函数的三要素．[2]会判断给出的两个函数是否是同一函数.[3]能正确使用区间表示数集.[4]函数的三种表示方法，并会求简单函数的定义域和值域.[5]通过实例体会分段函数的概念.[6]了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射.1.2过程与方法：[1]通过具体实例，体会函数的概念和函数三要素，会求简单函数的定义域和值域。
[2]通过观察、画图等具体动手，体会分段函数的概念。
[3]通过具体习题，了解映射的概念，并会判断一个对应关系是否是映射.1.3 情感态度与价值观：[1]通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习，培养学生逻辑思维。
[2]通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]函数的三种表示方法。
[2]分段函数的概念。
2.2 教学难点[1]根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．[2]会求函数的定义域和值域。
3 专家建议此节为高中数学函数的第一节内容，一定要让学生充分理解函数的概念，结合具体习题提升学生的逻辑思维和数学素养。
4 教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。
初中的时候我们就接触过函数，并掌握了一次函数，二次函数和反比例函数。
这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。
【板书】第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示6.2 新知介绍[1]函数的概念【师】下面请同学们看三个实例，看有什么不同点和相同点。
【板演/PPT】PPT演示三个实例。
【师】那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式，图像和表格刻画变量之间的对应关系。
相同点是都有两个非空数集，并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。
高中数学函数概念优秀教案
高中数学函数概念优秀教案教学目标：1. 了解函数的定义及特点；2. 掌握函数的表示方法；3. 能够通过实例识别函数；4. 能够解决与函数相关的简单问题。
教学重点：1. 函数的定义；2. 函数的表示方法；3. 函数的特点。
教学内容：一、函数的定义函数是指一种对应关系，对于集合A的每一个元素，都有唯一确定的集合B中的元素与之对应。
数学上通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
二、函数的表示方法1. 函数表达式：通常以代数式的形式表示，如y = 2x + 1；2. 函数图像：以坐标平面上的曲线或直线表示函数。
三、函数的特点1. 自变量与因变量的对应关系是一一对应的；2. 域：自变量的取值范围称为函数的定义域；3. 值域：因变量的取值范围称为函数的值域。
教学过程：一、引入概念1. 引用一个生活中的实例，让学生思考其中的对应关系是否符合函数的定义；2. 引导学生从实例中了解函数的概念。
二、讲解函数的定义及表示方法1. 老师用简单的数学表达式示范函数的表示方法；2. 通过幻灯片展示函数的图像，让学生感受函数的几何意义。
三、讲解函数的特点1. 域和值域的概念及其重要性；2. 通过实例演示函数的一一对应关系。
四、综合练习1. 学生完成一些简单的函数的表示和对应的值的计算；2. 带领学生用学到的知识解决一些实际问题。
五、总结1. 整理函数的定义、表示方法和特点，让学生进行总结；2. 引导学生思考函数在实际生活中的应用。
教学反馈：1. 学生进行简答题和计算题的练习，检查学生对函数概念的掌握情况；2. 结合学生的表现给予针对性的指导和反馈。
教学延伸：1. 学生可以进一步了解复合函数、反函数等相关知识；2. 开展更多实例分析和求解问题，提高学生对函数的理解和应用能力。
教学资源：1. 教科书资料；2. 幻灯片展示；3. 实例分析题。
教学评价：1. 老师根据学生对函数概念的理解程度，进行及时评价和反馈；2. 学生通过练习题和作业巩固所学知识，检验教学效果。
《函数的概念及其表示》教案完美版
函数的概念及其表示》教案完美版函数的概念及其表示》教案第一课时：1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1.讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时 y 是 x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。
表示方法有解析法、列表法、图象法。
二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A.一枚炮弹发射，经 26 秒后落地击中目标，射高为 845 米，且炮弹距地面高度 h（米）与时间 t（秒）的变化规律是h = 130t - 5t²。
B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。
（见书 P16 页图）C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。
（见书 P17 页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个 x，按照某种对应关系 f，在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应，记作：f: A → B。
③定义：设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么称f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（n），记作：y = f(x)，x∈A。
函数的表示法教案三篇
函数的表示法教案三篇函数的表示法教案一篇一、目的要求1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。
2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式。
二、内容分析1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的，前面三小节，先学习函数的概念与表示法，这是为学习后面的几种具体的函数作准备的，从本节开始，将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识，大体上，每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的，通过这些具体函数的学习，学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识，并且，结合这些内容，学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。
2、旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的，这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接，新教材则是安排先学习一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学习反比例函数，为什么这样安排呢?第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学习反比例函数难度可能要大一些。
第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学习效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。
3、函数及其图象这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。
另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。
通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。
