2020年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
【2020年高考必备】河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)及解析
河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1. （5分）复数工（i为虚数单位）等于（）iA. - 1 - 3iB.- 1+3iC. 1 - 3iD. 1+3i2. （5分）设集合A={x|1v x v2}, B={x|x v a}，若A H B=A,则a的取值范围是（）A. {a| a<2}B. {a|a< 1}C. {a| a> 1}D. {a| a>2}3. （5 分）设向量；=（1，m），b = （m- 1，2），且；工匸，若（；-E）丄；，贝U实数m=（）A. 2B. 1C. —D.3 24. （5分）下列说法正确的是（）A. 若a> 1,则a2> T的否命题是若a> 1，则a2< TB. 若am2v bm2，则a v b”的逆命题为真命题C. ? x o€（0，+x），使3%>4%成立D. 若….「亠，则「是真命题265. （5分）我国古代数学典籍《九章算术》盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？” 现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）开始结束A. 4B. 5C. 2D. 36. （5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，贝U该几何体的体积等于（）正视囹侧视图A. 10cm3B. 20cm3C. 30cm3D. 40cm37. （5分）若将函数f （x）=7n（2x+二）图象上的每一个点都向左平移三个单位，得到g （x）的图象，则函数g （x）的单调递增区间为（）Jl JT / 、JI 371 / 〜A. [k n-—, k n+ ] (k€ Z)B. [k n+ , k n+ ] (k€Z)9jr IT IT RJTC. [k n- , k n-—] ( k€ Z)D. [k n- —, k n^ , ] ( k€ Z)8. (5 分)已知数列｛a n｝的前n 项和为S n, a1=1, a2=2，且a n+2- 2a n+什a n二0(n€9. （5分）已知函数*V°（aER），若函数f （x）在R上有两个零2x-a, x>0点，则实数a的取值范围是（）r◎二马,A-1A S=S-a+An=^-l£?=M=1!S=0±W=12018—【广：，则T2018=（2018C 403620192019/输出川/-■5r俯视圏N ),记T nA .（0，1]B . [1，+x ）C . （0, 1） D. （-X, 1]2210. （5分）已知椭圆—I — I b'-n'的左顶点和上顶点分别为 A ，B,a b z左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 丄PF 2,则椭 圆的离心率的平方为（ ）A . 〔 B. C. 一」D.二2 2 2 211.（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7名学生参加2018年 全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图 所示，其中甲班学生成绩的中位数是 81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实 数a,b 满足a,G,b 成等差数列且x,G,y 成等比数列，贝「J 的最小值为（）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）'垃>113. _____ （5分）设变量x , y 满足约束条件r 十则目标函数z=4x- y 的最小值 为 . 14. （5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+ （a - 1） y=a - 7平行，则a ___ . 15. （ 5 分）已知数列｛氏｝满足〔匚：：「「：，且 a i +a 2+a 3+^+a i0=1, 贝U log 2 （a ioi +a io2+…+a iio ） = ____ .2 216. （5分）已知双曲线：.J ：-'-的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近甲乙8 768 x Q 8 0 2 y65 g1 36A冷B. 2 C 9D.912. (5 分） 若对于任意 :的正实数 x , y 都有血 —)-ln —成立,e x me的取值范围为（ )A .(-e・1) B.e 1]C . 爲 e ,e]D .(0,丄] e 则实数m界I?线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N,若」则双曲线的渐近线方程为 ______ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （i2分）在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2ccosB=2e+b. （1）求角C;（2）若厶ABC的面积为::斗,求ab的最小值.18. （i2分）20i7年i0月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校iOOO名（男生800名，女生200 名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取i00名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：女生测试情况（1）现从抽取的i000名且测试等级为优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为良好”或优秀”的学生为体育达人”其它等级的学生（含病残免试）为非体育达人”根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.0i0的前提下认为是否为体育达人”与性别有关？非体育达人总计临界值表:P (K2》k0) 0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879n(ad-bc) 2附:，其中n=a+b+c+d)19. (12分)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PABL平面ABC, AB=6, h .h 7, 工&汀D, E为线段AB上的点，且AD=2DB PD丄AC.(1)求证：PD丄平面ABC(2)若亠丄二—：，求点B到平面PAC的距离.fi20. (12 分)已知圆C: x2+y2+2x- 2y+1=0 和抛物线E: y2=2px (p >0)，圆心C 到抛物线焦点F的距离为—.(1)求抛物线E的方程；(2)不过原点的动直线I交抛物线于A，B两点，且满足OA丄OB.设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线I的距离最大时的直线I方程.21. (12分)已知函数f (x) =lnx-a (x+1)，a€ R在(1, f (1))处的切线与x 轴平行.(1)求f (x)的单调区间；2 1(2)若存在X0> 1,当x€( 1, X0)时，恒有：.| ' I .：■ - 1.1■.：成立，求k的取值范围.22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1, 0),倾斜角为a,以坐1 解不等式f (x)v g (x)；标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1. （5分）复数工（i为虚数单位）等于（）iA.- 1 - 3iB.- 1+3iC. 1 - 3iD. 1+3i［解答】解：二二：•・'=-1-3ii i-（-i）故选A2. （5分）设集合A={x|1v x v2}, B={x|x v a}，若A H B=A,则a的取值范围是（）A. {a| a< 2}【解答】解：B. {a|a< 1}C. {a| a> 1}D. {a| a>2}••• A H B=A,••• A? B.•••集合A={x| 1v x v 2}，B={x| x v a}，••• a> 2故选：D.设向量a= （1，m）， b = （m - 1，2），且乞工b，若（乞-b）丄目，贝U实数m=（）A. 2B. 1C.D.3 2【解答】解：：（-■'，(I - ■) ? i=0，即？- ? 1=0，3. (5 分)即1+m2-( m - 1+2m) =0, 即m2- 3m+2=0,得m=1 或m=2,当m=1 时，量；=(1, 1), b = (0, 2),满足；工亍，当m=2 时，量a= (1, 2), b = (1, 2),不满足 a b,综上m=1,故选：B.4. (5分)下列说法正确的是( )A. 若a> 1,则a2> T的否命题是若a> 1，则a2< TB. 若am2v bm2,则a v b”的逆命题为真命题C. ? x o€(0, +x),使3^>4%成立D. 若…-二，则，一”是真命题2 6【解答】解：若a> 1,则a2> 1”的否命题是若a< 1,则a2< 1”故A错；若am2v bm2，则a v b”的逆命题为假命题，比如m=0,若a v b，则am2=bm2, 故B 错；对任意x>0,均有3x v4x成立，故C错；对若■—,则，一”的逆否命题是若a=，则sin a = ”为真命题，2 6 6 2则D正确.故选D.5. (5分)我国古代数学典籍《九章算术》盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？” 现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=( )结束A. 4B. 5C. 2D. 3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1, A=1, S=0, n=1S=2不满足条件S> 10,执行循环体，n=2, a= , A=2, S=''不满足条件S> 10,执行循环体，n=3, a= , A=4, S=4 4不满足条件S> 10,执行循环体，n=4, a—, A=8, S=8 8满足条件S> 10,退出循环，输出n的值为4.故选：A.6. （5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，贝U该几何体的体积等于（）正视圏侧视圏俯视图A . 10cm 3B . 20cm 3 C. 30cm 3 D . 40cm 3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图:棱柱的高为5;底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为 3、4,•••几何体的体积 7= X 3X 4X 5-二3X 4 X 5=20 (cm 3).232故选B .7. (5分)若将函数f (x ) sin (2x+=)图象上的每一个点都向左平移单位，得到g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( A . [k n-, k n +三](k € Z ) B. [k n +, k n +] (k € Z )4444C. [k n -^, k n -— ] ( k € Z )D . [k n-= , k n+ ] ] ( k € Z )【解答】解：将函数f (x ) =「sin (2x+丄)图象上的每一个点都向左平移 23 单位，得到 g (x ) ^-sin[2 (x+—) +2L]=-丄sin2x 的图象，2332u故本题即求 y=sin2x 的减区间，令 2k n + < 2x < 2k故函数g (x )的单调递增区间为[kj , ], k e 乙故选：B.8. (5 分)已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a i =1, a 2=2，且 a n +2- 2a n +什a n =0(n €―【广：，则 T 2018=( )C4036 D2018m .【解答】解：数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1=1, a 2=2,且a n +2- 2a n +什a n =0 (n €■■个,求得 k n +< x <N ),则：数列为等差数列.设公差为 d ,则:d=a?- a i =2 - 1=1, 贝U: a n =1 + n - 1=n .所以： 2*2018 4036 ^Oia^OlS+l "2019 故选：C9. (5分)已知函数f&)二"«°@€或，若函数f (x )在R 上有两个零 2x-a, x>0 点，则实数a 的取值范围是()A . (0, 1]B . [1, +x)C . (0, 1) D. (-X, 1]【解答】解：当x < 0时，f (x )单调递增，••• f (x )< f (0) =1 - a , 当x >0时，f (x )单调递增，且f (x )>- a . ••• f (x )在R 上有两个零点，•••・汙,解得O v a < 1.-a<0I故选A .2 210. (5分)已知椭圆：I 「的左顶点和上顶点分别为 A , B, a b左、右焦点分别是F 1, F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 丄PF 2,则椭 圆的离心率的平方为()=八,=故:(n+l) 2A 返B3^/^ C_]+码D'~ ' 2 ' ~2~ ' 2【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A (- a, 0), B (0, b), F i ( - c, 0), F2 (c, 0),•直线AB的方程为厶丄j,整理得：bx- ay+ab=0,设直线AB上的点P -a by),贝U bx=ay- ab, x=—y - a, ••• PF 丄PF2,则777^\= (- c- x,- y) ? (c-x,- y) =x2 3+y2- c2=(令)1J b(7y- a)x f+2y,•••由f'(y) =0得：y="；'，于是x=- _-2丄1 22丄L 2a +b a +b•疋?可二(整理得：2K2' =c?,又b2=a2- c2,整理得：c4+3c?c2- a4=0,两边同时除以a4, a2+b2由e2= ,• e4- 3e2+ 仁0,二e2=_ ,,，又椭圆的离心率e€( 0, 1),• e2_-；— !■-°= Y * _椭圆的离心率的平方」,£故选B.方法二：由直线AB的方程为••- - •，整理得：bx- ay+ab=0,-a b由题意可知：直线AB与圆O: x2+y2=c2相切，可得d= 亍_=c,两边平方，整理得：c4+3c?c2-a4=0,两边同时除以a4,由Va2 + b22e2= , e4- 3e2+1=0,a (X, 2+y2令 f (y)=(皂)2+y2- c2,则f'(y) =2b...e2/土丑，又椭圆的离心率 e €（ 0, 1）, ••• e 2壬亞.2 2椭圆的离心率的平方上丄211. （5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7名学生参加2018年 全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图 所示，其中甲班学生成绩的中位数是 81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实 数a,b 满足a,G,b 成等差数列且x,G,y 成等比数列，贝厂J 的最小值为（）【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1;由茎叶图可知乙班学生的总分为 76+80X 3+90X 3+ （0+2+y+1+3+6） =598+y , 乙班学生的平均分是86,且总分为86X 7=602，所以y=4, 若正实数a 、b 满足：a, G , b 成等差数列且x , G , y 成等比数列, 则 xy=G ?, 2G=a^b ，即有 a+b=4, a >0, b >0, 则 1(a+b )(丄+：)二丄(1+4+二+」)』(5+2_.也..,匚门)二丄X 9二一,a b 4a b 4a b 47 a b 44A . 甲868 x0 80 6 5 g 1 123246D . 94.B 2 C乙当且仅当b=2a=:时，------ 的最小值为3 a%412. (5分)若对于任意的正实数x, y都有成立，则实数m e K me的取值范围为( )A •丄. .B. - - C. ^^ - D. 11,—e e e e【解答】解：根据题意，对于(2x- - ) ?ln：< '，变形可得一(2x- J In- < e x me ye xI!5m即(2e-上)In上< —x x m设t=i，贝U( 2e- t) Int< —，t>0，X ID设 f (t) = (2e-1) Int， (t > 0)则其导数f (t) =- lnt+迦—1，t又由t>0,则f (t)为减函数，且f (e) =—lne+ 一-仁0,则当t €(0, e)时，f (t)> 0, f (t)为增函数，当t €( e, +x)时，f (t)v 0, f (t)为减函数，则f (t)的最大值为f (e),且f (e) =e,若f (t) = (2e —t) lnt w丄恒成立，必有e w ,m ID解可得0v m w ■，即m的取值范围为(0, * ];e e故选：D.二、填空题(本题共4小题，每题5分，共20分)'垃>113. (5分)设变量x, y满足约束条件r+y-4<0则目标函数z=4x- y的最小值为 1 .垃＞1【解答】解：设变量x, y满足约束条件r+yr-X,。
2020年河南省六市高考数学一模试卷(文科)(有答案解析)
2020年河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足，则A. B. C. D.2.集合的真子集的个数为A. 7B. 8C. 31D. 323.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为A. B. C. D.4.已知，设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.5.已知，且，则A. B. C. D.6.设函数，则函数的图象可能为A. B.C. D.7.已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是A. 该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B. 该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C. 该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D. 该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益8.已知向量，满足，且，，则向量与的夹角为A. B. C. D.9.程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为A. 28B. 56C. 84D. 12010.已知点M是抛物线上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：上一动点，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 611.设锐角的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为A. B. C. D.12.设，分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点处的切线方程是______．14.已知等比数列的前n项和为，若，，则______．15.已知函数，当时，的最小值为，若将函数的图象向右平移个单位后所得函数图象关于y轴对称，则的最小值为______．16.在直三棱柱中，，底面三边长分别为3、5、7，P是上底面所在平面内的动点，若三被锥的外接球表面积为，则满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为带助定点扶贫村贫，竖持长贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式指标区间频数51520301515乙种生产方式指标区间频数51520302010在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层物样方式，随机抽出5件产品，求这5件产品中，优等品和合格品各多少件：再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率．所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元，甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产出的成本为20元，用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该单位要选那种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？18.已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，，成等比数列．求数列的通项公式；令，求数列的前n项和．19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．证明：平面平面；若，Q为线段的中点，求三棱锥的体积．20.设椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率是e，动点在椭圆C上运动．当轴时，，．求椭圆C的方程；延长，分别交椭圆C于点A，B不重合设，，求的最小值．21.已知函数．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数．22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为为参数．求曲线的极坐标方程；若曲线与相交于A、O、B三点，求线段AB的长23.已知函数．当时，求不等式的解集；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，．故选：C．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：A解析：解：令，则；令，则；令，则；则M中有三个元素，则有7个真子集．故选：A．根据题意，设x取一些值，代入求y值，再求真子集个数．本题考查真子集，集合元素，属于基础题．3.答案：A解析：解：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为．故选：A．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，由此能求出2类元素相生的概率．本题考查概率的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：，，在R上是减函数，又，且，，．故选：B．根据题意即可得出在R上是减函数，并且可得出，并且，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了余弦函数的图象，指数函数的单调性，对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：；；又故选：B．通过诱导公式求出的值，进而求出的值，最后求．本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．6.答案：B解析：解：函数的定义域为，由，得为偶函数，排除A，C；又，排除D．故选：B．由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出，则答案可求．本题考查函数的图象与图象变换，考查函数奇偶性的应用，是中档题．7.答案：C解析：解：由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份的收入支出的值最大，所以收益最高，故选项A正确；由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份的收入支出的值最小，所以收益最低，故选项B正确；由折线图可知，该超市2019年7至12月份的总收益为，2019年1至6月份的总收益为，所以该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元，故选项C错误，选项D正确；故选：C．根据折线图，即可判定选项A，B正确，计算出2019年7至12月份的总收益和2019年1至6月份的总收益，比较，即可得到选项C错误，选项D正确．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．8.答案：B解析：解：，，，且，，，，且，与的夹角为．故选：B．根据条件即可得出，进而得出，然后即可求出的值，进而可得出与的夹角．本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，满足条件，退出循环，输出S的值为84．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题，属于基础题．根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值．【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：，当M、A、P三点共线时，的值最小，即轴，抛物线的准线方程：，此时，又，，所以，即，故选B．11.答案：B解析：解：锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，且，．，，，，由正弦定理可得：，可得：，则a的取值范围为故选：B．由题意可得，且，解得B的范围，可得cos B的范围，由正弦定理求得，根据cos B的范围确定出a范围即可．此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，解题的关键是确定出B的范围，属于基础题．12.答案：C解析：解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，，由，则，，设切点为M，则，，，为的中位线，则即有即有．故选：C．由双曲线的定义可得，，则，，设切点为M，则，，又，，即有，即可．本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：的导数为，可得在点处的切线斜率为，则在点处的切线方程为，即为．故答案为：．求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．14.答案：1解析：解：根据题意，等比数列满足，，则其公比，若，则；，则；变形可得：，解可得；又由，解可得；故答案为：1根据题意，由等比数列前n项和公式可得，；变形可得，解可得q的值，将q的值代入，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1．15.答案：解析：解：已知函数，当时，的最小值为，，故若将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象．根据所得函数图象关于y轴对称，则，，即，令，可得的最小值为，故答案为：．由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．16.答案：解析：解：设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，上底面的外接圆的圆心为，若三被锥的外接球表面积为，则外接球的半径R满足，即，由底面ABC的三边长分别为3、5、7，可设AC的长为7，可得，则，则底面ABC的外接圆的半径，可得球心O到底面ABC的距离，则球心O到底面的距离，在直角三角形中，，由题意可得P在以为圆心，半径为的圆上运动，可得满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为．