第五节 向心加速度(学校学案)

v1

v2

Δv

第五节向心加速度

学习目标

1.知道匀速圆周运动是变速运动，存在加速度。

2.理解匀速圆周运动的加速度指向圆心，所以又叫做向心加速度。

3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式

4.能够运用向心加速度公式求解有关问题

（一）新课导入

通过前面的学习，我们已经知道，做曲线运动的物体速度一定是变化的。即使是我们上一堂课研究的匀速圆周运动，其方向仍在不断变化着。换句话说，做曲线运动的物体，一定有加速度。圆周运动是曲线运动，那么做圆周运动的物体，加速度的大小和方向如何确定呢？——这就是我们今天要研究的课题。

请同学们看课本第20页思考与讨论

（二）新课教学

一、速度的变化量Δv的方向（展示1）

设质点初速度为v

1

，末速度为v

2

，则速度的变化量Δv = v

2

- v

1

，移项得： v

1

+ Δv = v

2

结论：速度的变化量Δv可以用初速度v1____.端指向末速度v2____.端的有向线段来表示。

二匀速圆周运动的加速度

1、向心加速度的大小（展示2）

质点做匀速圆周运动，经时间t∆由A点运动到B点，由图中的矢量三角形可求出v

∆，三角形OAB和由vA、vB、Δv组成的矢量三角形相似

A t

v

v

AB

v

r

v

∆

∆

=

∆

=

)1(

2

r

v

t

v

a=

∆

∆

=

∴

ω

r

v=

又)2(

2

ω

r

a=

∴

T

r

v

π2

=

又

)3(

4

2

2

T

r

a

π

=

∴

A

B

C

2 加速度的方向

质点做匀速圆周运动，速度大小不变，所以加速度与速度垂直，速度沿切线方向，加速度沿半径指向圆心

结论：匀速圆周运动的瞬时加速度方向指向______--------故称______加速度。 小结：匀速圆周运动的加速度 【定义】：做匀速圆周运动物体的加速度由于指向圆心，又叫做向心加速度。 【公式】：v a R a R

v

a ωω===

或或2

2

或

【单位】：m/s 2

【方向】：沿半径指向圆心，时刻变化（匀速圆周运动是变加速曲线运动） 【意义】：反映速度方向改变快慢的物理量 三 例题

1、关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法正确的是（ ）

A ．在赤道上向心加速度最大

B ．在两极向心加速度最大

C ．在地球上各处，向心加速度一样大

D ．随着纬度的升高，向心加速度的值逐渐减小

【答案】:AD

【解析】：地球上的物体随地球一起转动，在任何位置处转动的角速度都与地球自转的

角速度相等，由公式a ＝r ω2

可以知道，在角速度一定的情况下，向心加速度大小与转动半径成正比关系。所以，在赤道处，物体转动半径即地球半径，其值最大，故其向心加速度最大；在两极，其转动半径为零，所以其向心加速度也为零；随着纬度的升高，其转动半径减小，故其向心加速度也减小。本题正确选项为AD 。 拓展：地球上各个物体随地球一起转动，它们都是绕

地轴转动，而不是绕地球球心转动，所以它们转动的平面与地轴垂

直，转动半径与纬度大小有关。如图所示，设地球半径为R ，纬度为θ的A 处物体转动的半径为r ，则有r ＝Rcos θ。 例2、从公式R

v

a 2

=

看，向心加速度与圆周运动的半径成反比？从

公式R a 2

ω=看，向心加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？请从以下两个角度来讨论这个问题。

①在y=kx 这个关系式中，说y 与x 成正比，前提是什么？

②自行车的大车轮，小车轮，后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点A 、B 、C ，其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？

解析：①在y=kx 这个关系式中，说y 与x 成正比，前提是k 一定

所以当ω一定时，根据公式R a 2

ω=，向心加速度与半径成正比

V 一定时，根据公式R

v

a 2

=

，向心加速度与圆周运动的半径成反比

②A 、B 的v 一样，这两点“向心加速度与半径成反比。B 与C 的ω一样，这两点“向心加速度与半径成正比”

结论：若无限制条件，不能说加速度与半径成正比还是反比 四 课堂训练

1、说法正确的是（ ）

A. 向心加速度越大，物体速率变化越快

B. 向心加速度大小与轨道半径成反比。

C. 向心加速度方向始终与速度方向垂直

D. 在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的。

2．（2011·江苏清江中学高一期中，10）如图所示为A 、B 两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A 为双曲线的一个分支，由图可知（ ）。

A ．A 物体运动的线速度大小不变

B ．A 物体运动的角速度大小不变

C ．B 物体运动的角速度大小不变

D ．B 物体运动的线速度大小不变

3．高速列车已经成为世界上重要的交通工具之一，如图所示。北京至天津高速列车时速可达360 km/h 。一辆高速列车以恒定的速率在半径为2 000 m 的水平面上做匀速圆周运动，如图所示。则（ ）。

A ．乘客做圆周运动的加速度为5 m/s 2

B ．乘客做圆周运动的加速度为0．5 m/s 2

C ．列车进入弯道时一般要加速

D ．乘客随列车运动时的速度不变

4．一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R ，向心加速度为a ，则（ ）。

A ．小球相对于圆心的位移不变

B ．小球的线速度为

C ．小球在时间t t