高中数学教案《函数的概念及其表示》
教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。
o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。
o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。
2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。
o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。
o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。
o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。
o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。
二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。
●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。
●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。
2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。
●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。
●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。
3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。
●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。
示范教案(函数的表示法
示范教案（函数的表示法）第一章：函数的基本概念1.1 函数的定义教学目标：1. 了解函数的定义及功能；2. 掌握函数的表示方法。
教学内容：1. 函数的定义：函数是一种关系，在数学中，我们称一个非空数集A到另一个非空数集B的规则f：x→y（x属于A，y属于B）为从A到B的一个函数，简称函数。
2. 函数的表示方法：（1）列表法：将函数的输入值和输出值一一对应地列出来；（2）解析法：用数学公式表示函数的关系；（3）图象法：在平面直角坐标系中，将函数的输入值和输出值对应的点依次连接起来，得到函数的图象。
教学活动：1. 引入函数的概念，引导学生理解函数的定义及功能；2. 讲解函数的表示方法，并通过实例让学生掌握列表法、解析法和图象法的具体应用；3. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对函数定义的理解程度；2. 练习题：评估学生对函数表示方法的掌握情况。
第二章：函数的列表法2.1 列表法的概念及应用教学目标：1. 掌握列表法的概念；2. 学会使用列表法表示函数。
教学内容：1. 列表法的概念：将函数的输入值和输出值一一对应地列出来，称为列表法；2. 列表法的应用：通过列表法表示函数，可以直观地了解函数的值域和函数的单调性等性质。
教学活动：1. 引导学生回顾上一章的内容，了解函数的表示方法；2. 讲解列表法的概念，并通过实例让学生掌握列表法的具体应用；3. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对列表法概念的理解程度；2. 练习题：评估学生对列表法的掌握情况。
第三章：函数的解析法3.1 解析法的概念及应用教学目标：1. 掌握解析法的概念；2. 学会使用解析法表示函数。
教学内容：1. 解析法的概念：用数学公式表示函数的关系，称为解析法；2. 解析法的应用：通过解析法表示函数，可以方便地研究函数的性质和变化规律。
教学活动：1. 引导学生回顾上一章的内容，了解函数的表示方法；2. 讲解解析法的概念，并通过实例让学生掌握解析法的具体应用；3. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
函数概念及表示法教案课件
【课题】 3.1函数的见解及其表示法【授课目标】知识目标：(1)理解函数的定义；(2)理解函数值的见解及表示；(3)理解函数的三种表示方法；(4)掌握利用“描点法”作函数图像的方法．能力目标：(1)经过函数见解的学习，培养学生的数学思想能力；(2)经过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技术；(3)会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的察看能力和数学思想能力．【授课重点】(1)函数的见解；(2)利用“描点法”描述函数图像．【授课难点】(1) 对函数的见解及记号y f ( x) 的理解；(2)利用“描点法”描述函数图像．【授课方案】（1）从复习初中学习过的函数知识下手，做好连结；（2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数见解的理解水平；（3）抓住函数值的理解与计算，为画图确立基础；（4）学习“描点法”作图的步骤，经过实践培养技术；（5）重视学生独立思虑与沟通合作的能力培养 .【授课备品】授课课件．【课时安排】2课时． (90 分钟)【授课过程】教学教师学生授课时过程行为行为妄图间*揭穿课题介绍认识3.1 函数的见解及其表示法教学过程* 创立情况兴趣导入问题学校商铺销售某种果汁饮料，售价每瓶 2.5 元，购置果汁饮料的瓶数与应付款之间拥有什么关系呢？解决设购置果汁饮料 x 瓶，应付款为y，则计算购置果汁饮料应付款的算式为教师学生行为行为播放观看课件课件思疑思虑授课时妄图间从实际事例使学生自然的走向知y 2.5x ．归纳因为 x 表示购买果汁饮料瓶数，所以 x 可以取集合 0,1,2,3, 中的随意一个值，依照算式法例 y 2.5x ，应付款y有唯一的值与之对应．两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系．*动脑思虑研究新知见解在某一个变化过程中有两个变量x 和 y，设变量x 的取值范围为数集D，若是关于 D 内的每一个x 值，依照某个对应法则 f ，y都有唯一确立的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把 y 叫做x的函数．表示将上述函数记作y f x ．变量 x 叫做自变量，数集 D 叫做函数的定义域．当 x x0时，函数 y f x 对应的值 y0叫做函数 y f x 在点 x0处的函数值．记作 y0 f x0.函数值的会合y | y f x , x D 叫做函数的值域．函数的定义域与对应法例一旦确立，函数的值域也就确立了．因此函数的定义域与对应法例叫做函数的两个要素．说明定义域与对应法例都相同的函数视为同一个函数，而与选引导自我剖析剖析仔细思虑剖析解说理解重点词语记忆重申察看领悟说明认识识点引导启迪学生领悟对应5率领学生总结上述问题获取函数见解充足解说函数变量和法则之间的关系教学教师过程行为用的字母没关．如函数y x 与 s t 表示的是同一个函数．* 坚固知典型例例１求以下函数的定域：1（２） f x 1 2 x ．疑（１）f x；x1剖析若是函数的法是用代数式表示的，那么函数的定域就是使得个代数式存心的自量的取会合．明解（１）由 x10，得 x1．因此函数的定域x | x1，,11,引用区表示．（２）由 12x ⋯0 ，得 x , 1 ．2因此函数的定域, 1．2代数式中含有分式，使得代数式存心的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式存心的条件是被开方式大于或等于零．例 2 f x 2 x 1，求 f 0 ， f 2 ， f 5 ， f b ．3剖析本是求自量x x0的函数，方法是将x0代解入函数表达式求．解f0201 1 ，33f2221 1 ，剖析3f525111 ，33f b2b12b 1 ．33例 3指出以下各函数中，哪个与函数y x 是同一个函数：（ 1） y x2；（ 2）y x2；（ 3） s t ．x明学生行为察思虑主求解察思虑理解认识授课时妄图间10通例化定域的含及定域的基本情况突出代入意注意察学生可否理解知点教 学 教师 学生过程行为行为解 （ 1）函数 yx 2的定 域 { x | x 0} ，函数 y x 的定思虑x域 R ．