分块矩阵及其应用汇总
【文献综述】分块矩阵的性质及其应用
用中还是会遇到很多问题, 在实际生活中, 我们的很多问题可以用矩阵抽象出来, 但这些矩阵
一般都是高阶矩阵, 行数和列数都是一个相当大的数字, 因此我们在计算和证明这些矩阵时
会遇到很烦琐的任务. 这时我们得有一个新的矩阵处理工具, 来使这些问题得到更好的解决！
在文献[3]中给出了分块矩阵定义: 把一个 m n 矩阵 A , 在行的方向分成 s 块, 在列的方
向分成 t 块, 称为 A 的 s t 分块矩阵, 记作 A Akl st , 其中 Akl , k 1, 2,, s ,
l 1, 2,, t 称为 A 的子块, 它们是各种类型的小矩阵.
A
=
I3 0
A1
A2
并称它是 A 的一个 2 2 分块矩阵, 其中的每一个小矩阵称为 A 的一个子块. 常用的矩阵分块
方法, 除了上例中的 4 块矩阵, 矩阵的分块还有以下几种常用的分法:
(1) 按行分块
a11 a12 ... a1n A1
A
a12Βιβλιοθήκη ...a22 ...
... ...
| M || BC | | CA1B | .
文献[5-12]中还提到了有关分块矩阵的一些用法, 比如用分块矩阵证明有关矩阵乘积的
秩的定理: 矩阵乘积的秩不超过其因子的秩, 即 r( AB) r( A), 且 r( AB) r(B), 或者表示成
r( AB) min{r( A), r(B)}, 其中 r( A) 表示矩阵 A 的秩. 还可以利用分块矩阵求矩阵的行列
AD
式问题, 比如利用分块矩阵求高阶行列式
: 设 A, C 都是 n 阶矩阵, 其中| A | 0 , 并且
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其应用
分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵，通常将行和列分成若干块，每块均为矩阵，因而得名。
分块矩阵在数学和工程领域有广泛应用。
一些应用包括：
1.矩阵求逆：对于大规模矩阵求逆，可以先将矩阵分成较小的块，在每个块的范围内求逆并重新组合。
2.矩阵乘法：矩阵乘法的时间复杂度与矩阵的大小有关，但矩阵块的大小也会影响乘法的效率。
分块矩阵可以提高矩阵乘法的效率。
3.矩阵分解：对于某些特定类型的矩阵，如对称正定矩阵和稀疏矩阵，分块矩阵分解可以有效地降低计算复杂度。
4.图像处理：分块矩阵可以用于图像处理中的分块压缩和离散余弦变换等算法，以提高图像处理的效率和质量。
5.结构力学：分块矩阵广泛应用于结构力学和有限元方法中，可以描述复杂的结构系统和分析结构系统的动态行为。
分块矩阵的初等变换及其若干应用
4
Em O
O⎞ .对上述分块 En ⎟ ⎠
矩阵进行分块矩阵的初等行变换，将“ T ”的部分变为单位矩阵:
⎛A O ⎜C D ⎝
第1块行左乘A−1
Em O O
O ⎞ 第1块行左乘-CA−1加到第2块行 ⎛ A O Em ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜ ⎟ −1 En ⎠ ⎝ O D −CA A−1
⎛E （1） 交换分块单位阵 ⎜ m ⎝ 0t × m
用此矩阵左乘 T ，有
3
⎛ 0t × m ⎜ ⎝ Em
Et ⎞ ⎛ A B ⎞ ⎛ C D ⎞ ⎟ ⎟=⎜ ⎟, 0m×t ⎠ ⎜ ⎝C D⎠ ⎝ A B ⎠
这正是交换 T 的两块行得到的矩阵.
⎛E （2） 用 P 乘分块单位阵 ⎜ m ⎝ 0t × m 0m×t ⎞ ⎟ 的第一块行，得分块初等矩阵 Et ⎠ ⎛ P ⎜ ⎝ 0t × m 0m×t ⎞ ⎟. Et ⎠
⎛ En1 ⎜O ⎜ ⎜O ⎜ ⎜O ⎝ O En2 O O O ⎞ O O ⎟ ⎟ % O ⎟ ⎟ O E ns ⎟ ⎠ O
1
的分块矩阵称为分块单位矩阵. 定义 分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等行（列）变换后得到分块矩阵就叫 做分块初等矩阵.因为分块矩阵的初等变换有三种形式，因此分块初等矩阵也相 应的有以下三种类型： （1）交换分块单位矩阵的第 i , j 块行（或块列）得到的分块矩阵.例如,
T 的左边乘上相应的 2×2 分块初等矩阵.同理可证对一个 2×2 分块矩阵
⎛A B⎞ T =⎜ ⎟ 作一分块矩阵的初等列变换就相当于在 T 的右边乘上相应的 2×2 分 ⎝C D⎠ 块初等矩阵. 2．分块矩阵初等变换的应用 ⎛ A O⎞ 例 求T = ⎜ ⎟ 的逆,其中 A 是 m 阶可逆矩阵, B 是 n 阶可逆矩阵. ⎝C D⎠
高等代数小论文--分块矩阵及其应用
高等代数期中论文课程高等代数专业班级数学0802 姓名徐锴学号 ******** 指导教师牛敏分块矩阵及其应用主要内容1.分块矩阵1.1. 分块矩阵的定义用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡st s s t t A A A A A A A A A 212222111211 其中每个小矩阵 .),1;,1(t j s i A ij==叫做A 的一个子块；分成子块的矩阵叫做分快矩阵[2].1．2 运算规则()1 stij ij st ij st ij B A B A )()()(+=± ()2 tsT ji st Tij A A )()(= ()3 sp ij tp ij st ij C B A )()()(=，ij C =∑-==tk kjik t j s i B A 1),...1,,...1( ()4 stij st ij A k A k )()(=(k 是数量) 在用规则1）时，A 与B 的分块方法须完全相同；用性质3）时，A 的列的分法与B 的行的分法须相同.1.3分块矩阵的性质及其推论在行列式计算中 ,我们经常用到下面三条性质[3]:()1 若行列式中某行有公因子 ,则可提到行列式号外面;()2 把行列式中的某行乘上某一个非零数 ,加到另一行中去 ,其值不变; ()3 把行列式中的某两行互换位置 ,其值变号;利用矩阵的分块 ,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广.性质 1 设方阵A 是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 级方阵 .对于矩阵B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C MB MB MB A A A则B =MA证明 设s E 为s 级单位矩阵 ,则B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321000000C C C B B B A A A E M E s s =A E ME s s⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000 于是B =0000ssE ME A =s E M s E A =MA性质 2 设矩阵是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 阶方阵 .对于矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=321321321C C C MC B MC B MC B A A A D 则A =D证明 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡s s sE E E 000000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++321321321C C C MC B MC B MC B A A A 其中 s E 是s 级单位矩阵 ,对上式两边同时取行列式得A =D性质 3 设方阵A 和'A 写成如下形式A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A ,'A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C A A A B B B 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是 s ×t 矩阵，则|'A |=⎩⎨⎧-为奇数时，当为偶数时当s A s A |||,|证明 A 可由'A 中的1B ,2B ,3B 与1A ,2A ,3A 相应的两行对换而得到 ,而对换行列式的两行 , 行列式反号 ,故当s 为偶数时|'A |=A 当s 为奇时|'A |=-A可以证明 ,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时 ,这些性质不仅对行成立 ,对列也同样成立.下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.推论 1 设A ,都是n 阶方阵,则有AB =A B ()2.6 证明 作2n 阶行列式C =EA AB由拉普拉斯展开定理得C =AB E =AB又由性质2并应用于列的情况,有E A AB0=E EB A AB AB --0=EB A -0=B A nn n --+++++++2)1(21)1( =B A 推论 2 设,A B 都是n 阶方阵,则有AB BA =B A B A -+ 证明 根据定性质2并应用于列的情况,有AB BA =A AB B B A ++=B A B B A ++0=B A B A -+ 例1 计算n 2阶行列式D =ab a b a b b a b a ba 000000000000000000000000解 令A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 00000a 0000a 0000aB =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000 b b b 则 D =ABBA=B A B A -+=a b a b b a b a 00000000 ab a b b aba 00000000 ---- =n b a )(+n b a )(-=nb a )(22-推论 3 设,B ,C ,D 都是n 阶方阵 ,其中A ≠0,并且AC =CA ,则有DC BA=CB AD - ()2.8 证明 根据性质2,因为1-A 存在,并注意到AC =CA ,用1C A --乘矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 的第一行后加到第二行中去得⎥⎦⎤⎢⎣⎡----B CA D B CA A 110 从而D C B A=110A C A B D C A B---- =A B CA D 1--=B ACA AD 1--B CAA AD 1--=CB AD- 把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到了三个结论.设A ,B ,C ,D 都是n 级方阵则有AB =A B ABBA =B A B A -+ 结论()2.6告诉我们，两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积.结论()2.7则说明，当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A ,B ,B ,A 时（即AB BA ）， 2.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用定理 1 秩()AB≤秩()A ,且秩()AB ≤秩()B ,则秩()AB ≤min{秩A ,秩B }[4]证明 令s m C ⨯=n m A ⨯⋅s n B ⨯，A =()12,n aa a ,C =()12,s γγγ 则(s γγγ 21,)=()12,naa a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ns n n s s b b b b b bb b b212222111211 ∴nns s s s nn n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++=+++=+++=22112222112212211111γγγ∴s γγγ 21,()1可由n a a a 21,()2线性表示 ∴秩()I ≤秩()I I ,即秩()C =秩()AB ≤秩()A令=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n 21，Ｂ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n βββ 21 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n 21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a aa a a212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nβββ 21即nmn m m s nn n n a a a a a a a a a βββηβββηβφβη+++=+++=+++=22112222112212211111∴m ηηη 21,()3可由nβββ 21,()4线性表示 ∴秩()III ≤秩()IV ,即秩()C=秩()AB ≤秩()B即秩()AB ≤()()m i n {A B }秩，秩 定理 2 设、都是n 级矩阵，若0A B =则秩()A +秩()B ≤n[5].证明 对分块如下:()12nB B B B = 由于0A B =即()120nA B A B A B = 即()01,2,,i A B i n == 说明的各列B 都是0A X =的解.从而秩()12nB B B ≤基础解系=n -秩()A 即秩()A+秩()B ≤n3.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用命题1[10]设P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中B 为r 阶方阵, C 为k 阶方阵,当B 与)(1A DB C --都是可逆矩阵时，则P 是可逆矩阵，并且1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C 特例 ()1 当A =0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0011B C . ()2 当A =0，D ≠0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----01111B C DB C ()3 当A ≠0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111AC B BC 证明 设P 可逆，且1-P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X，其中Y 为k 阶方阵，Z 为r 阶的方阵.则应有 于是得到下面的等式(4.1)0(4.2)0(4.3)(4.4)k r X AY C E X BY D Z AW C Z BW DE +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩因为可逆，用1-B 右乘（3.2）式可得代入（3.1）式得Y -11)(---A DB C 则X =11)(----A DB C D 1-B . 