大学物理磁感应强度,毕奥萨伐尔定理
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大学物理磁场与毕萨定理new解读
2
O
x
在螺线管上的 x 处截取一小段
d I Ind x
dB 0 R2nIdx
2 (R2 x2 )3 2
B dB x2 0 R2nIdx
x1 2 (R 2 x 2 )3 2
dx R csc2 d
B 2 0nI sin d
1 2
R
1 2
0nI(cos
2
cos
1)
无限长螺线管：
它所产生的圆电流的电流强度为：
I q ve
T 2 r
v
r
o
e
B
0I
2r
0 4
ev r2
解法二：用运动电荷的磁场公式
B
0 4
ev r2
b
B dB ab 0Idx 0 I ln a b
b 2ax 2a b
dI
I
dx x
a
例：在半径R 的“无限长”半圆柱形金属片中，有
电流I 从下而上地通过，如图，试求圆柱轴线上一
点P的磁感强度。
y
解：将金属片分划成许多细
长条 dI I Rd R
dB
0dI 2R
0 Id 2 2 R
x
3/ 2
讨论:
(1)载流圆环环心处的磁场
Bo0 I2RR NhomakorabeaB
I o xP
x
B R I o
(2)载流圆弧导线在圆心处产生的磁场
I
0 • O
B
dB
0 Il 4r 2
0 I 0 4r
r
方向：右手法则
例：一根无限长导线通有电流I，中部弯成圆弧形， 如图所示。求圆心o点的磁感应强度B。
解：直线段ab在o点产生 a
11.2 毕奥萨伐尔定律
11.2 毕奥萨伐尔定律总结目前磁的知识：电荷的移动，即电流产生磁场，描述磁场性质的物理量是磁感应强度B，电流元产生磁场中磁力安培力满足：d F=Idl×B，在电流元在磁场方向上的安培力为0，那么电流元与磁场，即磁感应强度之间是怎么关系？这节毕奥萨伐尔实验定律就将高速我们磁感应强度与电流元之间的关系。
大小：dB=μ04πIdlsinαr2真空磁导率μ0=4π×10−7N A2α为电流元Id l指向测点的矢量r和电流元之间的夹角方向:Id l×r—右螺旋法毕奥萨伐尔定律：dB=μ04πIdl×r0r2r0为了r方向的单位矢量B=d B运动电荷的磁场:电流是电荷的运动，即电荷的运动也能产生磁场。
电流I=nqvS，电流元Idl=nqvSdl=qvdN，其中dN为电流元中带电粒子的总数，因此毕奥萨伐尔定律可写为：dB=μ04π(dN)qdv×r0r2单个电荷在空间产生的磁场的磁感应强度为B=dB=μ0qdv×r02右螺旋法确定。
毕奥萨伐尔定律应用：求直线电流周围的磁场？B=μ0I4πa(cosθ1−cosθ2)无限长直线电流的磁场为：B=μ0I2πr 求载流圆线圈轴线上的磁场？B=μ0IR22(R2+x2)32圆环心处：B=μ0I2R 远离圆心处：B=μ0IR2x3=μ0IS2πx3S为平面载流线圈的面积，磁感应强度也常用磁矩p m，定义为p m=IS nn为线圈平面正法线方向上的单位矢量，则对应载流线圈轴线上磁场为B=μ0p m 2πx3圆心处的磁感应强度就可以表示为：B=μ0p m3一长螺线管轴线上的磁场？B 内=nμ0I匀强磁场，B外=0小结：毕奥萨伐尔定律及应用。
6.2 磁感应强度和毕奥-萨伐尔定律
电力的性质用电场强度E描述 磁力的性质 用磁感应强度 B 描述。
B 是矢量，不仅定义大小，还要定义方向。 定义B的方向：磁场中置于P点小磁针稳定后 N极的指向，定义为 P 点 B 的方向。
定义B的大小：在磁场中让运动检验电荷 q0 以速度 v 经过 P点，测量 q0 所受磁力随电量和 速度的变化
B 0I
4πr
无限长直电流：1 0, 2 π
B 0I
2πr
【例6.3】求载流导体圆环在轴线上的磁感应 强度。载流导体圆环的半径为R，电流为I。
B
0IR 2
2(R2 a2 )3
2
(c)
圆电流在圆心的磁场：B 0 I
2R
空间某点产生的磁感应强度B，等于载流导线 上各个电流元所产生的dB的矢量和
B
dB 0
L
4π
Idl r L r3
2. 磁通连续定理 定义通过磁场中任一曲面 S 的磁通量
m
B dS
S
电流元磁场的磁感应线是一系列圆，它们
通过任一闭合面的磁通量等于零。根据叠加原
理，载流导线的磁场通过任一闭合面的磁通量，
6.2 磁感应强度和毕奥萨伐尔定律 6.2.1 基本磁现象 6.2.2 磁感应强度 6.2.3 毕奥萨伐尔定律 6.2.4 用毕奥萨伐尔定律求磁场
6.2.1 基本磁现象
磁现象一般总是与磁力有关。两个磁铁的同 号磁极互相排斥，异号磁极互相吸引。此外
按照安培分子电流假设，磁性物质的磁性来 源于物质分子内的分子电流。
在真空中，电流元Idl在相对线
元的矢径为r的P点所产生的磁场
dB
0
4π
Idl r r3
dB dl，dB r，磁感应
B 是矢量，不仅定义大小，还要定义方向。 定义B的方向：磁场中置于P点小磁针稳定后 N极的指向，定义为 P 点 B 的方向。
定义B的大小：在磁场中让运动检验电荷 q0 以速度 v 经过 P点，测量 q0 所受磁力随电量和 速度的变化
B 0I
4πr
无限长直电流：1 0, 2 π
B 0I
2πr
