应用数理统计习题

应用数理统计复习题

一、填空题

1.设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，样本均值及样本方差分别为，

2

211

11,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，设112,,...n n X X X X +与独立同分布，

则统计量

~Y =

。 2.设2

1

~(),

~T t n T 则

。 3.设总体X 的均值为μ，12,,...,n X X X 为样本，当a = 时，E 21

()n

i

i X

a =-∑达到最

小值。

4. 设总体2

12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，1

||,()n

i

i D X

E D μ==

-=∑则

5.设总体X 的均值和方差分别为a , b , 样本均值及样本方差分别为

2

211

11,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，则 E (S 2 )= 。

6.在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值 X 落在4与6

之间的概率 =

6. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1.9，2，2，2.1， 2.5为样本，则λ的矩估计值为ˆλ

＝ 。

7. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，1

2

21

1

ˆ()n i i i c X

X σ

-+==-∑，若2ˆσ

为2σ的无偏估计，则 c = 。

8. 设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 ，极大似然估计量为 。

9. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ未知，σ2 已知，为使μ的置信度为1－α的置信区间长度不超过L ，则需抽取的样本的容量n 至少为 。 10. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 。

11设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8221,10μ

令Y ＝X Y Y ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛202121，则Y 的分布为 (要求写出分布的参数) 12. 设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计

=θˆ ；=)ˆ(θ

D 。 13. 设n X X ,,1 是来自正态总体),(2σμN 的样本，2,σμ均未知，05.0=α. 则μ的置信度为α-1的置信区间为 ；若μ为已知常数，则检验假设

,::20212020σσσσ<↔≥H H （2

σ已知），的拒绝域为 。 14．设X 服从p 维正态),(∑μp N 分布，是来自n X X X ,,,21 X 的样本，则∑

的最小方差无偏估计量=∑

ˆ ；μ-X 服从 分布。 15设（X 1，…，X n ）为来自正态总体),(~∑μp N X 的一个样本,∑已知。对给定的检

验水平为α，检验假设0100::μμμμ≠↔=H H ，（0μ已知）的统计量为 拒绝域为 。

16．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）：

表1 因素水平表

表2 极差分析数据表

则（1）较好工艺条件应为。

（2）方差分析中总离差平方和的自由度为。

（3）上表中的第三列表示。

17．为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见表3）。

表3 最大积雪深度与灌溉面积的10年观测数据

则y关于x的线性回归模型为

二、简述题

1.检验的显著性水平及检验的p值。

2.参数的点估计的类型、方法、评价方法。

3.假设检验的思想、推理依据及参数假设检验的步骤。

4.方差分析的目的及思想（结合单因素）。

5.简述正交实验设计中的数据分析方法

6主成分分析。 7.典型相关分析。 8.贝叶斯判别法。 9.聚类，分类。

10.线性回归分析的主要内容及应用中注意的问题。 11.系统聚类法的算法思想及步骤。

12.如何看待多元统计方法在实际数据处理中的作用与地位。

三、计算及证明题

1.设总体X 的概率密度为1,0

(,)00x x e x f x x αλαλλ--⎧>=⎨≤⎩

，其中λ>0是未知参数，α>0是

已知常数，12,,...,n X X X 为样本，求λ的矩估计和极大似然估计。

2. 设总体X 的概率密度为22()

,0(,)0x x f x θθθθ-⎧<<⎪

=⎨⎪⎩

其它，其中θ>0是未知参数，

12,,...,n X X X 为样本，求1）θ极大似然估计，2）总体均值μ的极大似然估计。 3. 设总体X 的概率密度为2

33,0(,)0x x f x θθθ⎧<<⎪

=⎨⎪⎩

其它，其中θ>0是未知参数， 12,X X 为

样本。

1）证明：11221227

(),(,)36

T X X T max X X =

+=都是θ的无偏估计。 2）比较12,T T 的有效性。

4. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布,对于假设01:0.5,

:2H H λλ==，0H 的拒绝域为

12{3}D X X =+≥，试求此检验问题犯第一类错误（弃真）及犯第二类错误（取伪）的概

率。

5.考虑一元线性回归模型： 01,1,2,..i i i Y X i n ββε=++=，其中i ε相互独立且服从

2(0,)N σ分布，求参数01,ββ的极大似然估计，并证明它们是无偏估计。

6. 考虑一元线性回归模型：01,1,2,..i i i Y X i n ββε=++=，其中i ε相互独立且服从