2013北师大版八年级数学上期中经典培优集锦
2013最新北师大版八年级数学上册第一二章综合培优题(2021年整理)
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北师大版八年级上册第一、二章练习题一．填空题:1． 已知直角三角形的三边长为6、8、x ，x 为斜边，则以x 为边的正方形的面积为____ _；2．如右图：图形A 的面积是 ；3．2)3(-=________，327- =_________， 0)5(-的立方根是 ； 4．在棱长为5dm 的正方体木箱中，现放入一根长dm 12的铁棒，能放得进去吗？ ; 5．210-的算术平方根是 ，16的平方根是 ；6．计算：_________1125613=-； 7．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则______3=++cd b a ；8．在2,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---•- 中，负实数集合:｛ ｝;9．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米；10．一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所行的最短路线的长是_____________； 11．的相反数是________，绝对值等于的数是________,｜3—∣=_______。
12．的算术平方根是_______，=______。
北师大版版八年级上册数学 一次函数培优训练(详细,经典)
《一次函数》培优资料（1）专题一：一次函数的定义、图像及性质1.对于一次函数y = kx + k -1(k ? 0)，下列叙述正确的是（）A．当0 < k <1 时，函数图象经过第一、二、三象限B．当k > 0 时，y 随x 的增大而减小C．当k <1 时，函数图象一定交于y 轴的负半轴D．函数图象一定经过点(-1, -2)2.对任意实数k，直线y=kx+（2k+1）恒过一定点，该定点的坐标是．3.直线y=kx+b 经过点（2，﹣4），且当3≤x≤6 时，y 的最大值为8 则k+b 的值为．4.两个一次函数y=ax+b与y=bx+a在同一坐标系中的图象大致是（）5.如图，函数y=mx﹣4m（m 是常数，且m≠0）的图象分别交x 轴y 轴于点M、N，线段MN 上两点A、B（点B 在点A 的右侧），作AA1 ⊥x 轴，BB1⊥x 轴，且垂足分别为A1，B1，若OA1+OB1＞4，则△OA1A 的面积S1 与△OB1B 的面积S2 的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．不确定的6.已知直线y =- n x +n +11n +1（n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S2018= ．7．如图，在平面直角坐标系中，函数y=﹣2x+12 的图象分别交x 轴y 轴于A、B 两点，过点A 的直线交y 正半轴于点M，且点M 为线段OB 的中点．（1）求直线AM 的函数解析式．（2）试在直线AM 上找一点P，使得S=S△AOM，请直接写出点P△ABP的坐标．8.点C 在直线AM 上，在坐标平面内是否存在点D，使以A、O、C、D 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．专题二：重要公式和结论1.直线y=kx+b过点（x1，y1），（x2，y2），若x1﹣x2=1，y1﹣y2=﹣2，则k 的值为．2.含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A（﹣2 0），B（0，1），则直线BC 的解析式为．3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是平行四边形，且A（4，0）、B（6，2）、M（4，3）．在平面内有一条过点M 的直线将平行四边形OABC 的面积分成相等的两部分，请写出该直线的函数表达式．4．如图，点A的坐标为（﹣2，0），点B在直线上运动，当点B 的坐标是时，线段AB 最短，最短距离为.5．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B 关于直线AP 的对称点B′恰好落在x 轴上，则点P 的坐标为．6.对于坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2 两点间的“转角距离”，记作d（P1，P1）．（1）令P0（3，﹣4），O为坐标原点，则d（O，P0）=；（2）已知O 为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=2，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中，画出所有符合条件的点P 所组成的图形；7.设P0（x0，y0）是一个定点，Q（x，y）是直线y=ax+b 上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的“转角距离”．若P（a，﹣2）到直线y=x+4 的“转角距离”为10，求a 的值．专题三：直线与x轴正方向夹角和k的关系1.已知：一次函数的图象如图所示，则k= ．2.如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=kx+b（b＞0）与y轴交于点B，∠BCA=60°，连接AB，∠α=105°，则直线y=kx+b 的表达式为．3.如图，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 长最短时点B 的坐标为．4.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y = 3 x ，直线l2：y =3x ，在3直线l1 上取一点B，使OB=1，以点B 为对称中心，作点O 的对称点B1，过点B1 作B1A1∥l2，交x 轴于点A1，作B1C1∥x 轴，交直线l2 于点C1，得到四边形OA1B1C1；再以点B1 为对称中心，作O 点的对称点B2，过点B2 作B2A2∥l2，交x 轴于点A2，作B2C2∥x 轴，交直线l2 于点C2，得到四边形OA2B2C2；…；按此规律作下去，则四边形OA n B n C n的面积是．5.已知，直线x +与x 轴，y 轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a 为坐标系中的一个动点．= ；（1）则三角形ABC 的面积S△ABC点C 的坐标为；（2）证明不论 a 取任何实数，△BOP 的面积是一个常数；（3）要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．6.如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A、B 两点，点A 的坐标为（1，0）∠ABO=30°，过点B 的直线y= x+m 与x 轴交于点C．（1）求直线l 的解析式及点C 的坐标．7.点D 在x 轴上从点C 向点A 以每秒1 个单位长的速度运动（0＜t＜4），过点D 分别作DE∥AB，DF∥BC，交BC、AB 于点E、F，连接EF，点G 为EF 的中点．①判断四边形DEBF 的形状并证明；②求出t 为何值时线段DG 的长最短．8.点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．《一次函数》培优资料（2）专题四：一次函数与几何变换1. （ 1 ）直线y = 2x +1 向下平移 3 个单位后的解析式是.（ 2 ）直线y = 2x +1 向右平移 3 个单位后的解析式是.2.如图，已知点 C 为直线y =x 上在第一象限内一点，直线y = 2x +1 交y轴于点A，交x 轴于B，将直线AB 沿射线OC 方向平移3 2 个单位，则平移后的直线的解析式为．yACBO x3.如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A（1，1），B （3，1），C（2，2），当直线与△ABC 有交点时，b 的取值范围是．4.在平面直角坐标中，已知点A（-2，3）、B（4，5），直线y=kx+1（k≠0 与线段AB 有交点，则k 的取值范围为.5.将函数y=2x+b（b 为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=﹣|2x+b|（b 为常数）的图象．若该图象在直线y=2 下方的点的横坐标x 满足0＜x＜3，则b 的取值范围为．6.如图，函数y=﹣2x+2 的图象分别与x 轴、y 轴交于A，B 两点，线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则直线AC的函数解析式是．7.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A，C 分别在x 轴y 轴上，点B 在第一象限，直线y=x+1 交y 轴于点D，且点D 为CO 中点，将直线绕点D 顺时针旋转15°经过点B ，则点B 的坐标为．8.如图1，已知平行四边形ABCD，AB∥x 轴，AB=6，点A 的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是平行四边形ABCD 边上的一个动点．（1）若点P 在边BC 上，PD=CD，求点P 的坐标．（2）若点P 在边AB，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y=x﹣1 上，求点P 的坐标．解：（1）∵CD=6，∴点P 与点C 重合，∴点P 坐标为（3，4）．（2）①当点P 在边AD 上时，∵直线AD 的解析式为y=﹣2x﹣2，设P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，若点P 关于x 轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x﹣1 上，∴2a+2=a﹣1，解得a=﹣3，此时P（﹣3，4）．若点P 关于y 轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y=x﹣1 上时，∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1，解得a=﹣1，此时P（﹣1，0）②当点P 在边AB 上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，若等P 关于x 轴的对称点Q2（a，4）在直线y=x﹣1 上，∴4=a﹣1，解得a=5，此时P（5，﹣4），若点P 关于y 轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y=x﹣1 上，∴﹣4=﹣a﹣1，解得a=3，此时P（3，﹣4），综上所述，点P 的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．9.若点P 在边AB，AD，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM，过点G 作x 轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）（3）①如图1 中，当点P 在线段CD 上时，设P（m，4）．在Rt△PNM′中，∵PM=PM′=6，PN=4，∴NM′==2，在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2=GM′2，∴22+（2+m）2=m2，解得，∴P （﹣，4）根据对称性可知，P（，4）也满足条件．②如图2 中，当点P 在AB 上时，易知四边形PMGM′是正方形，边长为2，此时P（2，﹣4）．③如图3中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R．易证∠M′RG=∠M′GR，推出M′R=M′G=GM，设M′R=M′G=GM=x．∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2，∴R（﹣1，0），在Rt△OGM′中，有x2=22+（x﹣1）2，解得x=，∴P（﹣，3）．点P 坐标为（2，﹣4）或（﹣，3）或（﹣，4）或（，4）10.如图，直线l1 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，直线l2 与直线l1 关于x 轴对称，已知直线l1 的解析式为y=x+3，（1）求直线l2 的解析式；y=﹣x﹣3（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线l3，过点B 作BE⊥l3 于E，过点C 作CF⊥l3 于F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；（2）如图．BE+CF=EF．∵直线l2 与直线l1 关于x 轴对称，∴AB=AC，∵l1 与l2 为象限平分线的平行线，∴△OAC 与△OAB 为等腰直角三角形，∴∠EBA=∠FAC，∵BE⊥l3，CF⊥l3∴∠BEA=∠AFC=90°∴△BEA≌△AFC∴BE=AF，EA=FC，∴BE+CF=AF+EA=EF；（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q，与y 轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．（3）①对，OM=3过Q 点作QH⊥y 轴于H，直线l2 与直线l1 关于x 轴对称∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ，又∵AB=AC，∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ，则△QCH≌△PBO（AAS），∴QH=PO=OB=CH∴△QHM≌△POM ∴HM=OM∴OM=BC﹣（OB+CM）=BC﹣（CH+CM）=BC﹣OM∴OM= BC=3．例1对于坐标平面内的点,现将该点向右平移1个单位,再向上平移2的单位,这种点的运动称为点A的斜平移,如点P(2,3)经1 次斜平移后的点的坐标为(3,5),已知点A 的坐标为(1,0).(1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标.(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C.①若A. B. C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形?请说明理由.②若点B由点A经n次斜平移后得到,且点C 的坐标为(7,6)，求出点B的坐标及n的值.例2 已知，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的顶点在原点.（1）如图，若点C 的坐标为（-1,3），求A点坐标;（2）如图，点F 在AC 上，AB 交x 轴于点E。
