第六章典型非线性环节

〈三〉自激振荡：
§6－1 非线性系统的基本概念
在没有外界周期性输入信号作用时，线
性系统只有 =0时产生周期性运动，此时系
统为临界稳定。事实上，此种状态不会持久，
稍有干扰（即使非常细小）即刻终止，转为
发散或收敛。
而对于非线性系统，在没有外界作用时，
系统完全有可能产生频率和振幅一定的稳定的
周期运动，既可实现又可保持，称为自振荡，
ln x 1 x
c
dt
t
x 1 x
ce t，
则x
1
cxe t，即x(1 cet )
1， x
1
1 cet
非线性系统的特征（续）
因为当t
0，x 0
1
1
c
，
故c
x0 1 ， x0
因此
x
1
1
x0 1 et x0
x0
x0 x 0et
et
1
x 0e t x 0 x 0e t
<1> 当x 0 1时：即(1 x 0 ) 0，特征根 s x 0 1 0，
非线性系统的特征（续）
性系统平衡状态的稳定问题。
如：ddxt x(即x x）此为线性系统。若设当t0 0时，
x x 0， x x 0，
x x01
即
dx x
dt则，有 ln x
t
c， x02
x e t e c c ' e t
因为t = 0时,x c x 0 00
t
所以x x 0eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt，可见无论
第六章：非线性控制系统分析
第六章 非线性控制系统分析
§6－1 非线性控制系统的基本概念 §6－2 典型非线性环节及其对系统的影响 §6－3 描述函数法 §6－4 用描述函数法分析非线性系统
主要内容
1． 非线性系统的基本概念 2． 典型非线性环节及其对系统的影响 3． 描述函数的基本概念及应用前提 4． 典型非线性特性的描述函数 5. 用描述函数分析非线性系统的稳定性
即 x0 x0 1
et或
ln
x
x0 x0
x
0
1
0 时， 1
e t时，
x ，此时只有x 0 1
才会有此结果 。
§6－1 非线性系统的基本概念
非线性系统的特征（续）
(∵t必须大于0.，即 x 0 x 0 1， 只有x 0 1）
x x(1 x )，
令x 0，解得系统两个平衡状态
x03
x 0取 何值系统均稳定。
x04
非线性系统的特征（续）
再如：dx dt
x(1
x
)，即
dx dt
x(1 x ) 0，x项的系数是
(1 x )，与变量x有关，此为非线性系统。
若设t
0时，x
x 0，故
dx x(x
1)
dt。
因为有
u(a
du
bu
)
1
a
ln
a
bu u
c，
dx
x(x 1)
§6－1 非线性控制系统的基本概念
若系统含有一个或一个以上的非线性部件或 环节，则此系统为非线性系统。线性系统用传递函 数、频率特性、根轨迹等概念，线性系统的运动特 性与输入幅值、系统初始状态无关，故常在典型输 入信号下和零初始条件下进行分析研究。而由于非 线性系统的数学模型是非线性微分方程，故不能采 用线性系统的分析方法。
〈四〉频率响应：
§6－1 非线性系统的基本概念
稳定线性系统的频率响应，即正弦信号作用
下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其
幅值和相位均为输入正弦信号频率 的函数。
而非线性系统的频率响应除了含有与输入同频
率的正弦信号分量（基频分量）外，还含有关
能用迭加原理，而且在稳定
性、运动形式等方面具有独特的特点。
一、非线性系统的特征：
<一>稳定性： 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构和参 数，与初始状态无关，与输入信号无关。而非线 性系统的稳定性不仅取决于结构参数，而且与输 入信号以及初始状态都有关。对于同一结构参数 的非线性系统，初始状态位于某一较小数值的区 域内时系统稳定，但是在较大初始值时系统可能 不稳定，有时也可能相反。故对于非线性系统， 不应笼统地讲系统是否稳定，需要研究的是非线
§6－1 非线性系统的基本概念
非线性系统的特征（续）
其最终稳定状态有时是等幅的自振荡，其幅值 和频率由其本身的特性所决定，这是非线性系 统一个重要的特有的特性。
人们对自振荡非常感兴趣，正常时不需要， 设法消除，但有些情况下人为的引入自振荡， 使系统具有较好的动、静态特性。对其研究有 很大的实际意义。
非线性系统的基本概念（续）
例如：对于线性系统，当x a1x1 a2x 2时，y a1y 1 a2y 2
但对于非线性系统，例如饱和
特性： 设x1 c，x 2 c
单独作用时，y 1 kx1，
k
y 2 kx 2；若x x1 x 2 c，
则y B，而不等于kx1 kx 2
(y B kc )；∴非线性系统不
和自激振荡
重点与难点
重点
1．非线性系统的性质特点 2．用描述函数分析非线性系统的稳定性 3. 基于描述函数法计算系统自振参数 4. 非线性系统的简化
难点
系统自振参数的计算与非线性系统的简化
本章引言
前述均为线性系统。严格说来，任何一 个实际 控制系统，其元部件都或多或少的带有非线性，理想 的线性系统实际上不存在。当能够采用小偏差法将非 线性系统线性化时，称为非本质性非线性，可以应用 线性理论；但还有一些元部件的特性不能采用小偏差 法进行线性化，则称为本质性非线性，如饱和特性、 继电特性等等。这时不能采用线性理论进行研究，所 以只运用线性理论在工程上是不够的，还需研究分析 非线性理论。
x 0和x 1，因此 x 0平衡状态是稳定的，
它对应于
而
平衡状态是不稳定
的，稍加扰动不是收敛就是发散，不可能再
回到这个平衡状态。
§6－1 非线性系统的基本概念
<二>运动形式：
线性系统的运动形式与 输入信号的大小及初始条件 无关，若某一系统在某一初 始条件下的暂态响应为衰减 振荡形式，则在任何的信号 及初始条件下该系统的暂态 响应均为衰减振荡形式；而 非线性系统可能会出现某一 初始条件下的响应为单调衰 减；而另一初始条件下则为衰减振荡。
在左半s平面上，则系统稳定。
<2>当x 0 1时：即(1 x 0 ) 0，特征根 s x 0 1 0，
上式解得x 1，其暂态过程为一常数。
非线性系统的特征（续）
<3> 当x 0 1时，即(1 x 0 ) 0，
可知特征根 s x 0 1 0，
在右半s平面上，则系统不
稳定。
由上式解得，当t