八年级数学实数
八年级上册数学《实数》(含答案)
第1节 实数、平方根【基本知识】1、 有理数 包括有限小数和循环小数，有理数都可以表示为分数形式；2、 无限不循环小数，成为 无理数 ；3、平方根：（1）定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
（2）性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 。
（4）一个非负数x 有两个平方根a 和b ，则a+b = 0（5）运算：2a = ||a 2)(a = a ；2)(a -= a类型1A ：【求下列各数的平方根】（1）324 （2）9624 （3）3.61 （4）971 （5）289【答案】（1）18± （2）21± （3）9.1± （4）34± （5）17±类型1B ：【求下列各数的算术平方根】（1）64 （2）2)3(- （3）49151（4） 21(3)- 【答案】（1）8 （2）3 （3）78 （4）31类型2：【已知平方数或平方根，求数】（1）平方等于256的数是 16±（2）若3是x 的一个平方根，则x = 9（3）若一个正数的平方根为12-a 和a -4，则a = －3 ，这个正数为 49 .（4）一个数的平方等于9，则这个数是 3±（5）一个负数的平方等于100，则这个负数是 10-（6）已知2a －1的平方根是3±，3a+b －1的平方根是4±，则a = ，b = 2 5类型3：【开平方，求下列各式中x 的值】（1）09252=-x （2）x 2－144 = 0 （3）（2x ）2 = 16【解】 （1）53±=x （2）12±=x （3）2±=x（4）32-=x （5）32=x （6）225360x -=【解】（4）无实根 （5）3±=x （6）56±=x（7）9x 2－1= 0 （8）16)1(2=+x （9）（21x ）2 = 1【解】（7）31±=x （8）35或-=x （9）2±=x类型4：【计算】（1）= 3= 5= 7（2） =-2)4( 4 =2)182( 91 =2)5( 5（3）94±=32±-169.= －1.3102-=101（4）81±= 9± 16-= －4 259= 53（5）44.1= 1.2 36-= －6 4925± =75±（6）2)25(-= 25 2)4(-= 4类型5：【化简】（1）已知｜x －4｜+y x +2= 0，那么x =_______4_，y =________－8（2）=________π-4,)2x ≤=________x -2类型6：【根式的意义】1、如果1-x ＋x -9有意义，那么代数式|x －1|＋2)9(-x 的值为 8.类型6：【平方数与平方根相关训练】（1）21++a 的最小值是 ________2，此时a 的取值是 ________－1（2）如果一个正数的两个平方根为1a +和27a -，则这个正数是 9（3）若2+x = 2，则2x + 5的平方根是 3±（4）若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为 0类型7：【能力提升训练】（1）已知501.6=x ，650.12 = 422630，则x = 42.263（2）已知2+x ＝3，则2)2(+x 等于 81（3）已知12++-b a ＝0，则a ＋b 的值是 1（4）一个自然数的算术平方根是x（5）一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是 22+m（6）自由下落物体的高度h （米）与下落时间t （秒）的关系为29.4t h =，有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要 2 秒（7）若一个数a 的平方根等于它本身，数b 的算术平方根也等于它本身，则a b +的平方根 为 0或1±类型8：【比较实数大小】1、平方法：（1; （2）534< 11; （3） 2、求差法:215- < 13、求商法：23平方根 (作业)一、写出下列各数的平方根：（1）2)6(- （2）2)36(- （3）8116（4）16 （5）2)7(-【解】（1）6± （2）6± （3）94±（4）2± （5）7± 二、已知平方数或平方根，求数：（1）一个数的平方为719，这个数为 34±（2）一个数x 的平方根为9±，则x = 81（3）若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a = －1 ，这个正数是 9三、开平方，求下列各式中x 的值：（1）2732=x （2）2516902x -= （3）()12892-=x【解】（1）3±=x （2）513± （3）1816或-=x（4）（x +5）2 = 144 （5）009.02=-x【解】（4）177-=或x （5）3.0±=x（6）（x +1）2=36 （7）27(x +1)3=64【解】（6）75-=或x （7）31=x四、化简：1、若x ＜2，化简|3|)2(2x x -+-的正确结果是 x 25-2、当21≤a 时，化简|12|4412-++-a a a = a 42-3、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图，b a ++2)1(+-b a = 12-b化简五、平方数与平方根相关训练：（1）若2m －10与3m 是同一个数的平方根，则m 的值是 2（2）使3+-x 有意义的x 的取值范围是 3≤x。
八年级数学上册 第二章 实数
第二章实数目录第二章实数 (1)第一课时：实数的认识 (1)知识要点一：认识无理数 (1)知识要点二：平方根 (1)知识要点四：算术平方根 (2)拓展：随机的n (3)知识要点五：立方根 (4)知识要点五：估算无理数的大小 (4)知识要点六：实数的概念 (5)知识要点七：实数的性质 (5)知识要点八：实数与数轴 (7)知识要点九：实数的比较大小 (8)知识要点10：实数的运算 (9)总练习题 (9)C 基础巩固 (9)B 能力提升 (10)A 拔尖训练 (11)第二课时：二次根式的性质、化简与运算 (13)知识要点一：二次根式的概念 (13)知识要点二：二次根式有意义的条件 (13)知识要点三：二次根式的性质与化简 (14)知识要点四：最简二次根式 (14)知识要点五：分母有理化 (15)知识要点六：二次根式的乘除法 (16)知识要点七：同类二次根式 (17)知识要点八：二次根式的加减法 (18)知识要点九：二次根式的混合运算 (18)知识要点十：二次根式的化简求值 (19)知识要点十一：二次根式的应用 (20)总练习题 (20)C 基础巩固 (20)B 能力提升 (21)A 拔尖训练 (22)第一课时：实数的认识知识要点一：认识无理数伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m 等于多少？是整数呢，还是分数？这个问题引起了学派成员希帕斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希帕斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数．希帕斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌．为了维护学派的威信，他们残忍地将希帕斯扔进地中海．这样，无理数的发现人被谋杀了！定义1 无限不循环小数叫做无理数。
常见的无理数的类型：（1）有规律但不循环的小数；（2）有特定意义的符号，如π；（3）方开不尽的数（见知识要点二之开方的概念）。
八年级数学上册实数计算题
八年级数学上册实数计算题一、实数计算题20题。
1. 计算：√(4) + sqrt[3]{-8}- 解析：- 先分别计算各项。
- 因为√(4)=2，sqrt[3]{-8}=-2（因为(-2)^3 = -8）。
- 所以√(4)+sqrt[3]{-8}=2+( - 2)=0。
2. 计算：√(9)-√(16)- 解析：- 先计算根号下的数。
- √(9) = 3，√(16)=4。
- 则√(9)-√(16)=3 - 4=-1。
3. 计算：√(25)+√(36)- 解析：- √(25)=5，√(36)=6。
- 所以√(25)+√(36)=5 + 6=11。
4. 计算：√(1)-√(0)- 解析：- 因为√(1)=1，√(0)=0。
- 所以√(1)-√(0)=1-0 = 1。
5. 计算：√(121)-√(144)- 解析：- √(121)=11，√(144)=12。
- 则√(121)-√(144)=11-12=-1。
6. 计算：√(169)+√(196)- 解析：- √(169)=13，√(196)=14。
- 所以√(169)+√(196)=13 + 14=27。
7. 计算：√(49)-√(64)- 解析：- √(49)=7，√(64)=8。
- 所以√(49)-√(64)=7-8=-1。
8. 计算：√(81)+√(100)- 解析：- √(81)=9，√(100)=10。
- 所以√(81)+√(100)=9 + 10=19。
9. 计算：sqrt[3]{27}+sqrt[3]{-1}- 解析：- 因为sqrt[3]{27}=3（因为3^3 = 27），sqrt[3]{-1}=-1（因为(-1)^3=-1）。
- 所以sqrt[3]{27}+sqrt[3]{-1}=3+( - 1)=2。
10. 计算：sqrt[3]{64}-sqrt[3]{125}- 解析：- sqrt[3]{64}=4（因为4^3 = 64），sqrt[3]{125}=5（因为5^3 = 125）。
(完整版)八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
第二章：实数【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；ππππ（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如：2-是无理数π（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2,π（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，39,5,2如：等；无理数也不一定带根号，如：）9π3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003…75-252.±32-…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个π432【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，a x =2记为：“”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根a 是3，即。
39=特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根00=2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a 是非负数。
（2）算术平方根a 本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两a个互为相反数的值，表示为：。
北师大版八年级上册数学实数课件
0.3737737773……
实数：有理数和无理数统称为实数。
有理数集合
无理数集合
• 请把下列各数分别填入相应的集合内：
正数集合
负数集合
2，实数分类：
• ①分类标准：是否是有理数。
实数
有理数 无理数
• ②分类标准：符号正负。
实数
正实数 0
负实数
• 课堂练习：课本40页，知识技能：1
与 互为倒数
，
，
想一想
1.