故答案为：．设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，球的半径为R，由表面积公式球的R，再由三角形的余弦定理和正弦定理可得底面ABC所在圆的半径r，可得的长，的长，再由勾股定理可得，判断P所在的轨迹为圆，可得其面积．本题考查直三棱柱的定义和性质，以及三棱锥的外接球的定义和面积，考查球的截面的性质，以及解三角形的知识，考查空间想象能力和运算能力、推理能力，属于中档题．17.答案：解：由频数分布表得：甲的优等品率为，合格品率为，抽出的5件产品中优等品有3件，合格品有2件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为M，则事件M发生的情况有6种，这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，元，元，，用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．解析：由频数分布表得甲的优等品率为，合格品率为，由此能过求出这5件产品中，优等品和合格品各多少件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，利用列举法能求出这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，由，得到该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．本题考查概率的求法，考查最佳生产方式的判断，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，，化为：．，，成等比数列，，可得，，化为：．联立解得：，．．，数列的前n项和．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，可得，化为：由，，成等比数列，可得，，，化为：联立解得：，即可得出．，利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出．19.答案：Ⅰ证明：取PD的中点O，连接AO，为等边三角形，，平面PAD，平面平面，平面平面PCD，平面PCD，平面PCD，，底面ABCD为正方形，，，平面PAD，又平面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：由Ⅰ知，平面PCD，到平面PCD的距离．底面ABCD为正方形，，又平面PCD，平面PCD，平面PCD，，B两点到平面PCD的距离相等，均为d，又Q为线段PB的中点，到平面PCD的距离．由Ⅰ知，平面PAD，平面PAD，，．解析：Ⅰ取PD的中点O，连接AO，由已知可得，再由面面垂直的判定可得平面PCD，得到，由底面ABCD为正方形，得，由线面垂直的判定可得平面PAD，则平面平面ABCD；Ⅱ由Ⅰ知，平面PCD，求出A到平面PCD的距离，进一步求得Q到平面PCD的距离，再由Ⅰ知，平面PAD，得，然后利用棱锥体积公式求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：由题意知当轴时，，知，，，又，所以椭圆的方程为：；由知，设，由得，即，代入椭圆方程得：，又，得，两式相减得：，因为，所以，故；同理可得：，故，当且仅当时取等号，故的最小值为．解析：由轴时，，得c，b的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由得：焦点，的坐标，再由，，求出，的值，进而求出之和的值，再由的范围，求出的最小值．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．21.答案：解：Ⅰ此函数的定义域为，．当时，，在上单调递增，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上所述：当时，在上单调递增；当时，若，单调递减，若，单调递增；Ⅱ由Ⅰ知，恒成立，则只需恒成立，则，即，令，则只需，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，即，则，的最大整数为7．解析：Ⅰ求出函数的定义域为，再求出原函数的导函数，分和两类求解函数的单调区间；Ⅱ由Ⅰ知，把恒成立，转化为恒成立，进一步得到，令，则只需，利用导数求最值，则答案可求．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．22.答案：解：已知曲线的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．由，解得．所以由，解得，解得所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：当时，，当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得，的解集为：，或；的解集包含等价于在上恒成立，当时，等价于恒成立，而，，，故满足条件的a的取值范围为：．解析：当时，，然后由分别解不等式即可；由条件可得在上恒成立，然后求出和最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．。
2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河南省郑州市实验中学高三数学(文)高考模拟测试卷一
数学试卷一、选择题1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}{}18,5217A x x B x x =-<<=<<，则()Z A B =I ( ) A ．3B ．4C ．5D ．62.已知复数z 满足(12i)43i z +=+，则z 的共轭复数是( ) A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i -3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则( )A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<- D ．()()()0.6323log 13f f f <-< 4.宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是( ) A ．25B ．425C ．π25D ．1625π5.命题22:,R,2p x y x y ∈+<，命题:,R,2q x y x y ∈+<，则p 是q 的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件6.已知数列{}n a 中111,n n a a a n +==+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ）输出S1n=1,S=1结束开始A ．2018?n ≤B ．2019?n ≤C ．2020?n ≤D ．2021?n ≤7.函数2sin ()2xf x x x x=+-的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．8.若函数()()sin f x A x ωϕ=+ (其中0A >，π2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为7π12x =，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度 9.已知AB 是圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r 的最小值是( ) A ．1B ．0CD110.圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为( ) A ．9:32B ．8:27C ．9:22D ．9:2811.已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为( ) ABC ．2D12.若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为( )A ．2eB ．eC ．12D ． 1二、填空题13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________． 14.在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3,2b c B C ===，则cos2C 的值为_____________.15.正四棱锥S ABCD -底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为____________.16.定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()f x '为()f x 的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是_________.三、解答题17.在公差为d 的等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+． （1）求d 的取值范围；（2）已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21nn a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为1nn +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由．18.如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，FA ⊥平面ABCD ，//ED FA ，且22AB FA ED ===．（1）求证：平面FAC ⊥平面EFC ； （2）求多面体ABCDEF 的体积．19.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于,A B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围21.已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ，()23e 2x g x x x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围． 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1R x ∀∈，2R x ∃∈，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．参考答案1.答案：C解析：∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I ，∴()5Z A B =I ．故选C ．2.答案：B解析：由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+．故选B ． 3.答案：C解析：根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ． 4.答案：D解析：由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆．故选D ． 5.答案：A解析：在平面直角坐标系中作出满足,p q 的区域，如图所示，则p 是q 的充分不必要条件．故选A ．6.答案：B解析：由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-， 122n n a a n --=+-，…322a a =+， 211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ， 则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时，则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =．故选B 7.答案：D解析：()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ， 当0x =时，sin 0x x ==，则0x →时，sin 1xx→，()101f x →+=，排除A ，故选D ． 8.答案：B解析：根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=．再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=，可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．9.答案：A解析：如图所示，()()2214PA PB PC CB PC CA PC AB ⋅=+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以PA PB ⋅u u u r u u u r 取最小值时，即PC 取最小值，即PC 与直线10x y -+=垂直，此时PC =()min12414PA PB⋅=-⨯=u u u r u u u r ．故选A ．10.答案：A解析：设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥母线长为l ， 则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl lrr ==， 则母线2l r =，圆锥的高为h =，则圆锥的体积为231π3r h r =，设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图，则,,OB OS R OD h R R BD r ===-=-=，在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+，即)222R r R =+-，展开整理得R =，∴外接球的体积为33344ππ33R ==，故所求体积比为339332r=．故选A ．11.答案：D解析：由题意可得图像如右图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形， ∴12ABF AFBF FAF S S S ''==△△，又2224tan45FAF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴2e 5e =⇒=．故选D ．12.答案：D解析：由120x x <<，得120x x -<，211212ln ln 1x x x x x x ->-化为211212ln ln x x x x x x -<-，即1212ln 1ln 1x x x x ++<，即函数()ln 1x f x x+=在()0,a 上单调递增，()()221ln 1ln x x x x f x x x ⋅-+'==-， 令()0f x '>，得01x <<，故a 的最大值为1．故选D ． 13.答案：6解析：由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号．故答案为6． 14.答案：59解析：由正弦定理可得：sin sin b cB C=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin b B C C C C C c C C C =====∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=15.解析：如图所示，取,SC DC 的中点,M F ，则//,//EF BD ME SB ，所以平面//SBD 平面MEF ，而AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥平面MEF ，则动点P 在四棱锥表面上运动的轨迹为MEF △，则动点P的轨迹的周长为(1122MFE SDB l l ==△△16.答案：84,279⎛⎫⎪⎝⎭解析：由()()2f x xf x '<，得()()()22220f x x xf x x '->，FMSEDCBA令()()2f xg x x=，则()()()()22220f x x xf x g x x '-'=>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 得()()32g g >，即()()222323f f <，得()()2439f f <. 由()()3xf x f x '<，得()()()322330f x x x f x x '-<，令()()3f x h x x =，则()()()()322330f x x x f x h x x '-'=<，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，得()()32h h <，即()()332323f f >，得()()28327f f >. 综上所述，()()2842739f f <<．故填84,279⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17.答案：（1）∵221212a a a a +=+，∴()221112a a d a d ++=+，整理得()22112210a d a d d +-+-=，则()()224180d d d ∆=---≥，解得11d -≤≤，则d 的取值范围为[]1,1-．（2）∵1d =-，∴2112420a a -+=，即11a =，则2n a n =-．假设存在等差数列{}n b ，则2112211121121123a b a b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，即11111211223b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1216b b =⎧⎨=⎩，从而54n b n =-，此时2211111n n a b n n n n ==-+++，22212211111111111223111n n n na b a b a b n n n n ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=++++++，故存在等差数列{}n b ，且54n b n =-，使得数列21nn a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为1n n +． 解析：18.答案：（1）证明：连接BD 交AC 于O ，设FC 中点为P ,连接,OP EP,O P ∵分别为,AC FC 的中点//OD EA ∴,且12OP FA =//OP ED ∴且OP ED = ∴四边形OPED 为平行四边形//OD EP ∴,即//BD EPFA ⊥∵平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD FA BD ⊥∴Q 四边形ABCD 是菱形BD AC ⊥∴FA AC A =I ∵BD ⊥∴平面FAC ，即EP ⊥平面FAC又EP ⊂平面EFC ∴平面FAC ⊥平面EFC（2）114233F ABC ABC V S FA -∆=⋅=⨯Q平面ADEF ⊥平面ABCD ∴C ()122132C ADEF V -+⨯=⨯∴ABCDEF F ABC C ADEF V V V --=+∴解析：19.答案：（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为 0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48； （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=. 解析：20.答案：（1）由题设知222,e c a b c a =+=． 由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b+=，解得21b =，又点⎭在椭圆上，222112a b +=∴． 即21112a+=，解得24a =， 所以椭圆的方程是2214x y +=．（2）设()()1122,,A x y B x y 、，由2214y kx x y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+，不妨设12x x ==则12AB x =-=设原点O 到直线2l 的距离为d，则d =若存在满足条件的点P ，则以AB 为直径的圆与2l 有公共点，故2ABd ≤≤化简得2340k k +≥，0k ≥∴或43k ≤-． 解析：21.答案：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()210x ax f x x x'++=>, 对于函数210y x ax =++≥，①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数； ②当0Δ>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <x >，0<< ()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数， 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．综上，当2a <-时，()f x在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数； 当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．（2）()()()()22213ln e ln e 022x x F x f x g x x x ax x x x x ax x x =-=++--+=-++->， ()F x Q 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln e x x x a x-+=有解， 令()()2n 0e l x x x h x x x+-=>， ()()()()()()2211ln 1ln 11e e x x x x xx x x x h x x x ++-+-+++-='=，令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，()()1e 1h x h ∴≥=+，当e 1a ≥+时，()F x 有不动点，a ∴的范围为[)e 1,++∞．解析：22.答案：（1）2211:C x y +=，22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．联立方程组得222212x y x y x⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得1112x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩2212x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭． （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴当11π12θ=时，max 2S =解析：23.答案：（1）不等式等价于132x x x ≤--≤+⎧⎨⎩或11222x x x -<⎧≤-+≤+⎪⎨⎪⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩， 解得x ∈∅或102x ≤≤或112x <≤， 所以不等式()2f x x ≤+的解集为{}01x x ≤≤．（2）由()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； ()()()323121g x x m x m ≥---=-， 当且仅当()()32310x m x --≤时取等号， 所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 解析：。