【例6.3】求载流导体圆环在轴线上的磁感应 强度。载流导体圆环的半径为R，电流为I。
B
0IR 2
2(R2 a2 )3
2
(c)
圆电流在圆心的磁场：B 0 I
2R
空间某点产生的磁感应强度B，等于载流导线 上各个电流元所产生的dB的矢量和
B
dB 0
L
4π
Idl r L r3
2. 磁通连续定理 定义通过磁场中任一曲面 S 的磁通量
m
B dS
S
电流元磁场的磁感应线是一系列圆，它们
通过任一闭合面的磁通量等于零。根据叠加原
理，载流导线的磁场通过任一闭合面的磁通量，
6.2 磁感应强度和毕奥萨伐尔定律 6.2.1 基本磁现象 6.2.2 磁感应强度 6.2.3 毕奥萨伐尔定律 6.2.4 用毕奥萨伐尔定律求磁场
6.2.1 基本磁现象
磁现象一般总是与磁力有关。两个磁铁的同 号磁极互相排斥，异号磁极互相吸引。此外
按照安培分子电流假设，磁性物质的磁性来 源于物质分子内的分子电流。
在真空中，电流元Idl在相对线
元的矢径为r的P点所产生的磁场
dB
0
4π
Idl r r3
dB dl，dB r，磁感应
大学物理11.2 毕萨定理
推 广
(2) o (3)
I R
×
B0
0I
4R
I R
× o
B0
0I
8R
(4)
BA
0I
4πd
d
*A
B0
(5)
I
0I
4 R2
0I
4 R1
R1
R2
* o
0I
4 π R1
例 如图，求O 点的磁感应强度。 解
B1 0
2
3 2 3 0I 8R
B2
0I
4R
0I
2πa
I
B
I
X
B
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系
2 圆形载流导线轴线上的磁场. 解 由对称性知 B dB 0
B Bx
d B s in
r
2
Id l
R
s in R
dB
r
2
R x
2
r
o
x
*p
dB
0 Id l
4π r
2
x
dBx
dB
ndl 匝
2
d I In d l
R
P
l
圆电流在
B
P
点的磁场
2
dB
3
0 R dI
2
dB
2
0 R In d l
r R csc
2r
3
0 R In d l
2
2r
B
3
2r
0
nI
l R cot
大学物理——11-2毕奥-萨伐尔定律
1
2
μ0 I B （cos θ1 cos θ2 ） 4π a
2
μ0 I BP 4πa
I
o
a
* P
◆（3）载流直导线延长线上任一点的磁感强度
分析：根据载流直导线的磁感强度公式
μ0 I B (cos θ1 cos θ2 ) 4πa
在沿电流方向的延长线上任一点处，
P
2
2
1、5 点 ： dB 0
0 Idl 3、7点 ：dB 4R 2
3
7
Id l
6
2、4、6、8 点 ：
R
5
4
0 Idl dB sin 45 0 4R 2
0 μ0 Idl r B dB L L 4π r2
任意形状恒定电流的磁场：
利用毕-萨定律计算磁感应强度的基本方法： (1) 将电流分解为无数个电流元 ，任取一 Idl ； (2) 写出dB 大小，图示dB方向； (3) 分析各个dB方向；将 dB 在坐标系中分解；
z
方向：电流与磁感强度 成右手螺旋定则。 A1
2
B
讨论
◆（1） 无限长载流直导 线的磁场
I
o
x
A2
r
1
P y
1 0 2
μ0 I B 2π a
无限长载流直导线的磁场方向：
μ0 I B 2π a
B I B I
X
I
B
磁感应线的绕向与电流满足右手螺旋定则。
◆（2） 半无限长载流直导线的磁场
◆ 在载流圆线圈轴线以外的空间，其磁感强度的分 布大致如下图所示： I
思考：
R B x 0 0 I o B0
6.2磁感应强度和毕奥-萨伐尔定律
解
dB =
µ0 Idy sin θ
4π r′2
Idy sin θ B = ∫ dB = 4π ∫ r ′ 2 3 dy µ 0 Idy sin θ = ∫ r2 4π
µ0
电流元
=
=
∫θ 4πr
µ0 I
4πr
µ0 I
θ2
1
sin θdθ
(cosθ1 − cosθ2 )
B=Βιβλιοθήκη µ0 I4πr(cosθ1 − cosθ2 )
r r r µ 0 Id l × r dB = 3 4π r
dB⊥dl，dB⊥r， 感 应 ⊥ ， ⊥， 磁 线是一系列以dl 线是一系列以 的延长线 为中心轴的同心圆。 为中心轴的同心圆。
dB 的大小： 的大小：
dB =
µ0 Idl sin θ
4π r
2
µ 0＝4π×10−7 T·m·A−1 π
2. 磁通连续定理 定义： 定义：通过磁场中任一曲面 S 的磁通量 r r Φm = ∫ B ⋅ dS
S
电流元磁场的磁感应线是一系列圆， 电流元磁场的磁感应线是一系列圆 ， 它们 通过任一闭合面的磁通量等于零。 通过任一闭合面的磁通量等于零。 根据磁场叠加原 载流导线的磁场通过任一闭合面的磁通量， 理 ， 载流导线的磁场通过任一闭合面的磁通量 ， 等于各个电流元磁场通过该闭合面磁通量的代 数和， 因此在稳恒磁场中， 数和， 因此在稳恒磁场中，通过任一闭合面 的磁通量都等于零： 的磁通量都等于零：
