第四章 系统运动的稳定性

H 0
在H邻域内，若对任意给定的 均有
，
含义：首先选择一个域S()，对应于每 一个S()，必存在一个域S()，使得当t 趋于无穷时，始于S()的轨迹总不脱离 域S()，反映出状态运动的有界性。
注意：此定义仅要求状态轨迹位于S() 域内，并不要求它逼近平衡状态，所 以它容许在平衡状态附近存在连续振 荡，其状态轨迹是一条被称为极限环 的闭合回路，极限环反映了振荡频率 和振荡幅度。
述定义中，实数 与t0无关，则此时平
衡状态称为一致渐近稳定的。
直观含义：第一点平衡状态是laypunov
稳定的，它反映了系统运动的有界性，
由区域S()出发的任何受扰运动都保持
在区域S()内，第二点反映的是运动的
渐近性，也就是从区域S()出发的任何
受扰运动不仅都保持在S()这样一个较
大的区域内，而且随着时间的增加，

t
t0
g ij (t , ) d k
定理4.1.2：对于初始条件为零的线性定 常系统，初始时刻为t0＝0，G(t)是脉 冲响应矩阵，G(s)是传递函数矩阵， 则系统BIBO稳定性的充要条件是存在 一个有限常数k，使得脉冲响应矩阵的 每个元均满足关系式

t
0
g ij ( ) d k
临界情况 (Re(s)=0) 稳定
稳定 (Re(s)<0) 渐近稳 定
三 线性系统平衡状态稳定性判据


稳定性判据
内部稳定性与外部稳定性的关系
1．稳定性判据
考虑线性时变自治系统： x(t ) A(t ) x(t ), x(t0 ) x0 由t0时刻从x0出发的偏离平衡状态的运动 即为受扰运动，也就是它的零输入响 应，可以用状态转移矩阵来表示：
g (t , ) d k
即绝对可积的。
Case 2. MIMO系统 系统输出y(t)的某个分量yi(t)可以写成有 限项之和，即
m yi (t ) g ij (t , )u ( )d t0 j 1
t
利用上面的SISO系统的结论，就可以推 导出MIMO系统外部稳定性就等价于：
第二节Lyapunov意义下的稳定性

平衡状态、受扰运动与扰动方程的原
点

Lyapunov意义下的稳定性定义

线性系统平衡状态稳定性判据
一 平衡状态、给定运动与扰动方程 之原点
定义：考虑如下非线性系统 x f ( x, t )
如果在该系统中，总存在
f ( xe , t ) 0, 对所有t
这就说明在上述条件下，系统平衡状态 是L稳定的。
定理1：线性系统平衡状态在t0 为L稳定 的充分必要条件是存在一个正数k(t0)， 使得
(t , t0 ) k (t0 )
且如果正数k与初始时刻t0 无关，那么该 平衡状态是一致稳定的。
所谓系统运动的稳定性，也就是研究 平衡状态的稳定性，也就是当受扰运 动偏离平衡状态之后，能不能依靠自 身系统的内部结构因素，而返回到平 衡状态，或是限制在它的一个有限邻 域之内。下面给出几种不同的lyapunov 意义下的稳定性定义。
二 Lyapunov意义下的稳定性定义
设系统
x f ( x, t ), f ( xe , t ) 0 的平衡状态 xe 0 的H邻域为 x xe H
因果系统：就是说系统的输出只和当 前时刻及其以前各个时刻的输入有关， 而与以后时刻的输入无关。 在讨论系统的外部稳定性时，必须假 设系统的初始条件为零，这是因为只 有在这种情况下，系统的输入输出外 部描述才是唯一的，有意义的。