它 的定 域不相同，因此不是同一个函数；引（ 2）函数 yx2xx, x ⋯0,剖析- x,x x个函数与 y x 的主0.定 域相同，都是 R ．可是它 的 法 不相同，因此不是同求解一个函数；解（ 3）只管表示两个函数的字母不相同，可是定 域与 法 都相同，因此它 是同一个函数．* 运用知 化教材思虑1．求以下函数的定 域：提（ 1） f x 2；（ 2） f x 2 6x 5 ．手xx4巡求解2．已知 f x3x 2 ，求 f 0， f 1 ， f a ．沟通3．判断以下各 函数可否 同一个函数：（ 1） f (x)x ， f (x)3x 3；（ 2） f ( x)x 21 指x 1 ， f ( x)．x1* 情况 趣 入察下面的三个例子，分 用什么 的形式表示函数：疑1. 察某城市 2008年 8月 16日至 8月 25 日的日最高气温察表：思虑日期16 17 18 19 20 21 22 23 24 25引最高气温2929 2830 25 2829 28 2930剖析 自我由表中能够清楚地看出日期x 和最高气温 y ( C )之 的领悟函数关系．2. 某气象站用温度自 下来的2008年 11月 29日0 至 14 的气温 T （ C ）随 t（ h ） 化的曲 以下疑所示：察思虑授课 时妄图 间掌握函数的本含25及认识学生知掌握情况35引启学生认识领悟函数的三种表示方法的特点引教学教师学生授课时过程行为行为妄图间剖析自我领悟说明认识曲线形象地反应出气温T （C）与时间t（h）之间的函从函数的数关系，这里函数的定义域为0,14 ．对定义域中的随意时间说明角度t ，有唯一的气温T与之对应．比方，当t6时，气温 T 2.2 C；领悟解说启迪当 t 14 时，气温 T12.5 C ．引领领悟公式3. 用S来表示半径为r 的圆的面积，则Sπr 2．这个公式清楚地反应了半径r 与圆的面积S 之间的函数关系，这里函数的定义域为 R．以任意的正实数r0为半径的圆的面积为S0πr02．* 动脑思虑研究新知函数的表示方法 :常用的有列表法、图像法和剖析法三种.总结(1) 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.归纳思虑比方，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里介绍.的利息表，列车时辰表等都是用列表法来表示函数关系的说明用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就能够直接看理解出与自变量的值相对应的函数值.记忆(2) 图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系.举例比方，我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图像，股市走向图等都是用图像法表示函数关系的.用图像法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变说明量的变化，相应的函数值变化的趋势.察看(3) 剖析法：把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的剖析表达式，简称剖析式.45率领学生总结函数的三种表示方法并认识其各自的特点能够教学程比方， s=60t2，A= πr2， S=2 πrl , y=x 2 ( x⋯2)等都是用剖析式表示函数关系的.用剖析式表示函数关系的优点：一是简洁、全面地归纳了变量间的关系；二是能够经过剖析式求出随意一个自变量的值所对应的函数值 .* 坚固知识典型例题例 4文具店内销售某种铅笔，每支售价为0.12 元，应付款额是购置铅笔数的函数，当购置 6 支以内（含 6 支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．剖析函数的定义域为 {1 ，2， 3，4， 5，6} ，分别依照三种函数表示法的要求表示函数．解设 x 表示购置的铅笔数（支），y表示应付款额（元），则函数的定义域为 1,2,3,4,5,6 ．（ 1）依照题意得，函数的剖析式为y0.12x ，故函数的剖析法表示为 y0.12x ， x 1,2,3,4,5,6 ．（2）依照售价，分别计算出购置 1~6 支铅笔所需款额，列成表格，获取函数的列表法表示．x /支123456y /元0.120.240.360.480.60.72教学生授课行行意举例教给领悟学生自我介绍剖析认识总结55思疑察看经过例题进一步领说明领悟会函数三重申思虑种表示方法的特点引领主动求解（ 3）以上表中的 x 值为横坐标，对应的 y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（1， 0.12），（ 2， 0.24），（ 3， 0.36），解说理解突出（ 4， 0.48），（ 5， 0.6），（ 6， 0.72），获取函数的图像法表示．图像的作法启迪领悟数形结合剖析归纳率领由例 4 的解题过程能够归纳出“已知函数的剖析式，作函过程行为数像”的详细步：（1）确立函数的定域；（2）取自量 x 的若干（一般取某些代表性的）算出它的函数y，列出表格；（ 3）以表格中x 横坐，的 y 坐，在直角坐系中描出相的点( x, y) ；（4）依照意确立可否将描出的点成圆滑的曲．种作函数像的方法叫做描点法．明例 5利用“描点法” 作出函数 y x 的像，并判断点（25，5）可否像上的点(求函数，精准到0.01) ．解（ 1）函数的定域[0,) ．（ 2）在定域内取几个自然数，分求出函数y ，启列表：引x012345⋯y01 1.41 1.732 2.24⋯（ 3）以表中的 x 横坐，的 y 坐，在直角坐系中依次作出点（x, y ）．由于 f (25)25 5 ，因此点 (25,5) 是像上的点．（4）用圆滑曲些点，获取函数像.解行为会理解认识思虑求解理解妄图间学生函数的像做法特注意步性和演示程中提醒学生注意作的70* 运用知化及教材提手认识1．判断点 M1 1, 2 ， M22,6 可否在函数 y 1 3 x 的像求解学生上．巡知2．市上土豆的价钱是 3.2 元／ kg ，付款y 是土豆沟通掌握指情况过程数量 x 的函数．请分别用剖析法和图像法表示这个函数．*归纳小结加强思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反省目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是怎样进行学习的？你的学习收效怎样？*连续研究活动研究(1)念书部分：教材章节 3.1 ，学习与训练 3.1 ；(2)书面作业：学习与训练 3.1 训练题；(3)实践检查：举出函数的生活实例．行为行为引导回想提问反省说明记录妄图间80培养学生反省学习过程的能85力90。
中职教育数学《函数的概念及其表示法》教案
中职教育数学《函数的概念及其表示法》教案一、教学目标1. 理解函数的定义和概念；2. 掌握函数的表示法及其应用；3. 能够用图像和公式表示函数。
二、教学内容函数的概念及其表示法三、教学过程Step 1 引入教师可以通过一个简单的例子引入函数的概念，如身高和体重的关系。
身高是自变量，体重是因变量，通过身高可以确定体重，这就是一个函数关系。
Step 2 函数的定义函数是一种关系，它使一个集合中的每一个元素，都与另一个集合中的唯一一个元素相对应。
函数的定义可以用自然语言描述，也可以用数学符号表示。
Step 3 函数的符号表示函数可以用多种符号表示，包括函数定义域、值域、函数图像、函数公式等。
3.1 函数定义域函数定义域指自变量的取值范围，一般用符号表示。
例如，对于函数y = f(x)，定义域可以表示为x ∈ R。
3.2 函数值域函数值域指因变量的取值范围，一般用符号表示。
例如，对于函数y = f(x)，值域可以表示为y ∈ R。
3.3 函数图像函数图像是用平面直角坐标系表示函数的一种方法，可以直观地观察函数的性质。
通过绘制函数的图像，可以分析函数的单调性、奇偶性等特征。
3.4 函数公式函数公式是用数学符号表示函数的一种方法，通过函数公式可以直接计算函数在特定自变量取值下的因变量值。
例如，y = f(x)可以表示一个函数。
Step 4 函数的应用函数在实际问题中有很多应用，如经济学、物理学、生物学等领域。
教师可以通过一些实际问题引导学生分析和解决问题，培养学生运用函数概念的能力。