为形象地描绘磁场， 为形象地描绘磁场，类比引入电场线的方法 引入磁感应线（ 线 引入磁感应线（B线）。 在画法上， 在画法上 ， 磁感应线的 规定与电场线一样。 在实验上， 可用铁粉（ 规定与电场线一样 。 在实验上 ， 可用铁粉 （ 小 磁针） 线的分布。 磁针）在磁场中的排列显示 B 线的分布。
大学物理比奥萨法尔定律
r dB
=
μ0 4π
r Idl
×
rr
r3
p
I θ rr
r
Idl
Biot-Savart Law
Current element
μ0 = 4π ×10−7T⋅m/A
r B
=
∫
r dB
真空中的磁导率
上海交通大学 董占海
2
2. 毕奥— 萨伐尔定律的应用
z
1) 直电流的磁场 (I, θ1,θ2 and a given)
1. 安培环路定理
∫ Bv L
⋅
v dl
=
μo
∑
I
I4 I3 I2 I1
在真空中，磁感应强度B矢量沿任何闭合曲线L一 周的线积分，等于闭合曲线所包围并穿过的电流 的代数和的μo倍，而与曲线的形状大小无关。
上海交通大学 董占海
18
说明：
不包括闭合曲线以外的电流。 B是闭合曲线内外所有电流产生的磁感应强度。
′
= μoI rdϕ − μoI r′dϕ = 0
2π r
2π r′
∫ So
v B
⋅
v dl
=
0
L
同理
∫ ∑(
v B
)
⋅
v dl
=
0
L
out
I
B′
dϕ
B
r′ dl´
r θdl
上海交通大学 董占海
23
c. 多根载流导线穿过环路
v B
=
v B1
+
v B2
+
L
+
r Bn
( ) ∫ ∫ v B
⋅
2.2 磁感应强度 毕奥一萨伐尔定律
实验结果：示零——不动，单位磁极受到的作用力矩相等。
结果分析： F1 H0 B1, F2 H0 B2 F1 B1 , F2 B2 单位磁极, H0=1，所以
1 2
F1r10 Br 1 10 1 F2 r20 B2 r20 B r 1 得到： 1 20 ， 即 ： B B2 r10 r0
两电流元——安培定律：
ˆ I I d l (d l r ) dF12 k 1 2 2 2 1 12 r 12 ˆ ˆ I d l (I d l r ) I dl r 0 2 2 21 1 12 I 2 d l2 0 1 1 12 ） （ 4 r 12 4 r 212 I 2 d l2 dB 0 I1d l1 r12 ˆ dB 4 r 212
电磁学电子教案
使用教材：
赵凯华、陈熙谋: 新概念物理学—电磁学
主讲：周贵德
沧州师范学院物电系
2012年2月修订
1
§2 磁感应强度 毕奥－萨伐尔定律
2.1 磁感应强度适量B
库仑定律： F 1 q1q2 ˆ r 2 4π 0 r
磁的库仑定律：
F
1 qm1qm 2 ˆ r 4πμ0 r 2
B
0
2
(cos 1 cos 2 )
B 0
B
0
2
16
几种载流导线的磁感应线
长直导线(电流元)
17
小结：
原则上，B-S定理加上叠加原理可以求任何载流导线在空 间某点的B 实际上，只在电流分布具有一定对称性，能够判断其磁场 方向，并可简化为标量积分时，才易于求解； 为完成积分，需要利用几何关系，统一积分变量； 一些重要的结果应牢记备用； 如果对称性有所削弱，求解将困难得多 如圆线圈非轴线上一点的磁场，就需要借助特殊函数 才能求解 又如在螺距不可忽略时，螺线管的电流既有环向分量 又有轴向分量，若除去密绕条件，就更为复杂。
磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律
10
令
u R x 3Rx cos
2 2
[4 x R (u R x ) ] dB . du u
2 2 2 2 2 3/ 2
B dB dB
0
R x 2
R x 2
2 B R 3
0 e
11
R
xR
P O x
r
θ y
ω
x
r
Idl
r
1
毕－萨定律的应用 例１．求载流直导线的磁场
o Idl sin B 2 L 4r
l r cos ro r sin
dl
I
l ro ctg
2
l
rB
dl ro d / sin
o I ro d sin o I B 2 L 4 sin 2 ro / sin 2 4ro
2 2 3 2
sin 3 R
2
1
p
R
2
o
3 2
x
dl
B
o
2
L2
L1
[R
R In dl
2
(x l) ]
2
I
B
o nI
2
2
1
sin d
B
o nI
2
(cos 1 cos 2 )
7
讨论
１．曲线
B
0.439
2.1 0, 2
4
Bz
o R 2 I
2( R r )
2 2 o 3 2
z
p
o I
§2-2 磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律
15
例题4
一对相同的圆形线圈，彼 此平行而共轴。设两线圈内 的电流都是I,且回绕方向一 致，线圈的半径为R，二者的 间距为a．(1)求轴线上的磁 场分布；(2)a多大时距两线 圈等远的中点O处附近的磁 场最均匀？
16
轴线上磁场分布
17
解：根据圆形电流产生的磁场 0 2R 2 I B 其中 r0 x a 2 2 2 32 4 R r0
cos 1 其中 cos 2