北师大版八年级数学上册第6章-数据的分析(培优试题)
第六章 数据的分析6.1平均数专题 探究性问题1两人都说自己的数学成绩更好,请你想一想:（1）小张可能是根据什么来判断的? 小王可能是根据什么来判断的?（2）你能根据小张的想法设计一种方案使小张的成绩比小王高吗?写出你的方案.2．教育局为了了解本地区八年级学生数学基本功情况,从两个不同的学校分别抽取一部分学生进行数学基本功比赛.其中A 校40人,平均成绩为85分; B 校50人,平均成绩为95分. （1）小李认为这两个学校的平均成绩为21×(85+95)=90(分).他的想法对吗?若不对请写出你认为正确的答案.（2）其他条件不变,当A 校抽查的人数为多少人时,所抽查两校学生的平均成绩才是90分?（3）根据上面数据:a 1,a 2,…,a m ;b 1,b 2,…,b n ;c 1,c 2,…,c p ;d 1,d 2,…,d q .每一组数据的平均数分别为a 、b 、c 、d.将这四组数据合并为一组数据: a 1,a 2,…,a m ,b 1,b 2,…,b n ,c 1,c 2,…,c p ,d 1,d 2,…,d q . 问当m 、n 、p 、q 满足什么条件时,它的平均数为41(a ＋b ＋c ＋d)?并说明理由.答案：1．解： (1)小王可能是根据算术平均数来判断的,小张可能是根据加权平均数来判断的.(2)参考方案:平时成绩、期中成绩、期末成绩所占的百分比分别为30%,30%,40%,这样小张的综合成绩就是86.5分,小王的综合成绩就是86.3分. 2．解：(1)小李的想法不对.正确的答案为:平均成绩=≈+⨯+⨯40505095408590.6(分)(2)设A 校抽查人数为x 人,由题意可得方程:95×50＋85x=90(50＋x),解得x=50. 所以当A 校所抽查的人数也是50人时,两个学校的平均成绩才是90分.(3)当四组数据的个数相等时,即m=n=p=q 时, a 1,a 2,…,a m ,b 1,b 2,…,b n ,c 1,c 2,…,c p ,d 1,d 2,…,d q 的平均数为41(a ＋b ＋c ＋d). 理由如下:平均数=m m m m dm cm bm am q p n m dq cp bn am ++++++=++++++=41(a ＋b ＋c ＋d).6.2中位数与众数、6.3从统计图分析数据的集中趋势专题 数据代表的选择请你回答下列问题：（1）填写表格；（2）根据以上信息，请你回答下列问题：①从平均数、众数相结合的角度分析，应该把冠军奖状发给哪一个班级？②从优秀率的角度分析，应该把冠军奖状发给哪一个班级？（3）如果两个班各选两名同学参加市踢毽子的比赛，你认为哪个班级团体实力更强？为什么？（1）请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中，哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将他们的得分进行排序；（2）根据你对表中五个项目的重要程度的认识，设定一个各项考评内容的比例（比例的各项须满足：①均为整数；②总和为10；③不全相同），按这个比例对各班的得分重新计算，比较出大小关系，并从中推荐一个得分最高的班级作为市级先进班集体的候选班．答案：1．解：（1）甲班的平均数，众数，中位数，优秀率分别为：100，98，98，40%；乙班的平均数，众数，中位数，优秀率分别为：100，99，99，20%.（2）①两个班的平均数相等，从众数的角度看，乙班好于甲班，应该把冠军奖状发给乙班；②从优秀率的角度看，甲班好于乙班，应该把冠军奖状发给甲班．（3）如果两个班各选两名同学参加市踢毽子的比赛，乙班级团体实力更强，因为乙班前两名的同学的6.4数据的离散程度专题 探究创新题1．已知样本x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差是1，那么样本2x 1+3，2x 2+3，2x 3+3，…，2x n +3的方差是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．（2012湖北孝感）已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差是s 2，则新的一组数据ax 1+1, ax 2+1, …,ax n + 1（a 为常数,a ≠0）的方差是 (用含a ,s 2的代数式表示) ． （友情提示：s 2=n1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n +x )2]）3．观察与探究：（1）观察下列各组数据并填空：答案：1．D 【解析】 设样本x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为m ，则其方差为S 12=n1[（x 1﹣m ）2+（x 2﹣m ）2+…+（x n ﹣m ）2]=1，则样本2x 1+3，2x 2+3，2x 3+3，…，2x n +3的平均数为2m ，其方差为S 22=4S 12=4．故选D ． 2．a 2s 2 【解析】 设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2, 则n x x x n +++ 21=x ，21[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n +x )2]=s 2.∴n ax ax ax n 12121++++++ =nnx x x a n ++++)(21 =a x +1.新的一组数据的方差s ′2=n 1[(ax 1+1－a x －1)2+(ax 2+1－a x －1)2+…+(ax n +1－a x －1)2] =n1[(ax 1－a x )2+(ax 2－a x )2+…+(ax n －x )2] =n 1{[a (x 1－x )]2+[a (x 2－x )]2+…+[a (x n －x )]2}=n 1[a 2 (x 1－x )2]+[a 2(x 2－x )2]+ …+[a 2 (x n －x )2] =a 2•n1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2]）=a 2s 2.即新的一组数据ax 1+1, ax 2+1, …,ax n + 1（a 为常数,a≠0）的方差是a 2s 2. 3．解：（1）A x =3，2A S =2，B x =13，2B S =2，C x =30，2C S =200，D x =7，2D S =8. （2）规律：有两组数据，设其平均数分别为1x ，2x ，方差分别为s 12，s 22.①当第二组每个数据比第一组每个数据都增加m 个单位时，则有2x =1x +m ，s 22=s 12； ②当第二组每个数据是第一组每个数据的n 倍时，则有2x =n 1x ，s 22=n 2s 12； ③当第二组每个数据是第一组每个数据的n 倍加m 时，则有2x =n 1x +m ，s 22=n 2s 12（3）另一组数据的平均数'x =1n （3x 1-2+3x 2-2+…+3x n -2）=1n[3（x 1+x 2+…+x n ）-2n]=3x -2； 因为s 2=1n [（x 1-x ）2+（x 2-x ）2+…+（x n -x ）2]，所以另一组数据的方差为s ′2=1n[（3x 1-2-3x +2）2+（3x 2-2-3x +2）2+…+（3x n -2-3x +2）2]=1n[9（x 1-x ）2+9（x 2-x ）2+…+9（x n -x ）2]=9s 2．。
新北师大版数学八年级上册同步培优练习全册全集
第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理知识点一认识勾股定理精练版P1我们可以通过求网格中大正方形的面积来探索勾股定理．在求正方形网格中大正方形的面积时，一般采用数格子和图形割补两种方法：数格子时，直接数出大正方形内部所包含的完整的小方格的个数，将不足一个方格的部分进行适当拼凑，拼出若干个完整的小方格，将它们相加即可；图形割补时，通常是将图形分割成几个格点三角形和几个网格正方形，再将所分割成的各三角形和网格正方形的面积求出来相加即可．勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.例1如图①，在直角三角形外部作出3个正方形．(1)正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________；(2)正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________；(3)正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________；(4)如果用S A，S B，S C分别表示正方形A，B，C的面积，那么它们之间的关系是：______________；(5)如图②中是否仍然存在着这样的关系？解析：通过观察、拼凑可以直接得出图中A，B，C三个正方形的面积及它们之间的关系，再按照同样的方法计算图②中几个正方形的面积，发现同样满足这个关系．解：(1)1616(2)99(3)2525(4)S A＋S B＝S C(5)图②中，S A′＝1，S B′＝9，S C′＝10，所以仍然有S A′＋S B′＝S C′.知识点二勾股定理的简单应用精练版P11．已知直角三角形的两边求第三边．2．已知直角三角形的一边，确定另两边的关系．3．证明线段的平方关系．例2如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________米的路，却踩伤了花草．解析：根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即(AC＋BC)－AB.在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2，AC＝3米，BC＝4米，则AB＝AC2＋BC2＝5米，所以他们仅仅少走了AC＋BC－AB＝4米．答案：4第2课时勾股定理的验证及其应用知识点一勾股定理的验证精练版P2勾股定理的证明方法较多，中外数学史上关于勾股定理的证明一般是用拼图法来验证的．一般步骤如下：拼出图形→找出图形面积的表达式→建立等量关系→恒等变形→推导出勾股定理．如图(1)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以(a＋b)2＝4×12ab＋c2，所以a2＋b2＝c2.如图(2)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以c2＝4×12ab＋(b－a)2，所以c2＝a2＋b2.如图(3)．因为S梯形＝2S小三角形＋S大三角形，所以12(a＋b)(a＋b)＝2×12ab＋12c2，整理，得a2＋b2＝c2.知识点二勾股定理的应用精练版P21．勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的关系．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，则斜边AB称为弦，较短直角边BC称为勾，较长直角边AC称为股，BC2＋AC2＝AB2.这就是勾股定理．2．应用勾股定理时要注意：(1)勾股定理成立的前提条件是“直角三角形”，在锐角三角形和钝角三角形中不存在这一结论．(2)应用勾股定理时应分清直角边与斜边．在一些Rt△ABC中，斜边未必是c.(3)应用勾股定理进行计算时，若没有明确直角边与斜边，应分类讨论．例1“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A．3B．4C．5D．6解析：观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积－4个直角三角形的面积，利用已知(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．因为(a＋b)2＝21，所以a2＋2ab＋b2＝21，因为大正方形的面积为13，2ab＝21－13＝8，所以小正方形的面积为13－8＝5.故选C.答案：C易错点没有明确直角边和斜边用勾股定理时，若题目没有指明谁是斜边，应按未知边是斜边或是直角边两种情况分类讨论．例2在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，求AB2.解：当AB 为斜边时，AB 2＝AC 2＋BC 2＝225；当AB 为直角边时，AB 2＝BC 2－AC 2＝63.所以AB 2为225或63.注意：此题易错误地认为AB 2＝225.原因是没有分清AB 边是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件．