概率论与数理统计 - 浙江大学邮件系统

而与起始时间t1无关。
严平稳过程的数字特征：
设严平稳过程X t 是二阶矩过程，则
记为
（1）X t E X t E X 0＝＝X 常数
（2）RX t ,t E X t X t
记为
E X 0 X ＝＝RX
定义：给定二阶矩过程X t ,t T，如果
对任意的t,t T ,
或称这两个过程是联合 宽 平稳的
例: 一族随机变量Xt (t T )独立同分布, 则随机过程{Xt ;t T}是严平稳的.
证 : 设Xt的分布函数为F，对任意不同t1,,tn ,任意h， P( X t1 x1,..., X tn xn ) P( X t1 x1)...P( X tn xn )
第五章 平稳过程
关键词：
(宽)平稳过程 时间均值 时间相关函数 各态历经性 各态历经过程 谱密度 维纳——辛钦公式 白噪声
§1 平稳过程的定义
在自然界中有一类随机过程，它的特征是产生随机现象 的主要因素不随时间而变。例如
无线电设备中热噪声电压X (t)是由于电路中 电子的热运动引起的，这种热扰动不随时间而变；
试确定X t 的均值是否具有各态历经性。
解：X t EX 0
RX t,t E X 2 1
x1 t
1
X t lim 1
T
X t dt
x2 t
T 2T T
wenku.baidu.com
1
lim 1
T
Xdt X
T 2T T
P X t X P X 0 0
X t的均值不具有各态历经性
例3：证明:余弦波X (t) Acos(t ) t ,
1 4
cos (t2
t1)
1 4
cos .
( t2 t1)
所以,X (t)是平稳过程.
32
X t
lim 1 T 2T
T Acos t dt
T
将A看作定值
＝＝＝＝A lim
1
T
cos t dt
T 2T T
0 E[X (t)]
即X (t)的均值具有各态历经性.
所以 PX t T0 X t 1。
应用：
在实际中，各种具有零均值的非周期性噪声和干扰一般
当 值适当增大时，X t 和X t 呈现独立或不相关，
即lim
RX
lim
CX
0.
如：接收机输出电压V t 是周期信号S t 和噪声电压N t 之和，
V t S t N t
又设S t 和N t 是两个互不相关的各态历经过程，且
b2ea
a 0
且噪声平均功率RN
0
b2远大于信号平均功率RS
0
a2 2
则RV
a2 2
cos
b2ea
a2 2
cos ,当充分大时
自相关分析仪记录到的RV ， 0的图形，
当 充分大后应呈现正弦曲线，
亦即从强噪声中检测到微弱的正弦信号。
24
§2 各态历经性
如何根据实验记录确定平稳过程的均值 和自相关函数呢？按照数学期望和自相关 函数的定义，需对一个平稳过程重复进行 大量观察，获得一族样本函数
1 2T
T
T
X t X t dt
例1：计算随机相位余弦波：
X t acos t 的时间平均 X t 和 X t X t 。
解： X t
lim 1 T 2T
T acos t dt
T
将看作一定值
＝＝＝＝ lim T
a sin T
sin T
2T
0
28
X t X t
其中N是自然数，而a0 , a1, , aN是常数
证明：Yn , n 0, 1, 2, 是平稳序列
N
证：E Yn ak E X nk 0 k 0 RY n, n m EYnYnm
E
N k 0
ak
X nk
N j0
aj
X nm
j
N N
ak a j E X X nk nm j
F (x1)...F (xn ) P( X t1h x1,..., X tn h xn )
X t1 , X t2 , , X tn 和 X t1 h, X t2 h, , X tn h同分布，
{Xt ;t T}是严平稳的.
9
例: 设是一随机变量, 对任何t T , Xt ,
则随机过程{Xt ;t T}是严平稳的.
k 0
2k 1!
I e2 2
k0 k !
若 0,则RX t,t RX t ,t I 2e2 .
综合得，RX t,t I e2 2 仅与 有关，
故是平稳过程。
相关函数的性质
设X t和Y t是平稳相关过程,则
1.
RX
0
E
X
2
t
2 X
0
2. RX RX (偶函数)
RXY RYX (既不是奇函数，也不是偶函数)
2 X
.
自相关 自协方差 函数在 0处取得最大值。
RXY 2 RX 0 RY 0, CXY 2 CX 0CY 0.
19
4. RX 是非负定的:
对任意t1, t2 , , tn T和任意实数a1, a2 ,
n RX ti t j aia j 0
i, j1
, an，
n
定义：X t ,t T是一随机过程，对任意的n n 1, 2, ，
t1,t2 , tn T和任意实数h，当t1 h,t2 h, ,tn h T 时,
X t1 , X t2 , , X tn 和 X t1 h, X t2 h, , X tn h
具有相同的分布函数，称此过程为严平稳过程。
连续测量飞机飞行速度产生的测量误差X (t)， 是由很多因素（如仪器振动、电磁波干扰、 气候等）引起的，但主要因素不随时间而变；
棉纱各处直径不同是由于纺纱机运行，棉条不均， 温湿度等引起的，这些主要因素也不随时间而变。 因为产生随机现象的主要因素不随时间而变，所以 随机过程的统计特性不随时间推移而变——平稳过程。
证明：RX RX t,t E[X (t)X (t )]
E[ X
(t
)X
tt
(t)]
E[ X
(t) X
(t
)]
RX
;
RXY RXY t,t E[X (t)Y (t )]
E[Y
(t
)X
tt
(t)]
E[Y
(t)
X
(t
)]
RYX
.
18
3.
