极坐标计算二重积分合集.ppt
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二重积分计算法ppt详解.
8 R(R2 x2)dx16 R3 .
0
3
【例6】求由曲面 z x2 2 y2及 z 6 2x2 y2
所围成的立体的体积。
二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极
坐标变量 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑
利用极坐标来计算二重积分.
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1( y) x 1( y), cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
a
g ( x)dx][
d
h( y)dy]
a
c
b
c
D
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
如果D是X型区域 j1(x)yj2(x), axb, 则
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
提示
根截此据面时平是二行以重截区积面间分面[jD积1f(x(为x0,),y已)dj知2(x在的0)几立]为何体底上体、表积以示的以曲求曲线法面z. fz(xf(0x,
极坐标系中二重积分的计算
双减政策下人教版五年级下册数学期末测试卷一.选择题(共6题, 共12分)1.2, 3, 7, 11这四个数都是（）。
A.合数B.质数C.奇数D.偶数2.被3除没有余数的是（）。
A.529B.726C.9023.观察一个长方体或正方体的物体, 最多能看到它的（）面。
A.2个B.3个C.4个4.时钟的分针从3: 15走到3: 30, 旋转了（ )度。
A.15B.30C.60D.905.正方体是（）。
A.我六个面中有两个面是正方形 .B.我有六个面全是长方形.C.我有六个一样大小的正方形.6.若b=2a（a为大于0的整数）, 那么b一定是（）。
A.质数B.合数C.奇数D.偶数二.判断题(共6题, 共11分)1.1是任何数的因数。
（）2.质数都不是2的倍数。
（）3.最小的奇数是1, 最小的偶数是2。
（）4.式子1+3+5+……+99的结果是奇数。
（）5.一个棱长4米的正方体粪池, 占地面积是64平方米。
（）6.用滴管滴100滴水大约是1毫升。
（）三.填空题(共6题, 共19分)1.一个30°的角, 将它的一条边旋转（）°可得到一个直角。
2.看图填空。
图1绕_______点_______时针旋转_______度得到现在的图形。
图2绕_______点_______时针旋转_______度得到现在的图形。
3.一个无盖的长方体玻璃缸, 从里面量长和宽都是10分米, 高是6分米。
在缸内放水, 水面离缸口2.8分米, 缸内有水（）升, 接触水的玻璃面积是（）平方分米。
4.6085dm=（）ｍ； 785ｍl=（）cm3=（）dm5.填一填。
（1）图形①绕点O逆时针旋转90°, 到图形（）所在的位置。
（2）图形②绕点O逆时针旋转90°, 到图形（）所在的位置。
（3）图形②绕点O逆时针旋转（）到图形④所在的位置。
6.填一填。
3.5m2=（）dm2 6.5L=（）mL34000mL=（）cm3 =（）dm3四.作图题(共2题, 共12分)1.画一画。
2019年-9-2 二重积分的计算法-PPT精选文档
解 e y 2 d 无 法 用 y 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2 y3dy e 1 y2 y2dy2 1(1 2).
0
3
0
6
6e
8
例10. 关于分块函数在D上的积分. 求| yx|d
a
a2 y2
故本题无法用直角 坐标计算.
14
二、利用极坐标计算二重积分 y
1
1 x
要分部积分，不易计算
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idy yexydx dy yexydx
11 2y
11
易见尽管须分片积分，但
由于被积函数的特点，积 分相对而言也较方便。
D
7
例 9 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
D1
D2
9
11
1x
0dx x (yx)d y0d0 x (xy)dy y
1(1y2x)y1d x 1(xy 1y2)xdx 1
02
x
0
20
y=x
D1
D
D2
1(1x1x2)d x11x2dx 1
02 2
02
3
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
y2x y 2xx2
问 ： 从 积 分 域 的 形 状 看 ， 此 域 上 的 积 分 应 选 什 么 样 的 积 分 顺 序 ？
6
例8 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2 y3dy e 1 y2 y2dy2 1(1 2).
0
3
0
6
6e
8
例10. 关于分块函数在D上的积分. 求| yx|d
a
a2 y2
故本题无法用直角 坐标计算.