2020年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合{1A =，2，3，4}，{|13}B x x =-<<，则(A B = )A ．{1}B ．(1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4}2．（5分）复数1(iz i i+=是虚数单位）在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设132a =，231()4b =，21log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．（5分）设α、β是两个不同的平面，l 、m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则()A ．若//αβ，则//l mB ．若//m α，则//αβC ．若m α⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则l m ⊥5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A ．165B ．185C ．10D ．3256．（5分）若变量x ，y 满足约束条件00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则2y x -的最小值是( )A ．1-B ．6-C ．10-D ．15-7．（5分）已知函数()y f x =的图象由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()y f x =的对称轴方程为( ) A ．212k x ππ=+，k Z ∈ B ．26k x ππ=+，k Z ∈ C ．12x k ππ=+，k Z ∈ D ．6x k ππ=+，k Z ∈8．（5分）直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切，则(m = ) A ．5-或15B ．5或15-C ．21-或1D ．1-或219．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，则椭圆方程为( )A ．22154x y += B ．221259x y +=C ．221169x y += D ．2212516x y +=10．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在球面上，PB ⊥平面ABC ．PB =，ABC ∆为直角三角形，AB BC ⊥，且1AB =，2BC =．则球的表面积为( )A ．5πB ．10πC ．17πD 11．（5分）关于函数()sin |||cos |f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(2π，)π单调递减③()f x ④当(4x π∈-，)4π时，()0f x <恒成立其中正确结论的编号是( ) A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②④12．（5分）已知关于x 的方程为2222(3)23(3)x xx e x e e--=+-，则其实根的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知0a >，0b >，24a b +=，则3ab的最小值为 ．14．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63338S S =，则6542a a a =+ ．15．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若6OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为 ．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2c o s (2A a C =，2c =，D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，则ABC ∆面积最大时，BD = ．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知等差数列{}n a 为递增数列，且满足12a =，222345a a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11(*)(1)(1)n n n b n N a a -=∈++，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．18．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ； （Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．19．（12分）2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》)．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，⋯，[80，90]，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？20．（12分）设曲线2:2(0)C x py p =>上一点(,2)M m 到焦点的距离为3． （Ⅰ）求曲线C 方程；（Ⅱ）设P ，Q 为曲线C 上不同于原点O 的任意两点，且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O ，试问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21．（12分）已知函数21()f x ax x ln x=--．（Ⅰ）若()f x 在点(1，f （1）)处的切线与直线21y x =+平行，求()f x 在点(1，f （1）)的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在定义域内有两个极值点1x ，2x ，求证：12()()223f x f x ln +<-． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点3(1,)2P ，其参数方程cos (x a y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数()|1||21|f x x x m =--++． （Ⅰ）求不等式()f x m …的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n …，求m 的取值范围．2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合{1A =，2，3，4}，{|13}B x x =-<<，则(A B = )A ．{1}B ．(1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4}【解答】解：{1A =，2，3，4}，{|13}B x x =-<<，{1AB ∴=，2}．故选：B ． 2．（5分）复数1(iz i i+=是虚数单位）在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数1(1)1i i i z i i i i+-+===--在复平面内对应的点(1,1)-位于第四象限． 故选：D ．3．（5分）设132a =，231()4b =，21log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【解答】解：103221a =>=，203110()()144b <=<=，221log log 102c =<=，a b c ∴>>．故选：A ．4．（5分）设α、β是两个不同的平面，l 、m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则()A ．若//αβ，则//l mB ．若//m α，则//αβC ．若m α⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则l m ⊥【解答】若//αβ，则直线l 与m 平行或异面，故A 错误． 若//m α，则平面α与β平行或相交，故B 错误．若m α⊥，m β⊂，平面β经过平面a 的垂线m ，由线面垂直的判定定理，得αβ⊥，故C 正确．若αβ⊥，则l 与m 平行或异面，或相交，故D 错误．故选：C ．5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A ．165B ．185C ．10D ．325【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S ，则正方形的面积为9， 向正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分内， 则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率800220005P ==； 而9s P =，则295s =， 解可得，185S =； 故选：B ．6．（5分）若变量x ，y 满足约束条件00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则2y x -的最小值是( )A ．1-B ．6-C ．10-D ．15-【解答】解：令2z y x =-，得2y x z =+，作出变量x ，y 满足约束条件00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩………对应的可行域，平移直线2y x z =+，由平移可知当直线2y x z =+经过点A 时， 直线2y x z =+的截距最小，此时z 取得最值，由0340x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得(2,2)A -，将(2,2)-代入2z y x =-，得2226z =--⨯=-， 即2z y x =-的最小值为6-． 故选：B ．7．（5分）已知函数()y f x =的图象由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()y f x =的对称轴方程为( ) A ．212k x ππ=+，k Z ∈ B ．26k x ππ=+，k Z ∈ C ．12x k ππ=+，k Z ∈ D ．6x k ππ=+，k Z ∈【解答】解：已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到： 先将()g x 的图象向右平移6π个单位长度，可得cos()6y x π=-的图象， 再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数()cos(2)6f x x π=-的图象， 令26x k ππ-=，可得()f x 的图象的对称轴方程为212k x ππ=+，k Z ∈， 故选：A ．8．（5分）直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切，则(m = ) A ．5-或15B ．5或15-C ．21-或1D ．1-或21【解答】解：圆222410x y x y +-++=的标准方程为22(1)(2)4x y -++=，直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切， 由圆心(1,2)-到直线的距离等于半径得|38|25m -+=， |5|10m -=，故5m =-，或15， 故选：A ．9．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，则椭圆方程为( )A ．22154x y += B ．221259x y +=C ．221169x y += D ．2212516x y +=【解答】解：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，可得35c a =，5a =，所以3c =，则4b =，所以椭圆的方程为：2212516x y +=．故选：D ．10．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在球面上，PB ⊥平面ABC ．PB =，ABC ∆为直角三角形，AB BC ⊥，且1AB =，2BC =．则球的表面积为( )A ．5πB ．10πC ．17πD 【解答】解：由题意如图所示：设底面外接圆的圆心为O '， 因为三角形ABC 是直角三角形，所以O '为斜边的中点，则底面外接圆的半径r 等于斜边的一半，即r ==， 过O '做垂直于底面的直线OO '交三棱锥的中截面与O 点，则O 为外接球的球心，且2PB OO '==222517344R r OO '=+=+=， ∴球的表面积2417S R ππ==，故选：C ．11．（5分）关于函数()sin |||cos |f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(2π，)π单调递减③()f x ④当(4x π∈-，)4π时，()0f x <恒成立其中正确结论的编号是( ) A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②④【解答】解：①()sin |||cos()|sin |||cos |()f x x x x x f x -=---=-=， ()f x 是偶函数．②当(2x π∈，)π时，sin ||sin x x =，|cos |cos x x =-则()sin (cos )sin cos )4f x x x x x x π=--=+=+，在(2π，)π上单调递减．③当(0x ∈，]2π时，()sin cos )4f x x x x π=-=-，此时()f x 最大值1，当(2x π∈，]π时，()sin cos )4f x x x x π=+=+， 此时()f x 最大值1，当(x π∈，3]2π时，()sin cos )4f x x x x π=++， 此时()f x 最大值1-，当3(2x π∈，2]π时，()sin cos )4f x x x x π=-=-， 此时()f x 最大值1-， 所以()f x 最大值为1．④当(0x ∈，]4π时，()sin cos )04f x x x x π=-=-<，又因为()f x 是偶函数，当(4x π∈-，0]时，()0f x <，所以，当(4x π∈-，)4π时，()0f x <恒成立， 故正确的是①②④， 故选：D ．12．（5分）已知关于x 的方程为2222(3)23(3)x xx e x e e--=+-，则其实根的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：x =不是方程2222(3)23(3)x x x e x e e--=+-的根，所以方程可变形为2222333x x e x e e x e--=--，原问题等价于考查函数2y e =-与函数22233()3x x e x g x e x e -=--的交点个数，令2()3xe h x x =-，则222(23)()(3)x e x x h x x --'=-，列表可得：函数231y x e x=-在有意义的区间内单调递增， 故()g x 的单调性与函数()h x 的单调性一致， 且()g x 的极值(1)g g -=（3）33122e e =-+， 绘制函数图象如图所示，观察可得，2y e =-与函数()g x 恒有3个交点，即方程实数根的个数是3， 故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知0a >，0b >，24a b +=，则3ab 的最小值为 32． 【解答】解：0a >，0b >，24a b +=，由基本不等式可得，4…2ab ∴…，当且仅当2b a =即2b =，1a =时取等号则3ab 的最小值为32． 故答案为：32． 14．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63338S S =，则6542a a a =+ 13．【解答】解：等比数列{}n a 中，63338S S =， 显然1q ≠，∴6311(1)9(1)18a q a q q -=--， 3918q +=， ∴12q =， 则5261435411222123()132a a q q a a a q q q ====+++．故答案为：13故选：A15．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若6OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为54． 【解答】解：由题意可得4a =，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，(,0)F c ， 可得||MF b ==，在直角三角形OMF 中，可得||OM a ===，则OMF ∆的面积为1262ab b ==，可得3b =，5c =，则54c e a ==． 故答案为：54．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2c o s (2A a C=，2c =，D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，则ABC ∆面积最大时，BD =．【解答】解：2cos cos )A a C =，2c =，cos cos c A a C ∴-，∴由正弦定理可得sin cos sin cos C A A C A +=，sin()sin A C B A ∴+==，b ∴=，由p ，p a -，p c -=p b -， 由三角形的海伦面积公式可得222222()2ABC a a a a a a aS ∆+--+-+===， 当212a =，即a =时，b =ABC ∆的面积取得最大值，D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，AD ∴， ∴由余弦定理可得222264cos 2BD b c a A bc +-+-==解得BD =．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知等差数列{}n a 为递增数列，且满足12a =，222345a a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11(*)(1)(1)n n n b n N a a -=∈++，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{}n a 为递增数列，可得公差0d >，由12a =，222345a a a +=，可得222(22)(23)(24)d d d +++=+，解得22(3d =-舍去），则22(1)2n a n n =+-=； （Ⅱ）111111()(1)(1)(21)(21)22121n n n b a a n n n n -===-+++--+，11111111(1)((1)2335212122121n nS n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++． 18．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ； （Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，在图（1）中，AC BC ==，2AD BD CD ===， ∴在三棱锥1A BCD -中，1A D BD =，1AC BC =， G 是1A B 的中点，1DG A B ∴⊥，1CG A B ⊥，DGCG G =，1A B ∴⊥平面DGC ，点M ，N ，分别为1A C ，BC 的中点．1//MN A B ∴，MN ∴⊥平面DCG ．（Ⅱ）解：由图（1）知1CD A D ⊥，CD BD ⊥，1A DBD D =，CD ∴⊥平面1A DG ，又160A DB ∠=︒，∴△1A DB 是等边三角形，1DG A B ∴⊥，12A B =，11112AG A B ==，DG ，∴1111122A DGSAG DG =⨯⨯=⨯ ∴三棱锥1G A DC -的体积：11111233G A DC C A DG A DGV V SCD --==⨯==．19．（12分）2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》)．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，⋯，[80，90]，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为： (0.020.040.02)100.8++⨯=，所以样本中分数高于60的概率为0.8．故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8． （Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为： (0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40，50)内的人数为1001000.955-⨯-=， 所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为550025100⨯=， （Ⅲ）设3名男生分别为A ，B ，C ，2名女生分别为1，2，则从这5名同学中选取2人的结果为：{A ，}B ，{A ，}C ，{A ，1}，{A ，2}，{B ，}C ，{B ，1}，{B ，2}，{C ，1}，{C ，2}，{1，2}共10种情况．其中2人中男女同学各1人包含结果为：{A ，1}，{A ，2}，{B ，1}，{B ，2}，{C ，1}，{C ，2}，共6种，设事件{A =抽取的2人中男女同学各1人}，则P （A ）63105==， 所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是35．20．（12分）设曲线2:2(0)C x py p =>上一点(,2)M m 到焦点的距离为3． （Ⅰ）求曲线C 方程；（Ⅱ）设P ，Q 为曲线C 上不同于原点O 的任意两点，且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O ，试问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．【解答】解：（1）曲线2:2(0)C x py p =>上一点(,2)M m 到焦点的距离为3． ∴由抛物线定义得232p+=，解得2p =， ∴曲线C 方程为24x y =．（2）以PQ 为直径的圆过原点O ，OP OQ ∴⊥，设直线OP 的方程为y kx =，(0)k ≠，与曲线C 方程24x y =联立，得24x kx =， 解得0x =（舍)或4x k =，2(4,4)P k k ∴，又直线OQ 的方程为1y x k =-，同理4(Q k -，24)k ，又直线PQ 斜率存在，PQ ∴的直线方程为222444444y k x k k k k k--=---， 1()4y k x k ∴=-+，∴直线PQ 恒过定点(0,4)．21．（12分）已知函数21()f x ax x ln x=--．（Ⅰ）若()f x 在点(1，f （1）)处的切线与直线21y x =+平行，求()f x 在点(1，f （1）)的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在定义域内有两个极值点1x ，2x ，求证：12()()223f x f x ln +<-． 【解答】解：（1）21()f x ax x ln x=--，1()21f x ax x∴'=+-， 由题意可得，k f ='（1）2a =，因为()f x 在点(1，f （1）)处的切线与直线21y x =+平行，22a ∴=即1a =，f ∴（1）0=，故切点(1,0)，切线方程22y x =-，（2）2121()2ax x f x ax x x-+'=-+=，2210ax x ∴-+=在(0,)+∞上有两个不等的实数根1x ，2x ，∴1212180102102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩∴108a <<， 又2212212121()()()f x f x ax ax x x lnx lnx +=+-+++，212121212[()2]()a x x x x x x lnx x =+--++，11124lna a=-- 令12t a =，1()12g t lnt t =--，4t >， 则112()022t g t t t-'=-=<，()g t ∴在(4,)+∞上单调递减，()g t g <（4）43223ln ln =-=-，即12()()223f x f x ln +<-．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点3(1,)2P ，其参数方程cos (x a y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值．【解答】解：()I 将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，所以曲线E 的普通方程为22143x y +=， 极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=．（Ⅱ）不妨设点A ，B 的极坐标分别为1212(,),(,),0,02A B πρθρθρρ+>>，则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．2212111174312ρρ+=+=，即22117||||12OA OB +=． [选修4-5不等式选讲]23．已知函数()|1||21|f x x x m =--++． （Ⅰ）求不等式()f x m …的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n …，求m 的取值范围． 【解答】解析：()I 由()f x m …，得，不等式两边同时平方，得22(1)(21)x x -+…， 即3(2)0x x +…，解得20x -剟． 所以不等式()f x m …的解集为{|20}x x -剟． （Ⅱ）设()|1||21|g x x x =--+， 12,21()3,122,1x x g x x x x x ⎧+-⎪⎪⎪=--<⎨⎪-->⎪⎪⎩……，()0()f n g n m ⇔-厖因为(2)(0)0g g -==，(3)1g -=-，(4)2g -=-，g （1）3=-，又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n …， 所以21m -<--…，故m 的取值范围为[1，2)．。
2020年河南省高考文科科数学仿真模拟试题一(附答案)
2020年河南省高考文科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( )A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，0，1}C ．{－1，0，2}D ．{0，1} 2．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y=lnxB.21y x =+ C.y=sinx D.y=cosx 4．已知命题p ：∀x>2，x 3－8>0，那么¬p 是( ) A ．∀x≤2，x 3－8≤0 B ．∃x>2，x 3－8≤0 C ．∀x>2，x 3－8≤0 D ．∃x≤2，x 3－8≤05. 若函数22,0()(),0x x f x g x x -⎧-<=⎨>⎩为奇函数，则f （g （2））＝（ ）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 26. 从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A.23B.12C.25D.137. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 3+B. 3+C. 2D. 2+8. 已知直线2y kx =-与抛物线24x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率等于( )A.2B.29. 已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切，则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为 （ ）B.18C.27D. 5410. 已知函数()sin cos f x x x ωω=-（0ω>），若()3y f x π=+的图象与()6y f x π=-的图象重合，记ω的最小值为0ω，函数0()cos()3g x x πω=-的单调递增区间为 （ ）A. 2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）B. 27[,]36k k ππππ+++（k Z ∈） C. [,]12232k k ππππ++（k Z ∈） D. 7[,]32122k k ππππ++（k Z ∈） 11. 若x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数z ax y =+仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是 （ ） A. 1(2,)2-B. 1100,32（-，）（）C. 1(0,)2D. 11(,)32-12. 若函数212[]22(xf x a x e ax ax a R =---+∈（）（）（））在1,12（）上有极大值，则a 的取值范围为 （ ）A. )eB.)C. (2,eD. (),e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河南省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)
2020年河南省髙考数学试卷(文科)(新课标I )一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合Λ = {%∣X 2-3X -4<0}, B={-4, 1, 3, 5},则AC ∖B=() A.{-4, 1}B.{l, 5}C.{3, 5}D.{l, 3}【答案】D【考点】 交集及其运算 【解析】求解一元二次不等式得到集合4,再由交集运算得答案• 【解答】集⅛4={%∣%2-3X -4 <0} = (-l, 4), B={-4, 1,3,5}, 则AnB=(1, 3}, 2.若z=l +2i + iS 则IZl=()A.0B.lC.√2D.2【答案】C【考点】 复数的模 【解析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即町. 【解答】z=l + 2i + i 3= l + 2i - i = l + i, .∙. IZI =√12÷ I 2= ∖[2.3•埃及胡夫金字塔是占代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四 棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面枳，则其侧面三角形 底边上的高与底面正方形的边长的比值为()【答案】A. √5-lD.√5+lB •导C【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论.【解答】设正四棱锥的高为/1，底面边长为6侧面三角形底边上的高为∕Λ则依题意有：h2 = ^ah h2 = h2-φ2'因此有护-φ2 = lαΛ,=> 4（》2 _ 2（》一1 =O » =字（负值舍去）;4・设O为正方形ABCD的中心，在O, A9 B、C9 D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）【答案】A【考点】占典概型及其概率计算公式【解析】根据古典概率公式即可求出.【解答】O, A f B, C, D中任取3点，共有屈=10种, 其中共线为4，O, C和B, O, D两种，故取到的3点共线的概率为P =5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度％（单位：9）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（X it y i Xi = I t 220）得到下面的散点图：由此散点图，在10。