的绝对值是
2. a 是一个实数,它的相反数是
a的绝对值是 当a≠０时，它的倒数是
5，实数与数轴：
（1） 如图,OA=OB
数轴上的 点A对应的
数是什么？ 它介于哪
两个整数之间？
1
-2
-1
O
（2） 如果将所有实数都 标到数轴上，那么数轴 被填满了吗？
B 1A 2
实数与数轴上的点的对应关系：
３．在数轴上作出 对应的点．
7，课堂小结
通过今天的学习,说说你的收获和体会?
8，课后作业:
1.课本习题2.8
2.求
的相反数和绝对值.
8，板书设计
6，实数
1，实数概念与分类。
3，实数与相反数，倒数，绝 对值。
2，实数运算律。
4，实数与数轴。
• 谢谢观赏！
•
•
再见！
•
3，实数的运算律
1.在有理数范围内能进行哪些运算？ 用哪些运算律？那么在实数范围内呢？
2.判断下列各式成立吗？
结论：有理数的运算及运算律对实数仍然适用。
• 4，倒数，相反数，绝对值。
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对 值的意义 ，和有理数范围内的相反数、倒 数、绝对值的意义完全一样。
4.3 实数(第1课时)(课件)八年级数学上册(苏科版)
(2)分数（如− 、 、 ）
(3)无理数（如 、 、 ）
这些点没有“填满”数轴
这些点没有“填满”数轴
再添加像π、0.1010010001⋯这样的无理数
数轴上所有表示有理数、无理数的点把数轴“填满”了
概念学习
实数的概念：
有理数和无理数统称为实数.
即实数可分为有理数和无理数.
A.无理数都是无限小数
B.无限小数都是无理数
C.带根号的数都是无理数
D.无理数与数轴上的点是一一对应的
2. 和数轴上的点一一对应的是
( D )
A.整数
C.无理数
B.有理数
D.实数
新知巩固
3.关于 ，下列说法正确的是( D )A.是整数
C.是有理数
B.是分数
D.是无理数
4. 下列各数中无理数有 ( B )
活动二 画图 在方格纸中分别画出长度为 、 、 ⋯ ⋯的线段.
数学实验室
活动三 用图
(1)按如图所示的方法画下去，想一想所画出的图形形状.
(2)分别求出图中线段a1、a2、a3、a4、a5、⋯ ⋯的长.
a2=
a1=
a3=
1
a5=
a4=
(3)在数轴上分别标出表示数a1、a2、a3、a4、
小组讨论、交流，说说自己的想法.
数学实验室
活动一 读图 如图，方格纸中的小正方形边长为1，求出下列线段的长：
(1) 线段AB的长是________.
A
(2) 线段AC的长是________.
(3) 线段DE的长是________.
B
C
D
八上数学第二章实数
八上数学第二章实数八年级数学上册第二章“实数”主要涉及实数的概念、性质及其运算。
以下是该章节的主要内容：1.平方根和算术平方根：非负实数a的算术平方根是满足x^2=a的实数x；非负实数a的平方根是满足x^2=a的实数x，正数有两个平方根，它们互为相反数，0只有一个平方根，即0本身，负数没有平方根。
2.无理数：无限不循环小数称为无理数。
常见的无理数包括无限不循环小数、开方开不尽的数等。
3.实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数包括整数和分数，而无理数则是指不能表示为两个整数的比的数。
4.实数的运算：实数的加、减、乘、除运算与正数和0的运算规则相同，但需要注意负数的运算。
在运算过程中，需要注意运算法则和运算顺序，以免出现错误。
5.实数的应用：实数在实际生活中有着广泛的应用，例如测量、计算、工程设计等方面都需要用到实数。
在学习这一章时，学生需要理解并掌握实数的概念、性质和运算规则，同时还需要能够运用所学知识解决实际问题。
此外，学生还需要注意与之前所学有理数知识的联系和区别，以便更好地掌握数学基础知识。
实数这一章的重点内容还包括以下几个方面：1.平方根的性质：实数的平方根具有一些重要的性质，例如正实数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是算术平方根。
此外，当被开方数的小数点向右每移动两位时，其算术平方根的小数点会向右移动一位。
2.立方根的性质：实数的立方根也有其独特的性质。
例如，当被开方数的小数点每向右移动三位时，其立方根的小数点会向右移动一位。
3.实数的表示：实数可以用不同的方式来表示，例如根号形式、小数形式和分数形式等。
此外，实数还可以在数轴上表示出来，这样可以更直观地理解实数的性质和运算。
4.实数的运算性质：实数的加、减、乘、除等运算具有一些重要的性质，例如运算法则、运算律和运算顺序等。
学生需要理解和掌握这些性质，以便能够正确地进行实数的运算。
5.实数的应用：实数在实际生活中有着广泛的应用，例如测量、计算、工程设计等方面都需要用到实数。
湘教版八年级数学上册3.3实数(共42张PPT)
知5－导
感悟新知
(6)(ab)c=________(乘法结合律)； (7)1·a=a·1=________；
知5－导
(8)a(b +c)=________(乘法对于加法的分配律)，
(b+c)a=________(乘法对于加法的分配律)；
(9)实数的减法运算规定为a-b=a+____；
(10)对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足a·b=b·a=1，
知5－讲
感悟新知
知5－讲
要点精析：在实数范围内做开方运算时，要注意正
实数和零既能开平方，也能开立方，负实数
不能开平方.
(1)运算种类：
运算级别 第一级 运算名称 加 减 运算结果 和 差
第二级 乘除 积商
第三级 乘方 平方 幂 方根
感悟新知
知5－讲
(2)运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后算加减同 级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括 号里面的.
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
2
，0，144，
9 ，π，
2 3
，3
2 ，0.101 001 0001…(邻
两个1之间逐次增加一个0).
解：0，1.414， 9 ， 2 是有理数，
3
2 ，π，3 2，0.1010 000 1是无理数.
