D12数列的极限65482
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
高等数学1.2精讲----数列的极限2024.12.12
取 1 ,则 N , 当 n N 时,
xn a 1, 从而
xn a a 1 a
取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a
则 xn M ( n 1 , 2 , ) . ∴收敛的数列必有界.
注: (1)有界的数列不一定收敛. 例如数列 (1 )n1
(2)无界的数列一定发散 .
)
xN2 a
高等数学
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注意 ➢ 的任意性 （1） 的作用在于衡量 xn 与 a 的接近程度，只要求 0
（2） 一经给出，暂看作是固定的，由其决定 N （3） 也可用 2 ,3 , 2 代替，<号也可换成 号，
➢N 的相应性
（1）N 与 相关的， 越小，N 越大，但 N 不是 的函数
的一个动点，依次取数轴上的点 (2) 数列 可看作是自变量取正整数的函数
(3) 数列的有界性：对于数列
如果存在正数
M，对于一切
都满足不等式
则称
数列
是有界的. 如果这样的M不存在，则称
数列
是无界的.
高等数学
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3.数列的变化趋势——极限
观察数列
n
1 n1
n
当
n
时的变化趋势
后顺序，这样得到的一个数列称为原数列xn 的子数列，
简称子列.
设在数列xn 中，第一次抽取 xn1 ，第二次在 xn1 后
抽取 xn2，第三次在 xn2 后抽取 xn3 ，….这样无休止的抽取
下去，得到一个数列 xn1 , xn2 , xn3 , , xnk , 即子数列 xnk
注意：在子数列 xnk 中，一般项是 xnk ，是第k项，而
2024高考数学数列的极限与收敛性
2024高考数学数列的极限与收敛性数列是数学中常见的概念，它是由一系列有序的数按照一定规律排列而成。
在数学中，数列的极限与收敛性是一个非常重要的内容，其在高考数学中也是一个常考的考点。
本文将介绍2024高考数学中与数列的极限与收敛性相关的知识点。
一、数列的收敛性在数学中，对于一个数列来说，如果它的数值随着项数的增加而逐渐接近某个确定的数，我们就称这个数列是收敛的。
那么数列的收敛性如何判断呢？1.1 通项公式要判断数列的收敛性，首先需要找到数列的通项公式。
通项公式可以表示数列中任意一项和项数之间的关系，能够帮助我们更好地研究数列的性质。
1.2 数列的极限数列的极限是指数列随着项数趋于无穷大时所趋近的值。
如果一个数列存在极限，我们就称这个数列是收敛的。
1.3 收敛数列的性质对于一个收敛数列来说，其有以下几个性质：- 收敛数列的极限是唯一的。
即使在数列中的某些项有相等的值，它们的极限也是相等的。
- 如果一个数列收敛，那么它一定是有界的。
也就是说，收敛数列的所有项都在某个范围内。
- 对于一个收敛数列，它的任意子数列也是收敛的，并且子数列的极限与原数列的极限相同。
二、数列的极限数列的极限是判断收敛性的重要依据。
如何确定一个数列的极限呢？2.1 数列极限的定义对于数列${a_n}$来说，如果存在一个常数$a$，对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，成立$|a_n-a|<\varepsilon$，那么我们称数$a$是数列${a_n}$的极限。
2.2 数列极限的性质数列极限有以下几个重要的性质：- 如果一个数列存在极限，那么极限必定是有界的。
- 如果一个数列存在极限，那么极限必定是该数列的子数列的极限。
- 如果一个数列存在极限，并且极限为有限数，那么这个数列一定是收敛的。
三、数列极限的计算方法在高考数学中，计算数列的极限是一个常见的考点。
我们可以根据数列的性质和计算方法来求解数列的极限。
高数D12数列的极限
(1
1n)
(1
n2)
n1!(1
1n)
(1
2 n
)
(1
nn1)
xn1
11
1 2!
(1
n11)
31! (1
n11)(1
n21)
大
大
(n11)!(1 n11)(1 n21)(1 nn1)
正
比较可知 xn xn1 ( n 1, 2, )
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n
>N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
1
的开区间 (
a
1 2
,
a
1 2
)
内,
因此该数列发散
.
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2. 收敛数列一定有界.