用右乘（3.4）式可得=()r E W D -1-B =1-B -1W D B - 代入（3.3）式得W =1B A -11)(---A DB C则 可得Z =1-B +1B A -11)(---A DB C D 1-B .所以1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C . 命题2 设Q =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中A 为r 阶方阵，D 为k 阶方阵，当A 与（B CA D 1--）都是可逆矩阵时，则Q 是可逆矩阵,并且1-Q =1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+-------------1111111111111)()()()(B CA D CA B CA D B CA D B A CA B CA D B A A特例 （1） 当B =0，C =0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1100D A （2） 当B ≠0，C=0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D BD A A 1X Y D B-=（3） 当B =0，C ≠0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D CA D A 此结论参考命题1.例1 设M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------6000004000001001095201473，求1-M . 解 令=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5273，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014，=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001.则很容易求得1-A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275，1-D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--6/10004/10001 且11---BD A =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2/12/1196/74/543 由命题2可得，1-M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111D O BD A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------6/1000004/1000001002/12/119326/74/54375 3.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用在线性代数中 ,分块矩阵是一个十分重要的概念 ,它可以使矩阵的表示简单明了 ,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上 ,利用分块矩阵方法计算行列式 ,时常会使行列式的计算变得简单 ,并能收到意想不到的效果[11]. 本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理 设矩阵H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A OOA O A A21或H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A AO A O OA21其中sA A A ,,,21 均为方阵，则 H =s A A A 21.3.2.1矩阵A 或B 可逆时行列式|H|的计算 命题 1 B A 、分别为m 与n 阶方阵. 证明 : (1)当可逆时 ,有BCD A =A D CA B 1-- (3.5) (2)当可逆时 ,有BCD A =C DB A 1--B (3.6) 证明 根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D CA B D A B C D A E CA E 1100 由引理知，两边取行列式即得(3.5).()2 根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E DB E 01⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C D A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--B C C DB A 01两边取行列式即得(3.6).此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵求逆问题，但在利用命题1时,要特别注意条件有矩阵或可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用.推论1 设,,,ABCD 分别是,,m n nm ⨯和mn ⨯矩阵. 证明 B C DE m=CD B - ( 3.7) nE CD A =DC A - (3.8) 证明 只需要在命题1的(3.5)中令=m E , 即得(3.7);在(3.6)中令=n E ,即得(3.8). 推论2 ,C D 分别是n m ⨯和mn ⨯矩阵.证明 nm E CD E =CD E n -=DC E m - (3.9) 证明 在推论1的(3.7)中,令=n E ,在(3.8)中,令=m E ,即得（3.9)例3 计算下面2n 阶行列式n H 2=bcb c d a da()0a ≠解 令=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a ,=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡b b，=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c ，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡dd为n 阶方阵.由于0a ≠,故为可逆方阵.又易知-D CA1-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------d ca b d ca b d ca b 111从而由命题1中()1得n H 2=AD C B=DCA B A 1-- =nn d ca b a )(1--=n cd ab )(-.例4 计算行列式()1);,,2,1,0(,00100100111121n i a a a a a i n=≠ ()2cb b b b a a a a nn3213211000100010001解 ()1 设=BC DA ，其中 =()0a ,=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n a a a21，=T )1,,1,1( ，D =)1,,1,1( . 因为n i a i ,,2,1,0 =≠所以是可逆矩阵.又易知 A -C DB 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i a a 10/1从而由命题1中的结论()4.2得BC D A=1A DB CB -- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i n a a a a a 1021/1 （2）设Q =BC DE n，其中 B =（c ），C =),,,(21nb b b ，D =Tn a a a ),,(21 由于C D =),,,(21nb b b Tn a a a ),,(21 =∑=ni ii ba 1从而由推论1知,=BC DEn=B CD -=c -∑=ni ii ba 1.3.2.2矩阵,A B C D==时行列式|H|的计算 命题 2 ,A C 是两个n 阶方阵.则AC CA=|A+C||A-C| 证明 根据行列式的性质和定理，有AC CA =A A C C C A ++=C A C C A -+0 =A CA C +-. 例1 计算行列式.D =000xyzx zy y z x z y x解 这道题看似简单 ,但如果方法选择不好,做起来并不轻松. 这里设=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00x x ，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y z z y 由命题2知D =ACCA=C A C A -+ =yzx z x y++yzx z x y ----=])(][)([2222z x y z x y --+- =))()()((z y x z y x z y x z y x ++--+-+-++行列式的计算是线性代数中的一个重要内容,本节就行列式的计算问题具体就形如H =BC DA （,,,ABCD 分别是,,m n nm ⨯和mn ⨯矩阵）的类型的行列式计算进行了分析，其中将一个行列式分块成,,,ABCD 后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可根据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的.。
分块矩阵的初等变换及其应用
分块矩阵的初等变换及其应用一、引言分块矩阵作为矩阵的一种特殊形式，具有重要的数学应用。
在线性代数中，我们学习到了矩阵的初等变换，它们是一类重要的矩阵操作，可以通过一系列的行变换和列变换来改变矩阵的形态。
而分块矩阵的初等变换则是在分块矩阵中进行的一种特殊的操作，本文将详细介绍分块矩阵的初等变换及其应用。
二、分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换是指对分块矩阵进行一系列的操作，包括交换分块的位置、对某个分块进行乘法变换和加法变换等。
这些操作可以通过矩阵的行变换和列变换来实现。
1. 交换分块的位置交换分块的位置是指将分块矩阵中的两个分块进行位置交换。
这种操作可以通过交换两个分块所在的行或列来实现。
2. 对某个分块进行乘法变换对某个分块进行乘法变换是指对分块矩阵中的某个分块进行乘以一个非零标量的操作。
这种操作可以通过将分块矩阵中对应的行或列乘以一个非零标量来实现。
3. 对某个分块进行加法变换对某个分块进行加法变换是指对分块矩阵中的某个分块进行加上另一个分块的操作。
这种操作可以通过将分块矩阵中对应的行或列加上另一个分块所在的行或列来实现。
三、分块矩阵的应用分块矩阵的初等变换在数学和工程领域中有着广泛的应用。
下面将介绍几个典型的应用场景。
1. 线性代数中的矩阵运算在线性代数中，我们经常需要对矩阵进行运算，如求逆矩阵、求特征值等。
分块矩阵的初等变换可以简化这些运算的过程，使得计算更加简便和高效。
2. 线性方程组的求解线性方程组的求解是数学中的一个重要问题。
分块矩阵的初等变换可以通过行变换和列变换将线性方程组转化为简化的形式，从而更容易求解。
3. 矩阵的相似性在矩阵的相似性中，我们经常需要对矩阵进行相似变换。
分块矩阵的初等变换可以通过对分块矩阵进行相似变换，从而得到相似的简化矩阵。
4. 矩阵的分解矩阵的分解是数学中的一个重要问题，可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质。
分块矩阵的初等变换可以通过对分块矩阵进行分解，从而得到更简化的形式。
分块矩阵应用
例如
A11 A = A 21 A 31
1 3
A12 A 22 A 32
A13 A 23 A 33
A 32 A 22 A12 A 33 A 23 A13
A14 A 24 A 34
A 34 A 24 = B1 A14
A 31 R ← R → A → A 21 A 11
（2）分块矩阵的某行左乘某矩阵 ，表示为 i。需要 ）分块矩阵的某行左乘某矩阵P，表示为PR 注意的是矩阵P的列数要等于R 的子块行数。 注意的是矩阵P的列数要等于Ri的子块行数。 的列数要等于 （3）分块矩阵的某列右乘某矩阵 表示为 jQ ）分块矩阵的某列右乘某矩阵Q, 表示为C （4）分块矩阵的的某行的对应子块左乘某矩阵加到分 ） 块矩阵的另一行对应的子块上, 表示为R 块矩阵的另一行对应的子块上 表示为 i+PRj （5）分块矩阵的的某列的对应子块右乘某矩阵加到分 ） 块矩阵的另一列对应的子块上, 表示为C 块矩阵的另一列对应的子块上 表示为 i + CjQ
E1 L 0 E = L 0 L 0
L 0 L 0 L 0 O L L L L L L Ei L 0 L 0 L L O L L L L 0 L Ej L 0 L L L L O L L 0 L 0 L Et
进行一次分块矩阵初等变换得到的分块矩阵称为 分块初等矩阵 以下我们用二阶分块初等矩阵来定义这些分块初等矩阵
A12 + A14Q A13 A 22 + A 24Q A 23 A 32 + A 34Q A 33
A14 A 24 = B 6 A 34
Q的列数等于第二列子块的列数，行数为第四列子块的列数 的列数等于第二列子块的列数， 的列数等于第二列子块的列数
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其应用【摘要】矩阵论是代数学中是一个重要的组成部分和主要的研究对象。
而分块矩阵可以降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更加清晰，从而使矩阵的相关计算简化，并且可以证明一些与矩阵有关的问题。
本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念、分块矩阵的运算和其初等变换，而且证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵秩的问题，用分块矩阵求行列式问题，用分块矩阵求逆矩阵的问题,分块矩阵相似的问题。
【关键词】：分块矩阵；矩阵的秩；逆矩阵；行列式目录1引言 (2)2矩阵分块的定义和性质 (2)2.1 矩阵分块的定义 (2)2.2 分块矩阵的运算 (2)2.3 分块矩阵的初等变换 (3)2.4 n阶准对角矩阵的性质 (3)3分块矩阵在高等代数中的应用 (4)3.1 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (4)3.2 利用分块矩阵计算行列式 (7)3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (11)3.4 分块矩阵在解线性方程组方面的应用 (16)4总结 (19)参考文献 (20)1 引言矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。
在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，从而使问题的解决更简明。
比如当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。