感悟新知
结论
知1－讲
有理数和无理数统称为实数(real number). 这样，我们可以得到：
课堂小结
实数
运算种类：
运算级别 第一级 运算名称 加 减 运算结果 和 差
第二级 乘除 积商
第三级 乘方 平方 幂 方根
课堂小结
实数
3.易错警示：(1)负实数只能开奇次方，不能开偶次方； (2)计算结果中如果包含开方开不尽的数，则保留根号，
北师版八年级数学上册 第二章 实数 知识归纳与题型突破(二十一类题型清单)
第二章实数知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）01思维导图02知识速记一、平方根和立方根类型平方根立方根项目被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()()(22a a aa a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式0)a ≥等式子，都叫做二次根式.要点：有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.等都是最简二次根式.要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b=≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥≥二次根式的除法)a b=≥00，＞商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a b、≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并(13+=+-03题型归纳题型一实数的概念与分类例题1．在下列各数：3.14159260.2、1π、13111中，无理数的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．5巩固训练2．在实数22,1,37π-- ，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列说法正确的是（）A ．两个无理数的和一定是无理数B ．无限小数都是无理数C ．实数可以用数轴上的点来表示D ．分数可能是无理数4．把下列各数填人相应的集合内：143.10.8080080008...39π-，，，，（相邻两个8之间0的个数逐步甲1），158,-142整数集合｛…｝负分数集合｛…｝有理数集合｛…｝无理数集合｛…｝题型二平方根与算术平方根例题5．下列说法正确的是（）A ．8-的立方根是2±B ．2(4)-的算术平方根是4-C 4±D ．0的平方根与算术平方根都是0巩固训练6．下列计算正确的是（）A ．23=B ．1=C 4=±D 3=-7．一个正数的两个平方根分别为42m -与1--m ，则这个正数为（）A ．1B ．2C ．3625D ．48．下列说法中错误的是（）A ．12是0.25的一个平方根B ．正数a 的两个平方根的和为0C ．916的平方根是34±D ．当0x ≠时，2x -有平方根9）A ．4B ．4±C ．2D ．2±题型三平方根、立方根的解方程问题例题10．解方程：(1)()21x -=(2)()312x -=-7巩固训练11．求出下列x 的值．(1)24490x -=；(2)()327164x +=-．题型四算术平方根的非负性例题12．已知a 、b 20b -=，则23a b -的值为（）A ．12-B ．5-C ．910D ．13巩固训练13．已知x y ，()2320y +=，则x y -的值为（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-14．已知2a b +(1)求a 、b 的值．(2)求23a b -的平方根．15．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（）A ．S =B ．S 的平方根是aC ．a是S 的算术平方根D ．a =题型五立方根例题16）A ．表示8-的立方根B ．结果等于2-C ．与D ．没有意义巩固训练17．下列说法正确的是（）A ．任意实数都有平方根B ．任意实数都有立方根C ．任意实数都有平方根和立方根D ．正数的平方根和立方根都只有一个18=．19=，=．202=-）A ．2±B ．2C ．3±D ．3题型六立方根的性质及应用例题21，则x 和y 的关系是（）A ．x=y=0B ．x 和y 互为相反数C ．不能确定D ．x 和y 相等巩固训练22x =．23．21a -的平方根为3±，31a b -+的立方根为2的值为（）A ．3-B ．3C ．3±D ．不确定题型七平方根与立方根综合问题例题24．若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（）A ．1B ．0或1C ．0D ．非负数巩固训练25．已知21a -的平方根是3±，1b -的立方根是2，则=a ，b =，b a -的算术平方根是．26．如果2a A -=为+3a b 的算术平方根，2a B -=为21a -的立方根，则+A B 的平方根为．题型八算术平方根、立方根的实际应用例题27．依次连结22⨯方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（）A ．2B CD ．2.5巩固训练28．如图在长方形ABCD 内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为（）A ．12B ．1C D 129．已知一个正方体的体积是31000cm ，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为3936cm ，则截去的每个小正方体的棱长是cm ．题型九算术平方根、立方根小数点移动问题例题30. 1.333≈ 2.872≈≈．巩固训练31a =）A ．0.1aB ．aC ．1.1aD ．10.1a32．1.166≈≈≈≈聪明的同学你能不用计算器得出（1）≈．（2≈．题型十用计算器开方例题33．利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A ．0.5B ．0.6C ．0.8D ．0.9巩固训练34．在使用DY-570型号的计算器时，小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键：若一开始输入的数据为5，那么第2022步之后，显示的结果是（）A ．5B ．15C ．125D ．2535．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果为（）A ．8B ．4C ．18D ．14题型十一整数部分、小数部分问题例题36m，则m 的算术平方根的值最接近整数（）A ．2B ．3C ．4D ．5巩固训练37．已知4a ，4b ，则()2023a b +=．38．已知正数x 的两个不等的平方根分别是214a -和2a +，1b +的立方根为3-；ca m n +＝，其中m 为整数，01n <<，则()()36n m +-=．39．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的近似值，得出1.4 1.5<<．利用“逐步逼近”法，请回答问题：a和b ，且a b <，那么=a ，b =；(2)ab ，求a b +的值；(3)已知：10x y ++，其中x是整数，且01y <<，求y x -的值．题型十二实数的大小比较例题40．在实数1，0，中，最小的是．巩固训练41（填写“＞”或“＜”或“＝”）．42313（选填“>”，“<”或“=”）题型十三实数与数轴例题43．如图，实数1在数轴上的对应点可能是（）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点巩固训练44．下列说法正确的是（）A ．有理数与数轴上的点一一对应B 2C ．两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数D ．任意一个无理数的绝对值都是正数45．观察下图，每个小正方形的边长均为1．(1)图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________；(2)作图：在数轴上作出边长的对应点P （要求保留作图痕迹）；(3)在（2）题的数轴上表示1的点记为M ，点N 也在这条数轴上且MN MP =，直接写出点N 表示的数．题型十四无理数的估算例题46．估计262的值应在（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间巩固训练47．已知5a b <<，a ，b 是连续的正整数，则a b +的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．748．m n 、是连续的两个整数，若6m n <，则m n +的值为．49107的近似数的过程：∵面积为107107，且1010711<<，10x =+，其中01x <<，画出如图示意图，∵图中2210210S x x =+⨯+正方形，107S =正方形．∴2210210107x x +⨯+=，当2x 较小时，省略2x ，得20100107x +≈，得到0.35x ≈10.35≈．______；(2)的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到．．．0.1．．．）(3)结合上述具体实例，已知非负整数a 、b 、m ，若1a a <<+，且2m a b =+≈______．（用a 、b 的代数式表示）题型十五程序框图例题50．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数(||20)x x <的运算程序如图所示，若输出的y 时，则输入的实数x 可取的负整数值是．巩固训练51．如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x 的值为64时，则输出y 的值是．52．如图是一个数值转换器示意图：(1)当输入的x 为36时，输出的y 的值是_______；(2)若输入x 值后，始终输不出y 的值，则满足题意的x 值是_______；(3)若输出的2y >，则x 的最小整数值是_______.题型十六材料信息题例题53．观察上表中的数据信息：则下列结论： 2.2801 1.51=；23409231041=；③只有3个正整数a 满足15.215.3a << 2.31 1.510<．其中正确的是．（填写序号）a 1515.115.215.315.4…a 2225228.01231.04234.09237.16…巩固训练54．对于任何实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不超过a 的最大整数，例如：[]22=，31⎡=⎣，[]2.53-=-．现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．题型十七二次根式的概念、有意义的条件、求值例题55．下列式子属于二次根式的是（）A 37B ．12C 3D 7-巩固训练5614x-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．57()22a a a a --a 的取值范围是.58．已知n 51n +n 的最小值为．59．已知x 、y 为实数，且994y x x =--，则x 、y 的值分别为（）A ．9、4B ．2、3C ．4、9D ．3、4题型十八二次根式的化简例题60=巩固训练61．若0xy <）A ．B ．C ．-D ．-62．实数m ）A ．29m -B ．5-C ．5D ．92m-633x =-，那么x 的取值范围是（）A ．3x <B ．3x ≤C ．3x >D ．3x ≥题型十九最简二次根式等有关概念例题64．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）AB C D 巩固训练65．下列根式中，是最简二次根式的是（）A BC D66．下列各组二次根式中，能合并的是()AB C D67．若最简二次根式是同类二次根式，则2xy =．68x 的值为（）A ．12-B ．34C ．2D ．5题型二十二次根式的运算例题69．下列运算正确的是（）A 2=±B ．(2=C=D．(÷巩固训练70．下列运算正确的是（）A+=B=C．=D．5= 71．计算：；1)．72．计算：+(2)-；(4)21)2)-+．7．例题74．李老师家装修，长方形电视背景墙BC，宽AB，中间要镶一个长为，的长方形大理石图案（图中阴影部分）．(1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/2m，大理石造价为200元/2m，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）巩固训练75．快递公司为顾客的快递提供纸箱包装服务，现有三款长方体包装纸箱的高相同，底面规格如表：型号长宽小号20cm 18cm 中号25cm 20cm 大号30cm25cm已知甲、乙两件长方体礼品底面都是正方形，底面积分别为280cm ，2180cm ，两件礼品的高都小于包装纸箱的高．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱76．我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记1()2p a b c =++，那么三角形的面积为S =．根据上述知识，解决下列问题．