L 2 x 2 2 R x L 2 L 2 x 2 2 R x L 2
22
讨论
（1）无限长圆筒 L 1 0 ，2 ，因而 B 0
B的大小与场点的坐标x无关。这表明在密绕的 无限长螺线管轴线上的磁场是均匀的。这结论不 仅适用于轴线上，在整个长螺线管内部的空间里 磁场都是均匀的，其磁感应强度的大小为0 ，方 向与轴线平行。
§2-2 磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律
2.1 磁感应强度矢量B
从磁荷间的相互作用定义——磁场强度H
从电流间的相互作用定义——磁感应强度矢量B
在MKSA单位制下真空中B与H之间的关系
B 0 H
1
1、采用比较法
（1）电场强度的出发点——库仑定律
q1 q 2 F12 k 2 r12 r
5
3、磁感应强度矢量 B 的单位
B
dF
2
max
B
I 2 dl 2
N A m ——特斯拉，用T表示 1T N A m 另一单位——高斯，用Gs表示
的单位
1T 104 Gs 或 1Gs 104 T
说明：“高斯”这个单位属于高斯单位制
6
4.1毕奥-萨伐尔定律(1) 大学物理
导体内要维持一个电场。
主讲：张国才
4.1 毕奥-萨伐尔定律
基础物理学
4
单位时间通过导体某一横截面的电量。 电流强度I：
q I t
q dq I lim t 0 t dt
单位：安培（A）。 方向：正电荷运动的方向 恒定电流：电流的大小和方向不随时间变化。
主讲：张国才
4.1 毕奥-萨伐尔定律
对各分量式积分，
Bx = By Bz
ò dB = ò dB = ò dB
x
y
z
B Bx i B y j Bz k
主讲：张国才
4.1 毕奥-萨伐尔定律
基础物理学
11
例1 载流长直导线的磁场 设有长为L 的载流直导 线，其中电流为I。计算距离直导线为a处的P点的磁 l 感应强度。 I 解：任取电流元 Idl 据毕奥-萨伐尔定律，此电 v Idl 流元在P点磁感应强度dB为 L er I dl e
o
2.边长为a的正方形,导体线框上通有电流I ， 此框中心的磁感应强度大小为多少？
o
主讲：张国才
4.1 毕奥-萨伐尔定律 练习
基础物理学
23
一根无限长直导线被弯成如图所示的形状， 试计算O点的磁感应强度。 I
O
1
作业P241-243 6-2/6-3/6-4/6-7/6-9
R
2 3 R 4
主讲：张国才
1 , 2 0 B 0 nI
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
B 0 nI / 2
实 际 上 ， L>>R 时，螺 线管内 部的 磁场近 似均匀 ，大 小为 0 nI
主讲：张国才
大学物理(上册) 7.3 毕奥-萨伐尔定律
3
(5)
B
0 IR 2
（ 2 x 2 R 2）2
3
i
(6)
讨论: 1.若线圈有 N 匝：
（ 2 x R ）2 I 和 B 成右螺旋关系； 2. x 0 B 的方向不变；
2 2
B
N 0 IR2
3
3. x 0 4. x R
B
0 I
2R
2 3
B
0 IR
0 Idl sin ； 方向：右手法则； 大小： dB 4π r2
2.有限载流导线在空间产生的磁场
任意形状电流在空间产生的磁场：等于各电流元在 空间产生磁场的矢量和，磁感应强度用积分表示：
B dB
L
0 I dl r
4π r
3
(2)
a.上式即为任意形状的电流产生磁场的分布规律；
1 8 7 6 5
0 Idl
4π R 2
+
R
2
Idl
+4
+3
2、 4、 6 、 8 点 ： 0 Idl 0 dB sin 45 4π R 2
1. 载流直导线的磁场
z
B
2
设真空中有长L的载流直导线如 dz 图所示，电流为I，场点 P 到 r z 导线的垂距为 r0 ，且 P 与导线 I r0 两端点的连线与电流的夹角分 o 别为1、2 ，试应用毕-萨定律 x 1 A 计算 P 点的磁感应强度。
7.3 毕奥——萨伐尔定律 7.3.1 毕—萨定律 1.电流元在真空产生的磁场 对应的磁感应强度： 0 Idl r dB (1) 4π r3
7 2 4 π 10 N A 真空磁导率 ：0
(5)
B
0 IR 2
（ 2 x 2 R 2）2
3
i
(6)
讨论: 1.若线圈有 N 匝：
（ 2 x R ）2 I 和 B 成右螺旋关系； 2. x 0 B 的方向不变；
2 2
B
N 0 IR2
3
3. x 0 4. x R
B
0 I
2R
2 3
B
0 IR
0 Idl sin ； 方向：右手法则； 大小： dB 4π r2
2.有限载流导线在空间产生的磁场
任意形状电流在空间产生的磁场：等于各电流元在 空间产生磁场的矢量和，磁感应强度用积分表示：
B dB
L
0 I dl r
4π r
3
(2)
a.上式即为任意形状的电流产生磁场的分布规律；
1 8 7 6 5
0 Idl
4π R 2
+
R
2
Idl
+4
+3
2、 4、 6 、 8 点 ： 0 Idl 0 dB sin 45 4π R 2
1. 载流直导线的磁场
z
B
2