因此，对于此类问题我们应该分情况讨论．2 一定是直角三角形吗知识点一 勾股定理的逆定理精练版P3如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．(此判别条件也称为勾股定理的逆定理) 利用三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，把数与形有效地统一起来，体现了数形结合的数学思想．温馨提示：(1)在判别一个三角形是不是直角三角形时，a 2＋b 2是否等于c 2需通过计算说明，不能直接写成a 2＋b 2＝c 2.(2)验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：当(较小边长)2＋(较大边长)2＝(最大边长)2时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形．例1 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是否为直角三角形． (1)a ＝4，b ＝5，c ＝6； (2)a ∶b ∶c ＝3∶4∶5.解：(1)因为a 2＋b 2＝42＋52＝41，c 2＝36，a 2＋b 2≠c 2，所以由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形． (2)设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k (k ≠0)． 因为a 2＋b 2＝(3k )2＋(4k )2＝25k 2， c 2＝(5k )2＝25k 2， 所以a 2＋b 2＝c 2，所以由线段a ，b ，c 组成的三角形是直角三角形． 知识点二 勾股数精练版P3满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15；⑦9，40，41.勾股数有无数组．一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数，如：3，4，5是勾股数，9，12，15也是勾股数．温馨提示：勾股数必须都是正整数，如：0.3，0.4，0.5，尽管有0.32＋0.42＝0.52成立，但它们都是小数，因而不是勾股数．例2 判断下列各组数是不是勾股数：(1)3，4，7；(2)5，12，13；(3)13，14，15；(4)3，－4，5.解析：判断的时候，要紧扣两个条件：(1)是否符合a 2＋b 2＝c 2，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；(2)它们是不是正整数．解：(1)因为32＋42≠72，所以3，4，7不是勾股数．(2)因为52＋122＝132，所以5，12，13是勾股数．(3)中的各数都不是正整数，所以这组数不是勾股数．(4)虽然32＋(－4)2＝52，但－4不是正整数，所以这组数不是勾股数．注意：判断勾股数的方法步骤：(1)确定三个数是正整数；(2)确定出最大数；(3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方．易错点运用边的关系识别直角三角形时，忽视最大边，从而造成判断错误运用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形时，首先要确定最长边，不能盲目地计算或想当然地认为某一边为最长边．例3已知三角形的三边长分别是m2－1，2m，m2＋1(m为大于1的自然数)，试判断这个三角形的形状．解：因为(m2－1)2＋(2m)2＝m4－2m2＋1＋4m2＝m4＋2m2＋1，(m2＋1)2＝m4＋2m2＋1，所以(m2－1)2＋(2m)2＝(m2＋1)2，所以此三角形为直角三角形．注意：此题易认为2m为最大边，得到(m2－1)2＋(m2＋1)2≠(2m)2，从而得出三角形不是直角三角形的错误结论．在做此类题时，一定要找准最大边．3勾股定理的应用知识点一确定几何体上的最短路线精练版P5柱体和长方体的展开图是一个长方形．求柱体或长方体上两点之间最短距离，需要把柱体或长方体展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为边构造成直角三角形，再利用勾股定理求解．例1有一个圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需要多长？(已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m)解：将圆柱形油罐的侧面沿AB剪开展成一个平面图形，如图所示，沿AB′建梯子最节省材料(两点之间，线段最短)．由已知得AB＝5m，BB′＝12m.在Rt△ABB′中，AB′2＝AB2＋BB′2＝52＋122＝132(m2)，所以AB′＝13m.因此所建的梯子最短需要13m.注意：由于梯子要绕着曲面建，因此最短路线应将曲面展成平面后，再依据“两点之间，线段最短”来确定．知识点二利用勾股定理解决生活中的长度问题精练版P5由勾股定理的知识，可以解决与直角三角形相关的一些实际问题．在解决实际问题时，应具体问题具体分析，将生活中的问题转化为数学问题，利用勾股定理加以解决．勾股定理的逆定理主要用来说明一个三角形为直角三角形．在实际问题中，有些线段的求解、角的求解在很大程度上转化为在直角三角形内求解．因此，熟练地判断一个三角形是否为直角三角形是首先要解决的问题．例2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．解析：根据题意寻找出绳子长度与旗杆高度之间的关系，设未知数，利用勾股定理构造方程．解方程求得结论．解：设旗杆高x米，则绳长(x＋1)米．依题意，得x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.即旗杆的高度为12米．易错点将长方体展开时，忽视展开方式不唯一对长方体来说，由于一般情况下，长、宽、高不相等，则展开得到的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离．例3有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短距离，若长方体的底面长为12，宽为9，高为5，请帮助该小组求出由A点到B点的最短距离．(参考数据：21.592≈466，19.242≈370，18.442≈340)解：将四边形ACDF与四边形DCEB展开在同一平面，如图(1)所示．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2＝(12＋9)2＋52＝466；同理，由图(2)，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(9＋5)2＝340；由图(3)，得AB2＝AD2＋BD2＝(12＋5)2＋92＝370.因为340＜370＜466，所以最短距离为图(2)所示线段AB的长度，AB≈18.44.注意：解决长方体相对顶点表面最短距离问题，要全面考虑，先将所有路线都找出来，避免出现漏解，再通过计算找到最短路线．章末知识汇总类型一勾股定理与面积的综合应用例1已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，第7个等腰直角三角形的面积是________，第n个等腰直角三角形的面积为________．解析：要求等腰直角三角形的面积，只需求腰长的平方即可．S1＝12·AB·BC＝12，由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2＝2，AD2＝AC2＋DC2＝2＋2＝4，AE2＝AD2＋DE2＝4＋4＝8，所以S2＝12·AC2＝1，S3＝12·AD2＝2，S4＝12·AE2＝4.由此可得S7＝25＝32，S n＝2n－2.答案：322n－2注意：等腰直角三角形的面积是腰长平方的一半，利用整体代换解决．整体代换是数学一种重要方法．类型二直角三角形判定方法的实际应用例2如图所示，点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C 两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，经测量得AB＝600m，AC＝800m，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算说明．解：因为AC2＋AB2＝8002＋6002＝10002＝BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.过点A作AD⊥BC，垂足为D.如图所示．因为S△ABC＝12×AB×AC＝12×AD×BC，所以AD＝AB×ACBC＝600×8001000＝480(m)．因为480m＞400m，所以此公路不会穿过该森林公园．注意：(1)根据“垂线段最短”只需计算最短距离．(2)求直角三角形斜边上的高经常用“等面积法”．类型三利用勾股定理解决实际生活中的最值问题例3如图，A，B两个小镇在河流l的同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流l上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？解：如图所示，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交CD于点M，点M即为所求．连接AM，则MA＋MB最小．作A′E⊥BD交BD的延长线于点E.在直角三角形A′BE中，A′E＝30千米，BE＝BD＋DE＝BD＋AC＝40千米，由勾股定理A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402，所以A′B＝50千米．所以MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50千米，修管道的费用为50×3＝150(万元)．注意：(1)解决实际问题时，应将实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型．(2)费用最少即要求管道最短，问题便转化为“在直线CD同侧有两点A，B，试在CD上找一点M，使MA＋MB最小”．探究中要把握问题的实质，注意问题的转化．第二章实数1认识无理数知识点一非有理数的存在精练版P9整数和分数统称为有理数．随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，比如面积为5的正方形的边长，设该正方形的边长为x，则x2＝5，这里x既不是整数，也不是分数，也就是说没有一个有理数的平方是5，现实生活中存在着大量的不是有理数的数．例1以下各正方形的边长不是有理数的是()A．面积为49的正方形B．面积为916的正方形C．面积为8的正方形D．面积为1.21的正方形解析：可设边长为a(a＞0)，由A项得a2＝49，49＝72，所以a＝7；由B项得a2＝916，而916＝⎝⎛⎭⎫342，所以a＝34；由D项得a2＝1.21，而1.21＝1.12，所以a＝1.1；由C项得a2＝8，8不能写成一个整数或分数的平方．答案：C知识点二估计数值的大小精练版P9用x表示正方形的边长，若x2＝2，则x既不是整数，也不是分数，我们可以用无限逼近的方法估计x的值，从而求出x的近似值．方法：因为1＜2＜4，所以1＜x＜2，即x的整数位是1.又因为1.42＝1.96，1.52＝2.25.而2在1.42与1.52之间，所以x的十分位上的数是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数．例2已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是x cm.(1)估计x在哪两个整数之间．(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x的值．如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值．解析：此题首先根据勾股定理求出x2，再看x2的值介于哪两个完全平方数之间，其他数位依次类推．解：根据条件，得x2＝92＋52＝106.(1)因为100＜106＜121，所以100＜x2＜121，所以10＜x＜11，即x在整数10和11之间．(2)因为10.292＝105.8841，10.302＝106.09，所以10.292＜106＜10.302，所以精确到十分位时，x≈10.3.又因为10.2952＝105.987025，10.2962＝106.007616，所以10.2952＜106＜10.2962，所以10.2952＜x2＜10.2962，所以精确到百分位时，x≈10.30.注意：本题采用了无限逼近的方法，即将x的范围逐渐缩小，使得x2越来越接近某个数，渗透了用有理数近似地表示无理数的思想．知识点三无理数的概念精练版P9无限不循环小数称为无理数．例如，圆周率π＝3.14159265…是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数．再如，0.989889888988889…(相邻两个9之间8的个数逐次加1)也是无理数．温馨提示：(1)无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数．事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．(2)小数的分类：小数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫有限小数无限循环小数有理数无限不循环小数——无理数例3 227，0.2·03·，－π7，2.3131131113，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)中无理数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：－π7，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数，227，0.2·03·，2.3131131113是有理数．