利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。
本文就分块矩阵的加法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在证明矩阵相关秩的问题、矩阵求逆、行列式展开计算等方面的应用作了较为深入的研究。
矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于理解和掌握，而且能开拓思维，提高灵活应用知识解决问题的能力。
分块矩阵的原理和应用
分块矩阵的原理和应用1. 原理分块矩阵是一种特殊的矩阵结构，将大型矩阵分割成更小的块状矩阵，以便进行更高效的运算和存储。
分块矩阵的原理主要包括以下几个方面：1.1 分块矩阵的定义分块矩阵由多个块状子矩阵组成，每个子矩阵都是相对较小的矩阵。
这些子矩阵可以是任意维度的矩阵，但通常都是方阵。
分块矩阵的维度取决于它所包含的子矩阵的维度和排列方式。
1.2 分块矩阵的运算分块矩阵可以进行各种矩阵运算，例如加法、减法和乘法等。
在进行这些运算时，可以利用分块矩阵的特殊结构，将运算过程分解为对各个子矩阵的运算，从而提高计算效率。
1.3 分块矩阵的存储分块矩阵的存储方式也与普通矩阵存储方式有所不同。
在分块矩阵中，每个子矩阵都被存储在一个相邻的内存块中，而各个子矩阵之间的存储空间可以是非连续的。
这种存储方式可以提高数据的局部性，进而提高计算效率。
2. 应用分块矩阵在科学计算和工程领域有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用领域：2.1 计算机图形学在计算机图形学中，分块矩阵常用于表示和处理三维图形中的几何变换矩阵。
通过分块矩阵的运算，可以实现旋转、缩放和平移等常见的几何变换操作。
2.2 信号处理在信号处理中，分块矩阵常用于表示和处理信号的频谱信息。
通过分块矩阵的乘法运算，可以实现信号的卷积和相关等基本操作，进而实现滤波和频谱分析等应用。
2.3 优化算法在优化算法中，分块矩阵常用于表示优化问题的约束矩阵。
通过分块矩阵的运算，可以将大规模的优化问题分解为小规模的子问题，从而提高求解效率。
2.4 数据压缩在数据压缩领域，分块矩阵常用于表示和处理图像和视频数据。
通过分块矩阵的变换和压缩算法，可以实现图像和视频数据的无损或有损压缩，从而减小存储空间和传输带宽的需求。
3. 总结分块矩阵作为一种特殊的矩阵结构，在科学计算和工程领域有着广泛的应用。
它的原理包括定义、运算和存储等方面，通过合理利用分块矩阵的结构，可以提高计算效率和存储效率。
浅谈分块矩阵的性质及应用doc
浅谈分块矩阵的性质及应用doc分块矩阵是由几个矩阵块组成的矩阵，它的出现主要是为了更好地解决某些复杂的数学问题。
在实际应用中，分块矩阵既可以用于表示线性系统，也可以用于表示迭代算法的计算过程。
本文将从性质和应用两个方面对分块矩阵进行浅谈。
1. 分块矩阵的性质分块矩阵的一些性质能够帮助我们更好的理解它的本质。
下面将介绍几个较为常见的性质。
(1) 直和分块矩阵：如果一个分块矩阵的所有矩阵块都是对角矩阵，那么我们称这个分块矩阵为直和分块矩阵。
直和分块矩阵与对角矩阵非常相似，都具有稳定的性质和巨大的计算优势。
(2) 块矩阵的转置：对于一个分块矩阵A，通常有以下转置公式：(A^T)_i,j=A_j,i。
也就是说，分块矩阵的转置相当于交换原矩阵的每一块。
(3) 块矩阵的乘法：设A和B是两个分块矩阵，当且仅当A的列数等于B的行数时，我们才可以进行矩阵乘法AB。
具体方法是将A中的每一块分别与B中的每一列乘起来，然后对结果进行相加。
另外还有两个性质需要注意。
首先，如果A和B都是直和分块矩阵，则它们的乘积也是直和分块矩阵。
其次，如果A和B都是分块对称矩阵，那么它们的乘积也是分块对称矩阵。
(1) 线性系统求解：分块矩阵可以用于求解大规模的线性系统，它的基本思想是将系统分成若干个小规模的子系统，利用线性代数中的基本定理，通过求解小系统的逆矩阵逐步求解全局矩阵的逆矩阵。
具体而言，我们可以将原矩阵A分解为A=BCD，其中B和D都是对角矩阵，C是一般的矩阵。
然后，我们可以将原始线性系统Ax=b转化为一个新的线性系统(D^-1CB)x=D^-1b。
由于B和D都是对角矩阵，所以它们的逆矩阵很容易求得。
接下来，我们只需要在新的线性系统中解x即可。
(2) 特征值计算：分块矩阵也可以用于特征值问题的求解，尤其是在计算大规模稀疏矩阵的特征值时特别有效。
具体而言，我们可以采用分块对角化的方法，将原矩阵A分解为A=BCD，其中B和D都是对角矩阵，C是一般的矩阵。
分块矩阵及其应用汇总
分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix1 引言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义1.11 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把m n ⨯矩阵分割为如下形式的矩阵：m nA ⨯=1111n m mn A A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭特别地，对于单位矩阵分块：n nE ⨯=11000000nn E E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的ijA所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2 分块矩阵2.1矩阵的相关概念在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.定义2.1.1[2] n 级行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j jnj a a a 的代数和，这一定义又可写成:111212122212n n n n nna a a a a a a a a =()()121212121n n nj j j j jnj j j ja a a τ-∑.定义 2.1.22向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.定义2.1.32 n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB BA E ==（这里E 是n 级单位矩阵），那么B 就称为A 的逆矩阵，记为1A -. 定义2.1.43对分块矩阵施行下列三种初等变换：(1) 互换分块矩阵的某两行(列)；(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上， 分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换.定义2.1.53 对m n +阶单位矩阵作22⨯分块，即m n I +=mn IO O I ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，然后对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：(1) 分块初等对换阵nm I O OI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；(2) 分块初等倍乘阵0n P O I ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0mI O Q ⎛⎫⎪⎝⎭；(3) 分块初等倍加阵1mn I R OI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，m n I O SI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭； 其中P ,Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且1m nR R ⨯∈，n m S R ⨯∈为非零阵.2.2矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质：定义2.2.14 矩阵加法：设()=ij sn A a ， ()=ij snB b 是两个同型矩阵，则矩阵()ij sn C c ==()ij ij sn a b +称为A 和B 的和，记为C A B =+.元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为sn O ，可简单记为O ,对于矩阵A 、B ，有:(1) A O A += (2) ()0A A +-= (3) ()A B A B -=+- (4) ()()A B C A B C ++=++(5)A B B A +=+定义2.2.24 矩阵乘法：设()=ik sn A a ，()=kj nm B b 是两个不同型矩阵，那么矩阵()ij smC AB c ==，称为矩阵A 与B 的乘积，其中：11221nij i j i j in nj ik kj kc a b a b a b a b ==++=∑ 在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质： (1) ()A B C AB AC +=+ (2) ()B C A BA CA +=+ (3) ()()AB D A BD =定义2.2.34矩阵数乘：111212122212n n s s sn ka ka ka ka ka ka kaka ka ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵()ij sn A a =与数k 的数量乘积，记为kA ，有以下性质：(1) 1A A *=；(2) ()()k lA kl A =; (3) ()k A B kA kB +=+; (4) ()k l A kA lA +=+; (5) ()k A B kA kB +=+.2.3分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设A 、B 是m n ⨯矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：加法：11111111t t s s st st A B A B A B A B A B ⎛⎫++ ⎪⎪+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭. 乘法：C AB =, 其中：11221nij i j i j in nj ik kj kC A B A B A B A B ==+++=∑.数乘：1111t s st kA kA kA kA kA ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质： 定义2.3.12 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1) 互换矩阵E 的i 行与j 行的位置; (2) 用数域P 中的非零数c 乘E 的i 行; (3) 把矩阵E 的j 行的k 倍加到i 行. 定义2.3.25将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1) 对调两块同阶的块所在的行或列; (2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对 应分块矩阵：m nO E E O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=C D A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭n PO OE ⎛⎫ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=PA PB C D ⎛⎫⎪⎝⎭m n E O P E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=A B C PA D PB ⎛⎫ ⎪++⎝⎭2.4矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法6：(1) 列向量分法，即()1,,n A αα=，其中j β为A 的列向量.(2) 行向量分法，即1m A ββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中j β为A 的行向量.(3) 分两块，即()12,A A A =,其中1A ,2A 分别为A 的各若干列作成.或⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭12B A B ，其中1B ，2B 分别为A 的若干行作成.(4) 分四块，即1234C C A C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下：（1）单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0的n 阶方阵. （2）对角矩阵：对角线之外的元素都为0的n 阶方阵.（3）三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0的n 阶方阵. （4）对称矩阵：满足矩阵A 的转置和A 相等. （5）若尔丹（Jordan ）块：形如00010(,)000001J t λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（6） 若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：12n A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3分块矩阵及其应用3.1行列式计算的应用定理3.1.12拉普拉斯（Laplace ）定理:设在行列式D 中任意取定了k 个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k 级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例3.1.17：（爪形行列式）计算行列式：012111101001na a a a ,其中0(1,2,,)i a i n ≠=.解:设A DQ C B=,其中0()A a = 1na B a =，(1,1,,1)T C =，(1,1,,1)D =.因为0(1,2,,)i a i n ≠=，所以 B 是可逆矩阵.又易知: 1011ni i A DB C a a -=⎛⎫-=-⎪⎝⎭∑. 根据分块矩阵乘法：1100E AD A DCA E C B B CA D --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭则：1112011nn i i A DA B CA D B A DB C a a a a a C B --=⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭∑ 故：原行列式=12011nn i i a a a a a =⎛⎫- ⎪⎝⎭∑.例3.1.27：(对角行列式)计算行列式：2n adadH c bcb =.