2020年河南省天一大联考高考数学一模试卷(文科)(有解析)
2020年河南省天一大联考高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1<x≤3}，B={−2,−1,0，3，4}，则A∩B=()A. {0}B. {0,3}C. {−1,0，3}D. {0,3，4}2.设z=2i1−i+2+i，则复数z的虚部为()A. 2B. 2iC. 1D. i3.如果a<0,b>0，那么下列不等式中正确的是()A. 1a <1bB. √−a<√bC. a2<b2D. |a|>|b|4.下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是()A. 私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B. 公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C. 公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D. 从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%5.将函数f(x)=sin(2x+φ)，|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在[0,π2]上的最小值为()A. √32B. 12C. −12D. −√326.等差数列{a n}的前n项和为S n，S7−S5=24，a3=5，则S7=()A. 25B. 49C. 15D. 407.已知sin(π3+α)=cos(π3−α)，则cos2α=()A. 0B. 1C.√22D.√328. 已知点F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线x =a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，若AF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. √5B. 1+√2C. 1+√5D. −1+√59. 执行下面的程序若输人的n 为2018，则输出的是( )A. 前1008个正偶数的和B. 前1009个正偶数的和C. 前2016个正整数的和D. 前2018个正整数的和10. 过抛物线x 2=4y 的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则1|AB|+1|CD|=( )A. 2B. 4C. 12D. 1411. 已知函数f(x)={2x ,x <0x −a,x ≥0，以下说法正确的是( )A. ∀a ∈R ，函数f(x)在定义域上单调递增B. ∀a ∈R ，函数f(x)存在零点C. ∃a ∈R ，函数f(x)有最大值D. ∃a ∈R ，函数f(x)没有最小值12. 如图，在四棱锥P −ABCD 中PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 为CD 中点，F 为PA 中点，且PA =AB =2.则三棱锥P −BEF 的体积为( )A. 13 B. 23C. 43D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若b⃗ =(1,1)，a⃗⋅b⃗ =2，|a⃗−b⃗ |=√7，则|a⃗|=______ ．14.下面几种推理过程①某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人②根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质③平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分④在数列{a n}中，a1=1,a n+1=2a n2+a n,n∈Ν∗，计算a2,a3,由此归纳出{a n}的通项公式其中是演绎推理的的序号为_________．15.圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为______ ．16.在△ABC中，若BC=6,AB=4,cosB=13，那么AC=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设满足a1+13a2+15a3+⋯+12n−1a n=n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{√a+√a}的前84项和．18. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =4，CB =2，AA 1=2，∠ACB =60°，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点． (1)证明：C 1F//平面ABE ；(2)设P 是BE 的中点，求三棱锥P −B 1C 1F 的体积．19. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得如下数据： 单价t(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件)908483807568(Ⅰ)求回归直线方程y =bt +a ；(Ⅱ)当单价t 为10元时，预测该产品的销量． 附：回归方程y ̂=b ̂t +a ̂中，b ̂=∑(n i−l ti−t −)(yi−y −)∑(n i−l ti−t −)2=∑t n i−l iyi−nt −y −∑t n i−li 2−nt−2，a ̂=y −−b ̂t −．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为，点P 是椭圆E 上的一个动点，△PF 1F 2的周长为6，且存在点P 使得，△PF 1F 为正三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若AC 的斜率为√3，求四边形ABCD 的面积．21. 求函数f(x)=lnx +x +2x −1在点(2,f(2))处的切线方程．22. 平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为为参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程ρcos(θ−π4)=√2． (I)求C 1和C 2交点的直角坐标；(II)倾斜角为α的直线l 过点E(√3,0)，且直线l 与C 1交于A ，B 两点，若|EA|+|EB|=4，求α的值．23.设函数f(x)=|x|．(1)设f(x−1)+f(x+2)<4的解集为A，求集合A；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1−a a ⋅1−bb⋅1−cc≥8．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵A={x|−1<x≤3}，B={−2,−1,0，3，4}，∴A∩B={0,3}，故选：B．根据集合的交集的运算求出即可．本题考查集合的基本运算，考查计算能力，是一道基础题．2.答案：A解析：解：∵z=2i1−i +2+i=2i(1+i)(1−i)(1+i)+2+i=1+2i，∴复数z的虚部为2．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：∵a<0∴1a <0∵b>0∴1b>0故1a<1b.若a=−2,b=2，则√−a=√b，故B不正确，同理a2=b2，故C也不正确；|a|=|b|，故D也不正确．4.答案：D解析：本题考查统计图表与用样本估计总体.利用图表数据分析即可求得，属简单题．解：由图表知，A.从2016年起，私人类电动汽车充电桩保有量年增长率分别为6.3−0.80.8=687.5％，23.2−6.36.3≈268％，47.7−23.223.2≈106％，60.5−47.747.7≈27％，其中最高的年份是2016年，故A错误；BC.公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是21.4万台，又由于4.9+14.1+21.4+30+44.75=23.02，故BC 错误；D.图表可知，从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%，故D正确．故选D．5.答案：D解析：本题考查了三角函数的图象变换、三角函数的奇偶性及三角函数的值域的应用．由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求出g(x)的解析式，再根据题意求x∈[0,π2]时的最小值即可．解：∵函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数解析式为：y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)为奇函数，∴π3+φ=kπ，即φ=kπ−π3，k∈Z，∵|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=sin(2x−π3)，又x∈[0,π2]，∴2x∈[0,π]，2x−π3∈[−π3,2π3]，∴−√32≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在[0,π2]上的最小值−√32．故选D．6.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d．由等差数列的性质可得：S7−S5=24=a6+a7，a3=5，∴2a1+11d=24，a1+2d=5，解得a1=1，d=2，则S7=7+×2=49．故选B．7.答案：A解析：本题主要考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简已知等式可得cosα=sinα，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．解：∵sin(π3+α)=cos(π3−α)，∴√32cosα+12sinα=12cosα+√32sinα，可得(√32−12)cosα=(√32−12)sinα，可得cosα=sinα，∴cos2α=cos2α−sin2α=0．故选：A．8.答案：D解析：解：设双曲线C：x2a2−y2b2=1的右焦点F(c,0)，双曲线的渐近线方程为y=bax，由x=a代入渐近线方程可得y=b，则A(a,b)，可得AF的中点为(a+c2,12 b)，代入双曲线的方程可得(a+c)24a2−14=1，可得4a2−2ac−c2=0，由e=ca，可得e2+2e−4=0，解得e=√5−1(−1−√5舍去)，故选：D．设出双曲线的右焦点和渐近线方程，可得将交点A 的坐标，运用中点坐标公式，可得中点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，考查渐近线方程的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.答案：B解析：解：模拟程序的运行过程知， 该程序运行后计算并输出， S =2+4+6+⋯+2018的值． 故选：B ．模拟程序的运行过程，求出该程序运行后输出的S 值，即可得解． 本题考查了循环结构的应用问题，是基础题．10.答案：D解析：本题主要考查了抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，消去x ，根据根与系数的关系，得到|AB|和|CD|的值，进而求得1|AB |+1|CD |．解：根据题意，抛物线的焦点为(0,1)，设直线AB 的方程为y =kx +1(k ≠0)，直线CD 的方程为y =−1k x +1，由{y =kx +1x 2=4y ，得y 2−(2+4k 2)y +1=0， 由根与系数的关系得y A +y B =2+4k 2， 所以|AB|=y A +y B +2=4+4k 2， 同理|CD|=y C +y D +2=4+4k 2，所以1|AB |+1|CD |=14k 2+4+k 24k 2+4=14，故选D．11.答案：D解析：解：对于A，当a=1时，f(0)=−1<12=f(−1)，函数f(x)在定义域上不是单调递增函数，故A错误；对于B，当a<0时，在区间[0,+∞)上，f(x)=x−a>0恒成立，在区间(−∞,0)上，f(x)=2x>0恒成立，所以函数f(x)在定义域内不存在零点，故B错误；对于C，当x≥0时，f(x)=x−a，无论a取何值，函数无最大值，故C错误；对于D，∃a=1∈R，使得函数f(x)的值域为(0,+∞)，没有最小值，故D正确．故选：D．A，当a=1时，易求f(0)=−1<12=f(−1)，可判断A的正误；B，当a<0时，利用指数函数与二次函数的性质可知f(x)>0恒成立，从而可判断B的正误；C，当x≥0时，f(x)=x−a，无论a取何值，函数无最大值，据此可判断C的正误；D，∃a=1∈R，使得函数f(x)的值域为(0,+∞)，没有最小值，可判断D的正误．本题考查命题的真假判断与应用，考查分段函数的单调性质、最值应用，属于中档题．12.答案：B解析：求出S△PBF=12×PF×AB=1，E到平面PBF的距离AD=2，三棱锥P−BEF的体积V P−BEF=V E−PBF，由此能求出结果．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解：∵在四棱锥P−ABCD中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD中点，F为PA中点，且PA=AB=2．∴S△PBF=12×PF×AB=12×1×2=1，E到平面PBF的距离AD=2，∴三棱锥P−BEF的体积：V P−BEF=V E−PBF=13×S△PBF×AD=13×1×2=23．故选：B．13.答案：3解析：由已知利用数量积的性质可得√7=√a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ ，代入解出即可．本题考查了数量积的性质，属于基础题．解：∵b⃗ =(1,1)，∴|b⃗ |=√2．∵a⃗⋅b⃗ =2，|a⃗−b⃗ |=√7．∴√7=√a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ ，化为|a⃗|2=9，解得|a⃗|=3．故答案为：3．14.答案：③解析：本题考查简单的演绎推理，推理分为合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)与演绎推理(一般→特殊)，合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．解：①选项，某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班都超过60人，属于归纳推理;②选项，由三角形的性质，推测空间四面体性质，属于类比推理；③选项，具有明显的大前提，小前提，结论，属于典型的演绎推理的三段论形式;④选项，在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n2+a n，n∈N∗，由此归纳出{a n}的通项公式，属于归纳推理；综上，可知，只有③选项为演绎推理．故答案为③．15.答案：4π解析：本题考查了圆柱的结构特征和侧面积计算，属于基础题．根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入侧面积公式计算即可．解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高ℎ=2，∴圆柱的侧面积S=2πrℎ=2π×1×2=4π．故答案为4π．16.答案：6解析：解：∵BC=6,AB=4,cosB=13，∴AC=√AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB=√62+42−2×6×4×13=6．故答案为：6．直接利用余弦定理即可求值得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．17.答案：解：(1)由a1+13a2+15a3+⋯+12n−1a n=n，得a1=1，当n≥2时，a1+13a2+15a3+⋯+12n−3a n−1=n−1，∴12n−1a n=1，a n=2n−1(n≥2)，a1=1适合上式，∴a n=2n−1；(2)∵√a+√a =√a n+1−√a na n+1−a n=12(√a n+1−√a n)=12(√2n+1−√2n−1)．∴数列{√a+√a }的前84项和S84=12(√3−1+√5−√3+⋯+√169−√167)=12(13−1)=6．解析：(1)由已知递推式求得首项，且得到当n≥2时，a1+13a2+15a3+⋯+12n−3a n−1=n−1，与原递推式联立即可得到数列{a n}的通项公式；(2)利用裂项相消法求数列{√a+√a}的前84项和．本题考查数列递推式，考查了利用作差法求数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．18.答案：(1)证明：取AC 的中点M ，连接C 1M ，FM ，在△ABC 中，FM//AB ，而FM ⊄面ABE ，∴FM//平面ABE ，在矩形ACC 1A 1中，E ，M 都是中点，∴C 1M//AE ，而C 1M ⊄平面ABE ，∴C 1M//平面ABE ，∵C 1M ∩FM =M ，∴平面FC 1M ⊄平面ABE ，∵C 1F ⊂平面FC 1M ，∴C 1F//平面ABE ，(2)取B 1C 1的中点H ，连接EH ，则EH//AB ，且EH =12AB =√3FM ， ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴EH ⊥平面BB 1C 1C ，∵P 是BE 的中点，∴V P−B 1C 1F =12V E−B 1C 1F =12×13⋅S △B 1C 1F ⋅EH =12×13×2×√3=√33．解析：(1)根据线面平行的判定定理即可证明：C 1F//平面ABE ；(2)根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥P −B 1C 1F 的体积．本题主要考查线面平行的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．19.答案：解：(Ⅰ)t −=16(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，y −=16(90+84+83+80+75+68)=80，b ̂=∑t i 6i=1y i −6t −y−∑t i 26i=1−6t −2=−20，a ̂=y −−b ̂x −=250， ∴回归方程为y =−20t +250；(Ⅱ)在y =−20t +250中，取t =10，可得y =50．∴当单价t 为10元时，预测该产品的销量为50件．解析：(Ⅰ)由已知表格中的数据求得b ̂与a ̂的值，则线性回归方程可求；(Ⅱ)在(Ⅰ)中求得的回归方程中，取t =10求得y 值得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 20.答案：解：(1)设c 为椭圆的半焦距，依题意，有：{2a +2c =6a =2c ，解得{a =2c =1， ∴b 2=a 2−c 2=3．故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．(2)解：由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33． 则AC ：y =√3(x +1)，BD ：y =−√33(x +1)． 联立{x 24+y 23=1y =√3(x +1)，得5x 2+8x =0，∴x =0或x =−85， ∴|AC|=√1+(√3)2|0−(−85)|=165． 联立{x 24+y 23=1y =−√33(x +1)，得13x 2+8x −32=0，∴x =−4±12√313， ∴|BD|=√33)−4+12√313−−4−12√313|=4813． ∴S ABCD =12|AC|×|BD|=12×165×4813=38465，故四边形ABCD 面积为38465．解析：(1)由题意列关于a ，c 的方程组，求得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； (2)由已知向量等式可得AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33.分别写出AC 、BD 所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四边形面积公式得答案． 本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 21.答案：解：函数f(x)的导数为f′(x)=1x +1−2x 2，所以切线的斜率 k =f′(2)=1，另切点的纵坐标y =f(2)=2+ln2，故切点为(2,2+ln2)，切线方程为y −ln2−2=x −2，整理得y =x +ln2．解析：求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可得到切线方程． 本题考查导数的运用：求切线方程，运用点斜式方程和正确求导是解题的关键．22.答案：解：(I)曲线C 1的普通方程为x 2+y 2−2y =0，曲线C 2的直角坐标方程为x +y −2=0，联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 解得交点的坐标为(0,2)，(1,1)；(II)由题意，直线l 的参数方程为参数)，代入x 2+y 2−2y =0， 得，，设t 1，t 2为A ，B 的参数， 则，所以|EA|+|EB|=t 1+t 2=4， 即， ，由于0⩽α<π，故α=5π6．解析：本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，属于中档题．(I)利用参数方程、极坐标方程与直角坐标的互化方法，得到C 1与C 2的直角方程，即可得出结论； (II)由题意可知，得到直线l 的参数方程，代入x 2+y 2−2y =0中，得到，根据|EA|+|EB|=t 1+t 2=4，即可求解． 23.答案：解：(1)f(x)=|x|，则f(x −1)+f(x +2)=|x −1|+|x +2|={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2．因为f(x −1)+f(x +2)<4，可得{2x +1<4x >1或−2≤x ≤1或{−2x −1<4x <−2， 所以−52<x <32，所以不等式的解集A ={x|−52<x <32}；(2)由(1)知m =1，则a +b +c =1，又a ，b ，c 均为正实数，1−a a ·1−b b ·1−c c=b +c a ·a +c b ·a +b c ≥2√bc a ·2√ac b ·2√ab c =8，当且仅当a =b =a =13时等号成立．所以1−a a ⋅1−b b ⋅1−c c ≥8．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(1)根据f(x)=|x|，可得f(x −1)+f(x +2)={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2，然后由f(x −1)+f(x +2)<4，分别解不等式即可；(2)根据(1)可得a +b +c =m =1，然后利用基本不等式可知1−a a ·1−b b ·1−c c ≥2√bc a ·2√ac b ·2√ab c =8，从而证明1−a a ·1−b b ·1−c c ≥8，注意等号成立的条件．。
河南省郑州市2020年高中毕业班第一次质量预测数学文科试卷
河南省郑州市2020年高中毕业班第一次质量预测数学文科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在答卷上的无效。
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么球的体积公式()()()P A B P A P B =g g如果事件A 在一次实验中发生的概率是P343V R π=球那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C P P -=-第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若全集U R =，集合2{|10},{|20}A x x B x x x =-<=-≤，则 ()A B ⋂= A ．{|12}x x <<B ．{|12}x x <≤C ．{|12}x x x <≥或D ．{|12}x x x ≤>或2．已知向量( 5.3),(2,)a x b x =--=，且a b ⊥，则由x ＝A ． 2或3B ．－1或6C ．6D ．23．已知双曲线的方程为22236x y -=，则此双曲线的离心率为A ．32B C ． D 4．已知2:231,:310p x q x x -<--<，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若数列{}n a 的通项公式为23n a n =+，则13599a a a a ++++=…A ．5150B ．2700C ．9270D ．48606．设e 为椭圆221(2)2x y m m-=>-的离心率，且,1)2e ∈，则实数m 的取值范围为A ．（－1，0）B ．（－2，－1）C ．（－1,1）D ．（－2,－12） 7．函数12()xy x R -=∈的反函数的解析式为A ．21log (1)2xy x -=< B ．22log (1)1y x x =<-C ．22log (0)y x x=>D ．2log (0)2xy x =>8．若log 3log 30a b <<，则下面结论成立的是 A ．01a b <<< B ．01a b <<<C ．01b a <<<D ．01b a <<<9．线段AB 长为2，两个端点A 、B 分别在一个直二面角的两个面上，A B 和两个面所成的角分别是045和030，那么A 、B 在则个二面角的棱上的射影C 、D 间的距离是A ．1B ．12C ．2 D10．若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为，则实数a 的值为A ．－1B ．1或3C ．－2或6D ．0或411．若以连续掷骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 的直线5x y +=下方的概率为A ．16B ．14C ．112D ．1912．若曲线2y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．440x y -+= B ．440x y --=B ．4120x y --=D ．440x y --=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．二项式251()x x+的展开式中4x 的系数为________ .（用数字作答） 14．在ABC ∆中，内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=_______。
2020年河南省高考数学(文科)模拟试卷(5) 含详细答案解析
-1 ?? ∴ =，
12 解得 x＝﹣ 2，
→
∴ |??|= √ (-1) 2 + (-2) 2 = √5．
D．5
故选： C．
4．（ 5 分）已知圆
C：x2+y2﹣ 10y+21 ＝ 0
与双曲线
??2 ??2
-
??2 ??2 =
1(??＞0，?＞? 0) 的渐近线相切，
则该双曲线的离心率是（
）
A ．√2
-
??2 ??2 =
1(??＞0，?＞? 0) 的渐近线相切，
则该双曲线的离心率是（
）
A ．√2
5 B．
3
5 C．
2
D． √5
5．（ 5 分）数列 { an} 满足 2an+1＝ an+an+2，且 a2，a4038 是函数 f（ x）＝ x2﹣ 8x+3 的两个零点，
则 a2020 的值为（
）
A ．4
|0-5??|
5??
