浅谈齐二次分式函数的最值问题
二次函数在闭区间上的最值问题
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二次函数在闭区间上的最值问题
作者：宋验兵
来源：《新课程·教研版》2011年第14期
摘要：二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在闭区间［p，q］上的最值问题实质是利用函
数的单调性，就对称轴与区间的“定”“动”关系，分类解析
关键词：定轴定区间；定轴动区间；动轴定区间；动轴动区间
二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在闭区间［p，q］上的最值问题是二次函数的重要题
型之一，求解的关键是判断对称轴和区间的位置关系，其实质是利用函数的单调性。
现就对称轴与区间的“定”“动”关系，分类解析如下：
一、定轴定区间
例1.已知函数f（x）=2x2+x-3，求f（x）在［-1，2］上的最值。
二次函数在闭区间上的最值 (经典)
二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x ba =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈bam n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉ba m n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n ()若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
二次函数在闭区间上的最值精品文档8页
二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。
分析：将配方，得顶点为、对称轴为当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。
（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是当时，可类比得结论。
二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。
函数的最大值为，最小值为。
图1练习. 已知，求函数的最值。
解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。
将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。
函数的最小值为，最大值为。
图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。
解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。
图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。
当时，函数取得最小值。
图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。
二次函数在闭区间上的最值(详解)
二次函数在闭区间上的最值(详解)二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况。
设函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值。
分析：将f(x)配方，得顶点为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，它的图像是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：1）当-b/2a∈[m,n]时，f(x)的最小值是f(-b/2a)，f(x)的最大值是max{f(m),f(n)}。
2）当-b/2a∉[m,n]时，若-b/2a<m，由f(x)在[m,n]上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是max{f(-b/2a),f(n)}；若n<-b/2a，由f(x)在[m,n]上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是min{f(-b/2a),f(n)}。
当a<0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数y=-x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值是6，最小值是-2.练.已知函数f(x)=x^2+x+1(x≤3)，求函数f(x)的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2.如果函数f(x)=-x^2+2x+t在区间[t+1,t+2]上，求f(x)的最值。
例3.已知f(x)=-x^2-4x+3，当x∈[t,t+1](t∈R)时，求f(x)的最值。
分子分母都是二次式的分式函数的极值问题
分子分母都是二次式的分式函数的极值问题
像这种分子分母都是二次的,就用"判别式法"
(核心思想:函数化方程,再用不等式(从判别式来)求最值)
具体方法如下:设y=[(3m+1)^2]/(5m^2+6m+2)
分母的判别式△=6^2-4*5*2=-4<0,又分母的二次项系数大于0,故分母恒正.所以可以将分母移到等式左边,然后以m为主元进行整理,得:(5y-9)m^2+(6y-6)m+(2y-1)=0
因为该函数的值域存在,即y存在,故这个方程的判别式△>=0
即△=(6y-6)^2-4(5y-9)(2y-1)>=0
整理得:y(y-5)<=0
故0<=y<=5
所以该式的最大值为5
(如果分母有可能为0,那么就先将分母可能为0的情况讨论一下)
注:如果是(ax^2+bx+c)/(dx+e)型的,令t=dx+e,求得x=(t-e)/d,代入分子
然后化成At+B(1/t)+C的形式,若A,B同号,则根据基本不等式求解;若A,B异号,则根据单调性求解.
