1.8工程应用振动力学课件
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承联线与盘面的交点O，盘的质量中心C与盘的几何中心 不重合O。1
设盘的质量为m， 挠性轴对盘作用力的刚度系数为k， 粘性系数为c，
轴以角速度ω 恒速旋转，
轴沿 x 和 y 方向的横向刚度：
6EI k
l3
由于离心惯性力，轴产生动挠度
OO1= f
粘性阻尼力正比于圆盘形O1速度，
形心的坐标O1（x,y）
基座规律的简谐振动：
&x& 20 x& 0 x B 2eit
①位移仪
它的输出是与待测物体的振动 x(t) 成比例的相对运动 y(t)
A1 为相对运动的幅频特性
A1
s2 B
(1 s2 )2 (2 s)2
s 足够大时， A1 接近于1，即 B
lim
s
A1
B
测出质量m的相对运动 y(t) 与振动物体的运动 x(t) 接近相等，
ei[t(12 )]
(1 s2 )2 (2 s)2
主动隔振系数 ＝ 隔振后传到地基的力幅值
隔振前传到地基的力幅值
隔振系数：
F1max
F0
1 (2 s)2 (1 s2 )2 (2 s)2
~ s 由 曲线图得两个重要得结论：
1. 当 s ，2 时，1 不论为何值，振源传递到地基的了
总是小于静力 且 ，F0 但 s ，曲F1 线 下降s很慢5，
运动微分方程为 m&x& c(x& x&1) k(x x1) 0
令 x1(t) Aeit
m&x& cx& kx cx&1 kx1 (ic k)Aeit
为衡量隔振效果，引入被动隔振系数
隔振后设备的幅值与隔振前设备的幅值之比
A
1 (2 s)2
B (1 s2 )2 (2 s)2
A为隔振后设备的绝对运动幅值
但有相位差， y(t) Bei(t)
用振动仪测量被测物体的位移，此时仪器的固有频率 远小于外壳振动频率时，仪器A1 读数的幅值 接近于外壳 振动的振幅B，这样要求振动仪系统的质量要大，弹簧要 软（弹簧刚度系数小），造成振动仪的体积较大的缺点。
② 加速度仪
它的输出仍是相对于被测物体的位移 y(t，) 而此输出将与被测物体运
m&x& cx& kx me2 cost m&y& cy& ky me2 sin t
02
k m
20
c m
s 0
0 :转子不转动而作横向自由振动时的固有频率
1
s2
1 s2 2 2 s2
1
arctan
2 s
1 s2
x y
e1 e1
cos sin
t t
1 1
x2 y2 e1 2
参与振动的质量是 880kg，不平衡力的幅值 1470N
机器转速 n＝2400r/min
求：（1）机器振幅， （2）主动隔振系数 （3）传到地基上的力幅
13
频率比： s 2 n 1 3.2 0 60 2 fn
弹性支承的刚度：k m02 8802 12.52 5.43106
机器振动的振幅 ： B F0
1
0.0291mm
k (1 s2 )2 (2 s)2
主动隔振系数 ：
1 (2 s)2 0.149
(1 s2 )2 (2 s)2
传到地基上的力幅 ： F1m F0 0.1491470 219N
13
（2）被动隔振 （汽车）
如图所示系统当基础运动时，传递给质量的运动，
令 x表示质量m的绝对位移，
当 时0，.7 所H (对W应) 的1 频率比s的范围最大。大多数 加速度仪都采取， 这样既0扩.7大了仪器的量程，又避免
相位畸变。加速度计是固有频率高的仪器，体积小，重量 轻（弹簧硬，质量小）。
例题：
一汽车在波形路面行走的力学模型。路面的波形可用公式
y1
d sin
2
l
x
表示，其中幅度 d 25mm ，波长 l 5m 。汽车质量 m 3000kg ，
eit
O1C
&r& 20r&02r 2eit
02
k m
20
c m
r
A ei(t1 ) 1
1
A1
s2
1 s2 2 2 s2
1
arctan