即 √ ?2?+??2 =
= 2， ??
?? 5 解得 = ，
?? 2
即双曲线的离心率是
e=
5 2
．
故选： C． 5．（ 5 分）数列 { an} 满足 2an+1＝ an+an+2，且 a2，a4038 是函数 f（ x）＝ x2﹣ 8x+3 的两个零点，
则 a2020 的值为（
3 2
，
0)
时， f（ x）＝ log 2（﹣ 3x+1），则 f（ 2020 ）＝（
）
A ．4
B ．log27
C． 2
D．﹣ 2
2020年河南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(含答案解析)
2020年河南省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D. ，2.已知复数为复数单位，则A. B. C. D.3.2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是A. 月工资增长率最高的为8月份B. 该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C. 由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D. 该销售人员这一年中的最低月工资为1900元4.已知，则为A. B.C. D.5.已知向量，，若，则实数a的值为A. 3B. 1C.D.6.已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.7.某种商品的广告费支出x与销售额单位：万元之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，y x mx24568y3040m5070455055608.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是A. 2B.C.D.9.记不等式组，表示的平面区域为D，不等式表示的平面区域为E，在区域D内任取一点P，则点P在区域E外的概率为A. B. C. D.10.函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则A. B. C. D.11.现有灰色与白色的卡片各八张．分别写有数字1到甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是填写字母A. HB. JC. KD. P12.已知函数，若在上有解，则实数a的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则函数在处的切线方程为______．14.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则______．15.在中，点D是边AC上的点．且，，，则______．16.已知A，B，C，D是球O的球面上四个不同的点，若且平面平面ABC，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列．求数列的通项公式；数列满足，，求证：．18.如图，在三棱柱中，为正三角形，，，，点P为线段的中点，点Q为线段的中点．在线段上是否存在点M，使得平面？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．求三棱锥的体积．19.2019年12月1日起郑州市施行郑州市城市生活垃圾分类管理办法，郑州将正式进入城市生活垃圾分类时代．为了增强社区居民对垃圾分类知识的了解，积极参与到垃圾分类的行动中，某社区采用线下和线上相结合的方式开展了一次200名辖区成员参加的“垃圾分类有关知识”专题培训．为了了解参训成员对于线上培训、线下培训的满意程度，社区居委会随机选取了40名辖区成员，将他们分成两组，每组20人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据辖区成员的评分满分100分绘制了如图所示的茎叶图．根据茎叶图判断辖区成员对于线上、线下哪种培训的满意度更高，并说明理由．求这40名辖区成员满意度评分的中位数m，并将评分不超过m、超过m分别视为“基本满意”“非常满意”两个等级．利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少辖区成员对线上培训非常满意；根据茎叶图填写下面的列联表．基本满意非常满意总计线上培训线下培训总计并根据列联表判断能否有的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异？附：，其中．20.已知椭圆C：，点A、B、P均在椭圆C上，，点B与点A关于原点对称，的最大值为．求椭圆C的标准方程；若，求外接圆的半径R的值．21.已知函数．当时，求的最小值；若函数在上存在极值点，求实数a的取值范围．22.已知在平面直角坐标系内，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．把曲线C和直线l化为直角坐标方程；过原点O引一条射线分别交曲线C和直线l于A，B两点，射线上另有一点M满足，求点M的轨迹方程写成直角坐标形式的普通方程．23.已知函数．求函数的最大值M；已知，，，求的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，或，．故选：B．求出集合B，由此能求出．本题考查交集及其运算，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：复数，则．故选：C．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：对于选项A：根据月工资变化图可知，6月份月工资增长率最高，所以选项A错误；对于选项B：该销售人员一年中工资超过4000元的月份有：1，6，7，8，9，11，12，有7个月工资超过4000元，所以选项B错误；对于选项C：由此图可知，销售人员2019年6，7，8月的平均工资都超过了8000元，而近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元是正确的；对于选项D：由此图可知，该销售人员这一年中的最低月工资为1300元，所以选项D错误，故选：C．根据月工资变化图，6月份月工资增长率最高，所以选项A错误，有7个月工资超过4000元，所以选项B错误，近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元，最低月工资为1300元，所以选项D错误．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．4.答案：A解析：【分析】本题考查含有量词的命题的否定，属于基础题．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：因为，是全称命题，故为：，；故选：A．5.答案：B解析：解：根据题意，向量，，若，则有，解可得；故选：B．根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得a的值，即可得答案．本题考查向量平行的坐标表示，注意向量坐标的定义，属于基础题．6.答案：B解析：解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可以设其方程方程为，又由其过点，则有，解可得，则其方程为：，其标准方程为：，故选：B．根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为，又由其过点，将点的坐标代入方程计算可得m的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意最后的答案要检验其是否为标准方程的形式．7.答案：D解析：【分析】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点属于基础题．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，，，关于x的线性回归方程为，，，，．故选：D．8.答案：C解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体为底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，如图所示；且三棱锥的高为，底面三角形边长，高；该三棱锥的最长棱是．故选：C．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形即可求出该三棱锥中最长棱是多少．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．9.答案：B解析：解：画出区域D和圆，如图示：；；；；区域D的面积是：，圆的部分面积是：，点P落在圆外的概率是：，故选：B．先画出满足条件的平面区域，分别求出区域D的面积和圆外的部分面积，从而求出满足条件的概率P的值．本题考查了简单的线性规划问题，考查了概率问题，是一道基础题．10.答案：A解析：解：函数的图象向左平移个单位，得的图象，所以函数；又函数是偶函数，所以，；所以，；则．故选：A．由函数图象平移得出函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性求出的值，从而求得．本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，考查了推理与计算能力，是基础题．11.答案：C解析：解：由题意，剩余的白色数字为：1，3，4，5，6，8；灰色数字为：1，2，4，5，6，7．易知灰1；白8．然后7必在H，G中选一个位置，但还有一个白6，只能在G位置，故灰．剩下的灰6最大，只能在Q位置．剩下的还有白1，3，4，5，灰2，4，5；白5只能在F，N位置选一个，若放在N位置，则P位置无数可选，故白．剩下的灰5最大，只能在K，P选一位置，但若在K位置，则白4、灰4无法放置，所以灰．则灰4只能在K位置，白，白，白，灰．故选：C．根据剩余的白色数字：1，3，4，5，6，8；灰色数字：1，2，4，5，6，结合从左到右小到大，同数白靠右，先确定最小数字与最大数字的位置，则剩余的数字即可确定，由此找到灰4的位置．本题考查了学生的逻辑推理能力，一般采用反证法的思路去推矛盾，确定结论．属于较难的题目．12.答案：A解析：解：根据题意，函数，函数，其导数，在R上为增函数，函数，在R上为增函数，则函数在R上为增函数；又由，即在上有解，即存在使得，有解，进而可得存在使得，有解，在同一坐标系里画出函数与函数的图象；对于，其导数，当时，曲线的切线的斜率；要满足存在使得，有解，则直线的斜率；故实数a的取值范围为；故选：A．根据题意，分析可得为R上的增函数，结合可得在上有解，即存在使得，有解，在同一坐标系里画出函数与函数的图象；分析可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及数形结合的解题思想方法，曲线导数的几何意义，属于综合题13.答案：解析：解：，，，故切线方程为：，即．故答案为：．先求导数，然后利用导数求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可．本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．14.答案：12解析：解：抛物线的焦点是，椭圆的一个焦点是，由，得．故答案为：12．求出抛物线的焦点，椭圆的焦点，利用相等求出p．本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，是基础题．15.答案：2解析：解：由题意可设，，中由余弦定理可得，，，，，中，由正弦定理可得，，，，则，故答案为：2．在中由余弦定理可求cos A，然后结合同角平方关系可求sin A，在中由正弦定理可求BC，即可得解的值．本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式，属于基础题．16.答案：解析：解：如图所示，取BC中点G，连接AG，DG，则，，分别取与的外心E，F，并过E，F分别作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，由得，正方形OEGF的边长为，则，四面体的外接球的半径，球O的表面积为．故答案为：．取BC中点G，连接AG，DG，分别取与的外心E，F，并过E，F分别作平面ABC 与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，然后根据勾股定理即可求出球的半径，进而得解．本题考查球的表面积的计算，通过几何体的特征，找到球心位置是解题的关键，考查学生的空间立体感和计算能力，属于中档题．17.答案：解：数列为公差d不为0的等差数列，，即为，，，成等比数列，可得，即，化为，解得，，则；证明：，，可得，则，所以．解析：由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；由数列的恒等式，结合等差数列的求和公式，可得，，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质即可得证．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质的运用，考查数列恒等式的运用和数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．18.答案：解：存在线段的中点M，使得平面．证明如下：点P为线段的中点，点Q为线段的中点，，又平面，平面，平面，取的中点M，连接BM，，则，同理平面，又，平面平面．又平面，平面；由为正三角形，知为正三角形，又，，可得，，，．，，即，则．又，平面，平面又，．，平面，又平面，．．解析：由点P为线段的中点，点Q为线段的中点，可得，得到平面，取的中点M，得，同理平面，再由面面平行的判定可得平面平面，进一步得到平面；由已知求解三角形证明平面，得到，求出三角形的面积，再由棱锥体积公式求三棱锥的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：由茎叶图可知，线上培训的满意的评分在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，线下培训的满意的评分在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，故可以认为线下培训的满意的评分比线上培训的满意的评分更高，因此，辖区成员对于线下培训的满意度更高．由茎叶图知，．参加线上培训满意的调查的20名辖区成员中共有6名成员对线上培训非常满意，频率为．又本次培训共200名学员参加，则对线上培训非常满意的学员约有人；列联表如下：基本满意非常满意总计线上培训14620线下培训61420总计202040于是的观测值．由于，没有的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异．解析：直接由茎叶图分析线上培训与线下培训的数据得结论；由茎叶图结合中位数公式求．求出线上培训非常满意的频率，乘以200得对线上培训非常满意的学员人数；结合茎叶图填写列联表，再求出的观测值k，结合临界值表得结论．本题考查茎叶图，考查独立性检验，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：设，则，；又，由对称性知，所以，，所以．注意到，所以时上式取得最大值，即代入得，．所以椭圆C的标准方程为：．由对称性，不妨设点P在直线AB的右上方，因为，所以．注意到，所以，即直线PO：将代入椭圆方程，解得所以，，．设圆心为D，则；由勾股定理：，即．解析：设，根据点A、B、P均在椭圆C上，代入椭圆方程，得的取值范围以及与，与的关系式，再根据的最大值为，求得，的值，从而求得椭圆C的标准方程．由对称性，不妨设点P在直线AB的右上方，因为，所以PO是弦AB的垂直平分线，联立直线PO与椭圆方程求得点P的坐标，圆心D在直线PO上，则；由勾股定理：，解得R即可．本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程的求法，用到方程思想和转化的思想方法，属于中档题．21.答案：解：由已知得当时，，令，则，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，故，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，；，令，当时，，又因为，故，此时在上单调递增，无极值；当时，，在上单调递增，又，在上存在唯一零点，设为，当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，当时，函数在上存在极值点，综上所述，a的取值范围为．解析：求导后可得，令，利用导数可知函数恒成立，由此可得函数在上单调递减，在上单调递增，进而得到最小值；分及讨论，当时，无极值；当时，利用导数可知满足题意，进而得出结论．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为转换为直角坐标方程为，整理得．曲线C的直角坐标方程转换为极坐标方程为，直线l的直角坐标方程转换为极坐标方程为，设，，，由于M满足，所以，整理得，所以，转换为直角坐标方程为，即．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用建立等量关系，进一步求出直角坐标方程．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：函数．所以函数的最大值；，令，，由题意可得：，，，所以，当且仅当时代号成立，此时，，所以的最大值为：．解析：化简函数的解析式，然后求解函数的最大值即可．化简表达式，通过转化，结合基本不等式求解最大值即可．本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
2020年河南省高考数学质检试卷(文科)(6月份)(有解析)
2020年河南省高考数学质检试卷(文科)(6月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|1≤x ≤4}，B ={−2,2}，A ∩B =( )A. {1,2}B. {−2}C. {−2,2}D. {2}2. 复数Z =3−4i ，则|Z|等于( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b 且A =2B ，则ab 的取值范围是( )A. (0,√3)B. (1,2)C. (12,1)D. (0,2)4. 已知sin2α=34，π4<α<π2，则sinα−cosα的值是( )A. 12B. −12C. 14D. −145. 不等式x 2−x −2<0成立的一个充分不必要条件是a <x <a 2+1，则a 的取值范围为( )A. −1≤a ≤1B. −1≤a <1C. −1<a <1D. −1<a ≤16. 已知a >0，x ，y 满足约束条件{x ≥1x +y ≤3y ≥a(x −3)，若z =2x +y 的最小值为1，则a 等于( )A. 14B. 12C. 1D. 27. 函数的图象大致为( )A.B.C.D.8.设不等式组{0≤x≤2,0≤y≤2，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. π4B. π−22C. π6D. 4−π49.设向量a⃗和b⃗ 均为单位向量，且(a⃗+b⃗ )2=1，则a⃗与b⃗ 夹角为()A. π3B. π2C. 2π3D. 3π410.函数的增区间是()A. (0,12] B. (0,1] C. (0,+∞) D. [1,+∞)11.已知椭圆C的上、下顶点分别为B1、B2，左、右焦点分别为F1、F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e等于()A. 13B. 12C. √22D. √3212.在三棱锥A−BCD中，AB=AC，DB=DC，AB+DB=4，AB⊥BD，则三棱锥A−BCD外接球的体积的最小值为()A. 64√2π3B. 32π3C. 8√2π3D. 4π3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=lnx在点(e,1)点处的切线方程为______14.在等比数列{a n}中，a3=1，且1a2+1a4=103，则a2+a4=________．15.若函数的图象过点(0,√3)，且关于点(−2,0)对称，则f(−1)=______．16.如图，已知F1，F2是双曲线C：x22−y22=1的左，右焦点，点A在双曲线的右支上，线段AF1与双曲线左支相交于点B，△F2AB的内切圆与BF2相切于点E，若|AF2|=2|BF1|，则|BE|=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}，若a1+2a2+⋯+na n=2n，则数列{a n a n+1}前n项和为______．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC的中点，∠DAB=90°，AB//CD，AD=CD=2AB=2．(Ⅰ)求证：BE//平面PAD；(Ⅱ)若PA=2，求点C到平面BDE的距离．19.某校为了了解A，B两班学生寒假期间观看《中国诗词大会》的时长，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们观看的时长(单位：小时)作为样本，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个班的学生平均观看的时间较长；(2)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a>b的概率．