答案：A注意：π是无限不循环小数，是无理数，－π7不是分数，是一个无理数．易错点 错把π当成有理数，把无限循环小数当成无理数 π是无理数，无理数除以非零有理数仍是无理数，无限循环小数为有理数，区别有理数与无理数时，应注意观察所给的数据． 例4 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0．1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，－119180，345.202·，π2.解：有理数：－119180，345.202·；无理数：0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，π2.注意：学生很容易把π2看成有理数，以为它是分数，事实上，它是一个无理数．也很容易把345.202·看成无理数，错误原因是对无理数的概念认识不清，误以为无限小数都是无理数，事实上，只有无限小数中的无限不循环小数才是无理数．2 平方根知识点一 算术平方根的概念与性质精练版P11定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为a ，读作“根号a ”．温馨提示：(1)特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0＝0.(2)负数没有算术平方根，也就是说，当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数．(3)a (a ≥0)是一个非负数．例1 求下列各数的算术平方根：(1)400；(2)2536；(3)13.解析：因为求一个非负数的算术平方根的运算与正数的平方运算是互逆的，所以我们可以借助平方运算来求这些数的算术平方根．解：(1)因为202＝400，所以400的算术平方根是20. (2)因为⎝⎛⎭⎫562＝2536，所以2536的算术平方根是56. (3)13的算术平方根是13.注意：(1)在求a 的算术平方根时，若a 是有理数的平方，a 的算术平方根就不带根号；若a 不是有理数的平方，a 的算术平方根就带有根号，如13.(2)由于求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，所以熟记常用完全平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．知识点二 平方根的概念与性质精练版P111．定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)． 2．性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．温馨提示：一个正数a 必有两个平方根，一个是a 的算术平方根a ，另一个是－a ，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作±a ，读作“正、负根号a ”．例2 判断下列各数是否有平方根．若有，求出其平方根；若没有，请说明理由． (1)169；(2)(－1)2；(3)(－1)3.解析：根据平方根的性质判断一个数是否有平方根；根据平方根的定义可直接化简求值． 解：(1)因为169＞0，所以169有平方根．因为(±13)2＝169，所以169的平方根是±13，即±169＝±13. (2)因为(－1)2＝1＞0，所以(－1)2有平方根．因为(±1)2＝1，所以1的平方根是±1，即±（－1）2＝±1. (3)因为(－1)3＝－1＜0，所以(－1)3没有平方根．注意：判断一个数有没有平方根，就是确定该数的性质符号(是正数、负数或零)． 知识点三 开平方精练版P11定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．温馨提示：(1)开平方时，被开方数a 必须是非负数．(2)平方根是数，是开平方的结果；而开平方是一种运算，是求平方根的过程．(3)平方和开平方的关系是它们互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确．例3 (1)(16)2等于多少？(2)⎝⎛⎭⎫9252等于多少？ (3)5.52等于多少？ (4)（－2）2等于多少？解析：从算术平方根的定义出发，可直接推出结果． 解：(1)(16)2＝42＝16.(2)⎝⎛⎭⎫9252＝⎝⎛⎭⎫352＝925. (3)5.52＝30.25＝5.5. (4)（－2）2＝4＝2.P111.a 2＝|a |，即当a ≥0时，a 2＝a ，当a ＜0时，a 2＝－a . 2．(a )2＝a (a ≥0)．温馨提示：(1)a 的取值范围不同，公式(1)中a 的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0，而公式(2)中a 的取值是非负数．(2)运算顺序不同，公式(1)中a 先平方再开平方，而公式(2)中a 先开平方再平方． 例4 求下列各式的值：(1)(7)2；(2)（－7）2；(3)（2－x ）2(x ＞2)． 解析：对于a 2与(a )2(a ≥0)这两种形式要注意区分． 解：(1)(7)2＝7.(2)（－7）2＝|－7|＝7.(3)因为x ＞2，所以 2－x ＜0，所以（2－x ）2＝|2－x |＝－(2－x )＝x －2. 注意：运用a 2＝|a |化简时，一定要先判断出a 的符号，然后才能化简．易错点 不完全理解题意而出错若“算术平方根”和“平方根”两个概念出现在一个题中，或在同一题中两次出现同一概念，应注意进行两步运算．如：求16的平方根时，先要计算16＝4，再求4的平方根．例536的算术平方根是________．解析：36＝6，6的算术平方根是6，所以36的算术平方根是6. 答案：6注意：本题易将36的算术平方根误认为是36的算术平方根，而得到错误答案6.本题实际上是求6的算术平方根．3 立方根知识点一 立方根的概念与性质精练版P131．立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根或三次方根，例如：53＝125，则5是125的立方根．2．表示方法：数a的立方根用符号3a表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3是根指数．注意根指数“3”不能省略．3．立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0.例1下列说法正确的是()A．64的立方根是2B．125216的立方根是±56C．(－1)2的立方根是－1D．－3是27的立方根解析：因为64＝8，所以64的立方根是2，故A选项正确．任何数只有一个立方根，排除B选项．正数的立方根为正数，故排除C，D选项．答案：A知识点二开立方精练版P131．定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．2．重要公式：①(3a)3＝3a3＝a；②3－a＝－3a.运用这两个公式求负数的立方根时，可先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，即三次根号内的负号可以移到根号外面．例如：3－125＝－3125＝－5.例2求下列各数的立方根：(1)30.064；(2)3－27.解：(1)30.064＝30.43＝0.4.(2)3－27＝3（－3）3＝－3.知识点三立方根与平方根的区别与联系精练版P131．区别：(1)平方根的根指数是2，能省略，立方根的根指数是3，不能省略．(2)平方根只有对非负数才有意义，而立方根对任何数都有意义，且每个数都只有一个立方根．(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．2．联系：(1)都与相应的乘方运算互为逆运算．(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即3－a＝－3a.例3一个数的平方等于64，则这个数的立方根是________．解析：因为(±8)2＝64，所以这个数为±8，3±8＝±2.答案：±2易错点错把3a的立方根当成a的立方根做开方运算时要认准被开方数，如求81的立方根，被开方数是81，而不是81.例4364的立方根是________．解析：因为364＝4，所以364的立方根是34.答案：34注意：本题容易把364的立方根误以为是64的立方根，从而得错解为4，解题时应先求出364＝4，再求4的立方根．4估算知识点一估算法确定无理数的大小精练版P171．估算是现实生活中一种常用的解决问题的方法．很多情况下需要去估算无理数的近似值，估算无理数经常用到“夹逼法”，即通过平方运算或立方运算，通过两边无限逼近，逐渐夹逼，确定其所在范围．2．“精确到”与“误差小于”的意义的区别：如精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m都符合题意，答案不唯一．一般情况下，误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位．例1870≈40正确吗？说明你的理由．解：因为402＝1600＞870，所以40＞870，且差别太大，所以870≈40不正确．知识点二比较两个无理数的大小的方法精练版P171．估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较．例2比较10－34与14的大小．解：因为3＜10＜4，所以0＜10－3＜1，所以0＜10－34＜14.2．求差法：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b.对于上例：因为10－34－14＝10－44＜0(因为3＜10＜4)，所以10－34＜14.3．平方法(或立方法)：当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：若a＞b≥0，则a＞b；若a＞b，则3a＞3b.例3比较26和33的大小．解：因为(26)2＝24，(33)2＝27，所以26＜33.易错点比较两个含根号的无理数的大小时，误认为只比较被开方数的大小比较两个含根号的无理数的大小，可以先确定它们的整数部分，进行比较，若无法比较，则再估计十分位后比较，直到得出结论为止．也可将两数同时平方，比较平方后的数的大小即可得出结果．例4 比较大小：27与72.解：因为2＜7＜3，所以4＜27＜6.因为72＞7，所以27＜72. [或(27)2＝28，(72)2＝98，28＜98，即27＜72]注意：解本题时易认为被开方数7大于2，而得到错误的答案27＞72，因为2＜7＜3，1＜2＜2，所以27＜6，72＞7，即27＜72.因此比较两个无理数的大小时要比较它们结果的大小，不能仅比较被开方数的大小．另外本题中2与7，7与2之间是乘积的关系．5 用计算器开方知识点一 利用计算器开方精练版P18 利用计算器开方按键顺序：用计算器开方⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧开平方⎩⎪⎨⎪⎧先按“□”键 再输入被开方数再按“＝”键最后按“S ⇔D ”键开立方⎩⎨⎧先按“SHIFT ”键再按“□”键再输入被开方数最后按“＝”键例1 用计算器求下列各式的值(结果精确到千分位)．(1)3.1；(2)35. 解：(1)按键顺序：□3·1＝S ⇔D ，显示1.760681…因为结果精确到千分位，所以答案为1.761. (2)按键顺序：SHIFT □5＝，显示1.709976…因为结果精确到千分位，所以答案为1.710. 知识点二 利用计算器进行较复杂的计算精练版P18此类问题要注意根号下相乘除(或相加减)的按键顺序，切记“π”值的按键顺序． 例2 求5×6－π的值．解：按照教材中型号的计算器的按键顺序为□5×6⊳－SHIFT ×10x ＝，则5×6－π的值显示的结果为2.335632921.注意：使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，要按照算式的书写顺序从左到右按键输入算式，不同的计算器按键顺序有所不同，如有的计算器按照□（5×6）－SHIFT EXP ＝的按键顺序显示2.335632921，按此方法按键要注意该加括号时加括号．易错点 在求和、差、积、商的算术平方根或立方根时易出错在用计算器求和、差、积、商的算术平方根或立方根时，要注意按键顺序，在不同型号的计算器中按键顺序有所不同，有的要注意括号的作用，按键时要加括号．例3 用计算器求7＋1的值．(精确到千分位) 解：按键：□（7＋1）＝S ⇔D ，显示2.828427125，精确到千分位是2.828.注意：在求“和、差、积、商”的算术平方根、立方根时，特别容易出现错误，不同型号的计算器使用时按键顺序不同，有的容易漏掉括号等导致答案错误．6 实 数知识点一 实数的概念及分类精练版P19 1．实数的概念：有理数和无理数统称为实数．2.实数的分类⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧按定义分⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有限小数和无限循环小数无理数→无限不循环小数按大小分⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数零负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数负无理数例1 有一个数值转换器，原理如图，当输入的x 为64时，输出的y 是( )A ．8B ．8C ．64D ．3解析：输入64，则输出64＝8，8是有理数，第二次输入8.输出8，8是无理数．故选B .。
北师大版八年级上册 第五章二元一次方程组 二元一次方程组的解 培优专题( 解析版)
本题考查了解二元一次方程组，利用题干条件消去原方程组中的x是解题关键.