14
二、利用极坐标计算二重积分 y
1
1 x
要分部积分，不易计算
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idy yexydx dy yexydx
11 2y
11
易见尽管须分片积分，但
由于被积函数的特点，积 分相对而言也较方便。
D
7
例 9 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
D1
D2
9
11
1x
0dx x (yx)d y0d0 x (xy)dy y
1(1y2x)y1d x 1(xy 1y2)xdx 1
02
x
0
20
y=x
D1
D
D2
1(1x1x2)d x11x2dx 1
02 2
02
3
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
y2x y 2xx2
问 ： 从 积 分 域 的 形 状 看 ， 此 域 上 的 积 分 应 选 什 么 样 的 积 分 顺 序 ？
6
例8 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y
722二重积分计算(极坐标〕
解 由 对 称 性 ， 可 只 考 虑 第 一 象 限 部 分 ， D1
注意：被积函数关于 x 和 y 均为偶函数
sin( x2 y2)dxdy4 sin( x2y2)dxdy
D
x2 y2
D1
x2 y2
40 2d12sirnrrdr2
2sinrdr
d rd rd
极坐标下的面积元素
dxdyrdrd
f (x, y)dxdy
D
f(rcos,rsin)rdrd
D 上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics
October 25, 2019
二重积分化为二次积分的公式
D :
r1()
1
4
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October 25, 2019
例 求立体的体积 立体由曲面
z x2 y2 x2 y2 2x
z0
所围成
with(plots):
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y
rR
Dr
O
R
D:02
0rR
x
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College of Mathematics
October 25, 2019
0 2da bf(rcos,rsin)rdr
D:a2x2y2b2
y
D:02
D
O
ab
arb
x
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(x, y) (r, )
y
October 25, 2019
《二重积分的计算》PPT课件
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
0
x
0 1 xe x2 dx 1 (1 e1 )
0
2
注：当积分区域D是一矩形且: a x b , c y d
f ( x, y) g( x) h( y) 时，则二重积分
b
d
f ( x, y)dxdy (a g( x)dx) (c h( y)dy)
rk
rk
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(2)“常代变”
（ k , k）
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
k rk cosk , k rk sink
k
rk
rk
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
(3)“近似和”
n
f ( x, y)dx
0
1 y
1
1 y2
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例6. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
y 4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
1
高等数学-二重积分的计算PPT课件
二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、无界区域上的反常二重积分
1
一、利用直角坐标计算二重积分
在直角坐标系下用平行于坐 y 标轴的直线网来划分区域D，
则
o
故二重积分可写为
D
x
2
（1）如果积分区域为： ［X－型］
y 2( x)
D
y 1( x)
a
b
y 2( x)
I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
28
例 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
二、计算广义二重积分
D
(
x
2
d
y2)p
,其中 D
{( x,
y) |
x2
y2
形式的二次积分为
0
0
______________________.
5、 将
1
dx
x
(x2
y
2
)
1 2
dy
化
为
极
坐
标
形
式
的
二
次
0
x2
积 分 为 _______________, 其 值 为
_______________.
6、 x 2 y 2 2 d =______,其中 D: x 2 y 2 3.
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、无界区域上的反常二重积分
1
一、利用直角坐标计算二重积分
在直角坐标系下用平行于坐 y 标轴的直线网来划分区域D，
则
o
故二重积分可写为
D
x
2
（1）如果积分区域为： ［X－型］
y 2( x)
D
y 1( x)
a
b
y 2( x)
I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
28
例 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
二、计算广义二重积分
D
(
x
2
d
y2)p
,其中 D
{( x,
y) |
x2
y2
形式的二次积分为
0
0
______________________.
5、 将
1
dx
x
(x2
y
2
)
1 2
dy
化
为
极
坐
标
形
式
的
二
次
0
x2
积 分 为 _______________, 其 值 为
_______________.
6、 x 2 y 2 2 d =______,其中 D: x 2 y 2 3.
利用极坐标系计算二重积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
0
0
极坐标系下区域面积 rdrd . D
第5页
例 1 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
第24页
5、将
1
dx
x
(x2
y
2
)
1 2
dy
化为极坐标形式的二次积分为
0
x2
_______________,其值为_______________.
二、计算下列二重积分:
1、 ( x 2 y 2 )d 其中D 是由直线 y x ,
D
y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域.
0
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
（在积分中注意使用对称性）
第21页
思索题
交换积分次序:
a cos
I
2
d
0
f (r, )dr
2
(a 0).
第22页
思索题解答
D
:
2
2
,
0 r a cos
y
arccos r
a
r a cos
D
o
ax
a
arccos r
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
D
1 r 2abrdrd 2 ab.
3
第20页
小结
二重积分在极坐标下计算公式
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f ( x, y)dxdy
D
o r 1( )
A
DD r 2( )
f (r cos , r sin )rdrd
D
o
d 2( )
1( )
f (r cos.,,
r sin ) r dr.