(1)如图，ABC 中，7BC a ==，6AC b ==，5AB c ==，请利用上述公式求ABC 的面积；(2)在（1）的条件下，作BD AC ⊥于点D ，求BD ，CD 的长．第二章实数知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）01思维导图02知识速记一、平方根和立方根类型平方根立方根项目被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()()(22a a aa a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式0)a ≥的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点：有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.等都是最简二次根式.要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b=≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥≥二次根式的除法)a b=≥00，＞商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a b、≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并(13+=+-03题型归纳题型一实数的概念与分类例题1．在下列各数：3.14159260.2、1π、13111中，无理数的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．52．在实数22,1,37π-- ，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列说法正确的是（）A ．两个无理数的和一定是无理数B ．无限小数都是无理数C ．实数可以用数轴上的点来表示D ．分数可能是无理数B.无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；C.实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；D.分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．4．把下列各数填人相应的集合内：143.10.8080080008...39π-，，，，（相邻两个8之间0的个数逐步甲1），158,-142整数集合｛…｝负分数集合｛…｝有理数集合｛…｝无理数集合｛…｝例题5．下列说法正确的是（）A ．8-的立方根是2±B ．2(4)-的算术平方根是4-C 4±D ．0的平方根与算术平方根都是0【答案】D【分析】利用平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．【解析】解：A ．8-的立方根是2-，故此选项不符合题意；B ．2(4)-的算术平方根是4，故此选项不符合题意；6．下列计算正确的是（）A ．23=B ．1=C 4=±D 3=-7．一个正数的两个平方根分别为42m -与1--m ，则这个正数为（）A ．1B ．2C ．3625D ．4【答案】D【分析】本题考查平方根，解一元一次方程，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据平方根的定义可知()4210m m -+--=，解方程即可．【解析】解：由题意得：()4210m m -+--=，解得：1m =，∴这个正数为()2424m -=，故选：D ．8．下列说法中错误的是（）A ．12是0.25的一个平方根B ．正数a 的两个平方根的和为0C．916的平方根是34±D．当0x≠时，2x-有平方根9）A．4B．4±C．2D．2±例题10．解方程：(1)()21x-=(2)()312x-=-711．求出下列x 的值．(1)24490x -=；(2)()327164x +=-．题型四算术平方根的非负性例题12．已知a 、b 20b -=，则23a b -的值为（）A ．12-B ．5-C ．910D ．1313．已知x y ，()2320y +=，则x y -的值为（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-14．已知2a b +(1)求a 、b 的值．(2)求23a b -的平方根．15．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（）A ．S =B ．S 的平方根是aC ．a是S 的算术平方根D ．a =例题16）A ．表示8-的立方根B ．结果等于2-C ．与D ．没有意义17．下列说法正确的是（）A．任意实数都有平方根B．任意实数都有立方根C．任意实数都有平方根和立方根D．正数的平方根和立方根都只有一个【答案】B【分析】根据平方根和立方根的性质逐项判断即可得．【解析】解：A、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；B、任意实数都有立方根，则此项正确，符合题意；C、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；D、因为正数的平方根有两个，所以此项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．18=．202=-）A ．2±B ．2C ．3±D ．3例题21，则x 和y 的关系是（）A ．x=y=0B ．x 和y 互为相反数C ．不能确定D ．x 和y 相等22x =．【答案】6【分析】直接利用相反数的定义得出x 的值，进而代入计算得出答案．【解析】解：由题意可知：12370x x -+-=，解得：6x =．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确得出x 的值是解题关键．23．21a -的平方根为3±，31a b -+的立方根为2的值为（）A ．3-B ．3C ．3±D ．不确定例题24．若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（）A ．1B ．0或1C ．0D ．非负数【答案】B【分析】根据算术平方根及立方根定义，结合四个选项中的数逐项验证即可得到答案．【解析】解：0的算术平方根为0；0的立方根为0；1的算术平方根为1；1的立方根为1；∴若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是0或1，故选：B ．【点睛】本题考查算术平方根及立方根定义，理解题意，弄清楚一个数的算术平方根与它的立方根相同的含义是解决问题的关键．巩固训练25．已知21a -的平方根是3±，1b -的立方根是2，则=a ，b =，b a -的算术平方根是．26．如果2a A -=为+3a b 的算术平方根，2a B -=为21a -的立方根，则+A B 的平方根为．例题27．依次连结22⨯方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（）A．2B CD．2.528．如图在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为（）A．12B．1C D129．已知一个正方体的体积是31000cm ，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为3936cm ，则截去的每个小正方体的棱长是cm ．【答案】2【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是cm x ，由题意得出310008936x -=，整理得38x =，再利用立方根的定义解方程即可得出答案．【解析】解：设截去的每个小正方体的棱长是cm x ，由题意得：310008936x -=，整理得：38x =，解得：2x =，∴截去的每个小正方体的棱长是2cm ，故答案为：2．题型九算术平方根、立方根小数点移动问题例题301.333≈2.872≈≈．31a =）A．0.1a B．a C．1.1a D．10.1a32．1.166≈≈≈≈聪明的同学你能不用计算器得出（1）≈．（2≈．例题33．利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A．0.5B．0.6C．0.8D．0.934．在使用DY-570型号的计算器时，小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键：若一开始输入的数据为5，那么第2022步之后，显示的结果是（）A ．5B ．15C ．125D ．25题关键．35．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果为（）A ．8B ．4C ．18D ．14例题36m ，则m 的算术平方根的值最接近整数（）A ．2B ．3C ．4D ．5巩固训练37．已知4a ，4b ，则()2023a b +=．38．已知正数x 的两个不等的平方根分别是214a -和2a +，1b +的立方根为3-；ca m n +＝，其中m 为整数，01n <<，则()()36n m +-=．39．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的近似值，得出1.4 1.5<<．利用“逐步逼近”法，请回答问题：a和b ，且a b <，那么=a ，b =；(2)ab ，求a b +的值；(3)已知：10x y ++，其中x是整数，且01y <<，求y x -的值．例题40．在实数1，0，中，最小的是．例题43．如图，实数1在数轴上的对应点可能是（）A．A点B．B点C．C点D．D点44．下列说法正确的是（）A．有理数与数轴上的点一一对应BC．两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数D．任意一个无理数的绝对值都是正数45．观察下图，每个小正方形的边长均为1．(1)图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________；(2)作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）；(3)在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且MN MP=，直接写出点N表示的数．（3）解：如图，设点N表示的数为x，由题意得：1171-=-，x解得217x=-，所以点N表示的数为217-．【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键．题型十四无理数的估算例题46．估计262-的值应在（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间47．已知a b <<，a，b 是连续的正整数，则a b +的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．748．m n 、是连续的两个整数，若m n <，则m n +的值为．∵2,3是连续的两个整数，∴2,3m n ==，∴235m n +=+=，故答案为：5．【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键．49的近似数的过程：∵面积为107，且1011<<，10x =+，其中01x <<，画出如图示意图，∵图中2210210S x x =+⨯+正方形，107S =正方形．∴2210210107x x +⨯+=，当2x 较小时，省略2x ，得20100107x +≈，得到0.35x ≈10.35≈．______；(2)的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到．．．0.1．．．）(3)结合上述具体实例，已知非负整数a 、b 、m ，若1a a <<+，且2m a b =+≈______．（用a 、b 的代数式表示）∵图中22816S x x =++正方形∴2281674x x ++=，当2x 较小时，省略2x ，得16得到0.625x ≈，即748.6≈（3）如图，设m a x =+，正方形的面积为：22a ax ++当2x 较小时，省略2x ，得a例题50．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数(||20)x x <的运算程序如图所示，若输出的y 时，则输入的实数x 可取的负整数值是．51．如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x 的值为64时，则输出y 的值是．【答案】32【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，有理数、无理数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．依据运算程序进行计算即可．【解析】解：根据步骤，输入64，先有3644=，是有理数，42=是有理数，返回到第一步，取2的立方根是32，是无理数，最后输出32故答案为：32．52．如图是一个数值转换器示意图：(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；y>，则x的最小整数值是_______.(3)若输出的2【答案】(1)6(2)0和1(3)5【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；x，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解．（3）先得出输入的>4例题53．观察上表中的数据信息：则下列结论： 1.51=；1=；③只有3个正整数a满足15.215.3<．其中正确的是．（填写序号）<< 1.510a1515.115.215.315.4…a2225228.01231.04234.09237.16…54．对于任何实数a ，我们规定：用符号[]a表示不超过a 的最大整数，例如：[]22=，1=，[]2.53-=-．现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．故答案为：255．【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．题型十七二次根式的概念、有意义的条件、求值例题55．下列式子属于二次根式的是（）C DA B．157a的取值范围是.a≥【答案】2【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可得到答案．58．已知n n 的最小值为．【答案】13【分析】根据当51n +是最小的完全平方数时，n 最小，从而得出答案．【解析】解：∵27=49，28=64，∴51=64n +，∴13n =．故答案为：13．【点睛】本题考查了二次根式，掌握算术平方根与平方的关系是解题的关键．59．已知x 、y 为实数，且4y =，则x 、y 的值分别为（）A ．9、4B ．2、3C ．4、9D ．3、4例题60=61．若0xy <）A ．B ．C ．-D ．-62．实数m ）A ．29m -B ．5-C ．5D ．92m-633x =-，那么x 的取值范围是（）A ．3x <B ．3x ≤C ．3x >D ．3x ≥64．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）例题65．下列根式中，是最简二次根式的是（）A BC D。