RX RX 0,
CX
CX
0
E
N
t
0, lim
RN
0
则V t 的自相关函数RV RS RN
则对于充分大的 值，RV RS
即如果将V t 作为自相关分析仪的输入，则对于充分大的 值，
分析仪记录到的是函数RS 的曲线。
23
例：设接收机输出电压中的信号和噪声过程的自相关函数分别为：
RS
a2 2
cos , RN
x1 t, x2 t, , xN t,
用统计实验方法，均值和自相关函数近似 地为：
X
1 N
N
xk
k 1
t1 ,
RX t2 t1
1 N
N
xk t1 xk t2
k 1
平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化， 根据这一特点，能否通过在一个很长时间内观察得到的 一个样本曲线来估计平稳过程的数字特征呢？
,
而正负号在区间(t,t ]内变化的次数~（）
讨论X t 的平稳性.
解：E X t 0
设 0, RX t,t E X t X t
I2PX t X t I 2 I 2PX t X t I 2
I2
k 0
I 2e
e 2k
2k !
k
e 2k1
lim 1 T 2T
T T
a
2 cos
t
cos
t
dt
lim a2 T 4T
T T
cos
2t
2
cos
dt
lim a2 T 4T
sin2T 2 sin2T 2
2
a2cos
2
a2 2
cos
可知： X X t RX X t X t
29
定义：设X (t)是一平稳过程
{X（t)}是宽平稳过程
11
例 1：(离散白噪声)
设Xk , k 0, 1, 2, 两两不相关，
E Xk 0, E
X
2 k
2,则有：
RX
k
,
l
E
X
k
X
l
0
2
k l k l
只与k l有关，所以是宽平稳。
例2：（移动平均）
设X k , k 0, 1, 2, 两两不相关，
N
EX k 0, DX k 2,作Yn ak X nk k 0
证 : 对任意不同t1,, tn , 任意h，
( X t1 ,..., X tn ) （，..., )=( X t1h ,..., X tn h )
10
例：随机相位余弦波X (t) acos(t )
t , ~ U(0, 2 )。
X (t) （0 常数）
RX (t
,t )
a2 2
cos (只是的函数）
T
0
S t
1 T
d
1 T
tT S d
t
周期性
＝＝＝
1
T
T
0
S
d
常数
RX t,t E S t S t
T
0
S
t
S
t
1 T
d
1 T
tT S S d
t
周期性
＝＝＝
1
T
T 0
S
S
记为
d＝＝RX
所以随机相位周期过程是平稳的。
15
例4：考虑随机电报信号，P X
t
I
1 2
3.
D[
X
(t)]
R（X 0）-
2 X
常数
4. EX t1 X t2 R（X t2 - t1）
5. Co（v Xt1 , Xt2 ) R（X t2 -t1）- X2
定义：X t 和Y t ,t T是两个平稳过程
如果它们的互相关函数也只是
时间差的函数，记为RXY , 即RXY t,t E X t X t RXY 称X t 和Y t 是平稳相关的，
n
RX ti t j aia j E X ti X t j aia j
i, j1
i, j1
n
E
X ti X
i, j1
tj
aia j
E
n i1
X
ti
ai
2
0
20
5. X t 是周期为T0的平稳过程
RX (t)是周期为T0的函数。
即: PX t T0 X t 1
本节给出的各态历经定理证实，只要满足某些条件， 那么均值和自相关函数实际上可以用一个样本函数在整个 时间轴上的平均值来代替。
x(t)
X
t
定义：设{X (t)：- t }为平稳过程， 定义过程的时间均值：
<X
t >= lim T
1 2T
T X t dt
T
时间相关函数：
<X t X t >= lim T
k0 j0
N
ak amk 2
k 0
0mk N
只与m有关，所以{Yn }是平稳序列。
例3：设S t 是一周期为T的函数，是在0,T 上服从均匀分布的随机 变量，称X t S t 为随机相位周期过程，试讨论它的平稳性。
解：由假设，的概率密度为:
f
1 T
0
0 T
其他
于是, E X
t
E S t
1. 如果P{ X (t) X } 1，
均值具有各态历经性
2. P{ X (t) X (t ) RX } 1，
自相关函数具有各态历经性，
当 0时，称均方值具有各态历经性
3. 均值和自相关函数都具有各态历经性， 则称X (t)是各态历经过程
例2： X
t
X ,t , ,
PX
1
1 2
其中是常数,
A与相互独立,
A~f
(x)
2
x, 0,
0
x 其它
1 ,
在(0, 2 )上均匀分布,是平稳过程;并判断其是否为
各态历经过程.
证明: X (t) E[ X (t)] E Acos t
E(A)E[cos t ] 0
RX (t1, t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] E[ A2 ]E[cos(t1 )cos(t2 )]
严平稳过程的参数集T ,
可以为连续的,如， ，0， ；
可以为离散的,如0, 1, 2, ,0,1, 2,
{ X t }是严平稳过程当且仅当
（1）所有的X
同分布。
t
（2）对任意n 2, ( X t1 , X t2, ..., X tn )的分布
仅与时间差t2 t1,t3 t2,..., tn tn1有关，
E X t X 常数
E X t X t RX
则称X t ,t T为宽平稳过程
注： （1） 严平稳过程 二阶矩存在 宽平稳过程；
宽平稳过程 正态过程 严平稳过程； （2）今后，平稳过程均指宽平稳过程。
如果X t是宽平稳过程，那么
1. EX (t) X 常数
2. EX 2 (t) R（X 0）常数
RX T0 RX .
21
证明： ""
因为PX t T0 X t 1，
所以E X t X t T0 E X t X t ， 即RX T0 RX 。
""
E X t T0 X t 2 2RX 0 2RX T0 ＝RX＝周期＝为T＝0 0，