Step 5 练习与巩固教师可以设计一些练习题，帮助学生巩固函数的概念和表示法。
例如，给定一个函数的图像或函数公式，让学生确定定义域、值域等。
四、教学资源1. 平面直角坐标系；2. 函数图像绘制工具；3. 练习题。
五、课堂总结在本节课中，我们学习了函数的概念及其表示法。
通过掌握函数的定义、函数的符号表示和函数的应用，我们可以更好地理解和运用函数概念。
函数的概念及其表示法教案
【课题】 3.1 函数的概念及其表示法【教学目标】知识目标：(1) 理解函数的定义； (2) 理解函数值的概念及表示； (3) 理解函数的三种表示方法；(4) 掌握利用“描点法”作函数图像的方法． 能力目标：(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；(3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．【教学重点】(1) 函数的概念；(2) 利用“描点法”描绘函数图像．【教学难点】(1) 对函数的概念及记号)(x f y 的理解； (2) 利用“描点法”描绘函数图像．【教学设计】（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接； （2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平； （3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础； （4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能； （5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】}中的任意一个值，有唯一的值与之对应．两个变量之间的这种对应关系叫做动脑思考探索新知() 1,-+∞0，得12 x．因此函数的定义域为1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦．代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零．0,这个函数与-<x x,0.．但是它们的对应法则不同，因此不是同）尽管表示两个函数的字母不同，但是定义域与对应法则都相同，所以它们是同一个函数．(C)之间的11月29C）随时间）变化的曲线如下图过 程行为 行为 意图 间曲线形象地反映出气温T （C ）与时间t （h ）之间的函数关系，这里函数的定义域为[]0,14．对定义域中的任意时间t ，有唯一的气温T 与之对应．例如，当6t =时，气温 2.2T C =︒；当14t =时，气温12.5T C =︒．3. 用S 来表示半径为r 的圆的面积，则2πS r =．这个公式清楚地反映了半径r 与圆的面积S 之间的函数关系，这里函数的定义域为+R ．以任意的正实数0r 为半径的圆的面积为200πS r =．引导 分析 说明说明 启发 引领自我 体会 了解 体会 领悟从函 数的 角度 讲解 公式45*动脑思考 探索新知函数的表示方法:常用的有列表法、图像法和解析法三种. (1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等都是用列表法来表示函数关系的.用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.(2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系. 例如，我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图像，股市走向图等都是用图像法表示函数关系的.用图像法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.(3)解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.总结 归纳 介绍 说明 举例 说明思考 理解 记忆 观察带领 学生 总结 函数 的三 种表 示方 法并 了解 其各 自的 特点 可以过 程行为 行为 意图 间例如，s =60t 2，A =πr 2，S =2πrl ,y =2-x (x2)等都是用解析式表示函数关系的.用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 举例 介绍体会 了解教给 学生 自我 分析 总结 55 *巩固知识 典型例题例4 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．分析 函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示函数．解 设x 表示购买的铅笔数（支），y 表示应付款额（元），则函数的定义域为{}1,2,3,4,5,6． （1）根据题意得，函数的解析式为0.12y x =，故函数的解析法表示为0.12y x =，{}1,2,3,4,5,6x ∈．（2）依照售价，分别计算出购买1~6支铅笔所需款额，列成表格，得到函数的列表法表示．x /支1 2 3 4 5 6 y /元 0.120.240.360.480.60.72（3）以上表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（1，0.12），（2，0.24），（3，0.36），（4，0.48），（5，0.6），（6，0.72），得到函数的图像法表示．归纳由例4的解题过程可以归纳出“已知函数的解析式，作函质疑说明强调 引领讲解启发 分析观察 体会 思考 主动 求解 理解 领会通过 例题 进一 步领 会函 数三 种表 示方 法的 特点 突出 图像 的作 法 数形 结合 带领过 程行为 行为 意图 间数图像”的具体步骤：（1）确定函数的定义域；（2）选取自变量x 的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们对应的函数值y ，列出表格；（3）以表格中x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点(,)x y ；（4）根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线． 这种作函数图像的方法叫做描点法． 例5 利用“描点法”作出函数x y =的图像，并判断点（25，5）是否为图像上的点 (求对应函数值时，精确到0.01) ． 解 （1）函数的定义域为),0[+∞．（2）在定义域内取几个自然数，分别求出对应函数值y ，列表：x0 1 2 3 4 5 …y11.411.7322.24 …（3）以表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（y x ,）．由于(25)255f ==，所以点(25,5)是图像上的点．（4）用光滑曲线联结这些点，得到函数图像.强调 归纳 总结 说明启发 引导强调 讲解领会 理解 记忆 了解 思考 求解 理解学生 总结 归纳 函数 的图 像做 法特 别注 意步 骤性 和细 节 演示 过程 中提 醒学 生注 意作 图的 细节70*运用知识 强化练习 教材练习3.1.21．判定点()11,2M -，()22,6M -是否在函数13y x =-的图像上．2．市场上土豆的价格是3.2元／kg ，应付款额y 是购买土豆提问 巡视 指导动手 求解 交流及时 了解 学生 知识 掌握。
函数概念表示法教案
函数概念表示法教案第一章：函数概念简介1.1 函数的定义引导学生了解函数的定义，即对于一个非空数集A，如果按照某个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，就称f：A→B为一个函数。
1.2 函数的表示方法解析法：用公式直接表示函数关系。
列表法：用表格形式表示函数关系。
图象法：用图象表示函数关系。
第二章：函数的性质2.1 函数的单调性引导学生了解函数的单调性，即函数在其定义域内是增加还是减少。
2.2 函数的奇偶性引导学生了解函数的奇偶性，即函数关于原点对称的性质。
2.3 函数的周期性引导学生了解函数的周期性，即函数值重复出现的性质。
第三章：函数的图像3.1 直线函数的图像引导学生了解直线函数的图像，即y=kx+b（k、b为常数）的图像是一条直线。