解：令a A a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，b B b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，c C c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，d D d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为n 阶方阵. 由于0a ≠,故A 为可逆方阵.又易知：1B CA D --=111b ca d b ca db ca d ---⎛⎫-⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭故112()()n n n n A DH A B CA D a b ca d ab cd C B--==-=-=-.例3.1.38：设A 、B 、C 、D 都是n 阶矩阵，证明当AC CA =时，A 可逆时，有A DAB CD C B=-证明：若A 可逆，110AD AE A D C B CB CA D OE --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故：11A DA B CA D AB ACA D AB CD C B--=-=-=-. 注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的a dab cd c b=-，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述： （1）标准型：11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩; （2）矩阵型：令ij m n A a ⨯⎡⎤=⎣⎦，'=12(,,,)n x x x x ，'=12(,,)m B b b b方程组可以表述为：Ax B =; （3）列向量型：令112111m a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，122222m a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，12n n nmn a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组又可以表述为：1122n n x x x B ααα+++=;（4）行向量型： ααα''''+++=1122n n x x x B .可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.例3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：1234123412342202220430x x x x x x x x x x x x ⎧+++=⎪+--=⎨⎪---=⎩ 解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：21251023122112214212203640123114303640000E C A O O ⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=-----= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭()2R A =，基础解系含422-=个. 而方程又满足：2112200E C O O αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 相应的可以取：25234231001C E ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫-⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎝⎭有通解：1122k k βββ=+，其中12210β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2534301β⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.例3.2.29：（非齐次线性方程组）求解方程组：1245123451234512345232133223452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧+-+=⎪--+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-+=⎩ 解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：()3r A =，而()4r A =, 故()()r A r A ≠. 从而方程组无解.事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵45450b E ⎛⎫Λ-⎪ ⎪⎝⎭进行行列变换，都不能把最后一列变成0,所以该方程组无解.例3.2.3：证明：n 阶方阵A 的秩为n-1，则()=1rank A * 首先证明此例需要利用的一个引理：引理：()ij n n A a ⨯=，()ij n n B b ⨯=，()r A r =，0AB =，则()r B n r ≤- 证明：对矩阵B 进行列向量的分块，12,(,)n B B B B =,0AB =则有：0i AB =，i B 是0AX =的解. 而0AX =基础解系有n r -个解. 故：()r B n r ≤- 再证明本例：因为()1r A n =-，则0A =，A 至少有一个1n -级子式不为零,()1rank A *≥.而：0AA A E *==.利用引理得：()1rank A *≤，故()=1rank A *. 得证.3.3求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.例3.3.16：设A 、B 是n 阶方阵，若A B +与A B -可逆，试证明：A B B A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆，并求其逆矩阵. 解：令AB D BA ⎛⎫=⎪⎝⎭，由假设知0A B +≠,0A B -≠.那么： 0A B A B B A BB D B A B A A A B++===+-0A B A B =+-≠.即D 可逆. 再令12134D D DD D -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 由1DD E -=，即：123400D D A B E BA D D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得：1312242400AD BD E BD AD AD BD BD AD E⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩将第一行和第二行相加、相减，得：113113()()D D A B D D A B --⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩ 解之得：1111()()2D A B A B --⎡⎤=++-⎣⎦,1121()()2D A B A B --⎡⎤=+--⎣⎦类似地：23D D =,41D D =. 所以：1111111111()()()()2()()()()A B A B A B A B A B BA AB A B A B A B ---------⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪⎪+--++-⎝⎭⎝⎭.例3.3.26：已知分块形矩阵0AB M C⎛⎫=⎪⎝⎭可逆，其中B 为p p ⨯块，C 为q q ⨯块，求证：B 与C 都可逆，并求1M -.解：由()01pqM B C ≠=-，则：0B ≠,0C ≠,即证B 、C 都可逆.这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆：111000000pq A BE A BEBEAC C E E C EE ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111000000E B B AC E C E C EB B AC --------⎛⎫⎛⎫-→→⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故：111110C MB B AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:例3.3.310：求矩阵101210325A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的逆矩阵.解：构造矩阵：66101100101100210010012210325001022301100000100000010000010000001000001000A E D E O ⨯⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎛⎫---==→ ⎪⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭101101011000122100122100027210027211000001010001000001000000100000100⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪--→→ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1001001001000102100102100017210027211100001010002012000011000001000100002⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪→→ ⎪-⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 所以;1151101100222011210511172171001222A -⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有时比较简单.3.4矩阵秩基本不等式矩阵理论中， 矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设A 、B 均为m n ⨯矩阵，则：()r ()()r A B A r B +≤+.（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设A 是m n ⨯矩阵 ,B 是n s ⨯矩阵，则：{}()min (),()r AB r A r B ≤.（3）()()0A B r r A r B C ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭.（4）1ij m A r A A ⎛⎫⎪≥⎪ ⎪⎝⎭.再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式 例3.4.111：（薛尔弗斯特不等式）设()ij s nA a ⨯=，()ij n mB b ⨯=，证明：()()()rank AB rank A rank B n ≥+-证明：由分块矩阵的乘积00000n nn ns m E E B E B E A E E A AB ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭知：()()()0nn E B rank rank E rank AB n rank AB A ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭. 但,()()00n n E B B E rank rank rank A rank B AA ⎛⎫⎛⎫=≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故：()()()n rank AB rank A rank B +≥+得证.备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵：(1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造00A B ⎛⎫⎪⎝⎭;(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造0A E B ⎛⎫ ⎪⎝⎭或者0AE B ⎛⎫⎪⎝⎭.具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例3.4.26：（Frobenius 不等式）设A 、B 、C 是任意3个矩阵，乘积ABC 有意义，证明：()()()()r ABC r AB r BC r B ≥+-证明：设B 是n m ⨯矩阵，()r B r = 那么存在n 阶可逆阵P ，m 阶可逆阵Q ，使000r E B P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭.把P 、Q 适当分块：(),P M S =,NQ T ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由上式有： ()0,00r E N B M S MN T ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故：()()()()r ABC r AMNC r AM r NC r =≥+- ()()()r AMN r MNC r B ≥+-()()()r AB r BC r B =+-.得证.3.5矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到， 以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：例3.5.111：设A 为m k ⨯矩阵，B 为k n ⨯矩阵，则证明：{}()+rank(B)-k rank(AB)min (),()rank A rank A rank B ≤≤证明：先证明右边的不等式，由：()0()()0knE B A A AB E =;⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭00km E B B AB A E , 可得：()rank (0)()()rank A A rank A AB rank AB ==≥; ⎛⎫⎛⎫==≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0B B rank B rank rank rank AB AB .再证左边的不等式.注意到下列事实：00000mkkk k n E A E B A AB E B E E E ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则：000kk A AB rank rank E B E ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是：0()rank ()rank ()()()k k A rank A B rank AB rank E rank AB k E B ⎛⎫+≤=-+=+⎪⎝⎭从而: ()()()rank A rank B k rank AB +-≤.