(dx+e)/(ax^2+bx+e)型的同上,化到分母上做就行了
做最值问题,关键要选择方法.常用的就三个:函数,方程,不等式
函数大概70%,方程20%,不等式10%.三者要会互相转化,是做好最值题的关键。
高考高频考点2二次型分式函数求最值
第2讲 二次型分式函数求最值知识与方法我们把y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数统称为“二次型分式函数”，这些函数求最值的方法是类似的，通常有均值不等式法、判别式法、求导法等，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.典型例题【例题】函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()2211111113t t t t y t tt t +−++++===++≥+=，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法2（判别式法）：将211x x y x −+=−变形为()211y x x x −=−+，整理得：()2110x y x y −+++=①，将式①看出关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y ∆=+−+≥，解得：1y ≤−或3y ≥，因为1x >，所以10x −>，210x x −+>，从而0y >，故3y ≥，注意到当2x =时，3y =，所以函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法3（求导法）：设()211x x f x x −+=−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 23f x f ==.【答案】3 变式1 函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()22111131111t t y t t t t t t ===≤=+++−++++， 当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13.解法2（判别式法）：将211x y x x −=−+变形成()211y x x x −+=−， 整理得：()2110yx y x y −+++=①，当0y ≠时，把①看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y y ∆=−+−+≥⎡⎤⎣⎦，解得：113y −≤≤，注意到当2x =时，13y =，所以函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13. 解法3（求导法）：设()211x f x x x −=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()012f x x '>⇔<<，()02f x x '<⇔>，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()max 123f x f ==.【答案】13变式2 函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()()22222112211111x x x x x x y x x x x x x −+−−−+−===−−+−+−+，令1t x =−，则0t >，1x t =+，且()()221211111131111t t y t t t t t t =−=−=−≥=+++−++++， 当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法2（判别式法）：将22221x x y x x −+=−+变形为()22122y x x x x −+=−+，整理得：()()21220y x y x y −+−+−=，当1y ≠时，将该方程看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()()224120y y y ∆=−−−−≥，解得：223y ≤≤()1y ≠， 注意到当2x =时，23y =，所以函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法3（求导法）：设()22221x x f x x x −+=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 223f x f ==. 【答案】23【反思】从上面的几个例子可以看到，y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数这三种“二次型分式函数”求最值的方法是类似的，在三种方法的选择上，一般首选均值不等式法，判别式法和求导法作为备选方案. 变式3函数y =的最大值为________.【解析】设t ，则1t ≥，221x t =−，且211444t y t t t ===≤=++，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时x =，所以函数y =14.【答案】14变式4函数y =________.【解析】设t ，则2t ≥，224x t =−，且222115411t y x x t t t====+++++， 易得函数()1t t tϕ=+在[)2,+∞上，所以()()min522t ϕϕ==，故函数25y x =+的最大值为25. 【答案】25强化训练1.（★★）函数21x y x =−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =−，则0t >，1x t =+，且()22212112241t x t t y t x t t t +++====++≥=−，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法2（判别式法）：将21x y x =−变形成()21y x x −=，整理得：20x yx y −+=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式240y y ∆=−≥，所以0y ≤或4y ≥，因为1x >，所以0y >，从而4y ≥，注意到当2x =时，4y =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法3（求导法）：设()21x f x x =−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x >⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 24f x f ==.【答案】42.（★★）函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =+，则1x t =−，因为04x ≤≤，所以15t ≤≤，且()()22211223443311t t x x t t y t x t t t −−−+−+−+====+−≥=+，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时1x =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法2（判别式法）：将221x x y x −+=+变形成()212y x x x +=−+，整理得：()2120x y x y −++−=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()21420y y ∆=+−−≥，解得：7y ≤−或1y ≥，因为04x ≤≤，所以10x +>，220x x −+>，从而0y >，故1y ≥，注意到当1x =时，1y =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法3（求导法）：设()221x x f x x −+=+()04x ≤≤，则()()()()2311x x f x x +−'=+，所以()014f x x '>⇔<≤，()001f x x '<⇔≤<，从而()f x 在[)0,1上，在(]1,4上，故()()min 11f x f ==.【答案】13.（★★★）函数2211x x y x x ++=−+的值域为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()2222212121111x x x x x xy x x x x x x −++++===+−+−+−+，当0x =时，1y =；当0x ≠时，2111y x x=++−，易求得12x x +≤−或12x x +≥， 所以113x x +−≤−或111x x +−≥，从而220131x x−≤<+−或20211x x <≤+−，所以113y ≤<或13y <≤，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.解法2（判别式法）：()22221111x x y y x x x x x x ++=⇒−+=++−+，整理得：()()21110y x y x y −−++−=①，当1y =时，0x =；当1y ≠时，方程①可以看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()221410y y ∆=+−−≥，解得：133y ≤≤()1y ≠，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.（★★★）函数2sin 12sin x y x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为________.【解析】设sin t x =，则212t y t =+，因为02x π≤≤，所以01t ≤≤， 当0t =时，0y =；当01t <≤时，1142y t t=≤=+，当且仅当12t t =，即2t =时等等号，此时4x π=，所以函数2sin 12sin xy x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为4. 【答案】45.（★★★）函数22y x =+的最大值为________.【解析】设t =，则1t ≥，且211112t y t t t ====≤=++，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时0x =，所以函数y =12.【答案】1 26.（★★★）函数y=的最小值为________.【解析】设1t=+，则1t≥，()211x t=−+，所以()22211124332444t t ty tt t t⎡⎤−+−−+⎣⎦====+−≥−=−，当且仅当32tt=，即t=y=的最小值为4.【答案】−4。
高一数学二次函数在闭区间上的最值
高一数学：二次函数在闭区间上的最值
一、知识要点
二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论.一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
二、例题分析归类:
（一）正向型
正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值.
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成
为解决这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形:
（1）轴定,区间定;
（2）轴定,区间变;
（3）轴变,区间定;
（4）轴变,区间变.
1：轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”.
2：轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”.
3：轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图像是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.
4：轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”.
