[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷8.doc

[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷8
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设f(x)连续，且满足f(x)=∫02x dt+ln2，则f(x)= ( )
（A）e x ln2
（B）e2x ln2
（C）e x+ln2
（D）e2x+ln2
2 设f(x)，fˊ(x)为已知的连续函数，则方程yˊ+fˊ(x)y=f(x)fˊ(x)的通解是 ( ) （A）y=f(x)+Ce－f(x)
（B）y=f(x)+1+Ce－f(x)
（C）y=f(x)－C+Ce－f(x)
（D）y=f(x)－1+Ce－f(x)
3 方程y(4)－2ˊˊˊ－3yˊˊ=e－3x－2e－x+x的特解形式(其中a，b，c，d为常数)是 ( ) （A）axe－3x+bxe－x+cx3
（B）ae－3x+bxe－x+cx+d
（C）ae－3x+bxe－x+cx3+dx2
（D）axe－3x+be－x+cx3+dx
4 已知y1=xe x+e2x和y2=xe x+e－x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )
（A）yˊˊ－2yˊ+y=e2x
（B）yˊˊ－yˊ－2y=xe x
（C）yˊˊ－yˊ－2y=e x－2xe x
（D）yˊˊ－yˊ=e2x
5 微分方程yˊˊ－y=e x+1的一个特解应具有形式(式中a，b为常数) ( )
（A）ae x+b
（B）axe x+b
（C）ae x+bx
（D）axe x+bx
二、填空题
6 微分方程(1－x2)y－xyˊ=0满足初值条件y(1)=1的特解是_________．
7 微分方程yˊˊ=的通解为_________．
8 微分方程yˊˊ－2yˊ=x2+e2x+1由待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是
_________．
9 特征根为r1=0，r2,3=±i的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为_________．
10 满足fˊ(x)+xfˊ(－x)=x的函数f(x)=_________．
11 已知∫01f(tx)dt=f(x)+1，则f(x)=_________．
12 微分方程xdy－ydx=ydy的通解是_________．
13 微分方程=0的通解是_________．
14 以y=7e3x+2x为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15 设函数f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数z=满足
求z的表达式．
16 设z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且z=z(x－2y，z+3y)满足
求z=z(u，v)的一般表达式．
17 利用变换y=f(e x)求微分方程yˊˊ－(2e x+1)yˊ+e2x y=e3x的通解．
18 求二阶常系数线性微分方程yˊˊ+λyˊ=2x+1的通解，其中λ为常数．
19 (1)用x=e t化简微分方程(2)求解
20 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该
点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)．(1)试求曲线L的方程；(2)求L
位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最
小．
21 设函数y(x)(x≥0)二阶可导且yˊ(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为
S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2恒为1，
求此曲线y=y(x)的方程．
22 已知某商品的需求量x对价格p的弹性η=－3p3，而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数．
23 已知某商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数；D=D(p)=，
S=S(p)=bp，其中a＞0和b＞0为常数；价格p是时间t的函数且满足方程=k[D(p)－S(p)](k为正的常数)．假设当t=0时价格为1，试求(1)需求量等于供给量时的均衡价格p e；(2)价格函数p(t)；(3)
24 求差分方程y t+1+3y t=3t+1(2t+1)的通解．
25 求差分方程y t+1－ay t=2t+1的通解．
26 某商品市场价格p=p(t)随时间变化，p(0)=p0．而需求函数Q A=b－ap(a，b＞0)．供给函数Q B=－d+cp(c，d＞0)，且p随时间变化率与超额需求(Q A－Q B)成正比．求价格函数p=p(t)．
27 设Y t，C t，I t分别是t期的国民收入、消费和投资．三者之间有如下关系
求Y t．。