根据脉冲响应矩阵来判别系统的外 部稳定性
Case 1. SISO系统 利用脉冲响应矩阵，写出系统的输出:
第一节 外部稳定性
定义：考虑线性因果系统，如果对应于 一个有界的输入u(t)，即满足
u(t ) k1 ,
t [t0 , )
其输出y(t)也是有界的，即
y(t ) k2 ,
t [t 0 , )
则称此因果系统是外部稳定的，或有界 输入有界输出稳定的，记为BIBO稳定。
解释：
以二维状态空间为例，平衡状态为原点
Байду номын сангаас
L稳定平衡状态及典型轨迹
(2) 如果平衡状态原点，在Lyapunov意 义下是稳定的，并且始于域S()的任一 条轨迹，当时间t 趋于无穷时，都不脱 离S()，且收敛于 xe 0 ，则称系统的
平衡状态为渐近稳定的，其中球域S()
被称为平衡状态的吸引域。如果在上
则称 xe 为系统的平衡状态或平衡点。
如果系统是线性定常的， f ( x, t ) Ax ， 则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个 唯一的平衡状态；当A为奇异矩阵时，
系统将存在无穷多个平衡状态。对于
非线性系统，可有一个或多个平衡状 态，这些状态对应于系统的常值解。
任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤 立的平衡状态）都可通过坐标变换， ~ ~(~, t ) 的坐标原 统一化为扰动方程 x f x 点，即f(0,t)=0。在本章中，除非特别 申明，我们将仅讨论扰动方程关于原 点( xe 0 )处平衡状态的稳定性问题。 这种“原点稳定性问题” 使问题得到 极大简化，而不会丧失一般性，从而 为稳定性理论的建立奠定了坚实的基 础，这是Lyapunov的一个重要贡献。
t t t t t t
为卷积运算
t t t
x 2 (t ) e x 20 (e e ) x10 (e e ) v y x1 x 2 e ( x10 x 20 ) e v
如果把补偿器串联在被控系统之后， 该系统是BIBO稳定的，且单就输出而 言，y(t)只受模态e－t的控制，只要输入 是有界的，那么输出必定是有界的， 而且对初始状态没有任何限制，可以 处于二维状态空间中的任何位臵。但 是考虑到系统的内部特性，系统状态 随着时间的增加，是按指数et无限上升， 导致系统饱和或受到破坏。
它可以渐近地趋向于一个任意小的区 域内，并最终趋近于平衡状态原点。
渐近稳定平衡状态及典型轨迹

从工程应用角度来看，渐近稳定性比 纯稳定性更重要。实际上，渐近稳定 就是工程意义下的稳定，而laypunov 意义下的稳定则是工程意义下的临界 不稳定。

另外对于时变系统，考虑它的一致渐 近稳定性要比渐近稳定性有意义的多。

t
t0
gij (t , ) d k
或称为有界的，绝对可积的。
定理4.1.1：给定零初始条件下的线性时 变系统， G (t , ) 为脉冲响应矩阵，则系 统为BIBO稳定的充要条件是存在一有 限常数k，使得对一切时间 t [t 0 , ), 脉 冲响应矩阵的每个元 gij (t, )均满足关系 式
在左串联一个补偿器之后，系统是 BIBO稳定的，但该系统的BIBO稳定取 决于两个条件，第一是零极点对消， 第二初始条件为零。由于元件老化， 外加扰动信号的作用使得这两个条件 很容易被破坏，此时即使输入有界， 输出也会以et 形式，随着t的增加而无 限增加，最终使系统饱和或受到破坏。
x1 (t ) e x10 e v,
y(t ) g (t , )u( )d
t0 t
当输入有界，可导出
y (t )
t
t
0
g (t , )u ( )d g (t , ) u ( ) d
t0 t t0
t
k1 g (t , ) d
系统的输出要想保证有界，即存在一个有 限常数k使得

