几种实验设计方法的比较

二次通用旋转实 验设计参数
f
mc
mr
2
4
4
3
8
6
4
16
8
5
32
10
r 1 .414 1 .682 2 .000 2 .378
n
m0
13
5
20
6
31
7
52
10
二次通 用旋转 设 计的 最 大 特点 是 克 服了 二 次 回归 的 预 测值的方差 强烈地 依 赖于 实 验 点在 因 子 空间 中 的 位置 这 个 缺点, 由于实验误差的干扰, 就不易由预测值直接寻找最优 区域。而采用回归旋转设计实验方法, 使得在与实验中心点 距离相等的点上, 也就是分布在同一球面上实验组合的预测 值具有相同的方差, 这样可使实验次数大大缩减, 工作量大 为减轻, 再借助于计算机统计分析, 模拟寻优, 即可找出多因 素的最 佳组合及变 化趋势。 2 实验设计方法的评价与比较 2 .1 评价标 准 评价一 种实验 设计 方法 的优 劣主 要 从两 个 方面考虑: 该方法的精度和对实验数据的处理。我们选取某 种设计方法, 首先要看它的精度, 即运用该Biblioteka Baidu法得到的结论 是否与实际相吻合。这就牵扯到了实验的次数, 经验表明, 样本容量越大, 得到的估计值越可靠。而上面几种设计方法 的实验次数不尽相同, 正如均匀设计, 所需实验次数较少, 自 然精度也就不是很高。但对于一些比较昂贵的实验来说, 实 验 人员 需要 节 省大 量的 人 力、物力 和 财力, 他 们会 相 对选 取 一种实 验次数较少 的方法。
除此之外, 选取了合适的设计方法后, 如果对实验数据 处理不当, 依然很难得到预期的目的。因为, 每种设计方法 都要选取一种较优的数据处理, 而常用的实验设计方法都有 相应的一种或几种数据处理方法, 实验者应该根据自身实验 的特点 择优选择。 2 .2 几种 实验 设计 方 法 的比 较 由 表 2 可 知, 正 交 设 计 是 一种直观的方法, 它所需的实验次数为 l2 , 即为因素水平的 平方。它对 实 验 数 据 的 分 析 也 是 采 用 直 观 分 析 法( 方 差 分 析) , 即只需分 析 各水 平 的 极差 , 极 差 最 大者 为 最 优, 但 它 只 能确定哪个因素为主要因素, 而因素对指标的影响有多大是 不能控 制的。
35 卷36 期
刘红波等 几种实验设计方法的比较
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保 证 二 次 回 归 系 数 bjj 间 的 正 交 性, m0 必 须 满 足
(
f
n( mcf + 2 r 4) + 2) ( mc + 2 r 2)
^2
=1
,
由 此 得 二 次 通用 旋 转 实 验 设 计 的 参
数( 表1) 。
表1
作者 简介 刘红 波( 1982 - ) , 男, 陕西 乾县人 , 硕士 研 究生 , 研究 方 向: 应用数学。* 通讯作者, 硕士生导师, 副教授。
收稿 日期 2007-07-31
从而只 要在这些 范 围内 考 虑 它们 的 作 用和 影 响。 球面 对 称 设计就是在一个球面上确定实验点的设计, 实验点分布在球 面各卦限内的中心点和球面与坐标轴的交点上, 而球心作为 中心对照点。实验所考察的因素个数为空间维数, 因素个数 的平方根为球半径, 各实验点的坐标就是对应因素的水平。 这样, 实验点的坐 标 有 - r 、- 1 、0 、1 、r 5 个, 即 各 因 素 有5 个 水平, 故球面对称设计是5 水平的实验设计。
球面对称 设计的 实 验 次数 为 2l + 2l + 1( 其 中 l 为 因 素 个数) , 这里5 个 水平 的 安 排是 以 任2 个 水平 间 差 的 比 值 与 对应坐 标差的比值相 等为原则。 取3 因素 为例:l = 3 ,r = 3 , 若安排 某一因素的水 平, 水 平 应在 1∶10 , 故该 因 素 的水 平 代 码在- 3∶3 之 间。
二次通用旋转实验设计是通过组合设计来实现的, 它的 n 个实验点 由三类实验点 组合而成: n = mc + mr + m0 = mc + 2 f + m0 , 其 中 f 为 因 素 个 数 , mc 个 实 验 点 分 布 在 规 范 变 量 ( z) 空 间中半径为 r c = f 的 球面 上, mr = 2f 个 实验 点 分布 在 半径 rr = r 的球面上, m0 个 点 集 中 在 r 0 = 0 的球 面 上( 即 原 点) 。组合中用 mc ,r , m0 的互 相调整来满 足设计要求 。①用 mc 确定 r , 满 足 旋 转 性 要 求 。r = 4 mc 。 ② 使 用 适 当 的 m0 , 使设计具 有一定 的正 交性 , 由 于 mc ,f , r 都 已确 定, 为 了
Comparison Among Several Methods of Experi mental Design LI U Hong- bo et al ( College of Science ,Northwestern A&F University ,Yangling ,Shaanxi 712100) Abstract The design and choice of experi mental scheme are very i mportant for the lab assistants and it is puzzled for their to select the better experi mental scheme .The usual method was described and was co mpared in the range of application with Orthogonal Design , Unifor m Design ,Spherical Symmetric Design ,Second- order Generalized Rotation Design ,which can help the mto select appropriate methods . Key words Orthogonal Design ;Unifor m Design ;Spherical Symmetric Design ;Second- order Generalized Rotation Design