（二）逆向型
逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值.。
二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x ba =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈bam n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉ba m n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n ()若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
二次分式函数最值求解
二次分式函数最值的求解—-根判别式法函数最值的求解方法有:反函数、单调性、导数等方法.针对二次分式函数的最值求解适用于判别式的方法.二次分式函数的形式为:ax2+bx+cpx2+qx+r(px2+qx+r=0).若要运用根判别式法,要求定义域D为R,然后分式函数整理成整式,利用根判别式,注意二次项系数的讨论.否则(定义域不为R),则要分离参数.如果函数中有根式,一般先换元(包括三角换元,所有换元的前提是不能改变变量的范围).在圆锥曲线中,根判别式法还有应用.假设直线和圆锥曲线有交点,意味两者联立消元得到后的二次函数有实数解.即, ≥0.还有在圆锥曲线中的“点差法”的应用1.根的判别式只适用于判断实系数一元二次方程根的情况.复数不适用.注意,不能忽视对方程ax2+bx+c=0中a的讨论.1.求函数y=2x+√1−2x的最值2.1.1求函数y=x+4√1−x的值域.1.2求函数y=x+√1−x2的值域.解析:已知某两数的平方和大于、小于或者等于某数,或已知定义域区间为对称的,可以用三角换元.比如下面这2题:1.3设x2+y2≤2,求函数f(x,y)=|x2−2xy−y2|的最大值.1.4已知x2+4(y−1)2=4,求x2+y2的最值.1.5(平方法化简为二次函数)已知函数y=√1−x+√x+3,求y的最大值和最小值.1.6求函数y=x+x(2−x)的最大值和最小值.1.7求函数y=√x+√1−x的最大值和最小值.2.实数x,y满足4x2−5xy+4y2=5.设s=x2+y2,求s的最大值和最小值3.3.(2010江苏14)将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=(梯形边长)2/(梯形面积),则S的最小值是?4.已知p3+q3=2,其中p,q是实数,求p+q的最大值.4解析和总结:凡是题目中出现或者隐含两个变量p+q,pq的形式,都可以转化为二次函数利用根判别式进行求解最值.1点差法是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程,得到两个等式相减,可得一个与弦的斜率及中点相关的式子,再结合有关条件来求解.当题目涉及弦的中点、斜率或借助曲线方程中变量的取值范围求其他变量的范围时,一般都可以用“点差法”来求解.这种方法对有关点的坐标设而不求,充分发挥整体思想25/43化简成关于x/y的二次函数,利用根判别式方法.10/3;10/134此题关键在于构建二次函数,设s=p+q,立方和展开表示成p+q的二次函数,得到pq=f(s),则利用韦达定理构建关于s的二次函数,p,q为两个根,再利用根判别式定理.5.求函数y =x 2−x +12x 2−2x +3的值域.类似的题型:求函数y =x 2−x x 2−x +1的值域.5.1求函数y =ax 2+x +1x +1(x >−1,a >0)的最小值.解析:分子分母分离系数,利用均值不等式.注意条件的验证.6.当实数t 为何值时,一元二次方程x 2+3ix +t 2−2=0,(i 为虚数单位)有实数根？5解析:因为根判别式不适用于复数方程.进行参变分类,转化为x 2+3ix =2−t 2,方程右边为实数,则左边的复数项为0,得到2−t 2=0.7.已知方程sin 2x +2cosx −2m −1=0有实数根,求m 的取值范围6.8∗.已知直线y =(a +1)x −1与曲线y 2=ax 恰有一个公共点,求实数a 的值.解析:直线与二次曲线只有一个交点并不一定相切.不能等价转化为二次函数的根存在问题. =0只是该问题的一个充分不必要条件.可以转化为方程组解的个数模型,实质就为参数a =0?;a +1=0?的讨论问题,要求达到的条件是只有一个根-1,0,-4/5.9.已知函数y =log 2(x 2+ax +2);(1)当函数的定义域为R 时,求a 的取值范围.(2)当函数的值域为R 时,求a 的取值范围.解析:判别式的几何意义是函数与x 轴的交点个数.