15．
【解析】
【分析】
根据题意将方程9x－6y＋y＝13变形为3(3x－2y)＋y＝13，再将 整体代入求解即可.
【详解】
解： ，
将方程②变形，得9x－6y＋y＝13，即3(3x－2y)＋y＝13③，
把方程①代入③，得12＋y＝13，解得y＝1，
详解：方程组 的解与方程组 的解相同得 ① ②，
解①得 ，
把 代入②得 ，
解得 ，
当m=1，n=2时，方程组 与方程组 同解．
∴m=1，n=2.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解，利用了方程组的解满足方程组．
17．(1)m=2；n=3；(2)方程组正确的解为
【解析】
【分析】
（1）将第一组解代入方程组的第一个方程求出m的值，将第二组解代入方程组的第二个方程求出n的值即可；
19．阅读理解：解方程组 时，如果设 =m， =n，则原方程组可变形为关于m，n的方程组 解这个方程组得到它的解为 由 ， ，求得原方程组的解为 ，利用上述方法解方程组：
20．请你根据萌萌所给的如图所的内容，完成下列各小题．
（1）若m※n=1，m※2n=﹣2，分别求m和n的值；
（2）若m满足m※2≤0，且3m※（﹣8）＞0，求m的取值范围．
23．已知方程组 中，x、y的系数部已经模糊不清，但知道其中□表示同一个数，△也表示同一个数， 是这个方程组的解，你能求出原方程组吗?
25．阅读探索
解方程组
解：设a1x，b2y，原方程组可变为
解方程组得 ，即 ，所以 ．此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
北师大版数学8年级上培优精选自编(含答案)
4.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）A.对重庆市直辖区内长江流域水质情况的调查B.对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查C.对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查D.对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查 【答案】B 【分析】略2.下列图形中是轴对称的是（ ）A B C D【答案】D 【分析】略8.△ABC 与△DEF 的相似比为1:4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:16 【答案】C 【分析】略16,如图，正方形ABCD 中，扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E ，AB =4．则图中阴影部分面积为_______________．(结果保留π)根据扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E ，可得△BCE 的形状为等边三角形。
阴影部分面积等于圆扇形DCE 的面积S 扇形DCE =π×42×30/360=4π/310．已知关于x 的一次函数(2)3y m x n =-++的图象不经过第二象限，则代数式 22m n m n +--可化简为（ ）A.n m -B.3nC.3m n -D.3m答案C9．某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个 螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y 个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（ ）A.958220x y x y +=⎧⎨-=⎩B.954220x y x y +=⎧⎨-=⎩ C. 9516220x y x y +=⎧⎨-=⎩D. 9516110x y x y +=⎧⎨-=⎩答案C11．如图，动点P 从(0,3)出发，沿所示的方向运动，到(3,0)时记为第一次反弹，以后每当碰到矩形 的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角．那么点P 第2013A.()4,1 B.()0,5 C. ()4,7答案D12．如图1，点G 为BC 边的中点，点H 在AF 上， 动点P 以每秒1cm 的速度沿图1的边运动，运动路 径为G C D E F H →→→→→，相应的ABP∆的面积2()y cm 关于运动时间()t s 的函数图象如图2， 若3AB cm =，则下列结论正确的个数有（ ） ① 图1中BC 长4 cm ；②图1中DE 的长是3cm ； ③ 图2中点M 表示4秒时的y 值为62cm ； ④ 图2中的点N 表示12秒时y 值为4.52cm .A . 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个答案D16. 对于函数1(0)y mx m =+>，当m ＝_______时，图象与坐标轴围成的图形面积等于2；答案1/417. 如图，长方体的底面边长分别为cm 2和cm 4，高为cm 5．若一只 蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点， 则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm ；答案1318.某商店中销售水果时采用了三种组合搭配的方式进行销售，甲种搭配是：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配是：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配是：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果；如果A 水果每千克售价为2元，B 水果每千克售价为1.2元，C 水果每千克售F E5cm2cmQ价为10元，某天，商店采用三种组合搭配的方式进行销售后共得销售额441.2元，并且A水果销售额116元，那么C水果的销售额是___________元.分析：设甲种搭配、乙种搭配、丙种搭配分别销售了x份、y份、z份，根据该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，可以列方程组，根据题意，只需整体求得y+z 的值即可．2(2x+3y+2z)=1168.8x+25.6y+21.2z=441.2化简即2x+3y+2z=58①22x+64y+53z=1103②由②-①×11得：31（y+z）=465，即y+z=15，则共卖出C水果15千克，C水果的销售额为15×10=150（元故答案为：150．11、如图, ABCD是长方形纸片. 将AD、BC折起，使A、B两点重合于CD边上的点P，使点D1、P、G在同一直线上. 然后压平得折痕EF、GH. 若PE=8cm , PG=6cm，则四边形纸片EGHC1的面积为（）A. 58.56B. 57.6C. 47.04D. 49.92E GA B第11题PE=AE,PG=BG,于是AB=AE+EG+BG=PE+EG+BG=8+10+6=24cm 三角形EPG 面积为24，也等于EG*AD 的一半，所以AD=4.8, ∠HGB=∠HGP=∠PHG ，易得PH=6，由勾股定理得C1H=3.6有四边形纸片EGHC 1的面积=三角形EPG 面积+梯形PGHC1面积=47.0412、如图，长方形ABCD 中，AB=3, AD=4. 将△ADC 绕点A 顺时针旋转α角（︒≤≤︒900α）得到△AD 1C 1，且A C 1与BC 交于E. 当23=BE 时，此时下列说法正确的有（ B ）个.：①AC 1平分∠BAC; ②︒=∠30CAD ; ③415=∆CEA S ; ④△CEA 为等腰三角形.A. 1B. 2C. 3D. 4.18. 细心观察图形，则2102221S S S ++= . S1表示面积55/424. 已知：如图，ACB ∆为等腰直角三角形，090=∠ACB ,其中CD EC ⊥于C ,AD BD ⊥ 于点D ，AD 交BC 于点F ，点A 、E 、D 三点共线.（1）若52=AC ，BD AD 3=,求ABD ∆的面积； （2）若CE BD =，求证：CF AB AC -=.答案（1）6 （2）分别延长AC 、BD 交于点P(略)26. 如图， ABC ∆是边长为8cm 的等边三角形，ADB ∆是顶角为120°的等腰三角形. BF 是AC 边的高. 动点P 从点A 出发，以2cm /秒速度沿着A →C →B 运动, 同时点Q 保持一定的速度沿A →D →B 运动，两点同时到达终点B.连接PQ. 设动点运动的时间为t 秒.E C D D1B A C1第12题11111111BA C O D E F GH S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 第18题 第24题word 格式-可编辑-感谢下载支持（1）当t = 时，点P 、点F 重合; 点Q 的运动速度为 cm /秒；（2）在运动过程中，设APQ ∆与四边形ADBF 的重叠部分面积为S, 求S 随运动时间t (0≤t ≤4)变化的关系式并写出t 的取值范围. 同时求出当AP ∥DB 时，重叠面积S 的值. （3）如图，现有∠MDN ＝60°，其两边分别与AC 、CB 交于点M 、N ，连接MN ．将∠MDN 绕着D 点旋转，点M 、N 始终在边AC 和边CB 上．试判断在这一过程中，△AMD 与△DNB 的面积之和是否等于△MND 的面积？请说明理由．答案.（1）2秒 332cm/秒 （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤<=)42(338338)20(3322t t t t S 重3320=S(3)等于BBBBD D AD AD。
北师大版八年级数学上册：平面坐标系培优提高训练
北师大版八年级数学上册：平面坐标系培优提高训练一、选择题1、已知点A (m 2﹣2，5m +4)在第一象限的角平分线上，则m 的值为()A ．6B ．﹣1C ．﹣1或6D ．2或32、若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是()A ．(2，2)B ．(﹣2，﹣2)C ．(2，2)或(﹣2，﹣2)D ．(﹣2，2)或(2，﹣2)3、如图，是A ，B ，C ，D 四位同学的家所在位置，若以A 同学家的位置为坐标原点建立平面直角坐标系，那么C 同学家的位置的坐标为（1，5），则B ，D 两同学家的坐标分别为A ．（2，3），（3，2）B ．（3，2），（2，3）C ．（2，3），（-3，2）D ．（3，2），（-2，3）4、观察下列有规律的点的坐标：()111A ，，()224A -，，()334A ，，()442A -，，()557A ，，6463A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()7710A ，，()881A -，依此规律，11A 的坐标为，12A 的坐标为．5、例、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点为(1，0)，后面依次为(2，0)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，0)…，根据这个规律，第110个点的坐标为．二、填空题6、如果点P (x ，y )的坐标满足x +y ＝xy ，那么称点P 为“和谐点”，若某个“和谐点”到x 轴的距离为3，则P 点的坐标为．7、若点P (3a ﹣2，2a +7)在第二、四象限的角平分线上，则点P 的坐标是．8、若点M 在第一、三象限的角平分线上，且点M 到x 轴的距离为2，则点M 的坐标是________．9、如图，在平面直角坐标系中，将矩形OABC 沿直线EF 折叠，点A 恰好与点C 重合，若点B 的坐标为（5,3），则点F 的坐标是。
