D12数列的极限65482

x 不n一0 定 取n1 最1 小1 n 的, 故N 也. 可取
N[
1
]
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二、收敛数列的性质
ba ba
2
2
1. 收敛数列的极限唯一.
a ab
2
b
证: 用反证法. 假设 nl im xn a及 nl im xn b, 且 ab.
取 b2a, 因 nl im xna, 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
1,2,3,..., n ,... 2 3 4 n+1
2,1,4,3,...,n+(-1)n-1,...;
234
n
1,0,1,0,1,0,1,0,1,...; 3579
2,4,8,...,2n,...;
1,-1,1,L,(-1)n+ 1,L
定义: ,
设有数列 xn 及常数 a，如果
0,正整 N , 当 n > N 时, 总有 xna
ab 2
推论1.2
设 ln i mxn a, 且a<b （或a>b),则存在正整数N,
当n>N时，有 xn b (或xn b)
推论1.3
设 ln i mxn a, 且a<0 （或a>0),则存在正整数N,
当n>N时，有 xn 0 (或xn 0)
1·4 数列极限的四则运算
xnab 2a,
从而
xn
ab 2
同理, 因 nl im xn b, 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 xnbb 2a, 从而 xn a2b
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , 因N a b b 2 2 2 此a a , 收则x 敛当数n列3a>a22的bNb极时x限nx,nx必n3满唯ba22a足一b 的. 不等式
则有
xn M(n1,2,).
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1)n1 虽有界但不收敛 .
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定理1.3（保号性）
ba ba
设 n li m xn= a,n li m yn= b ,且 a< b
2
2
a ab
（或a>b)则存在正整数N,当n>N时，有 2
的极限为 0 .
证: xn 0 qn10 q n1
(0,1),欲使 xn0, 只要 qn1, 即
(n 1 )ln qln ,亦即 n 1 ln .
ln q
因此 , 取
N1llnnq
, 则当 n > N
时,
就有
qn10
故
limqn1 0
n
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例4.
已知
xn
(1)n (n 1)2
sin n n2 1
0
<
1 n2 +
1
1 n
0 , 欲使 xn0,只要
取
N [ 1 ],
则当nN时， 就有
1 , n
1 即 n
xn
0
1,
n
故 nl im xnnl im (n(11)n)20
xn0n1 11 n, 故也可取
N[
1
]
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例3. 设 q 1, 证明等比数列 1,q,q2,,qn1,
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例4. 证明数列 xn( 1)n 1(n1,2,)是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N , 使当 n > N
时, 有
a12xna12
a
1 2
a
a
1 2
但因 x n 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间(a12,a12)内, 因此该数列发散 .
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2. 收敛数列一定有界.
证: 设 limxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有
n
xn a 1, 从而有
x n (xna)a xna a1 a
取
M mx a 1,x x 2, ,x N,1 a
数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则
第一章
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
An 逼近圆面积 S .
n
r
当 n 无限增大时, An 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
则称该数列 xn 的极限为 a , 记作
nl im xn a 或 xn a(n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a x n a
(nN)
几何解释 :
即 xn (a,)
(
)
a x N 1 a x N 2 a
(nN)
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例如,
1,2,3,, n , 2 3 4 n1
b
xn<yn(或 xn>yn)
证:
.取
ba 2
,
因
ln i mxn
a,故存在
N1
,
使当
n
>
N1 时,
xna b2a,
从而
xn
ab 2
同理,
因
lim
n
yn
=
b,
故wk.baidu.com在
N2
,
使当
n
>
N2
时,
有
y -b < , n
b-a 2
从而
yn
>
a+b 2
y > x 取 - N b2 -b na 2a < m yx an n+2N -b1 b a , < N a 因 b 2 b 2 2 a -a 此 ,x 则xn当<nya3>+2an2bNb<时yx,n有n3ba22abn
xn
n n 1
1(n )
2,1,4,3,,n(1)n1,
收
234
n
敛
xn
n(1)n1 n
1(n )
2,4,8,,2n,
xn 2n (n ) 发
1, 1,1,,( 1 )n 1,
散
xn(1)n1 趋势不定
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例1.
已知
xn
n(1)n n
,
证明数列
xn
的极限为1.
,
证明 nl im xn0.
证:
xn0
(1)n (n 1)2
0
(n
1 1)2
1 n 1
(0,1),欲使
xn0, 只要
1
n 1
,
即
1 n
1.
取
N [11],
则当nN时就，有
xn0,
故 nl im xnnl im (n(11)n)20 也可由 xn0(n11)2
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N11
证:
xn1
n (1)n 1 n
1 n
0,欲使
xn1, 即
1 n
,
只要
n
1
因此 ,
取
N
[1 ],
则
当nN时，就有
n(1)n 1
n
故
nl i m xnnl i m n(n1)n1
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例2. 已知
sin n xn ( n2 1)
, 证明 nl im xn0.
证:
xn0