20.已知抛物线C:x2=2y，过点(−2,4)且斜率为k 的直线l 与抛物线C 相交于M ，N 两点．(1)若k=2，求|MN|的值;(2)记直线l1:x−y=0与直线l2:x+y−4=0的交点为A ，求K AM·K AN的值．x2−ax+lnx(a∈R)21.已知函数f(x)=12(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x1，x2是f(x)的两个极值点x1<x2，求2f(x1)−f(x2)的最小值．22. 在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线l ：ρcosθ=4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12． (1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上任意一点，试求RP 的最小值．23. 设函数f(x)=|x +m|+|2x +1|．(Ⅰ)当m =−1，解不等式f(x)≤3； (Ⅱ)求f(x)的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A={x∈N|1≤x≤4}={1,2，3，4}，B={−2,2}，∴A∩B={2}．故选：D．先求出集合A，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：C解析：解：∵Z=3−4i，∴|Z|=√32+(−4)2=5．故选：C．直接利用复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：B解析：解：在△ABC中，∵A=2B，由正弦定理可得ab =sinAsinB=sin2BsinB=2cosB．再由0<B<π3，可得12<cosB<1，∴1<2cosB<2，即ab∈(1,2)，故选：B．在△ABC中，由正弦定理可得ab =2cosB.再由0<B<π3，求得2cos A的范围，从而求得ab的范围．本题主要考查正弦定理的应用，注意A的范围，属于中档题．4.答案：A解析：本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于中档题． 由已知可得sinα−cosα>0，得到sinα−cosα=√(sinα−cosα)2，展开得答案． 解：由sin2α=34，得2sinαcosα=34， 又π4<α<π2，∴sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√sin 2α+cos 2α−2sinαcosα=√1−34=12． 故选A ．5.答案：D解析：解：由不等式x 2−x −2<0，得−1<x <2．∵不等式x 2−x −2<0成立的一个充分不必要条件是a <x <a 2+1， ∴(a,a 2+1)⫋(−1,2)，则{a <a 2+1a ≥−1a 2+1≤2且a ≥−1与a 2+1≤2的等号不同时成立，解得−1<a ≤1． ∴a 的取值范围为−1<a ≤1． 故选：D ．求解一元二次不等式可得x 2−x −2<0的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解． 本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．6.答案：B解析：解：先根据约束条件画出可行域，如图示： z =2x +y ，将最大值转化为y 轴上的截距的最大值， 当直线z =2x +y 经过点B 时，z 最小， 由{x =12x +y =1得：{x =1y =−1，代入直线y =a(x −3)得，a =12； 故选：B ．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移先确定z 的最优解，然后确定a 的值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．7.答案：B解析：本题考查函数图象的作法，属于较易题.根据函数性质，排除即可．解：因为函数的定义域为(−1,0)∪(0,1)，f(x)=f(−x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A ； 又因为f(12)=√32−lg2<0，排除C ；又因为当x →0时，f(x)→0，排除D ； 故选B ．8.答案：D解析：本题考查与面积有关的几何概型，属于基础题． 根据几何概型的定义求解即可． 解：不等式组{0≤x ≤2,0≤y ≤2表示平面内的一个正方形区域，设区域内的点的坐标为(x,y)，则随机事件：在区域D 内随机取一个点，此点到坐标原点的距离大于2表示是区域D 内在x 2+y 2=4的外部的点，故所求概率为4−π4．故选D ．解析：解：∵(a ⃗ +b ⃗ )2=1，a ⃗ 和b ⃗ 是单位向量，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−12，cosθ=−12， 则<a ⃗ ，b ⃗ >=2π3， 故选C ．根据向量数量积的运算和题意，求出两向量夹角的余弦值，进而求出向量夹角的值．本题考查了向量数量积的应用，即根据数量积的运算求出对应向量的夹角余弦值，注意利用向量夹角的范围求出向量夹角的值．10.答案：D解析：本题考查函数的单调性和单调区间，函数图象的应用，属于基础题． 解：根据题意得到函数的定义域为(0,+∞)，当x >1时，，所以；当0<x <1时，得到，所以；根据解析式画出函数的简图，如图所示：由图象可知，当x ≥1时，函数单调递增．故选D ．解析：本题考查椭圆的几何性质，椭圆的离心率．根据已知条件知b=c，所以a=√2c，这样即可求出离心率e=ca．解：由已知条件知：b=c，∴a=√c2+c2=√2c；∴椭圆的离心率为ca =c√2c=√22．故选：C．12.答案：C解析：本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．由三角形全等可得∠ABD=∠ACD=90°，故而AD为棱锥外接球的直径，根据勾股定理得出AD关于AB的函数，求出AD的最小值即可得出答案．解：∵AB=AC，DB=DC，AD为公共边，∴△ABD≅△ACD又AB⊥BD，即∠ABD=90°，∴∠ACD=90°，设AD的中点为O，则OA=OB=OD=OC，∴O为棱锥A−BCD的外接球的球心．∵AB+BD=4，∴AD2=AB2+(4−AB)2=2AB2−8AB+16=2(AB−2)2+8，∴当AB=2时，AD2取得最小值8，即AD的最小值为2√2，∴棱锥外接球的最小半径为12AD=√2，∴外接球的最小体积为V=43π×(√2)3=8√2π3．故选：C．13.答案：y=1ex 解析：本题考查了利用导数求曲线的斜率和切线方程问题，是基础题．利用导数求曲线的斜率，利用点斜式写出切线方程即可．解：曲线f(x)=lnx过点(e,1)，则f′(x)=1x，∴过点(e,1)且与函数y=f(x)相切的切线斜率为k=f′(e)=1e，∴切线方程为y−1=1e(x−e)，即y=1ex.故答案为：y=1ex.14.答案：103解析：本题主要考查等比数列的通项公式，属基础题．将已知的式子通分即可得q 2+1q=103，代入解得答案．解：1a2+1a4=1a3·q−1+1a3·q1=q2+1q=103，即3q2−10q+3=0，解得：q=3或q=13，∴{a2=3a4=13或{a2=13a4=3，∴a2+a4=3+13=103，故答案为103．15.答案：1解析：本题考查三角函数图象和性质的应用，属于中档题.根据题意求出ω和φ，得到函数的表达式，即可求得f(−1)的值．解：因为函数的图象过点(0,√3)，所以sinφ=√32，又0<φ<π2，所以φ=π3，∴f(x)=2sin(ωx +π3)，又∵f(x)的图象关于点(−2,0)对称，，k ∈Z ， ，k ∈Z ， ，∴k =0，ω=π6， ∴f(x)=2sin(π6x +π3)，∴f(−1)=2sin(−π6+π3)=2sin π6=2×12=1． 故答案为1．16.答案：2√2解析：解：设|BF 1|=m ，则|AF 2|=2m ， 由双曲线的定义有|AF 1|=|AF 2|+2a =2a +2m ， |BF 2|=m +2a ，|EF 2|=m +2a −|BE|∵|AB|=|AF 2|−|EF 2|+|BE|=2m −(m +2a −|BE|)+|BE| ∴|AF 1|=∵|AB|+|BF 1|即有2a +2m =2m −(m +2a −|BE|)+|BE|+m ， 解得|BE|=2a =2√2． 故答案为：2√2．设|BF 1|=m ，则|AF 2|=2m ，由双曲线的定义可得|AF 1|=2a +2m ，|BF 2|=m +2a ，|EF 2|=m +2a −|BE|，再由内切圆的性质，求得a 解得|BE|=2a =2√2．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查内切圆的性质，考查定义法，属于中档题17.答案：4nn+1解析：解：数列{a n }，若a 1+2a 2+⋯+na n =2n ，① 当n ≥2时，a 1+2a 2+⋯+(n −1)a n−1=2(n −1)，②①−②得：na n=2n−2n+2=2，整理得：a n=2n，当n=1时，a1=2，符合通项故：a n=2n，所以：a n a n+1=2n ⋅2n+1=4(1n−1n+1)，则：T n=4(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)，=4(1−1n+1)，=4n n+1故答案为：4nn+1首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.答案：(Ⅰ)证明：令PD中点为F，连接EF，…(1分)∵点E，F分别是△PCD的中点，∴EF平行且等于12CD，∴EF平行且等于AB．∴四边形FABE为平行四边形．…(2分)∴BE//AF，AF⊂平面PAD，EF⊄平面PAD…(4分)∴BE//面PAD…(5分)(Ⅱ)解：由题意，平面PAD⊥平面ABCD，∠DAB=90°，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∵PA⊥BC，AB∩BC=B，∴PA⊥平面ABCD，∴PD=2√2，BE=AF=√2，DB=√5，△PCD中，PD=2√2，CD=2，PC=2√5−2=2√3，∴4DE2+12=2(8+4)，∴DE=√3，∴DE⊥BE，∴S△BDE=12×√3×√2=√62，设点C到平面BDE的距离为h，则13×√62ℎ=13×12×2×2×1，∴ℎ=2√63.…(10分)解析：(Ⅰ)令PD中点为F，连接EF，由已知条件推导出四边形FABE为平行四边形，由此能证明BE//面PAD．(Ⅱ)利用等体积方法，即可求点C到平面BDE的距离．本题考查直线与平面平行的证明，考查点C到平面BDE的距离的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：解：(1)A班样本数据的平均值为15(9+11+14+20+31)=17，由此估计A班学生平均观看时间大约为17小时；B班样本数据的平均值为15(11+12+21+25+26)=19，由此估计B班学生平均观看时间较长；(2)A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，分别为：9，11，14；B班的样本数据中不超过21的数据b有3个，分别为：11，12，21；从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有：9种不同情况，分别为：(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)；其中a>b的情况有(14,11)，(14,12)两种，故a>b的概率为P=29．解析：(1)计算A、B班样本数据的平均值，比较即可得出结论；(2)由A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个；利用列举法求出从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个的基本事件数，计算对应的概率．本题考查了茎叶图以及平均数的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20.答案：解：(1)依题意，直线l：y=2x+8，联立抛物线C：x2=2y，可得x2−4x−16=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=4，x1x2=−16，故|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+4⋅√16+4×16=20；(2)联立{x −y =0x +y −4=0，解得x =y =2，故A (2,2)，设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ， 可得x 2−2kx −4k −8=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−4k −8，则k AM =y 1−2x 1−2=k(x 1+2)+2x 1−2，k AN =y 2−2x 2−2=k(x 2+2)+2x 2−2，k AM ⋅k AN =[k(x 1+2)+2][k(x 2+2)+2](x 1−2)(x 2−2)=k 2[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]+2k(x 1+x 2+4)+4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 2(−4k−8+4k+4)+2k(2k+4)+4−4k−8−4k+4=−1．解析：(1)求得直线l 的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值： (2)求得交点A(2,2)，设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ，运用韦达定理和斜率公式，化简整理即可得到所求值．本题考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.答案：解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=x +1x −a =x 2−ax+1x，(1)①当Δ=(−a )2−4≤0，即−2≤a ≤2时，f ′(x)≥0恒成立， 则f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a <−2时，令f ′(x)=0，设两根分别为x 1，x 2， 因为x 1+x 2=a <0,x 1x 2=1>0，所以x 1<0,x 2<0， 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；③当a >2时，令f ′(x)=0，设两根分别为x 1，x 2， 解得0<x 1=a−√a2−42<1<x 2=a+√a 2−42，所以f(x)在(0,a−√a2−42)和上单调递增，在(a−√a2−42,a+√a 2−42)上单调递减．综上所述，当a ≤2时，f(x)在(0,+∞)单调递增； 当a >2，f(x)在(0,a−√a2−42)，上单调递增，(a−√a2−42,a+√a 2−42)上单调递减；(2)由(1)可知，若f(x)有两极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则a >2， 且0<x 1<1，x 2>1，x 1+x 2=a ，x 1x 2=1，，设，x ∈(0,1)，g ′(x)=−(2x 2−1)(x 2−1)x 3，当0<x <√22时，g ′(x )<0，g(x)单调递减；当√22<x <1时，g ′(x )>0，g(x)单调递增， 所以x =√22时，g(x)最小值为， 所以2f(x 1)−f(x 2)最小值为．解析：本题主要考查函数单调性，极值，最值和导数的关系，求函数的导数，利用构造法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．(1)求函数的定义域和导数，讨论a 的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可； (2)由题意得，设，x ∈(0,1)，求出函数g(x)的导数，研究其最小值即可求解．22.答案：解：(1)直线ρcosθ=4在平面直角坐标系中对应的方程为x =4，设M 的坐标(4,b)，P 点坐标为(x,y)， 则b4=yx ，b =4y x，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,b)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， ∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12，4x +by =12， 所以4x +4y x⋅y =12，x 2−3x +y 2=0这就是所求圆的方程，化为标准式为(x −32)2+y 2=94；(2)因为R 为l 上任意一点，(x −32)2+y 2=94； 圆心坐标(32,0)，半径为：32；则圆心到直线x =4的距离为：4−32=52， 圆的半径为：32，所以所求RP 的最小值为52−32=1．解析：(1)求出直线l 的普通方程，设出M 的坐标，P 的坐标，建立M ，P 两点的坐标关系，求出向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，通过OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12，求出点P 的轨迹方程； (2)要求RP 的最小值，就是求圆心到直线的距离减去半径即可．本题是中档题，考查动点的轨迹方程的求法，极坐标与直角坐标方程的转化，两点之间的距离，转化为圆心到直线的距离的求法，考查计算能力，转化思想的应用．23.答案：解：(Ⅰ)当m =−1时，不等式f(x)≤3，可化为|x −1|+|2x +1|≤3．当x ≤−12时，−x +1−2x −1≤3，∴x ≥−1，∴−1≤x ≤−12； 当−12<x <1时，−x +1+2x +1≤3，∴x ≤1，∴−12<x <1； 当x ≥1时，x −1+2x +1≤3，∴x ≤1，∴x =1； 综上所得，−1≤x ≤1． (Ⅱ)f(x)=|x +m|+|2x +1|=|x +m|+|x +12|+|x +12|≥|(x +m)−(x +12)|+|x +12|=|m −12|+|x +12|，当且仅当(x +m)(x +12)≤0时等号成立． 又因为|m −12|+|x +12|≥|m −12|，当且仅当x =−12时，等号成立． 所以，当x =−12时，f(x)取得最小值|m −12|．解析：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义．(Ⅰ)当m =−1，化简不等式，通过x 的范围，取得绝对值符号，求解不等式f(x)≤3； (Ⅱ)利用绝对值的几何意义求解函数的最值即可．。
【文科数学解析版】2020郑州市第一次质量检测文科数学
文科数学试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A = 1,2,3,4,B = x|−1 x 3,则A B
A ．1
B .1,2
C .1，2，3
D .1，2，3，4
答案： B
解析： {1,2} B ，故选 B
故从总体的 500 名学生中随机抽取一人，其分数高于 60 的概率估计为 0.8．
...3 分
（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为
(0.01 + 0.02 + 0.04 + 0.02)10 = 0.9 ， 分数在区间[40,50) 内的人数为 100 −1000.9 − 5 = 5．
−
4
,
4
时，
f
(
x
)
0
恒成立
其中正确结论的编号是
A .①②
B .①②③
C .①③④
D .①②④
答案： D
解析：
① sin x 和 cos x 均为偶函数，故 f (x) 为偶函数，正确
② x ( , ) ， f (x) = sinx + cos x = 2 sin(x + ) ，
2020年河南省高考数学(文科)模拟试卷(9)
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）已知集合 A＝ { x∈N |x＞1} ，B＝ { x|x＜5} ，则 A∩ B＝（ ）
A ．{ x|1＜ x＜5}
B ．{ x|x＞ 1}
C． {2 ， 3， 4}
D． {1 ，2， 3，4， 5}
??
第 1页（共 18页）
（）
11 A ．12
3 B．4
1 C． 4
8．（ 5 分）函数 f（ x）＝ x2+e|x|的图象只可能是（
）
7 D．9
A．
B．
C．
D．
9．（ 5 分）若点 A（2， 0）， B（ a， 4）在直线 y＝3 x+7 的两侧，则 a 的取值范围是（
）
A ．a＜﹣ 1
B ．a＞﹣ 1
6．（ 5 分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表
面积为（
）
A ．23π
23?? B．
4
C． 64π
64?? D．
3
7．（ 5 分）如图，在△
ABC
→
中， ????=
5 8
→
???，?
→
????=
2 5
→
???，? 若
→
????=
→
→
??