10、如图，直角坐标平面xOy 内，动点P 按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(﹣1，0)运动到点(0，1)，第2次运动到点(1，0)，第3次运动到点(2，﹣2)，…按这样的运动规律，动点P 第2020次运动到点()A ．(2020，﹣2)B ．(2020，0)C ．(2019，1)D ．(2019，0)三、解答题11、⑴已知点()23P x x +，在第二象限坐标轴夹角平分线上，则点()223Q x x -++，的坐标为．⑵已知点()23P x x +，在坐标轴夹角平分线上，则点()223Q x x -++，的坐标为．⑶已知点()3553A a a ++，在第二、四象限的角平分线上，求2009a a +的值．12、已知点A （a ﹣1，﹣2），B （﹣3，b +1），根据以下要求确定a ，b 的值．（1）当直线AB ∥x 轴时，a ，b ；（2）当直线AB ∥y 轴时，a ，b ；（3）当点A 和点B 在二四象限的角平分线上时，求a ，b 的值．13、在平面直角坐标系xOy 中，有一点P (a ，b )，实数a ，b ，m 满足以下两个等式：2a ﹣6m +4＝0，b +2m ﹣8＝0．(1)当a ＝1时，点P 到x 轴的距离为；(2)若点P 在第一、三象限的角平分线上，求点P 的坐标；(3)当a ＜b 时，则m 的取值范围是．14、已知在平面直角坐标系中有A(－2，1)，B(3，1)，C(2，3)三点．请回答下列问题：(1)在坐标系内描出点A ，B ，C 的位置．(2)求出以A ，B ，C 三点为顶点的三角形的面积．(3)在y 轴上是否存在点P ，使以A ，B ，P 三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15、已知，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且3OB OA ==．⑴直接写出点A 、B 的坐标；⑵若点()22C -，，求BOC △的面积；⑶点P 是与y 轴平行的直线上一点，且点P 的横坐标为1，若ABP △的面积是6，求点P 的坐标．图116、如图7，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝10，OC ＝8，在OC 边上取一点D ，若将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D ，E 两点的坐标．坐标系培优提高训练答案一、选择题1、已知点A (m 2﹣2，5m +4)在第一象限的角平分线上，则m 的值为()A ．6B ．﹣1C ．﹣1或6D ．2或3解：∵点A (m 2﹣2，5m +4)在第一象限的角平分线上，∴m 2﹣2＝5m +4∴m 2﹣5m ﹣6＝0，解得m 1＝﹣1，m 2＝6，当m ＝﹣1时，m 2﹣2＝﹣1，点A (﹣1，﹣1)在第三象限，不符合题意，所以m 的值为6．故选：A ．2、若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是()A ．(2，2)B ．(﹣2，﹣2)C ．(2，2)或(﹣2，﹣2)D ．(﹣2，2)或(2，﹣2)解：∵点N 在第一、三象限的角平分线上，∴点N 到y 轴的距离也为2，当点N 在第一象限时，点N 的坐标为(2，2)；点N 在第三象限时，点N 的坐标为(﹣2，﹣2)．所以，点N 的坐标为(2，2)或(﹣2，﹣2)．故选：C ．3、如图，是A ，B ，C ，D 四位同学的家所在位置，若以A 同学家的位置为坐标原点建立平面直角坐标系，那么C 同学家的位置的坐标为（1，5），则B ，D 两同学家的坐标分别为A ．（2，3），（3，2）B ．（3，2），（2，3）B ．C ．（2，3），（-3，2）D ．（3，2），（-2，3）解：建立平面直角坐标系如图，点B （3，2），D （−2，3），故选D ．4、观察下列有规律的点的坐标：()111A ，，()224A -，，()334A ，，()442A -，，()557A ，，6463A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()7710A ，，()881A -，依此规律，11A 的坐标为，12A 的坐标为．解：()1111,16A ，12212,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.横坐标的规律很明显，而纵坐标414,427,,10, 1...3----，，，中的奇数数列1,4,7,10是公差为3的等差数列，11A 的纵坐标为16，偶数数列可转化为4444,,,1234----，故12A 的纵坐标为42=63--.5、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点为(1，0)，后面依次为(2，0)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，0)…，根据这个规律，第110个点的坐标为．解：从直角三角形斜边考虑，斜边上的点的个数分别为1、2、3、4、…，所以点的总个数为：1+2+3+4+…+n=or1)2，当n＝14时，14×(14+1)2=105，所以第110个点是当n＝15时的第5个点，即第15个斜边上点为：(1，15)，(2，14)，(3，13)，(4，12)，(5，11)…所以第110个点的坐标为(5，11)．故答案为(5，11)．二、填空题6、如果点P(x，y)的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”到x轴的距离为3，则P点的坐标为．解：∵某个“和谐点”到x轴的距离为3，∴y＝±3，∵x+y＝xy，∴x±3＝±3x，解得：x=32或x=34．则P点的坐标为：(32，3)或(34，﹣3)．故答案为：(32，3)或(34，﹣3)．7、若点P(3a﹣2，2a+7)在第二、四象限的角平分线上，则点P的坐标是．解：∵点P(3a﹣2，2a+7)在第二、四象限的角平分线上，∴3a﹣2+2a+7＝0，解得：a＝﹣1，∴P(﹣5，5)．故答案为：(﹣5，5)．8、若点M在第一、三象限的角平分线上，且点M到x轴的距离为2，则点M的坐标是________．解：设点M的坐标为(x，y)，∵点M在一、三象限的角平分线上，∴x=y，∵点M到x轴的距离为2，∴x=±2，∴点M的坐标为(2，2)或(－2，－2)．9、如图，在平面直角坐标系中，将矩形OABC沿直线EF折叠，点A恰好与点C重合，若点B的坐标为（5,3），则点F的坐标是。
2013年秋北师大八年级上数学期中试卷
2013年秋季学期南坪中学期中考试八年级数学试题一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、下列图形：①三角形，②线段，③正方形，④直角．其中是轴对称图形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2.三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是（）A. 6<L<15B. 6< L<16C.11<L<<15 D 10<L<163、如图，已知MB=ND,∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（）A.∠M=∠NB. AM∥CNC.AB=CDD. AM=CN4、AD是△ABC的角平分线且交BC于D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F•,则下列结论不一定正确的是（）A．DE=DF B．BD=CD C．AE=AF D．∠ADE=∠ADF5、三角形中，到三边距离相等的点是（）Ａ．三条高线的交点Ｂ．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点。
6、等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶角顶点的坐标能确定的是（）A．横坐标B．纵坐标C．横坐标及纵坐标D．横坐标或纵坐标7.一个多边形各内角都相等，则一个内角与外角度数之比不可能是（）A. 2：1B. 1：1C. 5：2D. 5：48.等腰三角形的两边分别为3和6,则这个三角形的周长是( ).A . 12 B. 15 C. 9 D .12或15 9、如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（）Ａ．5 Ｂ．4 C．3 D．210、如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（）二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11、已知点P（-3，4）,关于x轴对称的点的坐标为。
12.等腰三角形一腰上的高与底边夹角为12度，则顶角的度数为_______.13.一个三角形三边之比为3:4:5，则这个三角形三边上的高之比为____________.14、如右图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线）。
北师大版八年级上数学培优及答案
）
A. y 2 x 3
B. y 2x 6
C. y 2x 3
y
A
y 2x
B
x
O
D. y 2x 6
8、已知一次函数 y kx b ，当 x 增加 3 时， y 减少 2，则 k 的值是（
）
A. 2
B.
3
3
2
C. 2
D.
3
3
2
八年级上试题
一、填空题
1、设 ABC的三边长分别为 a， b， c，其中 a， b 满足 a b 4 (a b 2) 2 0 ，
则第三边的长 c 的取值范围是
．
2、函数 y 4 x 3 的图象上存在点 P，点 P 到 x 轴的距离等于 4，则点 P 的坐标是 ________。
3、在△ ABC中，∠ B和∠ C 的平分线相交于 O，若∠ BOC= ，则∠ A=_________。
0 点到 1
点，打开两个进水口，关闭出水口；② 1 点到 3 点，同时关闭两个进水口和—个出水口；③ 3 点
到 4 点，关闭两个进水口，打开出水口；④ 5 点到 6 点．同时打开两个进水口和一个出水口．其
中，可能正确的论断是 ( )
A．①③
B.
