自动控制理论第四版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版

3-14 上述系统，如在 为常量时，加于系统的扰动 为阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动 为斜坡函数形式，为何扰动稳态误差是与时间无关的常量？
在 为常量的情况下，考虑扰动 对系统的影响，可将框图重画如下
图A-3-2 题3-14系统框图等效变换
根据终值定理，可求得 为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0， 为单位斜坡函数时，系统的稳态误差为 。
（2）三阶系统的一对主导极点为 。
求同时满足上述条件的系统开环传递函数 。
解：按照条件（2）可写出系统的特征方程
将上式与 比较，可得系统的开环传递函数
根据条件（1），可得
解得 ，于是由系统的开环传递函数为
3-10 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。
（2） ；
（3） ；
（4）
3-3 设单位反馈系统的开环传递函数为
若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。
（1） ，（2） ，（3）
解：首先求系统的给定误差传递函数
误差系数可求得如下
（1） ，此时有 ，于是稳态误差级数为
，
（2） ，此时有 ，于是稳态误差级数为
，
（3） ，此时有 ， ，于是稳态误差级数为
（1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。
（2）整个系统的特征方程为
求三阶开环传递函数 ，使得同时满足上述要求。
解：设开环传递函数为
根据条件（1） 可知： ；
根据条件（2） 可知： ， ， 。
所以有
3-9 一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为 ，如要求
（1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。
从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。
3-15 已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。
（1）劳斯表有 则系统系统稳定。
（2）劳斯表有 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。
（3）劳斯表有 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。
（4）劳斯表有 系统处于稳定的临界状态，由辅助方程 可求得系统的两对共轭虚数极点 。
(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知： ， ，
对上式进行拉氏变换得到
故传递函数为
(b)由运放虚短、虚断特性有： ， ，
联立两式消去 得到
对该式进行拉氏变换得
故此传递函数为
(c) ，且 ，联立两式可消去 得到
对该式进行拉氏变换得到
故此传递函数为
2-3 试求图2-T-3中以电枢电压 为输入量，以电动机的转角 为输出量的微分方程式和传递函数。
（1）
实轴 上有根轨迹， ，由 可得出分离点为 ，与虚轴交点为 常规根轨迹如图A-4-4（a）所示。从根轨迹图可见，当 便有二个闭环极点位于右半 平面。所以无论 取何值，系统都不稳定。
图A-4-4 题4-3系统常规根轨迹
（2）
实轴 上有根轨迹， ，分离点为 ；常规根轨迹如图A-4-4（b）所示。从根轨迹图看，加了零点 后，无论 取何值，系统都是稳定的。
（1）当a=0时，则系统传传递函数为 ，其中 ， ，所以有 。
（2） 不变时，系统传函数为 ，要求 ，则有 ，所以可求得求得 。
3-12 已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=1的零点对系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的影响。
1. 单位脉冲响应
(a) 无零点时
（b）有零点 时
比较上述两种情况，可见有零点 时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相移角为 。
（1） （2） （3）
解：系统单位阶跃响应的象函数为
（1）将 ， s代入式中可求出 ， ，为欠阻尼系统，因此得出
， ，
（2）将 ， s代入式中可求出 ， ，，为欠阻尼系统，因此得出
， s，
（3）将 ， s代入式中可求出 ， ，过阻尼，无最大超调量。因此只有 s。
3-11 系统的框图如图3-T-4所示，试求当a=0时,系统的之值。如要求，是确定a的值。
第四章
4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益 变化时系统的根轨迹图，并加简要说明。
（1）
系统开环极点为0，—1，—3，无开环零点。实轴 与 上有根轨迹，渐近线相角 ，渐近线与实轴交点 ，由 可得出分离点为 ，与虚轴交点 。常规根轨迹如图A-4-2所示。
图A-4-2 题4-2系统（1）常规根轨迹
由此得到和应满足的不等式和条件
2
3
4
5
9
15
30
100
6
4
3.3
3
2.5
2.28
2.13
2.04
根据列表数据可绘制 为横坐标、 为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。
图A-3-3 闭环系统稳定的参数区域
3-18 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 试求系统的临界增益 之值及无阻尼振荡频率值。
解：设激磁磁通 恒定
2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差 即是无惯性放大器（放大系数为 ）的输入，放大器向直流电动机M供电，电枢电压为 ，电流为I。电动机的角位移为 。
图A-4-5（2）
（3）a=3时，实轴 上有根轨迹， ， ，根轨迹与虚轴的交点为 ，常规根轨迹如图图A-4-5（3）
图A-4-5（3）
4-5 求开环传递函数为 的系统在下列条件下的根轨迹（1）a=10（2）a=9（3）a=8 (4)a=3
（1）实轴 上有根轨迹， ，分离点为 ，与虚轴交点为 。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（1）
根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程
列写劳斯表
根据劳斯判据可得
系统稳定的 值范围为
当 、 时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益 以及 。
根据劳斯表列写 时的辅助方程
解得系统的一对共轭虚数极点为 ，系统的无阻尼振荡频率即为 。
时的辅助方程
解得系统的一对共轭虚数极点为 ，系统的无阻尼振荡频率为 。
《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解
第二章
2-1 试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。
(a) ， ，则传递函数为：
(b) 设流过 、 的电流分别为 、 ，根据电路图列出电压方程：
并且有
联立三式可消去 与 ，则传递函数为：
2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以 为输入， 为输出的传递函数。
3-16 根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K值的范围。
（1）K>0时,系统稳定。 （2）K>0时，系统不稳定。 （3）0<K<3时，系统稳定。
3-17 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 请在以K为横坐标， 为纵坐标的平面上，确定系统为稳定的区域。
系统的特征方程为
列写劳斯表 ，得出系统稳定应满足的条件
4-4 设系统的开环传递函数为 试绘制下列条件下系统的常规根轨迹（1）a=1 (2) a=1.185 (3) a=3
（1）a=1时，实轴 上有根轨迹， ， ，分离点为 ，常规根轨迹如图图A-4-5（1）
图A-4-5（1）
（2）a=1.185时，实轴 上有根轨迹， ， ，根轨迹与虚轴的交点为 ，常规根轨迹如图图A-4-5（2）
则
(b) 系统共有三个回环，因此， ，
两个互不接触的回环只有一组，因此，
在节点 和 之间仅有一条前向通道： ，并且有 ，则
2-13 确定图2-T-13中系统的输出 。
解：采用叠加原理，当仅有 作用时， ，
当仅有 作用时， ，当仅有 作用时， ，当仅 作用时，根据叠加原理得出
第三章
3-1 设系统的传递函数为
解：根据能量守恒定律可列出如下方程：
对上式进行拉氏变换得到
则传递函数为
2-8 试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数 。
解：(a) 化简过程如下
传递函数为
(b) 化简过程如下
传递函数为
2-9 试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数 。
解：化简过程如下
系统的传递函数为
2-10 绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数 。
2．单位阶跃响应
(a) 无零点时
（b）有零点 时
加了 的零点之后，超调量 和超调时间 都小于没有零点的情况。
3-13 单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？
单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-积分环节 ，当误差信号 时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系统输出继续增长，知道出现 时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。
，
3-4 设单位反馈系统的开环传递函数为
若输入为 ，求此系统的给定稳态误差级数。
解：首先求系统的给定误差传递函数
误差系数可求得如下
以及
则稳态误差级数为
3-6 系统的框图如图3-T-1a所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b），试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。