这里也是用到构造矩阵的方法.例3.5.26：设n 阶矩阵A 、B 可交换，证明：()()()()rank A B rank A rank B rank AB +≤+- 解：利用分块初等变换，有：A O AB A BB O B O B BB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+→→ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为AB BA =，所以：E OA B B A B B BA B BB O AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 于是，有：()()A BB A B B rank A rank B rank rank BB OAB ⎛⎫⎛⎫+++=≥⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()rank A B rank AB ≥++.即：()()()()rank A B rank A rank B rank AB +≤+-. 得证.例3.5.3：设A 是n 阶方阵，且2()()r A r A =,证明：对任意自然数k ,有()()k r A r A =证：构造分块矩阵22A O O A ⎛⎫⎪⎝⎭，由Frobenius 不等式： 22332232()+r ()()()A O A A O A r A A r r r r A r A AA A O A O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤===+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由：2()()r A r A =所以，322()()()r A r A A r A =*≤. 故：23r ()()A r A =.由此可推得：3445()(),()(),r A r A r A r A ==.故：对任意自然数k , 有：()()k r A r A =.3.6综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例3.6.16：（特征多项式的降阶定理）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵. 证明:AB 的特征多项式()AB f λ与BA 的特征多项式()BA f λ有如下的关系：()()n m AB BA f f λλλλ=.证：先要把上式改写为：n m m n E AB E BA λλλλ-=-.用构造法，设0λ≠，令：1n mE BH AE λ=. 对11010n n n n m m E BE E B A E AE E AB λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭两边取行列式得： 11()m m m H E AB E AB λλλ=-=-. 再对11100nnnn mm E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式得：11()n n n H E BA E BA λλλ=-=-.故：11n m nmE BA E AB λλλλ-=-m n n m E BA E AB λλλλ-=-.上述等式是假设了0λ≠，但是两边均为λ的n m +次多项式，有无穷多个值使它们成立（0）λ≠，从而一定是恒等式，即证. 这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester ）公式. 以下例题是定理的应用.例 3.6.26：设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，证明：AB 与BA 有相同的非零特征值.证：由定理：m n n m E BA E AB λλλλ-=-. 设m 12s ()()()m s E AB λλλλλλλλ--=---,其中120m λλλ≠，即AB 有s 个非零特征值：12,,,s λλλ, 由上面两式,那么有：n-s 12()()()n s E BA λλλλλλλλ-=---即证BA 也只有s 个非零特征值：12,,,s λλλ.例3.6.36：设A 、B 分别是m n ⨯和n m ⨯矩阵，证明：trAB trBA =.解：由上例知，若1()()m s m s E AB a a λλλλ--=--其中120s a a a ≠.则AB 的全部特征值为111,,,0s s s m a a λλλλ+=====,且：1(-)()n s n s E BA a a λλλλ--=-.即BA 的全部特征值为:11221,,,0s n a a ττττ+=====.从而 1si itrAB a trBA ===∑.可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.结论本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.参考文献[1]上海交通大学线性代数编写组. 线性代数[M]. 高等教育出版社, 1982.[2]北京大学. 高等代数{M}. 高等教育出版社, 1998.[3]高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报, 2007(4):14-18.[4]张红玉, 魏慧敏. 矩阵的研究[M]. 山西人民出版社, 2010.[5]雷英果. 分块初等方阵及其应用[J].工科数学, 1998, 14(4):150-154.[6]钱吉林. 高等代数题解精粹(第二版)[M]. 中央民族大学出版社, 2010.[7]王莲花, 李念伟, 梁志新. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005, 14(3):12-15.[8]张贤科, 许甫华. 高等代数学[M]. 清华大学出版社, 1998:91-96.[9]杨子胥. 高等代数习题集[M]. 山东科学技术出版社, 1981.[10]鲁翠仙. 分块矩阵在求矩阵逆的应用[D]. 云南:云南大学数学系数学研究所, 2009：14-15.[11]刘丁酉. 高等代数习题精解[M].中国科学技术大学出版社, 1999.。
分块矩阵的简单应用综述
分块矩阵的简单应用摘要矩阵是高等代数中的一个重要概念，也是高等数学很多分支研究问题的工具。
而把一个比较大的矩阵分成若干子块，构成分块矩阵是处理矩阵问题的重要技巧。
分块矩阵思想来源于对矩阵运算复杂度及存储空间的考虑。
特别当矩阵太大不适合存储在计算机内存中的时候，通过分块矩阵允许计算机每次只处理存储在内存中几个子矩阵，支持向量传输结构的向量计算机能够更加高效地运行支持分块矩阵的矩阵算法。
分块矩阵可以降低矩阵的阶数，使矩阵更加条理清晰，使得矩阵的相关运算简单化，并使矩阵证明方面的相关问题得以便捷的解决。
本文重点就分块矩阵的定义、分块方法、基本运算，行列式和求逆矩阵的计算，以及关于矩阵的秩的方面的证明问题进行了分析。
使用了大量的例题说明了分块矩阵的技巧可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化。
所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。
关键词：矩阵；分块矩阵；子矩阵The Sample Application Of Block MatrixABSTRACTMatrix is an important concept in high algebra, but also an instrument for research of many filiation in high algebra. And the means of dividing a large-scale matrix up into some small one is a main skill to resolve the question of matrix. The idea of partitioned matrix comes of the advisement to the complexity of matrix's calculate and the unit of space.Especially,when the matrix is too large to save in the EMS memory, the computer which support the network management vector transport can take order with the partitioned matrix algorithm in high efficiency, with the partitioned matrix permit the computer only deal with the submatrix that store in the EMS memory every time.Theory about block matrix could be used to decline high order matrix and make it clearer and easier to calculate and prove some problems about matrix. This paper focuses on the problems of the concept of block matrix, and the numeration of square matrixand the proof of matrix. It shows the convenience of the block matrix in the problems of matrix and high algebra by making use of a number of examples. It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.Keywords：matrix；block matrix ；submatrix目录目录....................................................................................................... I II1. 绪论 (1)2. 分块矩阵的基本概念 (4)2.1 定义 (4)2.2 分块矩阵的运算 (4)2.2.1加法与数量乘法运算 (4)2.2.2乘法运算 (5)2.2.3转置运算 (5)2.3分块矩阵的初等变换 (6)2.3.1定义 (6)2.3.2运算 (6)3. 分块矩阵在计算方面的应用 (10)3.1 行列式计算 (10)3.1.1 引理 (10)3.1.2 定理及几条推论 (10)3.2 求逆矩阵 (15)3.2.1 块对角矩阵 (15)3.2.2 一般的非奇异矩阵的逆矩阵 (17)3.3解线性方程组 (20)3.3.1齐次线性方程组 (20)3.3.2非齐次线性方程组 (22)4. 分块矩阵在证明方面的应用 (24)4.1有关矩阵的秩的证明 (24)结论 (27)致谢 (28)参考文献 (29)1. 绪论矩阵（Matrix ）本意是控制中心的母体、孕育生命的地方。
分块矩阵在行列式计算中的应用
分块矩阵在行列式计算中的应用一、分块矩阵的定义和性质分块矩阵是将一个矩阵按照行和列进行分块的一种表示方式。
假设有一个m×n的矩阵A可以被分成k行l列的分块矩阵，则可表示为：A=[A₁₁A₁₂…A₁lA₂₁…A₂l...Ak₁ Ak₂ … Akl]其中，每个Aij都是一个子矩阵。
分块矩阵有以下重要性质：1.行列式的乘积可以转化为分块矩阵的行列式之积。
例如，设有两个分块矩阵A和B，它们的行列式分别为，A，和，B，则有：AB，=，A，B2.分块矩阵可以简化行列式的计算。
将一个大矩阵按照一定规则分为几个子矩阵后，可以通过计算子矩阵的行列式来获得原矩阵的行列式，从而简化了计算过程。
1.初等行列变换2.求逆矩阵对于分块矩阵，其逆矩阵的计算也可以通过分块的方式进行。
设A为可逆矩阵，其分块矩阵表示为：A=[A₁₁A₁₂A₂₁A₂₂]若A₁₁为可逆矩阵，则其逆矩阵可以表示为：A^(-1)=[A₁₁^(-1)-A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₁^(-1)A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₂^(-1)]其中A₁₁^(-1)、A₂₂^(-1)和A₁₁^(-2)A₁₂A₂₂^(-1)都是子矩阵的逆矩阵。
3.计算特殊类型的行列式在计算特定类型的行列式时，分块矩阵的应用可以简化计算过程。
例如，计算拟对角行列式时，可以使用分块矩阵的方式将矩阵分解成多个对角块，然后分别计算每个对角块的行列式之积。
4.计算特定型的行列式分块矩阵的应用还可以用于计算特定型的行列式。
例如，计算置换矩阵的行列式时，可以将矩阵按行、列进行分块，然后计算每个子矩阵的行列式，最后通过乘法和加法运算得到最终的行列式。
以上仅是分块矩阵在行列式计算中的一些常见应用，实际上分块矩阵在线性代数的其他领域也有广泛的应用，如特征值和特征向量的计算、线性方程组的求解等。
熟练掌握分块矩阵的定义、性质和应用可以提高行列式计算的效率，并且对于理解线性代数中的其他概念和方法也具有重要意义。
分块矩阵及其应用
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概述
本文先介绍了分块矩阵的概念、运算，几类特殊的分块矩阵， 接着讨论了分块矩阵的初等变换，介绍了分块初等矩阵及其性质， 最后举例说明了分块矩阵在高等代数中的很多计算和证明问题中 的应用。
3. 两种特殊的分块矩阵 （1） 分块对角矩阵 设A为n阶方阵，若A的分块矩阵在非主对角线上的子块皆为零 矩阵，在主对角线上存在非零子矩阵，则称A为分块对角矩阵。 （2） 分块上（下）三角形矩阵 设A为n阶方阵，若A的分块矩阵的主对角线左下（右上）方的 子矩阵均为零矩阵，则称A为上（下）三角形矩阵。 4. 分块矩阵的初等变换 以下三种变换称为分块矩阵A的初等行变换： （1）对调A的某两行； （2）用一个可逆阵K左乘或右乘A的某一行的所有子矩阵； （3）将A的某一行的所有子块矩阵左乘或右乘一个矩阵K再加到另 一行的对应子矩阵上去。 分块矩阵的初等行变换和初等列变换合称为分块矩阵的初等变换。
谢谢观看
7.在证明矩阵秩的问题中的应用 以下是需要证明的ห้องสมุดไป่ตู้题： （1）秩
A O O B
=秩A+秩B。
（2）设A，B都是m×n矩阵，则秩（A+B）≤秩A+秩B。 （3）设A，B都是n阶方阵，则秩（AB+A+B）≤秩A+秩B。
A B ≤秩A+秩B。 （4）设A，B都是m×n矩阵，则秩（A+B）≤秩
（5）设A，B，C都是n阶方阵，则秩AB+秩BC≤秩B+秩ABC。
（6）设A，B都是n阶方阵，则秩（AB-E）≤秩（A-E）+秩（A-E）。
论文的不足
分块矩阵是数学在多个领域中的研究工具，与其相关的 内容很多，由于本人知识水平有限，时间有限，所以很多内 容不能一一列举。
高等代数第七节分块矩阵
0 1 b
,
a 0 0 0
B
1 0
a 0
0 b
0 0
0 0 1 b
求 A B, ABA.