2 s
1 s2
s 0
临界转速——系统共振时发生主响应的特征转速， 即动挠度取极值的转速。
r
e 2
02 2 2 20 2
dr 0
d
动的加速度成比例。被测物体加速度为： x(t) 2 Beit
s 0 代入
得 A1
s2 B
(1 s2 )2 (2 s)2
A1
1
(1 s2 )2 (2
s)2
(
B 2 02
)
B 2
由于
lim
s
A1
，当02 此时仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，
仪器读数的幅值 与外壳A加1 速度的振幅B成正比。
2 vcr
l
0
临界速度
vcr
l0 2
5 9.9
2
7.88m/ s 28.4 km/ h
练习：
图示为一惯性式测振仪，已知地面垂直振动 x(t) Beit
（0 为固有频率），k、c、m 为已知， 试用频率响应法求该系统：
1. 频响特性并用于解释测振原理； 2. 隔振原理的讨论。
作业： p52 2.9
质心C的坐标： x ecost, y esint
质心运动定理得
m
d2 dt 2
x
e
cos t
kx
cx&
m
d2 dt 2
y
e
sin
t
ky
cy&
m&x& cx& kx me2 cost m&y& cy& ky me2 sin t
右端项可看作激振力旋转矢
量 me,在2 x和y方向上的投影，
作用点C， 方向沿CO1。
隔振材料：k，c
隔振前
m
F0eit
隔振后
m
F0eit
k
c
隔振前机器传到地基的力： F0eit
设置隔离材料，机器在激励力作用下的受迫振动
隔振后系统响应：
1
(1 s2 )2 (2 s)2
x F0 ei(t1)
k
1
tan 1
2 s
1 s2
隔振后机器通过弹簧和阻尼器传至地基的力
F1
cx
kx
(ic
k)
F0 k
相当于位移激振频率
2v 2 12.5 5 rad/s
l
5
系统的固有频率为 0
k m
2941000 9.9 rad/ s 3000
位移传递率为
b 1 0.65
d (1 s2 )2
振幅 b d 0.65 25 16.4 mm
频率比
s 5 1.59 0 9.9
=0
当 0 时，系统发生共振，有
出现共振现象， 此时可利用阻尼抑制振幅的增大。
（3）当 s 时1 ，由于质量m的惯性，
使它的相对运动与基础的运动接近相等。
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三、测 振
设备：振动测振仪 振动仪器分为测量加速度、速度和位移的仪器。 由弹簧、阻尼和质量所组成的系统构成的测振仪。其 壳体与待测的振动物体相固连，在壳体内还有测量质量 m相对于该壳体的位移的装置，如图所示 设振子的质量m，弹簧刚度系数k，阻尼系数c，
讨论：
（1） s 1 0
0
1
2
表明转速低于临界转速时，转盘的重边飞出；
（2） s>1 >0
2
1
表明转速高于临界转速时，转盘的轻边飞出；
（3） s 1 1
出现自动定心现象
表明转速无限提高时质心趋向与固定点O重合
矢量法 m(r ) cr kr 0 r OO1
r x iy
ei(t1 )
F0 (1 i2 s)ei(t1)
F0
1 (2 s)2
ei[t (12 )]
(1 s2 )2 (2 s)2
x F0 ei(t1)
k
c
k
c 02m
c s
m 0
20
s
0
2
s
2 tan1 2 s
隔振前机器传到地基的力： F0eit
隔振后传到地基上的力： F1 F0
1 (2 s)2
1、对于振源，通过弹簧和阻尼器传递到基础的力； 主动隔振
2、对于支承运动时，通过弹簧和阻尼器传递到仪器上的 运动。被动隔振
1、主动隔振
将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影 响称为主动隔振.