(1)通过 <0转化为恒成立的问题.(2)利用反证法来理解.x 2+ax +2能取到一切正数,等价于 ≥0.10.已知函数f (x )=ax 2−2x (0≤x ≤1).求f (x )的最小值g (a ).11(利用反函数法).讨论函数y =10x +10−x10x −10−x的定义域和值域.利用反函数的方法表示102x 求解值域y .127.求函数y =x 2(1−3x )在[0,13]时的最大值.12.1求函数f (x )=2x 3+3x 2−12x +14在[-3,4]上的最大值和最小值.13.若实数x ,y 满足|x |+|y |=5,求t =x 2+y 2−2x 的最值.解析:利用数形结合+线性规划.t =x 2+y 2−2x 可以认为是圆的方程.它表示一个同心圆簇,半径为√t +1.13.1求函数v =sinucosu +sinu +cosu 的最大值.解析:利用换元法,令cosu =x ,sinu =y ,有x 2+y 2=1.则转化为点(x ,y )在单位圆x 2+y 2=1上运动,xy +x +y −v =0在y 轴上的截距v 的最大值.(v 视为常数)13.2已知x 2+y 2−2x +4y −20=0,求x 2+y 2的最值.14.已知正数x ,y ,满足x +2y =1,求1x +1y的最小值.5注意根判别式法适用的条件,不能在复数方程中,系数不能保证都为实数.6换元后转化为二次函数注意定义域的同步变化7求导法。
二次函数在闭区间上的最值问题.45
小结：本节课我们主要学习了以下三种二次函 数在闭区间上的最值： 1 °区间和对称轴都已知； 2 °只有区间已知； 3 °只有对称轴和区间一边已知；
壹般撒向宇文成都而去,宇文成都无奈只能回防,执起鎏金镗与赵雨混战在咯壹起.壹旁の林冲反应过来,朝身边禁军敕令道:"通知东西南北四大门给我封锁城门,其余人等与我壹起去捉拿钱塘王/"话音刚落,林冲便壹马冲出,带着数百禁卫军朝东 舌追杀而去,东舌手执流光冥火枪否断挑翻一些前来追赶の小卒,罗士信背着秦琼,照着人群撞开壹条道路来.赵雨与宇文成都两人战成壹团,银光与金光否断在半空交错,宇文成都镗快力猛,二十几回合过后,便打得赵雨有些措手否及,只能利用巧 劲来化解壹招招攻势."给我倒!"宇文成都见赵雨只能以巧来敌对自己,当即大喝壹声,手中改变方向,从上空瞬间移到平面,金镗加快咯几分速度,加上咯几分力度,猛地朝赵雨横扫而去."检测到赵雨双重绝境龙胆发动,武力第壹次+1,第二次+1,当 前武力上升至104/"宇文成都壹镗来得出乎赵雨の意料,但却没什么造成丝毫の慌乱,那长冷峻の面容微微抽搐壹下,手中亮银枪朝地面壹抵,借着反弹之力,赵雨闪出咯宇文成都の攻击范围.宇文成都壹镗用力过猛而落空,要使出下壹镗,必须拉回 镗锋,而那又要消耗时间.赵雨见东舌已经逃远,亮银枪朝宇文成都飞快刺出几招,宇文成都只能否断左闪右避.逼退宇文成都之后,赵雨立即疾步朝东舌逃跑の方向追去.到嘴の鸭子又跑咯,宇文成都如何能咽の下那口气,手中流金镗往地下猛地壹 震,朝两旁将士喝令道:"传我将令,召集两千禁卫军,今日否抓到东舌我誓否罢休/"壹百零五部分逃出生天Ps:（求壹下收藏,,求打赏）赵雨手执亮银枪,连踏数人肩臂而过,壹身白袍闪过半空,真是犹如蜻蜓点水壹般轻盈,飞速赶去东舌の身边.罗 士信背着昏死过去毫无知觉の秦琼,在前边乱挥铁枪,好似排波退浪,撞开壹条比较开阔の道路.东舌在后手中流光冥火枪枪出如龙,左刺右挑,让人看否清楚套路,想要还手之时已经中咯好几枪.东舌72の武力,凭着神兵连斩十几人,渐渐已经感觉到 有壹丝吃力,双臂发麻起来.左臂也开始隐隐作痛,东舌那才想起当日大夫吩咐他切否可动武,否则左臂可能就要废掉.面对如潮水般否断涌来の洛阳禁军,东舌眉头紧皱,陷入咯进退两难の境地."殿下休惊,子龙来也/"月光耀射之下,赵雨壹身被照 得雪亮,手中银枪更是抹上咯壹层雪白の银辉,划过空际,从半空中连刺数枪,挑翻一些企图偷袭の小卒.赵雨及时杀到让东舌松咯壹口气,生怕赵雨否是宇文成都对手,被困在那里无法脱身."哥,我们快到西门咯,怎么办啊哥,那门关着の."罗士信见 路已经快要走到咯尽头,却发现那根本就是壹个死胡同,城门是如铁闸壹般の往下关.宇文成都与林冲已经从后面赶咯上来,几千禁军将东舌四人紧紧围在咯那西门城门前,局势是前所未有の严峻."该死,哥,要否要我去把那城门给砸开."罗士信脸 上也感觉到咯局势の危急,抡起铁枪就要往门上砸.东舌却壹把拉住咯罗士信,万般冷淡地说:"士信,那城门岂可比济南の城门,您是劈否开の.""哥那怎么办啊,他们人那么多,士信打否过他们,但是士信否想看到哥哥出事啊/"罗士信气の又坐到咯 地上,打又否行,闯又否行."东舌,您们已经穷途末路咯,还是跪下投降吧,说否定我可以饶您否死/"宇文成都手执金镗,赶咯上来,驱驾上前企图说服东舌投降."哼,投降？"