A
6
2、区域特征如图
D： ,
0 r ( ).
f ( x, y)dxdy
D
r ( )
0
0
D 2a
D
O
2
2 (2a cos )3d
30
x
32 a3. 9
.,
15
例4
求
2a
a a2 x2
2 dx
xdy (a>0).
0
x
解 积分区域D见图, 采用极坐标计算,
原式 =
2a sin
2
d
0
r cos rdr
4
2 4
8 3
a3
sin3
cos
d
8 a3 1 sin4 2
求极坐标下的积分元素 d 的表示方法。
设积分区域 D为平面有界区域, 并且从原点发出的 射线与D的边界线交点不多于两个, 则区域D被分割情形 见下图.
.,
4
图中分割的其中一小块的面积为
1 (r r)2 1 r 2
2
2
y
rr 1 (r)2 .
2
略去高阶无穷小 1 (r)2 , 则有
r sin ) r
dr.
极坐标系下区域的面积 rdrd .
.,
D
r ( ) A
8
例1 将 f ( x, y) d 化为在极坐标系下的二次积分。
D
y
1） 2
x2 y2 4
D
o 2x
2）
2
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
3）
2
y
2
x2 y2 4 4）
D
o
2x
.,
2
y
x2 y2 4x
M X
如 : (2, )
一一对应
平面上任一点
（r，）
4
.,
2
一、极坐标与直角坐标系的关系 两坐标系中变量间关系：
x r cos
y
r
sin
x 2 y 2 r 2
tan
y x
.,
3
二、二重积分的极坐标转化及计算
1、二重积分的极坐标转化
二重积分中被积函数 f x, y f r cos ,r sin
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
2 2
d
4 cos
0
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
r 4cos
2
2
o
2A
.,
13
利用极坐标计算二重积分
例2 求 (x2 y2 )dxdy, D: x2 + y2 R2 (R>0). D
解 在极坐标下D: 0 r R, 0 2.
D
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
D
( )
d f (r cos , r sin ) r dr.
0
.,
7
3、区域特征如图
0 2 , 0 r ( ).
D
f ( x, y)dxdy
D
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
02
d
( )
0
f
(r cos ,
34
4
1 a3.
2
.,
y
D
O
2a x
2
16
例5 求 e x2 dx 的值. 0
解 考虑区域D: 0 x +, 0 y +, 记
I e x2 dx 0
I 2 e x2 dx e y2 dy
0
0
ex2 y2 dxdy
D
2 d
er2 rdx .
0
0
4
故
I e x2 dx .
2
o
rr,
故
d = rdrd.
于是, 二重积分
k k k
k
r rk x
f
( x,
y)dxdyຫໍສະໝຸດ f(r cos , r .,
sin )rdrd.
5
D
D
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的
的三种情形
r 1( )
r 2( )
1、区域特征如图
D
,
D：
1( ) r 2( ).
0
2 .,
17
小结
掌握极坐标系下二重积分的计算方法,化二重 积分为极坐标下的二次积分, 并注意运算技巧.
.,
18
(x2 y2)dxdy
2
d
R r 2 rdr
0
0
D
R4.
2
.,
14
例3 求 x2 y2 dxdy, D: x2 + y2 2ax (a > 0).
D
解 积分区域D如图, 在极坐标下D: 0 r 2acos ,
.
y
2
2
x2 y2dxdy
2 d
2acos r 2dr
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
02 d 02 f (r cos , r sin ) r dr.
.,
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
2
r2
D
o
2A
12
4） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
2
2
,
0 r 4cos .
y
x2 y2 4x
D o
4x
D o
4x
9
解： 1）在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
0
2
,
0 r 2.
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
0 2 d 02 f (r cos , r sin ) r dr.
y
2
x2 y2 4
D
o 2x
r2
o
2A
.,
10
2） 在极坐标系中，闭区域
极坐标系下二重积分的计算
一、极坐标与直角坐标系的关系 二、二重积分的极坐标转化及计算
.,
1
什么是极坐标?
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，
叫做极轴, 这样就建立了一个极坐标系。
对于平面内任一点M,
记 |OM|= r , ∠XOM= ,
r
(r 0, 0 2 )
（r，）就叫做点 M 的极坐标。 O
D 可表示为
0 , 0 r 2.
2
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
0
d
2
0
f
(r
cos
,
r sin ) r
dr.
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
r2 o 2A
.,
11
3）在极坐标系中，闭区域 D 可表示为
0 2 , 0 r 2. 2
D
o r 1( )
A
DD r 2( )
f (r cos , r sin )rdrd
D
o
d 2( )
1( )
f (r cos.,,
r sin ) r dr.
