AWGN信道的最佳检测

4.2波形与矢量AWGN 信道
波形AWGN 信道由输入与输出的关系式描述： ()()()m r t s t n t =+ （1） 式中，()m s t 是M 个可能信号｛()1s t ，…… ，()M s t ｝之一，所选的每一个信号基于先验概率,m P ，()n t 是零均值高斯白噪声，其功率谱密度为0N /2。

假设利用施密特正交化方法，导出标准正交基｛()j
t φ，1j N ≤≤｝来表示信号，
利用标准正交基得到信号的矢量表达形式为｛m s ，1m M ≤≤｝。

噪声过程不能以基{()1}N
j j t φ=全部展开，我们将噪声过程()n t 分解为两个分量。

一个分量（记
为()1n t ）是噪声中以{()1}N
j j t φ=展开的部分，即噪声在这些基函数构建的空间中
的投影；其余部分（记为()2n t ）是噪声中不能以基函数表示的部分。

以此定义，得到
()1n t =()1
N
j j j n t φ=∑，j n =()(),j n t t φ〈〉 （2）
和 ()2n t =()n t —()1n t （3） 注意 ()m s t =
()1
N
mj
j j s
t φ=∑，mj s =()(),m j s t t φ〈〉 （4）
利用（2）和(3)，式（1）可表示为
()r t =()()()21
N
mj j j j s n t n t φ=++∑ （5）
由定义 j m j
j r s n =+ （6） 式中
(),j mj j r s t φ=〈〉+()(),j n t t φ〈〉=()()(),m j s t n t t φ〈+〉=()(),j r t t φ〈〉 （7） 得到()r t =()()21N
j j j r t n t φ=+∑， ()(),j j r r t t φ=〈〉 （8）
由上述讨论可见，对最佳检测器的设计，AWGN 波形信道 ()()()m r t s t n t =+，1m M ≤≤ （9） 等效于N 维矢量信道
m r s n
=+，1m M ≤≤ （10）
4.2.1 矢量AWGN 信道的最佳检测
加性AWGN 矢量信道是对波形AWGN 信道的等效矢量信道，它由（10）描述，式中噪声矢量的各分量是均值为零、方差为0N /2的高斯随机变量。

该信道的MAP 检测器为
（11）
式中应用了简化公式的下列步骤： （a ）: 01/N 是正常数，可以舍去。

（b ）：
是增函数。

（c ）：0N /2是正的，且与正数相乘并不影响arcm ax 的结果。

（d ）：
可以舍去，因为它与m 和
无关。

（e ）：已定义 （12） 为偏差项。

由式（11）可见，AWGN 矢量信道的最佳（MAP ）判决规则为
（13）
在信号等概率的特殊情况下，即1/m P M =（所有m ），该关系式可以简化。

在这种情况下，式（11）步骤（c ）可写为
（14）
式中，的最大化等价于其负值的最小化，也就等价于
其平方根
最小化。

式（14）的几何解释特别方便。

接收机接收r 并以标准欧式距离在所有m s 中寻找与r 最近者，这样的检测器被称为最近邻或最小距离检测器。

这也说明在这种情况下，由于信号等概率，MAP(最大后验概率）和ML （最大似然）检测器是一致的，两者都等价于最小距离检测。

在这种情况下，判决m D 和m D '的边界是与
m s 和m s '等距离的点的集合，就是这两个信号点连线的垂直平分线。

一般来讲该
边界是一个超平面。

在N=2的情况下该边界是一条直线，当N=3时为平面。

这些超平面完全确定了判决域。

图4-2-1所示的例子为一个具有4个信号点的二维（N=2）星座，实线表示判决
域的边界，它是连接各信号点虚线的垂直平分线。

图4-2-1 等概率信号传输的判决域
当信号等概率且等能量时，偏差项
独立于m ，可以
从式（13）中舍去。

在这种情况下，最佳判决规则简化为
（15）
一般判决域m D 为
（16）
注意，判决域至多用M-1个不等式描述，在某些情况下，其中一些不等式被其他不等式所支配因而是多余的。

同时也注意每一个边界的一般形式为
（17）
该式为超平面方程。

因此，各判决域的边界一般为超平面。

由式（2-2-47）得知，()()m m r s r t s t dt ∞
-∞∙=⎰ （18）
和 （19）
因此，AWGN 信道的最佳MAP 检测规则可表示为以下形式
（20）
以及ML 检测器的形式为
（21）
在这点上引入三种度量是很方便的，后面讲经常用到。