主动隔振系数 ＝ 隔振后传到地基的力幅值
隔振前传到地基的力幅值
1、主动隔振
mx cx kx F0eit
工程应用
一、转子的临界转速 二、隔振 三、测振
一、转子的临界转速
例如:
气轮机、发电机等高速旋转机械在开机或停机过程 中经过某一转速附近时，支撑系统经常会发生剧烈 振动; 临界转速在数值上很接近转子横向振动的固有频率
设垂直放置的无质量挠性轴的中部支承刚性圆盘，轴以
角速度 匀质转动，由于轴的弯曲变形，使盘心 偏O离1 轴
解： 转轴质量
m2
122 4
61 7.8103
53.8kg
与叶片相比 不能忽略
由瑞利法，转子质量为叶片质量与转轴等效质量的和，即：
m
m1
17 35
m2
158
17 35
53.8
184.1kg
轴的横向刚度
48EI k l3
48 2.07 107 124
613 64
4.43106 N
cm
B为地基的幅值，
比较主动隔振和被动隔振系数两式明显看出：
无论是力的传递或基础运动的传递，其隔振系数 均有相同的表达式。
由相对运动的频率响应曲线得如下结论：（对设计振动测量仪很重要）
（1）当 s 1时，质量m相对于基础的相对运动是很小的，或者说
质量 m几乎随基础一起运动；
（2）当 0 即 s 1时，
可见，形心O1的运动轨迹为一个圆
动挠度
f x2 y2 e1
es2
1 s2 2 2 s2
当 s 时1，
f e
2
可见，当阻尼比 较小时，即使转子
平衡得很好（e 很小），动挠度f 也
会相当大，容易使轴破坏，这样的 转速称为临界转速
nf
60 f 2
r min
f 0
k m
盘的振幅急剧增大而产生共振
所以选
2.5 s 5
~ s 由 曲线图得两个重要得结论：
2.对于 s> 时2 ，增加阻尼并不改善隔振效果，反而增大隔
振系数，使隔振效果变坏，因此系统应具有较小得阻尼。
c 一般阻尼 比 较小为好 。但注意阻尼太小越过共振区
时会引起大振动，
故选择 应适当。
例：机器安装在弹性支承上
已测得固有频率 f 12.5Hz 阻尼比 0.15
临界转速
60 k 30 4.43106 100
n
14800 r min
2 m
184.1
二、隔 振
机器运转时由于各种激励因素的存在，振动常常是不可避 免的，过大的振动不仅妨碍机器本身的正常工作，而且对周 围其他机械、仪表、建筑物以及基础等都有影响。这就要求 必须有效地隔离振动。采取机器底部加装弹簧、阻尼等隔离 材料，从而有效减小振动的传递。 主要讨论两种类型振动传递问题：
cr 0
1
1 2 2
可见，外阻尼总使得临界转速稍大于其横向自然频率，
各阻尼曲线的峰值都偏在 的0右边。
例：叶片模拟试验台
叶片质量 158 kg,
120 mm
转轴：长610mm，直径120mm
弹性模量 E＝2.07 x 107 N/cm2
305 mm
305 mm
材料比重 7.8×10-3 kg/cm3 求：临界转速
弹簧刚性系数 k 294。kN忽/m略阻尼，
求汽车以速度 v 45k匀m速/h前进时，
车体的垂直振幅及汽车的临界速度。
解：汽车匀速行驶的位移 x vt
若以汽车起始位置为坐标原点，则路面的波形方程
y1
d sin
2
l
x
d sin
2v
l
t
令 2v
l
y1 d sint
将速度 v 45km/h 12.5m/s
设盘的质量为m， 挠性轴对盘作用力的刚度系数为k， 粘性系数为c，
轴以角速度ω 恒速旋转，
轴沿 x 和 y 方向的横向刚度：
6EI k
l3
由于离心惯性力，轴产生动挠度
OO1= f
粘性阻尼力正比于圆盘形O1速度，
形心的坐标O1（x,y）
基座规律的简谐振动：
&x& 20 x& 0 x B 2eit
①位移仪
它的输出是与待测物体的振动 x(t) 成比例的相对运动 y(t)
A1 为相对运动的幅频特性
A1
s2 B
(1 s2 )2 (2 s)2
s 足够大时， A1 接近于1，即 B
lim
s
A1
B
测出质量m的相对运动 y(t) 与振动物体的运动 x(t) 接近相等，
ei[t(12 )]
(1 s2 )2 (2 s)2
主动隔振系数 ＝ 隔振后传到地基的力幅值
隔振前传到地基的力幅值
隔振系数：
F1max
F0
1 (2 s)2 (1 s2 )2 (2 s)2
~ s 由 曲线图得两个重要得结论：
1. 当 s ，2 时，1 不论为何值，振源传递到地基的了
总是小于静力 且 ，F0 但 s ，曲F1 线 下降s很慢5，
运动微分方程为 m&x& c(x& x&1) k(x x1) 0
令 x1(t) Aeit
m&x& cx& kx cx&1 kx1 (ic k)Aeit
为衡量隔振效果，引入被动隔振系数
隔振后设备的幅值与隔振前设备的幅值之比
A
1 (2 s)2
B (1 s2 )2 (2 s)2
A为隔振后设备的绝对运动幅值
但有相位差， y(t) Bei(t)
用振动仪测量被测物体的位移，此时仪器的固有频率 远小于外壳振动频率时，仪器A1 读数的幅值 接近于外壳 振动的振幅B，这样要求振动仪系统的质量要大，弹簧要 软（弹簧刚度系数小），造成振动仪的体积较大的缺点。
② 加速度仪
它的输出仍是相对于被测物体的位移 y(t，) 而此输出将与被测物体运
m&x& cx& kx me2 cost m&y& cy& ky me2 sin t
02
k m
20
c m
s 0
0 :转子不转动而作横向自由振动时的固有频率