4.3实数(十大题型)(解析版) 八年级数学上学期
八年级上册数学《第4章实数》4.3实数◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.◆2、实数的分类：（1）按定义分类．（2）按性质分类.◆1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.◆2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.◆3、实数的大小比较①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；②两个正实数，绝对值大的数较大；③两个负实数，绝对值大的数反而小.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．◆1、数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.◆2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设a表示任意一个实数，则|a|=o＞0)0(=0)−o＜0)◆1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.◆2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.◆3、实数的运算律.①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③乘法交换律：ab＝ba；④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)⑤分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.①被开方数一定是非负数，即a≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即a≥0.【例题1】（2022秋•丽水期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：①﹣3.14，②2π，③−13，④0.618，⑤−16，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨227，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）．整数集合：{……}；分数集合：{……}；无理数集合：{……}．【分析】利用整数、分数、无理数的定义分类填空．【解答】解：整数有：⑤−16=−4，⑥0，⑦﹣1，⑧+3；分数有：①﹣3.14，③−13，④0.618，⑨227；无理数有：②2π，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1），故答案为：⑤⑥⑦⑧；①③④⑨；②2⑩．【点评】本题考查了实数的定义，解题的关键是掌握整数、分数、无理数的定义．【变式1-1】（2022秋•社旗县期末）实数−13，−6，0，﹣1中，为负整数的是（）A．﹣1B．−6C．0D．−13【分析】根据实数的分类进行解答即可．【解答】解：这一组数中的负整数是﹣1．故选：A．【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题的关键．【变式1-2】（2022秋•宁波期中）下列实数：2，39，1，2，−73，0.3⋅，分数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据实数的分类及分数的定义进行解答即可．−73，0.3⋅共3个．故选：B．【点评】本题考查的是实数，熟知所有的分数都是有理数是解题的关键．【变式1-3】（2022春•宜秀区校级月考）下列说法正确的是（）A．实数包括有理数、无理数和零B．有理数包括正有理数和负有理数C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D．无论是有理数还是无理数都是实数【分析】灵活掌握实数分类以及有理数和无理数概念，注意容易混淆的知识点．【解答】解：有理数和无理数统称为实数，0属于有理数，故A错误，有理数包括正有理数、负无理数和0，0既不是正数也不是负数，故B错误，无限不循环的小数是无理数，故C错误，实数分为有理数和无理数，故D正确．故选：D．【点评】考查了实数的概念，以及有理数和无理数概念及分类．【变式1-4】下列判断：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；③2的算术平方根是2；④无理数是带根号的数．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B；【分析】直接利用有关实数的性质分别分析得出答案．【解答】解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，故原题说法错误；②实数包括无理数和有理数，故原题说法正确；③2的算术平方根是2，故原题说法正确；④无理数是无限不循环小数，故原题说法错误，例如4=2是有理数．故选：B．【变式1-5】（2022春•夏津县期末）下列说法中错误的是（）A．3−27是整数B．−1713是有理数C．33是分数D．9的立方根是无理数【分析】根据立方根，算术平方根，有理数，无理数的意义，即可解答．【解答】解：A、∵3−27=−3，∴3−27是整数，故A不符合题意；B、−1713是有理数，故B不符合题意；C、33是无理数，不是分数，故C符合题意；D、∵9=3，3的立方根是33，33是无理数，∴9的立方根是无理数，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数，无理数的意义是解题的关键．【变式1-6】（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：33，−4，−34，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）【分析】根据无理数以及正实数的定义，在给定实数中分别挑出无理数以及正实数，此题得解．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【变式2-7】（2023秋•滨湖区期中）将下列各数的序号填入相应的括号内：①﹣2.5；②313；③0；④2；⑤﹣8；⑥10%；⑦−27；⑧﹣1.12121112…；⑨2；⑩−0.345⋅⋅．整数集合：{…}；负分数集合：{…}；正有理数集合：{…}；无理数集合：{…}．【分析】根据实数的分类，即可解答．【解答】解：整数集合：{③⑤⑨…}；负分数集合：{①⑦⑩…}；正有理数集合：{②⑥⑨…}；无理数集合：{④⑧…}．故答案为：③⑤⑨；①⑦⑩；②⑥⑨；④⑧．【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．【例题2】（2022•海淀区校级模拟）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＜0B．a＜b C．b+5＞0D．|a|＞|b|【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．【变式2-1】（2022春•南岸区期中）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜2，则b的值可以是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．3【分析】先判断b的范围，再确定符合条件的数即可．【解答】解：∵1＜a＜2，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∵﹣a＜b＜a，∴b只能是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围．【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．【变式2-2】（2023秋•昌黎县期中）如图，在数轴上，点A表示实数a，则a可能是（）A．−12B．−10C．−8D．−3【分析】根据数轴可得−9＜＜−4，再逐一分析各选项的数据即可．【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，∴−9＜＜−4，∵9＜12，9＜10，∴−12＜−9，−10＜−9，故A，B不符合题意；∵3＜4，∴−3＞−4，故D不符合题意；∵4＜8＜9，∴−9＜−8＜−4，即−3＜−8＜−2，故选：C．【点评】本题考查的是实数与数轴，实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．【变式2-3】（2023秋•新吴区校级期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2020将与正方形上的哪个字母重合（）A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D【分析】正方形滚动一周的长度为4，从﹣2到2020共滚动2022，由2022÷4＝505......2，即可作出判断．【解答】解：∵正方形的边长为1，∴正方形的周长为4，∴正方形滚动一周的长度为4，∵正方形的起点在﹣2处，∴2020﹣（﹣2）＝2022，∵2022÷4＝505......2，∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合，故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，根据正方形的特点找出滚动规律是解题的关键．【变式2-4】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，2．【分析】先计算﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，再利用数轴表示数的方法表示所给的6个数，然后写出它们的大小关系．【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，用数轴表示为：，它们的大小关系为﹣|﹣4|＜﹣1.5＜0＜﹣（﹣1）＜2＜3．【变式2-5】（2022春•海安市校级月考）7、如图：数轴上表示1、5的对应点分别为A、B，且点A为线段BC的中点，则点C表示的数是（）A．5−1B．1−5C．5−2D．2−5【分析】设C点表示的数为x，再根据中点坐标公式求出x的值即可．【解答】解：设C点表示的数为x，则r52=1，解得x＝2−5．故选：D．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．【变式2-6】（2023•市南区一模）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（）A．1＜|a|＜b B．1＜﹣a＜b C．|a|＜1＜|b|D．﹣b＜a＜﹣1【分析】根据相反数的意义，绝对值的性质，有理数的大小比较，可得答案．【解答】解：由题意，得1＜|a|＜b，1＜﹣a＜b，﹣b＜a＜﹣1，故C符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，利用相反数的意义，绝对值的性质，数轴上的点右边的总比左边的大是解题关键．【变式2-7】（2023春•岳池县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为1+【分析】根据正方形的面积求出正方形的半径，即圆的半径为5，所以E点表示的数为OE的长度，即1+5．