3.2 二次函数的图像引导学生了解二次函数的图像，即y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数）的图像是一个抛物线。
3.3 其他常见函数的图像引导学生了解其他常见函数（如指数函数、对数函数等）的图像特征。
第四章：函数的定义域和值域4.1 函数的定义域引导学生了解函数的定义域，即函数中自变量x的取值范围。
4.2 函数的值域引导学生了解函数的值域，即函数中因变量y的取值范围。
4.3 函数的域的确定方法引导学生了解如何根据函数的性质和图像确定其定义域和值域。
第五章：函数的基本运算5.1 函数的加减运算引导学生了解如何进行函数的加减运算，即两个函数的和、差。
5.2 函数的乘除运算引导学生了解如何进行函数的乘除运算，即两个函数的积、商。
5.3 复合函数的运算引导学生了解如何进行复合函数的运算，即将一个函数作为另一个函数的自变量。
第六章：反函数的概念与性质6.1 反函数的定义引导学生了解反函数的概念，即如果函数f将x映射到y，则反函数将y映射回x，记作f^(-1)。
6.2 反函数的性质引导学生了解反函数的性质，包括：反函数的定义域是原函数的值域。
高中数学教案 第1讲 函数的概念及其表示
第1讲函数的概念及其表示1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.1.函数的概念一般地，设A，B是非空的□1实数集，如果对于集合A中的□2任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有□3唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.函数的三要素：□4定义域、□5值域、对应关系.2.同一个函数(1)前提条件：①定义域□6相同；②对应关系□7相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有□8解析法、□9列表法和图象法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的□10并集.常用结论1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.注意以下几类函数的定义域：(1)分式型函数，定义域为分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，定义域为被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.(5)正切函数y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.()(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(3)若A＝B＝R，f：x→y＝log2x，其对应是从A到B的函数()(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2.回源教材(1)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是()A.y＝(x)2B.u＝3v3C.y＝x2D.m＝n2n解析：B函数y＝(x)2与函数m＝n2n和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝x2＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数.故选B.(2)已知f(x)＝x＋3＋1x＋2，若f(a)＝133，则a＝.解析：f(a)＝a＋3＋1a＋2＝133，解得a＝1或－5 3 .答案：1或－5 3(3)函数f(x)＝－x2＋2x＋3＋1x－2的定义域为.解析：x2＋2x＋3≥0，－2≠0得－1≤x≤3且x≠2.故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，3].答案：[－1，2)∪(2，3]函数的概念1.(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的为()A.A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|B.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝xD.A＝{－1，1}，B＝{0}，f：x→y＝0解析：BD对于A，A中有元素0，在对应关系下y＝0，不在集合B中，不是函数；对于B，符合函数的定义，是从A到B的函数；对于C，A中元素x＜0时，B中没有元素与之对应，不是函数；对于D，A中任意元素，在对应关系下y＝0，在集合B中，是从A到B的函数.故选BD.2.(多选)下列每组中的函数不是同一个函数的是()A.f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2B.f(t)＝|t|，g(x)＝x2C.f(x)＝－2x3，g(x)＝－2xD.f(x)＝x2－9x－3，g(x)＝x＋3解析：ACD对于A，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为[0，＋∞)，所以这两个函数不是同一个函数；对于B，因为g(x)＝x2＝|x|，且f(t)，g(x)的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；对于C，f(x)＝－2x3＝－x－2x，f(x)和g(x)的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于D，函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠3}，函数g(x)的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数.故选ACD.3.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()解析：B A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]，只有B 可能.反思感悟函数概念的判定方法(1)函数的定义要求非空数集A 中的任何一个元素在非空数集B 中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，但B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.函数的定义域例1(1)(2024·雅安期末)函数y ＝ln （x ＋1）4－x2的定义域为()A.(－1，2)B.(－1，2]C.(1，2)D.(1，2]解析：A ＋1＞0，－x 2＞0得－1＜x ＜2，所以函数y ＝ln （x ＋1）4－x 2的定义域为(－1，2).故选A.(2)(2024·哈尔滨九中考试)已知函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则函数y ＝f (2x －1)的定义域是()A.[－5，5]B.－12，2C.[－2，3]D.12，2解析：B函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则－2≤2x －1≤3，解得－12≤x≤2，所以函数y ＝f (2x －1)的定义域是－12，2.故选B.反思感悟函数定义域的求解方法(1)求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.(2)求抽象函数定义域的方法：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域.训练1(1)函数f (x )＝－x 2＋x ＋6＋|x |x －1的定义域为()A.(－∞，－2]∪[3，＋∞)B.[－3，1)∪(1，2]C.[－2，1)∪(1，3]D.(－2，1)∪(1，3)解析：Cx 2＋x ＋6≥0，－1≠0，解得－2≤x ≤3且x ≠1.(2)(2024·南昌二中第四次考试)已知函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，则函数F (x )＝f (2x －3)＋3－x 的定义域为()A.(2，3]B.(－2，3]C.[－2，3]D.