设真空中有长L的载流直导线如 dz 图所示，电流为I，场点 P 到 r z 导线的垂距为 r0 ，且 P 与导线 I r0 两端点的连线与电流的夹角分 o 别为1、2 ，试应用毕-萨定律 x 1 A 计算 P 点的磁感应强度。
7.3 毕奥——萨伐尔定律 7.3.1 毕—萨定律 1.电流元在真空产生的磁场 对应的磁感应强度： 0 Idl r dB (1) 4π r3
7 2 4 π 10 N A 真空磁导率 ：0
大学物理毕奥-萨伐尔定律
1
2
2
I
2 B
B 0I
4πr
3）延长线上的磁场
B=0
I
A
B
1
A
→r
r
＊p
B
+P
2、圆形载流导线（圆电流）轴线上的磁场（R, I）
Id l
o
IR
r dB d B
x
*
p dBx
x
dB'
解： （1）如图建立坐标系
（2）在导线上取电流元 Idl
dB
0
4π
Idl sin 900 r2
0 4
Idl r2
20
2
0, B 向外
0, B 向内
例7（例11-2） 一半径为R的无限长的半圆形金属薄片,沿轴 通有I 的电流,设电流在金属片上均匀分布,试求圆柱轴线上 任意一点P的磁感应强度.
解：将电流分割成许多无限长载流直导
线，电流为dI
I
利用无限长载流直导线的磁感应强度公式
B 0I
2πr
dB 0dI 2R
电流元中的运动电荷数
dN nSdl
电流元
Idl vSnqdl qv dN
将
Idl qv dN
代入上式得
从微观上看，电流元的dB就是dN个运动电荷共同产生的磁场
运动电荷的磁场
B
dB
0
qv r0
dN 4π r2
r0为电荷q到场点的矢径方向的单位矢量， 方向垂直于V，r确定的平面
是低速(v c)情形下匀速运动点电荷产生的磁场。
电流元 在空间P点产生的 磁感应强度 为
dB
k
Idl r2
r
0
大学物理Ⅱ10-4 毕奥萨伐尔定律
o
x
*p
x
B 0I
4π
sin dl
l r2
dB 0
4π
Idl r2
dBx
0
4π
I
sin dl
r2
B
0IR
4π r3
2π R
dl
0
B
0IR2
（2 x2 R2）32
IR
B
ox* x
B
0 IR2
（ 2 x2 R2）32
讨 论
1）若线圈有 N 匝
B
N （ 2 x2
0 IR2
R2）32
2）x 0 B 的方向不变( I 和 B成右螺旋关系）
3R
2
3/2
4
4
0 NI
2R
43 173 /
243 53Fra bibliotek0.712 0 NI
R
在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介 乎B0、BP 之间。由此可见，在P点附近轴线上的 场强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。 图中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的 场强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加 曲线。
为dr的圆环作圆电流，电流强度：
dI
2
q
R2
2r d r
qr d r R2
d B 0 d I
2r
B
0q 2R 2
R
dr
0
0q 2R
++++++o++++++++
例题5 亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹 线圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由一对 相同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的距离 等于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴线上 中点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时在两 线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。
磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律
µ0
r
2
B=
µ0 I
4 π r0
∫θ
θ2
1
sin θ d θ
v B 的方向沿 x 轴的负方向. 轴的负方向
无限长载流长直导线的磁场 无限长载流长直导线的磁场. 载流长直导线的磁场
z
D
θ2
v B
B=
（cosθ1 − cosθ 2） 4π r0
B=
µ0 I
I
o
x
C
θ1 → 0 θ2 →π
µ0I
2 π r0
r µ0 B= 4π
∫
L1
r ˆ ( I 1 d l1 × r12 )
2 r12
r r r dF2 = I 2 dl 2 × B
——磁感应强度矢量
讨论： 讨论：
r r r 为矢量式， （1） dF2 = I 2 dl2 × B 为矢量式，其标量式为 ）
dF2 = I 2 dl2 B sin θ
θ
u r u r 是 I 2 dl2与 B 的夹角
d N = nS d l v v v v d B µ0 qv × r B= = d N 4π r 3
−q
v r
θ