数学语言描述: 0, 正整数 N, 当 n > N 时, 总有
An S
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定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n
数列的极限与通项公式
数列的极限与通项公式数列是数学中的一个重要概念，它在许多数学领域中扮演着重要的角色。
数列的极限和通项公式是数列理论中的两个基本概念，它们揭示了数列的特征及其随着项数增长的趋势。
本文将探讨数列的极限和通项公式，并通过具体的例子进行说明。
一、数列的极限数列的极限是指随着项数无限增加，数列趋于的一个确定值或者无穷大的情况。
数列的极限可以帮助我们分析数列的特征，推导数列的通项公式以及解决实际问题。
对于一个普通的数列，可以通过计算数列的前几项来猜测数列的极限。
当数列的极限存在时，我们可以通过构造极限的定义，利用数学推导的方法来证明数列的极限。
以等差数列为例，假设数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
首先求取前几项的数值，如a1=1，d=2，则前几项分别为：a2=3，a3=5，a4=7。
通过前几项的数值可以猜测数列的极限为正无穷大。
接下来，我们可以根据数列的定义，给出一个正无穷的数M，对于任意大于M的自然数N，都可以找到一个项数大于N的项ak，使得ak大于M。
通过数学推导，我们可以证明等差数列确实趋于正无穷大，即数列的极限为正无穷大。
数列的极限可以帮助我们预测数列的未来趋势，从而应用于实际问题的解决。
在金融领域中，通过分析某一股票价格的数列的极限，可以预测该股票未来的发展趋势，从而进行投资决策。
二、数列的通项公式数列的通项公式是将数列中的每一项用该项的序号来表示的一种公式。
通过通项公式，我们可以直接知道数列中任意一项的数值，而不需要计算前面所有项的值。
对于一些简单的数列，可以通过观察数列的规律来找到通项公式。
例如等差数列，其中相邻两项之间的差值为常数d，通项公式为an=a1+(n-1)d。
在等差数列中，可以通过观察数列的规律来推导出通项公式，并验证公式的正确性。
对于一些复杂的数列，如斐波那契数列，我们可以通过递归关系式来得到通项公式。
斐波那契数列的递归关系式为Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1。
求数列的极限值
求数列的极限值数列的极限值是数学中的重要概念，它描述了一个数列在趋于无穷或无穷远时所接近的数值。
本文将介绍数列的极限值的概念、性质以及计算方法。
一、什么是数列的极限值？数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
例如，1，2，3，4，...，可以看作是一个按照正整数递增的数列。
在数学中，我们对数列的性质进行研究，其中之一就是数列的极限值。
数列的极限值描述了当数列的项无限增加或无限减小时，它们逐渐接近的值。
如果数列的极限存在，我们可以用一个数来表示它。
例如，当n趋向于无穷大时，数列1/n的极限值是0。
当n趋向于无穷大时，数列1/2^n的极限值是0。
而数列n的极限值不存在，因为它的项随着n的增加而无限增大。
二、数列极限值的性质1. 唯一性：如果数列的极限值存在，那么它是唯一的。
即对于同一个数列，只能有一个极限值。
2. 有界性：如果数列有极限值，那么它一定是有界的。
也就是说，存在一个实数M，对于数列中的所有项，都有|an| ≤ M成立。
3. 单调性：如果数列是单调递增或单调递减的，并且有上界或下界，那么它的极限值存在。
三、数列极限值的计算方法数列极限值的计算方法有多种，以下介绍两种常用方法。
1. 数列极限的直接计算法：对于一些特定形式的数列，可以直接计算出它的极限。
例如，对于数列an = a + (n - 1)d，其中a为首项，d为公差，极限值为a。
2. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限计算中常用的方法。
如果一个数列bn的极限值为L，而数列an和cn满足an ≤ bn ≤ cn，且an和cn的极限值都是L，那么数列bn的极限值也是L。
夹逼定理可以帮助我们计算一些复杂的数列极限。
四、数列极限的应用数列极限的概念在数学中有广泛的应用。
例如，在微积分中，导数的定义就与数列极限相关。
通过对函数f(x)在某一点x0处左右极限的计算，可以进一步定义f(x)的导数。
另外，数列极限还在物理学中有应用。
例如，在动力学中，我们可以通过计算一些列时间的极限值，来描述物体的速度、加速度等。
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一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则
第一章
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
An 逼近圆面积 S .
n
r
当 n 无限增大时, An 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
b
xn<yn(或 xn>yn)
证:
.取
ba 2
,
因
ln i mxn
a,故存在
N1
,
使当
n
>
N1 时,
xna b2a,
从而
xn
ab 2
同理,
因
lim
n
yn
=
b,
故存在
N2
,
使当
n
>
N2
时,
有
y -b < , n
b-a 2
从而
yn
>
a+b 2
y > x 取 - N b2 -b na 2a < m yx an n+2N -b1 b a , < N a 因 b 2 b 2 2 a -a 此 ,x 则xn当<nya3>+2an2bNb<时yx,n有n3ba22abn
则有
xn M(n1,2,).