?????+?????，??则 的值为
A ．{ x|1＜ x＜5}
B ．{ x|x＞ 1}
C． {2 ， 3， 4}
【解答】 解：∵集合 A＝ { x∈N|x＞ 1} ， B＝ { x|x＜ 5} ，
2020年河南省郑州市巩义市高考数学模拟试卷(文科)(6月份)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ≥3}，B ＝{x |0＜x ＜4}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，4）B ．（0，3]C ．[3，4）D ．（3，4）【解答】解：∵集合A ＝{x |x 2﹣2x ≥3}＝{x |x ≤﹣1或x ≥3}， B ＝{x |0＜x ＜4}，∴A ∩B ＝{x |3≤x ＜4}＝[3，4）． 故选：C ．2．（5分）在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数11−i=1+i (1−i)(1+i)=12+12i ，共轭复数对应点的坐标（12，−12）在第四象限．故选：D ．3．（5分）5G 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是（ ）A ．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B ．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C ．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D ．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量【解答】解：对于A ，由柱状图可得五月出货量最高，故A 正确；对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确；对于C，根据曲线上数据可得仅仅四月五月比同比高，其余各月均低于2018年，且明显总出货量低于2018年，故C正确；对于D，可计算的2018年12月出货量为3044.4÷（1﹣14.7%）＝3569.05，8月出货量为3087.5÷（1﹣5.3%）＝3260.3＜3569.05，故12月更高，故D错误，故选：D．4．（5分）函数f(x)=2x+xx+1的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f(x)=2x+xx+1=2x−1x+1+1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．∴f′（x）＝2x ln2+1(x+1)2＞0恒成立成立，∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）单调递增，当x＞x0时，f′（x）＞0，函数单调递增，故排除C，D，当x→﹣∞时，2x→0，x→1，∴f （x ）→1，故排除B ， 故选：A ．5．（5分）若a ＞1，则双曲线x 2a 2−y 2＝1的离心率的取值范围是（ ）A ．（√2，+∞）B ．（√2，2）C ．（1，√2）D ．（1，2） 【解答】解：a ＞1，则双曲线x 2a 2−y 2＝1的离心率为：ca=√1+a 2a=√1+1a 2∈（1，√2）． 故选：C ．6．（5分）已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【解答】解：由题意，可知： a ＝log 27＞log 24＝2， b ＝log 38＜log 39＝2， c ＝0.30.2＜1， ∴c ＜b ＜a ． 故选：A ．7．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤52x −y ≤4−x +y ≤1y ≥0，则目标函数z ＝3x +5y 的最大值为（ ）A ．6B ．19C ．21D ．45【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤52x −y ≤4−x +y ≤1y ≥0，得如图所示的可行域，由{x +y =5−x +y =1解得A （2，3）．当目标函数z ＝3x +5y 经过A 时，直线的截距最大， z 取得最大值．将其代入得z 的值为21， 故选：C ．8．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：若输入N ＝20， 则i ＝2，T ＝0，N i=202=10是整数，满足条件．T ＝0+1＝1，i ＝2+1＝3，i ≥5不成立，循环，N i=203不是整数，不满足条件．，i ＝3+1＝4，i ≥5不成立，循环，N i=204=5是整数，满足条件，T ＝1+1＝2，i ＝4+1＝5，i ≥5成立，输出T ＝2， 故选：B ．9．（5分）设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂β B ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β【解答】解：若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂β或l ∥β，故A 错误； 若l ∥α，α∥β，则l ⊂β或l ∥β，故B 错误；若l ⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l ⊥β，故C 正确； 若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β或l ∥β，故D 错误； 故选：C ．10．（5分）如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM →•AO →的值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．6【解答】解：如图，延长AO 交△ABC 的外接圆于点N ，连接BN ，CN ；∵M 为边BC 中点；∴AM →=12(AB →+AC →)，且∠ABN =∠ACN =π2；∴AM →⋅AO →=14(AB →+AC →)⋅AN →=14(AB →⋅AN →+AC →⋅AN →)=14(|AB →||AN →|cos∠BAN +|AC →||AN →|cos∠CAN)=14(|AB →|2+|AC →|2) ＝5． 故选：B ．11．（5分）已知直线l 过抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F ，且与抛物线C 在第一象限的交点为M ，点N 在抛物线C 的准线l 1上，且MN ⊥l 1．若点M 到直线NF 的距离是4√3，则直线l 的斜率是（ ） A ．−√33B ．√33C ．−√3D ．√3【解答】解：由题意可知，F （2，0），设M （x 0，y 0），则N （﹣2，y 0），直线NF 的方程为y =−y 04(x −2)，即y 0x +4y ﹣2y 0＝0． ∵点M 到直线NF 的距离是4√3，∴0000√y 02+16=4√3．∵点M 在抛物线C 上，∴y 02=8x 0，∴|y 038+4y −2y |√y 02+16=4√3，整理得y 02(y 02+16)=64×48，解得y 0=4√3，∴x 0＝6，即M(6，4√3)， 故直线l 的斜率是4√3−06−2=√3．故选：D ．12．（5分）若对任意实数x ∈（﹣∞，1]，|x 2−2ax+1e x|≥1恒成立，则a ＝（ ）A ．−12B ．0C ．12D ．e【解答】解：f(x)=x 2−2ax+1e x ，则f′(x)=(1−x)[x−(2a+1)]e x(x ≤1)． 当2a +1≥1，即a ≥0时，f '（x ）≤0，则f （x ）在（﹣∞，1]单调递减，故f(x)≥f(1)=2−2a e ≥1，解得a ≤1−e2＜0，所以a ≥0不符合题意； 当2a +1＜1，即a ＜0时，f （x ）在（﹣∞，2a +1）上单调递减，在（2a +1，1]上单调递增，则f （x ）min ＝f （2a +1）． 因为x 2−2ax+1e x≥1，所以f(x)≥f(2a +1)=2a+2e 2a+1≥1． 令2a +1＝t ＜1，不等式2a+2e 2a+1≥1可转化为e t ﹣t ﹣1≤0，设g （t ）＝e t ﹣t ﹣1，则g '（t ）＝e t ﹣1，令g '（t ）＜0，得t ＜0；令g '（t ）＞0，得0＜t ＜1，则g （t ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增， 当t ＝0时，g （t ）有最小值0，即g （t ）≥0，因为g （t ）≤0，所以g （t ）＝0，此时2a +1＝0，故a =−12． 故选：A ．二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）函数f （x ）＝2cos x +sin x 的最大值为 √5 ． 【解答】解：函数f （x ）＝2cos x +sin x =√5（2√55cos x +√55sin x ）=√5sin （x +θ），其中tan θ＝2，可知函数的最大值为：√5． 故答案为：√5．14．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＝2x 3+x 2，则f （2）＝ 12 ．【解答】解：∵当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＝2x 3+x 2， ∴f （﹣2）＝﹣12，又∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴f （2）＝12， 故答案为：1215．（5分）利用随机模拟方法计算y ＝4和y ＝x 2所围成图形的面积．首先利用计算机产生两组0﹣1区间的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ，然后进行平移和伸缩变换，a ＝4（a 1﹣0.5），b ＝4b 1，若共产生了N 个样本点（a ，b ），其中落在所围成图形内的样本点数为N 1，则所围成图形的面积可估计为16N 1N．（结果用N ，N 1表示）【解答】解：由题意a 1＝∈[0，1]，a ＝4（a 1﹣0.5）＝4a 1﹣2∈[﹣2，2]， 又b 1∈[0，1]，b ＝4b 1∈[0，4]由N 个样本点（a ，b ），其中落在所围成图形内的样本点数为N 1，则N 1N=S4×4，如图所示；所以围成图形的面积可估计为S =16N 1N． 故答案为：16N 1N．16．（5分）已知A 、B 是球O 球面上的两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为 144π ．【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC ＝V C ﹣AOB =13×12×R 2×R =16R 3=36， 故R ＝6，则球O 的表面积为4πR 2＝144π， 故答案为：144π．三、解答题：共0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2+a 3＝5ln 2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求e a1+e a2+⋯+e a n．【解答】解：（Ⅰ）{a n}是等差数列，且a1＝ln2，a2+a3＝5ln2．可得：2a1+3d＝5ln2，可得d＝ln2，{a n}的通项公式；a n＝a1+（n﹣1）d＝nln2，（Ⅱ）e a n=e ln2n=2n，∴e a1+e a2+⋯+e a n=21+22+23+…+2n=2(1−2n)1−2=2n+1﹣2．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，AB⊥BC，P A＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：P A⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面P AC；（3）当P A∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：由P A⊥AB，P A⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC＝B，可得P A⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得P A⊥BD；（2）证明：由AB＝BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由P A⊥平面ABC，P A⊂平面P AC，可得平面P AC⊥平面ABC，又平面P AC∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面P AC，BD ⊂平面BDE ，可得平面BDE ⊥平面P AC ；（3）P A ∥平面BDE ，P A ⊂平面P AC ， 且平面P AC ∩平面BDE ＝DE ， 可得P A ∥DE ， 又D 为AC 的中点，可得E 为PC 的中点，且DE =12P A ＝1， 由P A ⊥平面ABC ， 可得DE ⊥平面ABC ，可得S △BDC =12S △ABC =12×12×2×2＝1， 则三棱锥E ﹣BCD 的体积为13DE •S △BDC =13×1×1=13．19．（12分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．A B C D E F子女教育 〇 〇 × 〇 × 〇 继续教育××〇×〇〇大病医疗 × × × 〇 × × 住房贷款利息 〇 〇 × × 〇 〇 住房租金 × × 〇 × × × 赡养老人〇〇×××〇（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10， 由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人； （Ⅱ）（i ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 {A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }， {B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种； （ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }， {B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种， 所以，事件M 发生的概率P （M ）=1115． 20．（12分）设椭圆x 2a 2+y 23=1（a ＞√3）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率． 【解答】解：（1）由1|OF|+1|OA|=3e|FA|，得√a 2+1a=3⋅√a 2−3a2，即a+√a 2−3a⋅√a 2−3=3√a 2−3a(a−√a 2−3)，∴a [a 2﹣（a 2﹣3）]＝3a （a 2﹣3），解得a ＝2．∴椭圆方程为x 24+y 23=1；（2）由已知设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），（k ≠0）， 设B （x 1，y 1），M （x 0，k （x 0﹣2））， ∵∠MOA ＝∠MAO ， ∴x 0＝1， 再设H （0，y H ），联立{y =k(x −2)x 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0．△＝（﹣16k 2）2﹣4（3+4k 2）（16k 2﹣12）＝144＞0． 由根与系数的关系得2x 1=16k 2−123+4k2，∴x 1=8k 2−63+4k2，y 1=k(x 1−2)=−12k 3+4k2，MH 所在直线方程为y ﹣k （x 0﹣2）=−1k（x ﹣x 0）， 令x ＝0，得y H ＝（k +1k ）x 0﹣2k ， ∵BF ⊥HF ，∴BF →⋅HF →=(1−x 1，−y 1)⋅(1，−y H )=0， 即1﹣x 1+y 1y H ＝1−8k 2−63+4k2−12k 3+4k2[（k +1k）x 0﹣2k ]＝0，整理得：x 0=9+20k212(k 2+1)=1，即8k 2＝3．∴k =−√64或k =√64．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣x ． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若f （x 1）＝f （x 2），x 1≠x 2，求证：e x 1+ex 2＞2．【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）＝e x ﹣1，令f ′（x ）＞0解得x ＞0，令f ′（x ）＜0解得x ＜0，∴函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减； （Ⅱ）证明：不妨设x 1＜x 2，由f （x 1）＝f （x 2）可得，e x 1−x 1=e x 2−x 2，则e x 2−e x 1x 2−x 1=1，要证ex 1+ex 2＞2，即证x 2−x 1e x 2−e x 1(ex 2+e x 1)＞2，而x 2−x 1e x 2−e x 1(e x 2+e x 1)=(x 2−x1)e x2−x1+1 e x2−x1−1，令t＝x2﹣x1（t＞0），则即证t⋅e t+1e t−1＞2，即t（e t+1）﹣2e t+2＞0，令g（t）＝t（e t+1）﹣2e t+2，t＞0，则g′（t）＝（t+1）e t+1﹣2e t＝（t﹣1）e t+1，令h（t）＝（t﹣1）e t+1，则h′（t）＝te t＞0在（0，+∞）上恒成立，∴g′（t）在（0，+∞）上单增，故g′（t）＞g′（0）＝0，故g（t）在（0，+∞）上单增，故g（t）＞g（0）＝0，故原命题得证．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【解答】解：（Ⅰ）由于x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1：x＝﹣2 的极坐标方程为ρcosθ＝﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2＝1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=π4（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0，即ρ2﹣（√2+2√2）ρ+4＝0，求得ρ1＝2√2，ρ2=√2，∴|MN|＝|ρ1﹣ρ2|=√2，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为12•C2M•C2N=12×1×1=12．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣2|x ﹣a |，a ＞0． （Ⅰ）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（Ⅱ）若f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a ＝1时，不等式f （x ）＞1，即|x +1|﹣2|x ﹣1|＞1， 即{x ＜−1−x −1−2(1−x)＞1①，或{−1≤x ＜1x +1−2(1−x)＞1②，或{x ≥1x +1−2(x −1)＞1③． 解①求得x ∈∅，解②求得23＜x ＜1，解③求得1≤x ＜2．综上可得，原不等式的解集为（23，2）．（Ⅱ）函数f （x ）＝|x +1|﹣2|x ﹣a |={x −1−2a ，x ＜−13x +1−2a ，−1≤x ≤a −x +1+2a ，x ＞a，由此求得f （x ）的图象与x 轴的交点A （2a−13，0），B （2a +1，0），故f （x ）的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C （a ，a +1）， 由△ABC 的面积大于6， 可得12[2a +1−2a−13]•（a +1）＞6，求得a ＞2． 故要求的a 的范围为（2，+∞）．。
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2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|﹣1<x<3}，则A∩B=（）A．{1}B．（1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}【答案】B【命题意图】该题考查集合列举法、描述法，集合的交集运算，属于基础题，较为简单．【解析】因为A={1，2，3，4}，B={x|﹣1<x<3}，所以A∩B={1，2}．故选B．【点评】进行交集的运算，取公共部分．2．复数z1ii+=（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【命题意图】该题考查复数的乘除运算及复数与复平面内的点一一对应，属于基础题较为简单．【解析】z()i1i1ii i i-++===-⋅1﹣i，因此在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选D．【点评】利用复数的乘除运算以及复数与复平面内的点一一对应的关系即可得出．3．设a=213，b=（14）23，c=log212，则（）A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 【答案】A【命题意图】该题考查有理指数幂与对数的运算性质，属于基础题，较为简单．【解析】由于a=213>20=1，0<b=（14）231()14<=，c=log212<log21=0，因此a>b>c．故选A．【点评】通过指数幂与对数的运算性质借助中间量0,1，比较a，b，c,的大小得答案．4．设α、β是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则（）A．若α∥β，则l∥m B．若m∥α，则α∥βC．若m⊥α，则α⊥βD．若α⊥β，则l⊥m【答案】C【命题意图】该题考查空间线面关系的判定，需要一定空间想象能力，属于基础题．【解析】若α∥β，则直线l与m也可能异面，故A错误．若m∥α，则平面α与β也可能相交，故B错误．若m⊥α，m⊂β，平面β经过平面a的垂线m，由线面垂直的判定定理，得α⊥β，故C正确．若α⊥β，则l与m也可能平行或异面，或相交，故D错误．故选C．【点评】通过线面的位置关系，加以判断．5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（）A．165B．185C．10D．325【答案】B【命题意图】该题考查几何概型的应用，属于基础题，较为简单．【解析】设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为9，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P800220005==；而P9s=，则295s=，因此S185=；故选B．【点评】根据几何概型的定义即可求解，设阴影部分的面积为S，可得向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P25=；，又由几何概型可得P9s=，联立解可得答案．6．若变量x，y满足约束条件340x yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则y﹣2x的最小值是（）A．﹣1B．﹣6C．﹣10D．﹣15【答案】B【命题意图】该题考查线性规划，需要一定的数形结合思想，属于基础题．【解析】令z=y﹣2x，则y=2x+z，作340x yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点A时，根据z的几何意义可知，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最值，由340x yx y+=⎧⎨+-=⎩，解得A（2，﹣2），将（2，﹣2）代入z=y﹣2x，得z=﹣2﹣2×2=﹣6，因此z=y﹣2x的最小值为﹣6．