东舌苦笑着冷哼壹声,脸上浮现出无所畏惧の神情,"我钱塘王东舌,就算成 就否咯千秋霸业,但也绝非屈服威武の小人/大否咯就是壹死/"东舌壹番话语,说の是那样壹般の慷概凛然,荡气回肠,好似将生死早就置之度外,让宇文成都壹时竟然有些钦佩东舌の勇气起来.话音久久の回荡在广场之中,东舌慢慢扶起咯罗士信, 坚毅の凝视着赵雨,叁人眼神凝聚在咯壹起,东舌壹字壹顿说道:"今日既然否能走出去,那我们主臣叁人,便是要在那血战到底/""好您个东舌,想否到您如此有气节,行,我今日就让您死の痛快,我否用壹兵壹卒,就您与我单挑如何？"宇文成都语气 狂傲万分,却也多咯几分对东舌の敬重.宇文成都那摆明就是要东舌死,听咯此言赵雨拿起银枪就要往前冲,气愤の吼道:"宇文成都/要单挑您找我,休要动我殿下の主意.""手下败将,只会躲躲闪闪,有何资格与我壹战/"宇文成都朝赵雨狂喝壹声,让 赵雨顿时语塞否知作何答语.东舌却是陷入咯沉思之中,若是自己自己和宇文成都单挑,那分明就是找死,否过若是自己击败咯宇文成都,则赵雨等人便有机会逃出去.左右衡量之下,东舌还是决定向操作界面发送咯信息,"操作界面,在吗？""请问宿 主有何事情？""准备在我身上吸取体力,哪怕是整条命也罢,助我打败宇文成都/""回复宿主,准备完毕."东舌深吸壹口气,已经感觉到咯手中の流光冥火枪已经蠢蠢欲动,好似蕴含着毁天灭地の潜能.感觉壹股体力正在体内否断の流失,手掌否断贴 紧咯手中の枪身,整把枪瞬间变得血红万分.否仅是枪,就连东舌,满眼开始变成血红色,手臂上の青筋也慢慢变成咯血红."甄宓,别咯."生死壹刻,东舌脑江中突然浮现起甄宓の样子,也否知是否是回光返照,眼角否自觉壹滴晶莹流下.耀蓝の月光, 俯射着少年最后の疯狂.滑落の泪痕,拉の很长,很长.噌,噌.就在那万般严峻の情景之下,城门突然发出壹声巨响,两边灰尘否断往门缝汇聚,好似回潮壹般涌去.渐渐の,门居然往上开咯起来.东舌眼中の血红褪去,体力瞬间全部回复到咯体内,眼中 顿时冒出许多疑问."士信,门开咯快走/"东舌急忙转过头,朝罗士信大喝壹声,罗士信也没什么多说半句,带着秦琼壹个翻身滚出咯城门."殿下,快走/"见罗士信已经翻滚出咯城门,赵雨也否顾东舌の想法,拉起东舌就往城门下壹滚,翻身出门.宇文 成都见叁人在自己の眼皮子底下逃咯出去,猛地回过神来,满眼の否可置信,否停咆哮道:"快给我追/"禁军在林冲の带领下如潮水般朝城门冲上前去,城门却突然关闭回来,险些压死一些想要窜出の小卒,好似是专门为东舌打开,将宇文成都等人反 锁在城内."是谁,没什么我の命令竟敢私开城门,来人啊,快去给我把城门打开,休走咯钱塘王/"宇文成都歇斯竭底の咆哮,怎么也想否到,居然会出现如此戏剧般の壹幕,让东舌等人逃咯出去."林统领,快去给我上城楼打开城门,我倒是要看看,是何 人敢如此大胆,没什么我の允许,居然敢私开城门/"宇文成都此时已经是壹肚子气全撒在咯林冲头上,气の暴跳如雷の朝林冲叱喝.林冲只能唯唯诺诺点头退让,心中有否服也只能乖乖咽下,带着一些人上咯城楼.良久之后,林冲便匆匆赶下城楼,跑 到宇文成都面前报道:"宇文将军,开城门の机关被破坏咯/就连几十个守军也全部被人杀咯,脖子上刀伤所致,下手凌厉壹刀毙命.""究竟是谁敢如此暗中协助东舌,莫否是天否助我宇文成都啊/"听咯林冲の汇报,宇文成都整长脸瞬间变得铁青,差点 站否稳身子.而逃出城外の东舌等人松咯壹口气,也是壹脑糊涂,想否清楚那洛阳城中会是谁救咯自己.在城楼上の角落中,七八个黑影窜过,荡下城楼而否知所踪."快走吧殿下,否然万壹让宇文成都追上来就麻烦咯."赵雨见东舌满脸腹疑の矗立在 原地,壹动否动,便开口劝说到."罢咯,我等还是快走,往南边走,朝涧河走去."东舌收咯多余の心思,握紧手中の长枪在前方带路,众人穿过吊桥往树丛小道走去.小道尽头,壹条浩荡の大河尽现眼前,河边停驻着几条小舟,舟上壹人正是川蒙前来接 应,早在进入洛阳之前,东舌便以防万壹,在涧河上安插好咯人员.（未完待续）壹百零六部分人财双收大闹洛阳告壹段落,东舌等人连夜过江,终于回到咯襄阳.午时,襄阳,钱塘王府.东舌眉目紧锁,焦急地在客房外徘徊,闻讯而来の伍雨召,长辽等 人也是跟着东舌壹起在门外等候.秦琼在客房中接受急救,东舌叫上咯全襄阳最好の大夫来为秦琼急治,若是秦琼出咯什么事,那否仅自己那么长时间の努力全部白费,就连
二次函数在闭区间上的最值2
二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
图1练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最小值。
图1。
图2图8例3. 已知2()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。
不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。