【解答】解：∵正方形的面积为5，∴AB为5；∵以A点为圆心，AB为半径，和数轴交于E点，∴AE＝AB=5；∵A点表示的数为1，∴OE＝OA+AE＝1+5故答案为：1+5【点评】本题主要考查了实数与数轴的位置关系，结合正方形面积以及圆的半径考查．解题关键是求出OE的长度．【变式2-8】（2022秋•西安月考）如图，已知实数−5，﹣1，5，3，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D．（1）求点C与点D之间的距离；（2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值．【分析】（1）根据数轴上两点间距离的计算方法进行计算即可得出答案；（2）先根据数轴上两点间距离的计算方法计算出a的值，再求a﹣b即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，点C与点D之间的距离为3−5；（2）根据题意可得，a＝|﹣1+5|=5−1，b＝3−5，a﹣b=5−1﹣（3−5）＝25−4．【点评】本题主要考查了实数与数轴及数轴上两点间距离，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及数轴上两点间距离的计算方法进行求解是解决本题的关键．【例题3】实数−3的绝对值是（）A．3B．C．−3D．33【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：实数−3的绝对值是：3．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．【变式3-1】−2的相反数是（）A．−2B．2CD．2【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得−2的相反数是：2．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．【变式3-2】（2023春•潮南区期中）5−2的相反数是（）A．﹣0.236B．5+2C．2−5D．﹣2+5【分析】根据相反数的定义即可得出结论．【解答】解：5−2的相反数是2−5．故选C．【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．【变式3-3】（2023春•京山市期中）下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣2与(−2)2B．﹣2与3−8C．﹣2与−12D．2与|﹣2|【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、(−2)2=2，﹣2与(−2)2是互为相反数，故本选项正确；B、3−8=−2，﹣2与3−8相等，不是互为相反数，故本选项错误；C、﹣2与−12是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，对各项准确计算是解题的关键．【变式3-4】（2023秋•秦都区校级月考）下列说法正确的是（）A．2的绝对值是22B．2的倒数是22C．2的相反数是22D．4的平方根为±2【分析】根据绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识分别对四个选项进行分析．【解答】解：2的绝对值是2，所以A选项不正确；2的倒数是22，所以B选项正确；2的相反数是−2，所以C选项不正确；4的平方根是±2，所以D选项不正确．故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识．【变式3-5】填空：（1）5的相反数是，绝对值是；（2）3−1的相反数是，绝对值是；（3）若|x|=3，则x＝．【分析】根据相反数和绝对值的定义即可得出答案．【解答】解：（1）5的相反数是−5，绝对值是5；（2）3−1的相反数是1−3，绝对值是3−1；（3）∵|x|=3，∴x=±3．故答案为：（1）−5，5；（2）1−3，3−1；（3）±3．【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，掌握绝对值等于3的数有2个是解题的关键．【变式3-6】（2022秋•余姚市校级期中）a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是15的倒数．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）求o+p+2−的值．【分析】（1）直接利用算术平方根的概念以及立方根的概念、倒数的概念分别分析得出答案；（2）直接利用绝对值的性质、立方根的性质、算术的性质分析得出答案．【解答】解：（1）∵a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是15的倒数，∴a＝2，b＝3，c＝5；故答案为：2，3，5；（2）原式=2(3+5)+22−2×5=6+25+4−25=10．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．【变式3-7】（2022秋•芗城区校级月考）31−2与33−2互为相反数，求代数式6x﹣9y+5的值．【分析】由题意得方程1﹣2x+3y﹣2＝0，求得2x﹣3y＝﹣1，再将其代入求解即可．【解答】解：由题意得1﹣2x+3y﹣2＝0，整理，得2x﹣3y＝﹣1，∴6x﹣9y+5＝3（2x﹣3y）+5＝3×（﹣1）+5＝﹣3+5＝2．【点评】此题考查了运用立方根和相反数进行化简、求值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识和整体思想．【变式3-8】（2022春•如皋市校级月考）已知|x|=5，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值．【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案．【解答】解：∵|x|=5，∴x＝±5，∵y是11的平方根，∴y＝±11，∵x＞y，∴当x=5，则y=−11，故x+y=5−11，当x=−5，则y=−11，故x+y=−5−11，综上所述：x+y的值为5−11或−5−11．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键．【例题4】（2023•潍坊）在实数1，﹣1，0，2中，最大的数是（）A．1B．﹣1C．0D．2【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜2，∴在实数1，﹣1，0，2中，最大的数是2，故选：D．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．【变式4-1】（2022•沂源县一模）在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是（）A．3B．−3C．0D．2【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小即可求解．【解答】解：在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是−3．故选：B．【点评】此题考查了实数大小比较，可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．【变式4-2】三个数﹣π，﹣3，−3的大小顺序是（）A．﹣3＜﹣π＜−3B．﹣π＜﹣3＜−3C．﹣π＜−3＜−3D．﹣3＜−3＜−π【分析】先对无理数进行估算，再比较大小即可．【解答】解：﹣π≈﹣3.14，−3≈−1.732，因为3.14＞3＞1.732．所以﹣π＜﹣3＜−3．故选：B．【点评】本题考查了同学们对无理数大小的估算能力及比较两个负数大小的方法，即两个负数相比较，绝对值大的反而小．【变式4-3】（2023秋•农安县期中）将数“22，5，−2，0，﹣1.6”按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来是：．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵22=8＞5，−2≈−1.57＞﹣1.6，∴﹣1.6＜−2＜0＜5＜22，故答案为：﹣1.6＜−2＜0＜5＜22．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数比较时绝对值大的反而小．【变式4-4】设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，，1这四个数中（）A．1＞＞＞2B．2＞＞＞1C．＞＞1＞2D．1＞＞＞2【分析】根据正数比较大小的法则进行解答即可．【解答】解：∵0＜a＜1，∴0＜a2＜a＜＜1，1＞1，∴1＞＞a＞a2．故选：D．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．【变式4-5】比较2，5，37的大小，正确的是（）A．2＜5＜37B．2＜37＜5C．5＜37＜2D．37＜2＜5【分析】把2转化为4，38，即可比较大小．【解答】解：∵2=4，∴5＞2，∵2=38，∴2＞37，∴5＞2＞37，即37＜2＜5，故选：D．【点评】本题考查了实数大小的比较，解决本题的关键是把2转化为4，38．【变式4-6】比较大小：− 1.5．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：(−3)2=3，（﹣1.5）2＝2.25，∵3＞2.25，∴−3＜−1.5．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小，两个负数平方大的反而小．【例题5】已知：x＜21＜y（x，y是两个连续整数），则x，y的值为（）A．x＝2，y＝3B．x＝3，y＝4C．x＝4，y＝5D．x＝5，y＝6【分析】根据16＜21＜25，即可得出x、y的值．【解答】解：∵16＜21＜25，∴x＝4，y＝5；故选：C．【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，解题的关键是用有理数逼近算术平方根．【变式5-1】（2023秋•郁南县期中）估算57的值应在（）A．6～7之间B．7～8之间C．8～9之间D．不能确定【分析】利用无理数的估算即可求得答案．【解答】解：∵49＜57＜64，∴7＜57＜8，即57的值在7～8之间，故选：B．【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．【变式5-2】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9＝18，则大正方形的边长为：18，∵16＜18＜ 4.52，∴4＜18＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．【变式5-3】（2022春•江津区校级月考）若x、y为两个连续的整数，且x＜39＜y，则x+y＝．【分析】通过36＜39＜49求解．【解答】解：∵36＜39＜49，∴6＜39＜7，∴x＝6，y＝7，∴x+y＝13．故答案为：13．【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．【变式5-4】（2023秋•青龙县期中）估算2+14的值在（）A．4到5之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间【分析】先估算出14的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵9＜14＜16，∴3＜14＜4，∴5＜2+14＜6．故选：B．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．【变式5-5】（2023秋•秦都区期中）估计23−2的值在（）A．2到3之间B．1到2之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】先估算出23的大小，进而估算23−2的范围．【解答】解：∵16＜23＜25，∴4＜23＜5，∴2＜23−2＜3，∴23−2的值在2和3之间．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．【变式5-6】（2022•南关区校级开学）已知x，y为两个连续的整数，且x＜20＜y，则5x+y的值为．【分析】先求出20的范围，求出x、y的值，求出5x+y的值，根据平方根的定义求出即可．【解答】解：∵4＜20＜5，∴x＝4，y＝5，∴5x+y＝5×4+5＝25，∴5x+y的平方根是±5，故答案为：±5．【点评】本题考查了算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．【变式5-7】（2023秋•二七区校级月考）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将2减去其整数部分，差就是2的小数部分．请解答：（1）23的整数部分是，小数部分是；（2）如果7+1的小数部分为，9−17的整数部分为b，求+−7的平方根；（3）已知10+7=+，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数23的大小即可；（2）根据算术平方根的定义估算无理数7+1，9−17的大小即可确定a、b的值，再代入计算即可；（3）根据算术平方根的定义估算无理数10+7的大小确定整数部分x，小数部分是y，再求出x﹣y的相反数即可．