(0，3]解析：A 函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，x －3＞1，－x ≥0，＞2，≤3，即2＜x ≤3，故函数F (x )的定义域为(2，3].故选A.函数的解析式例2(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x＋1x )＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.解：(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配凑法)∵f(x＋1x)＝x2＋1x2＝(x＋1x)2－2，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0).∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，a＝2，5a＋b＝17，a＝2，b＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.反思感悟函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达方式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1x )或f (－x )等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).训练2(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝.解析：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1).答案：x 2－4x ＋3(x ≥1)(2)已知f (x )满足f (x )－2f (1x )＝2x ，则f (x )＝.解析：∵f (x )－2f (1x)＝2x ，①以1x 代替①中的x ，得f (1x )－2f (x )＝2x ，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x ，∴f (x )＝－2x 3－43x .答案：－2x 3－43x(3)已知f [f (x )]＝4x ＋9，且f (x )为一次函数，则f (x )＝.解析：因为f (x )为一次函数，所以设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋b (k ＋1)，因为f [f (x )]＝4x ＋9，所以k 2x ＋b (k ＋1)＝4x ＋9恒成立，2＝4，（k ＋1）＝9，＝2，＝3＝－2，＝－9，所以f (x )＝2x ＋3或f (x )＝－2x －9.答案：2x ＋3或－2x －9分段函数求分段函数的函数值例3已知函数f (x )e x ＋1，x ＜1，f x －2），x ≥1，则f (3)＝.解析：因为f (x )e x ＋1，x ＜1，f x －2），x ≥1，所以f (3)＝f (1)＝f (－1)＝e －1＋1＝1.答案：1分段函数与方程、不等式例4(1)(2024·济宁模拟)已知a ∈R ，函数f (x )log 2（x 2－3），x ＞2，3x ＋a ，x ≤2.f (f (5))＝2，则a ＝.解析：因为5＞2，所以f (5)＝log 2(5－3)＝1≤2，所以f (f (5))＝f (1)＝3＋a ＝2，解得a ＝－1.答案：－1(2)(2024·咸阳模拟)已知函数f (x )2x ，x ≤0，|ln x |，x ＞0，则不等式f (x )＜1的解集为.解析：当x ≤0时，f (x )＝2x ＜1＝20，解得x ＜0；当x ＞0时，f (x )＝|ln x |＜1，即－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e.综上，不等式f (x )＜1的解集为(－∞，0)∪(1e ，e).答案：(－∞，0)∪(1e，e)反思感悟分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.训练3(1)(2024·合肥模拟)已知f (x )e x －2，x ＜4，log 5（x －1），x ≥4，则f (f (26))等于()A.1 5B.1 eC.1D.2解析：C f(26)＝log5(26－1)＝log525＝2，∴f(f(26))＝f(2)＝e2－2＝e0＝1.(2)(2024·唐山模拟)设函数f(x)2＋1，x≤0，x，x＞0.若f(a)＝0，则a＝.解析：当a≤0时，a2＋1≥1≠0(舍去)；当a＞0时，lg a＝0，a＝1，故实数a的值为1.答案：1限时规范训练(六)A级基础落实练1.(多选)(2024·宁德高级中学第一次月考)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是()A.y＝(x＋2)2B.y＝3x3＋2C.y＝x2x＋2 D.y＝t＋2解析：BD函数y＝x＋2的定义域为R.对于A，y＝(x＋2)2的定义域为[－2，＋∞)，故A错误；对于B，y＝3x3＋2＝x＋2，定义域为R，解析式相同，故B正确；对于C，y＝x2x＋2的定义域为{x|x≠0}，故C错误；对于D，y＝t＋2，定义域为R，解析式相同，故D正确.故选BD.2.函数f(x)＝lg(x－2)＋1x－3的定义域是()A.(2，＋∞)B.(2，3)C.(3，＋∞)D.(2，3)∪(3，＋∞)解析：D∵f(x)＝lg(x－2)＋1x－3，－2＞0，－3≠0，解得x＞2，且x≠3，∴函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).3.(多选)如图所示，可以表示y是x的函数的图象是()解析：ACD对于B：对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象；对于A、C、D：对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象.故选ACD.4.(2023·成都期末)已知函数f(x)x＋2），x≤0，x，x＞0，则f(f(－2))＝()A.4B.8C.16D.32解析：C f(－2)＝f(0)＝f(2)＝22＝4，f(4)＝16，故选C.5.一次函数f(x)满足：f[f(x)－2x]＝3，则f(1)＝()A.1B.2C.3D.5解析：C设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∴f[f(x)－2x]＝f(kx＋b－2x)＝k(kx＋b－2x)＋b＝(k2－2k)x＋kb＋b＝3，2－2k＝0，＋b＝3，解得k＝2，b＝1，∴f(x)＝2x＋1，∴f(1)＝3.6.(2024·潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有()A.f(|x|)＝x3B.f(sin x)＝x2C.f(x2＋2x)＝|x|D.f(|x|)＝x2＋1解析：D对于A，当x＝1时，f(|1|)＝f(1)＝1；当x＝－1时，f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义(一个自变量的值只有唯一一个函数值与之对应)，A错误.对于B，令x＝0，则f(sin x)＝f(0)＝0，令x＝π，则f(sinπ)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误.对于C，令x＝0，则f(0)＝0，令x＝－2，则f(0)＝f((－2)2＋2×(－2))＝2，不符合函数定义，C错误.对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，则|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确.故选D.7.(2024·河南适应性考试)已知函数f(x)x＋1－1，x≥1，log3（x＋5）－2，x＜1，且f(m)＝－2，则f(m＋6)＝()A.－16B.16C.26D.27解析：C若m≥1，则f(m)＝3m＋1－1＝－2，所以3m＋1＝－1，无解；若m＜1，则f(m)＝－log3(m＋5)－2＝－2，所以log3(m＋5)＝0，所以m＝－4，所以f(m ＋6)＝f(2)＝32＋1－1＝26，故选C.8.(2024·江苏三校联考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝f（x）x＋2的定义域是()A.