第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。
浅谈齐二次分式函数的最值问题
浅谈齐二次分式函数的最值问题
文 | 苏艺伟
其本质就是将双变元的最值问题通过变形,采用比值换元的方法,转化为单变元的最值问题。
“齐次”从字面上解释是“次数相等”的意思，是微积分中一个比较常用的概念，英文表达是homogeneous。
在平时的教学中，教师口中的齐次其实是线性代数里的叫法，指的是在一个多项式中，每一项都是含有关于x，y的相同次式。
如ax^2 bxy cy^2就是一个二次齐次式。
如果对一个分式表达式来讲，分子和分母都是二次齐次式，则称该分式为齐二次分式。
在高中数学学习中经常遇到诸如给出一个关于x，y的条件，求齐二次分式函数的最值(值域)问题，此类问题虽然思路灵活，求解方法多样，但是不容易掌握。
在长期的教学实践中，笔者总结出了求解此类问题的一个方法，现整理说明如下。
例题
总结
由于待求目标已经是一个齐二次分式函数，故而直接求解。
总结
总结
总结
总结
总结
总结
通过上述几道例题不难发现求解此类齐二次分式函数最值的解题思路。
如果待求目标已经是一个齐二次分式函数，则直接求解;若不是一个齐二次分式，那么首先构造出一个齐二次分式函数。
其本质就是将双变元的最值问题通过变形，采用比值换元的方法，转化为单变元的最值问题。
练习。
高一数学解题技巧7：二次函数在闭区间上的最值或值域的求解
高一数学解题技巧7：二次函数在闭区间上的最值或值域的求
解
二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都要化归为二次函数来求解。
二次函数在闭区间的最值（值域）求解也是高考的重难点内容之一。
一、定轴定区间：此类问题结合相应的二次函数的图象即可求解
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二、定轴动区间：函数确定，但区间不确定，故需以对称轴与区间不同位置分类讨论
求最大值与求最小值分类讨论的情况一样吗？
三、动轴定区间：区间确定，而函数不确定。
故需以对称轴与区间不同位置分类讨论
无论哪种类型，同学们只需要紧紧抓住“区间与对称轴的相对位置”这一核心即可，要注意分类讨论与数形结合
新天鹅堡夏季，全景，alp湖，fuessenthannheimer山脉，allgaeubavaria。
二次函数在闭区间上的最值问题
本文主要研究二 次 函数或含有 二次函数 的复合 函数在 闭区间上的最值 问题． 二次 函数 ）＝似 ＋ ＋ｃ口 ） （ ≠０ 在闭 区问 ［ ｎ 上 ｍ， ］
（ Ｒ 的 ２ ｍ ） 个实根， 求实数 ｍ） ＋ ； ＝ 的值域．
解 因 为 方 程 有 ２个 实 根 ， 而 从
和发现者．
轴 焦 Ｆ 对 轴 ）点 ， ＝ ． （点 在 称 上 于 尺 手 则
二 次 函 数 在 闭 区 间 上 的 最 值 问 题
●王 琳 李 登有 （ 县第三中学 四川资中 ６１０ ） 资中 ４ ２０
例 ２ 设 ｌ ２ 方 程 ２ 一 ｍ ， 是 ｘ ４ ｘ＋（ｍ ９ 一１ ）＝０ ５ 一ｍ ２
△＝１ｍ２ ８ ５ ： ｍ 一１ ） ６ — （ ｍ 一９ ２ ≥０，
的最值 问题 的初等解法 如下 ：
（） １ 当顶点横坐标在 ［ ｎ 内时 ， ｍ， ｌ 在顶 点处取得一 个最
解得
一１ ≤ｍ≤４，
值， 考虑到 函数 的单调 性 ， 一个最 值在距顶点 较远 的端点 另
取 得 ， 它 是 ｍ） － ｎ 中 的一 个 ． 即 和厂 ） （
即值域为 ［ ，２ ． ２３ ］
例 知 ，， ｔ ）口 ２ｇ＋ ３已 【 ４ｉ ｆ ＝ｏ 。： １］ （ １ ｌ ￣ 一 ｏ
ｂ的值域是 ［ ，０ ， １ １ ］ 求实数 ａ和 ｂ ．
解 因 ｌ 【 ， 是 函 ， 为 在 ４ 增 数所 。 １］ 上 以
一
２≤ ｌｇ ≤ ２． ｏ２
曲线 Ｃ于 Ｐ， Ｑ两 点 ， Ｐ 的 垂 直 平 分 线 交 曲 线 Ｃ的 对 称 弦 Ｑ
索 ， 是通过问题引发学生 的好奇心 ， 动他们探究 的热 特别 驱
二次函数在闭区间上的最值问题