①④
C.
②③ D. ②④
4、将长为 15cm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同
x 的不等式 k1x＋b＜ k2x＋ c 的解集为（ ）．
A. x＞ 1
B. x＜ 1y O1
y＝ k1x＋b
x
－2 y＝ k2 x＋c
7、如图，把直线 y 2x 向上平移后得到直线 AB，直线 AB经过点 (a， b) ，且 2a b 6 ，则
北师大版八年级(上)数学期中试卷(含答案)
北师大版八年级（上）数学期中试卷答案一．选择题（共10小题）1．（3分）4的平方根是（）A．2B．C．±2D．±2．（3分）下列各组数是勾股数的是（）A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5C．7，24，25 D．，，3．（3分）若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣20，a）与点Q（b，13）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣33B．33C．﹣7D．75．（3分）如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A．3米B．4米C．5米D．7米6．（3分）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n是常数，且mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形的三条边长之比为（）A．3：4：5B．1：3：2C．1：1：2D．2：3：48．（3分）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高h 是指距d 的一次函数．下表是测得的指距与身高的一组数据：指距d （cm ）20 21 22 23 身高h （cm ） 160 169 178 187根据上表解决下面这个实际问题：姚明的身高是226厘米，他的指距为（ ）A ．26.8厘米B ．26.9厘米C ．27.5厘米D ．27.3厘米9．（3分）已知梯形ABCD 的四个顶点的坐标分別为A （﹣1，0），B （5，0），C （2，2），D （0，2），直线y ＝kx +2将梯形分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ）A ．32-B ．92-C ．74-D ．72- 10．（3分）已知A （2，4），B （5，1），在x 轴和y 轴上分别有一动点C 、D ，若四边形ABCD 的周长最小，则最小值为（ ）A ．2347+B ．2374+C ．3274+D ．3247+二．填空题（共6小题）11．（3分）点M （﹣3，4）到y 轴的距离是 ．12．（3分）如图，CB ＝1，OC ＝2，且OA ＝OB ，BC ⊥OC ，则点A 在数轴上表示的实数是 ．13．（3分）若实数满足++y ＝6，则代数式＝ ．14．（3分）若一次函数y ＝（3﹣a ）x ﹣2a 2+18的图象经过原点，则a ＝ ．15．（3分）如图所示，直线BC 经过原点O ，点A 在x 轴上，AD ⊥BC 于D ，若B （m ，3），C （n ，﹣5），A （4，0），则AD •BC ＝ ．16．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝6，AO ＝BO ，P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△P AB 为直角三角形时，AP 的长为 ．三．解答题（共8小题）17．计算：（1）()3202792112-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- （2）7328⨯（3）()()201820192323+- （4）342327112316++-18．如图，网格中的小正方形的边长为1．（1）作出平面直角坐标系中△ABC 关于x 轴的对称图形△A 1B 1C 1；（2）直接写出△A 1B 1C 1各顶点坐标：A 1 B 1 C 1 ．19．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2﹣8a +b ﹣2b 3+|c ﹣5|+19＝0，试判断△ABC 的形状．20．“十一黄金周”前，某旅行社要印刷旅游宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印刷费，不收制版费．（1）分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制宣传材料数量x（份）之间的关系式；（2）旅行社要印制800份宣传材料，选择那家印刷厂比较合算？说明理由．（3）旅行社拟拿出3000元用于印制宣传材料，哪家印刷厂印制的多？21．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C 在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标．22．已知A、B两地相距300千米，甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地，停留1小时后，速度不变，按原路返回．设两车行驶的时间是x小时，离开A地的距离是y 千米，如图是y与x的函数图象．（1）甲车的速度是，乙车的速度是；（2）甲车在返程途中，两车相距20千米时，求乙车行驶的时间．23．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动，试解决下列问题：（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．知识储备如图①，点E、F分别是y＝3和y＝﹣1上的动点，则EF的最小值是；方法储备直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了《坐标与位置）后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的一种证明方法．如图②，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，DE称为△ABC的中位线，则DE∥BC且DE＝BC．该数学小组建立如图③的直角坐标系，设点A（a，b），点C（0，c）（c＞0）．请你利用该数学学习小组的思路证明DE∥BC且DE＝BC．（提示：中点坐标公式，A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B中点坐标为（，））综合应用结合上述知识和方法解决问题，如图④，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，延长AC至点D．DE ⊥AD，连接EC并延长交AB边于点F．若2CD+DE＝6，则EF是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．北师大版八年级（上）数学期中试卷答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A B A C D A B二、填空题题号11 12 13 14 15 16 答案 3 5- 181 -3 32 73或33或3三、解答题17.（1）-1；（2）32；（3）23-；（4）3910 18.（1）作图略；（2）A 1（﹣3，2），B 1（﹣1，﹣2），C 1 （1，﹣1）.19.△ABC 是直角三角形20.（1）y 甲＝x +1500，y 乙＝2.5x ；（2）当x ＝800时，y 甲＝2300，y 乙＝2000，y 甲＞y 乙，所以选择乙印刷厂比较合算；（3）当y ＝3000时，甲：x ＝1500，乙：x ＝1200，1500＞1200，选择甲印刷厂印制宣传材料能多一些．21.D 点坐标为（0，5）、E 点坐标为（4，8）．22.（1）100千米/小时，60千米/小时.（2）乙车行驶的时间为29小时或417小时； 23.（1）y ＝﹣x +6；（2）S △OAC ＝×6×4＝12；（3）M 的坐标是：M 1（1，）或M 2（1，5）或M 3（﹣1，7）．24.（1）4（2）EF 的最小值为5512.。
北师大版初二期中考试培优提高生专用
3、下列平方根中, 已经为最简二次根式的是 （ ） A. B. C. D.
4、如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，
则EB的长是（）．A．3B．4C． D．5
5、过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5， 这
样的直线可以作（ ）A、4条B、3条C、2条D、1条
12、a、b为实数，在数轴上的位置如图所示，则 的值是。
13、如果2a-1的平方根是 , 2和-2是 的平方根，那么 的平方根是__________.
14、已知直角三角形的三边分别为3、4、 ，则x=.
15、若直线 和直线 的交点坐标为 ，则2a+2b=.
16、一次函数y=kx+2图像与x轴交点到原点的距离为6，那么k的值为_____。
9.如果 ， ，则直线 不通过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
10、把直线 向上平移后得到直线AB，直线AB经过点 ，且 ，直线AB的解析式是（）
A、 B、 C、 D、
二、填空题。（每题3分，共18分）
11、如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将△DCE沿折痕
(北师大版)2013—2014学年第一学期期中考试八年级数学试卷
桥东区2013—2014学年第一学期期中考试八年级数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列关于无理数的说法中，正确的是 （ ） A ．无理数不是实数 B ．无理数包括正无理数、0和负无理数 C ．无理数是带根号的数 D ．无理数是无限不循环小数 2．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是 （ ）A ．三内角之比为1∶2∶3B ．三边长的平方之比为1∶2∶3C ．三边长之比为3∶4∶5D ．三内角之比为3∶4∶5 3．若a －2有意义，则a 的取值范围是（ ）A ．a >2B ．a <2C ．a ≥2D ．a ≥－24．如图，正方体盒子的棱长为2，AB 中点为M ，一只蚂蚁从点M 沿正 方体的表面爬到点D ´，蚂蚁爬行的最短距离是 （ ）A ．13B ．17C ．5D ．52 5．下列说法中，错误的是（ ） A ．4的算术平方根是2 B ．81的平方根是±3C ．8的立方根是±2D ．立方根等于－１的实数是－１ 6．已知点A （a －2，a +1）在x 轴上，则a 等于（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－3 7．下列二次根式中，与27合并的二次根式的是（ ）A ．64B ．32C．18D ．108．若a －3 +||b +2=0，则点M （a ，b ）在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，•中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y •（千米）与行进时间t （小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是 （ ）'A ．B ．C ．D ．10．如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB ＝90°，BC ＝5， 点A 、B 的坐标分别为(1，0)、 (4，0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当 点C 落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的面积为A ．4B ．8C ．16D ．8 2二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．把答案填在题中横线上．）11．5－3绝对值是__________．12．点A )2,(a 和点B ),3(b 关于x 轴对称，则ab ＝_____． 13．一个正数x 的平方根是2a -3与5-a ，则a ＝_________． 14．把213化成最简二次根式为 ．15．写出一个具体的y 随x 的增大而减小的一次函数解析式 ． 16．满足－3＜a ＜5的所有整数a 的和为 ． 17．若 x +－x 有意义，则2013x +1 =____________．18．如图，在长方形ABCD 中，AB =3，BC =4，若将它折叠使点A 与点C 重合，则折痕EF 的长为 .19．有这样一段材料：“一根弹簧原长10cm,在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比， 。
北师大版八年级上册数学《认识二元一次方程组》二元一次方程组培优说课教学复习课件
新知探究
1.二元一次方程组的解是一对数，要将这对数代入方程组中的
每一个方程进行检验，这对数只有满足方程组中的每一个方程，
这对数才能是这个方程组的解.
新知探究
2.一般情况下，二元一次方程的解有无数个，
而二元一次方程组的解是唯一的.但当对二元
一次方程的解加以限制时也可能变为有限个了，
x 1,
都是
y=4呢？你还能找出适合方程x+y=8的x，y的值吗？ 例如x=5，y=3
(2)x=5，y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2，y=8呢？
(3)你能找到一组x，y的值，同时适合方程x+y=8和
5x+3y=34吗？
x=5，y=3
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这
个二元一次方程的一个解.