t
t0
按指数渐近稳定是一致渐近稳定性中的 特例，它明确规定了系统状态趋近于 平衡状态原点的方式，即按指数形式 或按比指数衰减更快的方式趋近原点。 对于线性系统来讲，它的一致渐近稳 定性就是按指数渐近稳定。
(3) 对所有的状态（状态空间中的所有 点），如果由这些状态出发的轨迹都 保持渐近稳定性，或者说，如果系统 的平衡状态渐近稳定的吸引域为整个 状态空间，则称此时系统的平衡状态 为大范围渐近稳定的。显然，大范围 渐近稳定的必要条件是在整个状态空 间中只有一个平衡状态。而且对于线 性来讲，根据叠加原理，原点的渐近 稳定就等价于它的大范围渐近稳定。
其中H>0， 为向量的2范数或欧几里 德范数，即
x xe ( x1 x1e ) ( xn xne )
2
2
类似地，也可以相应定义球域S(）和 S(）。域S()制约着初始状态x0， 而 域S()是起始于x0的轨迹的边界。
(1) 如果对应于每一个S(），存在一个 S( ( ,t0))，使得当t 趋于无穷时，始 于S()的轨迹不脱离S(），则系统的 平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳 定的。一般地，实数与和t0有关，如 果 与t0无关，则此时平衡状态称为一 致稳定的平衡状态。
稳定。
在经典控制理论中，我们已经学过稳定 性概念，它与Lyapunov意义下的稳定 性概念是有一定的区别的，例如，在 经典控制理论中只有渐近稳定的系统 才称为稳定的系统。在Lyapunov意义 下是稳定的，但却不是渐近稳定的系 统，则叫做不稳定系统。两者的区别 与联系如下表所示。
经典控制 (线 不稳定 (Re(s)>0) 性系统） Lyapunov 意 义下 不稳定

在控制工程问题中，总希望系统具有
大范围渐近稳定的特性。如果平衡状
态不是大范围渐近稳定的，那么问题
就转化为确定渐近稳定的最大范围或
吸引域，这通常非常困难。通常，对 所有的实际问题，如能确定一个足够 大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不 会超过它就可以了。
(4) 如果对于某个实数>0和任一实数 >0， 在S（）内总存在一个状态，使得始于 这一状态的轨迹最终会脱离开S(），那 么平衡状态称为不稳定的。
从本例中可以看出研究系统由于外界 扰动而偏离原来的静止状态所产生的 运动能够更深刻的揭示出系统是否稳 定，这就是系统的内部稳定性。系统 的内部稳定性是考虑在外加扰动作用 下系统产生的运动的性质，一般外加 扰动指的是非零初始状态和外加输入 作用下，在非零初始状态作用下引起 的状态运动是属于系统本质上的一些 特性，就把它称为稳定性，
第四章 系统运动的稳定性
外部稳定性 Lyapunov意义下的稳定性问题 Lyapunov稳定性理论 线性系统的Lyapunov稳定性分析 Lyapunov函数的构造问题 离散系统的状态运动稳定性及判据 Lyapunov函数的存在性

通常情况下，可以采取两种方式来定 义系统的稳定性，一个是通过输入输 出这两个外部变量之间的关系来表征 的外部稳定性，另外一种是通过零输 入状态运动的响应来表征的内部稳定 性。因为由输入输出表征的外部描述 是系统的一种不完全的描述，所以由 这种关系来表征的外部稳定性也是不 能完全反应出系统运动的稳定特性， 只有在一定的条件下，系统的外部稳 定性才有可能是完全的，也就是等价 于系统的内部稳定性。
下面给出各种稳定性之间的关系：
非线性时变系统： L稳定 一致稳定 渐近稳定 一致渐稳 按指数稳定 全局渐近稳定 全局一致渐稳 全局按指数稳定
非线性定常系统：一致性概念消失 线性时变系统：全局与局部等价，且按 指数稳定就等价于一致渐近稳定 线性定常系统：全局与局部等价，且一
致性概念消失，渐近稳定就是按指数
或等价的说当G(s)为真有理分式函数矩 阵时，G(s)的每个元也就是传递函数 gij(s)的所有极点均具有负实部。
举例：
x1 (t ) e x10 2e v,
t t t
t
t
为卷积运算
t
y x2 (t ) e x20 0.5(e e ) x10 e v
x(t ) (t, t0 ) x0
如果存在一个正数k(t0)，使得
(t , t0 ) k (t0 )
则有：
x(t ) (t , t0 ) x0 (t , t0 ) x0 k (t0 ) x0
根据L稳定性的定义，对于任意给定的正 数 ，只要选择初始状态 x0 (t0 ) / k (t0 ) 那么 x(t ) k (t0 ) x0 k (t0 ) / k (t0 )