x 的计算是( 1 - x) / [ ( - 3) - ( - 1) ] = ( 10 - x) / [ 3 ( - 1) ] , 从而 得 到 x = 2 .902 , 即 该 因 素的 第 二 水平 是 2 .902 , 依次可求 y = 5 .6 , z = 8 .098 . 同 样, 求 出第 二、三 个 因 素 的 水 平值, 设计就此完成。球面对称设计的目的是寻求考察的指 标同所选的因素某种相关关系, 将这种关系以函数形式表达 出来, 其 特点为: 实 验 次数 较 少、精 度 较高, 并 且 由 此 得 到 的 关系式 可确定任 何 在范 围 内 的实 验 点 的预 测 值。 对于 需 要 控制指标的实验, 效果尤为显著, 但缺点是设计较复杂, 必须 有丰富的专业知识来确定各因素的范围, 所以要求较高。 1 .4 二次通 用旋转实验 设计 凡与 实验 中心 点距 离 相等 的 球面上 各点回归方程 预测值的方 差是 相等 的回归 实验 设计 , 称 为 旋 转 设 计( Rotati on Design) 。 二 次 通 用 旋 转 实 验 设 计 ( Second-order Generalized Rotation Desi gn Experi mentation) 能 使回 归预测值 ^y 的方差是 在球心为原 点, 半径 为 r 的 球内 的一 个 常数。该设 计的一 致 精度 和 需 要实 验 次 数较 少 等 优点 广 泛 应用于 科学实验中。
实验 设计( Design of Experi ments) 是 研 究如 何制 定 适当 实 验方案以便 对实验 数 据进 行 有 效统 计 分 析的 数 学 理论 与 方 法。通常所 说的实验设 计是以概 率论、数理 统计 和线 性代 数 等为理论基础, 科学地安排实验方案, 正确地分析实验结果, 尽快地 获得最优 化 方案 的 一 种数 学 方 法。实 验 通 常要 选 择 一种或几种实验设计方案, 实验设计的方法各有其适用范围 和优缺点, 实验者应根据实际需求进行适当选择。 1 几种常用的实验设计方法 1 .1 正交 实验设计 正交实验设 计( Orthogonal Design Experimentation) 是以概率 论数理统计知 识和 实践 经验 为基础 , 利 用 标准化正交表安排实验方案, 并对结果进行计算分析, 最终 迅速找 到优化方 案 的一 种 科 学计 算 方 法。它 是 处 理多 因 素 优化问题的有效方法, 正交表是正交设计的基本工具, 具均 匀分散性和整齐可比性。其特点: ①有一套表格, 便于多因 素实验的设计与数据分析; ②由于有正交性, 易于分析出每 个因素的主效应; ③数据点分布均匀且具有整齐可比性, 因 此可应 用方差分 析 对实 验 数 据进 行 分 析。经 过 对 实验 结 果 进行分析, 能清楚各个因素对实验指标的影响程度, 确定因 素的主次顺序, 找出较好的实验条件或最优参数组合。 1 .2 均 匀 实 验设 计 均 匀 实 验 设 计( Uniform Desi gn Experimentation) 的 基本思想是 抛 开正 交 设 计 中“整 齐可 比”性 的 特 点而只 考虑实 验点 的“均匀 分 散” 性 , 即 让实 验 点 在 所 考 察 的范围内尽 量均匀 地 分 布。 由 于 不 再 考 虑“整 齐 可 比” 性 , 那些在 正交设计中 为整齐可比而 设置 的实 验点 可不再 考虑 , 因而可大大减少实验次数, 且实验次数与各因素所取的水平 数相等。用 均匀设 计 可适 当 增 加实 验 的 水平 数 而 不必 担 心 导致像 正交设计 那 样其 实 验 次数 呈 平 方次 增 长 的现 象。 其 特点就是除了有一套简易的表格外, 它能以最少的实验次 数、最 短的 实验 周 期得 到一 个 回归 方 程, 该方 程能 定 量地 描 述各因素对目标函数的影响, 得到最佳工艺条件。 1 .3 球面对 称实验设计 球面对 称实 验设 计( Spherical Symmetri c Design Experi mentation) 是 考 虑 到 任 一 因 素 对 指 标 的 影 响作用均有一定范围, 将这些范围以一定的代码予以统一,
安徽农业科学,Journal of Anhui Agri . Sci .2007 ,35( 36) :11738 - 11739
责任编辑 罗芸 责任校对 李菲菲
几种实验设计方法的比较
刘红波, 陆 刚, 边宽江* ( 西北农林科技大学理学院, 陕西杨凌 712100)
摘要 实验方案的设计与选择对于实验人员来说起着至关重要的作用, 分析比较了常用的正交 设计、均 匀设计、球面对称设 计、二次回 归通用旋转设计等方法的适用范围及优劣, 以供实验人员选择适合自身实验的最优方案。 关键词 正交设计; 均匀设计; 球面对称设计; 二次回归通用旋转设计 中图分类号 S11 文献标识码 A 文章编号 0517 - 6611( 2007) 36 - 11738 - 02
对一些多因素多水平的工艺过程进行考察时, 用正交实 验需要较多的实验次数, 而用均匀设计只需做与水平数相同
的实 验次数, 这样 大大减 少了实 验的人 力、物 力和财 力, 尤 其 是对一些比较昂贵的实验。然而, 由于均匀设计的实验次数 较少, 因此它的实验精度也就不够。均匀设计舍弃了整齐可 比性, 因此, 对所得实验数据的处理不能用方差分析, 应采用 多元回归分析或逐步回归分析的方法, 建立一个定量的回归 模型。回归分析中可对模型中因素进行回归显著性检验, 根 据因素偏回归平方和的大小确定该因素对回归的重要性, 这 样也就 优化出了主要 因素及最佳 工艺条件。