v v
v B
例4 半径 为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度 为 σ , 并以角速度 ω 绕通过盘心垂直于盘面的轴转 圆盘中心的磁感强度. 中心的磁感强度 动 ，求圆盘中心的磁感强度
σ R o
B
1 µ 0 nI 2
O
四 运动电荷的磁场
v v v µ0 Idl × r 毕— 萨定律 dB = 3 4π r v
v j
S
v v Id l = j S d l = nS d lq v v v v µ 0 nSdlqv × r dB = 3 4π r
12.1磁场 磁感强度§12.2毕奥-萨伐尔定律
第十二章恒定磁场§12.1 磁场磁感强度《大学物理》校级精品课程教学团队稳恒磁场: 磁感应强度不随时间变化的磁场.人类最早发现磁现象是从天然磁石（F吸引铁制物体的现象开始的.我国是发现天然磁铁最早的国家.公元前250年前韩非子“有度”篇中有“司南”的记基本磁现象1、磁铁的磁性2、电流的磁效应1820年,丹麦物理学家奥斯特发现电流的磁效应.同年，安培发现载流线框、螺线管或载流导线的行为像一块磁铁。
3.电流、磁铁的本源一致：安培分子环流假说:物体中的每一个分子都存在回路电流，称为分子电流，如果这些分子电流做定向排列，在宏观上会显现磁性。
地磁场Ø地球是一个大磁铁，目前它的N极位于地理南极一磁场运动电荷磁场vF=v+2.带电粒子在磁场中他方向运动时v v于与特定直线所组vv qFB max=-1-1-1-1 1T1N C m s1N A m =×××=××+B第十二章恒定磁场§12.2 毕奥-萨伐尔定律《大学物理》校级精品课程教学团队一、毕奥-萨伐尔定律：电流元的磁场(类比点电荷的静电场)r1.电流元矢量Idl0B d =m r 毕奥---萨伐尔定律的矢量式：二、毕奥---萨伐尔定律的应用1. 直电流的磁场(P已知：真空中I012(cos cos )4IB am q q p =-u 无限长载流直导线的磁场讨论aI B p m 20=半无限长载流直导线有限端的磁场aI B p m 40=04πI B am =’o=P B 0'=P B u 无限长载流直导线的磁场aI B p m 20=o2. 圆电流的磁场ê建立坐标系oxy ê任取电流元lId r2322202)x R (IR B +=m 方向：右手螺旋法则大小：B(1)圆心处:RI B 20m ==x RI R I B p q m p q m 42200=×=讨论nm IS e =u u r uu r nm NIS e =u u r uu r 讨论ne uu r载流圆弧,圆心处的设在半径为R的载流圆弧上通以电流为例1:一无限长载流直导线被弯成如图所示的形状，试计算O解：点O 的磁感强度是图中的4根载流导线在该点产生的磁感强度的矢量和，即12B B B =+v v v例2：求图中圆心O点的I3. 载流直螺线管内轴线上的磁场长直螺线管长为x变量代换：Q=x R bcot0(cos nI B m b =讨论nIB 0m =nIB 021m =练习:四条皆垂直于纸面的载流细长直导线，每条中的电流强度皆为I ，这四条导线被纸面截得的断面，如图所示。
第八讲 磁感应强度 毕奥萨伐尔定律
y o
r
a
I
建立坐标系
θ
Idl
z
分析对称性、写出分量式 由对称性： B y Bz 0
19
B0
B dBx dB cos
21
国防科大
B dBx dB cos
0 I cosdl 4 r 2 I a I 0 2 cos dl 0 2 2a 4r r 4 r
0 Idl ( I ' dl 'r ) dF 4 r3 r x x ' , 4 10 N A I ' dl '( Idl r ') dF ' 0 4 r '3 r ' r
7 0
提出寻找电流、电流之间的相互作用的定量规律问题。
dB p
I ' dl 'r B dB 4 r
0 3
r
Biot-savert定律
dl '
I ' dl '
r
实验表明磁场满足叠加原理：
dl '
I'
dB p
点电荷的场强+场强叠加原理
1 dq E dE r 4 r
cos
a r
r ( x 2 a 2 )1 2
dB
例3. 在Bohr氢原子模型中，电子在圆轨道上绕核转动，试 证明电子的轨道磁矩 与轨道角动量 L 之间有关系：
x P
x
θ
dB
e L 2m
L
e为电子电荷，m为电子质量。 解：
Ia 2 0 Ia 2 0 3 2( x 2 a 2 )3 2 2r
r
a
I
建立坐标系
θ
Idl
z
分析对称性、写出分量式 由对称性： B y Bz 0
19
B0
B dBx dB cos
21
国防科大
B dBx dB cos
0 I cosdl 4 r 2 I a I 0 2 cos dl 0 2 2a 4r r 4 r
0 Idl ( I ' dl 'r ) dF 4 r3 r x x ' , 4 10 N A I ' dl '( Idl r ') dF ' 0 4 r '3 r ' r
7 0
提出寻找电流、电流之间的相互作用的定量规律问题。
dB p
I ' dl 'r B dB 4 r
0 3
r
Biot-savert定律
dl '
