上海高考中的解析几何

典型例题：曲线与数列、函数结合
（2004 秋—22）设 P1(x1，y1)， P1(x2，y2)，…， Pn(xn，yn)(n≥3，n∈N) 是二次曲线 C 上的 点， 且 a1＝ OP1 2， a2＝ OP2 2， …， an＝ OPn 其中 O 是坐标原点. 记 Sn＝a1＋a2＋…＋an. (1) 若 C 的方程为 (只需写出一个) (2)若 C 的方程为
b a
B1 A1 F1
O
y B
的取值范围
F2
F0
A
x
问题三、直线与曲线位置关系
设点坐标与直线方程 联立直线方程与曲线方程 化为一元二次方程，判别式，韦达定理 将几何条件转化为点坐标、系数的函数方程

典型例题：直线与曲线位置关系
（2006 秋—20）在平面直角坐标系 x O y 中，直线 l 与抛物线 y ＝2 x 相交于 A、B 两点． （1）求证： “如果直线 l 过点 T（3，0） ，那么 OA OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
O
III C IV II A I x
）
典型例题：含字母方程与曲线讨论
（2008 秋—20）设 P ( a , b )( b 0) 是平面直角坐标系 xoy 中的点，L 是经过原点与点（1，b） 的直线。记 Q 是直线 L 与抛物线 x 2 py ( p 0) 的异于原点的交点。
2
（1）已知 a=1，b=2，p=2，求点 Q 的坐标； （2）已知点 P ( a , b )( a b 0 )在椭圆
_____
典型例题：确定并研究曲线方程
（2007 秋—21） ．已知半椭圆
x a
2 2

y b
2 2
1( x 0) 与半椭圆
y b
2 2

x c
2 2
1( x 0) 组成
的曲线称为“果圆” ，其中 a 2 b 2 c 2 , a b c 0) ，F0,F1,F2 是对应的焦点，A、 A1、B、B1 分别为果圆与坐标轴的交点。 （1） 若△F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形， “果 求 圆”的方程 （2）若 | A1 A || B1 B | ，求
典型例题：确定点的位置
x
2
（2001 秋—18）设 F1、F2 为椭圆
9

y
2
4
＝1 的两个焦点，P
为椭圆上的一点.已知 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶 点，且|PF1|＞|PF2|,求
PF 1 PF 2
的值.
典型例题：确定点的位置
（2005 秋—19）点 A、B 分别是椭圆
x
2
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上海高考中的 解析几何
一、基本问题
确定点的位置 确定并研究曲线方程 研究直线与曲线的定性定量关系
问题一、确定点的位置
确定点的位置，从几何角度看是两条曲线 （包括直线）的交点；从代数角度看需要 建立关于横、纵坐标的两个方程。
有些点的位置确定与最值有关，实质为通 过最值给出动点的特殊位置。
x
2
4
y 1 ，P
2
是 C 上的任意点。
（1）求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点 A 的坐标为（3，0） ，求|PA|的最小值。
问题二、确定并研究曲线方程
待定系数法 定义法 直接法 参数法
典型例题：确定并研究曲线方程
（2005 秋—3）直角坐标平面 xoy 中，若定点 A (1, 2 ) 与动点 P ( x , y ) 满足
x a
2 2
2
构成了一个公差为 d(d≠y
2
25
＝1，n＝3. 点 P1(10，0) 及 S3＝255， 求点 P3 的坐标；

y b
2 2
1 (a>b>0). 点 P1(a，0)， 对于给定的自然数 n， 当公差 d 变
化时， 求 Sn 的最小值； . (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1，对于给定的自然数 n，写出符合 条件的点 P1， P2，…Pn 存在的充要条件，并说明理由.
2 2
（2）给定圆 C : ( x m ) y r ( m , r R , r 0) ，则存在唯一的线段 s 满足：①若 Pz 在
2 2 2
圆 C 上，则（b,c）在线段 s 上；②若(b,c)是线段 s 上一点（非端点） ，则 Pz 在圆 C 上.写 出线段 s 的表达式，并说明理由； （3）由（2）知线段 s 与圆 C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表 一（表中 s1 是（1）中圆 C1 的对应线段） 线段 s 与线段 s1 的关系 s 所在直线平行于 s1 所在直线 s 所在直线平分线段 s1 线段 s 与线段 s1 长度相等 m、r 的取值或表达式
OP OA 4 ，则点
P 的轨迹方程是__________。
3
（2006 秋—7）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2 且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是
2 2
，0） ，
（2007 秋—8）已知双曲线
x
4