引入: 求函数()223f x x x =-+ (1)在R 上的最值.(2)在[]0,2和[]0,3上的最值.(3)在[]2,3和[]3,1--上的最值.轴动区间定1: 已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间上[]0,2的最小值是3, 求a 的取值的集合.答案：{-5+ 2.函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间上[]0,2的最小值是g(a), 求g(a),并求g(a)的最小值3.已知函数()()222424f x x tx t t t R =-++∈，[]1,5x ∈-，求函数()f x 的最大值和最小值 答案：()()()22m ax 2165022822t t t f x t t t ⎧-+<⎪=⎡⎤⎨⎣⎦++≥⎪⎩()()()()2m in 22821415216505t t t f x t t t t t ⎧++<-⎪=-≤≤⎡⎤⎨⎣⎦⎪-+>⎩ 4.若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 取值范围是 A. 3a ≥ B. 3a ≤- C. 5a ≤ D. 3a ≥ 答案：B轴定区间动5.求二次函数()[]22,,5f x x x x a a =-+∈的值域，其中0a ≠ 答案：()()()()()()()()5,,115,1,1311,1,531,5,05f a f a a f a f a f a f a f a f a a ⎧>⎡⎤⎣⎦⎪⎪<≤⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨≤≤⎡⎤⎪⎣⎦⎪⎪<<⎡⎤⎣⎦⎪⎩，()()()()m ax 15,0511,15,1f a a f x f a f a a ⎧<<⎪⎪⎪=≤≤⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎪>⎪⎩，()()()m in 1,0315,3f a a f x f a a ⎧<<⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪>⎪⎩已知函数223y x x =-+在闭区间[]0,m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是答案：[]1,2轴动区间动已知函数()[]22,,2f x x ax x a a =-+∈+，求函数()f x 的最大值和最小值 答案：()2m in 26,412,4042,0a a f x a a a +<-⎧⎪⎪=-+-≤≤⎡⎤⎨⎣⎦⎪>⎪⎩，()m ax 2,226,2a f x a a ≤-⎧=⎡⎤⎨⎣⎦+>⎩ 设函数()()2221,0f x tx t x t x R t =++-∈> （1） 求()f x 的最小值()h t（2） 若()2h t t m <-+对()0,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围 答案：()31h t t t =-+-，m>1。
二次函数在闭区间上的最值(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x ba =-2当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈bam n2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉bam n 2，时若-<bam 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n ()若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
二次函数在闭区间上的最值问题-高一数学上学期(人教A版2019必修第一册)(解析版)
函数专题：二次函数在闭区间上的最值问题一、二次函数的三种形式1、一般式：()()20=++≠f x ax bx c a2、顶点式：若二次函数的顶点为(),h k ，则其解析式为()()()20=-+≠f x a x h k a 3、两根式：若相应一元二次方程20++=ax bx c 的两个根为1x ，2x ，则其解析式为()()()()120=--≠f x a x x x x a二、二次函数在闭区间上的最值二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论， 一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况.设()()20=++≠f x ax bx c a ，求()f x 在[],∈x m n 上的最大值与最小值。
将()f x 配方，得顶点为24,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭b ac b a a ，对称轴为2=-b x a （1）当[],2-∈bm n a时， ()f x 的最小值为2424-⎛⎫-=⎪⎝⎭b ac bf a a ， ()f x 的最大值为()f m 与()f n 中的较大值； （2）[],2-∉bm n a时， 若2-<bm a，由()f x 在[],m n 上是增函数，则()f x 的最小值为()f m ，最大值为()f n ；若2->bn a，由()f x 在[],m n 上是减函数，则()f x 的最小值为()f n ，最大值为()f m ；三、二次函数在闭区间上的最值类型1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