[－2，5]B.(－2，3]C.[－1，3]D.(－2，5]解析：D因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，所以－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5，所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5].要使y＝f（x）x＋2有意义，则5≤x≤5，＋2＞0，解得－2＜x≤5，所以y＝f（x）x＋2的定义域是(－2，5].故选D.9.已知函数f(2x＋1)＝4x2－1，则f(x)＝.解析：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－2(2x＋1)，所以f(x)＝x2－2x.答案：x2－2x10.设函数f(x)，x≤0，x，x＞0，则满足f(x＋2)＜f(2x)的x取值范围为.解析：当x≤－2时，f(x＋2)＝1，f(2x)＝1，则1＜1，矛盾；当－2＜x≤0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝1，则2x＋2＜1⇒x＜－2，矛盾；当x＞0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝22x，则2x＋2＜22x⇒x＋2＜2x⇒x＞2，所以x ＞2.综述：x取值范围为(2，＋∞).答案：(2，＋∞)11.(2024·昆明市第一中学考试)已知f(x＋1)＝1x，则f(x)＝，其定义域为.解析：0，0，解得x＞0，所以f(x＋1)＝1x(x＞0)，令x＋1＝t，则t＞1，x＝(t－1)2，所以f(t)＝1（t－1）2(t＞1)，所以f(x)＝1（x－1）2(x＞1).答案：1（x－1）2(1，＋∞)12.已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋1－2x的定义域为.解析：2≤2x≤2，－2x≥0，解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1，0].答案：[－1，0]B级能力提升练13.(2024·东北师大附中模拟)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，则()A.f(x)的最小值为2B.∃x∈R，2x2＋4x＋3f（x）＜2C.f(x)的最大值为2D.∀x∈R，2x2＋4x＋5f（x）＜2解析：B因为2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，2f(－x)＋f(x)＝3x2－2x＋6，所以f(x)＝x2＋2x＋2.对于A，C，f(x)＝(x＋1)2＋1≥1，所以f(x)的最小值为1，无最大值，故A，C错误；对于B，2x2＋4x＋3f（x）＝2x2＋4x＋3x2＋2x＋2＝2－1x2＋2x＋2，因为0＜1x2＋2x＋2≤1，所以1≤2－1x2＋2x＋2＜2，即1≤2x2＋4x＋3f（x）＜2，故B正确；对于D，2x2＋4x＋5f（x）＝2x2＋4x＋5x2＋2x＋2＝2＋1x2＋2x＋2，2＜2＋1x2＋2x＋2≤3，即2＜2x2＋4x＋5f（x）≤3，故D错误.故选B.14.(2024·武汉二调)已知函数f(x)＋1，x≤a，x，x＞a，若f(x)的值域是R，则实数a的取值范围是()A.(－∞，0]B.[0，1]C.[0，＋∞)D.(－∞，1]解析：B法一：易知函数y＝2x是R上的增函数，且值域为(0，＋∞)，函数y＝x＋1是R上的增函数，且值域为R，所以要使函数f(x)的值域为R，需满足2a≤a＋1.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x与y＝x＋1的图象，如图所示，由图可知，当0≤x≤1时，2x≤x＋1，所以实数a的取值范围为[0，1]，故选B.法二：若a＝－1，则当x≤a时，x＋1≤0，当x＞a时，2x＞12，可知此时f(x)的值域不是R，即a＝－1不满足题意，故排除选项A，D；若a＝2，则当x≤a 时，x＋1≤3，当x＞a时，2x＞4，可知此时f(x)的值域不是R，即a＝2不满足题意，故排除选项C.故选B.15.设函数f (x )x ＋λ，x ＜1（λ∈R ），x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是.解析：当a ≥1时，2a ≥2，∴f (f (a ))＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立；当a ＜1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).答案：[2，＋∞)16.设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )x ＋a ，－1＜x ＜0，e 2x ，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f (92)＝f (32)，则ab的取值范围为.解析：因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (92)＝f (12＋4)＝(2)2f (12)＝2e b ，f (32)＝f (－12＋2)＝2f (－12)＝22×（－12）＋a ＝2(a －1).因为f (92)＝f (32)，所以2(a －1)＝2e b ，所以a ＝2e b ＋1，因为b 为正实数，所以a b ＝2e b ＋1b ＝2e ＋1b ∈(2e ，＋∞)，故ab的取值范围为(2e ，＋∞).答案：(2e ，＋∞)。
高一数学教案：函数的概念4篇
高一数学教案：函数的概念高一数学教案：函数的概念精选4篇（一）教案标题：函数的概念教学目标：1. 理解函数的基本概念；2. 能够根据给定的函数定义进行函数值的计算；3. 能够掌握函数的图像表示方法。
教学准备：1. PowerPoint或黑板；2. 教材《高中数学》；3. 教学PPT或教学黑板稿。
教学步骤：步骤一：引入问题（5分钟）1. 通过生活中的例子引导学生思考“什么是函数？”；2. 引导学生记忆和理解“自变量”和“因变量”的概念。
步骤二：函数的定义（10分钟）1. 引导学生学习教科书上的函数定义；2. 解释函数的定义中自变量、因变量和对应规律的含义；3. 通过一些例子帮助学生理解函数的定义。
步骤三：函数的表示方法（10分钟）1. 引导学生学习函数的表示方法；2. 介绍函数的表格表示和解析式表示；3. 通过具体例子的计算来展示函数的表示方法。
步骤四：函数值的计算（15分钟）1. 引导学生学习函数值的计算方法；2. 通过给定函数和自变量求因变量的例子来演示函数值的计算。
步骤五：函数的图像表示（15分钟）1. 引导学生学习函数的图像表示方法；2. 通过函数表格和坐标系画出函数的图像；3. 解释图像上自变量和因变量的含义；4. 引导学生发现函数图像的特点，如单调性和奇偶性。
步骤六：练习与总结（10分钟）1. 给学生提供一些练习题，加深对函数的理解和掌握；2. 回顾课堂内容，让学生总结函数的概念和表示方法。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究函数的性质，如定义域、值域、单调性等；2. 引导学生学习更复杂的函数概念，如反函数、复合函数等。
教学反思：通过讲解函数的概念和表示方法，学生能够初步理解函数的含义和计算方法。
在教学过程中，可以适当增加一些生动的例子和练习，培养学生的兴趣和动手能力。
在教学结束前，可以布置一些相关的课后作业，巩固学生的学习成果。
高一数学教案：函数的概念精选4篇（二）教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的基本性质；2. 掌握函数的表示法：显式表示法、隐式表示法和参数表示法；3. 能够根据题目要求选择适当的函数表示法。
函数概念及表示法教案
函数概念及表示法教案一、引言函数在数学中是一个常见且重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本教案旨在介绍函数的基本概念以及表示法，帮助学生理解函数的本质与特点，并能够熟练运用函数的表示方法。
二、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