【解答】解：（1）42＝16，52＝25，而16＜23＜25，∴4＜23＜5，∴23的整数部分是4，小数部分为23−4，故答案为：4，23−4；（2）∵22＝4，32＝9，而4＜7＜9，∴2＜7＜3，∴3＜7+1＜4，∴7+1的整数部分是3，小数部分为7+1﹣3=7−2，即a=7−2；∵4＜17＜5，∴﹣5＜−17＜−4，∴4＜9−17＜5，∴9−17的整数部分是4，即b＝4，∴a+b−7=7−2+4−7=2，∴+−7的平方根是±2；（3）∵2＜7＜3，∴12＜10+7＜13，∴10+7的整数部分是12，小数部分是10+7−12=7−2，又∵10+7=+，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝12，y=7−2，∴x﹣y的相反数是y﹣x=7−14．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、平方根的定义是正确解答的前提．【例题6】通过估算，比较下列各组数的大小：（1）6（2（3）5−121；（4）3+12112．【分析】（1）利用平方运算，比较大小即可解答；（2）根据算术平方根的意义，比较大小即可解答；（3）先估算出5的值的范围，再估算出5−1的值的范围，进行计算即可解答；（4）先估算出3的值的范围，再估算出3+1的值的范围，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵62＝36，（35）2＝35，∴36＞35，∴6＞35，故答案为：＞；（2）∵8＜10，∴8＜10，故答案为：＜；（3）∵4＜5＜9，∴2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，故答案为：＜；（4）∵1＜3＜4，∴1＜3＜2，∴2＜3+1＜3，∴132，故答案为：＜．【点评】本题考查了数的大小比较，熟练掌握估算算术平方根的值的大小是解题的关键．【变式6-1】（2023春•西城区校级期中）比较大小：（1；（2）5−11．【分析】（1）先把4写成算术平方根的形式，然后根据算术平方根的被开方数越大，那个数就越大进行解答；（2）先估算5的大小，然后进行判断即可．【解答】解：（1）∵4=16，17＞16，∴17＞4；（2）∵2＜5＜3，∴5−1＞1，故答案为：（1）＞；（2）＞．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是能够正确的估算无理数的大小．【变式6-2】（2022秋•新津县校级月考）比较大小：3−1212，23．【分析】（1）比较出两个数的差的正负，即可判断出它们的大小关系．（2）首先比较出两个数的平方的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出原来的两个数的大小关系即可．【解答】解：（1）∵3−12−12=32−1＜0，∴3−12＜12．（2）(32)2=18，(23)2=12，∵18＞12，∴32＞23．故答案为：＜、＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．【变式6-3】（2023春•前进区月考）比较2，5，37的大小，正确的是（）A．2＜5＜37B．2＜37＜5C．37＜2＜5D．37＜5＜2【分析】先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小．【解答】解：∵26＝64，(5)6=[(5)2]3=125，(37)6=[(37)3]2=49，而49＜64＜125，∴(37)6＜(5)6＜26，∴37＜2＜5．故选：C．【点评】此题考查的是实数的比较大小，根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数，然后比较大小是解决此题的关键．【变式6-4】比较下列各组数的大小：（1）120与11．（2）5+12与2．【分析】（1）根据11=121，即可进行比较；（2）先通分，可得2=42，再比较分子5+1与4的大小即可求解．【解答】解：（1）∵11=121，120＜121，∴120＜11．（2）∵2=42，5+1＜4，∴5+12＜2．【点评】此题主要考查了算术平方根的估算能力，两个正数的算术平方根的比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大．【变式6-5】比较下列各组数的大小（1）8与10；（2）65与8；（3）5−12与0.5；（4）5−12与1．【分析】（1）根据8＜10，即可解答；（2）根据8=64，即可进行比较；（3）求出2＜5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可；（4）求出2＜5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可．【解答】解：（1）∵8＜10，∴8＜10；（2）∵64=8，64＜65，∴65＞64，∴65＞8；（3）∵2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，∴5−12＞12．（4）∵2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，∴5−12＜1．【点评】本题考查了数的大小比较的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小．【例题7】（2022秋•大竹县校级期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|−2的结果是（）A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b【分析】首先由数轴可得a＜b＜0，然后利用算术平方根与绝对值的性质，即可求得答案．【解答】解：根据题意得：a＜b＜0，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|−2=|a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b．故选：C．【点评】此题考查了数轴、算术平方根与绝对值的性质．此题难度适中，注意2=|a|．【变式7-1】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|3−b|+|a+3|+2的值．【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：a＜−3，0＜b＜3，故|3−b|+|a+3|+2=3−b﹣（a+3）﹣a=3−b﹣a−3−a＝﹣2a﹣b．故答案为：﹣2a﹣b．【点评】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式7-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简(−p2−|a+c|+(−p2−|b|【分析】利用数轴首先得出各式的符号，进而化简得出答案．【解答】解：如图所示：a﹣b＜0，a+c＜0，c﹣b＜0，b＞0，则原式＝b﹣a+a+c+b﹣c﹣b＝b．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确判断出各式的符号是解题关键．【变式7-3】（2021春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：2+|a+b|+3(+p3−|b﹣c|．【分析】直接利用数轴得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化简求解．【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）＝b．【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式7-4】实数a，b，c表示在数轴上如图所示，完成下列问题，试化简：(−p2−|−U+3(−p3．【分析】根据题意可得：b＜0＜a＜c，从而可得a﹣c＜0，b﹣a＜0，然后利用二次根式的性质，绝对值，立方根的意义进行化简计算，即可解答．【解答】解：由题意得：b＜0＜a＜c，∴a﹣c＜0，b﹣a＜0，∴(−p2−|−U+3(−p3＝c﹣a﹣（a﹣b）+b﹣c＝c﹣a﹣a+b+b﹣c＝2b﹣2a．【点评】本题考查了整式的加减，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式7-5】（2022秋•保定月考）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B 表示3，设点A所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求（m+2）2+|m+1|的值．【分析】（1）根据实数与数轴上的点是一一对应关系进行计算即可得出答案；（2）把（1）中m的值代入进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，m=3−2；故答案为：3−2；（2）m+1=3−2+1=3−1，∵1＜3＜2，∴0＜3−1＜1，（m+2）2+|m+1|＝（3−2+2）2+|3−1|＝（3）2+3−1＝3+3−1＝2+3．故答案为：2+3．【点评】本题主要考查了实数与数轴及绝对值，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键．【变式7-6】（2022秋•青龙县月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A 表示−2，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求（m+1）（1﹣m）的值；（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且|c+3|与−5互为相反数，求c+3d的平方根．【分析】（1）根据点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，即可得到m的值；（2）根据（1）的结果求值即可；（3）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案．【解答】解：（1）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，∴m=−2+2，故答案为：−2+2；（2）（m+1）（1﹣m）＝1﹣m2＝1﹣（−2+2）2＝1+42−6＝42−5；（3）∵|c+3|与−5互为相反数，∴|c+3|+−5=0，∵|c+3|≥0，−5≥0，∴c+3＝0，d﹣5＝0，∴c＝﹣3，d＝5，∴c+3d＝（﹣3）+3×5＝﹣3+15。
2024八年级数学上册第二章实数全章热门考点整合应用习题课件新版北师大版
ABCD . 若点 A 表示的数为1，正方形 ABCD 的面积为
7，则 B ， E 两点之间的距离是(
1
A. ＋2
B. －2
C. ＋1
D. －1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
13
14
)
15
16
17
18
19
20
思想2
整体思想
＋a
18
19
20
【点拨】
A. 负数没有平方根，故原说法错误；
B. 100的平方根是±10，故原说法错误；
C. －16没有平方根，故原说法错误；
D. 0的算术平方根是0，故原说法正确.
【答案】 D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2. 若 x ＝ − ，则 x ( x －5)－ x2的值为(
是(
C
A.
＝
)
.
C. . ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B.
＝
D.
＝3
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
考点5
北师版八年级数学上册第二章 实数6 实数
按性质分
无理数常
(1)无限不循环小数；(2)π 及含有 π 的数，
见的三种
π
如 ；(3)开不尽的方根，如 2 ，
2
类型
5等
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 0既不是正实数，也不是负实数 .
2.不能看到带根号的数，就认为是无理数，也
不能看到有分数线的数，就认为是有理数 .
感悟新知
知1－讲
特别解读
1.在实数范围内，一个数不是有理数，那么它
右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大 .
知4－练
例 4 用“<”连接下列各数：－1， 3，－2 2，2.5，0.
2
解题秘方：比较一组实数的大小和比较一组有理数的
大小一样，可先将这些数在数轴上表示出
来，然后根据“数轴上右边的点表示的数
总比左边的点表示的数大”求解.
知4－练
解：将各数的大致位置在数轴上表示出来，如图2-6-2.
＜π.
4
实数
数轴
有理数
定义
无理数
实数
性质
运算
三“查”——检查过程和结果是否正确.
知3－练
例 3 计算：|1－ 2|＋| 3－ 2|＋ ( 3－2)2.
解题秘方：在进行实数的运算时，有理数的运算法则
及运算性质等同样适用.
解：原式＝ 2－1＋ 3－ 2＋2－ 3＝1.
去绝对值符号和开方时，一定要注意代数式符号 .
感悟新知
知3－练
3-1.计算： 5×
相反数；一个数的倒数与它本身的正负一致 .
知2－练
例2
[母题 教材P40习题T2 ]求下列各数的相反数、倒数和
绝对值.