解 将 A, B分块
a 1 0 0
A
0 0
0
a 0 0
0 b 1
0 1 b
A1 0
0 ,
A2
a
A1
0
其中
b
A2
1
1 , a 1 ; b
a
B
1 0
0
0 a 0 0
0 0 b 1
0
0 0
*
(
)
A A* 0
(A )
;
0 B B *
B B* 0
(B )
0 A A*
A B* 0
(C )
0 B A*
B A* 0
(D )
0 A B *
分析：根据伴随矩阵公式CC* C E;C* C C 1,由已知分别求C
与C 1即可
2.应用于矩阵的一些运算
解 ：C * C C 1, C A 0
Q1B
B1 B2
，B1是u n矩阵，B2是k
u n矩阵,
则
R AB R PAQ Q1B
R
Iu O
O O
B1 B2
R
B1 O
R
B1
3.矩阵秩的不等式证明
另一方面,
RB R
Q1B
R
B1 B2
由秩的不等式性质：
R AB R B1 ≥R B R B2
A2
B2
b 1
1 b b 1
0 2b b 2
1 , 2b
研究矩阵分块的方法及应用
研究矩阵分块的方法及应用矩阵分块（Matrix Partition）是一种将一个大矩阵分割成若干个块或子矩阵的方法。
这种方法在许多数学和工程应用中非常有用，因为它可以简化复杂的矩阵运算，并提供更高效的算法和快速的计算。
矩阵分块的方法具有广泛的应用，包括线性代数、微积分、信号处理、图像处理、统计学、优化等领域。
矩阵分块的方法可以根据不同的目的和要求采用不同的策略和分块方式。
一般来说，矩阵分块的方法分为两种类型：按行分块和按列分块。
按行分块是将矩阵按照横向划分为若干行向量子矩阵，而按列分块则是将矩阵按照纵向划分为若干列向量子矩阵。
除了按行和按列划分外，还可以将矩阵按照主对角线、次对角线、对称轴等方式进行分块。
矩阵分块的方法可以大大简化复杂的矩阵运算，使得问题的求解更加直观和高效。
一种常见的应用是矩阵乘法。
对于两个大型矩阵相乘的情况，采用普通的矩阵乘法算法的计算复杂度很高，但通过将大矩阵分块成若干小块矩阵，可以采用并行计算的方式，提高计算效率。
另一个常见的应用是矩阵求逆。
对于大型矩阵求逆的计算复杂度很高，并且可能出现数值不稳定的问题。
通过将大矩阵分块成若干小块矩阵，可以使用分块逆矩阵的方法来计算整体矩阵的逆矩阵，从而提高计算的稳定性和效率。
矩阵分块的方法还广泛应用于图像处理和信号处理领域。
在这些领域中，矩阵表示图像或信号的数据，通过将大矩阵分块为若干小块，可以对局部区域进行处理，从而实现对整体数据的处理和分析。
例如，对图像进行滤波操作时，可以将图像分为若干小块，分别进行滤波处理，然后将处理后的小块矩阵合并成一个大矩阵，从而得到滤波后的图像。
此外，矩阵分块的方法还可以应用于线性代数的求解和优化问题。
例如，在解线性方程组时，可以将系数矩阵和右侧向量分块，从而将问题分解为多个小规模的子问题，通过求解这些子问题，最终获得整个线性方程组的解。
类似地，在优化问题中，可以通过将大矩阵分块为若干小块，将复杂的优化问题分解为多个简单的子问题，从而更高效地求解问题。
第四节 分块矩阵
1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
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A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
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例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
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结束
分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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分块矩阵的知识点
分块矩阵的知识点分块矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和矩阵分析中扮演着关键角色。
分块矩阵将一个大的矩阵划分为若干个小的子矩阵，从而简化了复杂的矩阵运算和计算过程。
本文将介绍分块矩阵的基本概念、构造方式以及在矩阵运算中的应用。
1.分块矩阵的定义分块矩阵是由若干个小的子矩阵组成的大矩阵。
这些子矩阵可以是任意大小和形状，而且它们可以是实数矩阵或复数矩阵。
分块矩阵可以表示为如下形式：A=[A11A12A21A22]其中A ij表示分块矩阵A的第i行第j列的子矩阵。
2.分块矩阵的构造方式分块矩阵的构造方式有多种，常见的有水平分块和垂直分块两种方式。
–水平分块：将大矩阵按行划分为若干个子矩阵。
例如，将一个m×n的矩阵划分为两个子矩阵A1和A2，则可以表示为：A=[A1A2]–垂直分块：将大矩阵按列划分为若干个子矩阵。
例如，将一个m×n的矩阵划分为两个子矩阵A1和A2，则可以表示为：A=[A1A2]分块矩阵的构造方式可以根据实际问题的需求选择，不同的构造方式对于矩阵运算的简化程度有所差异。
3.分块矩阵的运算分块矩阵的运算可以通过对子矩阵进行逐个操作来完成。
常见的分块矩阵运算包括矩阵的加法、乘法和转置。
–矩阵的加法：对应位置的子矩阵进行相加。
例如，对于两个分块矩阵A和B，其加法运算可以表示为：A+B=[A11+B11A12+B12A21+B21A22+B22]–矩阵的乘法：通过子矩阵的乘法和求和得到结果。
例如，对于两个分块矩阵A和B，其乘法运算可以表示为：AB=[A11B11+A12B21A11B12+A12B22 A21B11+A22B21A21B12+A22B22]–矩阵的转置：将子矩阵沿主对角线进行交换。
例如，对于一个分块矩阵A，其转置运算可以表示为：A T=[A11T A21TA12T A22T]通过分块矩阵的运算，可以简化矩阵运算的复杂度，提高计算效率。
4.分块矩阵的应用分块矩阵在各个领域中都有广泛的应用，特别是在数值计算和矩阵分析中。
浅谈分块矩阵的性质及应用
浅谈分块矩阵的性质及应用摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。
解线性方程组，矩阵得知逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。
关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换On the nature of block matrix and its applicationAbstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of other relative matrix rank and elementary matrix.Key word s: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言：矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。
1.预备知识：1.1分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。
1.2分块矩阵的运算：1.2.1分块矩阵的加法：设分块矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有A=1111n m mn A A A A ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭，1111n m mn B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中ij A 与ij B 的行数相同，列数相同，那么A+B=111111111n n m m n mn A B A B A BA B ++⎛⎫⎪⎪ ⎪++⎝⎭1.2.2分块矩阵与数的乘法：A=1111n m mn A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭,1111n m mn A A A A A λλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1.2.3设A 为m l ⨯矩阵，B 为l n ⨯矩阵，分块成11111111t r s st t tr A A B B A B A A B B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中1i A ，2i A ……，it A 的列数分别等于1j B ，2j B ……，tj B 的行数，那么1111r s sr C C AB C C ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，其中1tij ik ik k C A B ==∑(i=1……s ；j=1，……，r)1.2.4设1111t s st A A A A A ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，则1111T T t TT T s st A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2. 分块矩阵的性质及应用：2.1 分块矩阵的性质：设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即A=100n A A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中i A （i=1，2……，s ）都是方阵，那么称A 为分块对角矩阵，分块矩阵的行列式一般据有下列性质12s A A A A =，由此性质可知，若i A ≠0(1,2i s =)则A 0≠，并有11110s A A A ---⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭例：设A=500031021⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 求1A -解：500031021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=1100A A ⎛⎫⎪⎝⎭，其中()11115,5A A -⎛⎫== ⎪⎝⎭，23121A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121123A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以11005011023A -⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 2.2 将分块矩阵与初等变换结合在矩阵运算及球逆矩阵中具有重要作用：现将某个单位矩阵如下进行分块：00mn EE ⎛⎫⎪⎝⎭对其进行行（列）对换等作用，可得到如下类型一些矩阵：0000,,,,0000n m mmm n n n E P E P E E E E E P E P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭用这些矩阵左乘或右乘任一个分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭，只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换，如0mn EA B A B PE C D C PA D PB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，适当选择P 可使C PA +=0，例如A 可逆时，选1P CA -=-则0C PA +=，于是上式的右端可成为10A B D CA B -⎛⎫⎪-⎝⎭，其在求逆矩阵方面是非常有用的，例1：0A T C D ⎛⎫=⎪⎝⎭，A D 可逆，求1T -解：由10000mn E A A CA E C D D -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭及1110000A A D D ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易知11100A TD ---⎛⎫= ⎪⎝⎭10m n E CA E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭=11110A D CA D ----⎛⎫⎪-⎝⎭例2：1A B T C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设T 可逆，D 可逆，试证11()A BD C ---存在，并求11T -解：由10mn A B E BD C D E -⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10A BD CCD -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而又端仍可逆故11()A BD C ---存在再由上题例1可知11111111()0()A BD C T D C A BD C D -------⎛⎫-= ⎪--⎝⎭10m n E BD E -⎛⎫- ⎪⎝⎭=111111111111()()()()m m A BD C E A BD C BD D C A BD C E D C A BD C BD D ------------⎛⎫---= ⎪---+⎝⎭2．3分块矩阵在证明关于矩阵乘积的秩的定理中的作用：例：设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P m s ⨯上矩阵，于是秩（ＡＢ）min ≤秩（Ａ），秩（Ｂ），即乘积的秩不超过各因子的秩证明：只需证明秩()AB ≤秩()B ，同时秩()AB ≤秩()A ，分别证明这两个不等式设1112121222123m m n n n a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，111212122212s s m m ms b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭令12,,,m B B B 表示Ｂ的行向量（即对Ｂ进行分块）12,,,n C C C 表示AB 的行向量，由计算可知，i C 的第j 个分量和1122i i im m a B a B a B +++的第j 的分量都等于1mik kj k a b =∑，因而()11221,2,,i i i im m C a B a B a B i n =+++=即矩阵AB 的行向量组12,,,n C C C 可经由B 的行向量组线性表示出所以AB 的秩不能超过B 的秩，即秩()AB ≤秩()B同样，令12,,,m A A A 表示A 的列向量，12,,,s D D D 表示AB 的列向量，由计算可知，()11221,2,,i i i mi m D b A b A b A i s =+++=这个式子表明，矩阵AB 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示出，因而前者的秩不仅＼可能超过后者的秩，这就是说秩()AB ≤秩()A（注：在此证明中用分块矩阵的方法，即12m B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭这就是B 的一种分块，按分块相乘就有111122121122221122m m m m n n nm m a B a B a B a B a B a B AB a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪= ⎪⎪+++⎝⎭很容易看出AB 的行向量是B 的行向量的线性组合） ２.４ 分块矩阵在线性方程组方面的应用对于线性方程组11112211211222221112n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 记()ij A a =，12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12m b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，11121112n m m mnm a a a b B a a a b ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，A 为系数矩阵，X 为未知向量，b 为常数项向量，B 为增广矩阵按分块矩阵记法可记为()B A b =或(),B A b =此方程也可记为AX b =，把系数矩阵A 按行分成m 块，则AX b =可记做12m A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭X ＝12m b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭把系数矩阵A 按列分成n 块，则与相乘的X 对应按行分成n 块，记作()12,,,n ααα 12n x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭b =，即1122n n x x x b ααα+++=，其都为线性方程组的各种变形形式，在求解过程中变形以更方便快捷例：利用分块矩阵证明克拉默法则：对于n 个变量n 个方程线性方程组11112211211222221112n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩如果他的系数行列式0D ≠，则它有唯一解，即()()1122111,2,,j j j j n nj x D b A b A b A j n D D==+++=证明把方程组改写成矩阵方程AX b =，这里()ijn nA a ⨯=为n 阶矩阵，因0A D =≠，故1A -存在，令1X A b -=，有1AX AA b -=表明1X A b -=是方程组的解向量，由Ax b = ，有11A AX A b --= ，即1X A b -=，根据逆矩阵的唯一性，知1X A b -=是方程的唯一解向量，由逆矩阵公式11A A A-*=，有11x A b A b D-*==即111211111122112122222112222212112211n n n n n n n n nnn n n n n nn x A A A b b A b A b A x A A A b b A b A b A D D x A A A b b A b A b A +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()()1122111,2,,j j j n nj j x b A b A b A D j n D D=+++==结束语：矩阵得分快不算是一个抽象的概念，我们能够清楚的了解知道并掌握它的概念及性质，进而能够灵活的运用，这样对我们今后的学习与研究都会有很大的帮助。