y
5
1 ，则以双曲线中心为焦点，以双
曲线左焦点为顶点的抛物线方程为
y
2
20
1 长轴的左、右端
点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，
PA PF 。
（1）求点 P 的坐标； （2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于
| MB | ，求椭圆上的点到点
M 的距离 d 的最小值。
典型例题：确定点的位置
（2008 秋—18）已知双曲线 C :
P ( x , y ), P ' ( x ' , y ' ) ，满足 x x ' , y y ' ，则称 P 优先于 P ' 。如果 中的点 Q 满足：不在
中的其它点优先于 Q，那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧（
AB （A）
（B） BC （C） CD
）
（D） DA
典型例题：含字母方程与曲线的讨论
（2008 春—22）已知 z 是实系数方程 x 2 bx c 0 的虚根，记它在直角坐标平面上
2
的对应的点为 Pz (R e z , Im z ) 。 （1）若（b,c）在直线 2x+y=0 上，求证： Pz 在圆 C1 : ( x 1) y 1 上；
值为________
（2009 秋—18）过圆 C : ( x 1) ( y 1) 1 的圆心， 作直线分别交 x , y
2 2
y B
正半轴于点 A、B， AOB 被圆分成四部分（如图） ，若这四部分图形面 积满足 S I S IV S II S III ，则这样的直线 AB 有（ （A）0 条 （B）1 条 （C）2 条 （D）3 条
4 x 4 y 1 上；
2 2
x
2
4
y 1 上， p
2
1 2 ab
，求证：点 Q 落在双曲线
（3）已知动点 P ( a , b ) 满足 ab 0 ， p
。若点 Q 始终落在一条关于 x 轴对称的抛物 2 ab 线上，试问动点 P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由。
1
）
典型例题：运动的直线或曲线
（ 2009 秋 — 14 ） 将 函 数 y
4 6 x x 2 , x [ 0 , 6的 图 像 绕 坐 标 原 点 逆 时 针 方 向 旋 转 ]
2
, (0 ) ，得到曲线 C，若对于每一个旋转角 ，曲线 C 都是一个函数的图像，则 的最大
2
说明理由：若存在，求 a 的取值范围.
问题四、解析几何能力问题
坐标、有序实数对的更一般关系 点、直线、曲线的运动变化 直线与曲线的更深刻关系 解析几何与三角、向量、复数、函
数、数列、字母讨论等结合
典型例题：坐标的更深刻理解
（2008 秋—15）如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别 相切于点 C、D 的定圆所围成的区域（含边界） ，A、B、C、D 是该圆的四等分点。若两点
典型例题：坐标的更深刻理解
（2006 秋—16）如图，平面中两条直线 l 1 和 l 2 相交于点 O，对于平面上任意一点 M，若 p 、 则称有序非负实数对 p ， ） （ “距离坐标” 已 ． q 分别是 M 到直线 l 1 和 l 2 的距离， q 是点 M 的 l1 知常数 p ≥0， q ≥0，给出下列命题： ①若 p ＝ q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点 有且仅有 1 个； l2 ②若 pq ＝0，且 p ＋ q ≠0，则“距离坐标”为 O （ p ， q ）的点有且仅有 2 个； ③若 pq ≠0，则“距离坐标”为（ p ， q ）的点有且仅有 4 个． 上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． M（ p ， q ）

2
（2003 秋—21）在以 O 为原点的直角坐标系中，点 A（4，－3）为△OAB 的直角顶点. 已知|AB|=2|OA|，且点 B 的纵坐标大于零. （1）求向量 AB 的坐标； （2）求圆 x 6 x y 2 y 0 关于直线 OB 对称的圆的方程；
2 2
（3） 是否存在实数 a，使抛物线 y ax 1 上总有关于直线 OB 对称的两个点？若不存在，