I ' dl '
r
实验表明磁场满足叠加原理：
dl '
I'
dB p
点电荷的场强+场强叠加原理
1 dq E dE r 4 r
cos
a r
r ( x 2 a 2 )1 2
dB
例3. 在Bohr氢原子模型中，电子在圆轨道上绕核转动，试 证明电子的轨道磁矩 与轨道角动量 L 之间有关系：
x P
x
θ
dB
e L 2m
L
e为电子电荷，m为电子质量。 解：
Ia 2 0 Ia 2 0 3 2( x 2 a 2 )3 2 2r
磁感应强度毕奥-萨伐定律
Idl
L
0 B 4
Idl r 0 r2
毕奥-萨伐尔 定律应用
有限长载流 I 直导线
2
Idl
l
o
I
a
r0
r
P
0 Idl r 0 dB 4 r2 0 Idl r 0 B 2 4 r L
1
有限长 载流 I 直导线
B
2
0 4
Idl sin 2 r L
0 In
(cos 1 cos 2 )
1. 无限长 1 0 2 B 0 In 0i 所有磁力线全部被拘束在内部 2. 半无限长 1 0 2 B
B
0 nI
0 nI
2
2
O
0 In
2
0i
2
X
无限大载流平面 的B 讨论
Z
B 0i
I
2r
3
a
r
X
R sin
2
x l cot R
x
a
dl
b
Rd 1 R 3 sin 2 2( ) sin 2 In 0 In 0 B sin d (cos 1 cos 2 ) 1 2 2 B
0 InR 2
载流螺线管的讨论
2 讨论： B
12 C 8 . 85 10 两个常数： 0
N m
2
7 N 4 10 ， 0 A2
Thanks
cos x r
Y
dB
0
dy
r
X
0 idy B By cos a 2 r a i dy x B 0 a 2 r r
7.1 磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律
7.1 磁感应强度、毕奥-萨伐尔定律
一、基本磁现象和本质
1、地球磁场
磁极
磁极
中性区2、磁铁
1820年丹麦奥斯特（1）电流对磁针有作用力
I
（2）磁铁对电流有作用力
（3）电流与电流之间也有相互作用
3、电流的磁效应
总结：磁铁和电流在本质上是否一致？
运动电荷产生磁场
二、毕奥－萨伐尔定律
电流产生磁场，而人体能承受的磁场是有限制的，现实生活中的一些电流产生的磁场：
1.高压线
2.家里的电暖
毕奥－萨定律
三、毕奥－萨伐尔定律的运用
B
d r θ P a y 2
θ1
θo l 例 求直线电流外一点的磁场 02d d 4r I l e B r
μπ⨯=取电流元 磁感强度
θπμsin d 4d 20r l I B =大小 方向 ⎰=B B d ⎰=θπμsin d 420r
l I 同向叠加 d I l
θ
sin a r =θactg l -=θ
θ2sin d d a l =⎰=214d sin 0θθπθθμa I B ()210cos cos 4θθπμ-=a I B d r θ P a l I d y 2θ1
θo l ⎰=θπμsin d 4B 20r
l I
()210cos cos 4θθπμ-=a
I B 讨论：1）无限长直电流 a << L 2）半无限长直电流 01=θa
I B πμ20=π
θ=221πθ=π
θ=2a I B πμ40= 3) 延长线上一点 I
P 0ˆd =⨯r l I 0=B r θ P a l I d y 2
θ1θo B
毕奥－萨伐尔定律求解电流磁场的解题思路。
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二.电流的磁矩 Pm I S n
典型电流磁场公式： 1. 无限长直电流：
0I B 2 a
2. 圆电流轴线上磁场： 2 0 IR i 0 Pm B 2 2 32 2 2 32 2( R x ) 2 ( R x )
圆电流圆心处磁场：
B0
0I
dB
0
Idl
R
2 R
r
P
dB
B B //
x
d B cos
2 R
0 2
0 Id l R
4 r
2 2
3 2
2
r
I
o
Idl
' dB
0 IR
4 r
3
dl
0
0 IR
2( R x )
方向 :
x
（右螺旋法则）
B
0 IR 2
比较：典型静电场与稳恒磁场
无限长均匀带电直线的电场：
E 2 0 r
无限长直电流的磁场：
( 带电直线）
0I B 2 r
比较：典型静电场与稳恒磁场
均匀带电圆环轴线上电场： E 1
2
qxi
2
3 2
4 0 ( R x )
带电圆环圆心处电场：
圆电流轴线上磁场：
E 0
Id
2
d
x
P
dB
0d I
2 R
0 Id
2 R
y
方向如图
dI
dI
由对称性：
R dB
' dB
d
x
By
dB
y
0
P
y
B Bx
d B sin
0 I sin d
2 R
2
0I 2R
0
沿 x 方向
[例二] 圆电流轴线上的磁场（ I , R ）
3
4
( R R )
4 2 4 1
2 2 ( R 2 R12 )( R 2 R12 )
4
( R 2 R1 )
2 2
解一错误，解二正确！
自学 P 278 [例4] 载流直螺线管轴线上磁场.