A
6
2、区域特征如图
D： ,
0 r ( ).
f ( x, y)dxdy
D
r ( )
0
0
D 2a
D
O
2
2 (2a cos )3d
30
x
32 a3. 9
.,
15
例4
求
2a
a a2 x2
2 dx
xdy (a>0).
0
x
解 积分区域D见图, 采用极坐标计算,
原式 =
2a sin
2
d
0
r cos rdr
4
2 4
8 3
a3
sin3
cos
d
8 a3 1 sin4 2
求极坐标下的积分元素 d 的表示方法。
设积分区域 D为平面有界区域, 并且从原点发出的 射线与D的边界线交点不多于两个, 则区域D被分割情形 见下图.
.,
4
图中分割的其中一小块的面积为
1 (r r)2 1 r 2
2
2
y
rr 1 (r)2 .
2
略去高阶无穷小 1 (r)2 , 则有
r sin ) r
dr.
极坐标系下区域的面积 rdrd .
.,
D
r ( ) A
8
例1 将 f ( x, y) d 化为在极坐标系下的二次积分。
D
y
1） 2
x2 y2 4
D
o 2x
2）
2
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
3）
2
y
2
x2 y2 4 4）
D
o
2x
.,
2
y
x2 y2 4x
M X
如 : (2, )
一一对应
平面上任一点
（r，）
4
.,
2
一、极坐标与直角坐标系的关系 两坐标系中变量间关系：
x r cos
y
r
sin
x 2 y 2 r 2
tan
y x
.,
3
二、二重积分的极坐标转化及计算
1、二重积分的极坐标转化
二重积分中被积函数 f x, y f r cos ,r sin
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
2 2
d
4 cos
0
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
r 4cos
2
2
o
2A
.,
13
利用极坐标计算二重积分
例2 求 (x2 y2 )dxdy, D: x2 + y2 R2 (R>0). D
解 在极坐标下D: 0 r R, 0 2.
D
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
D
( )
d f (r cos , r sin ) r dr.
0
.,
7
3、区域特征如图
0 2 , 0 r ( ).
D
f ( x, y)dxdy
D
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
02
d
( )
0
f
(r cos ,
34
4
1 a3.
2
.,
y
D
O
2a x
2
16
例5 求 e x2 dx 的值. 0
解 考虑区域D: 0 x +, 0 y +, 记
I e x2 dx 0
I 2 e x2 dx e y2 dy
0
0
ex2 y2 dxdy
D
2 d
er2 rdx .
0
0
4
故
I e x2 dx .
2
o
rr,
故
d = rdrd.
于是, 二重积分
k k k
k
r rk x
f
( x,
y)dxdyຫໍສະໝຸດ f(r cos , r .,
sin )rdrd.
5
D
D
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的
的三种情形
r 1( )
r 2( )
1、区域特征如图
D
,
D：
1( ) r 2( ).
0
2 .,
17
小结
掌握极坐标系下二重积分的计算方法,化二重 积分为极坐标下的二次积分, 并注意运算技巧.
.,
18
(x2 y2)dxdy
2
d
R r 2 rdr
0
0
D
R4.
2
.,
14
例3 求 x2 y2 dxdy, D: x2 + y2 2ax (a > 0).
D
解 积分区域D如图, 在极坐标下D: 0 r 2acos ,
.
y
2
2
x2 y2dxdy
2 d
2acos r 2dr
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
02 d 02 f (r cos , r sin ) r dr.
.,
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
2
r2
D
o
2A
12
4） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
2
2
,
0 r 4cos .
y
x2 y2 4x
D o
4x
D o
4x
9
解： 1）在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
0
2
,
0 r 2.
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
0 2 d 02 f (r cos , r sin ) r dr.
y
2
x2 y2 4
D
o 2x
r2
o
2A
.,
10
2） 在极坐标系中，闭区域
极坐标系下二重积分的计算
一、极坐标与直角坐标系的关系 二、二重积分的极坐标转化及计算
.,
1
什么是极坐标?
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，
叫做极轴, 这样就建立了一个极坐标系。
对于平面内任一点M,
记 |OM|= r , ∠XOM= ,
r
(r 0, 0 2 )
（r，）就叫做点 M 的极坐标。 O
D 可表示为
0 , 0 r 2.
2
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
0
d
2
0
f
(r
cos
,
r sin ) r
dr.
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
r2 o 2A
.,
11
3）在极坐标系中，闭区域 D 可表示为
0 2 , 0 r 2. 2