分块矩阵的定义及应用
分块矩阵的定义及应用分块矩阵，也称为块矩阵或子矩阵，是由多个小矩阵按照一定规则排列所组成的矩阵。
它的特点是矩阵中的各个元素被分成了若干个块，每个块是一个分离的矩阵。
分块矩阵的形式可以写为：A = [A11 A12 (1)A21 A22 (2)... ... ... ...An1 An2 ... Anm]其中，A11、A12、...、A1m是行向量组成的矩阵；A21、A22、...、A2m是行向量组成的矩阵；...；An1、An2、...、Anm是行向量组成的矩阵。
每一个Aij 都表示一个分块矩阵，大小及形状可以不同。
分块矩阵的应用非常广泛，主要体现在以下几个方面：1. 线性方程组求解：分块矩阵可以用于解决大规模线性方程组的求解问题。
通过将系数矩阵分块，可以降低计算复杂度，并且可以通过并行计算来提高求解效率。
2. 矩阵乘法加速：分块矩阵可以用于加速矩阵乘法运算。
将矩阵分块后，可以利用并行计算的优势，同时进行多个小矩阵的乘法运算，从而提高运算效率。
3. 特征值计算：分块矩阵可以用于求解大型矩阵的特征值和特征向量。
通过分块矩阵的分解，可以降低计算复杂度，并且可以采用迭代方法进行求解，从而提高求解效率。
4. 矩阵的逆和广义逆：分块矩阵可以用于求解矩阵的逆和广义逆。
通过分块矩阵的分解，可以减小计算量，并且可以采用迭代方法进行求解，从而提高求解效率。
5. 随机矩阵的分析：分块矩阵可以用于随机矩阵的分析。
通过分块矩阵的分解，可以对矩阵的结构和随机性进行分析，从而研究矩阵的统计特性和性质。
除了上述应用之外，分块矩阵还可以用于矩阵的分解、正交化、正则化等问题的求解。
分块矩阵的应用不仅仅局限于数学领域，也被广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
总之，分块矩阵是将大型矩阵拆分为多个小矩阵，通过分块的方式来简化复杂的计算问题。
它在线性方程组求解、矩阵乘法加速、特征值计算、矩阵逆和广义逆求解、随机矩阵分析等方面有着广泛的应用。
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分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix1 引言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义1.11 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把m n ⨯矩阵分割为如下形式的矩阵：m nA ⨯=1111n m mn A A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭特别地，对于单位矩阵分块：n nE ⨯=11000000nn E E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的ijA所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2 分块矩阵2.1矩阵的相关概念在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.定义2.1.1[2] n 级行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j jnj a a a 的代数和，这一定义又可写成:111212122212n n n n nna a a a a a a a a =()()121212121n n nj j j j jnj j j ja a a τ-∑.定义 2.1.22向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.定义2.1.32 n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB BA E ==（这里E 是n 级单位矩阵），那么B 就称为A 的逆矩阵，记为1A -. 定义2.1.43对分块矩阵施行下列三种初等变换：(1) 互换分块矩阵的某两行(列)；(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上， 分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换.定义2.1.53 对m n +阶单位矩阵作22⨯分块，即m n I +=mn IO O I ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，然后对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：(1) 分块初等对换阵nm I O OI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；(2) 分块初等倍乘阵0n P O I ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0mI O Q ⎛⎫⎪⎝⎭；(3) 分块初等倍加阵1mn I R OI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，m n I O SI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭； 其中P ,Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且1m nR R ⨯∈，n m S R ⨯∈为非零阵.2.2矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质：定义2.2.14 矩阵加法：设()=ij sn A a ， ()=ij snB b 是两个同型矩阵，则矩阵()ij sn C c ==()ij ij sn a b +称为A 和B 的和，记为C A B =+.元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为sn O ，可简单记为O ,对于矩阵A 、B ，有:(1) A O A += (2) ()0A A +-= (3) ()A B A B -=+- (4) ()()A B C A B C ++=++(5)A B B A +=+定义2.2.24 矩阵乘法：设()=ik sn A a ，()=kj nm B b 是两个不同型矩阵，那么矩阵()ij smC AB c ==，称为矩阵A 与B 的乘积，其中：11221nij i j i j in nj ik kj kc a b a b a b a b ==++=∑ 在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质： (1) ()A B C AB AC +=+ (2) ()B C A BA CA +=+ (3) ()()AB D A BD =定义2.2.34矩阵数乘：111212122212n n s s sn ka ka ka ka ka ka kaka ka ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵()ij sn A a =与数k 的数量乘积，记为kA ，有以下性质：(1) 1A A *=；(2) ()()k lA kl A =; (3) ()k A B kA kB +=+; (4) ()k l A kA lA +=+; (5) ()k A B kA kB +=+.2.3分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设A 、B 是m n ⨯矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：加法：11111111t t s s st st A B A B A B A B A B ⎛⎫++ ⎪⎪+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭. 乘法：C AB =, 其中：11221nij i j i j in nj ik kj kC A B A B A B A B ==+++=∑.数乘：1111t s st kA kA kA kA kA ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质： 定义2.3.12 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1) 互换矩阵E 的i 行与j 行的位置; (2) 用数域P 中的非零数c 乘E 的i 行; (3) 把矩阵E 的j 行的k 倍加到i 行. 定义2.3.25将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1) 对调两块同阶的块所在的行或列; (2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对 应分块矩阵：m nO E E O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=C D A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭n PO OE ⎛⎫ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=PA PB C D ⎛⎫⎪⎝⎭m n E O P E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=A B C PA D PB ⎛⎫ ⎪++⎝⎭2.4矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法6：(1) 列向量分法，即()1,,n A αα=，其中j β为A 的列向量.(2) 行向量分法，即1m A ββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中j β为A 的行向量.(3) 分两块，即()12,A A A =,其中1A ,2A 分别为A 的各若干列作成.或⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭12B A B ，其中1B ，2B 分别为A 的若干行作成.(4) 分四块，即1234C C A C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下：（1）单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0的n 阶方阵. （2）对角矩阵：对角线之外的元素都为0的n 阶方阵.（3）三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0的n 阶方阵. （4）对称矩阵：满足矩阵A 的转置和A 相等. （5）若尔丹（Jordan ）块：形如00010(,)000001J t λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（6） 若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：12n A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3分块矩阵及其应用3.1行列式计算的应用定理3.1.12拉普拉斯（Laplace ）定理:设在行列式D 中任意取定了k 个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k 级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例3.1.17：（爪形行列式）计算行列式：012111101001na a a a ,其中0(1,2,,)i a i n ≠=.解:设A DQ C B=,其中0()A a = 1na B a =，(1,1,,1)T C =，(1,1,,1)D =.因为0(1,2,,)i a i n ≠=，所以 B 是可逆矩阵.又易知: 1011ni i A DB C a a -=⎛⎫-=-⎪⎝⎭∑. 根据分块矩阵乘法：1100E AD A DCA E C B B CA D --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭则：1112011nn i i A DA B CA D B A DB C a a a a a C B --=⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭∑ 故：原行列式=12011nn i i a a a a a =⎛⎫- ⎪⎝⎭∑.例3.1.27：(对角行列式)计算行列式：2n adadH c bcb =.解：令a A a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，b B b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，c C c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，d D d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为n 阶方阵. 由于0a ≠,故A 为可逆方阵.又易知：1B CA D --=111b ca d b ca db ca d ---⎛⎫-⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭故112()()n n n n A DH A B CA D a b ca d ab cd C B--==-=-=-.例3.1.38：设A 、B 、C 、D 都是n 阶矩阵，证明当AC CA =时，A 可逆时，有A DAB CD C B=-证明：若A 可逆，110AD AE A D C B CB CA D OE --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故：11A DA B CA D AB ACA D AB CD C B--=-=-=-. 注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的a dab cd c b=-，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述： （1）标准型：11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩; （2）矩阵型：令ij m n A a ⨯⎡⎤=⎣⎦，'=12(,,,)n x x x x ，'=12(,,)m B b b b方程组可以表述为：Ax B =; （3）列向量型：令112111m a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，122222m a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，12n n nmn a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组又可以表述为：1122n n x x x B ααα+++=;（4）行向量型： ααα''''+++=1122n n x x x B .可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.例3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：1234123412342202220430x x x x x x x x x x x x ⎧+++=⎪+--=⎨⎪---=⎩ 解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：21251023122112214212203640123114303640000E C A O O ⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=-----= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭()2R A =，基础解系含422-=个. 而方程又满足：2112200E C O O αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 相应的可以取：25234231001C E ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫-⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎝⎭有通解：1122k k βββ=+，其中12210β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2534301β⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.