1
s2
1 s2 2 2 s2
1
arctan
2 s
1 s2
x y
e1 e1
cos sin
t t
1 1
x2 y2 e1 2
参与振动的质量是 880kg，不平衡力的幅值 1470N
机器转速 n＝2400r/min
求：（1）机器振幅， （2）主动隔振系数 （3）传到地基上的力幅
13
频率比： s 2 n 1 3.2 0 60 2 fn
弹性支承的刚度：k m02 8802 12.52 5.43106
机器振动的振幅 ： B F0
1
0.0291mm
k (1 s2 )2 (2 s)2
主动隔振系数 ：
1 (2 s)2 0.149
(1 s2 )2 (2 s)2
传到地基上的力幅 ： F1m F0 0.1491470 219N
13
（2）被动隔振 （汽车）
如图所示系统当基础运动时，传递给质量的运动，
令 x表示质量m的绝对位移，
当 时0，.7 所H (对W应) 的1 频率比s的范围最大。大多数 加速度仪都采取， 这样既0扩.7大了仪器的量程，又避免
相位畸变。加速度计是固有频率高的仪器，体积小，重量 轻（弹簧硬，质量小）。
例题：
一汽车在波形路面行走的力学模型。路面的波形可用公式
y1
d sin
2
l
x
表示，其中幅度 d 25mm ，波长 l 5m 。汽车质量 m 3000kg ，
eit
O1C
&r& 20r&02r 2eit
02
k m
20
c m
r
A ei(t1 ) 1
1
A1
s2
1 s2 2 2 s2
1
arctan
2 s
1 s2
s 0
临界转速——系统共振时发生主响应的特征转速， 即动挠度取极值的转速。
r
e 2
02 2 2 20 2
dr 0
d
动的加速度成比例。被测物体加速度为： x(t) 2 Beit
s 0 代入
得 A1
s2 B
(1 s2 )2 (2 s)2
A1
1
(1 s2 )2 (2
s)2
(
B 2 02
)
B 2
由于
lim
s
A1
，当02 此时仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，
仪器读数的幅值 与外壳A加1 速度的振幅B成正比。
2 vcr
l
0
临界速度
vcr
l0 2
5 9.9
2
7.88m/ s 28.4 km/ h
练习：
图示为一惯性式测振仪，已知地面垂直振动 x(t) Beit
（0 为固有频率），k、c、m 为已知， 试用频率响应法求该系统：
1. 频响特性并用于解释测振原理； 2. 隔振原理的讨论。
作业： p52 2.9
质心C的坐标： x ecost, y esint
质心运动定理得
m
d2 dt 2
x
e
cos t
kx
cx&
m
d2 dt 2
y
e
sin
t
ky
cy&
m&x& cx& kx me2 cost m&y& cy& ky me2 sin t
右端项可看作激振力旋转矢
量 me,在2 x和y方向上的投影，
作用点C， 方向沿CO1。
隔振材料：k，c
隔振前
m
F0eit
隔振后
m
F0eit
k
c
隔振前机器传到地基的力： F0eit
设置隔离材料，机器在激励力作用下的受迫振动
隔振后系统响应：
1
(1 s2 )2 (2 s)2
x F0 ei(t1)
k
1
tan 1
2 s
1 s2
隔振后机器通过弹簧和阻尼器传至地基的力
F1
cx
kx
(ic
k)
F0 k
相当于位移激振频率
2v 2 12.5 5 rad/s
l
5
系统的固有频率为 0
k m
2941000 9.9 rad/ s 3000
位移传递率为
b 1 0.65
d (1 s2 )2
振幅 b d 0.65 25 16.4 mm
频率比
s 5 1.59 0 9.9
=0
当 0 时，系统发生共振，有
出现共振现象， 此时可利用阻尼抑制振幅的增大。
（3）当 s 时1 ，由于质量m的惯性，
使它的相对运动与基础的运动接近相等。
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三、测 振
设备：振动测振仪 振动仪器分为测量加速度、速度和位移的仪器。 由弹簧、阻尼和质量所组成的系统构成的测振仪。其 壳体与待测的振动物体相固连，在壳体内还有测量质量 m相对于该壳体的位移的装置，如图所示 设振子的质量m，弹簧刚度系数k，阻尼系数c，
讨论：
（1） s 1 0
0
1
2
表明转速低于临界转速时，转盘的重边飞出；
（2） s>1 >0
2
1
表明转速高于临界转速时，转盘的轻边飞出；
（3） s 1 1
出现自动定心现象
表明转速无限提高时质心趋向与固定点O重合
矢量法 m(r ) cr kr 0 r OO1
r x iy
ei(t1 )
F0 (1 i2 s)ei(t1)
F0
1 (2 s)2
ei[t (12 )]
(1 s2 )2 (2 s)2
x F0 ei(t1)
k
c
k
c 02m
c s
m 0
20
s
0
2
s
2 tan1 2 s
隔振前机器传到地基的力： F0eit
隔振后传到地基上的力： F1 F0
1 (2 s)2
1、对于振源，通过弹簧和阻尼器传递到基础的力； 主动隔振
2、对于支承运动时，通过弹簧和阻尼器传递到仪器上的 运动。被动隔振
1、主动隔振
将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影 响称为主动隔振.