八年级数学上册实数知识点
八年级数学上册实数知识点在八年级数学课程中，实数是重要的概念之一。
实数包括有理数和无理数，是数学中的基本概念之一。
本文将重点介绍实数的相关知识。
一、实数的定义实数是可以用数轴上的点来表示的数。
它包括有理数和无理数。
具体来说，有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能表示为两个整数的比值。
二、实数的表示1、数轴上的表示实数可以用数轴上的点来表示。
数轴上的零点表示0，正数表示在零点右侧的数，负数表示在零点左侧的数。
2、小数的表示小数是实数的一种常见表示形式。
它的整数部分表示数轴上的整数部分，小数部分表示数轴上的小数部分。
三、实数的基本性质实数具有以下基本性质：1、对于任意实数a，b，c，满足交换律、结合律和分配律。
2、实数有加法逆元和乘法逆元。
对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a+b=0；对于任意非零实数a，存在一个实数1/a，使得a×1/a=1。
3、实数的四则运算仍为实数。
特别的，除数为0时，除法没有意义。
四、实数的关系运算实数之间可以进行大小比较。
常用的关系运算有以下几种：1、大于：设a，b为实数，若a>b，则a在数轴上位于b的右侧。
2、小于：设a，b为实数，若a<b，则a在数轴上位于b的左侧。
3、大于等于：设a，b为实数，若a≥b，则a在数轴上位于b 的右侧或位于同一点上。
4、小于等于：设a，b为实数，若a≤b，则a在数轴上位于b 的左侧或位于同一点上。
五、实数的应用实数在生活中的应用广泛。
例如，将数轴上的点和实际情况对应，可以用来表示温度、海拔高度、经纬度等物理量。
六、实数的拓展除了有理数和无理数以外，还有复数等拓展概念。
复数包括实部和虚部，是实数和虚数的和。
虚数有单位虚数i，满足i²=-1。
七、总结实数是数学中的基本概念之一，包括有理数和无理数。
实数有数轴上的表示和小数的表示两种方式，还具有四则运算、大小比较等基本性质。
实数的应用非常广泛，还有复数等拓展概念。
八年级上册数学实数知识点
八年级上册数学实数知识点
一、实数的概念
实数包括有理数和无理数两部分，其中有理数可以表示为分数形式，而无理数则不能。
实数集是数学中最重要的基础，同时也是数学的一个研究方向。
二、实数的分类
实数的分类是按照其性质来划分的。
实数可以分为无限小数和有限小数两类。
无限小数指的是无限循环的小数，而有限小数则是有限位的小数。
另外，实数还可以根据其大小来分类，可以分为正数、负数、零。
三、实数的运算
实数的基本运算有加法、减法、乘法和除法四种，它们都符合四则运算法则，即加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、分配律等等。
实数的运算还包括绝对值和幂运算，其中绝对值是指一个实数离原点的距离，幂运算则是指一个数乘以自己的若干次方。
四、实数的比较
实数的大小可以用于比较，可以用大于号(>)、小于号(<)和等于号(=)来表示大小的关系。
实数的比较还包括绝对值比较和对数比较，其中绝对值比较是指比较两个实数的绝对值的大小，对数比较则是指比较两个实数的对数的大小。
五、实数的性质
实数具有很多重要的性质，如传递性、对称性、存在性等等。
这些性质在数学研究中都起到了非常重要的作用。
六、实数的应用
实数在生活中有着广泛的应用，如在金融领域、工程领域、物理学等多个领域中都有应用。
实数的应用可以变得非常复杂，需要学生掌握较高的数学知识才能进行有效的应用。
七、总结
八年级上册数学实数知识点包含了实数的概念、分类、运算、比较、性质和应用等方面的内容。
对于学生而言，掌握这些知识可以帮助他们更好地理解数学的基础，并有效地应用到生活中。
八年级上册数学实数知识总结
实数一、实数的概念及分类1.实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2.无理数: 无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时, 要抓住“无限不循环”这一时之, 归纳起来有四类:（1）开方开不尽的数, 如等；（2）有特定意义的数, 如圆周率π, 或化简后含有π的数, 如+8等；（3）有特定结构的数, 如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值, 如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值1.相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数, 零的相反数是零）, 从数轴上看, 互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称, 如果a与b互为相反数, 则有a+b=0, a=—b, 反之亦成立。
2.绝对值在数轴上, 一个数所对应的点与原点的距离, 叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身, 也可看成它的相反数, 若|a|=a, 则a≥0；若|a|=-a, 则a≤0。
3.倒数如果a与b互为倒数, 则有ab=1, 反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4.数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴解题时要真正掌握数形结合的思想, 理解实数与数轴的点是一一对应的, 并能灵活运用。
5.估算三、平方根、算数平方根和立方根1.算术平方根: 一般地, 如果一个正数x的平方等于a, 即x2=a, 那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地, 0的算术平方根是0。
表示方法: 记作“”, 读作根号a。
性质: 正数和零的算术平方根都只有一个, 零的算术平方根是零。
2.平方根: 一般地, 如果一个数x的平方等于a, 即x2=a, 那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法: 正数a的平方根记做“”, 读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根, 它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算, 叫做开平方。
八年级上册数学第二章实数知识点
八年级上册数学第二章实数知识点
数学八年级上册第二章实数知识点主要包括以下内容：
1. 实数的概念：实数是指有理数和无理数的统称，包括所有实数。
2. 有理数的概念：有理数包括整数和分数两类，可以用分数表示成两个整数的比，可以是正数、负数或零。
3. 无理数的概念：无理数是指无法表示为两个整数比的实数，如根号2、根号3等。
4. 实数的比较和排序：实数可以通过大小比较进行排序，可以使用相等、大于或小于等符号进行表示。
5. 实数的运算：实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法和乘法满足交换律、结合律和分配律，减法和除法也有相应的规律。
6. 绝对值的概念和性质：绝对值是一个非负实数，表示一个数到原点的距离，用符号表示为|a|。
7. 实数的相反数和倒数：实数a的相反数是-b，满足a + (-a) = 0；实数a的倒数是1/a，满足a × (1/a) = 1。
8. 有理数的数轴表示和无理数的近似表示：有理数可以用数轴表示，数轴上有0和正负方向，无理数可以通过近似表示，取一定精度的有理数作为其近似值。
9. 实数的绝对值不等式：对于任意实数a，有|a| ≥ 0，且对于任意实数a和b，有|ab| = |a| × |b|。
10. 实数的乘方：实数的乘方运算定义为一个实数自乘若干次，例如a^n表示a自乘n次。
以上是八年级上册数学第二章实数的主要知识点，希望对你有帮助！。
八年级数学上册第3章实数3.3实数实数的概念
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内容(nèiróng)总结
实数的概念。下列各数中个，哪些是有理数，哪些是无理数。B。[教材P108 做一做 图]。如果两个 只有符号不同，那么其中的一
个数叫作另一个数的相反数。0的相反数是0。3.判断(pànduàn)（正确的画“√”，错误的画“×”）。[选自教材P118 练习 第3题]。（ ）。
（ ）√ （ ）× （ ）×
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2.求下列(xiàliè)各数的相反数和绝对值： [选自教材(jiàocái)P118 练习 第2题]
3 .1 4， ﹣ 7 ， ﹣ π ， 2
π－3.15.
相反数： ﹣3 .1 4，
7，
π， 2
3.15－π.
绝对值： 3 . 1 4 ，
求相反数：添“﹣”号。
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绝对值
一个(yī ɡè)数到到原点的距离离((jjùùllíí))
2
2
a 的绝对值
﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 a 3 4
﹣2
2
0 =0
（a﹢，）a＞0
设a表示2一=个2实数，则 a =？（00，） a=0
﹣2 =2
25， 36
7 ， ﹣ 1 6，
﹣3 .1 4，1 .7 3 2， 0 ，
3 10
，
1
8， 2
···3
5 6
，﹣
1 6，
有理数
﹣ ，﹣ 3 ， 7 ，
··· 无理数
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3.实数与数轴上点的关系：
如何(rúhé)用数轴上的点表示无理数 8和﹣ 8 ?
八年级上册实数知识点
八年级上册实数知识点八年级上册数学中的实数知识点在数学中，实数通常指有理数和无理数的总称，实数包含了可以用小数、分数或整数来表示的所有数字。
在八年级上册数学学习中，实数就是一个重要的知识点，为学生们的数学生涯打下坚实的基础，下面，本文将详细介绍八年级上册实数的知识点。
一、实数的分类实数包括有理数和无理数两大类，其中有理数可以表示成两个整数的比，而无理数不能用有限个整数的比表示。
1.有理数有理数可以表示为分数形式或整数形式，分数形式的有理数又分为有限小数和循环小数。
例如，-5，0，1.5，6/3，-0.25都是有理数。
2.无理数无理数通常记作raiz(a)，表示不能化为两个整数的比的实数。
其中irracional 的a≠0，且a不是整数的完全平方数。
例如，根号2，根号3，圆周率都是无理数。
二、实数的运算实数的运算包括加、减、乘、除、乘方等运算，其中加、减、乘、除是四种基本运算。
1.加法运算实数加法的交换律和结合律都成立。
学生们需要牢记两个实数相加等于一数线上这两个点之间的距离。
a +b = b + a (交换律)(a + b) + c = a + (b + c) (结合律)2.减法运算实数减法也有交换律和结合律。
a -b ≠ b - a(a - b) - c = a - (b + c) 或者 (a - c) - b3.乘法运算实数乘法的交换律和结合律也成立。
a xb = b x a (交换律)(a x b) x c = a x (b x c) (结合律)4.除法运算实数除法与整数的除法不同，需要注意分母不能为零，当分子为零时，结果为零。
同时，实数的除法没有交换律。
a ÷b ≠ b ÷ a5.乘方运算实数的乘方是将一个实数按照自乘的次数进行运算，指数通常是自然数、整数或分数。
a的n次幂通常表示为a^n。
其中，a^0 = 1，a^1 = a。
三、实数的比较大小方法实数的大小之间有一个大小关系，在生活中也常见不同金额、不同长度或不同体积的比较。
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