n
l
电流磁场 分布
I
[例一]
直线电流的磁场
B 分布
B
2
已知： I , a , 1 , 2
求： 解：
o
1
a
P
建立如图坐标
A
l
B
在直电流（AB）上取电流元 I d l
I
2
dB
dB
0 I d l sin
4 r
2
; 方向
o
a
Id l
1
r
P
各电流元在 P
B
0 IR 2 i 2( R x )
2 2
3 2
0 Pm 2 ( R x )
2 2
3 2
圆电流圆心处磁场：
B0
0I
2R
r
R2
R1
解一： d q 2 r d r
dI
dq
2
r d r
R2
I
o
R2
dI
R1
R1
r d r
1 2
2 ( R 2 R12 )
Pm IS 2 q 2 2 Pm ( R 2 R1 ) 2
1
(R R ) (R R )
r
o
B
dr
d q r d r
dB
dq
2
R
0d I
2r
方向：
dB
0
4
d r 4 0 R
0
R
1
写成矢量式： B 0
1 4
0 R
[例四]带电圆环（ R1 .R 2 . . ）顺时针旋转（ ）求
Pm
0 sin 3 d
B
dB
0
2
R
sin
0
d
2 3
0 R
写成矢量式：
2 B 0 R 3
练习： P 309
10-7
求： B 0 ?
已知： R . . .
思考： d q ?
dI ? dB ?
dI
同学们好！
世界多奇妙！
德国一名生态学会保管 员将世界最小和最大的 鸟蛋石膏模型放在一起 比较。
?
§ 10.2
磁感应强度
毕 — 沙定律及其应用（续）
上讲
• 磁感应强度 • 磁场叠加原理
1 B 2 u E c
B
Bi
; B
dB
• 相对于观察者以 u 匀速直线运动的点电荷的磁场
2R
比较：典型静电场与稳恒磁场 点电荷电场：
E qr 4 0 r
3
• 相对于观察者以 u 匀速直线运动的点电荷的磁场：
0qu r B 3 4 r
• 电流元 I d l 的磁场（毕 — 沙定律）： 0 Id l r dB 3 4 r
2( R x )
2 2
3 2
轴线上 i
讨论：
1. 定义电流的磁矩
Pm I S n
Pm n
S
S : 电流所包围的面积
规定正法线方向： n 与 I 指向成右旋关系
2 圆电流磁矩 Pm I R n
圆电流轴线上磁场： 2 0 IR i 0 Pm B 2 2 2 2 2( R x ) 2 ( R x )
2 2 2 1
2 2 2 1
2
( R 2 R1 )
2 2
2
对否？
r
R2
R1
解二： d q 2 r d r
dI
2
dq
2
r d r
3
o
d Pm r d I r d r
R2
Pm
Pm
dP
q 4
m
R1
r d r
( R 2
x) ]
2
3 2
B1
B2
B 0 0 . 72
0 NI
R
0 NI
R
x
o1
实验室用近似 均匀磁场
o
o2
B 01 B 02 0 . 68
[例三]
求球心处 B 0
均匀带电球面(R , ), 绕直径以 匀速旋转 解：
x
旋转带电球面
等效
许多环形电流
r
R
取半径 r 的环带
o
dI
d q d S 2 rR d
等效圆电流：
dI
dq
2
R sin d
2
x
dB
0r dI
2
2( r x )
2 2 2
3 2
r
R
dB
0 R sin d R sin
2 2
o
dI
2R R
3
2 方向如图
0I B 2 a
2. 直导线及其延长线上点 0 或 , dB 0
B
内密外疏
I
B0
练习：P 310
10-9
半径 R，无限长半圆柱金属面通电流 I ，求轴线上 B
R
解：通电半圆柱面 — 电流管（无限长直电流）集合.
P
I
dB
R
dI
dI
I
R
Rd
n
I
L
o
R
L
无限长（ R l ）载流直螺线管内的磁场：B 0 nI
(下讲用安培环路定理求解)
小结：
一.用毕 — 沙定律求 B 分布
（1）将电流视为电流元集合（或典型电流集合）
dB
（2）由毕 — 沙定律（或典型电流磁场公式）得
（3）由叠加原理 B
d B（分量积分）
3 2
I
3 2
2. 圆心处磁场
x 0,
B0
0 I
2R
; N匝 : B0
N0 I 2R
3. 画
B
B x 曲线
B
i
0 IR 2
2( R x )
2 2
3 2
o
x
练习
I
R
Bo ?
I
R
o
B0
o
0I
8R
B0
3 0 I 8R
0I
4 R
练习：
P 309
10-4
亥姆霍兹圈：两个完全相同的 N 匝共轴密绕短线圈， 其中心间距与线圈半径 R 相等，通同向平行等大电流 I 求轴线上 o1 , o 2 之间任一点 P 的磁场.
N匝
R
R
R
N匝
BP 2[( R
2
0 NIR