0
【解析】根据题意，得|m|=1且|m-1|≠0，2n-1=1，解得m=-1，n=1.
所以m+n=0，故填0.
【总结】二元一次方程必须符合以下三个条件：
(1)方程是整式方程；
(2)方程中只含有两个未知数；
(3)含未知数的项的次数都是1．
新知学习
x-y=2
x+1=2(y-1)
相同
相同
上面两个方程中，x所代表的对象_____，y所代表的对象_____.
− = ，
= ，
【例4】已知
是二元一次方程组
= −
+ =
的解，求a，b的值.
解：将x=1，y=-2代入方程组中，得
5-（-2）a=7，b-2=3，
解得a=1，b=5.
实际应用
根据题意列方程组：
小明购买单价分别是1元和2元的贺卡共8张，花了10元．小明
2013北京师大附中初二(上)期中数学(含解析)
） ．
2 E
9．已知： a b 3 ，则 a3 b3 9ab 的值是（ A． 3 B． 9
1 / 12
10．如图， D 与 B 互补， AC 平分 BAD ，则 BC 与 DC 的大小关系为（ A． BC DC B． BC DC C． BC DC D．都有可能 11．如图，设 k A． k 2 B． 1 k 2 C．
EO 10 ，则 DBC __________， FO __________．
F D A E O B C
17． 如图， 在 △ABC 和 △ADE 中， 有以下四个论断： ① AB AD ， ② AC AE ， ③ C E ， ④ BC DE ， 请以其中三个论断为条件， 余下一个论断为结论， 写出一个真命题 （用序号“○○○ ○”的形式写出） ： __________．
1 20． (3)3 ( π 2)0 ( )2 6 1 22． n 2
19． 0 21． (2 , 2) ， (2 , 2)
三、因式分解： （每小题 5 分，共 20 分） 23．解： m4 13m2 36
(m2 4)(m2 9)
(m 2)(m 2)(m 3)(m 3) ．
x y x 3y ( x 2 y)( x 2 y) 2 x 4 y ( x 2 y)( x 2 y) 2 x 2y
五、解答题： （31、32 题各 7 分，33、34 题各 6 分，共 26 分） 31．已知：如图，点 A 、 E 、 F 、 C 在同一条直线上， AD CB ， B D ， AD∥BC ． 求证： AE CF ．
A E F B C D
北师大版八年级上册数学《一定是直角三角形吗》勾股定理培优说课教学复习课件
活动二：
“我们选择3,4,5这组数来验证一下.”
（1）请同学们以3cm,4cm,5cm为三边
长画三角形，看看它是什么三角形？
(2)用三角尺或量角器量一量，都是
直角三角形吗?
一个实验结果，是必然还是巧合呢？
活动三：
接下来分为三个小组进行验证
(1)5cm, 12cm, 13cm
(2)8cm, 15cm, 17cm
B
变式： 四边形ABCD中已知AB=3，AD=4，BC=12，
CD=13，且∠A=900，求这个四边形的面积．
随堂演练
1、如果三条线段a、b、c满a2=b2-c2
那么这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？
2、下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由.
①9，12，15； ②15，36，39； ③0.3,0.4,0.5 ； ④12,18,22
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.下列各组数是勾股数的是 (
B
A.3，4，7
B.5，12，13
C.1.5，2，2.5
D.1，3，5
)
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形
(
A
)
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
探究新知
问题4 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这
个三角形是直角三角形.
我觉得这个猜
想不准确，因
我也觉得猜想不严
为测量结果可
谨，前面我们只取
能有误差.
北师大八年级数学上册期中测试题(含答案)-北师大数学八年级上期中
北师大八年级数学上册期中测试题(含答案)|北师大数学八年级上期中北师大版八年级数学期中考试试卷一．单项选择题〔每题3分，共36分〕1.在以下各数中是无理数的有〔〕、、0 、、、3.1415、、2.010101…〔相邻两个1之间有1 个0〕。
.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为( ) ．12 B．7＋C．12或7＋D．以上都不对 3.以下函数中，一次函数为〔〕 . B. y = -2x + 1 C. y = D. y = 2x2 + 1 4．若直角三角形的三边长为6，8，m，则的值为〔〕．10 B．100 C．28 D．100或28 5．在Rt△BC中，∠C=90°，C=9，BC=12，则点C到斜边B的距离是〔〕．B．C．9 D．6 6．、b在数轴上的位置如下图，那么化简的结果是( ) 〔〕〔B〕b 〔C〕〔D〕7．已知：，，且，则的值为〔〕〔〕2或12 〔B〕2或－12 〔C〕－2或12 〔D〕－2或－12 8.以下四个数中，是负数的是〔〕． B. C.D. 9．在平面直角坐标系中，点P〔－1，l〕关于x轴的对称点在〔〕。
．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．若点在第二象限内，则点〔〕在〔〕。
．轴正半轴上B．轴负半轴上C．轴正半轴上D．轴负半轴上11．已知函数是正比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是〔〕． 2 B．C．D．12．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的选项是〔〕 . B.C. D. 二、填空题〔每题3分，共12分〕13．的算术平方根是，的立方根是，肯定值是，的倒数是．14．已知数轴上点表示的数是，点B表示的数是，那么数轴上到点B的距离与点到点B的距离相等的另一点C表示的数是．15．已知点P在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点坐标为___________ 16．在一次函数中，随的增大而〔填“增大〞或“减小〞〕，当时，y的最小值为 . 三．解答题〔共52分〕17．〔10分〕如图，将长方形BCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交D于点E．〔1〕试推断△BDE的样子，并说明理由；〔2〕若，，求△BDE的面积．18．〔本小题总分12分，每题6分〕〔1〕〔2〕19．〔本小题总分8分〕已知的平方根是±3，的算术平方根是4，求的平方根．20.〔本小题总分10分〕已知：一次函数y=kx+b的图象经过M〔0，2〕，〔1，3〕两点．求该图象与x轴交点的坐标。
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英杰学校八年级培优班经典习题集锦
一、选择题1．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）A. 24cm 2
B. 36cm 2
C. 48cm 2
D. 60cm
2
2. 在数轴上A,B 两点表示的数为1和 3 .点B 关于点A 的对称点为C 点,则点C 表示的数是( ) A.3-1 B. 1- 3 C. 2- 3 D. 3-2
3、a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简
2
a b a --的结果是 ( )
（A ）b a -2 （B ）b （C ）b -（D ）b a +-2
9．已知函数
2
3(1)m y m x -=+是正比例函数，且图像在第二、四象限内，则m 的值是（ ）
A ．2
B ．2-
C ．2±
D ．1
2
-
10．关于x 的一次函数y=kx+k 2
+1的图象可能正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，矩形BCDE 的各边分别平行于x 轴和y 轴，物体甲和物体乙分别由点A （2,0）同时出发，沿矩形BCDE 的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2的单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是 （ ）A.（2,0）B.（-1,1）C.（-2,1）D.（-1，-1）
18两个一次函数y 1=mx+n ，y 2=nx+m ，它们在同一坐标系中的图象可能是图l －6－2中的（ ）
20．在一次函数
32+=x y 中，y 随x 的增大而
（填“增大”或“减小”），当
50≤≤x 时，y 的最小值为
.
17.若平面直角坐标系内，O 为坐标原点，已知点A （2，-2），点P 在x 轴上，使△AOP 为等腰直角
三角形，则符合条件的点的坐标为 。
9. 若x,y 都是实数,且y=x-3 + 3-x + 8 ,求x+y= 9．若实数a 、b 满足,02)
2(2
=-+-a b a 则b+2a= 。
15. 已知10+ 3 的整数部分是x,小数部分是y,求x - y 的相反数 . 如果将直线OP 向下平移3个单位长度，所得直线的表达式为 ____________向右平移3个单位长度所得的表达式为____________ 25. 观察下列三个整数a,b,c,其中a<b<c.
3, 4, 5 32+42 =52 32
=4+5 5, 12, 13
52
+122
=132
52
=12+13
7, 24, 25 72+242=252 72=24+25
9, 40, 41 92
+402
=412
92
=40+41 求当a=31时,b= ,c= .
11．
2
)81(-的算术平方根是 ，
27
1
的立方根是 ，
2-绝对值是 ，
2的倒数是 ．
计算（每题5分，共15分）
· · · · 0
C A B
b
a
（1()221
0610275231---+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--π（2）()()
220122011)21(8
1
43223
22----+
(3)
100
9914
313
212
11++
+++
++
+
1、如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，-2）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线AB 上的点C 在第一象限，且S △BOC =2，求点C 的坐标．
2．已知一次函数y=kx+2，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．
24.（8分）已知一次函数y=kx+b 的图象经过点(2， 10)，且与正比例函数y= 1
2 x 的图象相交于
点(4，a)，求(1)求a 的值 (2)求k ，b 的值 44. 设y-5与x+3成正比例,且当x=-2时,y=8.求y 与x 之间函数关系式. 3、
1、某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时，其中的200度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费．设每户家庭月用电量为x 度时，应交电费y 元．
（1）分别求出0≤x ≤200和x ＞200时，y 与x 的函数表达式； （2）小明家5月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度？
25．（12分）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m 的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min 速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min 后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min 时，小明与家之间
的距离为s 1m ，小明爸爸与家之间的距离为s 2m ，图中折线OABD 、线段EF 分别表示s 1、s 2与t 之间的函数关系的图象．
（1）求s 2与t 之间的函数关系式；
（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？
C'
E
D
C
B
A
21．（10分）如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在'C 处，'BC 交AD 于点E ． （1）试判断△BDE 的形状，并说明理由； （2）若4AB =，8AD =，求△BDE 的面积．。