例3.2.29：（非齐次线性方程组）求解方程组：1245123451234512345232133223452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧+-+=⎪--+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-+=⎩ 解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：()3r A =，而()4r A =, 故()()r A r A ≠. 从而方程组无解.事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵45450b E ⎛⎫Λ-⎪ ⎪⎝⎭进行行列变换，都不能把最后一列变成0,所以该方程组无解.例3.2.3：证明：n 阶方阵A 的秩为n-1，则()=1rank A * 首先证明此例需要利用的一个引理：引理：()ij n n A a ⨯=，()ij n n B b ⨯=，()r A r =，0AB =，则()r B n r ≤- 证明：对矩阵B 进行列向量的分块，12,(,)n B B B B =,0AB =则有：0i AB =，i B 是0AX =的解. 而0AX =基础解系有n r -个解. 故：()r B n r ≤- 再证明本例：因为()1r A n =-，则0A =，A 至少有一个1n -级子式不为零,()1rank A *≥.而：0AA A E *==.利用引理得：()1rank A *≤，故()=1rank A *. 得证.3.3求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.例3.3.16：设A 、B 是n 阶方阵，若A B +与A B -可逆，试证明：A B B A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆，并求其逆矩阵. 解：令AB D BA ⎛⎫=⎪⎝⎭，由假设知0A B +≠,0A B -≠.那么： 0A B A B B A BB D B A B A A A B++===+-0A B A B =+-≠.即D 可逆. 再令12134D D DD D -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 由1DD E -=，即：123400D D A B E BA D D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得：1312242400AD BD E BD AD AD BD BD AD E⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩将第一行和第二行相加、相减，得：113113()()D D A B D D A B --⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩ 解之得：1111()()2D A B A B --⎡⎤=++-⎣⎦,1121()()2D A B A B --⎡⎤=+--⎣⎦类似地：23D D =,41D D =. 所以：1111111111()()()()2()()()()A B A B A B A B A B BA AB A B A B A B ---------⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪⎪+--++-⎝⎭⎝⎭.例3.3.26：已知分块形矩阵0AB M C⎛⎫=⎪⎝⎭可逆，其中B 为p p ⨯块，C 为q q ⨯块，求证：B 与C 都可逆，并求1M -.解：由()01pqM B C ≠=-，则：0B ≠,0C ≠,即证B 、C 都可逆.这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆：111000000pq A BE A BEBEAC C E E C EE ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111000000E B B AC E C E C EB B AC --------⎛⎫⎛⎫-→→⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故：111110C MB B AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:例3.3.310：求矩阵101210325A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的逆矩阵.解：构造矩阵：66101100101100210010012210325001022301100000100000010000010000001000001000A E D E O ⨯⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎛⎫---==→ ⎪⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭101101011000122100122100027210027211000001010001000001000000100000100⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪--→→ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1001001001000102100102100017210027211100001010002012000011000001000100002⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪→→ ⎪-⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 所以;1151101100222011210511172171001222A -⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有时比较简单.3.4矩阵秩基本不等式矩阵理论中， 矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设A 、B 均为m n ⨯矩阵，则：()r ()()r A B A r B +≤+.（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设A 是m n ⨯矩阵 ,B 是n s ⨯矩阵，则：{}()min (),()r AB r A r B ≤.（3）()()0A B r r A r B C ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭.（4）1ij m A r A A ⎛⎫⎪≥⎪ ⎪⎝⎭.再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式 例3.4.111：（薛尔弗斯特不等式）设()ij s nA a ⨯=，()ij n mB b ⨯=，证明：()()()rank AB rank A rank B n ≥+-证明：由分块矩阵的乘积00000n nn ns m E E B E B E A E E A AB ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭知：()()()0nn E B rank rank E rank AB n rank AB A ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭. 但,()()00n n E B B E rank rank rank A rank B AA ⎛⎫⎛⎫=≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故：()()()n rank AB rank A rank B +≥+得证.备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵：(1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造00A B ⎛⎫⎪⎝⎭;(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造0A E B ⎛⎫ ⎪⎝⎭或者0AE B ⎛⎫⎪⎝⎭.具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例3.4.26：（Frobenius 不等式）设A 、B 、C 是任意3个矩阵，乘积ABC 有意义，证明：()()()()r ABC r AB r BC r B ≥+-证明：设B 是n m ⨯矩阵，()r B r = 那么存在n 阶可逆阵P ，m 阶可逆阵Q ，使000r E B P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭.把P 、Q 适当分块：(),P M S =,NQ T ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由上式有： ()0,00r E N B M S MN T ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故：()()()()r ABC r AMNC r AM r NC r =≥+- ()()()r AMN r MNC r B ≥+-()()()r AB r BC r B =+-.得证.3.5矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到， 以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：例3.5.111：设A 为m k ⨯矩阵，B 为k n ⨯矩阵，则证明：{}()+rank(B)-k rank(AB)min (),()rank A rank A rank B ≤≤证明：先证明右边的不等式，由：()0()()0knE B A A AB E =;⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭00km E B B AB A E , 可得：()rank (0)()()rank A A rank A AB rank AB ==≥; ⎛⎫⎛⎫==≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0B B rank B rank rank rank AB AB .再证左边的不等式.注意到下列事实：00000mkkk k n E A E B A AB E B E E E ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则：000kk A AB rank rank E B E ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是：0()rank ()rank ()()()k k A rank A B rank AB rank E rank AB k E B ⎛⎫+≤=-+=+⎪⎝⎭从而: ()()()rank A rank B k rank AB +-≤.这里也是用到构造矩阵的方法.例3.5.26：设n 阶矩阵A 、B 可交换，证明：()()()()rank A B rank A rank B rank AB +≤+- 解：利用分块初等变换，有：A O AB A BB O B O B BB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+→→ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为AB BA =，所以：E OA B B A B B BA B BB O AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 于是，有：()()A BB A B B rank A rank B rank rank BB OAB ⎛⎫⎛⎫+++=≥⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()rank A B rank AB ≥++.即：()()()()rank A B rank A rank B rank AB +≤+-. 得证.例3.5.3：设A 是n 阶方阵，且2()()r A r A =,证明：对任意自然数k ,有()()k r A r A =证：构造分块矩阵22A O O A ⎛⎫⎪⎝⎭，由Frobenius 不等式： 22332232()+r ()()()A O A A O A r A A r r r r A r A AA A O A O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤===+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由：2()()r A r A =所以，322()()()r A r A A r A =*≤. 故：23r ()()A r A =.由此可推得：3445()(),()(),r A r A r A r A ==.故：对任意自然数k , 有：()()k r A r A =.3.6综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例3.6.16：（特征多项式的降阶定理）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵. 证明:AB 的特征多项式()AB f λ与BA 的特征多项式()BA f λ有如下的关系：()()n m AB BA f f λλλλ=.证：先要把上式改写为：n m m n E AB E BA λλλλ-=-.用构造法，设0λ≠，令：1n mE BH AE λ=. 对11010n n n n m m E BE E B A E AE E AB λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭两边取行列式得： 11()m m m H E AB E AB λλλ=-=-. 再对11100nnnn mm E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式得：11()n n n H E BA E BA λλλ=-=-.故：11n m nmE BA E AB λλλλ-=-m n n m E BA E AB λλλλ-=-.上述等式是假设了0λ≠，但是两边均为λ的n m +次多项式，有无穷多个值使它们成立（0）λ≠，从而一定是恒等式，即证. 这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester ）公式. 以下例题是定理的应用.例 3.6.26：设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，证明：AB 与BA 有相同的非零特征值.证：由定理：m n n m E BA E AB λλλλ-=-. 设m 12s ()()()m s E AB λλλλλλλλ--=---,其中120m λλλ≠，即AB 有s 个非零特征值：12,,,s λλλ, 由上面两式,那么有：n-s 12()()()n s E BA λλλλλλλλ-=---即证BA 也只有s 个非零特征值：12,,,s λλλ.例3.6.36：设A 、B 分别是m n ⨯和n m ⨯矩阵，证明：trAB trBA =.解：由上例知，若1()()m s m s E AB a a λλλλ--=--其中120s a a a ≠.则AB 的全部特征值为111,,,0s s s m a a λλλλ+=====,且：1(-)()n s n s E BA a a λλλλ--=-.即BA 的全部特征值为:11221,,,0s n a a ττττ+=====.从而 1si itrAB a trBA ===∑.可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.结论本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.参考文献[1]上海交通大学线性代数编写组. 线性代数[M]. 高等教育出版社, 1982.[2]北京大学. 高等代数{M}. 高等教育出版社, 1998.[3]高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报, 2007(4):14-18.[4]张红玉, 魏慧敏. 矩阵的研究[M]. 山西人民出版社, 2010.[5]雷英果. 分块初等方阵及其应用[J].工科数学, 1998, 14(4):150-154.[6]钱吉林. 高等代数题解精粹(第二版)[M]. 中央民族大学出版社, 2010.[7]王莲花, 李念伟, 梁志新. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005, 14(3):12-15.[8]张贤科, 许甫华. 高等代数学[M]. 清华大学出版社, 1998:91-96.[9]杨子胥. 高等代数习题集[M]. 山东科学技术出版社, 1981.[10]鲁翠仙. 分块矩阵在求矩阵逆的应用[D]. 云南:云南大学数学系数学研究所, 2009：14-15.[11]刘丁酉. 高等代数习题精解[M].中国科学技术大学出版社, 1999.。