故选B．【点评】根据不等式组作出可行域，再令z=y﹣2x，平移变换即可．7．已知函数y=f（x）的图象由函数g（x）=cos x的图象经如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数y=f（x）的对称轴方程为（）A．xππ212k=+，k∈Z B．xππ26k=+，k∈ZC．x=kππ12+，k∈Z D．x=kππ6+，k∈Z【答案】A【命题意图】该题主要考查三角函数图象变换规律以及余弦函数的图象的对称性，属于基础题．【解析】先将g（x）的图象向右平移π6个单位长度，可得y=cos（xπ6-）的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数f（x）=cos（2xπ6-）的图象，令2xπ6-=kπ，则f（x）的图象的对称轴方程为xππ212k=+，k∈Z，故选A．【点评】根据三角函数左加右减的变换规律，结合余弦函数的图象的对称性，可得结论．8．直线3x+4y+m=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0相切，则m=（）A．﹣5或15B．5或﹣15C．﹣21或1D．﹣1或21【答案】A【命题意图】考查直线与圆的位置关系，属于基础题，较为简单．【解析】圆标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=4，因为直线3x+4y+m=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0相切，则圆心（1，﹣2）到直线的距离等于半径得2385m-+=，|m﹣5|=10，因此m=﹣5，或15，故选A．【点评】将元的一般方程转化为标准方程再根据圆心（1，﹣2）到直线的距离等于半径，求出m即可．9．已知椭圆2222x ya b+=1（a>b>0）的离心率为35，直线2x+y+10=0过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（）A．2254x y+=1B．22259x y+=1C．22169x y+=1D．222516x y+=1【答案】D【命题意图】该题考查椭圆的标准方程以及性质属于基础题．【解析】因为椭圆2222x ya b+=1（a>b>0）的离心率为35，直线2x+y+10=0过椭圆的左顶点，则35ca=，a=5，解得c=3，则b=4，因此椭圆的方程为：222516x y+=1．故选D．【点评】根据已知条件，求出a，c，再根据椭圆的基本性质求解b，即可得到结果．10．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在球面上，PB⊥平面ABC．PB，△ABC为直角三角形，AB⊥BC，且AB=1，BC=2．则球的表面积为（）A ．5πB ．10πC ．17πD 【答案】C【命题意图】考查几何体外接球的半径及外接球的表面积公式，需要一定空间想象能力属于基础题． 【解析】根据题意作出如下图，设底面外接圆的圆心为O '， 因三角形ABC 是直角三角形，所以O '为斜边的中点，因此底面外接圆的半径r 等于斜边的一半，即r 22==， 过O '做垂直于底面的直线OO '交三棱锥的中截面与O 点，则O 为外接球的球心，且OO '2PB ==R 2=r 2+OO '254=+3174=， 因此S =4πR 2=17π，故选C ．【点评】PB ⊥平面ABC ，侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球的球心为过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，且底面为直角三角形，因此底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和三棱锥的高的一半构成直角三角形，根据勾股定理由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积． 11．关于函数f （x ）=sin|x |﹣|cos x |有下述四个结论：①f （x ）是偶函数;②f （x ）在区间（π2，π）单调递减;③f （x ④当x ∈（π4-，π4）时，f （x ）<0恒成立 其中正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①②③ C ．①③④ D ．①②④【答案】D【命题意图】该题考查三角函数的图象和性质，以及函数的奇偶性单调性，属于中档题．【解析】①f （﹣x ）=sin|﹣x |﹣|cos （﹣x ）|=sin|x |﹣|cos x |=f （x ），满足偶函数定义，f （x ）是偶函数． ②x ∈（π2，π），sin|x |=sin x ，|cos x |=﹣cos x因此f （x ）=sin x ﹣（﹣cos x ）=sin x +cos x =（x π4+），复合函数单调性（π2，π）上单调递减．③x ∈（0，π2]，f （x ）=sin x ﹣cos x =（x π4-），因此f （x ）最大值1，x ∈（π2，π]，f （x ）=sin x +cos x =（x π4+），则f （x ）最大值1，x ∈（π，3π2]，f （x ）=sin x +cos x =（x π4+），则f （x ）最大值﹣1，x ∈（3π2，2π]，f （x ）=sin x ﹣cos x =（x π4-），则f （x ）最大值﹣1，因此f （x ）最大值为1．④x ∈（0，π4]，f （x ）=sin x ﹣cos x =（x π4-）<0， 因f （x ）是偶函数，x ∈（π4-，0]，也有f （x ）<0， 因此x ∈（π4-，π4）时，f （x ）<0恒成立，故正确的是①②④，故选D ． 【点评】①根据定义可知，f （﹣x ）=f （x ），所以正确．②x ∈（π2，π），f （x ）=sin x ﹣（﹣cos x ）=sin x +cos x =（x π4+）根据复合函数单调性可知，在（π2，π）上单调递减．③将函数转化为分段函数在不同区间上求最值，分别在x ∈（0，π2]时，当x ∈（π2，π]时，当x ∈（π，3π2]时，当x ∈（3π2，2π]时，确定f （x ）最大值． ④x ∈（0，π4]，f （x ）<0，又因f （x ）是偶函数，当x ∈（π4-，0]时，f （x ）<0，由函数的对称性可知．12．已知关于x 的方程为22(3)xx e -=3e x ﹣22e+（x 2﹣3），则其实根的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【命题意图】该题考查函数与方程之间的关系，通过数形结合的方法，属于难题．【解析】因为x =22(3)xx e -=3e x ﹣22e +（x 2﹣3）的根， 因此方程可变形为2222333x xe x e e x e--=⋅--， 根的个数问题转化为两函数y 2e=-与函数g （x ）222333x x e x e x e -=⋅--的交点个数， 构造h （x ）23xe x =-，则h ′（x ）()22223(3)x e x x x --=-，列表可得：x （﹣∞，）（﹣1） （﹣13）（3，+∞）h ′（x ） + + ﹣ ﹣ + h （x ） 单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增因为函数y 231x e x=-在有意义的区间内单调递增， 故g （x ）的单调性与函数h （x ）的单调性一致， 并且g （x ）的极值g （﹣1）=g （3）3312e=-+2e ， 则函数图像如图所示， 通过观察分析可知，y 2e=-与函数g （x ）恒有3个交点， 因此方程实数根的个数是3，故选B ．【点评】将方程变形为2222333x x e x e e x e --=⋅--，根的个数问题转化为函数y 2e=-与函数g （x ）222333x x e x e x e-=⋅--的交点个数，通过导数研究g （x ）单调性，极值，根据数形结合法，即可得到答案．二、填空题：该题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知a >0，b >0，2a +b =4，则3ab的最小值为 ． 【答案】32【命题意图】该题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题． 【解析】由题意可知a >0，b >0，2a +b =4，根据基本不等式得，4≥， 因此ab ≤2，当b =2a 即b =2，a =1时取等号 因此3ab 的最小值为32．故答案为：32． 【点评】通过基本不等式求解ab 的范围，从而转化为函数求最值问题． 14．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且63338S S =，则6542a a a =+ ．【答案】13【命题意图】该题考查等比数列通项公式，属于基础题，较为简单．【解析】63338S S =，显然q ≠1，因此()()613119118a q a q q -=--， 1+q 398=，解得12q =，又因()5261435411222123132a a q q a a q a q q ====+++．故答案为：13． 【点评】根据等比数列求和以及已知条件化简求公比q ，然后代入等比数列的通项公式即可求解．15．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a >0，b >0）的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF =6，则双曲线C 的离心率为 ． 【答案】54【命题意图】该题考查双曲线的方程和性质以及离心率与渐近线等内容，有一定综合性，属于基础题． 【解析】根据题意可知a =4，设双曲线的一条渐近线方程为bx ﹣ay =0，焦点为F （c ，0）， 则|MF|==b ，在t R ∆ OMF 中，可得|OM|===a ，则△OMF 的面积为12ab =2b =6，可得b =3，c ==5，则e 54c a ==．故答案为：54． 【点评】通过定义设渐近线方程以及焦点坐标，通过点到直线的距离公式和双曲线的a ，b ，c 的关系，可得a ，再根据三角形的面积公式得c ，从而求解离心率．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cos A =a-cos C ），c =2，D 为AC 上一点，AD ：DC =1：3，则△ABC 面积最大时，BD = ．【命题意图】该题考查正弦定理、余弦定理解三角形以及三角形面积公式的运用，需要一定的转化思想，转化为二次函数的最值求法，属于难题． 【解析】2cos A =a-cos C ），c =2，则c cosA=-a cos C，根据正弦定理可知sin C cos A+sin A cosC=A，因此sin（A+C）=sinB=A，因此b=，根据p22a++=，p﹣a22a-+=，p﹣c22a+-=，p﹣b22a+-=，通过三角形面积的海伦公式可得S△ABC===，在a2=12，即ab，△ABC的面积取得最大值，因为D为AC上一点，AD：DC=1：3，因此AD=，则cosA2222642BDb c abc+-+-===，解得BD=．．【点评】根据题意结合三角形的正弦定理和三角函数和差公式，可得b=，再由三角形的海伦面积公式，转化为二次函数的最值求法，即可得到三角形的面积取得最大值时a的值，再通过余弦定理计算可得所求值．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．已知等差数列{a n}为递增数列，且满足a1=2，a32+a42=a52．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n ()()1111n n a a -=++（n ∈N *），S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n ． 【命题意图】该题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，需要一定计算能力，属于基础题较为简单．【解析】（Ⅰ）因为数列递增所以d >0，根据a 1=2，a 32+a 42=a 52，可得（2+2d ）2+（2+3d ）2=（2+4d ）2， 解得d =2（23-舍去），又因a n =2+2（n ﹣1）=2n ； （Ⅱ）b n ()()()()11111121212n n a a n n -===+++-（112121n n --+）， S n 12=（1111113352121n n -+-++--+L ）12=（（1121n -+）21n n =+． 【点评】（Ⅰ）根据等差数列通项公式，可以求得公差且d >0，解方程可得公差，从而求得通项公式； （Ⅱ）数列的裂项相消求和，化简可得所求和-18．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，点D 为AB 中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1﹣BCD ，如图（2），其中∠A 1DB =60°，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥G ﹣A 1DC 的体积．【命题意图】该题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，需要对线面垂直的判定以及几何体求体积的方法加以掌握，属于中档题．【解析】（Ⅰ）根据题意可知，在图（1）中，AC =BC，AD =BD =CD =2，因此在三棱锥A 1﹣BCD 中，A 1D =BD ，A 1C =BC ，且G 是A 1B 的中点，所以DG ⊥A 1B ，CG ⊥A 1B ，又因DG ∩CG =G ，所以A 1B ⊥面DGC ，因为点M ，N ，分别为A 1C ，BC 的中点．所以MN ∥A 1B ，可证MN ⊥平面DCG ．（Ⅱ）由图（1）知CD ⊥A 1D ，CD ⊥BD ，A 1D ∩BD =D ，因此CD ⊥平面A 1DG ，又因为∠A 1DB =60°，所以△A 1DB 是等边三角形，故DG ⊥A 1B ，A 1B =2，A 1G 12=A 1B =1，DG =所以1111122A DG S AG DG =⨯⨯=⨯=V ， 所以通过体积转化的方法，三棱锥G ﹣A 1DC 的体积：11111233G A DC C A DG A DG V V S CD --==⨯==V ．【点评】（Ⅰ）通过题意得A 1D =BD ，A 1C =BC ，因此DG ⊥A 1B ，CG ⊥A 1B ，可得A 1B ⊥平面DGC ，从而得出MN ∥A 1B ，通过传递性可知MN ⊥平面DCG ．（Ⅱ）根据CD ⊥A 1D ，CD ⊥BD ，A 1D ∩BD =D ，推导出CD ⊥平面A 1DG ，因此△A 1DB 是等边三角形，根据等体积法，三棱锥G ﹣A 1DC 的体积11113G A DC C A DG A DG V V S CD --==⨯V ，由此能求出结果． 19．2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》）．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？【命题意图】该题考查频率直方图由样本估计整体，属于基础题，较为简单．【解析】（Ⅰ）根据图标可知：高于60分的概率为（0.02+0.04+0.02）×10=0.8，所以样本中分数高于60的概率为0.8．由样本估计总体，故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．（Ⅱ）样本中分数不小于50的频率为：（0.01+0.02+0.04+0.02）×10=0.9，因此分数在区间[40，50）内的人数为100﹣100×0.9﹣5=5，总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为5005100⨯=25，（Ⅲ）将所有可能结果列出，则设3名男生分别为A，B，C，2名女生分别为1，2，则从这5名同学中选取2人的结果为：{A，B}，{A，C}，{A，1}，{A，2}，{B，C}，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，{1，2}共10种情况．其中2人中男女同学各1人包含结果为：{A，1}，{A，2}，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，共6种，设事件A={抽取的2人中男女同学各1人}，则P（A）63 105 ==，因此抽取的2人中男女同学各1人的概率为3 5．【点评】（1）根据频率直方图求得分数高于60的频率，再根据样本总是，计算出分数高于60的概率，（2）首先计算分数不小于50的频率，再算出分数在区间[40，50）内的人数，从而估算出总体中分数在区间[40，50）内的人数．（3）计算从这5名同学中选取2人的事件，再计算抽取的2人中男女同学各1人的事件，再求抽取的2人中男女同学各1人的概率．20．设曲线C ：x 2=2py （p >0）上一点M （m ，2）到焦点的距离为3．（Ⅰ）求曲线C 方程；（Ⅱ）设P ，Q 为曲线C 上不同于原点O 的任意两点，且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O ，试问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．【命题意图】该题考查抛物线方程的求法，考查直线是过定点的判断与求法，需要直线与抛物线的位置关系等内容加以判断，属于中档题，有一定计算量．【解析】（1）根据题意结合抛物线定义得22p +=3，解得p =2， 因此曲线C 方程为x 2=4y ．（2）根据以PQ 为直径的圆过原点O ，因此OP ⊥OQ ，设OP 的直线方程为y =kx ，（k ≠0），与曲线C 方程x 2=4y 联立，得x 2=4kx ，解得x =0（舍）或x =4k ，因此P （4k ，4k 2），且OQ 的直线方程为y 1x k =-，同理可得Q （4k -，24k）， 又因为直线PQ 斜率存在，因此PQ 的直线方程为222444444y k x k k k k k--=---， 得y =（k 1k-）x +4，可证直线PQ 恒过定点（0，4）． 【点评】（1）根据抛物线定义可知，22p +=3，因此能求得C 方程． （2）由题意OP ⊥OQ ，设OP 的直线方程为y =kx ，（k ≠0），与曲线C 方程x 2=4y 联立，得x 2=4kx ，求出P （4k ，4k 2），设直线OQ 的方程为y 1x k =-，同理求得Q （4k -，24k），因此得到直线PQ 的方程为y =（k 1k-）x +4，因此PQ 恒过定点（0，4）． 21．已知函数f （x ）=ax 2﹣x ﹣ln1x ． （Ⅰ）若f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线y =2x +1平行，求f （x ）在点（1，f （1））的切线方程； （Ⅱ）若函数f （x ）在定义域内有两个极值点x 1，x 2，求证：f （x 1）+f （x 2）<2ln2﹣3．【命题意图】该题考查导数几何意义以及导数的应用判断函数单调性以及极值最值，属于难题．【解析】（1）f ′（x ）=2ax 11x+-， 根据题意可知，k =f ′（1）=2a ，因f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线y =2x +1平行，因此2a =2即a =1，则f （1）=0，因此切点（1，0），所以切线方程y =2x ﹣2，（2）f ′（x ）=2ax 2121ax x x x-+-+=，则2ax 2﹣x +1=0在（0，+∞）上有两个不等的实数根x 1，x 2， 根据韦达定理以及两根判别公式可得方程组1212180102102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩V 解得108a <<， 又因f （x 1）+f （x 2）2221ax ax =+-（x 1+x 2）+ln x 1+ln x 2，=a (()2121212[)2x x x x x x ⎤+--++⎦ln x 1x 2， 11124ln a a =-- 换元令t 12a=，则g （t ）=ln t 12t --1，t >4， 对函数求导，()112'22t g t t t -=-=<0， 因此g （t ）在（4，+∞）上单调递减，g （t ）<g （4）=ln4﹣3=2ln2﹣3，f （x 1）+f （x 2）<2ln2﹣3．【点评】（I ）根据导数的几何意义可求，（II ））f ′（x ）=0在（0，+∞）上有两个不等的实数根x 1，x 2，根据二次函数的实根分布可求a 的范围，代入f （x 1）+f （x 2），借助函数单调性可求．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第题记分[选修4–4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P 312⎛⎫ ⎪⎝⎭，，其参数方程x acos y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值． 【命题意图】该题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程和极坐标方程的互相转化，以及三角函数关系式的恒等变换属于基础题，较为简单．【解析】（ I ）将点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入曲线E方程，则132acos αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，，因此a 2=4， 求得曲线E 的直角坐标方程为22143x y +=， 因此极坐标方程为22211143cos sin ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设点A ，B 的极坐标分别为()1212π002A B ρθρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，，，，，， 根据题意可得222211222222111431π1π(14232cos sin cos sin ρθρθρθρθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，， 即222122221114311143cos sin sin cos θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，． 因此2212111174312ρρ+=+=，即22117||||12OA OB +=． 【点评】（1）通过直角坐标方程参数方程，极坐标方程之间的关系进行转化（2）通过极径应用以及三角函数化简求得结果．[选修4–5不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x ﹣1|﹣|2x +1|+m ．（Ⅰ）求不等式f （x ）≥m 的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n ，使得f （n ）≥0，求m 的取值范围．【命题意图】该题考查绝对值不等式解法，以及参数范围问题，需要注意可以通过平方去绝对值也可通过分段函数去掉绝对值号，属于基础题．【解析】（Ⅰ）根据题意，不等式两边同时平方，得（x ﹣1）2≥（2x +1）2，化简为3x （x +2）≤0，得﹣2≤x ≤0．因此不等式f （x ）≥m 的解集为{x |﹣2≤x ≤0}．（Ⅱ）令g （x ）=|x ﹣1|﹣|2x +1|，()122131221x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，，，， f （n ）≥0等价于g （n ）≥﹣m因g （﹣2）=g （0）=0，g （﹣3）=﹣1，g （﹣4）=﹣2，g （1）=﹣3，恰好存在4个不同的整数n ，使得f （n ）≥0，因此﹣2<﹣m ≤﹣1，故m 的取值范围为[1，2）．【点评】（Ⅰ）两边同时平方进行求解（Ⅱ）转化为分段函数根据分段函数图像即可得到参数范围．。