形式化地说，设集合A和B，如果对于任意的a∈A，存在唯一的b∈B与之对应，那么我们就说存在一个从A到B的函数。
三、函数的表示法1. 函数的映射表表示法以映射表的形式表示函数，将集合A中的元素与集合B中的元素一一对应。
例如，对于函数f：A→B，可以使用以下形式表示： 2. 函数的解析式表示法使用方程或者公式来表示函数的规律。
例如，考虑函数f(x)=2x+1，其中x为实数。
这个函数表达了将实数x映射为2x+1的规则。
3. 函数的图像表示法将函数的映射关系可视化为图像，横轴表示定义域内的元素，纵轴表示值域内的元素。
函数的图像可以直观地展示函数的变化趋势。
例如，对于函数f(x)=2x+1，其图像为一条斜率为2的直线。
四、函数的性质1. 定义域和值域函数的定义域是输入变量的取值范围，值域是输出变量的取值范围。
通过确定定义域和值域，可以限定函数的输入和输出。
2. 奇偶性如果对于任意的x∈定义域，有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果对于任意的x∈定义域，有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。
奇偶性可以由图像的对称性来判断。
3. 单调性如果对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数为增函数；如果当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数为减函数。
4. 极值与最值若函数在某个点处的函数值大于或小于它邻近的函数值，则称该点为极值点。
最大极值即为函数的最大值，最小极值即为函数的最小值。
函数的概念及其表示——函数的概念教案
教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今天研究函数 定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化． 二、新课。
现在请同学们打开书，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．（约 2-3 分钟或开始提问） 提问 3．观察图中的 3 个对应，你看出它们有什么共同特点？ 学生的回答往往是把书上的答案念一遍，教师可以板书的形式写出，但还要引导形式发现三个对 应的共同点。（板书）函数 （一）函数的概念
y x 1, y x 2 3x, y 2
学生举出如
x 等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之后教
师也举一个例子，问学生。 提问 1． y 3 是函数吗？
提问
2．
y
x与
y
x2 x
是同一个函数吗？
（由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认为是函 数，理由是可以可做 y 0x 3．）
（2） y 2x 1, (x 0); （3） u 2v 1； （4） y (2x 1)2 ．
解 ： 先 认 清 y 2x 1 ， 它 是 A R （ 定 义 域 ） 到 B R （ 值 域 ） 的 映 射 ， 其 中
f
:
y
2x
1, x
A,
y
B
．再看（1）定义域为
xR且
x
1 2
，是不同的；（2）定义域为
函数值的集合f (x) | x A叫做函数的值域。
问题 4：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？ 引导学生发现，函数是特殊的对应，二者的本质相同。 2．本质：函数是特殊的对应。（板书） 然后让学生试回答刚才关于 y 3 是不是函数的问题，要求从集合的角度解释。
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
2.1函数及其表示教案(带详解)绝对经典
§2.1 函数及其表示要点梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法、列表法．2．映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3． 函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、配凑法、换元法、构造方程组法等．4． 常见函数定义域的求法(1)分母≠0.(2)偶次方根的被开方式≥0.(3) x 0中，x ≠0(4)对数的真数>0(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)复合函数定义域题型分类 深度解析题型一 函数的定义域例1 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________． （2）已知()f x 的定义域为[1,3]，求f (2x ＋1)的定义域；（3）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域．练习 (1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________． (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________．（3）已知f(x 2)的定义域为{}31<<x x ，则f(2x-1)的定义域是__________．题型二 分段函数 例2 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧≤+>+10))5((103x x f f x x ，，,则f (5)的值为_______． (2)已知a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧≥--<+1212x a x x a x ，，，若f (1-a )＝f (1+a )，则a 的值为_______．练习 （1）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为 。
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【课题】3.1函数的概念及其表示法
【教学目标】
知识目标：
(1)理解函数的定义；
(2)理解函数值的概念及表示；(3)理解函数的三种表示方法；
(4)掌握利用“描点法”作函数图像的方法．能力目标：
(1)通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；
(2)通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；
(3)会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．
【教学重点】
(1)函数的概念；
(2)利用“描点法”描绘函数图像．
【教学难点】
(1)对函数的概念及记号)(x f y 的理解；(2)利用“描点法”描绘函数图像．
【教学设计】
（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接；（2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平；（3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础；（4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能；（5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教学过
程
教师行为
学生行为
教学意图
时间
*揭示课题
3.1函数的概念及其表示法
介绍
了解
）与时间t（h）之间的函曲线形象地反映出气温T（C
的解题过程可以归纳出“已知函数的解析式，作函
强化练习3.1.2
()11,2-，()22,6M -是否在函数y
过程行为行为意图间数量x的函数．请分别用解析法和图像法表示这个函数．80 *归纳小结强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？引导
提问
回忆
反思
培养
学生
反思
学习
过程
的能
力
85
*继续探索活动探究
(1)读书部分：教材章节3.1，学习与训练3.1；
(2)书面作业：学习与训练3.1训练题；
(3)实践调查：举出函数的生活实例．
说明记录90。