定义距离度量为
（22）
它表示r 和m s 之间欧式距离的平方。

变型距离度量定义为
（23）
当2r ||||与m 无关而被舍去时，它等于距离度量。

相关度量定义为变型距离度量的负值，即
（24）
尤其要注意，使用术语度量只是为了方便。

一般，这些量都不是数学意义上的度量。

根据这些定义，最佳检测规则（MAP 规则）一般可表示为
（25）
且ML 检测规则表示为
（26）
1. 二进制双极性信号传输的最佳检测
在二进制双极性信号传输方式中，()1s t =()s t 和()2
s t = —()s t 。

消息1和
2的概率分别为p 和1-p 。

显然，这是N=1的情况，两个信号的实力表示只是标
量1s =
s ε和2s = —s ε，其中s ε是每个信号的能量且等于b ε。

按照式（16），
判决域1D 为
（27）
式中，门限th r 定义为 （28）
星座和判决域如图4-2-2所示。

图4-2-2 双极性信号传输的判决域
注意，当
时
，全部直线变为2D ；当
时，全部直线变为1D ，这在预料之中。

同时可见，当p=1/2时（即消息等概率）
th r =0，判决规则简化为最小距离规则。

为了推导该系统的差错概率，利用
（4-1-15）得到
（29）
式中最后一步利用了式（2-3-12）。

在p=1/2的特殊情况下th r =0，差错概率简化
为
（30）
同时可见，由于该系统是二进制的，每一个消息的差错概率等于比特差错概率，
即b e P P 。

2. 等概率二进制信号传输方式的差错概率
在这种情况下，发送机将两个等概率的信号
和
在AWGN 信道上传输。

因为信号等概率，这两个判决域由1s 与2s 连线的垂直平分线来划分。

由于对称性，发送1s 或2s 的差错概率相等，因此。

图4-2-3
示出了判决域和1s 与2s 连线的垂直平分线。

图4-2-3 二进制等概率信号的判决域
当假定发送1s ，如果r 位于2D 内则发生差错，这意味着r-1s 在2s -1s 上的投
影（即A 点）与1s 之间的距离大于12d ，其中。

注意，因
为发送1s ，1n r s =-，1r s -在21s s -上的投影变为等于2
112()/n s s d -，
所以差错概率为 （31）
或
（32）
注意，
是零均值高斯随机变量，其方差为2
12
0/2d N ；因此利用
式（2-3-12）得到 （33）
式（33）是很一般化的，它适用于所有二进制等概率信号传输系统而不管信号的形状如何。

因为
是降函数，要使差错概率最小，必须使信号之间的距离最大。

距离12d 为
（34）
在二进制信号等概率且等能量（即12ε=ε）的特殊情况下，式（34）展开得到
（35）
式中，ρ是()1s t 与()2s t 之间的互相关系数。

由于-1≤ρ≤1，由式（35） 可见，当ρ=-1（即双极性信号）时二进制信号分离最远，这种情况下系统的差错概率最小。

3. 二进制正交信号传输的最佳检测
对二进制正交信号有
（36）
注意，因为系统是二进制的，
ε=ε。

这里选择
b
信号集的矢量表示为（37）
在信号等概率情况下，星座图和最佳判决域如图（4-2-4）所示。

图4-2-4 等概率二进制信号传输的信号星座图和判决域
显然，这种信号传输方式的且
（38）
将此结果与式（30）确定的二进制双极性信号传输的差错概率比较，可以看出，在提供同样的差错概率条件下，二进制正交信号传输的比特能量是二进制双极性信号传输系统的两倍。

因此，二进制正交信号传输的功率效率是二进制双极性信号传输的一半，或等效差3dB.
在许多信号传输系统的差错概率表达式中出现的比值（39）
称为通信系统的每比特信号噪声比，或比特信噪比，或简称为信噪比（SNR）。

图4-2-5所示为二进制双极性和二进制正交信号传输的差错概率曲线，它是比特信噪比的函数。

该图表明正交信号的曲线是双极性信号曲线平移3dB的结果。

图4-2-5 二进制双极性与二进制正交信号传输的错误概率。