主动隔振系数 ＝ 隔振后传到地基的力幅值
隔振前传到地基的力幅值
1、主动隔振
mx cx kx F0eit
工程应用
一、转子的临界转速 二、隔振 三、测振
一、转子的临界转速
例如:
气轮机、发电机等高速旋转机械在开机或停机过程 中经过某一转速附近时，支撑系统经常会发生剧烈 振动; 临界转速在数值上很接近转子横向振动的固有频率
设垂直放置的无质量挠性轴的中部支承刚性圆盘，轴以
角速度 匀质转动，由于轴的弯曲变形，使盘心 偏O离1 轴
解： 转轴质量
m2
122 4
61 7.8103
53.8kg
与叶片相比 不能忽略
由瑞利法，转子质量为叶片质量与转轴等效质量的和，即：
m
m1
17 35
m2
158
17 35
53.8
184.1kg
轴的横向刚度
48EI k l3
48 2.07 107 124
613 64
4.43106 N
cm
B为地基的幅值，
比较主动隔振和被动隔振系数两式明显看出：
无论是力的传递或基础运动的传递，其隔振系数 均有相同的表达式。
由相对运动的频率响应曲线得如下结论：（对设计振动测量仪很重要）
（1）当 s 1时，质量m相对于基础的相对运动是很小的，或者说
质量 m几乎随基础一起运动；
（2）当 0 即 s 1时，
可见，形心O1的运动轨迹为一个圆
动挠度
f x2 y2 e1
es2
1 s2 2 2 s2
当 s 时1，
f e
2
可见，当阻尼比 较小时，即使转子
平衡得很好（e 很小），动挠度f 也
会相当大，容易使轴破坏，这样的 转速称为临界转速
nf
60 f 2
r min
f 0
k m
盘的振幅急剧增大而产生共振
所以选
2.5 s 5
~ s 由 曲线图得两个重要得结论：
2.对于 s> 时2 ，增加阻尼并不改善隔振效果，反而增大隔
振系数，使隔振效果变坏，因此系统应具有较小得阻尼。
c 一般阻尼 比 较小为好 。但注意阻尼太小越过共振区
时会引起大振动，
故选择 应适当。
例：机器安装在弹性支承上
已测得固有频率 f 12.5Hz 阻尼比 0.15
临界转速
60 k 30 4.43106 100
n
14800 r min
2 m
184.1
二、隔 振
机器运转时由于各种激励因素的存在，振动常常是不可避 免的，过大的振动不仅妨碍机器本身的正常工作，而且对周 围其他机械、仪表、建筑物以及基础等都有影响。这就要求 必须有效地隔离振动。采取机器底部加装弹簧、阻尼等隔离 材料，从而有效减小振动的传递。 主要讨论两种类型振动传递问题：
cr 0
1
1 2 2
可见，外阻尼总使得临界转速稍大于其横向自然频率，
各阻尼曲线的峰值都偏在 的0右边。
例：叶片模拟试验台
叶片质量 158 kg,
120 mm
转轴：长610mm，直径120mm
弹性模量 E＝2.07 x 107 N/cm2
305 mm
305 mm
材料比重 7.8×10-3 kg/cm3 求：临界转速
弹簧刚性系数 k 294。kN忽/m略阻尼，
求汽车以速度 v 45k匀m速/h前进时，
车体的垂直振幅及汽车的临界速度。
解：汽车匀速行驶的位移 x vt
若以汽车起始位置为坐标原点，则路面的波形方程
y1
d sin
2
l
x
d sin
2v
l
t
令 2v
l
y1 d sint
将速度 v 45km/h 12.5m/s