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1)n1 虽有界但不收敛 .
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定理1.3（保号性）
ba ba
设 n li m xn= a,n li m yn= b ,且 a< b
2
2
a ab
（或a>b)则存在正整数N,当n>N时，有 2
xn
n n 1
1(n )
2,1,4,3,,n(1)n1,
收
234
n
敛
xn
n(1)n1 n
1(n )
2,4,8,,2n,
xn 2n (n ) 发
1, 1,1,,( 1 )n 1,
散
xn(1)n1 趋势不定
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例1.
已知
xn
n(1)n n
,
证明数列
xn
的极限为1.
,
证明 nl im xn0.
证:
xn0
(1)n (n 1)2
0
(n
1 1)2
1 n 1
(0,1),欲使
xn0, 只要
1
n 1
,
即
1 n
1.
取
N [11],
则当nN时就，有
xn0,
故 nl im xnnl im (n(11)n)20 也可由 xn0(n11)2
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N11
证:
xn1
n (1)n 1 n
1 n
0,欲使
xn1, 即
1 n,只要 Nhomakorabean
1
因此 ,
取
N
[1 ],
则
当nN时，就有
n(1)n 1
n
故
nl i m xnnl i m n(n1)n1
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例2. 已知
sin n xn ( n2 1)
, 证明 nl im xn0.
证:
xn0
长度为 1 的开区间(a12,a12)内, 因此该数列发散 .
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2. 收敛数列一定有界.
证: 设 limxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有
n
xn a 1, 从而有
x n (xna)a xna a1 a
取
M mx a 1,x x 2, ,x N,1 a
xnab 2a,
从而
xn
ab 2
同理, 因 nl im xn b, 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 xnbb 2a, 从而 xn a2b
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , 因N a b b 2 2 2 此a a , 收则x 敛当数n列3a>a22的bNb极时x限nx,nx必n3满唯ba22a足一b 的. 不等式
的极限为 0 .
证: xn 0 qn10 q n1
(0,1),欲使 xn0, 只要 qn1, 即
(n 1 )ln qln ,亦即 n 1 ln .
ln q
因此 , 取
N1llnnq
, 则当 n > N
时,
就有
qn10
故
limqn1 0
n
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例4.
已知
xn
(1)n (n 1)2
则称该数列 xn 的极限为 a , 记作
nl im xn a 或 xn a(n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a x n a
(nN)
几何解释 :
即 xn (a,)
(
)
a x N 1 a x N 2 a
(nN)
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例如,
1,2,3,, n , 2 3 4 n1
sin n n2 1
0
<
1 n2 +
1
1 n
0 , 欲使 xn0,只要
取
N [ 1 ],
则当nN时， 就有
1 , n
1 即 n
xn
0
1,
n
故 nl im xnnl im (n(11)n)20
xn0n1 11 n, 故也可取
N[
1
]
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例3. 设 q 1, 证明等比数列 1,q,q2,,qn1,
x 不n一0 定 取n1 最1 小1 n 的, 故N 也. 可取
N[
1
]
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二、收敛数列的性质
ba ba
2
2
1. 收敛数列的极限唯一.
a ab
2
b
证: 用反证法. 假设 nl im xn a及 nl im xn b, 且 ab.
取 b2a, 因 nl im xna, 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
1,2,3,..., n ,... 2 3 4 n+1
2,1,4,3,...,n+(-1)n-1,...;
234
n
1,0,1,0,1,0,1,0,1,...; 3579
2,4,8,...,2n,...;
1,-1,1,L,(-1)n+ 1,L
定义: ,
设有数列 xn 及常数 a，如果
0,正整 N , 当 n > N 时, 总有 xna
ab 2
推论1.2
设 ln i mxn a, 且a<b （或a>b),则存在正整数N,
当n>N时，有 xn b (或xn b)
推论1.3
设 ln i mxn a, 且a<0 （或a>0),则存在正整数N,
当n>N时，有 xn 0 (或xn 0)
1·4 数列极限的四则运算
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例4. 证明数列 xn( 1)n 1(n1,2,)是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N , 使当 n > N
时, 有
a12xna12
a
1 2
a
a
1 2
但因 x n 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在