由二次分式函数最值,谈培养学生的创新能力
由二次分式函数最值，谈培养学生的创新能力作者：马玉春来源：《中学生数理化·教与学》2015年第12期函数的最值（值域）是函数的重要性质，渗透到数学的各个章节，并在实际问题中有着广泛的应用，所以高考中的应用性问题多与函数最值（值域）有关.最值（值域）问题涉及许多重要的思想方法，是高中数学的一大难点，学生学习起来都感觉比较吃力.在数学教学中，教师应将知识网络化、系统化、条理化，促使学生熟练应用.求二次分式函数最值（值域）的常用方法有：判别式法、配凑平均值不等式法、函数图象法和导数的方法.例求函数y=（x+4）（x+9）x（x>0）的值域.解法1：（判别式法）将函数变形成关于x的方程，变形得；yx=x2+13x+36，即x2+（13-y）x+36=0.因为x>0 ，所以上式有解.所以判别式△=（13-y）2-4×36≥0.所以y2-26y+25≥0，得y≥25或y≤1﹙舍﹚.所以值域[25，+∞）.解法2：（配凑平均值不等式）因为x>0，所以y=（x+4）（x+9）x=x+36x+13≥2x36x+13=25（当仅当x=36x，即x=6时，取“=”）.所以值域[25，+∞）.利用基本不等式求二次分式函数值域时，首先要注意基本定理应满足的条件，基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定要注意应用的前提：“一正”、“二定”、“三相等”.所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件.其次，连用基本不等式要注意成立的条件要一致，有些题目要多次用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致.有些题目，直接用基本不等式求最值，并不满足应用条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.由y=x（图中直线）与y=36x叠加作图象可得y=x+36x的图象，可知在x=6时，y=x+36x（x>0）有最小值12，在区间（0，6]上为减函数，在区间[6，+∞）上为增函数（证明略）.所以y=（x+4）（x+9）x=x+36x+13的最小值为25，值域[25，+∞）[25，+∞）.注：函数y=ax+bx（a.b.x∈R+）在ax=bx，即x=ba时，有最小值2ab，在区间0，ba上为减函数，在区间ba，+∞上为增函数（证明略）.定义域受限制时，这种方法更加重要.小结：有些题目，尽管有ax+bx的形式（两数之积为常数），但因为受定义域的限制，不能使“=”成立，因此不能使用平均值不等式定理，这时就用函数的图象或导数的方法.高考试题并不是课本知识内容的简单再现，而是取材于课本，加以变化提高而得到的.新课程标准从不同的侧面强调了一个重要理念，要注重学生能力的培养，其中包括学生创新能力的培养，而要创新，必须要求学生熟练掌握课本知识，必须要有扎实的基本功.在数学教学中，所以教师要重视课本教学.（1）重新认识教材，重视课本上的探究，课本上的思考.在数学教学中，教师要让学生动起来，使学生从中挖掘创新素材，激发学生的学习兴趣，促使学生巩固所学知识，培养学生的创新能力.（2）重新认识教材，重视课本上的例题教学.近年来，新课标卷频繁出现对例题的改编，但学生得分却不高.在数学教学中发现，学生对例题只是看看，并不深入钻研，有些例题看似简单，其实包含了许多数学思想和解题方法，教师在课堂上要把例题讲透，特别是公式的推导，例题的分析，还要进行一题多解，在此基础上当堂进行适当改变，利用一题多变，充分调动学生的学习积极性，以达到促使学生创新的目的.（3）重新认识教材，重视课本上的练习题和习题.学而时习之，这就要求学生在数学教学中听懂、理解教师所讲的内容，还要做对应的练习，使学生在练习中巩固所学知识.课本上的题基本都是阶梯式的，比较适合学生的学情，教师要让学生在做题过程中完全消化所学知识，并给学有余地的学生适当改变题目条件，充分发挥学生的潜能，提高他们的数学学习能力.（4）重新认识教材，重视课本上的章小结.每一章学习后，教师要引导学生阅读章小结，归纳出本章的要点，立足于教材，让学生由局部认识整体，由特殊认识一般，从本质上把握其内在联系，抓住共性，总结知识规律，用掌握的知识和能力举一反三，在提高能力的同时，提高数学成绩.总之，在数学教学中，教师要立足课本，帮助学生形成合理的认知结构，培养学生创新意识，提高学生的创新能力.。